1_晶体结构
1-1 第一章 晶体的结构(布拉伐格子、原胞)
26
思
例：Honeycomb structure（蜂巢结构） （蜂巢结构）
f a b
e d c
考 ： 布 拉 伐 格 子 ? ? ? ? 判断根据： 判断根据：能否用 基矢表示所有的点 并且只有这些点？ 并且只有这些点27 ？
思
一些重要的例子： 一些重要的例子：
j
a1 a2 a3
k
i
32
简单六角（hc）
a
a1 = aˆ i
a3
c
a2 a1
a ˆ a 2 = (i + 3ˆ) j 2 ˆ a 3 = ck
j
k i
33
结晶学原胞） 晶胞（结晶学原胞）
• 结晶学上常用的重复单元 • 反映点阵对称性 • 原胞体积的整数倍
34
简单立方： 简单立方：Simple cubic (sc)
29
体心立方： 体心立方：Body-centred cubic（bcc） （ ）
a ˆ ˆ ˆ a1 = (−i + j + k ) 2 a ˆ ˆ ˆ a 2 = (i − j + k ) 2 a ˆ ˆ ˆ a3 = (i + j − k ) 2 j
i 是否Bravais格子？ 格子？ 是否 格子
给出的所有端点的集合组成布拉伐格子， 给出的所有端点的集合组成布拉伐格子，这里 布拉伐格子
a1, a2, a3: 基矢（可以有多种选择，一般选择最短） 可以有多种选择，一般选择最短） l1, l2, l3: 整数
15
二维布拉伐格子 二维布拉伐格子 布拉伐
M P
a2
Q
a1
16
易混淆：简单格子、 易混淆：简单格子、复式格子
晶体结构1(高一奥赛)
体心晶胞举例
Na a = 429.06 pm
体心晶胞 Z = 2 体心晶胞的素晶胞 Z = 1
面心晶胞
面心晶胞中任何一个原子的原子坐标x,y,z上 上 面心晶胞中任何一个原子的原子坐标 分别加1/2,1/2,0;1/2,0,1/2和0,1/2,1/2得到总 分别加 和 得到总 个原子是完全相同的( 共4个原子是完全相同的(化学上相同,几何 个原子是完全相同的 化学上相同, 上相同) 上相同) 面心晶胞含4个结构基元 个结构基元. 面心晶胞含 个结构基元.
晶体的粒子呈周期性排列
非晶体的粒子不呈周期性排列
玻璃结构示意图
B M Si
O
熔融态析晶 凝华
水溶液析晶
硫(单斜硫) 单斜硫) S8
碘 I2
CuSO4 5H2O
玛瑙
水晶
晶 胞
晶胞是晶体微观结构的基本单元. 晶胞是晶体微观结构的基本单元.
§1
点阵与晶胞
主要内容包括: 主要内容包括: 1. 点阵概述 2. 晶胞及晶胞的两个基本要素 3. 晶体的特性与晶体的缺陷 4. 七个晶系和十四种布拉维格子 七个晶系和十四种布拉维 布拉维格子
晶体结构
2010-5
化学竞赛 (初赛)中的 初赛) 初赛 晶体学基础知识
1 2 3 4 5 6 7 晶体与非晶体 晶胞 布拉维系 原子坐标 素晶胞与复晶胞(体心,面心,底心) 素晶胞与复晶胞(体心,面心,底心) 堆积模型 堆积-填隙模型 堆积 填隙模型
晶体概述
固态物质按其组成粒子(分子,原子或离子等) 固态物质按其组成粒子 分子,原子或离子等 分子 在空间排列是否长程有序 分成 晶体和 无定形体两 在空间排列是否 长程有序分成 晶体 和 无定形体 两 长程有序 分成晶体 所谓长程有序是指组成固态物质的粒子在空 类 . 所谓长程有序是指 组成固态物质的粒子在空 间按一定方式周期性的重复排列. 自然界有许许 间按一定方式周期性的重复排列 . 多多的晶体, 多多的晶体 如食盐, 冰糖, 明矾, 如食盐 , 冰糖 , 明矾 , 蓝色的硫酸 洁白的小雪花, 灿烂夺目的金刚石……都是 铜 , 洁白的小雪花 , 灿烂夺目的金刚石 都是 晶体; 许多合成药物, 晶体 许多合成药物 , 合成材料等也都以晶体存 因此研究晶体结构十分重要. 在, 因此研究晶体结构十分重要.
14种晶体结构
14种晶体结构晶体是由原子、分子或福隔离子按照一定的空间规则排列而成的有序固体。
晶体结构是指晶体中原子、离子或分子排列的规则和顺序。
在固体物质中，晶体结构的种类有很多种，其中比较常见的有以下14种：1. 立方晶体结构：最简单的晶体结构之一，具有三个等长的边和六个等角，包括简单立方、体心立方和面心立方三种类型。
2. 六方晶体结构：其晶胞的基本结构是六方密堆，其中最典型的就是六方晶体和螺旋晶体。
3. 正交晶体结构：晶胞具有三个不相互垂直的晶轴，分别被称为a、b 和c 轴，是最常见的晶体结构之一。
4. 单斜晶体结构：晶胞具有两个不相互垂直的晶轴，是晶体结构中的一种。
5. 三方晶体结构：具有三个相等的轴，夹角为60度，最常见的晶体结构之一是石英。
6. 菱晶体结构：晶胞内部有四面体结构，是一种简单的晶体结构。
7. 钙钛矿晶体结构：一种具有钙钛矿结构的晶体，包括钙钛矿结构和螺旋钙钛矿结构。
8. 蜗牛晶体结构：晶胞的形状像一只蜗牛的壳，是晶体结构中的一种。
9. 立方密排晶体结构：晶胞的结构是立方密排，是晶体结构中的一种。
10. 体心立方晶体结构：晶体结构的晶胞中有一个原子位于晶体的中心，是晶体结构中的一种。
11. 面心立方晶体结构：晶体结构的晶胞的各个面的中心有一个原子，是晶体结构中的一种。
12. 钻石晶体结构：晶体结构的晶胞构成了一种钻石结构，是晶体结构中的一种。
13. 银晶体结构：晶体结构的晶胞构成了一种银结构，是晶体结构中的一种。
14. 锶钛矿晶体结构：晶体结构的晶胞构成了一种锶钛矿结构，是晶体结构中的一种。
晶体结构的种类繁多，每种晶体结构都有其独特的结构特点和性质，对晶体的物理和化学性质有着重要的影响。
研究晶体结构不仅可以帮助我们更好地了解晶体的构成和性质，还有助于我们在材料科学、物理化学等领域的应用和研究。
因此，对晶体结构的研究具有重要的科学意义和应用价值。
第一章 晶体结构-1
[001]
c
同一晶向族中不同晶向的指
数，数字组成相同。
已知一个晶向指数后，对 u、 v、w进行排列组合，就可 得出此晶向族所有晶向的指 数。
[010] [100]
b
a
如〈111〉晶向族的8个晶向指数代表8个不同的晶向； 〈110〉晶向族的12个晶向指数代表12个不同的晶向。
晶体中取出一个单元，表示晶体结构的特征。取出的最 小晶格单元称为晶胞。晶胞是从晶体结构中取出来的反 映晶体周期性和对称性的重复单元。
晶胞—晶胞是从晶体结构中取出来的反映晶 体周期性和对称性的最小重复单元。
（3）晶胞与晶胞参数
图1-1
空间点阵及晶胞的不同取法
晶胞的选取规则：
1）充分表示晶体对称性；
例题：晶面指数的标注
C G E D
H
O B
A
F
• 面间距 • 晶面指数代表一组平行晶面 • 两相邻晶面间距d(hkl)或d • 直角坐标系下：
d( hkl ) 1 h2 k 2 l 2 2 2 2 a b c
c
C1
(100)
o
A
C B
B1
b
立方、四方、正交
A1
4. 晶面间距与晶面指数的关系
平行六面体选取原则
三斜
单斜
单斜底心
斜方 斜方底心 斜方体心 斜方面心
三方
六方
四方
四方体心
立方
立方体心
立方面心
各晶系晶胞参数
a、立方晶系： a=b=c, α=β=γ=90o
(简单立方、面心立方、体心立方)
b、四方晶系：a=bc，===90o （简单四方、体心四方）
1固体物理-晶体结构1
晶面
{ }表示一组由于对称性而相互等价的晶面； 如对简单立方格子，{100}表示3个相互等价的晶 面，(100), (010), (001).
晶面
晶面
对于简单立方格子，晶向[h1, h2, h3]与晶面(h1, h2, h3)正交.
单胞(unit cell)
晶体学中，习惯用晶系的基矢a, b, c构成的 平行六面体作为周期性重复排列的基本单 元，称为单胞或惯用单胞(conventional unit cell). 原胞只含有一个格点，是体积最小的周期 性重复单元，单胞则不同，可含有一个或 者数个格点，体积是原胞的一倍或数倍。
晶格
晶体结构包括两方面： （1）重复排列的单元，称为基元(basis or motif); （2）基元重复的方式，一般抽象成空间点阵，称为晶体格子 (crystal lattice)，简称晶格； 基元以相同的方式，重复地放置在晶格的格点上（等价性）； 基元中的原子种类，数量、位置依不同晶体而定（结构性）；
本课小结
晶体结构=晶格+基元 布拉维格子、基矢、格矢、格点 原胞，晶体中体积最小的周期性重复单元 维格纳-塞茨(WS)原胞及其构造方法 常见的布拉维格子及其WS原胞 晶向、晶面、米勒指数
晶体结构数据库
(CCDC) http://www.fiz-karlsruhe.de/icsd.html (ICSD) /AMS/amcsd.php (AMCSD) (COD) /pcd/ (PCD) http://www.cryst.ehu.es/
原胞
维格纳-塞茨(Wigner-Seitz)原胞
维格纳-塞茨(WS)原胞 以晶格中某一格点为中心， 作其与近邻格点连线的垂直平分面，这些平面所 围成的以该点为中点的最小体积是属于该点的WS 原胞。
第一章晶体结构
第一章晶体结构1 布喇菲点阵和初基矢量晶体结构的特点在于原子排列的周期性质。
布喇菲点阵是平移操作112233R n a n a n a =++所联系的诸点的列阵。
布喇菲点阵是晶体结构周期性的数学抽象。
点阵矢量112233R n a n a n a =++，其中，1n ，2n 和3n 均为整数，1a ，2a 和3a 是不在同一平面内的三个矢量，叫做布喇菲点阵的初基矢量，简称基矢。
初基矢量所构成的平行六面体是布喇菲点阵的最小重复单元。
布喇菲点阵是一个无限的分立点的列阵，无论从这个列阵中的哪个点去观察，周围点的分布和排列方位都是完全相同的。
对一个给定的布喇菲点阵，初级矢量可以有多种取法。
2 初基晶胞(原胞)初基晶胞是布喇菲点阵的最小重复单元。
初基晶胞必定正好包含布喇菲点阵的一个阵点。
对于一个给定的布喇菲点阵，初基晶胞的选取方式可以不只一种，但不论初基晶胞的形状如何，初基晶胞的体积是唯一的，()123c V a a a =⋅⨯。
3 惯用晶胞(单饱)惯用晶胞是为了反映点阵的对称性而选用的晶胞。
惯用晶胞可以是初基的或非初基的。
惯用晶胞的体积是初基晶胞体积的整数倍，c V nV =。
其中，n 是惯用晶胞所包含的阵点数。
确定惯用晶胞几何尺寸的数字叫做点阵常数。
4 维格纳—赛兹晶胞(W-S 晶胞)维格纳—赛兹晶胞是另一种能够反映晶体宏观对称性的晶胞，它是某一阵点与相邻阵点连线的中垂面(或中垂线)所围成的最小体积。
维格纳—赛兹晶胞是初基晶胞。
5 晶体结构当我们强调一个实际的晶体与布喇菲点阵的抽象几何图案的区别时，我们用“晶体结构”这个名词[1]。
理想的晶体结构是由相同的物理单元放置在布喇菲点阵的阵点上构成的。
这些物理单元称为基元，它可以是原子、分子或分子团(有时也可以指一组抽象的几何点)。
将基元平移布喇菲点阵的所有点阵矢量，就得到晶体结构，或等价地表示为基元十点阵＝晶体结构[2]当选用非初基的惯用晶胞时,一个布喇菲点阵可以用带有基元的点阵去描写。
第一章 晶体结构(Crystal Structure)
§1.3 晶格的周期性
一、布拉菲（Bravais）格子
布喇菲(A. Bravais)，法国学者，1850年提出。 定义: 各晶体是由一些基元（或格点）按一定规则, 周期重 复排列而成。任一格点的位矢均可以写成形式 R n a n a n a n 1 n 2 n 3 、 、 a1 a2 。其中， 、 、 取整数， n 1 1 2 2 3 3 a Rn 为基矢， 为布拉菲格子的格矢，或称 正格矢。 3 能用上式表示的空间点阵称为布拉菲点阵，相应的 空间格子称为布拉菲格子．
§1.2 空间点阵
空间点阵定义： 晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的 点子在空间有规则地作周期性的无限分布，这 些点子的总体称为点阵。 X射线衍射技术从实验上证明。
1、格点与基元 如果晶体是由完全相同的一种原子所组成 的，则格点代表原子或原子周围相应点的位置, 如铜的晶体结构。 点阵（lattice） 在空间任何方向 上均为周期排列的无 限个全同点的集合。
基元（ basis）
构成晶体的基本结构单元。 基元是化学组成、空间结构、排列取向、周 围环境相同的原子、分子、离子或离子团的集 合。 可以是一个原子(如铜、金、银等)，可以是 两个或两个以上原子(如金刚石、氯化钠、磷化 镓等)，有些无机物晶体的一个基元可有多达 100个以上的原子，如金属间化合物NaCd2的基 元包含1000 多个原子，而蛋白质晶体的一个基 元包含多达10000 个以上的原子。
复式晶格：
如果晶体的基元中包含两种或两种以上的原 子。显然,每一种等价原子各构成与晶体基元代表 点的空间格子相同的网格 , 称为晶体的 子晶格 . 每 一种等价原子的子晶格具有相同的几何结构，整 个晶格可视为，子晶格相互位移套构而成。该晶 体晶格称为复式晶格． 例如：氯化钠晶体
第一章晶体结构
第一章晶体结构1-1. 试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。
解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。
非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。
准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。
另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。
1-2. 晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？解：晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。
当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。
晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为：晶格点阵＋基元＝晶体结构1-3. 晶体结构可分为Bravais格子和复式格子吗？解：晶体结构可以分为Bravais格子和复式格子，当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais格子；当基元包含2个或2个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。
心四方解：（a）“面心＋体心”立方不是布喇菲格子。
从“面心＋体心”立方体的任一顶角上的格点看，与它最邻近的有12个格点；从面心任一点看来，与它最邻近的也是12个格点；但是从体心那点来看，与它最邻近的有6个格点，所以顶角、面心的格点与体心的格点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。
（b）“边心”立方不是布喇菲格子。
从“边心”立方体竖直边心任一点来看，与它最邻近的点子有8个；从“边心”立方体水平边心任一点来看，与它最邻近的点子也有8个。
虽然两者最邻近的点数相同，距离相等，但他们各自具有不同的排列。
固体物理：1-晶体结构-1
1 4
a1
1 4
a2
1 4
a3
晶列、晶向、晶面、及其指数标记
在布拉伐格子中作一簇平行的直线，这些平行直线 可以将所有的格点包括无遗。
—— 在一个平面里，相邻晶列之间的距离相等 —— 每一簇晶列定义了一个方向 —— 晶向
沿晶向到最短的一个格点的位矢
l1a1 l2a2 l3a3
晶向指数 [l1, l2 , l3 ]
Graphene, 石墨烯（2010 Nobel Prize）
布拉维格子（Bravais lattice）
晶体可以看作是在布拉维点阵（Bravais Lattice）的 每一个格点上放上一组基元（Basis )
原胞(元胞，初基元胞) primitive cell
和一个给定格点的最近邻格点的数量为配位数 z
原子球排列为：AB AB AB ……
Be、Mg、Zn、Cd
各种晶格的堆积比
金刚石晶格结构(diamond)
碳原子构成的一个面心立方原胞内还有四个 原子，分别位于四个空间对角线的 1／4处
NaCl晶体的结构 (sodium chloride)
CsCl晶体的结构(cesium chloride)
CsCl结构 —— 由两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间对角线位移1／2 的 长度套构而成
闪锌矿结构 (zinc blende) ZnS
立方系的硫化锌 —— 具有金刚石类似的结构 化合物半导体 —— 锑化铟、砷化镓、磷化铟
钙钛矿结构 (perovskite）
钙钛矿型的化学式可写为ABO3 —— A代表二价或一价的金属 —— B代表四价或五价的金属 —— BO3称为氧八面体基团, 是钙钛矿型晶体结构的特点
晶体结构1
第一章晶体结构
➢ 点阵：由等同点系所抽象出来的一系列在空间 中周期排列的几何点的集合体
➢格 ➢基
点：空间点阵中周期排列的几何点 元：一个格点所代表的物理实体
晶体是由结构基元（可以是原子、分子或 离子）在空间呈不随时间变化的规则的三 维周期排列而成，这是晶体的本质特征。 为了研究结构基元排列的规律，先撇开结 构基元，从每个结构基元的等同点抽象出 空间点阵，研究空间点阵的阵点排列规律 性。不同种类的结构基元有可能具有相同 的排列方式。因此晶体结构可视为
比较
固体物理学原胞往往不能直观的反映点 阵的宏观对称性，但能完全反映点阵的平 移对称性；
WS原胞既能完全反映点阵的平移对称 性，又能充分反映点阵的宏观对称性，但 是其图形复杂，不好直观想象；
晶胞能直观的反映点阵的宏观对称性， 但有时不能完全反映点阵的平移对称性。
常用的几种晶胞简介
➢简单立方（sc）
晶胞：
av
r ai
v v
基矢
b cv
aj v
ak
体积 V a3
原子个数 2
BCC Lattice
原胞：
av 1
基矢
av
2
a 2 a 2
r (i
r ( i
v j
v j
v k)
v k)
av
3
a 2
r (i
v j
v k)
体积
V
av1
av2
av3
a3 2
原子个 1 数
由一个顶点向三个体心引 基矢。
原胞是体积单元。
一个原胞只有一个基元
➢ Wigner-Seitz原胞（WS原胞）（对称原胞）：与基矢的选 择没有关系，且能反应晶体的宏观对称性。
第一章 晶体结构
19
1.3 对称性和布拉维格子的分类
二 基本对称操作
1 i,Cn,σ (m)
2 n度旋转 ─ 反演轴
绕μ轴旋转
2π后再进行中心反演：
n
1，2，3，,4, i, m 八种独立的对称操作。
宏观上看，晶体是有限的，描述晶体宏观对称性 不包含平移对称操作；但从微观上看，晶体是无 限的，为描述晶体结构的对称性，应加上平移对 称操作。
衍射斑点(峰) ↔ 晶格中的一族晶面 倒格子 ↔ 正格子 点子 ↔ 晶面
斑点分布 ↔ 晶格基矢 → 晶体结构
25
1.4 倒格子/倒易点阵
一 定义
设布拉维格子的基矢为：av1 ,av2 , av3
由
v Rl
=
l1av1
+
l2av2
+
l3av3 决定的格子称为正格子
（direct lattice)，
满足
2vπ Gh
4 两点阵位矢的关系
v Rn
•
v Gh
=
2πm
m为整数
利用
aavvii
• •
v bvj bj
= =
2π 0
i= j i≠ j
( ) Rv n •Gvh = (l1av1 + l2av2 + l3av3 )•
v h1b1
+
v h2b2
+
v h3b3
= l1h1 • 2π + l2h2 • 2π + l3h3 • 2π
按坐标系的性质，晶体可划分为七大晶 系，每一晶系有一种或数种特征性的布拉 维原胞，共有14种布拉维原胞：
三斜(简单三斜) 单斜(简单、底心) 正交(简单、底心、体心、面心) 四方(简单、体心) 三角 六角 立方(简单、体心、面心)
固体物理基础第1章-晶体结构
ˆ a3 ck
*
*
一个原胞中包含A层
和B层原子各一个 共两个原子
六角密排晶格的原胞和单胞一样
第一讲回顾
什么是固体？ 研究固体的思路？复杂到简单
为什么从研究晶体开始？ 原胞的选取唯一吗？
1-3 晶格的周期性
1.3.3 复式晶格
• 简单晶格：原胞中仅包含1个原子，所有原子的几何位置和化 学性质完全等价 • 复式晶格：包含两种或更多种等价的原子(或离子) * 两种不同原子或离子构成：NaCl, CsCl * 同种原子但几何位置不等价：金刚石结构、六方密排结构
管原子是金或银还是铜，不管原子之间间距的大小，那他们是完全相 同的，就是他们的结构完全相同！
数学方法抽象描写：不区分物理、化学成分，每个原子都是不可区分
的，只有原子（数学上仅仅是一个几何点）的相对几何排列有意义。
1-2 晶格
• 理想晶体：实际晶体的数学抽象 以完全相同的基本结构单元（基元）规则地，重复的以完 全相同的方式无限地排列而成 • 格点（结点）：基元位置，代表基元的几何点 • 晶格（点阵）：格点（结点）的总和
1-4 晶向和晶面
1.4.1 晶向
晶向指数
晶向指数
1-4 晶向和晶面
1.4.1 晶向 简单立方晶格的主要晶向
# 立方边OA的晶向
立方边共有6个不同的晶向<100>
# 面对角线OB的晶向
面对角线共有12个不同的晶向<110>
# 体对角线OC晶向
体对角线共有？个不同的晶向<111>
1-4 晶向和晶面
1-3 晶格的周期性
Wigner-Seitz 原胞
以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面，这些 中垂面所包含最小体积的区域为维格纳-赛兹原胞
第二章 晶体结构ppt课件
1-1 晶向指数 [u v w]
建立步骤： ①建立坐标系。以某一阵点为坐标原点，三个棱边为 坐 标轴，并以点阵常数(a、b、c)作为各个坐标轴的单位长度； ②作 OP // AB ； ③确定P点的三个坐标值（找垂直投影）； ④将坐标值化为互质的最小整数，并放入到[ ] 中，则 [uvw]即为所求；
1.晶体结构与空间点阵（续）
1-4 晶胞 ①定义：在空间点阵中，能够代表晶格中原子排列特征的最小单元体。 晶胞通常是平行六面体，将晶胞作三维的重复堆砌就构成了空间点 阵。 ②晶胞的选取原则：
几何形状与晶体具有同样的对称性； 平行六面体内相等的棱与角的数目最多； 当平行六面体棱间有直角时，直角数目最多； 在满足上述条件下，晶胞的体积应最小。
o o a a a c , 9 0 , 1 2 0 1 2 3
菱方：简单菱方 o a b c , 9 0
单斜：简单单斜 底心单斜
a b c ,
9 0
o
三斜：简单三斜
a b c ,
9 0
第二章 晶体结构
第一节 晶体的特征
各项异性 晶体由于具有按照一定几何规律排列的内 部结构，空间不同方向上原子排列的特征不同， 如原子间距及周围环境，因而在一般情况下， 单晶体的许多宏观物理量（如弹性模量、电阻 率、热膨胀悉数、折射率、强度及外表面化学 性质等）的大小是随测试方向的不同而改变的， 这个性质称为各项异性。晶体断裂的解理性就 是晶体具有各项异性的最明显例子。
晶体具有确定的熔点
熔点是晶体物质的结晶状态与非结晶状态互相转 变的临界温度，晶体熔化时发生体积变化。 晶体有一些其他共同特征：晶体中存在不完整性， 晶体内原子排列并不是理想的有序排列，而是有 缺陷的；晶体的原子周期排列促成晶体有一些共 同的性质，如均匀性、自限性和对称性等。
《固体物理学》思考题解答参考01第一章_晶体的结构
易在晶体生长过程中显露在外表面，所以面指数简单的晶面往往暴露在外表面。
1.2 任何晶面族中最靠近原点的那个晶面必定通过一个或多个基矢的末端吗？
解答：
根据《固体物理学》式（1-10a）
( ) ⎧⎪a1 cos a1, n = h1d ( ) ⎪⎨a2 cos a2 , n = h2d ( ) ⎪
⎪⎩a3 cos a3, n = h3d
原子间距的数量级为10−10 m ，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小于10−10 m 。但可见光
的波长为 (4.0 ∼ 7.6) ×10−7 m ，是晶体中原子间距的 1000 倍。因此，在晶体衍射中，不能用可见光。
1.17 在晶体的 X 射线衍射中，为了实现来自相继晶面的辐射发生相长干涉，对于高指数的晶面，应采用 长的还是短的波长？ 解答： 1.18 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比，对于同级衍射，哪一晶面衍射光弱？为什么？ 解答：（参考王矜奉 1.1.14）
如果是立方晶系， cosθ = 1 ，表示平行，即晶列 hkl 垂直于同指数的晶面（hkl）
如果不是立方晶系，例如四方晶系 (α = β = γ = π , a = b ≠ c) 2
cosθ = n ⋅ R = n⋅R
( ) h2 + k 2 + l2
h2 + k2 + l2 × a2 a2 c2
h2a2 + k2a2 + l2c2
1.9 晶面指数为（123）的晶面 ABC 是离原点 O 最近的晶面，OA、OB、和 OC 分别与基矢 a1, a2, a3 重合，
除 O 点外，，OA、OB、和 OC 上是否有格点？若 ABC 的面指数为（234），情况又如何？ 解答：参考 1.2.5
第一章晶体结构
NaCl结构
每个原胞中含两个或多 个原子，且原子不等价
复式晶格
简单晶格
举例 简立方晶格， 体心立方晶格， 面心立方晶格等
特征：每个原胞中只含一 个原子，且所有原子等价
复式晶格
举例 金刚石， 六方密排， 闪锌矿结构等 特征：每个原胞中含两个 或多个原子，且原子不等 价
复式晶格与简单晶格结构有何联系？
• 1.4金刚石结构(Diamond) • 1.5化合物的晶格结构(NaCl,CsCl,C……)
基本概念
晶格(lattice)是指晶体中原子排列的具体形式。
具有不同晶格是指原子规则排列的形式不同；
具有相同晶格是指原子排列形式相同而原子 间距不同。
1.1 简立方晶格
结构特征
原子球占据立方 体的8个顶点； 配位数为6； 立方体边长a定 义为晶格常数。
3、 六角密排与立方密排密堆结构图示
• 第一步：将全同小球 平铺成密排面（A 层）； 第二步：第二层密排 面的球心对准A层的 球隙，即B层； A 第三步：第三层密排 B 面放在B层的球隙上， 可形成两种不同的晶 格，即六角密排和立 方密排结构。 六角密排
•
•
立方密排（面心 立方）(A-B-C)
(-A-B-)
•
S原子 Zn原子
§1-2晶格的周期性(periodicity)
主要内容
• （一）原胞与基矢(primitive cell and unit vitor) • （二）晶胞(crystal unit cell) • （三）简单晶格与复杂晶格(crystal lattice) • （四）布拉伐格子(Bravais lattice)
的对称性高于平行六面体原胞。
（二）晶胞（晶格学单胞 crystal unit cell) 1、定义：晶体学通常选取较大的周期单元来研
1.晶体结构
晶体结构＝空间点阵＋基元
Ci (i)、 CS (m)和 S4( 4 )
四、点群（32种） Schö nflies符号：用主轴＋脚标表示 主轴：Cn、Dn、Sn、T和O Cn：n次旋转轴 Sn : n次旋转－反映轴 Dn：n次旋转轴加上一个与之垂直的二次轴 T： 四面体群 O： 八面体群 脚标：h、v、d h：垂直于n次轴（主轴）的水平面为对称面 v：含n次轴（主轴）在内的竖直对称面 d：垂直于主轴的两个二次轴的平分面为对称面
第一章 晶体结构
§1.1 几种常见的晶体结构
一、晶体的定义
晶 体: 组成固体的原子（或离子）在微观上的
排列具有长程周期性结构 非晶体：组成固体的粒子只有短程序，但无长程
周期性 准 晶: 有长程的取向序，沿取向序的对称轴方向 有准周期性，但无长程周期性
规则网络
无规网络
Al65Co25Cu10合金 准 晶
体心立方的基矢和Wigner－Seitz原胞
面心立方基矢、原胞和Wigner－Seitz原胞
4. 晶格的分类 简单晶格：每个晶格原胞中只含有一个原子， 晶格中所有原子在化学、物理和几何环境 上都是完全等同的。 例：Na、Cu、Al等晶格均为简单晶格
复式晶格：每个晶格原胞中含有两个或两个以上的 原子或离子。 简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种原子组成 的晶格却不一定是简单晶格。 如：金刚石、Mg、Zn 、 C60和NaCl等晶格都是复式晶格
b3 a1 a 2 a 3 va
2 a 2 a 3
倒格矢：G n n1 b1 n2 b 2 n3 b3 ， n1、n2、n3都是整数。 倒格子原胞体积：
1-晶体结构
2（yi - y j )(zi - z ） j bc cos]2
52
例 4 、 （ 2010 年 夏 令 营 ） Li2NH 属 于 立 方 晶 系 ， 晶 胞 参 数 a=5.074Å； N 和 H 的 原 子 坐 标 ： N （ 0.00, 0.00, 0.00 ） ， H （0.11, 0.11, 0.00）；已知H和N的共价半径分别为0.37 Å和 0.74 Å。试通过计算说明Li2NH中N和H的存在状态。
6
晶体的定义
“晶体是由原子或分子在空间按一定规律周期性 地重复排列构成的固体物质。” 注意： （1）一种物质是否是晶体是由其内部结 构决定的，而非由外观判断； （2）周期性是晶体结构最基本的特征。
7
8
9
• 晶体不仅与我们的日常生活密不可分，而 且在许多高科技领域也有着重要的应用。 晶体的外观和性质都是由其内部结构决定 的：
⑴ 两种铜溴配合物晶体中的一维聚合链结构的投 影图 (其中部分原子给出标记)如下。①分别指出 两种结构的结构基元由几个Cu原子和几个Br原子 组成：
图⑴为 图⑵为
个Cu原子， Br原子； 个Cu原子， 个Br原子。
29
30
（2）平面点阵
在二维方向上排列的阵点, 即为平面点阵. 最简单的情况是等径圆球密置层. 每个球抽取为一
晶体结构的基本重复单位是晶胞， 只要将一个晶胞的结构剖析透彻，整个晶体结构也就掌握了。
86
密度计算
• 利用晶胞参数可计算晶胞体积(V)，根据相对分子 质量(M)、晶胞中分子数(Z)和Avogadro常数N，
其中任意两点可得一矢量，将各个点阵按此
矢量平移能使它复原。点阵中每个点都具有
完全相同的周围环境。
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用作润滑剂、笔芯
碳纳米管
1.1 晶体的共性
Be
2O
3
晶体Be
2
O
3
玻璃
晶体自发地形成封闭凸多面体的特性.
描述凸多面体的几个概念
1
a b
c
d
2
（4）晶面角守恒
夹角总是恒定的.
60º00´；
60º13´；
38º13´.
尽可能地靠近，以形成空间密堆积排列的稳定结构。
(1)六角密堆积
每三个相切的球的中心构成一个等边三角形.
Cd、Mg和Ni
空隙.
(3)
(4)
1.3 空间点阵
间作
点的总和称为
世纪中叶提出了
实验
用一点代表一个基元，这些点称之为
(2)布拉维晶格、简单晶格和复式晶格
(2)布拉维晶格、简单晶格和复式晶格
上的周期为边长所形成的
三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格.
(3)原胞(
的矢量称为原胞的基本平移矢量，简称(3)原胞(
(a)
(b)
(c)
(d)
(3)原胞(
石墨晶体结构内，原子排列成二维蜂巢形网络，每
个原子有三个最近邻.
(2) 二维蜂巢形网络是不是一个布
(1) 指出该二维蜂巢形网络的基元.
(3) 作出它的原胞.
A
B
对称性,
点
这种重复结构单元称为,简称
立方晶系
G G G
ak
G
(3)面心立方（
1/2的长度套构而成，为
为
长度套构而成为
(6)金刚石结构（长度套构而成为,
虽相同但
(6)金刚石结构（
胞内部为锌原子.
三斜，单斜,正交, 四方,六方，三方和立方晶系.以三个基矢为轴建立坐标系
称为(1)
特点:
(2)
(3)
(4)
三个基矢为可以表示为
晶向指数 例：
RA = 6a1 + 2a2 + 2a3
晶相指数：[311]
RA = 3a1 − a2 + a3
[3 晶相指数： 11]
注：如遇到负数，将该数的上面加一横线
思考题:
如图在立方体中，D是BC的中点， A 求BE,AD的晶向指数. [011] A
a3
a2
E
E
a3
a2
C D
a1
O C D
a1
另解：
OB = a1
OE = a1 + a2 + a3
B
O
B
BE = a2 + a3
BE = OE − OB = a2 + a3
思考题:
如图在立方体中，D是BC的中点， A 求BE,AD的晶向指数. 1 1: : −1 == [212] a3 2 E A
a3
a2
E
1 AD = a1 + a2 − a3 2
a2
C D
a1
O
另解： C D
a1
B
1 OA = a3 OD = a1 + a2 2
O
B
AD = OD − OA 1 = a1 + a2 − a3 2
晶面
在晶格中，通过任意三个不在同 一直线上的格点作一平面，称为晶面.
特点:
(1)晶面上格点分布具有周期性 (2)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含 所有格点 (3)同一晶面族中相邻晶面间距相等
晶面指数
如何确定晶面方位 ？ 晶面的法线方向（方向余弦） 等效 晶面在三个坐标轴上的截距
c
b a
取基矢为 a1 , a2 , a3 , 设晶面族中某一晶面在三个基 矢上的交点的位矢分别为 ra1 , sa2 , ta3 将系数r, s, t 的倒数约化为互质整数, 即
1 1 1 : : = h : k : l (其中h k l为互质整数) r s t 记 (h k l) 为晶面指数.
立方晶格的几种主要晶面标记
注：如遇到负数，将该数的上面加一横线
思考题:
如基矢 a , b , c 构成正交系,证明晶面族(h k l)的面间距 离为
d = d h1h2 h 3 = 1 ⎛h⎞ ⎛k ⎞ ⎛l ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝a⎠ ⎝b⎠ ⎝c⎠
2 2 2
c
γ
β
α
d
a
方法一
由晶面指数(h k l)的意义可知,距离原点
b
最近的晶面在三个坐标轴上的截距分别为 晶面族之间的距离就是此面到原点的距离d 此晶面法线的方向余弦为
cos α = d ah cos β = d bk
a b c , , h k l
d cl
cos γ =
cos α =
d ah
cos β =
d bk
cos γ =
d cl
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 h2 k 2 l 2 d ( + 2 + 2 ) =1 a b c
2
即
d=
1 ⎛h⎞ ⎛k ⎞ ⎛l ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝a⎠ ⎝b⎠ ⎝c⎠
2 2 2
1.7 晶体的宏观对称性
晶体在外形上具有对称性
石英晶体绕OO´轴每转120度，晶 体自身重合
o
O´
通过对大量晶体进行测角和投影，经过一百多年的努 力，归纳出32种典型的对称类型。
这类使图形保持不变的坐标变换(旋转、反映、中 心反演等)被称为对称操作 对称操作中始终不变的轴线、平面或点被称为对称元素
对称操作的两大类型
(1)平移对称操作 把点阵中各阵点(或晶体)按某一矢量进行平行移 动,这种操作称之为平移对称操作. (2)点对称操作 在操作的过程中点阵(或晶体)中至少有一个点是 保持不动的,这种操作称之为点对称操作.
。