2020年全国高二数学 联合竞赛预赛试题(湖北省)新人教版
2020年湖北省新高考联考协作体高二上学期起点考试-数学试卷及答案
2020年湖北新高考联考协作体高二上学期起点考试高二数学试卷考试时间：2020年9月8日上午试卷满分：150分本试卷共22题，满分150分. 考试用时120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线x+√3y−1=0的倾斜角为A. π6B. π3C. 2π3D. 5π62. 关于x的一元二次不等式5x+6<x2的解集为A. {x|x<−1 或 x>6}B. {x|−1<x<6}C. {x|x<−2或 x>3}D. {x|−2<x<3}3. 在等比数列{a n}中， a1=1，公比|q|≠1. 若a16=a1a2a3⋯a k，则k=A. 4B. 5C. 6D. 74. 设m，n是条不同的直线， α， β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是A. 若m∥α， n∥α，则m∥nB. 若α∥β， m⊂α， n⊂β，则m∥nC. 若m⊥α， m⊥n，则n∥αD. 若m⊥α， m∥n， n∥β，则α⊥β5. x∈(0，π2)时，函数f(x)=sin x3+14sin x的最小值为A. 712B. √36C. √33D. √326. 若α ，β都是锐角，且sinα=2√55， sin(α−β)=√1010，则sinβ=A. 7√210B. √22C. 12D. 1107. 在直角三角形ABC中，AB=4， AC=3，M是斜边BC 的中点，则向量AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影是A. 1B. −1C. 710D. −7108. 已知圆M:x2+y2−4x−4y−1=0，直线l:3x+4y+11=0， P为l上的动点，过点P作圆M的切线PA， PB，切点为A， B，当四边形PAMB面积最小时，直线AB的方程为A. 3x+4y−5=0B. 3x−4y−5=0C. 3x+4y+5=0D. 3x−4y+5=0二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知向量a=(4，3k)， b⃗⃗ =(4k，3)，则A. 若a⊥b⃗，则k=0B. 若a∥b⃗，则 k=1C. 若|a|>|b⃗|，则k<1D. 若|a+b⃗|=|a−b⃗|，则a⊥b⃗10. 已知0<log a2020<log b2020，则下列说法正确的是A. 12020a >12020bB. b2a+a2b>2C. 1a +1b<1 D. 若m>0，则ba<b+ma+m11. 将函数y=sin(ωx)+√3cos(ωx)(ω>0)的图象向右平移π8个长度单位后得到函数f(x)的图象，且f(x)的图象相邻两条对称轴间距离为π2，则下列说法正确的是A. f(x)=2sin(2x+5π24)B. x=5π24是f(x)的一条对称轴C. x∈[0，π4]时f(x)的值域为[√6−√22， 2]D. f(x)在区间[0，π8]上单调递增12. 已知三棱锥P−ABC的所有棱长均为2，E为PA的中点，则下列说法正确的是A. 直线PA 与平面ABC所成角的正弦值为√63B. 过点E且与平面PBC平行的平面被三棱锥所截得的截面面积为√32C. 过点E且与平面PBC垂直的平面与PB，PC分别交于点M，N，当MN∥BC时，则∆EMN的面积为√69D. 三棱锥E−PBC外接球的表面积为17π2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量a， b⃗⃗ 满足|a|=4， | b⃗|=3， a⃗⃗⃗ ⋅b⃗=−6，则a与b⃗的夹角大小为_______.14. 设x， y为正实数，若1x +3y=1，则3x+y的最小值是________.15. 数列{a n}中，a1=3， a m+n=a m+a n，若a k+1+a k+2+⋯+a k+10=345，则k=_______.16. 在∆ABC中，角A， B， C所对的边分别为a， b， c. 已知向量m⃗⃗ =(cos C ，2cos2B2−1 )， n⃗⃗⃗ =(b，c−4a)且m⃗⃗ ⋅n⃗=0. D为AC边上一点，BD=√5且AD= 2CD. 则cos B =_______，∆ABC面积的最大值为________.（注：第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）在① b =√3csinB −bcosC ，② (2sin A −sin B )a +(2sin B −sin A )b =2c sin C 这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知△ABC 的角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，c =√7，而且________．(1)求 C ；(2)求△ABC 周长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．18. （12分）已知 ∆ABC 的顶点 A(4,−5)，AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 4x −y −5=0，AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x −4y −1=0，求：(1) 顶点 C 的坐标； (2) 直线 BC 的方程.19. （12分）如图，已知四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =60°，SA =SD =√7，SB =3，点E 是棱AD 的中点，点F 在SC上，且CF⃗⃗⃗⃗⃗ =λCS ⃗⃗⃗⃗ ，SA//平面BEF ． (1) 求实数 λ 的值； (2) 求三棱锥 F −BCE 的体积．第19题图C20. （12分）若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)设α∈(0,π3)且f(α)=1013，求cos2α的值；(2)若x∈[π12,5π12]且g(x)=2f(x)+tcos(4x−π3),(t>0)的最大值为3，求实数t的值.21. （12分）已知等比数列{a n}的公比q>1，前n项和为S n，且a1+a2=10，S3=42. 数列{b n}满足b n=log2a n.(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式；(2)求数列{2b n b n+1}的前n项的和；(3)记c k为区间(0，√b k ]内整数的个数(k∈N∗)，求数列{c k}的前50项和T50.22.（12分）已知三点A(−2，0)、B(2，0)、C(1，√3)在圆M上. P为直线x=6上的动点，PA 与圆M的另一个交点为E，PB与圆M的另一个交点为F.(1)求圆M的标准方程；(2)若直线PC 与圆M相交所得弦长为2√3，求点P的坐标；(3)证明：直线EF过定点.2020年湖北新高考联考协作体高二上学期起点考试高二数学参考答案及评分细则一、单选题1-8 D A C D C B D A二、多选题9.AD 10.BD 11.BCD 12.AC三、填空题13.2π314. 1215. 616. 14，9√158（第一空2分，第二空3分）四、解答题17.解：(1)选①因为b=√3csinB−bcosC，所以sinB=√3sinCsinB−sinBcosC，因为sinB≠0，所以√3sinC−cosC=1，即sin(C−π6)=12，..………..………2分又因为0<C<π，所以–π6<C−π6<5π6，所以C−π6=π6，∴C=π3；..………..………5分选②，∵△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，(2sinA−sinB)a+(2sinB−sinA)b=2csinC，∴由正弦定理得a(2a−b)+b(2b−a)=2c2，即a2+b2−c2=ab，..………..………2分∴cosC=a2+b2−c22ab =12，由0<C<π，∴C=π3；..………..………5分(2)由(1)知C=π3，∵c=√7，在三角形ABC中，由余弦定理得a2+b2−2abcosC=7，即a2+b2−ab=3，所以(a+b)2−7=3ab≤3(a+b)24，所以a+b≤2√7，当且仅当a=b时等号成立．所以a+b+c≤3√7，∴△ABC周长的最大值为3√7．..………..………10分18.解：(1) 设C(m,n)，由已知得：{4m−n−5=0n+5m−4=−4，解得{m=2n=3.即：C(2,3). ..………..………5分(2)设B(a,b)，则{a−4b−1=04×a+42−b−52−5=0，解得{a=−3b=−1.∴B(−3,−1). ..………..………10分∴k BC=3+12+3=45.∴直线BC的方程为y+1=45(x+3)，即为4x−5y+7=0. ..………..………12分19. 解：(1) 连接AC，设AC∩BE=G，则平面SAC∩平面EFB=FG，∵SA//平面EFB，∴SA//FG，∵△GEA∽△GBC，∴AGGC =AEBC=12，∴SFFC =AGGC=12⇒SF=13SC，λ=23；..………..………6分(2)∵SA=SD=√7，∴SE⊥AD，SE=√6，又∵AB=AD=2，∠BAD=60°，∴BE=√3. 又SB=3，∴SE2+BE2=SB2，∴SE⊥BE，又AD∩BE=E，∴SE⊥平面ABCD. ..………..………10分所以V F−BCE=23 V S−BCE=13V S−ABCD=13×13×2×2sinπ3×√6=2√23. .…..………12分20. 解：(1)由图得，A=2．34T=π3+5π12，∴T=π,ω=2.又f(π3)=2,2π3+φ=2kπ+π2,即φ=2kπ−π6,k∈Z,又φ∈(−π2，π2)，∴φ=−π6∴f(x)=2sin(2x−π6)．.…..………3分由已知2sin(2α−π6)=1013，sin(2α−π6)=513，因为α∈(0,π3)，所以2α−π6∈(−π6,π2)，所以cos(2α−π6)=1213.…..………5分∴cos2α=cos[(2α−π6)+π6]=cos(2α−π6)cosπ6−sin(2α−π6)sinπ6=12√3−526.…..………7分(2)由(1)知，g(x)=4sin(2x−π6)+t[1−2sin2(2x−π6)]令m=sin(2x−π)∈[0,1],ℎ(m)=−2tm2+4m+t,m∈[0,1],t>0对称轴为m=1t，当1∈(0,1],ℎ(1)=3解得t=1或2,当1>1时，h(1)=3,解得t=1(舍去)综上，实数 t的值为1或2. .…..………12分21.解：(1) 由已知得：{a1(1+q)=10a1(1+q+q2)=42，消a1，得: 5q2−16q−16=0.解得q=4或q=−45（舍）. q=4时a1=2.故{a n}的通项公式为a n=2⋅4n−1=22n−1; .…..………3分b n=2n−1. .…..………4分(2) 2b n b n+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1，.…..………5分则数列{2b n b n+1}的前n项的和为(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)=1−12n+1=2n2n+1.…..………7分(3)由题意：k∈N∗时，1≤k≤2，c k=1; 3≤k≤4，c k=2; 5≤k≤8，c k=3; 9≤k≤12，c k=4; 13≤k≤18，c k=5; 19≤k≤24，c k=6; 25≤k≤32，c k=7; 33≤k≤40，c k=8; 41≤k≤50，c k=9;.…..………10分从而：T 50=2+4+4×3+4×4+6×5+6×6+8×7+8×8+10×9=310. .…..………12分22. 解: (1) 由于 AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(3，√3)， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，√3)，故得 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3+3=0， ∴ 点 C 在以线段 AB 为直径的圆上，即圆 M 的标准方程为：x 2+y 2=4; .…..………3分(2)圆 M 的半径为2，直线 PC 截圆 M 所得弦长为 2√3，则圆心 (0，0) 到直线 PC 的距离为 1.设直线 PC 的方程为：y =k (x −1)+√3，即 kx −y +√3−k =0.∴√3−k|√k 2+1=1，解得：k =√33. .…..………5分则直线 PC 的方程为：y =√33(x −1)+√3，当 x =6 时，得点 P 的坐标为 (6,8√33); .…..………7分(3) ①当直线 EF 斜率不存在时，设其方程为：x =m .取 E(m ，√4−m 2)，F(m ，−√4−m 2)，由直线 AE 与BF 交点的横坐标为6 可得： m =23，即此时直线 EF 的方程为：x =23;②当直线 EF 斜率存在时，设 EF 的方程为：y =kx +m . 由 {y =kx +mx 2+y 2=4 得：(k 2+1)x 2+2kmx +m 2−4=0. 由 ∆=4k 2m 2−4(k 2+1)(m 2−4)>0 得：4k 2>m 2−4. 设 E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，则 x 1+x 2=−2kmk 2+1，x 1x 2=m 2−4k 2+1.且：y 1y 2=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=m 2−4k 2k 2+1.直线 AE 的方程为：y =y 1x 1+2(x +2)， 直线 BF 的方程为：y =y 2x2−2(x −2)，代入点 P 的横坐标 x =6 得：2y 1x1+2=y 2x2−2.由于 x 22+y 22=4，故有：y 2x 2−2=−x 2+2y 2.从而：2y 1x1+2=−x 2+2y 2，即：x 1x 2+2(x 1+x 2)+2y 1y 2+4=0.即：m 2−4k 2+1−4kmk 2+1+2⋅m 2−4k 2k 2+1+4=0，整理得：4k 2+4km −3m 2=0，解得 m =2k or m =−2k 3.当 m =2k 时，直线 EF 为 y =k(x +2)，过点 A(−2，0)，舍； 当 m =−2k3时，直线 EF 为 y =k (x −23)，过定点 (23，0) . 综上：直线 EF 过定点 (23，0). .…..………12分另解：设 P(6,m)，k AE =m 8,k BF =m4，由 {x 2+y 2=4y =m 8(x +2)得 E (128−2m 2m 2+64,32mm 2+64 )， 由{x 2+y 2=4y =m4(x −2)得 F (2m 2−32m 2+16,−16m m 2+16 )， ∴k EF =32m m 2+64 +16mm 2+16 128−2m 2m 2+64−2m 2−32m 2+16=12m 32−m 2，(m 2≠32)，故直线 EF 的方程为：y −32m m 2+64=12m 32−m 2(x −128−2m 2m 2+64)，整理得：y =4m32−m 2(3x −2)， 过定点(23,0).当 m 2=32 时，代入点 E 、F 的横坐标，得 x E =x F =23，直线 EF 的方程为 x =23，过定点 (23,0).综上，直线 EF 过定点 (23,0). …..………12分。
2024年全国高中数学联赛
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛一试试题(A )一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.若实数m >1满足98m log log =2024，则32m log log 的值为.2.设无穷等比数列{a n }的公比q 满足0<q <1.若{a n }的各项和等于{a n }各项的平方和，则a 2的取值范围是.3.设实数a ，b 满足：集合A ={x ∈R |x 2-10x +a ≤0}与B ={x ∈R |bx ≤b 3}的交集为4,9 ，则a +b 的值为.4.在三棱锥P -ABC 中，若PA ⏊底面ABC ，且棱AB ，BP ，BC ，CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为.5.一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a ,b ．若事件a +b =7发生的概率为17，则事件“a =b ”发生的概率为.6.设f (x )是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数g (x )=f (2x )在区间0,5 上的零点个数为25，则g (x )在区间［1,4）上的零点个数为.7.设F 1,F 2为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P （异于长轴端点），记O 为△PF 1F 2的外心，若PO ∙F 1F 2 =2PF 1 ∙PF 2 ，则Ω的离心率的最小值为.8.若三个正整数a ,b ,c 的位数之和为8，且组成a ，b ，c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(a ,b ,c )为“幸运数组”，例如（9,8,202400）是一个幸运数组.满足10<a <b <c 的幸运数组（a ，b ，c ）的个数为.二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.（本题满分16分）在ΔABC 中，已知cos C =sinA +cosA 2=B sin +cosB 2,求cos C 的值.10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线Γ：x 2-y 2=1的右顶点为A .将圆心在y 轴上，且与Γ的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA的所有可能的值.11.（本题满分20分）设复数z ，w 满足z +w =2，求S =z 2-2w +w 2-2z 的最小可能值.2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛加试试题(A卷)一．(本题满分40分)给定正整数r,求最大的实数C,使得存在一个公比为r的实数等比数列a nn≥1,满足a n≥C对所有正整数n成立.(x 表示实数x到与它最近整数的距离.)二．(本题满分40分)如图，在凸四边形ABCD中，AC平分∠BAD,点E,F分别在边BC,CD上，满足EF||BD,分别延长FA,EA至点P,Q,使得过点A,B,P的圆ω1及过点A,D,Q的圆w2均与直线AC相切.证明：B,P,Q,D四点共圆.(答题时储将图画在答卷纸上)三．(本题满分50分)给定正整数n.在一个3×n的方格表上，由一些方格构成的集合S称为“连通的”,如果对S 中任意两个不同的小方格A,B,存在整数l≥2及S中l个方格A=C1,C2,…,C l=B,满足C i与C i+1有公共边(i=1, 2,⋯,l-1).求具有下述性质的最大整数K:若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S,使得S中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K.四.(本题满分50分)设A,B为正整数，S是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1)对任意非负整数k,有A K∈S;(2)若正整数n∈S,则n的每个正约数均属于S;(3)若m,n∈S,且m,n互素，则mn∈S;(4)若n∈S,则An+B∈S.证明：与B互素的所有正整数均属于S.。
2020年湖北省新高考联考协作体高二上学期起点考试高二数学答案
2020年湖北新高考联考协作体高二上学期起点考试高二数学参考答案及评分细则一、单选题1-8 D A C D C B D A二、多选题9.AD 10.BD 11.BCD 12.AC三、填空题13.2π314. 1215. 616. 14，9√158（第一空2分，第二空3分）四、解答题17.解：(1)选①因为b=√3csinB−bcosC，所以sinB=√3sinCsinB−sinBcosC，因为sinB≠0，所以√3sinC−cosC=1，即sin(C−π6)=12，..………..………2分又因为0<C<π，所以–π6<C−π6<5π6，所以C−π6=π6，∴C=π3；..………..………5分选②，∵△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，(2sinA−sinB)a+(2sinB−sinA)b=2csinC，∴由正弦定理得a(2a−b)+b(2b−a)=2c2，即a2+b2−c2=ab，..………..………2分∴cosC=a2+b2−c22ab =12，由0<C<π，∴C=π3；..………..………5分(2)由(1)知C=π3，∵c=√7，在三角形ABC中，由余弦定理得a2+b2−2abcosC=7，即a2+b2−ab=3，所以(a+b)2−7=3ab≤3(a+b)24，所以a+b≤2√7，当且仅当a=b时等号成立．所以a+b+c≤3√7，∴△ABC周长的最大值为3√7．..………..………10分18.解：(1) 设C(m,n)，由已知得：{4m−n−5=0n+5m−4=−4，解得{m=2n=3.即：C(2,3). ..………..………5分(2)设B(a,b)，则{a−4b−1=04×a+42−b−52−5=0，解得{a=−3b=−1.∴B(−3,−1). ..………..………10分∴k BC=3+12+3=45.∴直线BC的方程为y+1=45(x+3)，即为4x−5y+7=0. ..………..………12分19. 解：(1) 连接AC，设AC∩BE=G，则平面SAC∩平面EFB=FG，∵SA//平面EFB，∴SA//FG，∵△GEA∽△GBC，∴AGGC =AEBC=12，∴SFFC =AGGC=12⇒SF=13SC，λ=23；..………..………6分(2)∵SA=SD=√7，∴SE⊥AD，SE=√6，又∵AB=AD=2，∠BAD=60°，∴BE=√3. 又SB=3，∴SE2+BE2=SB2，∴SE⊥BE，又AD∩BE=E，∴SE⊥平面ABCD. ..………..………10分所以V F−BCE=23 V S−BCE=13V S−ABCD=13×13×2×2sinπ3×√6=2√23. .…..………12分20. 解：(1)由图得，A=2．34T=π3+5π12，∴T=π,ω=2.又f(π3)=2,2π3+φ=2kπ+π2,即φ=2kπ−π6,k∈Z,又φ∈(−π2，π2)，∴φ=−π6∴f(x)=2sin(2x−π6)．.…..………3分由已知2sin(2α−π6)=1013，sin(2α−π6)=513，因为α∈(0,π3)，所以2α−π6∈(−π6,π2)，所以cos(2α−π6)=1213.…..………5分∴cos2α=cos[(2α−π6)+π6]=cos(2α−π6)cosπ6−sin(2α−π6)sinπ6=12√3−526.…..………7分(2)由(1)知，g(x)=4sin(2x−π6)+t[1−2sin2(2x−π6)]令m=sin(2x−π6)∈[0,1],ℎ(m)=−2tm2+4m+t,m∈[0,1],t>0对称轴为m=1t，当1t∈(0,1],ℎ(1t)=3解得t=1或2,当1t>1时，h(1)=3,解得t=1(舍去)综上，实数 t的值为1或2. .…..………12分21.解：(1) 由已知得：{a1(1+q)=10a1(1+q+q2)=42，消a1，得: 5q2−16q−16=0.解得q=4或q=−45（舍）. q=4时a1=2.故{a n}的通项公式为a n=2⋅4n−1=22n−1; .…..………3分b n=2n−1. .…..………4分(2) 2b n b n+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1，.…..………5分则数列{2b n b n+1}的前n项的和为(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)=1−12n+1=2n2n+1.…..………7分(3)由题意：k∈N∗时，1≤k≤2，c k=1; 3≤k≤4，c k=2; 5≤k≤8，c k=3; 9≤k≤12，c k=4; 13≤k≤18，c k=5; 19≤k≤24，c k=6; 25≤k≤32，c k=7; 33≤k≤40，c k=8; 41≤k≤50，c k=9;.…..………10分从而：T50=2+4+4×3+4×4+6×5+6×6+8×7+8×8+10×9=310..…..………12分22. 解: (1) 由于 AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(3，√3)， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，√3)，故得 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3+3=0， ∴ 点 C 在以线段 AB 为直径的圆上，即圆 M 的标准方程为：x 2+y 2=4; .…..………3分(2)圆 M 的半径为2，直线 PC 截圆 M 所得弦长为 2√3，则圆心 (0，0) 到直线 PC 的距离为 1.设直线 PC 的方程为：y =k (x −1)+√3，即 kx −y +√3−k =0.∴√3−k|√k 2+1=1，解得：k =√33. .…..………5分则直线 PC 的方程为：y =√33(x −1)+√3，当 x =6 时，得点 P 的坐标为 (6,8√33); .…..………7分(3) ①当直线 EF 斜率不存在时，设其方程为：x =m .取 E(m ，√4−m 2)，F(m ，−√4−m 2)，由直线 AE 与BF 交点的横坐标为6 可得： m =23，即此时直线 EF 的方程为：x =23;②当直线 EF 斜率存在时，设 EF 的方程为：y =kx +m .由 {y =kx +m x 2+y 2=4 得：(k 2+1)x 2+2kmx +m 2−4=0. 由 ∆=4k 2m 2−4(k 2+1)(m 2−4)>0 得：4k 2>m 2−4. 设 E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，则 x 1+x 2=−2kmk 2+1，x 1x 2=m 2−4k 2+1.且：y 1y 2=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=m 2−4k 2k 2+1.直线 AE 的方程为：y =y 1x 1+2(x +2)， 直线 BF 的方程为：y =y 2x 2−2(x −2)，代入点 P 的横坐标 x =6 得：2y 1x 1+2=y 2x 2−2.由于 x 22+y 22=4，故有：y 2x2−2=−x 2+2y 2.从而：2y 1x 1+2=−x 2+2y 2，即：x 1x 2+2(x 1+x 2)+2y 1y 2+4=0.即：m 2−4k 2+1−4kmk 2+1+2⋅m 2−4k 2k 2+1+4=0，整理得：4k 2+4km −3m 2=0，解得 m =2k or m =−2k 3.当 m =2k 时，直线 EF 为 y =k(x +2)，过点 A(−2，0)，舍；当 m =−2k3时，直线 EF 为 y =k (x −23)，过定点 (23，0) . 综上：直线 EF 过定点 (23，0). .…..………12分另解：设 P(6,m)，k AE =m8,k BF =m4， 由 {x 2+y 2=4y =m8(x +2) 得 E (128−2m 2m 2+64,32mm 2+64 )， 由{x 2+y 2=4y =m4(x −2)得 F (2m 2−32m 2+16,−16m m 2+16 )， ∴k EF =32m m 2+64 +16mm 2+16 128−2m 2m 2+64−2m 2−32m 2+16=12m 32−m 2，(m 2≠32)，故直线 EF 的方程为：y −32m m 2+64=12m32−m 2(x −128−2m 2m 2+64)，整理得：y =4m32−m 2(3x −2)， 过定点(23,0).当 m 2=32 时，代入点 E 、F 的横坐标，得 x E =x F =23，直线 EF 的方程为 x =23，过定点 (23,0).综上，直线 EF 过定点 (23,0). …..………12分。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。
选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是（ ） A ．63- B ．3 C ．63+ D ．62．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ⋅的取值（ ）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个6.记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2020个数是（ ）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．43273707171+++二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7.将关于x 的多项式2019321)(x xx x x x f +-+-+-= 表为关于y 的多项式=)(y g,202019192210y a y a y a y a a +++++ 其中.4-=x y 则=+++2010a a a .8.已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，若)143()12(22+-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是 。
2020年全国高中数学联赛(湖北)赛区预赛试卷(高二)
2020年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。
直接将答案写在横线上。
）1．函数741)(2+++=x x x x f 的值域为________________． 2．已知1sin 2sin 322=+βα，1)cos (sin 2)cos (sin 322=+-+ββαα，则=+)(2cos βα_______________．3．已知数列}{n a 满足：1a 为正整数，⎪⎩⎪⎨⎧+=+,,13,,21为奇数为偶数n n n n n a a a a a 如果29321=++a a a ，则=1a ．4．设集合}12,,3,2,1{ =S ，},,{321a a a A =是S 的子集，且满足321a a a <<，523≤-a a ，那么满足条件的子集A 的个数为 ．5．过原点O 的直线l 与椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 交于N M ,两点，P 是椭圆C 上异于N M ,的任一点．若直线PN PM ,的斜率之积为31-，则椭圆C 的离心率为_______________．6．在△ABC 中，2==BC AB ，3=AC ．设O 是△ABC 的内心，若AC q AB p AO +=，则qp的值为_______________． 7．在长方体1111D C B A ABCD -中，已知p AB C B AC ===11,2,1，则长方体的体积最大时，p 为_______________．8．设][x 表示不超过x 的最大整数，则2012120122[]2k k k +=+=∑ ． 二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9．已知正项数列}{n a 满足21211143n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++++=+且11a =，28a =，求}{n a 的通项公式．10．已知正实数b a ,满足122=+b a ，且333)1(1++=++b a m b a ，求m 的取值范围．11．已知点),(n m E 为抛物线)0(22>=p px y 内一定点，过E 作斜率分别为21,k k 的两条直线交抛物线于D C B A ,,,，且N M ,分别是线段CD AB ,的中点．（1）当0=n 且121-=⋅k k 时，求△EMN 的面积的最小值； （2）若λ=+21k k （λλ,0≠为常数），证明：直线MN 过定点．2020年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
2020年全国高二数学 联合竞赛预赛试题(湖北省)新人教
2020年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。
直接将答案写在横线上。
）1．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足23PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r，则△ABP 与△ABC 的面积之比为1:2．2．已知数列{}n a 满足：*1212122,1,(N )n n n n n n a a a a a a a a n ++++===++∈，则122011a a a +++=L4022 ．3．已知R α∈，如果集合{sin ,cos 2}{cos ,sin 2}αααα=，则所有符合要求的角α构成的集合为{|2,}k k Z ααπ=∈．4．满足方程28sin()160x x xy ++=（R,[0,2)x y π∈∈）的实数对(,)x y 的个数为 8 ．5．设z 是模为2的复数，则1||z z-的最大值与最小值的和为 4 ． 6．对一切满足||||1x y +≤的实数,x y ，不等式3|23||1||23|2x y y y x a -++-+--≤恒成立，则实数a 的最小值为232．7．设集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =.如果方程20x mx n --=（,m n A ∈）至少有一个根0x A ∈，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 ．8．已知关于x 的方程||2x k -=[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是01k <≤．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数. （1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.解 （1）因为函数1()2y f x =-是偶函数，所以二次函数2()f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =.------------------------------------------4分又因为二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =. 因此，()f x 的解析式为2()11f x x x =++.------------------------------------------8分（2）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P 2(,)m n ，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而224(21)43n m -+=，即[2(21)][2(21)]43n m n m ++-+=.------------------------------------------12分注意到43是质数，且2(21)2(21)n m n m ++>-+，2(21)0n m ++>，所以有2(21)43,2(21)1,n m n m ++=⎧⎨-+=⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.---------------------16分10．已知数列{}n a 满足2*1121,(N )3n n n a a a a n n+==+∈.证明：对一切*N n ∈，有（1）11n n a a +<<； （2）1124n a n>-． 解 （1）显然，0n a >，所以212n n n n a a a a n+=+>（*n N ∈）.所以，对一切*k N ∈，211221k k k k k k a a a a a a k k++=+<+，所以21111k k a a k +-<. --------------------5分所以，当2n ≥时，111121122111111111111()3[1]3[1()](1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑ 13[11]111nn n =-+-=>--， 所以1n a <. 又1113a =<，故对一切*n N ∈，有1n a <.因此，对一切*n N ∈，有11n n a a +<<. -------------10分（2）显然111113424a =>=-.由1n a <，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以2121k k k a a k +>+，所以2211122221111k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++，所以211111k k a a k +->+，------------------------------------------15分所以，当*n N ∈且2n ≥时，111121111111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k kk ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 1213(1)n n n+=--=， 所以11112122(21)24n n a n n n>=->-++.------------------------------------------20分11．已知椭圆C ：22142x y +=，过点P 1)33-而不过点Q 的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点. （1）求∠AQB ；（2）记△QAB 的面积为S ，证明：3S <．解 （1）如果直线l 的斜率存在，设它的方程为y kx b =+，因为点P 在直线l 上，所以133k b -=+，故11)3b =-+.联立直线l 和椭圆C 的方程，消去y ，得222(21)4240k x kbx b +++-=.设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则122421kbx x k +=-+，21222421b x x k -=+， 212122242()222121k b by y k x x b b k k +=++=-+=++，222221212121222244()()()()2121b kby y kx b kx b k x x kb x x b k kb b k k -⋅=++=+++=⋅+⋅-+++222421b k k -=+------------------------------------------6分因为11(1)QA x y =-u u u r，22(1)QB x y =-u u u r，所以11221212(1)(1)((1)(1)QA QB x y x y x x y y =--=+--u u u r u u u r g g12121212)2()1x x x x y y y y =+++-++222222224442()2121212121b kb b k b k k k k --=-++-+++++2221[3221)1]21b k b k =++--+222112[1)21)1]2133k k =++-+--+ ＝0，所以QA QB ⊥u u u r u u u r，显然A 、Q 、B 三点互不相同，所以∠AQB ＝90°.如果直线l 的斜率不存在，则A 、B两点的坐标为33±，容易验证∠AQB ＝90°也成立. 因此，∠AQB＝90°.------------------------------------------12分（2）由（1）知∠AQB ＝90°，所以△QAB 是直角三角形.如果直线QA 或QB 的斜率不存在，易求得△QAB的面积为3S =<.如果直线QA 和QB 的斜率都存在，不妨设直线QA的方程为(1y m x =+，代入椭圆C 的方程，消去y，得222(21)41)1)40m x m x +--+--=，则||QA ==. 又QB ⊥QA ，所以，同理可求得221|()1|||||122()1m m QB m m-+==+-+.--------------------------16分于是，△QAB 的面积为11||||22S QA QB ==g224(1)4(1)m m =⋅+=⋅+222221||1142()1m mm m m m -+++=⋅++. 令22212cos ,sin 11m m m m θθ-==++，则21|sin |2412sin 4S θθθ+=⋅+.注意到13sin ||sin()|22θθθϕ+=+≤=，212sin 24θ+≥，且等号不能同时取得，所以32432S<⋅=.------------------------------------------20分。
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2019-2020 年高二数学竞赛试卷含答案一二三合计题号（ 11）（12）（ 13）（14）（ 15）得分评卷员A．B．C．D．2.C.考虑对立事件： a 与 b， c 与 d， e 与 f 为正方体的对面，ab 有种填法， cd 有种填法， ef 有 2 种填法 ,而整体填法共有种填法，所以符合题意的概率为：.3．定义两种运算：，，则函数为（）（A）奇函数（ B）偶函数（C）奇函数且为偶函数（ D）非奇函数且非偶函数3．A．f ( x) 22 x 22 | 2 22 x2 22 x2 ( x [ 2,2]) .(2 x) 2 x | 2 x4．圆周上按顺时针方向标有1， 2， 3， 4， 5 五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若起跳点为奇数，则落点与起跳点相邻；若起跳点为偶数，则落点与起跳相隔一个点．该青蛙从 5 这点开始起跳，经xx 次跳动，最终停在的点为( ▲)A． 4 B． 3 C． 2 D．14． D．二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分．把答案填在题中横线上．5.已知方程 x2+(4+i)x+4+ai=0(aR)有实根 b,且 z=a+bi，则复数z=..由题意知b2+(4+i)b+4+ai=0(a,bR),即 b2+4b+4+(a+b)i=0.由复数相等可得：即z=2-2i.6．在直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为.6．(0,5). 方程 m(x2 +y2+2y+1)=(x-2y+3)2可以变形为 m=,即得 ,∴5 x2( y 1) 2x,y)到定点（ 0,-1)与定直线 x-2y+3=0 之比为常数 e=, m | x 2y 3 |其表示双曲线上一点（5又由 e>1,可得 0<m<5.7．直线 ax+by-1=0(a,b 不全为 0),与圆 x2+y2 =50 有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有条 .7. 72.如图所示，在第一象限内，圆x2+y2=50 上的整点有（ 1， 7）、（5， 5）、（ 7，1），则在各个象限内圆上的整点的个数共有12 个，此 12 个点任意两点相连可得 C=66 条直线，过12 个点的切线也有12 条，又直线ax+by-1=0(a,b 不全为 0）不过坐标原点，故其中有 6 条过原点的直线不合要求，符合条件的直线共有66+12-6=72 条 .17．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（ 2）第 n（ n≥ 2)行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n 行 (n≥ 2)中第 2 个数是 ____▲ ____（用 n 表示） .12 234 3477 45111411 5616252516 6L L L17.8．一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数,那么积 m· n 是.8. 6.解：设六面体与八面体的内切球半径分别为r1与 r2,再设六面体中的正三棱锥A—BCD的高为 h 1,八面体中的正四棱锥M —NPQR 的高为 h 2,如图所示，则 h 1=a,h 2=a.∵V 正六面体 =2· h 1· S △ BCD =6· r 1· S △ ABC ，∴ r 1=h 1=a.又∵ V 正八面体 =2· h 2· S 正方形 NPQR =8· r 2· S △ MNP ，∴ a 3=2r 2a 2,r 2=a,r 16 a2 2于是9是最简分数，即 m=2,n=3,∴ m · n=6.r 2,36 a 369．若的两条中线的长度分别为 6， 7，则面积的最大值为 ..如图， D,E,F 是各边的中点，延长BE 至 G ，使得 BE=BG ，延长 BC 至 H ，使得 DC=CH ，连接 AG,EH,则 CH=EF=AG=DH,且AGAG||DH ，则四边形 EFCH 和 ADHG 是平行四边形 .F E故 CF=EH,AD=EH.故△ EGH 的三边 EH 、 EG 、 EH 分别是△ ABC 的三边的中线AD 、 BE 、 CF ，即、、 .由共边定理知 , S ABC2SBCE2 2 S BEH 4S EGH3 3.BDCH10．已知是定义（ -3,3）在上的偶函数，当 0<x<3 时，的图象如图所示，那么不等式的解集是.10．.由已知在 (0,3)图像我们可以得到在（－3， 3）上的整体图像，加上正弦函数的图像性质由数形结合思想可得到其解集是 .三、解答题：本大题共5 小题，共 90 分．要求写出解答过程．11．（本小题满分 15 分）已知函数，是的导函数．（Ⅰ）求函数 F x f x f ' x f 2x 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）若，求的值 .11．（ Ⅰ ） ∵2 分∴ F xf x f ' xf 2 xcos 2 x sin 2 x 1 2sin xcos x1cos 2x sin 2x 1 2 sin(2 x)6 分4∴当 2x 2k2 x k k Z 时，4 8最小正周期为8 分（Ⅱ ）∵ f x 2 f ' x sin x cos x 2cos x 2sin x∴ cos x 3sin x111 分tan x31 sin2 x 2sin 2 x cos2 x∴sin x cos x cos2 x sin x cos x cos2 x2tan2 x 1 1111915 分1 tan x2 6312．（本小题满分15 分）如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱与正三棱锥组成，其中，．它的正视图、俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为，，．（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使平面．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．解： (1) 设 BA BC BD a, BB1 b.ab 1 a2 2 2 1a 2由条件 2 （分）1 b . 32 1 2a2以点 B为原点，分别以 BC、 BB1、 BA为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系, 则A(0,0, 2), C( 2,0,0), D(0, 2,0), B1(0,2,0), C1 ( 2,2,0), A1(0,2, 2)(5分）Q ACD的重心 G 2 2 2,3,.3 3r uuur 2 a BG=3 uuurCA1 ( 2, 2, ,2,2为平面 ACD 的法向量 .(7 分）3 3r uuur2 2632), 则 cos a, CA16(9分）2 2 63所求角的正弦值为6.(10分）uuur uuuur 6(2)令 AP mAC 1 2m, 2m, 2m（11分）uuur uuur uuur r B1P B1 A AP 2m, 2m 2, 22ma.2m232m 22 无解（ 14分）322m23不存在满足条件的点 P ．（ 15 分）13．（本小题满分 20 分）已知椭圆的中心在坐标原点， 左顶点， 离心率， 为右焦点， 过焦点的直线交椭圆于、 两点（不同于点）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当时，求直线PQ 的方程；（Ⅲ）判断能否成为等边三角形，并说明理由．13．解：（Ⅰ）设椭圆方程为 (a>b>0) ，由已知∴-----------------------------------------2 分 ∴ 椭圆方程为． ------------------------------------------------- 4 分（Ⅱ）解法一 椭圆右焦点．设直线方程为（∈R ）．----------------------------------5 分x my 1,得 3m 24 y 2由 x 2y 2 1,6my 9 0 ．①-----------6 分43显然，方程①的．设，则有 y 1y 2 6m , y 1 y 2 9． ----8 分3m 243m 24PQm 2 1 y 1 y 2 2m 2 136m 223643m 2 43m 2m 2 1 2m 2 1 ．12123m 2 4 23m 2 4∵，∴ ．解得．∴直线 PQ 方程为，即或．---------- 12 分解法二：椭圆右焦点．当直线的斜率不存在时，，不合题意．设直线方程为，-------------------------------------- 5分由得 3 4k 2 x2 8k 2 x 4k 2 12 0 ．①----6 分显然，方程①的．设，则 x1 x28k22, x1 x24k 2 12-------83 4k 3 4k 2．分8k 222 12PQ 1 k 2 x1 2 4x1 x2 1 k 2 4kx23 4k 2 44k 2 3k2 212 k 2=12 1 2 1 ．4k 2 3 4k2 3∵，∴，解得．∴直线的方程为，即或．--------12 分（Ⅲ）不可能是等边三角形．------------------------------------------------13 分如果是等边三角形，必有，∴ x1 2 2 y12 x2 2 2 y22，∴ x1 x2 4 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 ，∴ m y1 y2 6 m y1 y2 y1 y2 y1 y2 0 ，------------------------------16 分∵，∴，∴，∴，或（无解）．而当时， PQ 3, AP AQ 3 52，不能构成等边三角形．∴不可能是等边三角形．------------------------------------------------------------ 20分14．设抛物线的焦点为F，动点P 在直线上运动，过P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于A、B 两点 .（1）求△ APB 的重心 G 的轨迹方程 .（ 2）证明∠ PFA=∠ PFB.14．解：（ 1）设切点 A 、 B 坐标分别为，∴切线 AP 的方程为：切线 BP 的方程为：解得 P 点的坐标为：所以△ APB 的重心 G 的坐标为 ，y 0 y 1 y Px 02 x 12x 0 x 1( x 0 x 1 )2 x 0 x 1 4x P 2 y p,y G3333所以，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：x ( 3 y 4x 2) 2 0,即 y1(4x 2x 2).uuur3uuuruuur（ 2）方法( x 0 , x 0 21 x 0 x 1 , x 0 x 11 21 1：因为 FA 4 ), FP ( ), FB (x 1, x 1 ).2 44 由于 P 点在抛物线外，则uuur uuurx 0 FP FA∴ cos AFP uuur uuur| FP || FA |uuur uuurFP FB 同理有 cos BFP uuur uuur| FP || FB |x 1 x 0 (x 0 x 1 1)( x 02 1) x 0 x 1 12 4 4 uuur 4 , uuur 1) 2 | FP || FP | x 02( x 0 2 x 0 x 1 4 x 1 ( x 0 x 1 1 21 ) x 0 x 1 1 )( x 1 4 , 2 uuur 4 4uuur ( x 12 1 ) 2 | FP | | FP | x 124∴∠ AFP=∠PFB.方法 2：①当 x 1 x 00时,由于 x 1 x 0 ,不妨设 x 0 直线 AF 的距离为： d 1| x 1 |; 而直线 BF 的方程2即 ( x 121)x x 1 y1x 1 0.441) x 1| ( x 12所以 P 点到直线 BF 的距离为： d 24 21 )2(x 124所以 d 1=d 2，即得∠ AFP=∠PFB.0, 则 y 01: y4x1 |4(x 1) 20, 所以 P 点坐标为，则 P 点到21x 1x 121 | x 1 |(x 1)| x 1 | 42 21 2 x 1421②当时，直线 AF 的方程： y1x 04( x 0),即( x 021) x x 0 y 1x 0 0,x 04 0 4421直线 BF 的方程： y1x 14(x0),即(x 121) x x 1 y1x 10,4 x 1 04 4所以 P 点到直 AF 的距离 ：| ( x 021)(x 0 x 1) x 0 2x 11x 0 | |x 0x 1)( x 02 1)| x 0 x 1 |4 2424d 11 )2212( x 02x 02x 044同理可得到 P 点到直 BF 的距离，因此由 d 1=d 2 ，可得到∠ AFP=∠ PFB ．14．（本小 分20 分）x=l 是函数的一个极 点（， 自然 数的底） ．（ 1）求与的关系式（用表示） ，并求的 区 ；（ 2）若在 区 上的最小 0，最大 , 且。
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2020 年全国高中数学联赛试题及详细解析说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。
选择题只设6 分和 0 分两档，填空题只设9 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分， 5 分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36 分，每小题 6 分）本题共有 6 小题，每小题均给出 A ， B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得 6 分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得 0 分。
1．使关于 x 的不等式 x 36 x k 有解的实数 k 的最大值是（）A ． 63B． 3C． 63D ． 62．空间四点 A 、 B 、 C 、 D 满足 | AB | 3, | BC | 7 , | CD | 11 , | DA | 9 , 则 AC BD 的取值（）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个a 1 a 2 a 3a 4| a iT , i 1,2,3,4}, 将 M 中的元素按从大到小的6. 记集合 T { 0,1,2,3,4,5,6}, M {7 27 3747序排列， 第2020 个数是（）A ． 5 5 6 3B ． 55 6 2 7 7273 74 772 73 7 4 C ．11 0 4 D ．11 0 3 7 72737477273 7 4二、填空 （本 分54 分，每小 9 分） 本 共有 6 小 ，要求直接将答案写在横 上。
7. 将关于 x 的多 式 f ( x)1 x x2 x 3x 19x 20 表 关于 y 的多 式 g( y)a 0 a 1 y a 2 y 2 a 19 y 19 a 20 y 20, 其中 y x 4. a 0a 1a20.8. 已知 f (x) 是定 在 ( 0,) 上的减函数， 若 f (2a 2a1) f (3a 24a 1) 成立， a 的取 范是。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(1)
Tn 是 Mn 中元素的个数， Sn 是 Mn 中所有元素的和，则 nl→im∞ Tn=
．
【答案】 1 18
【解析】由于
a1， a2，…， an－1 中的每一个都可以取
0 与 1 两个数， Tn=2n－1．
在每一位 ( 从第一位到第 n－1 位) 小数上，数字 0 与 1 各出现 2n－ 2 次．第 n 位则 1 出现
．
5－ 1
5－ 1
【答案】 ( － 3，－ 2 ) ∪ ( 2 ， 3) ．
【解析】即 | x| 3－ 2| x| 2－ 4| x|+3<0 ，
(| x| － 3)(| x| －
5－1 )(| x|+
5+1 )<0 ．
| x|<
2
2
5+1
5－ 1
－ 2 ，或 2 <| x|<3 ．
5－ 1
5－ 1
【解析】当 3l 、 3m、 3n 的末四位数字相同时，
l
m
n
3 104
=
3 104
=
3 104
．
即求满足 3l 3m≡ 3n( mod 10 4) 的 l 、 m、 n．∴ 3 n(3 l －n－ 1) ≡ 0 (mod 10 4) ． ( l － n>0) 但 (3 n， 104) =1，故必有 3l －n≡ 1(mod 10 4) ；同理 3m－ n≡1(mod 10 4) ．
2
y=－ (cot
u+tan u)+cos
u=－ sin2
u+cosu．在
u∈ [ － ，－ ] 46
时， sin2
u与
cos u 都单调递
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析一、选择题(每小题6分，共36分)1．(2020年全国高中数学联赛)删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2020项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 20492．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是yxO Ox yO xyyx O A.B. C.D.3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于(A ) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 34．若x ∈[－5π12 ，－π3 ]，则y=tan(x +2π3 )－tan(x +π6 )+cos(x +π6 )的最大值是(A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 1253二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是 ．8．设F 1、F 2是椭圆x 29+y 24=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1，则△PF 1F 2的面积等于 ．9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R}若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ．10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a －c=9，则b －d= ．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ．12． 设M n ={(十进制)n 位纯小数0.－a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1，2，…，n －1)，a n =1}，T n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则lim n →∞S nT n= ．五、(本题满分20分)15．一张纸上画有一个半径为R 的圆O 和圆内一个定点A ，且OA=a ，折叠纸片，使圆周上某一点A '刚好与点A 重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A '取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、（本题50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ． 求证：∠DBQ=∠PAC ．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．三、（本题50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n=q 2+q +1，l ≥12q (q +1)2+1，q ≥2，q ∈N ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q +2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形)．2020年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2020项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 【答案】C【解析】452=2025，462=2116．在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的2025－45=1980项．还缺2020－1980=23项．由2025+23=2048．知选C ．3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于(A) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 3【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB 所在直线方程为y=3x ，弦的中点在y=p k =43上，即AB 中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x －43)+43，令y=0，得点P 的坐标为163．∴ PF=163．选A ．4．若x ∈[－5π12 ，－π3]，则y=tan(x +2π3)－tan(x +π6)+cos(x +π6)的最大值是(A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 1253【答案】C【解析】令x +π6=u ，则x +2π3=u +π2，当x ∈[－5π12，－π3]时，u ∈[－π4，－π6]，y=－(cot u +tan u )+cos u=－2sin2u +cos u ．在u ∈[－π4，－π6]时，sin2u 与cos u 都单调递增，从而y 单调递增．于是u=－π6时，y 取得最大值1163，故选C ．二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是 ．【答案】(－3，－5－12)∪(5－12，3)． 【解析】即|x |3－2|x |2－4|x |+3<0，⇒(|x |－3)(|x |－5－12)(|x |+5+12)<0．⇒|x |<－5+12，或5－12<|x |<3． ∴ 解为(－3，－5－12)∪(5－12，3)．9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R}若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ．【答案】－4≤a ≤－1．【解析】A=(1，3)；又，a ≤－21－x∈(－1，－14)，当x ∈(1，3)时，a ≥x 2+52x－7∈(5－7，－4)．∴ －4≤a ≤－1．10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a －c=9，则b －d= ．【答案】93【解析】a 3=b 2，c 5=d 4，设a=x 2，b=x 3；c=y 4，d=y 5，x 2－y 4=9．(x +y 2)(x －y 2)=9．∴ x +y 2=9，x －y 2=1，x=5，y 2=4．b －d=53－25=125－32=93．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ．【答案】2+48【解析】如图，ABCD 是下层四个球的球心，EFGH 是上层的四个球心．每个球心与其相切的球的球心距离=2．EFGH 在平面ABCD 上的射影是一个正方形．是把正方形ABCD 绕其中心旋转45︒而得．设E 的射影为N ，则MN=2－1．EM=3，故EN 2=3－(2－1)2=22．∴ EN=48．所求圆柱的高=2+48．12． 设M n ={(十进制)n 位纯小数0.－a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1，2，…，n －1)，a n =1}，N MHGFEDCBAT n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则lim n →∞S nT n= ．【答案】118【解析】由于a 1，a 2，…，a n －1中的每一个都可以取0与1两个数，T n =2n －1．在每一位(从第一位到第n －1位)小数上，数字0与1各出现2n －2次．第n 位则1出现2n －1次．∴ S n =2n －2⨯0.11…1+2n －2⨯10－n．∴ lim n →∞S n T n =12⨯19=118．四、(本题满分20分)14．设A 、B 、C 分别是复数Z 0=a i ，Z 1=12+b i ，Z 2=1+c i(其中a ，b ，c 都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线Z=Z 0cos 4t +2Z 1cos 2t sin 2t +Z 2sin 4t (t ∈R)与△ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点．【解析】曲线方程为：Z=a icos 4t +(1+2b i)cos 2t sin 2t +(1+c i)sin 4t=(cos 2t sin 2t +sin 4t )+i(a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c s in 4t )∴ x=cos 2t sin 2t +sin 4t=sin 2t (cos 2t +sin 2t )=sin 2t ．(0≤x ≤1) y=a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c sin 4t=a (1－x )2+2b (1－x )x +cx 2即 y=(a －2b +c )x 2+2(b －a )x +a (0≤x ≤1)． ①若a －2b +c=0，则Z 0、Z 1、Z 2三点共线，与已知矛盾，故a －2b +c ≠0．于是此曲线为轴与x 轴垂直的抛物线．AB 中点M ：14+12(a +b )i ，BC 中点N ：34+12(b +c )i ．与AC 平行的中位线经过M (14，12(a +b ))及N (34，12(b +c ))两点，其方程为4(a －c )x +4y －3a －2b +c=0．(14≤x ≤34)． ②令 4(a －2b +c )x 2+8(b －a )x +4a=4(c －a )x +3a +2b －c ．即4(a －2b +c )x 2+4(2b －a －c )x +a －2b +c=0．由a －2b +c 0，得4x 2+4x +1=0， 此方程在[14，34]内有惟一解： x=12．以x=12代入②得， y=14(a +2b +c )．∴ 所求公共点坐标为(12，14(a +2b +c ))．加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、（本题50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ． 求证：∠DBQ=∠PAC ．分析：由∠PBC=∠CDB ，若∠DBQ=∠PAC=∠ADQ ，则∆BDQ ∽∆DAQ ．反之，若∆BDQ ∽∆DAQ ．则本题成立．而要证∆BDQ ∽∆DAQ ，只要证BD AD =DQAQ即可．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．【解析】当3l、3m、3n的末四位数字相同时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104．即求满足3l ≡3m ≡3n ( mod 104)的l 、m 、n ．∴ 3n (3l －n －1)≡0 (mod 104)．(l －n >0)但 (3n ，104)=1，故必有3l －n ≡1(mod 104)；同理3m －n ≡1(mod 104)．下面先求满足3x ≡1(mod 104)的最小正整数x ．∵ ϕ(104)=104⨯12⨯45=4000．故x |4000．用4000的约数试验：∵ x=1，2，时3x ≡∕1(mod 10)，而34≡1(mod 10)，∴ x 必须是4的倍数；∵ x=4，8，12，16时3x ≡∕1(mod 102)，而320≡1(mod 102)，∴ x 必须是20的倍数；∵ x=20，40，60，80时3x ≡∕1(mod 103)，而3100≡1(mod 103)，∴ x 必须是100的倍数；∵ x=100，200，300，400时3x ≡∕1(mod 104)，而3500≡1(mod 104)．即，使3x ≡1(mod 104)成立的最小正整数x=500，从而l －n 、m －n 都是500的倍数， 设l －n=500k ，m －n=500h ，(k ，h ∈N*，k >h )．由m +n >l ，即n +500h +n >n +500k ，⇒n >500(k －h )≥500，故n ≥501．取n=501，m=1001，l=1501，即为满足题意的最小三个值． ∴ 所求周长的最小值=3003．三、（本题50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n=q 2+q +1，l ≥12q (q +1)2+1，q ≥2，q ∈N ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q +2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形)．现设任一点连的线数≤n －2．且设b 0＝q +2≤n －2．且设图中没有四边形．于是当i ≠j 时，B i 与B j 没有公共的点对，即|B i ∩B j |≤1(0≤i ，j ≤n －1)．记B 0－＝V \B 0，则由|B i ∩B 0|≤1，得|B i ∩B 0－|≥b i －1(i ＝1，2，…，n －1)，且当1≤i ，j ≤n －1且i ≠j 时，B i ∩B 0－与B j ∩B 0－无公共点对．从而B 0－中点对个数≥i ＝1n －1∑(B i ∩B 0－中点对个数)．即C 2 n －b 0≥i ＝1n －1∑C 2 |B i ∩B 0－|≥i ＝1n －1∑C 2 b i －1＝12i ＝1n －1∑ (b 2i －3b i +2)≥12[1n －1(i ＝1n －1∑b i )2－3i ＝1n －1∑b i +2(n －1)](由平均不等式)＝12[1n －1(2l －b 0)2－3(2l －b 0)+2(n －1)]＝12(n －1)[(2l －b 0)2－3(n －1)(2l －b 0)+2(n －1)2]＝12(n －1)(2l －b 0－n +1)(2l －b 0－2n +2)(2l ≥q (q +1)2+2＝(n －1)(q +1)+2)≥12(n －1)[(n －1)(q +1)+2－b 0－n +1][(n －1)(q +1)+2－b 0－2n +2]＝12(n －1)[(n －1)q +2－b 0][(n －1)(q －1)+2－b 0]．(两边同乘以2(n －1)即 (n －1)(n －b 0)(n －b 0－1)≥(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)．(n －1≥q (q +1)代入) 得 q (q +1)(n －b 0)(n －b 0－1)≥(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)．(各取一部分因数比较) ①但(nq －q －n +3－b 0)－q (n －b 0－1)＝(q －1)b 0－n +3(b 0≥q +2)≥(q －1)(q +2)－n +3＝q 2+q +1－n ＝0．②(nq －q +2－b 0)－(q +1)(n －b 0)＝qb 0－q －n +2≥q (q +1)－n +2＝1＞0． ③由假设，不存在处在不同行的2个红点对，使此四点两两同列，所以，有(由于去掉了q ＋2列，故还余q 2－1列，不同的列对数为C 2 q 2－1)i ＝1n －1∑C 2 m i ≤C 2 q 2－1． 所以q 2·q (q －1)＋q (q －1)(q －2)≤(q 2－1)(q 2－2)．⇒ q (q －1)(q 2＋q －2)≤(q －1)(q ＋1)(q 2－2)⇒q 3＋q 2－2q ≤q 3＋q 2－2q －2．矛盾．故证．。
2020全国高中数学联赛试题及详细解析含评分标准
为
．
1
答案： 5 ． 解法 1：设 z a bi (a, b R) ，由条件知
Im z 2 Im (a 2) bi
zi
a (b 1)i
(a 2)(b 1) ab a2 (b 1)2
a 2b 2 a2 (b 1)2
0，
故 a 2b 2 ．从而
5 z 3 (12 22 )((a 3)2 b2 ) (a 3) 2b 5
−
) {x}
·
C|nx|
+
{x}
·
Cn|x|+1,
[x]
x
, {x} = x − [x].
m, n 2
( )( )
(
)
1 f m,
2 + f m,
+ · · · + f m, mn − 1
= 123,
n
n
n
( )( )
(
)
1 f n,
2 + f n,
+ · · · + f n, mn − 1
定写有 i, j 的卡片只能放在 i 号或 j 号盒子中．一种放法称为“好的”，如果 1 号
盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数．则“好的”放法共有
种．
答案：120 ．
解：用{i, j}表示写有 i, j 的卡片．易知这10 张卡片恰为{i, j} (1 i j 5) ．
考虑“好的”卡片放法．五个盒子一共放有10 张卡片，故1号盒至少有 3 张
9.（本题满分 16 分） 在 ABC 中，sin A 范围．
2 ．求 cos B 2
2 cosC 的取值
解：记 f cos B 2 cosC ．
20192020年高二数学竞赛试卷含答案
跳到另一点．若起跳点为奇数，则落点与起跳点相邻；若起跳点为偶数，则落点与起跳相隔一
个点．该青蛙从 5 这点开始起跳，经 xx 次跳动，最终停在的点为 （ ▲ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
4．D．
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分，共 36 分．把答案填在题中横线上．
5.已知方程 x2+（4+i）x+4+ai=0(aR)有实根 b,且 z=a+bi，则复数 z=
(Ⅱ)若，求的值.
11．（Ⅰ）∵
2分Leabharlann ∴ F x f x f 'x f 2 x
cos2 x sin2 x 1 2sin x cos x
1 cos 2x sin 2x 1 2 sin(2x ) 4
∴当 2x 2k x k k Z 时，
4
2
8
最小正周期为
(Ⅱ）∵ f x 2 f ' x sin x cos x 2 cos x 2sin x
共有种填法,所以符合题意的概率为:
.
3．定义两种运算：，，则函数为( ）
(A）奇函数
（B）偶函数
（C）奇函数且为偶函数
(D）非奇函数且非偶函数
3．A． f (x) 22 x2 22 x2 22 x2 (x [2, 2]) 。
(2 x)2 2 | 2 x | 2
x
4．圆周上按顺时针方向标有 1,2，3，4，5 五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点
如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱与正三棱锥组成，其中，．它的正视图、俯视图、
从左向右的侧视图的面积分别为，，．
（Ⅰ)求直线与平面所成角的正弦；
（Ⅱ）在线段上是否存在点，使平面．若存在,确定点的位置;若不存在，说明理由．
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析2020年全国高中数学联赛试题及详细解析说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准。
选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。
2.如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1.使关于 x 的不等式 x - 3 + 6 - x ≥ k 有解的实数 k 的最大值是（）。
A。
6 - 3B。
3C。
6 + 3D。
62.空间四点 A、B、C、D 满足 |AB| = 3，|BC| = 7，|CD| = 11，|DA| = 9，则 AC·BD 的取值（）。
A。
只有一个B。
有两个C。
有四个D。
有无穷多个6.记集合 T = {1.2.3.4.5.6}，M = {ai | ai ∈ T。
i = 1.2.3.4.}，将 M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第 2020 个数是（）。
A。
2 + 3 + 4 +。
+ 5563B。
2 + 3 + 4 +。
+ xxxxxxxC。
2 + 3 + 4 +。
+ xxxxxxxx7D。
2 + 3 + 4 +。
+二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7.将关于 x 的多项式 f(x) = 1 - x + x^2 - x^3 +。
- x^2319 + x^20 表为关于 y 的多项式 g(y) = a + a1y + a2y^2 +。
+ a19y^19 + a20y^20，其中 y = x - 4，则 a + a1 +。
2019-2020年高二数学竞赛试卷含答案
2019-2020年高二数学竞赛试卷含答案(共15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2019-2020年高二数学竞赛试卷含答案A ．B ．C ．D ．2. C .考虑对立事件：a 与b ，c 与d ，e 与f 为正方体的对面， ab 有种填法，cd 有种填法，ef 有2种填法,而整体填法 共有种填法，所以符合题意的概率为： .3．定义两种运算：，，则函数为（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数（C ）奇函数且为偶函数 （D ）非奇函数且非偶函数3．A ．()[2,2])f x x ==∈-. 4．圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若起跳点为奇数，则落点与起跳点相邻；若起跳点为偶数，则落点与起跳相隔一个点．该青蛙从5这点开始起跳，经xx 次跳动，最终停在的点为 ( ▲ )A ．4B ．3C ．2D ．1 4．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．5.已知方程x 2+(4+i)x +4+a i=0(a R )有实根b ,且z =a +b i ，则复数z= . .由题意知b 2+(4+i)b +4+a i=0(a ,b R ),即b 2+4b +4+(a +b )i=0.由复数相等可得：即z=2-2i.6．在直角坐标系中，若方程m (x 2+y 2+2y +1)=(x -2y +3)2表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为 .6．(0,5).方程m (x 2+y 2+2y +1)=(x -2y +3)2可以变形为m =,即得,∴5|32|)1(522+-++=y x y x m其表示双曲线上一点（x ,y )到定点（0,-1)与定直线x -2y +3=0之比为常数e =,又由e >1,可得0<m <5.7．直线ax +by -1=0(a ,b 不全为0),与圆x 2+y 2=50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有 条.7. 72.如图所示，在第一象限内，圆x 2+y 2=50上的 整点有（1，7）、（5，5）、（7，1），则在各个象限内圆 上的整点的个数共有12个，此12个点任意两点相连可得C =66条直线，过12个点的切线也有12条，又直线ax +by -1=0(a ,b 不全为0）不过坐标原点，故其中有6条过原点的直线不合要求，符合条件的直线共有66+12-6=72条.17．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n （n ≥2)行首尾两数均为n ，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n 行(n ≥2)中第2个数是____▲____（用n 表示）.122343477451114115616252516617.8．一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a 的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数,那么积m ·n 是 .8. 6.解：设六面体与八面体的内切球半径分别为r 1与r 2,再设六面体中的正三棱锥A —BCD 的高为h 1,八面体中的正四棱锥M —NPQR 的高为h 2,如图所示，则h 1=a ,h 2=a .∵V 正六面体=2·h 1·S △BCD =6·r 1·S △ABC ，∴r 1=h 1=a .又∵V 正八面体=2·h 2·S 正方形NPQR =8·r 2·S △MNP ，∴a 3=2r 2a 2,r 2=a ,于是32,32669621==a ar r 是最简分数，即m =2,n =3,∴m ·n =6.9．若的两条中线的长度分别为6，7，则面积的最大值为 ..如图，D,E,F 是各边的中点，延长BE 至G ，使得BE=BG ，延长BC 至H ，使得DC=CH ，连接AG,EH,则CH=EF=AG=DH,且AG||DH ，则四边形EFCH 和ADHG 是平行四边形.故CF=EH,AD=EH. 故△EGH 的三边EH 、EG 、EH 分别是△ABC 的三边的中线AD 、BE 、CF ，即、、. 由共边定理知, 242233ABC BCE BEH EGH S S S S ∆∆∆∆==⨯=.10．已知是定义（-3,3）在上的偶函数，当0<x<3时，的图象如图所示，那么不等式的解集是 .HGE DF BA C10．.由已知在(0,3)图像我们可以得到在（－3，3）上的整体图像，加上正弦函数的图像性质由数形结合思想可得到其解集是.三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．11．（本小题满分15分） 已知函数，是的导函数．（Ⅰ）求函数()()()()2'F x f x f x f x =+的最大值和最小正周期； （Ⅱ）若，求的值.11．（Ⅰ）∵ 2分 ∴()()()()2'F x f x f x f x =+22cos sin 12sin cos x x x x=-++1cos 2sin 212sin(2)4x x x π=++=++ 6分∴当()22428x k x k k Z πππππ+=+⇒=+∈时，最小正周期为 8分（Ⅱ）∵()()2'sin cos 2cos 2sin f x f x x x x x =⇒+=-∴1cos 3sin tan 3x x x =⇒=11分 ∴222221sin 2sin cos cos sin cos cos sin cos x x xx x x x x x++=-- 2112tan 111921tan 63x x +===- 15分12．（本小题满分15分）如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱与正三棱锥组成，其中，．它的正视图、俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为，，．（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使平面．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．1,.BA BC BD a BB b ====解：(1)设22122122.31212ab a a b a ⎧+=+⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩由条件（分）1B BC BB BA x y z 以点为原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,则111(0,0,2),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(2,2,0),(0,2,2)(5A C D B C A -分）.333ACD G ⎛∆-⎝⎭的重心2,a BG ACD ⎛∴= ⎝⎭=为平面的法向量.(7分）112(2,2,2),cos ,CA a CA -=-==则分） 6∴分）()()111(2)2,2,2112,22,22.AP mAC m m m B P B A AP m m m a λ==-=+=--=令（分）322143m =⎪⎪∴-=-∴⎨⎪=无解（分）P ∴不存在满足条件的点． （15分）13．（本小题满分20分）已知椭圆的中心在坐标原点，左顶点，离心率，为右焦点，过焦点的直线交椭圆于、两点（不同于点）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当时，求直线PQ 的方程；（Ⅲ）判断能否成为等边三角形，并说明理由． 13．解：（Ⅰ）设椭圆方程为 (a >b >0) ， 由已知∴ -----------------------------------------2分∴ 椭圆方程为． -------------------------------------------------4分（Ⅱ）解法一 椭圆右焦点．设直线方程为（∈R ）． ----------------------------------5分由221,1,43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()0964322=-++my y m ．① -----------6分显然，方程①的． 设，则有439,436221221+-=+-=+m y y m m y y ． ----8分 ()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=-+=433643*********2212m m m m y y mPQ ()()4311243112222222++⨯=++=m m mm． ∵，∴ ．解得．∴直线PQ 方程为，即或． ----------12分解法二： 椭圆右焦点．当直线的斜率不存在时，，不合题意． 设直线方程为， --------------------------------------5分 由 得()01248432222=-+-+k x k x k ． ① ----6分 显然，方程①的．设，则2221222143124,438kk x x k k x x +-=⋅+=+． -------8分 ()()[]21221241x x x x k PQ ⋅-++=()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2222224312444381k k k k k=()()3411234112222222++=++k k k k ． ∵，∴，解得．∴直线的方程为，即或． --------12分（Ⅲ）不可能是等边三角形． ------------------------------------------------13分 如果是等边三角形，必有，∴()()2222212122y x y x ++=++，∴()()()()0421212121=-++-++y y y y x x x x ，∴()[]()()()0621212121=-++-++y y y y y y m y y m ，------------------------------16分 ∵，∴，∴， ∴，或（无解）．而当时，3,PQ AP AQ ===，不能构成等边三角形． ∴不可能是等边三角形．------------------------------------------------------------20分 14．设抛物线的焦点为F ，动点P 在直线上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.14．解：（1）设切点A 、B 坐标分别为， ∴切线AP 的方程为： 切线BP 的方程为： 解得P 点的坐标为：所以△APB 的重心G 的坐标为 ，222201010101014(),3333P pP G x y y y y x x x x x x x x y -+++++-====所以，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）方法1：因为2201000111111(,),(,),(,).4244x x FA x x FP x x FB x x +=-=-=-由于P 点在抛物线外，则∴2010010012220111()()2444cos ,||||||1||()x x x x x x x x FP FA AFP FP FA FP FP x x +⋅+--+⋅∠===+-同理有2011011012221111()()2444cos ,||||||1||()x x x x x x x x FP FB BFP FP FB FP FP x x +⋅+--+⋅∠===+- ∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为，则P点到直线AF 的距离为：,4141:;2||12111x x x y BF x d -=-=的方程而直线 即.041)41(1121=+--x y x x x所以P 点到直线BF 的距离为：22111111221||11|()|()||42124x x x x x x d x -++===+ 所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.②当时，直线AF 的方程：202000011114(0),()0,4044x y x x x x y x x --=---+=-即 直线BF 的方程：212111111114(0),()0,4044x y x x x x y x x --=---+=-即 所以P 点到直线AF 的距离为：22201010010001120111|()()||)()||24124x x x x x x x x x x x d x +---++-===+ 同理可得到P 点到直线BF 的距离，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB ．14．（本小题满分20分）设x=l 是函数的一个极值点（，为自然对数的底）． （1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（2）若在闭区间上的最小值为0，最大值为, 且。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(2)
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析一．选择题(本题满分36分，每小题6分)1．设锐角θ使关于x 的方程x 2+4x cos θ+cos θ=0有重根，则θ的弧度数为 ( )A ．π6B ．π12或5π12C ．π6或5π12D ．π122．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ≠∅，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62]B ．(－62，62)C ．(－233，233]D ．[－233，233] 3．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 4．设点O 在∆ABC 的内部，且有→OA +2→OB +3→OC =→0，则∆ABC 的面积与∆AOC 的面积的比为( )A ．2B ．32C ．3D ．538．设函数f ：R →R ，满足f (0)=1，且对任意x ，y ∈R ，都有f (xy +1)=f (x )f (y )－f (y )－x +2，则f (x )= ；9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BD 1—A 1的度数是 ；10．设p 是给定的奇质数，正整数k 使得k 2－pk 也是一个正整数，则k= ； 11．已知数列a 0，a 1，a 2，…，a n ，…满足关系式(3－a n +1)(6+a n )=18，且a 0=3，则n∑i=01a i的值是 ；12．在平面直角坐标系xOy 中，给定两点M (－1，2)和N (1，4)，点P 在x 轴上移动，当∠MPN 取最大值时，点P 的横坐标为 ；二试题一．(本题满分50分)在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K ，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长．二．(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY 中，y 轴正半轴上的点列{A n }与曲线y=2x (x ≥0)上的点列{B n }满足|OA n |=|OB n |=1n，直线A n B n 在x 轴上的截距为a n ，点B n 的横坐标为b n ，n ∈N*．⑴ 证明a n >a n +1>4，n ∈N*；⑵ 证明有n 0∈N *，使得对∀n >n 0，都有b 2b 1+b 3b 2+…+b n b n －1+b n +1b n<n －2020． 三．(本题满分50分)对于整数n ≥4，求出最小的整数f (n )，使得对于任何正整数m ，集合{m ，m +1，…，m+n －1}的任一个f (n )元子集中，均至少有3个两两互素的元素．EFBCDAGHK2020年全国高中数学联赛试卷第一试一．选择题(本题满分36分，每小题6分)1．设锐角θ使关于x 的方程x 2+4x cos θ+cot θ=0有重根，则θ的弧度数为 ( )A．π6 B ．π12或5π12 C ．π6或5π12 D ．π12【答案】B【解析】由方程有重根，故14∆=4cos 2θ－cot θ=0，∵ 0<θ<π2，⇒2sin2θ=1，⇒θ=π12或5π12．选B ．3．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 【答案】C【解析】令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，⇒x ∈[2，4)，选C ．4．设点O 在∆ABC 的内部，且有→OA +2→OB +3→OC =→0，则∆ABC 的面积与∆AOC 的面积的比为( )A ．2B ．32C ．3D ．53【答案】C【解析】如图，设∆AOC=S ，则∆OC 1D=3S ，∆OB 1D=∆OB 1C 1=3S ，∆AOB=∆OBD=1.5S ．∆OBC=0.5S ，⇒∆ABC=3S ．选C ．5．设三位数n=¯¯¯abc ，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则S B 11OABC这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个6．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53 B ．253 C ．63 D ．263二．填空题(本题满分54分，每小题9分) 7．在平面直角坐标系xOy 中，函数f (x )=a sin ax +cos ax (a >0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g (x )= a 2+1的图像所围成的封闭图形的面积是 ；【答案】2 aa 2+1．【解析】f (x )= a 2+1sin(ax +ϕ)，周期=2πa，取长为2πa，宽为2a 2+1的矩形，由对称性知，面积之半即为所求．故填2πaa 2+1．又解：∫ϕ1ϕ0a 2+1[1－sin(ax +ϕ)]dx=a 2+1a ∫π20(1－sin t )dt=2p aa 2+1．8．设函数f ：R →R ，满足f (0)=1，且对任意x ，y ∈R ，都有f (xy +1)=f (x )f (y )－f (y )－x +2，则f (x )= ；【答案】x+1【解析】令x=y=0，得，f (1)=1－1－0+2，⇒f (1)=2．令y=1，得f (x +1)=2f (x )－2－x +2，即f (x +1)=2f (x )－x ．①又，f (yx +1)=f (y )f (x )－f (x )－y +2，令y=1代入，得f (x +1)=2f (x )－f (x )－1+2，即f (x +1)=f (x )+1．②比较①、②得，f (x )=x +1．10．设p 是给定的奇质数，正整数k 使得k 2－pk 也是一个正整数，则k= ；【答案】14(p +1)2．【解析】设k 2－pk=n ，则(k －p2)2－n 2=p 24，⇒(2k －p +2n )(2k －p －2n )=p 2，⇒k=14(p +1)2．11．已知数列a 0，a 1，a 2，…，a n ，…满足关系式(3－a n +1)(6+a n )=18，且a 0=3，则n∑i=01a i的值是 ；【答案】13(2n +2－n －3)．【解析】1a n+1= 2 a n+13，⇒令b n=1a n+13，得b0=23，b n=2b n－1，⇒b n=23⨯2n．即1a n=2n+1－13，⇒n∑i=01a i=13(2n+2－n－3)．12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为；【答案】1【解析】当∠MPN最大时，⊙MNP与x轴相切于点P(否则⊙MNP与x轴交于PQ，则线段PQ上的点P'使∠MP'N更大)．于是，延长NM交x轴于K(－3，0)，有KM·KN=KP2，⇒KP=4．P(1，0)，(－7，0)，但(1，0)处⊙MNP的半径小，从而点P的横坐标=1．三．解答题(本题满分60分，每小题20分)13．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关．问：⑴某人在这项游戏中最多能过几关？⑵他连过前三关的概率是多少？14．在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0，43)，B(－1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．⑴求点P的轨迹方程；⑵若直线L经过∆ABC的内心(设为D)，且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．【解析】⑴设点P的坐标为(x，y)，MNPKOxy(b ) k=0时，直线y=12与圆④切于点(0，12)，与双曲线⑤交于(±582，12)，即k=0满足要求．(c ) k=±12时，直线⑥与圆只有1个公共点，与双曲线⑤也至多有1个公共点，故舍去．(c ) k ≠0时，k ≠12时，直线⑥与圆有2个公共点，以⑥代入⑤得：(8－17k 2)x 2－5kx －254=0．当8－17k 2=0或(5k )2－25(8－17k 2)=0，即得k=±23417与k=±22．∴ 所求k 值的取值范围为{0，±23417，±22}．15．已知α，β是方程4x 2－4tx －1=0(t ∈R )的两个不等实根，函数f (x )= 2x －t x 2+1的定义域为[α，β]．⑴ 求g (t )=max f (x )－min f (x )；⑵ 证明：对于u i ∈(0，π2)(i=1，2，3)，若sin u 1+sin u 2+sin u 3=1，则1g (tan u 1)+1g (tan u 2)+1g (tan u 3)<364．【解析】⑴ α+β=t ，αβ=－14．故α<0，β>0．当x 1，x 2∈[α，β]时，∴ f '(x )= 2(x 2+1)－2x (2x －t )(x 2+1)2=－2(x 2－xt )+2(x 2+1)2．而当x ∈[α，β]时，x 2－xt <0，于是f '(x )>0，即f (x )在[α，β]上单调增．∴g(t)=2β－t β2+1－2α－tα2+1=(2β－t)(α2+1)－(2α－t)(β2+1)(α2+1)(β2+1)=(β－α)[t(α+β)－2αβ+2]α2β2+α2+β2+1=t2+1(t2+52)t2+2516=8t2+1(2t2+5)16t2+25二试题一．(本题满分50分)在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K ，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长．二．(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY 中，y 轴正半轴上的点列{A n }与曲线y=2x(x ≥0)上的点列{B n }满足|OA n |=|OB n |=1n，直线A n B n 在x 轴上的截距为a n ，点B n 的横坐标为b n ，n ∈N*．⑴ 证明a n >a n +1>4，n ∈N*；⑵ 证明有n 0∈N*，使得对∀n >n 0，都有b 2b 1+b 3b 2+…+b n b n －1+b n +1b n<n －2020． 【解析】⑴ 点A n (0，1n )，B n (b n ，2b n )⇒由|OA n |=|OB n |，⇒b n 2+2b n =(1n)2，⇒b n =1+(1n)2－1(b n >0)．∴ 0<b n <12n 2．且b n 递减，⇒n 2b n =n (n 2+1－n )= n n 2+1+n=11+(1n)2+1单调增．∴ 0<n b n <12．⇒令t n =1n b n>2且t n 单调减．由截距式方程知，b n a n +2b n1n=1，(1－2n 2b n =n 2b n 2)∴ a n =b n 1－n 2b n =b n (1+n 2b n )1－2n 2b n =1+n 2b n n 2b n =(1n b n )2+2(1n b n)=t n 2+2t n =(t n +22)2－12≥(2+22)2－12=4． 且由于t n 单调减，知a n 单调减，即a n >a n+1>4成立．亦可由1n 2b n=b n +2．1n b n=b n +2，得 a n =b n +2+2b n +2，．∴ 由b n 递减知a n 递减，且a n >0+2+2⨯2=4．三．(本题满分50分)对于整数n ≥4，求出最小的整数f (n )，使得对于任何正整数m ，集合{m ，m +1，…，m+n －1}的任一个f (n )元子集中，均至少有3个两两互素的元素．【解析】⑴ 当n ≥4时，对集合M (m ，n )={m ，m +1，…，m+n －1}，当m 为奇数时，m ，m +1，m +2互质，当m 为偶数时，m +1，m +2，m +3互质．即M 的子集M 中存在3个两两互质的元素，故f (n )存在且f (n )≤n ． ①取集合T n ={t |2|t 或3|t ，t ≤n +1}，则T 为M (2，n )={2，3，…，n +1}的一个子集，且其中任3个数无不能两两互质．故f (n )≥card (T )+1．但card(T )=[n+12]+[n+13]－[n+16]．故f (n )≥[n+12]+[n+13]－[n+16]+1． ②由①与②得，f (4)=4，f (5)=5．5≤f (6)≤6，6≤f (7)≤7，7≤f (8)≤8，8≤f (9)≤9． 现计算f (6)，取M={m ，m +1，…，m +5}，若取其中任意5个数，当这5个数中有3个奇数时，这3个奇数互质；当这3个数中有3个偶数k ，k +2，k +4(k ≡0(mod 2))时，其中至多有1个被5整除，必有1个被3整除，故至少有1个不能被3与5整除，此数与另两个。
2020年全国高中数学联合竞赛二试试题卷(高联二试含答案及评分标准)
2020全国高中数学联赛二试一、如图，在等腰三角形ABC 中，AB=BC ，I 为内心，M 为BI 的中点，P 为边AC 上的一点，满足AP=3PC ，PI 延长线上一点H 满足MH ⊥PH ，Q 为△ABC 的外接圆上劣弧AB 的中点，证明：BH ⊥QH二、给定整数n ≥3，设1232122,,...,,,,...,n n a a a a b b b 是4n 个非负实数，满足122122......0n n a a a b b b ++=+++>，且对任意1,2,...,2i n =，有21i i i i a a b b ++≥+，（这里211222211,,n n n a a a a b b +++===）， 求122...n a a a +++的最小值。
三、设12121,2,2,3,4,...n n n a a a a a n −−===+=证明：对整数5,n n a ≥必有一个模4余1的素因子 四、给定凸20边形P ，用P 的17条在内部不相交的对角线将P 分割成18个三角形，所得图形成为P 的一个三角形剖分图。
对P 的任意一个三角剖分图T ，P 的20条边以及添加的17条对角线均称为T 的边，T 的任意10条两两无公共端点的边的集合称为T 的一个完美匹配。
当T 取遍P 的所有三角剖分图时，求T 的完美匹配个数的最大值。
B2020年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）如图，在等腰ABC 中，AB BC ，I 为内心，M 为BI 的中点，P 为边AC 上一点，满足3AP PC ，PI 延长线上一点H 满足MHPH ，Q 为ABC 的外接圆上劣弧AB 的中点．证明：BHQH ．证明：取AC 的中点N ．由3AP PC ，可知P 为NC 的中点．易知,,B I N 共线，90INC ．由I 为ABC 的内心，可知CI 经过点Q ，且QIB IBC ICB ABI ACQ ABI ABQ QBI ，又M 为BI 的中点，所以QM BI ．进而||QM CN ． ……………10分考虑HMQ 与HIB ．由于MH PH ，故90HMQ HMI HIB ．又90IHM INP ，故HM NPHI NI，于是 1122HM NP NC MQ MQHI NI NI MI IB．所以HMQ ∽HIB ，得HQMHBI ． ……………30分 从而,,,H M B Q 四点共圆．于是有90BHQBMQ ，即BH QH ． ……………40分二．（本题满分40分）给定整数3n ．设122122,,,,,,,n n a a a b b b 是4n 个非负实数，满足1221220n n a a a b b b ， 且对任意1,2,,2i n ，有21i i i i a a b b （这里211222211,,n nna a a ab b ）．求122n a a a 的最小值．解：记122122n n Sa a ab b b ． 不失一般性，设13212nS T a a a ． 当3n时，因为32212113k kk Ta a 2221335511()()()02a a a a a a ，故结合条件可知233221212121133()34k k k k k k S T a a b b S ． 又0S ，所以12S ．当2(16)i i a b i 时，S 取到最小值12． ……………10分当4n时，一方面有212121211()nnk kkk k k a a b b S ．另一方面，若n 为偶数，则22121152337211()()4nk kn n k T a a a a a a a a ， 其中第一个不等式是因为15233721()()n n a a a a a a 展开后每一项均非负，且包含2121(1)k k a a k n 这些项，第二个不等式利用了基本不等式．……………20分若n 为奇数，不妨设13a a ，则12121212121311n n k k k kn k k a a a a a a215213723()()4n n T a a a a a a ． 从而总有2221211416nk k k T S S a a ．又0S ，所以16S ． ……………30分 当1234124,0(52),0,16,0(32)i i a a a a a i n b b b i n 时，S 取到最小值16．综上，当3n 时，S 的最小值为12；当4n 时，S 的最小值为16．……………40分。
2021年湖北预赛-高二
全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）一、填空题（本题满分90分，每小题9分。
直接将答案写在横线上。
）1. 已知正整数数列}{n a 满足n n n a a a +=++12，∈n *N ．若15711=a ，则1a = .2. 函数x x x x y 22cos 2cos sin sin -+=的值域为 .3. 在△ABC 中，︒=30A ，232=⋅，则△ABC 的最大角的余弦值为 ．4．在直角坐标平面内，曲线3|||1||1|=+++-y x x 围成的图形的面积是 .5．若2113>+--a a 恒成立，则a 的取值范围是 . 6. 去掉集合{|10000,A n n n =∈*N }中所有的完全平方数和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，这个数列的第2014项为 .7． 在四面体ABCD 中，3AB AC ==，4BD BC ==，⊥BD 面ABC ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 .8. 三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的概率为 .9. 若A a ∈且A a A a ∉+∉-1,1，则称a 为集合A 的孤立元素.那么，集合{M =1，2，3，4，5，6，7，8，9}的无孤立元素的4元子集有 个.10. 共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为21,e e ，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍，则2111e e +的最大值为 . 二、解答题（本题满分60分，每小题20分。
）11. 当1||≤x 时，不等式2210px qx p +-+恒成立，试求q p +的最大值． 12. 设B A ,是双曲线λ=-222y x 上的两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线交双曲线于D C ,两点．（1）确定λ的取值范围；（2）试判断D C B A ,,,四点是否共圆？并说明理由．13. 在单调递增数列}{n a 中，12a =，24a =，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列}1{na 的前n 项和为n S ，证明：43(3)n n S n >+，*n ∈N ．。
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2020年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。
直接将答案写在横线上。
）1．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足23PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r，则△ABP 与△ABC 的面积之比为1:2．2．已知数列{}n a 满足：*1212122,1,(N )n n n n n n a a a a a a a a n ++++===++∈，则122011a a a +++=L4022 ．3．已知R α∈，如果集合{sin ,cos 2}{cos ,sin 2}αααα=，则所有符合要求的角α构成的集合为{|2,}k k Z ααπ=∈．4．满足方程28sin()160x x xy ++=（R,[0,2)x y π∈∈）的实数对(,)x y 的个数为 8 ．5．设z 是模为2的复数，则1||z z-的最大值与最小值的和为 4 ．6．对一切满足||||1x y +≤的实数,x y ，不等式3|23||1||23|2x y y y x a -++-+--≤恒成立，则实数a 的最小值为232．7．设集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =.如果方程20x mx n --=（,m n A ∈）至少有一个根0x A ∈，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 ．8．已知关于x 的方程||2x k -=[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是01k <≤．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.解 （1）因为函数1()2y f x =-是偶函数，所以二次函数2()f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =. ------------------------------------------4分又因为二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =. 因此，()f x 的解析式为2()11f x x x =++.------------------------------------------8分（2）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P 2(,)m n ，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而224(21)43n m -+=，即[2(21)][2(21)]43n m n m ++-+=.------------------------------------------12分注意到43是质数，且2(21)2(21)n m n m ++>-+，2(21)0n m ++>，所以有2(21)43,2(21)1,n m n m ++=⎧⎨-+=⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩ 因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.---------------------16分10．已知数列{}n a 满足2*1121,(N )3n n n a a a a n n+==+∈.证明：对一切*N n ∈，有（1）11n n a a +<<； （2）1124n a n>-． 解 （1）显然，0n a >，所以212nn n n a a a a n+=+>（*n N ∈）.所以，对一切*k N ∈，211221k k k k k k a a a a a a k k++=+<+，所以21111k k a a k +-<. --------------------5分所以，当2n ≥时，111121122111111111111()3[1]3[1()](1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑13[11]111n n n =-+-=>--， 所以1n a <. 又1113a =<，故对一切*n N ∈，有1n a <.因此，对一切*n N ∈，有11n n a a +<<. -------------10分（2）显然111113424a =>=-.由1n a <，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以2121k k k a a k +>+，所以2211122221111k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++，所以211111k k a a k +->+，------------------------------------------15分所以，当*n N ∈且2n ≥时，111121111111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 1213(1)n n n+=--=， 所以11112122(21)24n n a n n n>=->-++.------------------------------------------20分11．已知椭圆C ：22142x y +=，过点P 1)33-而不过点Q 的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点.（1）求∠AQB ；（2）记△QAB 的面积为S ，证明：3S <．解 （1）如果直线l 的斜率存在，设它的方程为y kx b =+，因为点P 在直线l上，所以133k b -=+，故11)3b =-+. 联立直线l 和椭圆C 的方程，消去y ，得222(21)4240k x kbx b +++-=.设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则122421kb x x k +=-+，21222421b x x k -=+，212122242()222121k b by y k x x b b k k +=++=-+=++，222221212121222244()()()()2121b kby y kx b kx b k x x kb x x b k kb b k k -⋅=++=+++=⋅+⋅-+++222421b k k -=+------------------------------------------6分因为11(1)QA x y =-u u u r ，22(1)QB x y =-u u u r，所以11221212(1)(1)((1)(1)QA QB x y x y x x y y =--=+--u u u r u u u r g g12121212)2()1x x x x y y y y =+++-++222222224442()2121212121b kb b k bk k k k --=--++-+++++2221[3221)1]21b k b k =++--+222112[1)21)1]2133k k =++-+--+ ＝0， 所以QA QB ⊥u u u r u u u r ，显然A 、Q 、B 三点互不相同，所以∠AQB ＝90°.如果直线l 的斜率不存在，则A 、B 两点的坐标为，容易验证∠AQB ＝90°也成立.因此，∠AQB＝90°.------------------------------------------12分（2）由（1）知∠AQB ＝90°，所以△QAB 是直角三角形.如果直线QA 或QB 的斜率不存在，易求得△QAB 的面积为3S =.如果直线QA 和QB 的斜率都存在，不妨设直线QA 的方程为(1y m x =+，代入椭圆C的方程，消去y ，得222(21)41)1)40m x m x +--+--=，则||QA ==. 又QB ⊥QA ，所以，同理可求得221()1||||122()1mmQBmm-+==+-+.--------------------------16分于是，△QAB的面积为11||||22S QA QB==g224(1)4(1)m m=⋅+=⋅+222221||1142()1m mm mmm-+++=⋅++.令22212cos,sin11m mm mθθ-==++，则21|sin|2412sin4Sθθθ+=⋅+.注意到13|sin||sin()|22θθθϕ+=+≤=，212sin24θ+≥，且等号不能同时取得，所以32432S<⋅=. ------------------------------------------20分。