广东省兴宁市第一中学2020届高三数学上学期期末考试试题文【含答案】

A. 46 656
B.7776
C.216
D.36
7．已知双曲线 C 的中心为坐标原点，离心率为 3 ，点 P 2 2, 2 在 C 上，则 C 的方程
为( )
A． x2 y2 1 42
B． x2 y2 1 7 14
C． x2 y2 1 24
D． y2 x2 1 14 7
8. 已 知 函 数 y f x 在 区 间 ,0 内 单 调 递 增 ， 且 f x f x ， 若
e
当 0 x 1 时， e
f x 0，
f
x
在区间
0,
1 e
内单调递减；…………3
分
当 x 1 时， e
f x 0，
f
x
在区间
1 e
,
内单调递增.
…………4
分
所以函数
f
x
的单调递减区间为
0,
1 e
，单调递增区间为
1 e
,
.…………5
分
（2）法一： g x
f
x 1 lnx 1
由①式得 kPN
kQN
y1 x1 x0
y2 x2 x0
y1 x2 x0 y2 x1 x0 0 , x1 x0 x2 x0
y1 x2 x0 y2 x1 x0 0,即 y1x2 y2x1 x0 y1 y2 0 ．
消去
x1,
x2
，得
1 4
y1 y22
16.
已知函数
f
x
x
lg x
2 6x
,x 4,
0 x0
，若关于
x
的方程
f
2 x bf
x 1 0 有 8 个不
同根，则实数 b 的取值范围是______________．
三．解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，其中第 17-21 题分别为 12 分，第 22 题 10 分。解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。
b
0) 的长轴是短轴的
2
倍，过右焦点 F
且斜率为 k(k
0)
的直线与 C 相交于 A，B 两点．若 AF 3FB ，则 k ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
二．填空题（本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 把答案填在答卷的相应位置）。
yx
13.
已知
x,
y
满足约束条件
(6 分)
1
1
（2）Tn＋1－Tn＝4（n＋1）（n＋2）>0，∴{Tn}单调递增．(7 分)∴Tn≥T1＝8. (8 分)
1
11
11
Tn＝4(1－n＋1)＝4－4（n＋1）<4
( 9 分)
要使得m－4 2<Tn<m5对一切 n∈N*恒成立，则
mm5－≥4 214<81，∴54≤m<52
(11 分)
21．解： （1）由题得，函数 f x 的定义域为 0, ， f x a1 lnx ，
因为曲线 f x 在点 1, f 1 处的切线方程为 y x 1，
所以
f
f 1 a 1， 1 aln1 b 0，…………1
分
解得 a 1,b 0 .…………2 分
令 f x 1 lnx 0，得 x 1 ，
A. 6
B. 7
C. 8
D. 10
5． 函数 y x cos x sin x 的图象大致为（ ）
6．一个蜂巢里有 1 只蜜蜂.第 1 天，它飞出去找回了 5 个伙伴；第 2 天，6 只蜜蜂飞出去，
各自找回了 5 个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第 5 天所有的蜜蜂都归巢后，
蜂巢中一共有________只蜜蜂( )
广东省兴宁市第一中学 2020 届高三数学上学期期末考试试题 文
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）。
1．设集合 P x x 12 1 ， Q x 1 x 1 ，则 P Q （ ）
A． 1,2
B． 1,0
C． 1,2
17．（12 分）在△ABC 中，A= ，3sinB=5sinC． 3
（1）求 tanB；
（2）△ABC 的面积 S= 15 3 ，求△ABC 的边 BC 的长． 4
18. （12 分）若数列{an}是递增的等差数列，其中的 a3＝5，且 a1、a2、a5 成等比数列． ( 1 ) 设 bn＝（an＋1）（1 an＋1＋1），求数列{bn}的前 n 项的和 Tn. ( 2 ) 是否存在自然数 m，使得 m－4 2<Tn<m5 对一切 n∈N*恒成立？若存在，求出 m 的值； 若不存在，说明理由．
D
C
F
D
C
F
A
B
图1
A
B
图2
（1）求证： BC 平面BDE ; （2）求点 D 到平面 BEC的距离.
20.（12 分） 已知动圆 C 过定点 F(1, 0) ，且与定直线 x 1 相切． （1）求动圆圆心 C 的轨迹 E 的方程；
（2）过点 M 2,0 的任一条直线 l 与轨迹 E 交于不同的两点 P,Q ，试探究在 x 轴上是否存
（1）求直线 l1 ， l2 的直角坐标方程以及曲线 C 的参数方程；
（2）已知直线 l1 与曲线 C 交于 O, A 两点，直线 l2 与曲线 C 交于 O, B 两点，求 AOB 的面
积．
兴宁一中高三(文科)数学期考测试题答案 2020-01-04
一、选择题:
1—12 ： DCCD DBBB ACAD
① …4 分
直线 PQ 的斜率必存在且不为 0 ，设 PQ : x my 2,
……………………5 分
由
y2
4x
得 y2 4my 8 0 ．
x my 2
由 4m2 48 0 ,得 m 2 或 m 2 ．
……………………………6 分 ………… ……………7 分
设 P(x1, y1), Q(x2 , y2 ) ，则 y1 y2 4m, y1 y2 8 ． …………………………………8 分
……12 分
18. 解：（1）在等差数列中，设公差为 d≠0，
由题意a22＝a1a5 a3＝5
（a1＋d）2＝a1（a1＋4d）(2 a1＋2d＝5
分)
∴da＝1＝21，，∴an＝2n－1 (3 分)
则 bn＝（an＋1）（1 an＋1＋1）＝2n×（12n＋2）＝14(1n－n＋1 1) (4 分) 所以 Tn＝14(11－12)＋14(12－13)＋…14(1n－n＋1 1)＝14(1－n＋1 1)＝4（nn＋1）
在△ BCD 中，BD BC 2,CD 2 ，所以 BD2 BC2 CD2 ．所以 BC BD ．---4
分
又 ED BC ，ED BD=D，所以 BC 平面 BDE ． -------6 分 （2） 解： BE 平面 BDE ,所以 BC BE
所以 SBCD
1 2
BD BC
1 2
所以点 D 到平面 BEC 的距离等于 6 . 3
-------12 分
20．（1）解法 1：依题意动圆圆心 C 到定点 F(1, 0) 的距离，与到定直线 x 1 的距离相等，…
1分
由抛物线的定义，可得动圆圆心 C 的轨迹是以 F(1, 0) 为焦点，x 1 为准线的抛物线， …
2分
其中 p 2 ．动圆圆心 C 的轨迹 E 的方程为 y2 4x ．
（2）设函数 g x
f
x
x
1
，且
g
x1
g
x2
(x1
x2
)
，
证明： x1 x2 2 ．
22.（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
已 知 曲 线 C 的 极 坐标 方程 为 =2
3 cos
2sin
，直线
l1 :
6
( R)
，直线
l2
:
3
(
R) ．以极点 O 为原点，极轴为
x
轴的正半轴建立平面直角坐标系．
2
C、
0
1 2
,
D、0 1 ,
2
11．某几何体的正视图和侧视图如图 1 所示，它的俯视图的直观图是平行四边形 ABCD ，
如图 2 所示.其中 AB 2AD 4 ，则该几何体的表面积为( )
A、16 12
B、16 8
C、16 10
D、 8
12．已知椭圆 C：
x2 a2
y2 b2
1(a
x
y
1,则 z
2x
y 的最大值为
y 1
14. 已知向量 a 与 b 的夹角是 ，| a | 1，| b | 1 ，则向量 a 2b 与 a 的夹角为
．
3
2
15. 已知三棱锥 A BCD 中， AB BD AD 2, BC 1, CD 3 . 若平面 ABD 平面
BCD ，则三棱锥 A BCD 的外接球的表面积为__________.
a f log1 3,b f 2
21.2
,c
f
1 2
，则
a,
b,
c
的大小关系为（
）
A. a c b
B. b c a
C. b a c
D. a b c
9．由 y 2 sin(6x 1 ) 的图象向左平移 个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到
6
3
原来的 2 倍后，所得图象对应的函数解析式为( )
∵m 是自然数，∴m＝2.(12 分)
19.解：（1）在正方形 ADEF 中， ED AD ． 又因为平面 ADEF 平面 ABCD ，且平面 ADEF 平面 ABCD AD ，ED 平面 ADEF， 所以 ED 平面 ABCD ．所以 ED BC ． -------2 分
在直角梯形 ABCD中， AB AD 1， CD 2 ，可得 BC 2 ．
在定点 N （异于点 M ），使得 QNM PNM ？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，
说明理由．
21．（12 分）
已知函数 f x ax lnx b（ a, b 为实数）的图象在点 1, f 1 处的切线方程为 y x 1．
（1）求实数 a, b 的值及函数 f x 的单调区间；
二、填空题：
13. 3 ； 14. ； 3
15. 16 3
（2，17 ]
； 16.
4；
三．解答题
17．解：（1）由 由
得，
，-----1 分
得，
……3 分
……4 分，所以
，
（2）设角 、 、 所对边的长分别为 、 、
由
和正弦定理得，
……7 分
……6 分
由
得
……8 分
解
得
（负值舍去）……10 分
由余弦定理得，
D． 0,1
2．若复数 z 满足 1 i z 1 2i ，则 z ( )
A． 2 2
B． 3 2
C． 10 2
D． 1 2
3． a 是直线 ax y a 和 x (a ) y a 平行的( )
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
4．记 Sn 为等差数列 an 的前 项和，若 S5 2S4 ， a2 a4 8 ，则 a5 （ ）
A． y 2sin(3x 1 ) 6
C． y 2sin(3x 1 ) 12
B． y 2sin(3x 1 ) 6
D． y 2sin(12x 1 ) 6
10．若函数 f (x) a x3 x2 2x 没有极小值点，则 a 取值范围是( ) 3
A、
0,
1 2
B、
1 2
,
…………………3 分
解法 2：设动圆圆心 C x, y ，依题意： x 12 y2 x 1 . … ……………2 分
化简得： y2 4x ，即为动圆圆心 C 的轨迹 E 的方程． …………………3 分
（2）解：假设存在点 N x0, 0 满足题设条件．
由 QNM PNM 可知，直线 PN 与 QN 的斜率互为相反数，即 kPN kQN 0
1 4
y2
y12
x0
y1
y2
0
,
……………………………………9 分
1 4
y1 y2
y1
y2
x0
y1
y2
0
,
………………………………………………10 分
y1
y2
0,
x0
1 4
y1 y2
2
,
………………………………………………11 分
存在点 N 2,0 使得 QNM PNM ． ………………………………………12 分
2
2 1,
-------7 分
S BCE
1 BE BC 2
1 2
2
3
6. 2
-------8 分
又VEBCD VDBCE ，设点 D 到平面 BEC 的距离为 h. ------9 分
则
1 3
S
BCD
DE
1ຫໍສະໝຸດ Baidu3
S BCE
h ，所以 h
SBCD DE S BCE
1 6 2
6 3
--------11 分
19 ．（ 12 分 ） 如 图 1 ， 在 直 角 梯 形 ABCD 中 ， AB// CD ， AB AD ， 且 AB AD 1 CD 1．现以 AD为一边向梯形外作正方形 ADEF ，然后沿边 AD将正 2 方形 ADEF 翻折，使平面 ADEF 与平面 ABCD垂直，如图 2．
E
E
x
x
x 0 ， g x
1 x
1 x2
x 1 x2
x
0
当 0 x 1时， y g x 单调递减，当 x 1时， y g x 单调递增，