函数性质综合应用1
高三一轮复习 函数的性质(偏难题)含答案
函数的性质及其应用教师用函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。
函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。
研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。
函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。
对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。
掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。
要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。
一、函数与反函数例1．（1）已知A={1，2，3}，B={4，5}，则以A为定义域，B为值域的函数共有 6 个．解：从A到B建立映射共有23=8个，其中由2个映射的像集是{4}和{5}，把这2个映射去掉，其它映射的像集都是{4，5}，函数的本质是一个数集到另一个数集的映射，所以，构成以A为定义域，B为值域的不同的函数共有8﹣2=6个，故答案为6．（2）、（2012•徐汇区一模）已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有9 个．解：∵f（x）=x2﹣1，∴f（0）=﹣1，f（±1）=0，f（±）=1因此，定义域D有：{0，1，}，{0，﹣1，﹣}，{0，﹣1，}，{0，1，﹣}，{0，﹣1，1，}，{0，﹣1，1，﹣}，{0，1，，﹣}，{0，﹣1，，﹣}，{0，﹣1，1，，﹣}共9种情况，故答案为：9（3）（2013•上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= 2 ．解：因为g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（2，4]）=[0，1），所以对于函数f（x），当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f （x）=x无解；所以当x∈[0，2）时方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解，又因为方程f（x）﹣x=0有解x0，且定义域为[0，3]，故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），故若f（x0）=x0，只有x0=2，故答案为：2．二、函数值域及最值求法例2、（1）（2011•上海）设g（x）是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g （x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7] ．解：g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]【正好是一个周期区间长度】的值域是[﹣2，5]，令x+1=t，当x∈[0，1]时，t=x+1∈[1，2]，此时，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）=[x+g（x）]+1 ，所以，在t∈[1，2]时，f（t）∈[﹣1，6] (1)同理，令x+2=t，在当x∈[0，1]时，t=x+2∈[2，3]此时，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x） =[x+g（x）]+2所以，当t∈[2，3]时，f（t）∈[0，7] (2)由已知条件及（1）（2）得到，f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7]故答案为：[﹣2，7]．（2）（2013•黄浦区二模）已知，若存在区间[a，b]⊆（0，+∞），使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是（0，4）．解：∵f（x）=4﹣在（0，+∞）是增函数，∴f（x）在x∈[a，b]上值域为[f（a），f（b）]，所以f（a）=ma且f（b）=mb，即4﹣=ma且4﹣=mb，所以ma2﹣4a+1=0且mb2﹣4b+1=0，所以mx2﹣4x+1=0必须有两个不相等的正根，故m≠0，∴，解得0＜m＜4．∴实数m的取值范围是（0，4）．故答案为：（0，4）．（3）．（2012•虹口区一模）已知函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，对于任意的都能找到，使得g（x2）=f（x1），则实数a的取值范围是[﹣2，6] ．解：∵函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，∴x1∈[﹣1，1]时，f（x）的值域就是[a﹣2，a+2]，要使上述范围内总能找到x2满足 g（x2）=f（x1），即g（x）的值域要包含[a﹣2，a+2]，∵g（x）是一个二次函数，在[﹣1，1]上单调递减，∴值域为[﹣4，8]，因此，解得﹣2≤a≤6．故答案为：[﹣2，6]．三、函数单调性与奇偶性例3、（1）（2013•资阳一模）已知函数若f（2m+1）＞f（m2﹣2），则实数m的取值范围是（﹣1，3）．解：∵x≤1时，函数y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，在（﹣∞，1]上单调递增；x＞1时，函数y=x3+1在（1，+∞）上单调递增，又x≤1时，﹣x2+2x+1≤2，x＞1时，x3+1＞2，∴函数，∴函数在R上单调增，∴2m+1＞m2﹣2，∴m2﹣2m﹣3＜0，∴﹣1＜m＜3，故答案为：（﹣1，3）（2）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是（1，3）．解：∵是R上的增函数，∴∴a∈（1，3）故答案为：（1，3）（3）（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）= 3 ．解：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4，又g（1）=1∴1+g（﹣1）=4，解得g（﹣1）=3，故答案为3（4）f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），则f（2012）+f（2013）= ﹣3 ．解：由f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，得f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），且g（0）=0，由g（x）=f（x﹣1），得f（x）=g（x+1）=﹣g（﹣x﹣1）=﹣f（﹣x﹣2）=﹣f（x+2），即f（x）=﹣f（x+2），所以f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），故f（x）是周期为4的周期函数，所以f（2012）=f（4×503）=f （0）=g（1）=﹣g（﹣1）=﹣3，f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=f（﹣1）=g（0）=0，所以f（2012）+f（2013）=﹣3，故答案为：﹣3．四、函数的周期性例4、（1）已知奇函数满足的值为。
高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.4 函数的应用(一)一课一练(含解析)新人教A版必修第一册-
第三章函数的概念与性质3.4函数的应用(一)考点1一次、二次函数模型的应用1.(2019·某某某某中学高一期中考试)一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元,卖出的价格是每份3元,卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社。
在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,且每天从报社买进报纸的份数都相同,要使推销员每月所获得的利润最大,则应该每天从报社买进报纸()。
A.215份B.350份C.400份D.520份答案：C解析：设每天从报社买进x(250≤x≤400,x∈N)份报纸时,每月所获利润为y元,具体情况如下表:数量/份单价/元金额/元买进30x 2 60x卖出20x+10×250 3 60x+7500退回10(x-250) 0.8 8x-2000y=[(60x+7500)+(8x-2000)]-60x=8x+5500(250≤x≤400,x∈N)。
∵y=8x+5500在[250,400]上是增函数,∴当x=400时,y取得最大值8700。
即每天从报社买进400份报纸时,每月获得的利润最大,最大利润为8700元。
故选C。
2.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数:m=162-3x。
若要使每天获得最大的销售利润,则该商品的售价应定为()。
A.40元/件B.42元/件C.54元/件D.60元/件答案：B解析：设每天获得的销售利润为y元,则y=(x-30)(162-3x)=-3(x-42)2+432,所以当x=42时,获得的销售利润最大,故该商品的售价应定为42元/件。
3.某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系式为y=5x+40000。
而手套出厂价格为每双10元,要使该厂不亏本至少日产手套()。
A.2000双B.4000双C.6000双D.8000双答案：D解析：由5x +40000≤10x ,得x ≥8000,即至少日产手套8000双才不亏本。
2025新高考数学一轮复习函数性质的综合应用教案
∴ -1 ≥ 0, 或 -1 ≤ 0, 解得 1≤x≤3 或-1≤x≤0,
-1 ≤ 2
-1 ≥ -2,
∴满足 xf(x-1)≥0 的 x 的取值范围是[-1,0]∪[1,3],故选 D.
规律方法
综合运用奇偶性与单调性解题的方法技巧
(1)比较大小:先利用奇偶性将不在同一单调区间上的自变量的函数值转化
又因为f(2x+1)是奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,
于是函数f(x)的周期为T=4×|2-1|=4.
由于f(2x+1)是奇函数,所以f(2×0+1)=f(1)=0,而f(x+2)是偶函数,
所以f(x+2)=f(-x+2),令x=1代入得f(3)=f(1)=0,因此f(-1)=0,故选B.
(2)当函数图象具有对称中心时,在对称中心两侧的单调性相同;当函数图
象具有对称轴时,在图象的对称轴两侧的单调性相反.
2.关于函数奇偶性与周期性的常用结论
(1)若f(a-x)=f(x)且f(x)为偶函数,则f(x)的周期为a;
(2)若f(a-x)=f(x)且f(x)为奇函数,则f(x)的周期为2a;
(3)若f(x+a)与f(x+b)(a≠b)都是偶函数,则f(x)的周期是2|a-b|;
[对点训练1](2024·江西赣州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+1)
因此|x-1|>1,解得x>2或x<0,即解集为(-∞,0)∪(2,+∞),故选B.
(3)(2020·新高考Ⅰ,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则
满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( D )
2023新教材高中数学第三章函数的概念与性质3-4函数的应用一课件新人教A版必修第一册
解析 由已知得，该户每月缴费 y 元与实际用水量 x 立方米满足的关系 式为 y＝m2mx，x－0≤ 10xm≤，1x0>，10. 由 y＝16m，得 x>10，所以 2mx－10m＝16m.解 得 x＝13.故选 A.
7．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为 y
4x，1≤x<10，x∈N， ＝2x＋10，10≤x<100，x∈N，
1.5x，x≥100，x∈N，
其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人
数，若面试人数为 60，则该公司拟录用人数为( ) A．15 B．40 C．25 0，若 4x＝60，则 x＝15>10，不符合题意；若 2x＋10＝ 60，则 x＝25，满足题意；若 1.5x＝60，则 x＝40<100，不符合题意．故拟 录用人数为 25.
销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12 日销售量(桶) 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？最 大利润是多少？
解 设每桶水在进价的基础上上涨 x 元出售，利润为 y 元，由表格中的 数据可知，价格每上涨 1 元，日销售量就减少 40 桶，所以涨价 x 元后，日 销售桶数 480－40(x－1)＝520－40x>0，∴0<x<13.
答案 C
解析 设公司在甲地销售 x 辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为 L ＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－x－1292＋30＋1492，∴当 x＝9 或 10 时，L 最大为 120 万元．
4．某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为 200 元，每 桶水进价为 5 元，销售单价与日销售量的关系如下表：
高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.4 函数的应用(一)
3.4函数的应用(一)知识解读•必须会知识点1 常见的几种函数模型1.（2022·安徽亳州高一期中）商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价20元,茶杯每个定价5元,该商店现推出两种优惠方案:①买一个茶壶赠送一个茶杯;②按购买总价的92%付款。
某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个)。
当购买茶杯x个时,付款为y 元,试分别建立两种优惠方案中的y与x之间的函数解析式,并指出如果该顾客需购买茶杯40个,应选择哪种优惠方案。
解析：由优惠方案①,得函数解析式为y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,x∈N*)。
由优惠方案②,得函数解析式为y2=(20×4+5x)×92%=4.6x+73.6(x≥4,x∈N*)。
当该顾客需购买茶杯40个时,采用优惠方案①应付款y1=5×40+60=260(元),采用优惠方案②应付款y2=4.6×40+73.6=257.6(元)。
由于y2<y1,故应选择优惠方案②。
知识点2 用函数模型解决实际问题的方法与步骤2.（2021·山东菏泽23校高一期末联考）为节约能源,倡导绿色环保,某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用,管理这些电动观光车的费用是每日120元。
根据经验,若每辆电动观光车的日租金不超过5元,则电动观光车可以全部租出;若超过5元,则每超过1元,租不出的电动观光车就增加2辆。
为了便于结算,每辆电动观光车的日租金x(元)(x只取整数),并且要求出租电动观光车一日的收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租电动观光车的日净收入(即一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得)。
(1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域;答案：(1)当x≤5时,y=60x-120,令60x-120>0,解得x>2,因为x∈N*,所以3≤x≤5。
当x>5时,y=[60-2(x-5)]x-120=-2x2+70x-120,令-2x2+70x-120>0,有x2-35x+60<0,上述不等式的整数解为2≤x ≤33(x ∈N *),所以5<x ≤33(x ∈N *)。
3.4 函数的应用(一)
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： 实际问题中四种函数模型：一次函数模型，二次函数模型，幂函数模型， 分段函数模型. 2.方法归纳：配方法、判别式法、换元法. 3.常见误区：函数的实际应用问题易忽视函数的定义域.
所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.
三、分段函数模型的应用
例 3 经市场调查，某新开业的商场在过去一个月内(以 30 天计)，顾客人 数 f(t)(千人)与时间 t(天)的函数关系近似满足 f(t)＝4＋1t (t∈N*)，人均消费 g(t)(元)与时间 t(天)的函数关系近似满足 g(t)＝110300－t，t，1≤7<t≤t≤7，30t，∈tN∈*，N*. (1)求该商场的日收益w(t)(千元)与时间t(天)(1≤t≤30，t∈N*)的函数解 析式；
60t，0≤t≤2.5，
所求函数的解析式为 x＝150，2.5<t≤3.5， －50t＋325，3.5<t≤6.5.
(2)求当t＝5小时时汽车离A地的距离.
解 当t＝5时，x＝－50×5＋325＝75， 即当t＝5小时时汽车离A地75千米.
3 课堂练习
PART THREE
1.小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进 价为6元，若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的关系为Q＝100－5x，则 当该店每天获利最大时，每束花应定价为
二、二次函数与幂函数模型的应用
例2 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低 于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平 均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱. (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； 解 根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简， 得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N).
1 代数小题之函数的图像与性质综合答案详解
第一讲代数小题之函数的图像与性质综合知识讲解：【例题1】答案：D思路：根据奇函数，画出函数图像，结合图像分析不等式大于等于0的条件解析：f(x)是奇函数，所以f(x)在(-∞，0)上单调减，在(0，+∞)上单调递减，且f(2)=f(-2)=0，由xf(x-1)>=0可得，x>0时，f(x-1)>=0,因为f(2)=0，由单调性可得0<=x-1<=2,所以1<=x<=3,当x<=0时，f(x-1)<=0,由f(-2)=0结合单调性，可得-2<=x-1<=0,所以-1<=x<=0,综上，答案为D总结：利用奇函数分析对称区域得单调性，再通过对变量的分类讨论去解不等式【例题2】思路：由偶函数判断f(x)的对称性，由图像平移、f(x+1)的单调性、f(x)的对称性判断出f(x)的单调性，结合条件画出f(x)的图像，根据图像求出不等式的解集解析：因为f(x+1)是偶函数，所以f(x+1)=f(-x+1)，所以f(x)的图像关于直线x=1对称，f(x+1)在(-∞,0)上减，所以f(x)在(-∞,1)上减，在(1,+∞)上增，且f(2)=f(0)=0,画出函数图像，当x>1时，f(x)<=0,1<x<=2,当x<1时，f(x)>=0,x<=0，但是由于f(x+1)的定义域为(-∞,0)U(0,+∞),所以x不能取1，综上，解集为(-∞,0)U(1,2] 总结：利用偶函数结合平移的特性分析原来函数的图像，再根据原函数的图像去解不等式【例题3】答案：A思路：首先分析函数的对称性，再求出函数的就行，将不等式转换为自变量的不等式进行求解解析：f(x)的定义域为(-1,1),f(-x)+f(x)=0,所以f(x)是奇函数，又因为f(x)=ln(-1-2/(x-1))+sinx在(-1,1)是单调增的，所以f(a-2)+f(a^2-4)<0可以转换为-1<a-2<1,-1<a^2-4<1,a^2-4<2-a,解得√3<a<2,选A总结：本题主要考察函数的概念与性质，对数与对数函数，三角函数以及解不等式。
专题四函数性质的综合问题(2021年高考数学一轮复习专题)
专题四函数性质的综合问题一、题型全归纳题型一 函数的奇偶性与单调性【题型要点】函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x 1)>f (x 2)或f (x 1)<f (x 2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．【例1】已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 13，b ＝(ln 3)2，c ＝ln 3，则( ) A ．f (a )>f (b )>f (c ) B ．f (b )>f (a )>f (c ) C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )【解析】 由题意易知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，又因为|a |＝ln 3>1，b ＝(ln 3)2>|a |，0<c ＝ln 32<|a |，所以f (c )>f (|a |)>f (b )．又由题意知f (a )＝f (|a |)，所以f (c )>f (a )>f (b )．故选C.题型二 函数的奇偶性与周期性【题型要点】周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解．【例1】(2020·武昌区调研考试)已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且函数y ＝f (x －1)为偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则⎪⎭⎫⎝⎛25f ＝ ．【解析】解法一：因为f (x )是R 上的奇函数，y ＝f (x －1)为偶函数，所以f (x －1)＝f (－x －1)＝－f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x )，即f (x )的周期T ＝4，因为0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，所以⎪⎭⎫⎝⎛25f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛4-25f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛23-f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛23-f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+211-f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21-f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f ＝－18. 解法二：因为f (x )是R 上的奇函数，y ＝f (x －1)为偶函数，所以f (x －1)＝f (－x －1)＝－f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，由题意知，当－1≤x <0时，f (x )＝x 3，故当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 3，当1<x ≤3时，－1<x －2≤1，f (x )＝－(x －2)3，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛25f ＝32-25-⎪⎭⎫⎝⎛＝－18.题型三 函数的综合性应用【题型要点】求解函数的综合性应用的策略(1)函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；偶函数一定有f (|x |)＝f (x )”在解题中的应用．(2)解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．【例1】(2020·陕西榆林一中模拟)已知偶函数f (x )满足f (x )＋f (2－x )＝0，现给出下列命题：①函数f (x )是以2为周期的周期函数；②函数f (x )是以4为周期的周期函数；③函数f (x －1)为奇函数；④函数f (x －3)为偶函数，其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 偶函数f (x )满足f (x )＋f (2－x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (2－x )，f (x ＋2)＝－f (x )， f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，可得f (x )的最小正周期为4，故①错误，②正确； 由f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x ＋1)＝－f (x －1)．又f (－x －1)＝f (x ＋1)，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，故f (x －1)为奇函数，③正确； 若f (x －3)为偶函数，则f (x －3)＝f (－x －3)，又f (－x －3)＝f (x ＋3)，所以f (x ＋3)＝f (x －3)，即f (x ＋6)＝f (x )，可得6为f (x )的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误，故选B.题型四 函数性质中“三个二级”结论的灵活应用结论一、奇函数的最值性质【题型要点】已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0.特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0，且若0∈D ，则f (0)＝0.【例1】设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝ ．【解析】函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，所以M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2.结论二、抽象函数的周期性(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (2)如果f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .(3)如果f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .【例2】已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )＋22，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (1)＝2，则f (17)＝ ．【解析】由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数． 由f (x ＋4)＝－f (x )＋22，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＋22＝f (x )，所以f (x )是最小正周期为8的偶函数，所以f (17)＝f (1＋2×8)＝f (1)＝2.结论三、抽象函数的对称性已知函数f (x )是定义在R 上的函数．(1)若f (a ＋x )＝f (b －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称，特别地，若f (a ＋x )＝f (a －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a ，0)对称．【例2】(2020·黑龙江牡丹江一中期末)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，下面关于f (x )的判定，其中正确命题的个数为( ) ①f (4)＝0；②f (x )是以4为周期的函数；③f (x )的图象关于x ＝1对称；④f (x )的图象关于x ＝2对称． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 因为f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0，因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是以4为周期的周期函数，f (4)＝f (0)＝0， 因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f [(x ＋1)＋1]＝f (－x )，令t ＝x ＋1，则f (t ＋1)＝f (1－t )，所以f (x ＋1)＝f (1－x )， 所以f (x )的图象关于x ＝1对称，而f (2＋x )＝f (2－x )显然不成立．故正确的命题是①②③，故选C.二、高效训练突破 一、选择题1.(2020·洛阳一中月考）已知定义域为(－1，1)的奇函数f (x )是减函数，且f (a －3)＋f (9－a 2)<0，则实数a 的取值范围是( )A ．(22，3)B ．(3，10)C ．(22，4)D ．(－2，3)【解析】：由f (a －3)＋f (9－a 2)<0得f (a －3)<－f (9－a 2)．又由奇函数性质得f (a －3)<f (a 2－9)．因为f (x )是定义域为(－1，1)的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1<a －3<1，－1<a 2－9<1，a －3>a 2－9，解得22<a <3.2．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－98D ．98【解析】：由f (x ＋4)＝f (x )知，f (x )是周期为4的周期函数，f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)． 由f (1)＝2×12＝2得f (－1)＝－f (1)＝－2，所以f (2 019)＝－2.故选A.3.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝( ) A ．－6 B ．6 C ．4D ．－4【解析】 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4.4.(2020·广东六校第一次联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (2－x )及f (x )＝－f (－x )，且在[0，1]上有f (x )＝x 2，则⎪⎭⎫⎝⎛212019f ＝( ) A.94 B.14 C ．－94D ．－14【解析】：函数f (x )的定义域是R ，f (x )＝－f (－x )，所以函数f (x )是奇函数．又f (x )＝f (2－x )，所以f (－x )＝f (2＋x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝－f (2＋x )＝f (x )，故函数f (x )是以4为周期的奇函数，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛212019f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21-2020f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f .因为在[0，1]上有f (x )＝x 2，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛＝14， 故⎪⎭⎫ ⎝⎛212019f ＝－14，故选D. 5.已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 的x 的取值范围是( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛3231， B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡3231， C.⎪⎭⎫⎝⎛3221，D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡3221，【解析】：因为f (x )是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，f (2x －1)<⎪⎭⎫⎝⎛31f ，所以|2x －1|<13，所以13<x <23.6.(2020·石家庄市模拟(一))已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝4x －1，则在(1，3)上，f (x )≤1的解集是( )A.⎥⎦⎤ ⎝⎛231，B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2523，C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡323，D ．[2，3)【解析】因为0≤x ≤1时，f (x )＝4x －1，所以f (x )在区间[0，1]上是增函数，又函数f (x )是奇函数，所以函数f (x )在区间[－1，1]上是增函数，因为f (x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以函数f (x )在区间(1，3)上是减函数，又⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝1，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛23f ＝1，所以在区间(1，3)上不等式f (x )≤1的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡323，，故选C.6.(2020·黑龙江齐齐哈尔二模)已知函数f (x )是偶函数，定义域为R ，单调增区间为[0，＋∞)，且f (1)＝0，则(x －1)f (x －1)≤0的解集为( ) A ．[－2，0] B ．[－1，1]C ．(－∞，0]∪[1，2]D ．(－∞，－1]∪[0，1]【解析】：由题意可知，函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，且f (－1)＝0，令x －1＝t ，则tf (t )≤0，当t ≥0时，f (t )≤0，解得0≤t ≤1；当t <0时，f (t )≥0，解得t ≤－1，所以0≤x －1≤1或x －1≤－1，所以x ≤0或1≤x ≤2.故选C. 7.对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是( ) A ．4和6 B ．3和1 C ．2和4D ．1和2【解析】：设g (x )＝a sin x ＋bx ，则f (x )＝g (x )＋c ，且函数g (x )为奇函数．注意到c ∈Z ，所以f (1)＋f (－1)＝2c 为偶数．故选D.8.(2020·甘肃甘谷一中第一次质检)已知定义在R 上的函数f (x )满足条件：①对任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对任意的x 1，x 2∈[0，2]且x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)；③函数f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，则下列结论正确的是( )A ．f (7)<f (6.5)<f (4.5)B ．f (7)<f (4.5)<f (6.5)C ．f (4.5)<f (7)<f (6.5)D ．f (4.5)<f (6.5)<f (7)【解析】：因为对任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，所以函数是以4为周期的周期函数，因为函数f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，所以函数f (x )的图象关于x ＝2对称， 因为x 1，x 2∈[0，2]且x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )在[0，2]上为增函数， 所以函数f (x )在[2，4]上为减函数．易知f (7)＝f (3)，f (6.5)＝f (2.5)，f (4.5)＝f (0.5)＝f (3.5)，则f (3.5)<f (3)<f (2.5)，即f (4.5)<f (7)<f (6.5)．9．(2020·甘肃静宁一中一模)函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<⎪⎭⎫ ⎝⎛25f <⎪⎭⎫ ⎝⎛27fB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛27f <⎪⎭⎫ ⎝⎛25f <f (1)C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛27f <f (1)<⎪⎭⎫ ⎝⎛25fD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛25f <f (1)<⎪⎭⎫ ⎝⎛27f【解析】：函数f (x ＋2)是偶函数，则其图象关于y 轴对称，所以函数y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称，则⎪⎭⎫⎝⎛25f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛23f ，⎪⎭⎫ ⎝⎛27f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ，函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增，则有⎪⎭⎫ ⎝⎛21f <f (1)<⎪⎭⎫ ⎝⎛23f ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛27f <f (1)<⎪⎭⎫⎝⎛25f .故选C. 10.(2020·辽宁沈阳东北育才学校联考(二))函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (－1)＝0，若对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有x 1f （x 1）－x 2f （x 2）x 1－x 2<0成立，则不等式f (x )<0的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－1，0)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(0，1)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)【解析】：令F (x )＝xf (x )，因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以F (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )＝F (x )， 所以F (x )是偶函数，因为f (－1)＝0，所以F (－1)＝0，则F (1)＝0，因为对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2时，都 有x 1f （x 1）－x 2f （x 2）x 1－x 2<0成立，所以F (x )在(－∞，0)上单调递减，所以F (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以不等式f (x )<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)，故选C.二、填空题1.若偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则f (x －2)>0的条件为 ．【解析】：由f (x )＝x 3－8(x ≥0)，知f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0.所以，由已知条件可知f (x －2)>0⇒f (|x －2|)>f (2)．所以|x －2|>2，解得x <0或x >4. 2.设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是________； 【解析】 易知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )为偶函数．当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，易知此时f (x )单调递增．所以f (x )>f (2x －1)⇒f (|x |)>f (|2x －1|)，所以|x |>|2x －1|，解得13<x <1.3.偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝ ． 【解析】：因为f (x )为偶函数，所以f (－1)＝f (1)．又f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (1)＝f (3)．所以f (－1)＝3.4.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝1f (x )，当x ∈[0，2)时，f (x )＝x ＋e x ，则f (2020)＝________.【解析】因为定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝1f (x )，所以f (x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4.当x ∈[0,2)时，f (x )＝x ＋e x ，所以f (2020)＝f (505×4＋0)＝f (0)＝0＋e 0＝1. 5.已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝ ．【解析】：根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43.6.设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为 ．【解析】：因为f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f (1)＝0，所以f (－1)＝－f (1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数．因为f （x ）－f （－x ）x ＝2·f （x ）x <0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f （x ）<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f （x ）>0，解得x ∈(－1，0)∪(0，1)． 三、解答题1.函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论．【解析】：(1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， 所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明如下：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．2.已知函数f (x )对任意x ∈R 满足f (x )＋f (－x )＝0，f (x －1)＝f (x ＋1)，若当x ∈[0，1)时，f (x )＝a x ＋b (a ＞0且a ≠1)，且⎪⎭⎫ ⎝⎛23f ＝12.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )的值域．【解析】：(1)因为f (x )＋f (－x )＝0，所以f (－x )＝－f (x )，即f (x )是奇函数． 因为f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )是周期为2的周期函数，所以f (0)＝0，即b ＝－1.又⎪⎭⎫⎝⎛23f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f ＝1－a ＝12，解得a ＝14. (2)当x ∈[0，1)时，f (x )＝a x ＋b ＝x⎪⎭⎫⎝⎛41－1∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡043-，，由f (x )为奇函数知，当x ∈(－1，0)时，f (x )∈⎪⎭⎫ ⎝⎛430，， 又因为f (x )是周期为2的周期函数，所以当x ∈R 时，f (x )∈⎪⎭⎫⎝⎛4343-，.。
课时规范练13 函数性质的综合应用--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
则f(x)在(1,+∞)内单调递减,当x≤1时,由f(x)>0=f(-1)可得-1<x≤1;当x>1时,由
f(x)>0=f(3)可得1<x<3.综上所述,不等式f(x)>0的解集为(-1,3).
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综合提升练
10.(2024·山东临沂模拟)已知函数f(x)=x3+(a-2)x2+2x+b在[-2c-1,c+3]上为
奇函数,则不等式f(2x+1)+f(a+b+c)>0的解集是( C )
A.(-2,4]
B.(-3-2,2]
解析 因为 f(x)在[-2c-1,c+3]上为奇函数,所以-2c-1+c+3=0,解得 c=2,
又因为 f(-x)=-f(x),即-x3+(a-2)x2-2x+b=-x3-(a-2)x2-2x-b,所以 2(a-2)x2+2b=0,
∴f(-(2-x))=f(2-x),即f(x-2)=f(2-x),由f(x)+f(2-x)=4知
f(x+2)+f(x)=4,∴f(x+2)=f(2-x)=f(x-2),
从而f(x+2+2)=f(x+2-2),即f(x+4)=f(x),∴f(x)的周期为4,∴g(x)的周期为4;
故g(2 022)+g(2 023)=g(2)+g(-1)=f(1)+1+f(-2)+1=2+1+0+1=4,故选B.
2
2
所以 f(2-x)+f(-x)=3,即 f(2+x)+f(x)=3,
第三章 函数的概念与性质(习题课 函数的概念及其表示的综合应用)-讲练课件(人教A019必修第一册)
2
1
x
−
= 3x + 1 ，则 f 2 = ___________.
3
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m
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（2）二次函数 f x = ax 2 + bx + c a, b ∈ , a ≠ 0 满足条件：①当 x ∈ 时， f x 的图象关于
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直线 x = −1 对称；② f 1 = 1 ；③ f x 在 上的最小值为0.求函数 f x 的解析式.
值域.对于 f x = ax + b + cx + d （其中 a ， b ， c ， d 为常数，且 a ≠ 0 ）型的函数常用
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换元法.
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针对训练3.（1） 函数 f x =
A. [0,1]
[解析] ∵
x2
1
高中数学 第三章 函数概念与性质 3.4 函数的应用(一)精品练习(含解析)新人教A版必修第一册-新
3.4 函数的应用（一）必备知识基础练知识点一用一次函数模型解决实际问题1.某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x 的函数关系式为( )A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A．310元 B．300元C．390元 D．280元知识点二用二次函数模型解决实际问题3.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x 和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A．90万元 B．60万元C．120万元 D．120.25万元4．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______m.知识点三用幂函数、分段函数模型解决实际问题5.一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图所示，则当t＝2时，汽车已行驶的路程为( )A ．100 kmB ．125 kmC ．150 kmD ．225 km6．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x (万元)与药品利润y (万元)存在的关系为y ＝x α(α为常数)，其中x 不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．关键能力综合练 一、选择题1．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为( )A ．4 050元B ．4 000元C ．4 100元D ．4 150元2．某厂生产中所需一些配件可以外购，也可以自己生产．如果外购，每个配件的价格是1.10元；如果自己生产，则每月的固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元，则决定此配件外购或自产的转折点(即生产多少件以上自产合算)是( )A ．1 000件B ．1 200件C ．1 400件D ．1 600件3．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元4．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m (件)与售价x (元)满足一次函数：m ＝162－3x ，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )A ．30元B ．42元C ．54元D ．越高越好5．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x ≤10，x ∈N ，2x ＋10，10<x <100，x ∈N ，1.5x ，x ≥100，x ∈N ，其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A ．15B ．40C ．25D ．1306．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断： ①0点到3点只进水不出水； ②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水． 则一定正确的是( ) A ．① B．①② C ．①③ D．①②③ 二、填空题7．稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4 000元，定额减除费用800元；每次收入在4 000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：(1)每次收入不超过4 000元的：应纳税额＝(每次收入额－800)×20%×(1－30%)； (2)每次收入在4 000元以上的：应纳税额＝每次收入额×(1－20%)×20%×(1－30%)． 已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前)为________元． 8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米．9．(探究题)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是______(单位：元)．三、解答题10．某种商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，－t ＋100，25≤t ≤30.(t ∈N *)设该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？学科素养升级练1．(多选题)生活经验告诉我们，当把水注进容器(设单位时间内进水量相同)，水的高度会随着时间的变化而变化，则下列选项中容器与图象匹配正确的是( )A ．(A)—(3)B ．(B)—(1)C ．(C)—(4)D ．(D)—(2)2．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋xb ，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )A ．a ＝45，b ＝－30B ．a ＝30，b ＝－45C ．a ＝－30，b ＝45D ．a ＝－45，b ＝－303．(学科素养—数据分析)医院通过撒某种药物对病房进行消毒．已知开始撒放这种药物时，浓度激增，中间有一段时间，药物的浓度保持在一个理想状态，随后药物浓度开始下降．若撒放药物后3小时内的浓度变化可用下面的函数表示，其中x 表示时间(单位：小时)，f (x )表示药物的浓度：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ＋400<x ≤1，431<x ≤2，－3x ＋482<x ≤3.(1)撒放药物多少小时后，药物的浓度最高？能维持多长时间？(2)若需要药物浓度在41.75以上消毒1.5小时，那么在撒放药物后，能否达到消毒要求？并简要说明理由．3．4 函数的应用(一)必备知识基础练1．解析：由题意得y ＝0.3(4 000－x )＋0.2x ＝－0.1x ＋1 200.(0≤x ≤4 000) 答案：C2．解析：由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y ＝500x ＋300(x ≥0)，当x ＝0时，y ＝300.答案：B3．解析：设公司在甲地销售x 台，则在乙地销售(15－x )台，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．答案：C4．解析：设隔墙的长为x m ，矩形面积为S m 2，则S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，0<x <6，所以当x ＝3时，S 有最大值为18. 答案：35．解析：t ＝2时，汽车行驶的路为s ＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150(km)．答案：C6．解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y ＝x α中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y ＝x 3，所以当x ＝5时，y ＝125.答案：125关键能力综合练1．解析：设每辆车的月租金为x (x ＞3 000)元， 则租赁公司月收益为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050(x －150)－x －3 00050×50， 整理得y ＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.∴当x ＝4 050时，y 取最大值为307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元． 答案：A2．解析：设生产x 件时自产合算，由题意得1.1x ≥800＋0.6x ，解得x ≥1600，故选D. 答案：D3．解析：设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20.B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15.t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.∴A 正确． 答案：A4．解析：设当每件商品的售价为x 元时，每天获得的销售利润为y 元． 由题意得，y ＝m (x －30)＝(x －30)(162－3x )(30≤x ≤54)． 上式配方得y ＝－3(x －42)2＋432. 所以当x ＝42时，利润最大． 答案：B5．解析：若4x ＝60，则x ＝15>10，不合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；若1.5x ＝60，则x ＝40<100，不合题意．故拟录用25人．答案：C6．解析：由甲乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所以0点到3点只进水不出水，3点到4点水量减少，则一个进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出水，所以只有①正确，故选A.答案：A7．解析：当此人收入为4 000元时(扣税前)，应纳税(4 000－800)×20%×(1－30%)＝448＞280，可知此人收入不超过4000元(扣税前)，则设此人应得稿费为x 元(扣税前)，则(x －800)×20%×(1－30%)＝280，解得x ＝2 800.故正确答案为2 800. 答案：2 8008．解析：设出租车行驶x 千米时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋2.15x －3＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85x －8＋1，x >8，当x ＝5.6时，y ＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)． 由y ＝22.6，知x >8，由8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1＝22.6，解得x ＝9. 答案：14.59 99．解析：设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取等号.所以该容器的最低总造价为160元． 答案：16010．解析：设日销售金额为y (元)，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800，0<t <25，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30.(t ∈N *)①当0<t <25且t ∈N *时，y ＝－(t －10)2＋900， 所以当t ＝10时，y max ＝900(元)．②当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900， 所以当t ＝25时，y max ＝1 125(元)． 结合①②得y max ＝1 125(元)．因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大．学科素养升级练1．解析：(A)容器下粗上细最上方为柱形，水高变化为逐渐变快再匀速，故(A)应匹配(4)，(B)容器下方为球形上方为柱形，水高变化为先逐渐变慢再逐渐变快再匀速，故(B)应匹配(1)；(C)，(D)容器都是柱形的，水高变化的速度都应是不变的，但(C)容器细，(D)容器粗，故(C)容器水高变化快，(D)容器慢．(C)应匹配(3)，(D)应匹配(2)，故正确匹配的是BD.答案：BD2．解析：设生产x 吨产品全部卖出，获利润为y 元， 则y ＝xQ －P ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x b －⎝ ⎛⎭⎪⎫1 000＋5x ＋110x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000(x >0)． 由题意知，当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40.所以⎩⎨⎧－a －52⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110＝150，a ＋150b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝－30.答案：A3．解析：(1)当0<x ≤1时，f (x )＝－x 2＋4x ＋40＝－(x －2)2＋44，∴f (x )在(0,1]上是增函数，其最大值为f (1)＝43；f (x )在(2,3]上单调递减，故当2<x ≤3时， f (x )<－3×2＋48＝42.因此，撒放药物1小时后，药物的浓度最高为43，并维持1小时．(2)当0<x ≤1时，令f (x )＝41.75，即－(x －2)2＋44＝41.75，解得x ＝3.5(舍去)或x ＝0.5；当2<x ≤3时，令f (x )＝41.75，即－3x ＋48＝41.75，解得x ≈2.08. 因此药物浓度在41.75以上的时间为2.08－0.5＝1.58小时>1.5小时， ∴撒放药物后，能够达到消毒要求．。
凸函数的性质及其应用1
f(x)+f(y) 2
≥f(
x+y 2
)
即，-
arctanx+arctany 2
≥-
arctan(
x+y 2
)
即
2arctan(
x+y 2
)≥arctanx+arctany
例（2）：已知：xi∈(π,2π),i=1,2,…n
求证：sinx1+sinx2+…+sinxn ≥ x1+x2+…+xn
n
n
证明：设 f(x)=sinx 因为 f''(x)=- sinx 由性质 7，f(x)在(π,2π)为凸
＞f(
x+y 2
)
证明 设 f(t)=tlnt(t＞0)
∴f'(t)=1+lnt f''(t)= 1 (t＞0) t
∴f(t)在(0,+∞)上是严格凸函数,
∴
对坌x,y＞0
且
x≠y，有：f(x)+2f(y)
＞f(
x+y 2
)
即：xlnx+2ylny
＞ x+y 2
ln
x+y 2
即：xlnx+ylny＞(x+y)ln
凸函数的应用领域非常广泛，特别是在不等式的证明中，运用
它解题显得巧妙、简练。通过以上例题可以看出，利用凸函数的性质
证明有关不等式，可以使难度较大且证明过程复杂的问题转化成证
明比较容易，证明过程简单的问题，关键是寻找合适的凸函数，若不
能直接找出，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到证明不等
式的目的。
第一课时函数的性质和应用(Ⅰ)(预习案)
第一课时 函数的性质及应用(Ⅰ) (预习案)一、复习目标 1填空题仍然是对函数的性质、函数的值域和函数图象的运用的相关温习，难度不一. 2在解答题中，函数模型的实际运用仍然会是考查热点，函数综合性质的温习仍然是温习的难点，数形结合思想和分类讨论思想是温习的重点.二、课前自我检测1．(2020·江苏高考)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，假设实数m ，n 知足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．2．(2020·江苏高考)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，那么实数a 的值为________．3．(2020·江苏高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，那么知足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．4．(2020·江苏高考)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．5．(2021·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，假设关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，那么实数c 的值为________．我思我疑：第一课时 函数的性质及应用(Ⅰ) (教学简案)一、学生课前预习情形分析1．预习情形抽测 2．典型错误剖析二、典型例题探讨例1. (2021·如皋测试)已知函数f (x )＝a －1|x |. (1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围；(3)假设函数y ＝f (x )在[m ，n ]上的值域是[m ，n ](m ≠n )，求实数a 的取值范围．例2. (2021·苏州调研)已知函数f (x )＝|x －m |和函数g (x )＝x |x －m |＋m 2－7m .(1)假设方程f (x )＝|m |在[4，＋∞)上有两个不同的解，求实数m 的取值范围；(2)假设对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[3，＋∞)，使得f (x 1)>g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．例3. 已知函数f (x )＝ax 2－|x |＋2a －1(a 为实常数)．(1)若a ＝1，作函数f (x )的图象；(2)设f (x )在区间[1,2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式；(3)设h (x )＝f (x )x，假设函数h (x )在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围．三、当堂训练四、课堂小结五、课后作业布置一中高三数学2013春学期第1周第1次当堂训练1(2021·南通学科基地)函数f (x )的概念域为D ，假设知足①f (x )在D 内是单调函数，②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[－b ，－a ]，那么y ＝f (x )叫做对称函数，现有f (x )＝2－x －k 是对称函数，求k 的取值范围．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0，其中b >0，c ∈R .当且仅当x ＝－2时，函数f (x )取得最小值－2.(1)求函数f (x )的表达式；(2)假设方程f (x )＝x ＋a (a ∈R )至少有两个不相同的实数根，求a 取值的集合3．(2021·苏锡常镇调研)已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x 在[0,1]上的最大值为4，则f (x )在[－1,0]上的最小值为________．一中高三数学2013春学期第1周第2次当堂训练一、关于概念在D 上的函数y ＝f (x )，假设同时知足(1)存在闭区间[a ，b ]⊆D ，使得任取x 1∈[a ，b ]，都有f (x 1)＝c (c 是常数)；(2)关于D 内任意x 2，当x 2∉[a ，b ]时总有f (x 2)>c .称f (x )为“平底型”函数．判定f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|，f 2(x )＝x ＋|x －2|是不是是“平底型”函数？简要说明理由．二、(2021·金陵中学期末)已知函数f (x )的图象在[a ，b ]上持续不断，概念：f 1(x )＝min{f (t )|a ≤t ≤x }(x ∈[a ，b ])，f 2(x )＝max{f (t )|a ≤t ≤x }(x ∈[a ，b ])．其中，min{f (x )|x ∈D }表示函数f (x )在区间上的最小值，max{f (x )|x ∈D }表示函数f (x )在区间上的最大值．假设存在最小正整数k ，使得f 2(x )－f 1(x )≤k (x －a )对任意的x ∈[a ，b ]成立，那么称函数为区间[a ，b ]上的“k 阶收缩函数”．(1)若f (x )＝cos x ，x ∈[0，π]，试写出f 1(x )，f 2(x )的表达式；(2)已知函数f (x )＝x 2，x ∈[－1,4]，试判定f (x )是不是为[－1,4]上的“k 阶收缩函数”，若是是，求出相应的k ；若是不是，请说明理由；(3)已知b >0，函数f (x )＝－x 3＋3x 2是[0，b ]上的2阶收缩函数，求b 的取值范围．3、(2021·无锡期中)已知二次函数g (x )对任意实数x 都知足g (x －1)＋g (1－x )＝x 2－2x －1，且g (1)＝－1.令f (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋m ln x ＋98(m ∈R ，x >0)． (1)求g (x )的表达式；(2)若∃x >0使f (x )≤0成立，求实数m 的取值范围；(3)设1＜m ≤e ，H (x )＝f (x )－(m ＋1)x一中高三数学2013春学期第1周第1次课后作业1．已知函数f (x )＝2x2x ＋1，则f (－5)＋f (－4)＋…＋f (4)＋f (5)＝________. 2．假设函数y ＝3＋x 2ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12的最大值与最小值别离为M ，m ，则M ＋m ＝________.3．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．4．函数f (x )＝log 2x －1log 2x ＋1，若f (x 1)＋f (2x 2)＝1(其中x 1，x 2均大于2)，则f (x 1x 2)的最小值为________．5．已知函数f (x )＝e |x |，m >1，对任意的x ∈[1，m ]，都有f (x －2)≤e x ，那么最大的正整数m 为________．6．已知以T ＝4为周期的函数f (x )，当x ∈(－1,3]时f (x )＝⎩⎨⎧m 1－x 2，x ∈(－1，1]，1－|x －2|，x ∈(1，3]，其中m >0.假设方程3f (x )＝x 恰有5个实数解，则m 的取值范围为________．7．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．8．函数f (x )＝log 2x －1log 2x ＋1，若f (x 1)＋f (2x 2)＝1(其中x 1，x 2均大于2)，则f (x 1x 2)的最小值为________．9．已知函数f (x )＝e |x |，m >1，对任意的x ∈[1，m ]，都有f (x －2)≤e x ，那么最大的正整数m 为________．10．已知以T ＝4为周期的函数f (x )，当x ∈(－1,3]时f (x )＝⎩⎨⎧m 1－x 2，x ∈(－1，1]，1－|x －2|，x ∈(1，3]，其中m >0.假设方程3f (x )＝x 恰有5个实数解，则m 的取值范围为________．11．设函数f (x )＝x 2＋|2x －a |(x ∈R ，a 为实数)．(1)若f (x )为偶函数，求实数a 的值；(2)设a >2，求函数f (x )的最小值．12．函数f (x )对任意的m ，n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，而且x >0时，恒有f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.第二课时 函数的性质及应用(Ⅱ) (预习案)一、复习目标(1)高考中考查函数性质的形式不一，时而填空题，时而解答题，时而与其他章节综合，在解决问题的某一步骤中显现.在二轮温习中要注重知识点之间的联系，同时还要注意结合函数图象解决问题.(2)函数的对称性、周期性常与函数的奇偶性、单调性综合起来考查；函数的零点问题是最近几年来新增的一个考点，也要引发足够的重视.二、课前自我检测1．已知函数F (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－1是R 上的奇函数，a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，那么数列{a n }的通项a n ＝________.2．(2021·徐州期末)设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出以下四个命题①当c ＝0，y ＝f (x )是奇函数；②当b ＝0，c <0时，方程f (x )＝0只有一个实数根；③y ＝f (x )的图象关于点(0，c )对称；④方程f (x )＝0最多有两个实数根．3．已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )．给出以下命题：①f (x )必是偶函数；②当f (0)＝f (2)时，f (x )的图象必关于直线x ＝1对称；③若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；④f (x )有最大值|a 2－b |.其中正确的序号是________．4．(2021·淮阴联考)给出以下四个结论：①函数y ＝k ·3x (k 为非零常数)的图象可由函数y ＝3x 的图象通过平移取得；②不等式⎪⎪⎪⎪ax －1x >a 的解集为M ，且2∉M ，则a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫14，＋∞； ③概念域为R 的函数f (x )知足f (x ＋1)·f (x )＝－1，则f (x )是周期函数；④已知f (x )知足对x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝7. 其中正确结论的序号是________．(把你以为正确命题的序号都填上)我思我疑：第二课时 函数的性质及应用(Ⅱ) (教学简案)一、学生课前预习情形分析1．预习情形抽测 2．典型错误剖析二、典型例题探讨例 1. (2021·泰兴中学调研)设n 为正整数，规定：f n (x )＝f {f […f (x )]}n 个f ，已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，x －1， 1＜x ≤2.(1)解不等式f (x )≤x ； (2)设集合A ＝{0,1,2}，对任意x ∈A ，证明：f 3(x )＝x ；(3)探求f 2 012⎝⎛⎭⎫89；(4)假设集合B ＝{x |f 12(x )＝x ，x ∈[0,2]}，证明：B 中至少包括有8个元素例2. (2021·南京一模)关于函数f (x )，假设存在实数对(a ，b )，使得等式f (a ＋x )·f (a －x )＝b 对概念域中的每一个x 都成立，那么称函数f (x )是“(a ，b )型函数”．(1)判定函数f (x )＝4x 是不是为“(a ，b )型函数”，并说明理由；(2)已知函数g (x )是“(1,4)型函数”，当x ∈[0,2]时，都有1≤g (x )≤3成立，且当x ∈[0,1]时，g (x )＝x 2－m (x －1)＋1(m >0)，试求m 的取值范围．例3. (2021·栟茶模拟)已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a (a >0，a ≠1)．(1)当a >1时，求证：函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)假设函数y ＝|f (x )－t |－1有三个零点，求t 的值；(3)假设存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围三、当堂训练四、课堂小结五、课后作业布置一中高三数学2013春学期第1周第2次课后作业1．概念域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg|x －2||，x ≠2，1， x ＝2，那么关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有5个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，求f (x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＝________.2．假设函数f (x )知足：f (x ＋3)＝f (5－x )且方程f (x )＝0恰有5个不同实根，求这些实根之和为________．3．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，则b ＋c 的最大值是________．4．某同窗在研究函数f (x )＝x 1＋|x |(x ∈R )时，别离给出下面几个结论： ①等式f (－x )＋f (x )＝0在x ∈R 时恒成立；②函数f (x )的值域为(－1,1)；③若x 1≠x 2，那么必然有f (x 1)≠f (x 2)；④函数g (x )＝f (x )－x 在R 上有三个零点．其中正确结论的序号有________(请将你以为正确的结论的序号都填上)5．假设关于x 的方程x 2＝2－|x －t |至少有一个负数解，那么实数t 的取值范围是________．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ， x ≥2，(x －1)3， x <2，假设关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是________．7．关于实数a 和b ，概念运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b ，设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程为f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．8．概念在R 上的函数f (x )知足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .那么f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝________.9．(2021·南师附中)设f (x )是概念在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝x 2，关于任意x∈[t －2，t ]，不等式f (x ＋t )≥2f (x )恒成立，那么实数t 的取值范围是________．10．(2021·北京高考)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.假设同时知足条件： ①∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0.则m 的取值范围是________．第三课时 导数(预习案)一、复习目标(1)导数的几何意义；(2)利用导数研究函数的单调性或极值、最值.二、课前自我检测1．(2020·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，那么点P 的坐标为________．2．(2020·江苏高考)函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________.3．假设函数f (x )＝e x －2x －a 在R 上有两个零点，那么实数a 的取值范围是________．4．(2020·江苏高考)将边长为1 m 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则S 的最小值是________．5．(2020·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．我思我疑：第三课时导数(教学简案)一、学生课前预习情形分析1．预习情形抽测2．典型错误剖析二、典型例题探讨例1. (2021·扬州调研)已知函数f(x)＝e x＋ax，g(x)＝e x ln x(e是自然对数的底数)．(1)假设曲线y＝f(x)在x＝1处的切线也是抛物线y2＝4(x－1)的切线，求a的值；(2)假设关于任意x∈R，f(x)>0恒成立，试确信实数a的取值范围；(3)当a＝－1时，是不是存在x0∈(0，＋∞)，使曲线C：y＝g(x)－f(x)在点x＝x0处的切线斜率与f(x)在R上的最小值相等？假设存在，求符合条件的x0的个数；假设不存在，请说明理由、例2. (2021·苏锡常镇一调)假设斜率为k的两条平行直线l，m通过曲线C的端点或与曲线C 相切，且曲线C上的所有点都在l，m之间(也可在直线l，m上)，那么把l，m间的距离称为曲线C在“k方向上的宽度”，记为d(k)．(1)假设曲线C：y＝2x2－1(－1≤x≤2)，求d(－1)；(2)已知k>2，假设曲线C：y＝x3－x(－1≤x≤2)，求关于k的函数关系式d(k)．例3. (2021·泰州中学期中)已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x(a，b∈R)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋2＝0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)假设关于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤c，求实数c的最小值；(3)假设过点M(2，m)(m≠2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．当堂训练四、课堂小结五、课后作业布置一中高三数学2013春学期第1周第3次当堂训练一、已知抛物线C 1：y ＝x 2＋2x 和C 2：y ＝－x 2＋a .若是直线l 同时是C 1和C 2的切线，称l 是C 1和C 2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．(1)a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段相互平分．二、设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3. (1)求f (x )的解析式； (2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．3、(2021·南京一模)已知函数f (x )＝x －1－ln x .(1)求函数f (x )的最小值；(2)求证：当n ∈N *时，e1＋12＋13＋ (1)>n ＋1； (3)关于函数h (x )和g (x )概念域上的任意实数x ，假设存在常数k ，b ，使得不等式h (x )≥kx ＋b 和g (x )≤kx ＋b 都成立，那么称直线y ＝kx ＋b 是函数h (x )与g (x )的“分界限”．设函数h (x )＝12x 2，g (x )＝e[x －1－f (x )]，试问函数h (x )与g (x )是不是存在“分界限”？假设存在，求出常数k ，b 的值；假设不存在，说明理由．一中高三数学2013春学期第1周第4次当堂训练一、(2021·泰州期末)已知函数f (x )＝12x 2＋⎝⎛⎭⎫34a 2＋12a ln x －2ax . (1)当a ＝－12时，求f (x )的极值点； (2)若f (x )在f ′(x )的单调区间上也是单调的，求实数a 的范围．二、设a ≥0，f (x )＝x －1－ln 2 x ＋2a ln x (x >0)．(1)令F (x )＝xf ′(x )，讨论F (x )在(0，＋∞)内的单调性并求极值；(2)求证：当x >1时，恒有x >ln 2 x －2a ln x ＋1.3、假设不等式|ax 3－ln x |≥1对任意x ∈(0,1]都成立，那么实数a 取值范围是________．一中高三数学2013春学期第1周第3次课后作业 1．(2021·南通调研)设P 是函数y ＝x (x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．2．假设方程ln x －2x －a ＝0有两个不等的实数根，那么实数a 的取值范围是________．3．假设函数f (x )＝3x＋ln x 在区间(m ，m ＋2)上单调递减，那么实数m 的范围是________． 4．f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ＝________，b ＝________.5．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与y 轴的交点的纵坐标为y n ，令b n ＝2y n ，则b 1·b 2·…·b 2 010的值为________．6．已知函数y ＝f (x )在概念域⎝⎛⎭⎫－32，3上可导，其图象如图，记y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )，那么不等式xf ′(x )≤0的解集是________．7．曲边梯形由曲线y ＝e x ，y ＝0，x ＝1，x ＝5所围成，过曲线y ＝e x ，x∈[1,5]上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的一般梯形，这时点P 的坐标是________．8．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不是单调函数，则t 的取值范围是________．9．给出概念：假设函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，那么称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.假设f ″(x )<0在D 上恒成立，那么称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数的是________．(把你以为正确的序号都填上)①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x . 10．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．11．已知函数f (x )＝a ＋sin x 2＋cos x－bx (a ，b ∈R )． (1)若f (x )在R 上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为2 680，试求a 和b的值；(2)若f (x )为奇函数，12．(2021·无锡一中)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2，a ∈R .(1)若a <0时，试求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)若a ＝0，且曲线y ＝f (x )在点A ，B (A ，B 不重合)处切线的交点位于直线x ＝2上，证明：A ，B 两点的横坐标之和小于4；(3)若是关于一切 x 1，x 2，x 3∈[0,1]，总存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为三边长的三角形，试求正实数a 的取值范围．第四课时 导数(Ⅱ)(预习案)一、复习目标|解答题中显现导数的概率超级大，导数的考查思路比较清楚，把导数作为工具仅限于理论上的分析和实践中的应用，考查导数有时会跟分类讨论、数形结合、函数与方程联系一路综合考查，专门是利用导数解决函数最值问题的实际操作，更是层出不穷，因此在平常的学习当中，注重函数模型化的识别.二、课前自我检测1．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，那么实数b 的值是________． 2．函数y ＝4x 2＋1x单调递增区间是________． 3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如右图所示，则f (x )的图象最有可能的是________．(填图象序号)4．函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递增，那么实数a 的最大值为________．5．(2021·南通模拟)各项均为正数的等比数列{}a n 知足a 1a 7＝4，a 6＝8，假设函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 10x 10的导数为f ′(x )，则f ′⎝⎛⎭⎫12＝________.我思我疑：第四课时 导数(Ⅱ)(教学简案)一、学生课前预习情形分析1．预习情形抽测 2．典型错误剖析二、典型例题探讨例1. (2021·江苏高考)假设函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，那么称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点；(3)设h (x )＝f (f (x ))－c ，其中c ∈[－2,2]，求函数y ＝h (x )的零点个数．例2. (2021·徐州最后一卷)已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)证明对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立．例3. (2021·泰州中学期末)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．当堂训练四、课堂小结五、课后作业布置一中高三数学2013春学期第1周第4次课后作业1．(2021·启东期末)假设函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)·x ＋1在区间(1,4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，那么实数a 的取值范围是________．2．(2021·通州中学期末)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)存在单调递减区间，那么实数a 的取值范围是________．3．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．假设函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，那么实数a 的取值范围是________．4．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，则b ＋c 的最大值为________．5．已知函数f (x )知足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2，则f (x )的解析式为________． 6．(2021·南通高中联考)设函数f (x )＝ax ，x ∈[0，π]，且f (x )≤1＋sin x ，则a 的取值范围________．7．设函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3，g (x )＝ax －2a .假设存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0与g (x 0)<0同时成立，那么实数a 的取值范围是________．8．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，假设关于任意的x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，那么实数a 的值为________．9．(2021·南通学科基地)已知函数f (x )＝12ax 2－2x sin 2α和函数g (x )＝ln x ，记F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)当α＝π3时，若f (x )在[1,2]上的最大值是f (2)，求实数a 的取值范围； (2)当a ＝1时，判定F (x )在其概念域内是不是有极值，并予以证明；(3)对任意的α∈⎝⎛⎭⎫π6，23π，若F (x )在其概念域内既有极大值又有极小值，试求实数a 的取值范围．10．(2021·苏中五市联考)如图，实线部份的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q 的半径都是2 km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块极点都在圆P 上的多边形活动场地．(1)如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；(2)如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．。
人教A版高中数学必修第一册课后习题 第3章函数的概念与性质 3.4 函数的应用(一)
3.4 函数的应用(一)课后训练巩固提升1.从装满20 L 纯酒精的容器中倒出1 L 酒精,然后用水加满,再倒出1 L 酒精溶液,再用水加满,照这样的方法继续下去,如果倒第k 次时前k 次共倒出纯酒精x L,倒第(k+1)次时前(k+1)次共倒出纯酒精f(x) L,则f(x)的解析式是( )A.f(x)=1920x+1 B.f(x)=120x+1 C.f(x)=1920(x+1) D.f(x)=120xk 次时共倒出纯酒精xL,所以第k 次后容器中含纯酒精(20-x)L,第(k+1)次倒出的纯酒精是20-x 20L,故f(x)=x+20-x 20=1920x+1.2.某商品的进货价为40元/件,当售价为50元/件时,一个月能卖出500件.通过市场调查发现,该商品的单价每提高1元,该商品一个月的销售量就会减少10件,为使销售该商品的月利润最高,商店应将每件商品定价为( )A.45元B.55元C.65元D.70元50元的基础上提高x元,x∈N,每月的月利润为y元,则y与x 的函数解析式为y=(500-10x)·(50+x-40)=-10x2+400x+5000,x∈N,其图象的对称轴为直线x=20,故每件商品的定价为70元时,月利润最高.3.(多选题)甲、乙两人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步;乙先跑步到两地的中点再改为骑自行车,最后两人同时到达B地.已知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,且两人骑车的速度均大于跑步的速度.现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示如下:则上述四个函数图象中,表示甲、乙两人运动的函数关系的图象对应正确的是( )A.甲对应图①B.甲对应图③C.乙对应图②D.乙对应图④,知前半程的速度大于后半程的速度,则前半程的直线的斜率大于后半程直线的斜率.乙是先跑步,到中点后改为骑自行车,则前半程的直线的斜率小于后半程直线的斜率.因为甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,则甲前半程的直线的斜率大于乙后半程直线的斜率,所以甲是①,乙是④.4.一批商品按期望获得50%的利润定价,结果只销售出70%的商品,为了尽早销售完剩下的商品,商场决定按定价打折出售,这样所获得的全部利润是原来所期望利润的82%,则应打( )A.六折B.七折C.八折D.九折a,商品打x折,-a)×30%=0.5a×82%-0.5a×70%,解得x=8.即商品由题意,得(1.5a·x10应打八折.5.已知直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,AB=1,OC=BC=2,直线x=t截这个梯形位于此直线左方的图形的面积(图中阴影部分)为y,则函数y=f(t)的大致图象为( )0≤t≤1时,f(t)=12t·2t=t2;当1<t≤2时,f(t)=12×1×2+(t-1)×2=2t-1,故当t∈[0,1]时,函数的图象是抛物线的一部分,当t∈(1,2]时,函数的图象是一条线段,故选C.6.将边长为1 m的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,设S=(梯形的周长)2梯形的面积,则S的最小值是.,根据题意,得S(x)=√3·(3-x)21-x2(0<x<1),令3-x=t,则t∈(2,3),1t ∈(13,12),则S=√3·t2-t2+6t-8=√3·1-8t2+6t-1,故当1t =38,即x=13时,S有最小值,最小值是32√33.7.有一种新型的洗衣液,去污效果特别好.已知在装有一定量水的洗衣机中投放k(1≤k≤4,且k∈R)个单位的洗衣液时,它在水中释放的浓度y(单位:克/升)随着时间x(单位:分钟)变化的函数解析式近似为y=kf(x),其中f(x)={248-x-1(0≤x≤4),7-12x(4<x≤14).若多次投放,则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时,它才能起到有效去污的作用.(1)若只投放一次k个单位的洗衣液,第2分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升,求k的值;(2)若只投放一次4个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟?(3)若第一次投放2个单位的洗衣液,10分钟后再投放1个单位的洗衣液,则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用?请说明理由.由题意知,k(248-2-1)=3,解得k=1.(2)因为k=4,所以y={968-x -4,0≤x≤4,28-2x,4<x≤14.当0≤x≤4时,由968-x-4≥4,解得-4≤x<8,所以0≤x≤4;当4<x≤14时,由28-2x≥4,解得x≤12,所以4<x≤12.综上,当y≥4时,0≤x≤12.故只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达12分钟.(3)能.理由:在第12分钟时,水中洗衣液的浓度为2×(7-12×12)+1×[248-(12-10)-1]=5(克/升),因为5>4,所以在第12分钟时还能起到有效去污的作用.8.在经济学中,函数f(f(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台(x>0)报警系统装置的收益函数为R(x)=3 000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4 000(单位:元).(1)求生产P(P(P(x)取得最大值时的实际意义是什么?由题意,得P(x)=R(x)-C(x)=(3000x-20x2)-(500x+4000)=-20x2+2500x-4000,其中P(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-(-20x2+2500x-4000)=248 0-40x,其中x∈[1,99],且x∈N*.(2)由(1)知P(x)=-20x2+2500x-4000=-20(x-1252)2+74125.由x∈N*,知当x=62或x=63时,P(a P(x)=2480-40x,该函数是减函数,即随着产量的增加,每台报警系统装置与前一台相比较,利润在减小,故当x=1时,MP(P(x)取得最大值时的实际意义是生产第2台报警系统装置与生产第1台的总利润差最大.。
函数的应用(一)
[自主解答] 设生产童装的天数为 x，则生产西服的天数为(30－x)，每月生产童装 和西服的套数分别为 200x 和 50(30－x)，每月生产童装和西服的成本分别为 40×200x 元 和 150×50×(30 － x) 元 ， 每 月 生 产 童 装 和 西 服 的 利 润 分 别 为 22×200x 元 和 80×50×(30－x)元，则总利润为 y＝22×200x＋80×50×(30－x)，化简得 y＝400x＋120 000.
题型三 分段函数模型的应用
某公司生产一种产品，每年投入固定成本 0.5 万元，此外每生产 100 件这种 产品还需要增加投资 0.25 万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为 500 件， 当出售的这种产品的数量为 t(单位：百件)时，销售所得的收入约为 5t－12t2(万元)．
(1)若该公司的年产量为 x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年 利润表示为年产量 x 的函数；
答案 D
题型二 二次函数与幂函数模型的应用 某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果，假设每箱售价不得低于 50 元
且不得高于 55 元．市场调查发现，若每箱以 50 元的价格销售，平均每天销售 90 箱， 价格每提高 1 元，平均每天少销售 3 箱．
(1)求平均每天的销售量 y(箱)与销售单价 x(元)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润 w(元)与销售单价 x(元)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
[触类旁通]
1．某厂日生产文具盒的总成本 y(元)与日产量 x(套)之间的关系为 y＝6x＋30 000.
而出厂价格为每套 12 元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒( )
函数的应用(一)
某公司生产某种电子仪器的固定成本为 20 000 元，每生产一台仪器需增
加投入 100 元，已知总收益满足函数 R(x)＝400x－12x2，0≤x≤400， 80 000，x>400.
(1)将利润表示为月产量的函数ห้องสมุดไป่ตู้f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成 本＋利润)
解 (1)当 0≤x≤500 时，产品全部售出，∴y＝500x－12x2－(5 000＋25x)，即 y＝ －12x2＋475x－5 000．
当 x＞500 时，产品只能售出 500 台，∴y＝500×500－12×5002－(5 000＋25x)， 即 y＝－25x＋120 000．
(2)当 0≤x≤500 时，y＝－12(x－475)2＋107 812.5， 当 x＞500 时，y＝120 000－25x＜120 000－25×500＝107 500＜107 812.5． 故当年产量为 475 台时取得最大利润，且最大利润为 107 812.5 元． (3)若工厂有利润，则应有 y＞0，∴475x－12x2＞5 000，整理得 x2－950x＋10 000 ＜0，解得 10＜x＜940． ∵市场需求量为每年 500 部，∴10＜x≤500，故当年产量超过 10 部后，工厂有 盈利．
探究二 二次函数模型应用举例
[知能解读] 利用二次函数求最值时，根据实际问题建立二次函数解析式后， 可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而 解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．
牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量 不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y(只)和实际蓄 养量x(只)与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)．
函数与方程及函数的综合应用课件——高三数学一复习
2
x 1
品售价为50万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
解析 (1)当0<x<50时,L(x)=50x- 1 x 2 10 x -200=- 1 x2+40x-200,
6
4 3
3 2
6
2
函数f(x)的一个零点位于 , 内,即x0∈ , .故选C.
6 4
答案 C
6 4
考法二 已知函数有零点(方程有根)求参数值(或取值范围)
1.直接法:利用零点构建关于参数的方程(组)或不等式(组),直接求解.
2.参数分离法:将参数与自变量分离,转化为求函数的最值或值域.
2
2
当x≥50时,L(x)=50x-52x- 7 200 +1 200-200=1 000- 2 x 7 200 ,
x 1
1 2
x 40 x 200,0 x 50,
所以L(x)= 2
1 000 2 x 7 200 , x 50.
3.5专题三、函数与方程及
函数的综合应用
知识梳理
基础篇
考点一 函数的零点
1.函数的零点
1)函数零点的定义:对于一般函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=
f(x)的零点.
注意:零点不是点,是满足f(x)=0的实数x.
2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的
第3章函数的概念与性质章末总结+课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版必修第一册
∵ f x 在区间[0,2]上单调递增，f x 在上是奇函数，∴ f x 在区间[−2,2]上单调递增，
∴ f −1 < f 0 < f 1 ，即f −25 < f 80 < f 11 .
命题点1 求函数的值或最值
例9 (2023·全国高中数学联赛四川赛区预赛)已知f x 是定义在上的函数，且对任意
图3-1
（3）求出f x 在[−3,3]上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.
【解析】由函数f x 在[−3,3]上的单调性可知，f x 在x = −3或x = 1处取得最小值，
易得f −3 = −k 2 ，f 1 = −1.
在x = −1或x = 3处取得最大值，易得f −1 = −k，f 3 =
【解析】由f −2 = 0,可设f x = x + 2 ax + b = ax 2 + 2a + b x + 2b a ≠ 0 .
由f x ≥ 2x得ax 2 + 2a + b − 2 x + 2b ≥ 0,
所以a > 0且 2a + b − 2
由f x ≤
x2 +4
得
2
2
− 8ab ≤ 0,整理后即为4a2 + b2 ≤ 4ab + 8a + 4b − 4 ①;
设f x =
−3
，则y
x
=
3−2x
x−3
的规则知，将函数f x =
= f(x − 3) − 2,根据函数图象平移变换
−3
的图象先向右平移3个单位长度，再
x
向下平移2个单位长度，即得函数y =
高三一轮复习函数专题1---函数的基本性质
函数专题1、函数的根本性质复习提问：1、如何判断两个函数是否属于同一个函数。
2、如何求一个函数的定义域〔特别是抽象函数的定义域问题〕3、如何求一个函数的解析式。
〔常见方法有哪些〕4、如何求函数的值域。
〔常见题型对应的常见方法〕5、函数单调性的判断，证明和应用〔单调性的应用中参数问题〕6、函数的对称性〔包括奇偶性〕、周期性的应用7、利用函数的图像求函数中参数的范围等其他关于图像问题 知识分类一、函数的概念：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法那么f .当函数的定义域及从定义域到值域的对应法那么确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法那么为函数的两个根本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法那么都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. 1、试判断以下各组函数是否表示同一函数？〔1〕f 〔x 〕=2x ，g 〔x 〕=33x ；〔2〕f 〔x 〕=x x ||，g 〔x 〕=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x〔3〕f 〔x 〕=1212++n n x ，g 〔x 〕=〔12-n x 〕2n －1〔n ∈N *〕；〔4〕f 〔x 〕=x1+x ，g 〔x 〕=x x +2；〔5〕f 〔x 〕=x 2－2x －1，g 〔t 〕=t 2－2t －1.二、函数的定义域〔请牢记：但凡说定义域范围是多少，都是指等式中变量x 的范围〕 1、求以下函数的定义域：(1)ｙ＝－221x ＋１(2)ｙ＝422--x x (3)x x y +=1 (4)ｙ＝241+-+-x x(5)ｙ＝3142-+-x x (8)ｙ＝3-ax 〔ａ为常数〕2、〔1〕f (x )的定义域为 [ 1，2 ] ，求f (2x -1)的定义域； 〔2〕f (2x -1)的定义域为 [ 1，2 ]，求f (x )的定义域；3、假设函数)(x f y =的定义域为[ 1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域 5、函数682-+-=k x kx y 的定义域为R ，求实数k 的取值范围。
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1、不等式)2(log log )1()32()1(->---x x x x 成立的一个充分不必要条件是 （ ）
（A ）2>x （B ）4>x （C ）21<<x （D ）1>x
2、若)(x f 满足+∈R x x 21,时，恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+，则)(x f 可能是（ ）
（A ）2x y = （B ）x y 2= （C ）x y 2log = （D ）x y 2
1log =
3、设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，对任意的实数t ，都有)2()2(t f t f -=+成立，在函数值
)5(),2(),1(),1(f f f f -中，最小的一个不可能是 （ ）
（A ）)1(-f （B ）)1(f （C ）)2(f （D ）)5(f
4、若函数62.1)1(,)1lg(2)(22=-+++=h x x x
x h ，则=)1(h （ ） （A ）38.0 （B ）62.1 （C ）38.2 （D ）62.2
5、(选作题)定义在区间),(+∞-∞的奇函数)(x f 的增函数，偶函数)(x g 在区间[)+∞,0的图象与)(x f 的图象重合。
设0>>b a ，给出下列不等式，其中成立的是 （ ）
（1）)()()()(b g a g a f b f -->-- （2）)()()()(b g a g a f b f --<--
（3）)()()()(a g b g b f a f -->-- （4）)()()()(a g b g b f a f --<--
（A ）)4)(1( （B ）)3)(2( （C ）)3)(1( （D ）)4)(2( 填空题：
6、已知函数)(x f 满足对任意实数21x x <，有)()(21x f x f <， 且)()()(2121x f x f x x f +=+，写出一满足这些条件的函数_________________
7、函数)12(log 22-+=x ax y 的值域为R ，则a 的取值范围为____ ___ .
8、（选作题）若存在常数0>p ，使得函数)(x f 满足R x px f p px f ∈=-
,)()2(，则)(x f 的一个正周期为_________
9、设)10(,2)(2≤≤-=x ax x x f 的最大值)(a M ，最小值)(a m 。
试求)(),(a m a M 的表达式。
10、函数)(x f 的定义域为R ，且对任意R y x ∈,，有)()()(y f x f y x f +=+，且当0>x 时，2)1(,0)(-=<f x f 。
（1） 证明：)(x f 是奇函数；
（2） 证明：)(x f 是R 上的减函数；
（3） 求)(x f 在区间[]3,3-上的最大、最小值
11、（选作题）设)(x f 是定义域为R 的任一函数，
2
)()()(,2)()()(x f x f x G x f x f x F --=-+=。
①判断)(x F 与)(x G 的奇偶性； ②试将函数x y 2=表示为一个奇函数与一个偶函数的和
答案：
1、B
2、C
3、B
4、C
5、C
6、y x =
7、a ≥0
8、2
p 9、
112,2()10,2a a M a a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩
212,1(),010,0a a m a a a a -≥⎧⎪=-<<⎨⎪≤⎩
10、（3）最大值6，最小值－6
11、（1）)(x F 偶函数，)(x G 奇函数 （2）2222x x x y -+==＋222x x
--。