2020年全国高二数学 联合竞赛预赛试题(湖北省)新人教版

2020年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）

1．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足23PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r

，则△ABP 与△ABC 的面积之比为

1:2

．

2．已知数列{}n a 满足：*1212122,1,(N )n n n n n n a a a a a a a a n ++++===++∈，则122011a a a +++=L

4022 ．

3．已知R α∈，如果集合{sin ,cos 2}{cos ,sin 2}αααα=，则所有符合要求的角α构成的集合为{|2,}k k Z ααπ=∈．

4．满足方程28sin()160x x xy ++=（R,[0,2)x y π∈∈）的实数对(,)x y 的个数为 8 ．

5．设z 是模为2的复数，则1

||z z

-的最大值与最小值的和为 4 ．

6．对一切满足||||1x y +≤的实数,x y ，不等式3

|23||1||23|2

x y y y x a -++-+--≤恒成

立，则实数a 的最小值为

232

．

7．设集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =.如果方程20x mx n --=（,m n A ∈）至少有一个根

0x A ∈，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 ．

8．已知关于x 的方程||2

x k -=[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是

01

k <≤．

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1

()2

f x -是偶函

数.

（1）求()f x 的解析式；

（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.

解 （1）因为函数1

()2

y f x =-是偶函数，所以二次函数2()f x x bx c =++的对称轴方程

为

1

2

x =-，故1

b =. ------------------------------------------4分

又因为二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =. 因

此

，

()

f x 的解析式为2()11f x x x =++.

------------------------------------------8分

（2）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P 2(,)m n ，其中m 为正整数，

n 为自然数，则2211m m n ++=，从而224(21)43n m -+=，即[2(21)][2(21)]43n m n m ++-+=.

------------------------------------------12分

注意到43是质数，且2(21)2(21)n m n m ++>-+，2(21)0n m ++>，所以有

2(21)43,2(21)1,n m n m ++=⎧⎨-+=⎩解得10,

11.

m n =⎧⎨

=⎩ 因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.---------------------16分

10．已知数列{}n a 满足2

*1121

,(N )3n n n a a a a n n

+==+∈.证明：对一切*N n ∈，有

（1）11n n a a +<<； （2）11

24n a n

>

-． 解 （1）显然，0n a >，所以212n

n n n a a a a n

+=+>（*n N ∈）.

所以，对一切*

k N ∈，211221k k k k k k a a a a a a k k

++=+<+，所以

21111

k k a a k +-<. --------------------5分

所以，当2n ≥时，

1111

21122111111111111()3[1]3[1()](1)1

n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑

13[11]111

n n n =-+-

=>--， 所以1n a <. 又11

13

a =

<，故对一切*n N ∈，有1n a <.因此，对一切*n N ∈，有11n n a a +<<. -------------10分

（2）显然11111

3424

a =>=-.由1n a <，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以212

1k k k a a k +>+，所以

2

211122221111

k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++，所以21111

1k k a a k +->+，

------------------------------------------15分

所以，当*n N ∈且2n ≥时，

1111

21111

111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 121

3(1)n n n

+=--=

， 所以

1111

2122(21)24n n a n n n

>

=->-++.

------------------------------------------20分

11．已知椭圆C ：22

142

x y +=，过点

P 1)33-而不过点

Q 的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点.

（1）求∠AQB ；

（2）记△QAB 的面积为S ，证明：3S <．

解 （1）如果直线l 的斜率存在，设它的方程为y kx b =+，因为点P 在直线l

上，所以

133k b -=+

，故1

1)3

b =-+. 联立直线l 和椭圆C 的方程，消去y ，得222(21)4240k x kbx b +++-=.

设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则122421

kb x x k +=-+，21222421b x x k -=+，