高中数学函数对称性和周期性小结

高中数学函数对称性和周期性小结

一、函数对称性：

1.f(a+x) = f(a-x) ==> f(x) 关于x=a对称

2.f(a+x) = f(b-x) ==> f(x) 关于x=(a+b)/2 对称

3.f(a+x) = -f(a-x) ==> f(x) 关于点（a，0）对称

4.f(a+x) = -f(a-x) + 2b ==> f(x) 关于点（a，b）对称

5.f(a+x) = -f(b-x) + c ==> f(x) 关于点[（a+b）/2 ，c/2] 对称

6.y = f(x) 与y = f(-x) 关于x=0 对称

7.y = f(x) 与y = -f(x) 关于y=0 对称

8.y =f(x) 与y= -f(-x) 关于点(0,0) 对称

例1：证明函数y = f(a+x) 与y = f(b-x) 关于x=(b-a)/2 对称。

【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a+x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a+m) = f[ b – (2t – m)]

∴b – 2t =a ，==> t = (b-a)/2 ，即证得对称轴为x=(b-a)/2 .

例2：证明函数y = f(a - x) 与y = f(x – b) 关于x=(a + b)/2 对称。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a - x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a-m) = f[ (2t – m)– b]

∴2t - b =a ，==> t = (a + b)/2 ，即证得对称轴为x=(a + b)/2 .

二、函数的周期性

令a , b 均不为零，若：

1.函数y = f(x) 存在f(x)=f(x+a) ==> 函数最小正周期T=|a|

2.函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期T=|b-a|

3.函数y = f(x) 存在f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期T=|2a|

4.函数y = f(x) 存在f(x + a) =1/f(x) ==>函数最小正周期T=|2a|

5.函数y = f(x) 存在f(x + a) = [f(x) + 1]/[1 – f(x)] ==>函数最小正周期T=|4a|

这里只对第2~5点进行解析。

第2点解析：

令X=x+a ，f[a +(x –a)] = f[b +(x – a)]

∴f(x) = f(x + b – a) ==> T=b – a

第3点解析：同理，f(x + a) = -f(x + 2a) ……①

f(x) = -f(x + a) ……②

∴由①和②解得f(x) = f(x+2a)

∴函数最小正周期T=|2a|

第4点解析:

f(x + 2a) =1/f(x + a) ==> f(x + a) =1/f(x + 2a)

又∵f(x + a) =1/f(x)

∴f(x) = f(x + 2a)

∴函数最小正周期T=|2a|

第5点解析:

∵f(x + a) = {2 – [1 – f(x)]}/[1 – f(x)] = 2/[1 – f(x)] – 1

∴1 – f(x) = 2/[f(x) + 1]

移项得f(x) = 1 – 2/[f(x + a) + 1]

那么f(x - a) = 1 – 2/[f(x) +1]，等式右边通分得f(x - a) = [f(x) – 1]/[1 + f(x)] ∴1/[f(x - a) = [1 + f(x)]/[f(x) – 1] ，即- 1/[f(x - a) = [1 + f(x)]/[1 - f(x)] ∴- 1/[f(x - a) = f(x + a) ，- 1/[f(x – 2a) = f(x) ==> - 1/f(x) = f(x - 2a) ①，又∵- 1/f(x) = f(x + 2a)②，

由①②得f(x + 2a)= f(x - 2a) ==> f(x) = f(x + 4a)

∴函数最小正周期T=|4a|