2021届吉林省高三一轮复习联考(一)数学试题

A．1B． C． D．
4．方程 所表示曲线的大致形状为（）
A． B．
C． D．
5．命题 “ ， ”的否定形式 为（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
6．已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是（）
A． B． C． D．
7．设函数 与 的图象关于直线 对称，其中 ， 且 ．则 ， 满足（）
A． =B． C． D．
（1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）点 为曲线 上点，求点 到直线 距离的最小值 ．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）若 对一切实数 均成立，求实数 的取值范围．
理科数学参考答案及评分意见
1．C解： ，所以 ，故选C．
2．A解：集合 ，所以 ，故选A．
19．解：（1）由题意得 的最大值为2，最小值为 ，设函数 的最小正周期为 ，则 ，
解得 ，所以 ， ，
因为 的图象过点 ，所以 ，即 ，因为 ，所以 ， ．
（2）因为将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变）得到函数 的图象，所以 ，
当 时， ，则 ，
因为不等式 在 上有解，即有 ，
（i）当 时，函数 的定义域为 ，因为 在 单调递增，在 单调递减，由复合函数的单调性知， 在 单调递增，在 单调递减；
（ii）当 时，函数 的定义域为 ，因为 在 单调递增，在 单调递减，由复合函数的单调性知， 在 单调递增，在 单调递减；
（iii）当 时， ，不满足题意， 无意义；
（iv）当 时，函数 的定义域为 ，因为 在 单调递减，在 单调递增，由复合函数的单调性知， 在 单调递减，在 单调递增．
8．如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断正确的是（）
A．该弹簧振子的振幅为
B．该弹簧振子的振动周期为
C．该弹簧振子在 ，和 时的振动速度最大
D．该弹簧振子在 和 时的位移不为零
9．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数： （其中 为有理数集， 为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的念、性质、结构”．一般地，广义的狄利克雷函数可定义为： （其中 ， 且 ），以下对 说法错误的是（）
（1）求收到赞助后该销售商所获得的总利润 万元与平台投入的赞助费 万元的关系式；（注：总利润 赞助费 出售商品利润）
（2）若对任意 万元，当 满足什么条件时，该销售商才能不亏损？
21．（12分）
已知函数 ， ， ．
（1）若函数 在 处的切线斜率为 ，求 的值；
（2）若任意 ， 恒成立，求 的取值范围．
解得 ，所以实数 的取值范围为 ．
20．解：（1）由题意得 ， ．
（2）要使对任意 万元时，该销售商才能不亏损，即有 ，变形得 在 上恒成立，
而 ，设 ， ，令 解得 ，所以函数 在 单调递减，在 单调递增， ，因为 ，所以有 ，解得 ，
即当 满足 时，该销售商才能不亏损．
21．解：（1）因为 ，所以 ，
（1）求函数 的解析式：
（2）若将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变）得到函数 的图象，关于 的不等式 在 上有解，求实数 的取值范围．
20．（12分）
2020年5月政府工作报告提出，通过稳就业促增收保民生，提高居民消费意愿和能力．近日，多省市为流动商贩经营提供便利条件，放开“地摊经济“，但因其露天经营的特殊性，易受到天气的影响，一些平台公司纷纷推出帮扶措施，赋能“地摊经济”．某平台为某销售商“地摊经济”的发展和规范管理投入 万元的赞助费，已知该销售商出售的商品为每件40元，在收到平台投入的 万元赞助费后，商品的销售量将增加到 万件， 为气象相关系数，若该销售商出售 万件商品还需成本费 万元．
（2）由（1）得直线 的直角坐标方程为 ，则设点 ， ，
则点 到直线 的距离 ，其中 ，
当 时， ．
23．解：（1） ，
①当 时， ，解得 ，所以 ；
② 时， ，解得 ，所以 ；
③ 时， ，解得 ，所以 ；
综上：不等式 的解集为 ．
（2）由（1），知， ，
因为 对一切实数 均成立，即有 ，解得 或 ，
7．C解：设 是函数 图象上任意一点，则它关于直线 对称的点 在函数 的图象上，所以 ，即 ，故选C．
8．B解：由图象及简谐运动的有关知识知，设其振动周期为T，则 ，解得 ，振幅 ，当 或 时，振动速度为零；该弹簧振子在 和 时的位移为零，故选B．
9．B解：设任意 ， ，则 ， ，A选项正确；易知 的值域为 ，B选项错误；若 ，则 ，所以 ，若 ，则 ，所以 ，C选项正确；由于实数的稠密性，任意两个有理数之间都有无理数，两个无理数之间也有有理数，其函数值在 和 之间无间隙转换，所以 无单调性；综上，故选B．
吉林省2021届高三一轮复习联考（一）
理科数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
A． B． C． D．
12．已知函数 的导函数为 ，任意 均有 ，且 ，若函数 在 上有两个零点，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知复数 的虚部为零， 为虚数单位，则实数 ________．
14．已知 ，且 ，则 ________．
因为函数 在 处的切线斜率为 ，所以 ，解得 ．
（2）由（1）知， ， ，令 解得 ， ，
①当 时， ，在 上， ，所以 ， 单调递减；在 上， ，所以 ， 单调递增；要使任意 ， 恒成立，即有 ，解得 ，不满足；
②当 时，在 上， ， ，所以 ， 单调递增；在 上， ， ，所以 ， 单调递减；在 上， ， ，所以 ， 单调递增；要使任意 ， 恒成立，即有 ，解得 ，不满足；
则有 ，解得 ，故答案为 ．
17．解：（1）由题意得 ， ，
所以， ．
（2） ，
化简得 ，
因为 ，所以 ， ， ．
18．解：（1）要使 为函数 的零点，即有 ，解得 ．
（2）令 ，
①当 时，函数 的定义域为 ， ，因为 在 单调递减，由复合两数的单调性知， 在 上单调递减；
②当 时，由 解得 ， ，
所以 的取值范围为 ．
13． 解： ，因为其虚部为零，所以 ， ．故答案 ．
14． 解：因为 ，所以 ， ，则 ， ，结合 解得 ，所以 ．故答案为 ．
15． 解：令 ，因为 ，所以 ， ，令 ，由对勾函数的性质易知， 在 单调递减，即 ，所以函数 在 上的最小值为 ．故答案为 ．
16． 解：作出函数 的简图如图，令 ，要使关于 的方程 有且仅有12个不同的实根，则方程 有两个不同的实数根 ， ，且由图知 、 ，设 ，
③当 时，结合②易知， 在 单调递增；在 单调递减；在 单调递增；要使任意 ， 恒成立，即有 ，解得 ，所以 ，满足；
④当 时， 在 单调递增；在 单调递减；要使任意， 恒成立，即有 ，解得 ，所以 ，满足；
综上： 的取值范围为 ．
22．解：（1）因为曲线 的参数方程为 ，，所以 ，整理得 ；
因为直线 的极坐标方程为 ，所以 ，整理得 ，即 ．
17．（12分）
已知顶点在坐标原点，始边在 轴正半轴上的锐角 的终边与单位圆交于点 ，将角 的终边绕着原点 逆时针旋转 得到角 的终边．
（1）求 的值；
（2）求 的取值范围．
18．（12分）
已知函数 ， ．
（1）若 是函数 的零点，求 的值；
（2）讨论函数 的单调性．
19．（12分）
已知函数 的部分图象如图所示，且相邻的两个最值点同的距离为 ．
10．D解：因为 ，即 ，由余弦定理知 ，因为三角形 为锐角三角形，所以 ，结合正弦定理得 ， ，则
，化简得： ；因为 ， ，所以 ， ，即 ，故选D．
11．B解：如图作出简图，由题意知 ，设函数 的最小正周期为 ，因为 ，则 ， ，结合 有 且 ，解得 ，故选B．
12．D解：设函数 ，则 ，因为 ，则 ，设 ，则 ，所以 ，即 ， ， ，则 在 单调递减，在 单调递增， ，要使函数 有两个零点，等价于曲线 与 有两个交点，所以实数 的取值范围为 ， 故选D．
3．A解：因为 ，所以 ，即 ， ， ，所以 在 上的投影为 ，故选A．
4．A解：令 ，解得 ，令 ，解得 ，故排除C、D选项；易知该函数图象不是圆，排除B选项，又因为 点满足条件，故选A．
5．D解：因为全称命题的否定是特称命题．所以命题 “ ， ”的否定形式 为： ， ，故选D．
6．D解：由图象知，该函数为偶函数，排除B选项；当 时， ，而 ，排除A选项；令 ，所以 ，排除C选项，故选D．
（二）选考题：10分．请考生在第22、22题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂，漏涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．
A．任意非零有理数均是 的周期，但任何无理数均不是 的周期
B．当 时， 的值域为 ；当 时， 的值域为
C． 为偶函数