高中数学函数对称性和周期性小结
三角函数的周期性与对称性解析
三角函数的周期性与对称性解析三角函数是高中数学中非常重要的一部分内容，它在数学、物理、工程等学科中都有广泛的应用。
而其中一个重要的性质就是周期性与对称性。
本文将对三角函数的周期性与对称性进行解析，以增进对该知识点的理解。
一、正弦函数的周期性与对称性正弦函数是三角函数中最常见的一种。
它的函数图像呈现出周期性与对称性的特点。
首先来看正弦函数的周期性。
正弦函数的周期是2π，即f(x+2π)=f(x)。
这意味着，在一个周期内，正弦函数的取值情况是重复的。
例如，当x=0时，f(0)=sin(0)=0；当x=2π时，f(2π)=sin(2π)=0；当x=4π时，f(4π)=sin(4π)=0；以此类推。
所以，正弦函数在每个2π的整数倍处具有相同的取值。
其次，正弦函数还具有关于y轴对称的性质。
即f(-x)=-f(x)。
这意味着，对于任意实数x，正弦函数在x和-x处的取值互为相反数。
例如，当x=π/2时，f(π/2)=sin(π/2)=1；当x=-π/2时，f(-π/2)=sin(-π/2)=-1。
所以，正弦函数在关于y轴对称的点上具有相同的取值。
二、余弦函数的周期性与对称性余弦函数是与正弦函数密切相关的三角函数，其函数图像也呈现出周期性与对称性的特点。
首先来看余弦函数的周期性。
余弦函数的周期也是2π，即f(x+2π)=f(x)。
与正弦函数类似，余弦函数的取值也是在一个周期内重复的。
例如，当x=0时，f(0)=cos(0)=1；当x=2π时，f(2π)=cos(2π)=1；当x=4π时，f(4π)=cos(4π)=1；以此类推。
所以，余弦函数在每个2π的整数倍处具有相同的取值。
其次，余弦函数还具有关于y轴对称的性质，即f(-x)=f(x)。
这意味着，对于任意实数x，余弦函数在x和-x处的取值相等。
例如，当x=π/2时，f(π/2)=cos(π/2)=0；当x=-π/2时，f(-π/2)=cos(-π/2)=0。
高中的函数对称性的总结
高中函数对称性总结新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。
尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。
以笔者的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断。
所以这里我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结。
一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。
④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。
⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。
⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。
⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。
2020届高中数学：函数的奇偶性与周期性、对称性知识点总结
2020届高中数学：函数的奇偶性与周期性、对称性知识点总结1．奇、偶函数的概念(1)偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数．(2)奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称．3．具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于 ，即“定义域关于 ”是“一个函数具有奇偶性”的 条件．4．周期函数的概念(1)周期、周期函数对于函数f (x )，如果存在一个 T ，使得当x 取定义域内的 值时，都有 ，那么函数f (x )就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个___的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．5．函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f (x )为奇函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ；(2)若函数f (x )为偶函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ．6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇±奇＝ ，偶±偶＝ ，奇×奇＝ ，偶×偶＝ ，奇×偶＝ .7．函数的对称性如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a ＋x )＝f (b －x )，那么函数的图象有对称轴x ＝a ＋b 2；如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a －x )＝－f (b ＋x )，那么函数的图象有对称中心⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0.8．函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a<b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)．(3)如果函数f(x)，x∈D在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|.答案1．(1)f(－x)＝f(x)(2)f(－x)＝－f(x)2．y轴原点3．原点对称原点对称必要不充分4．(1)非零常数每一个f(x＋T)＝f(x)(2)最小5．(1)增(减)函数(2)减(增)函数6．奇偶偶偶奇。
函数周期性公式大总结
函数周期性公式大总结
高中函数对称性、周期性以及奇偶性最全总结
在高考时，有一类知识点是非常重要的。
数学老师在课上讲的内容是非常基础的，但是在高考时对于这部分内容的考察确实非常综合的，并且难度颇高。
这部分内容就是函数的性质，函数的性质包含的内容主要有：函数的定义域、值域、最大值最小值、单调性、对称性、奇偶性和周期。
当然，函数的图像也是函数的一个性质，函数的图像是我们解决很多函数题目的一个工具，比如说在导数大题中，就需要我们能够根据单调性简单的画出大概的图像。
再在圆锥曲线大题中，也需要画出其图像。
这一点需要大家牢记。
在这些性质里面，有几个是高考后几道选择题中最爱考的内容。
第一个，就是对称性。
对称性指的是函数的图像，其中包含有两部分知识：点对称和轴对称；
例如，y=sinx的图像是点对称的图像；
又如，y=cosx的图像是轴对称的图像；
第二个，就是周期性。
周期性是指：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数。
T叫做这个函数的一个周期。
例如，y=sinx是一个周期函数，
它的周期是2π；
又如，y=cosx也是一个周期函数，
它的周期也是2π；
第三个，就是奇偶性。
奇函数和偶函数最重要的特性在于，奇函数：f(-x)=-f(x)，
例如正弦函数y=sinx；
偶函数：f(-x)=f(x)，
例如余弦函数y=cosx;。
函数的奇偶性、对称性与周期性总结,史上最全
函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。
高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。
本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。
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1.奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。
①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()()()0,1()f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
()()-()0,1()f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x)()(kT x f x f x f函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3=7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4=9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6= 10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。
高中数学函数对称性和周期性小结
高中数学函数对称性和周期性小结高中数学中，函数对称性和周期性是重要的概念。
它们在数学理论和实际应用中都扮演着重要的角色。
本文将对函数的对称性和周期性进行详细的介绍和总结。
首先，我们来讨论函数的对称性。
对称性是指函数在某种变换下具有保持不变的性质。
在数学中，常见的函数对称性有对称、反对称和轴对称等。
对称函数是一种在镜像变换下保持不变的函数。
对称函数的概念可以延伸到两种情况：关于y轴对称和关于原点对称。
关于y轴对称的函数满足 f(x) = f(-x)，这意味着函数的图像在y轴上对称。
而关于原点对称的函数满足 f(x) = -f(-x)，这意味着函数的图像在原点上对称。
常见的对称函数有偶函数和奇函数。
偶函数是指关于y轴对称的函数，即满足 f(x) = f(-x) 的函数。
这种函数的图像关于y轴对称，例如 y = x^2 就是一个典型的偶函数。
偶函数的特点是在定义域的对称位置的函数值相等。
对偶函数来说，如果f(x)在定义域内有定义，则f(-x)也在定义域内有定义。
偶函数的性质还包括：偶函数相加仍为偶函数，偶函数与任意常数先乘后加仍为偶函数，偶函数乘以奇函数得到奇函数。
奇函数是指关于原点对称的函数，即满足f(x) = -f(-x) 的函数。
这种函数的图像关于原点对称，例如 y = x^3 就是一个典型的奇函数。
奇函数的特点是在定义域的对称位置的函数值互为相反数。
对奇函数来说，如果f(x)在定义域内有定义，则f(-x)也在定义域内有定义。
奇函数的性质还包括：奇函数相加仍为奇函数，奇函数与偶函数相加得到一个新的函数，既不是偶函数也不是奇函数。
反对称函数是指既不关于y轴对称也不关于原点对称的函数，而是在镜像变换下呈现一种特殊的关系。
即满足 f(x) = -f(-x)的函数。
这种函数的图像在关于y轴和原点的对称位置的函数值互为相反数。
例如 y = x 就是一个典型的反对称函数。
其次，我们来讨论函数的周期性。
周期性是指函数在某个特定的区间内，满足一个特定的周期性关系。
抽象函数的对称性 ——点,直线,周期
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
高中数学讲义函数的对称性与周期性
微专题05函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）f a x f a x f x 关于x a 轴对称（当0a 时，恰好就是偶函数）（2）f axf bxf x关于2a bx轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如f a xf b x 的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a bx 为所给对称轴即可。
例如：f x 关于1x 轴对称2f xf x，或得到31f x f x 均可，只是在求函数值方面，一侧是f x 更为方便（3）f xa 是偶函数，则f x afxa ，进而可得到：f x 关于xa 轴对称。
①要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在f x a 中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即f xafxa ，要与以下的命题区分：若f x 是偶函数，则f x a f x a：f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有f xafx a ②本结论也可通过图像变换来理解，f x a 是偶函数，则f xa 关于0x轴对称，而f x 可视为f x a 平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以f x 关于xa 对称。
3、中心对称的等价描述：（1）f a x f a x f x 关于,0a 轴对称（当0a 时，恰好就是奇函数）（2）f axf bxf x 关于,02a b轴对称在已知对称中心的情况下，构造形如f ax f b x 的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x为所给对称中心即可。
例如：f x 关于1,0中心对称2f x fx ，或得到35f x f x 均可，同样在求函数值方面，一侧是f x 更为方便（3）f x a 是奇函数，则f xafxa ，进而可得到：f x 关于,0a 轴对称。
知识点：函数的对称性总结
知识点：函数的对称性总结函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。
函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。
一、函数自身的对称性探究定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上， 2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵ f (x) + f (2a－x) =2bf (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（ab），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
高中数学函数图像的对称与周期性
高中数学函数图像的对称与周期性在高中数学中，函数图像的对称性和周期性是一个非常重要的概念。
对称性是指函数图像关于某个轴或点对称，而周期性是指函数在一定区间内以某个固定的周期重复。
一、对称性1. 关于y轴对称当一个函数图像关于y轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, y)也在函数图像上。
这种对称性可以用来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = x^2，它是一个二次函数，具有关于y轴对称的性质。
我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。
2. 关于x轴对称当一个函数图像关于x轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(x, -y)也在函数图像上。
这种对称性也可以用来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个正弦函数，具有关于x轴对称的性质。
我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。
3. 关于原点对称当一个函数图像关于原点对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, -y)也在函数图像上。
这种对称性同样可以用来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = x^3，它是一个三次函数，具有关于原点对称的性质。
我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。
二、周期性1. 周期函数周期函数是指在一定区间内以某个固定的周期重复的函数。
周期函数的图像具有一定的规律性，可以通过观察周期来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个周期为2π的正弦函数。
我们可以通过绘制一个周期内的函数图像，再利用周期性得到完整的图像。
2. 非周期函数非周期函数是指在任意区间内不以固定周期重复的函数。
非周期函数的图像通常没有明显的规律性，需要通过其他方法进行分析和绘制。
例如，考虑函数y = x^2，它是一个非周期函数。
我们需要根据函数的性质和变化规律来绘制函数图像。
三、举一反三通过对函数图像的对称性和周期性的分析，我们可以得到一些解题技巧和方法。
高中数学讲义： 函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+Û()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+Û关于2a bx +=轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a bx +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x Þ=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
①要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+éùëû：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+éùëû②本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+Û()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+Û关于,02a b +æöç÷èø轴对称在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a bx +=为所给对称中心即可。
高中数学公式大全函数与方程的对称性与轴对称形
高中数学公式大全函数与方程的对称性与轴对称形高中数学公式大全：函数与方程的对称性与轴对称形在高中数学中，函数与方程是重要的概念。
其中，对称性与轴对称形是这些概念中的重要性质。
本文将详细介绍函数与方程的对称性以及轴对称形，并提供一份数学公式大全供读者参考。
一、函数的对称性与轴对称形函数的对称性是指函数在某种变换下保持不变的性质。
常见的函数对称性有奇偶对称性、周期性和对数反演。
1. 奇偶对称性奇偶对称性是指函数关于坐标原点对称。
具体而言，如果对于函数中的任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数具有奇对称性；如果对于函数中的任意x，有f(-x) = f(x)，则函数具有偶对称性。
例如，f(x) = x^2是一个偶函数，因为对于任意x，有f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)。
而f(x) = x^3是一个奇函数，因为对于任意x，有f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。
2. 周期性周期性是指函数呈现出重复的形式。
如果对于函数中的任意x，有f(x + T) = f(x)，其中T为正数，则函数具有周期性。
例如，sin(x)是一个周期为2π的函数，因为对于任意x，有sin(x + 2π) = sin(x)。
而指数函数e^x则没有周期性。
3. 对数反演对数反演是指函数与其反函数在对称轴上对称。
反函数是指将函数的自变量和因变量互换得到的新函数。
例如，f(x) = 2^x与其反函数f^(-1)(x) = log2(x)在直线y=x上对称。
二、方程的对称性与轴对称形方程的对称性与轴对称形和函数的对称性类似，但是表现形式略有不同。
我们来看几个常见的方程对称性及轴对称形的例子。
1. 奇对称形奇对称形指方程的图像在某个直线上对称。
例如，y=x^3是一个奇对称形的方程，其图像在直线y=x上对称。
2. 偶对称形偶对称形指方程的图像在某个垂直线上对称。
例如，y=x^2是一个偶对称形的方程，其图像在y轴上对称。
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论及题型归纳
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论及题型归纳一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x)()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。
函数的对称性总结
函数的对称性总结函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。
函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。
一、函数自身的对称性探究定理1.函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b。
（“若f (x) + f (2a－x) = 2b，则函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称”命题正确，且“若数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称，则f (x) + f (2a－x) = 2b成立”逆命题也正确，则称“函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b”。
）证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0定理2. 函数y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) 。
高中高考数学 关于函数的对称性和周期性
，且存在一个定值 使得 f (x1) f (x2 ) +1
f (x2 ) − f (x1 )
a
f
(a)
= 1 ，则
f
(x) 的周期T
=
4|a
|
（6）若 f (x) 的图象关于 x = a, 且同时关于 x = b(a ≠ b) 对称，则T = 2 | a − b | .
证明： ，得证 f (x) = f (2a − x) = f (2b − (2a − x)) = f (x + 2b − 2a)
答： f (a + x) = f (b − x) 表示 f (x) 的对称轴为 x = a + b ； 2
而 表示 的周期为 f (a + x) = f (b + x) f (x)
T =| a − b | .
二．常见结论（注：此处T 专指最小正周期，且默认a ≠ 0） （1）若 f (x) 对定义域内的任意 x 都有 f (x + a) = − f (x) ，则T = 2 | a | .
推广：若 f (x) 对定义域内的任意 x 都有 f (x + a) = m − f (x) ，则T = 2 | a | .
证明：用 x + a 代替 f (x + a) = m − f (x) 中的 x ，得到 f (x + 2a) = m − f (x + a) ；
于是 ，得证 f (x + 2a) = m − f (x + a) = m − [m − f (x)] = f (x)
.
反函数结论（略）.
---1---
关于函数的周期性
一．周期函数的定义：函数 f (x) 在其定义域内，对任意的 x 都存在一个常数T ， (T ≠ 0) 使得 f (x + T) = f (x) 成立，则称函数 f (x) 是周期函数， T 叫做函数 f (x) 的一个周期.（注：以后T 专指最小正周期） 设T 是函数 f (x) 的一个周期，则 kT (k ∈ Z,k ≠ 0) 也是函数 f (x) 的周期.
(完整版)高中数学函数对称性和周期性小结
高中数学函数对称性和周期性小结一、函数对称性：1.f(a+x) = f(a-x) ==> f(x) 关于x=a对称2.f(a+x) = f(b-x) ==> f(x) 关于x=(a+b)/2 对称3.f(a+x) = -f(a-x) ==> f(x) 关于点（a，0）对称4.f(a+x) = -f(a-x) + 2b ==> f(x) 关于点（a，b）对称5.f(a+x) = -f(b-x) + c ==> f(x) 关于点[（a+b）/2 ，c/2] 对称6.y = f(x) 与y = f(-x) 关于x=0 对称7.y = f(x) 与y = -f(x) 关于y=0 对称8.y =f(x) 与y= -f(-x) 关于点(0,0) 对称例1：证明函数y = f(a+x) 与y = f(b-x) 关于x=(b-a)/2 对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a+x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a+m) = f[ b – (2t – m)]∴b – 2t =a ，==> t = (b-a)/2 ，即证得对称轴为x=(b-a)/2 .例2：证明函数y = f(a - x) 与y = f(x – b) 关于x=(a + b)/2 对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a - x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a-m) = f[ (2t – m) – b]∴2t - b =a ，==> t = (a + b)/2 ，即证得对称轴为x=(a + b)/2 .二、函数的周期性令a , b 均不为零，若：1.函数y = f(x) 存在f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期T=|a|2.函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期T=|b-a|3.函数y = f(x) 存在f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期T=|2a|4.函数y = f(x) 存在f(x + a) =1/f(x) ==> 函数最小正周期T=|2a|5.函数y = f(x) 存在f(x + a) = [f(x) + 1]/[1 – f(x)] ==> 函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。
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高中数学函数对称性和周期性小结
一、函数对称性：
1.f(a+x) = f(a-x) ==> f(x) 关于x=a对称
2.f(a+x) = f(b-x) ==> f(x) 关于x=(a+b)/2 对称
3.f(a+x) = -f(a-x) ==> f(x) 关于点（a，0）对称
4.f(a+x) = -f(a-x) + 2b ==> f(x) 关于点（a，b）对称
5.f(a+x) = -f(b-x) + c ==> f(x) 关于点[（a+b）/2 ，c/2] 对称
6.y = f(x) 与y = f(-x) 关于x=0 对称
7.y = f(x) 与y = -f(x) 关于y=0 对称
8.y =f(x) 与y= -f(-x) 关于点(0,0) 对称
例1：证明函数y = f(a+x) 与y = f(b-x) 关于x=(b-a)/2 对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a+x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a+m) = f[ b – (2t – m)]
∴b – 2t =a ，==> t = (b-a)/2 ，即证得对称轴为x=(b-a)/2 .
例2：证明函数y = f(a - x) 与y = f(x – b) 关于x=(a + b)/2 对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a - x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a-m) = f[ (2t – m)– b]
∴2t - b =a ，==> t = (a + b)/2 ，即证得对称轴为x=(a + b)/2 .
二、函数的周期性
令a , b 均不为零，若：
1.函数y = f(x) 存在f(x)=f(x+a) ==> 函数最小正周期T=|a|
2.函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期T=|b-a|
3.函数y = f(x) 存在f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期T=|2a|
4.函数y = f(x) 存在f(x + a) =1/f(x) ==>函数最小正周期T=|2a|
5.函数y = f(x) 存在f(x + a) = [f(x) + 1]/[1 – f(x)] ==>函数最小正周期T=|4a|
这里只对第2~5点进行解析。
第2点解析：
令X=x+a ，f[a +(x –a)] = f[b +(x – a)]
∴f(x) = f(x + b – a) ==> T=b – a
第3点解析：同理，f(x + a) = -f(x + 2a) ……①
f(x) = -f(x + a) ……②
∴由①和②解得f(x) = f(x+2a)
∴函数最小正周期T=|2a|
第4点解析:
f(x + 2a) =1/f(x + a) ==> f(x + a) =1/f(x + 2a)
又∵f(x + a) =1/f(x)
∴f(x) = f(x + 2a)
∴函数最小正周期T=|2a|
第5点解析:
∵f(x + a) = {2 – [1 – f(x)]}/[1 – f(x)] = 2/[1 – f(x)] – 1
∴1 – f(x) = 2/[f(x) + 1]
移项得f(x) = 1 – 2/[f(x + a) + 1]
那么f(x - a) = 1 – 2/[f(x) +1]，等式右边通分得f(x - a) = [f(x) – 1]/[1 + f(x)] ∴1/[f(x - a) = [1 + f(x)]/[f(x) – 1] ，即- 1/[f(x - a) = [1 + f(x)]/[1 - f(x)] ∴- 1/[f(x - a) = f(x + a) ，- 1/[f(x – 2a) = f(x) ==> - 1/f(x) = f(x - 2a) ①，又∵- 1/f(x) = f(x + 2a)②，
由①②得f(x + 2a)= f(x - 2a) ==> f(x) = f(x + 4a)
∴函数最小正周期T=|4a|。