分形几何与分形插值(孙洪泉著)思维导图
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分形几何学
整理课件
10
分形几何图形
自然界中有许多分形的例子，如雪花、植物的枝条分叉、海岸线 等。在数学中，历史上也构造了许多分形模型，如Koch曲线、 weierstrass函数等。它们共同的特点是①处处连续但处处不可 微，即曲线处处是不光滑的，总有无穷的细节在里面；②具有自 相似性或统计自相似性，即在不同的标度下，它们的形状是相似 的，不可区分的；③刻划它们的维数不是整数，而是分数。这是 因为，这类曲线都有无穷的细节，所以用1维的直线来测量它， 其值为无穷大，然而它们又没有填满一个有限的平面，所以其维 数又不能等于2，因此，要想得到一个有限的长度，它的测量维 数必定在1和2之间。
基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把 研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的 世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图 形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则 提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结 构的新方法。
整理课件
4
普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维 的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。但是现实生活中象弯弯曲曲的 海岸线这些对象就不能用传统欧几里德几何学的整数维描述或者说测量了。要描 述这一大类复杂无规的几何对象，就引入了分形理论，把维数视为分数维数。这 是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。
整理课件
5
一、什么是分形几何学
通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相 似图形和结构的几何学。
分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层 次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方 面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。例如，一块磁 铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去， 每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次 结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。
初中数学各章节知识图解思维导图(共9张PPT)
应用
特例
定理
勾股定理
证明 内容
文字.符号图形
互逆命题
内容
文字.符号图形
直角三角形
逆定理
全等
证明
应用
知三边定形状
锐角三角函数
有关线段
定义
三角 形
解直角三角形
锐角三角函数
定义
计算
三边关系锐角关 系边角关系
应用
坡度 仰.俯角 方位角
正弦
余弦
符号.几何意义. 特殊角的值
特殊值的运算
正切
作对称轴 作一点到两点距离相等 离相等（外心）
作等腰三角形 作一点到三点距
翻折后与 另一图形重 合
到两点距离相等的 点
点到两点 的距离 相等
性质
判定
应用
垂直平分线
定义
对称点
关于轴对称
基本 图形
对称 轴
特征
要素
利用轴对称制作图案
用
坐
作：关于x轴、
标
y轴的对称点
表
示
轴
对
解决几何中的
称
极值问题
基本图形
一条直线
翻折后与 两部分 重合
对称轴 定义
轴对称图形 静
与y轴交点位置 c＞0.
对应角相等， 尺规作角 对应边成比例，
二次函数与 一元二次方程
对称轴垂直平分对称点的连线
作对直称线公轴理
直线
作等腰三角形
磁道问题
利润问题 拱桥问题
在表示原与点画法 c＜0.
到寻三找射边线方的法 距离相射等线 在三角形内直线.射线.线段
一次函数与反比例函数
表示与画法
线段
计算与比较
分形几何学
“确定性”是因为它有内在的原因而不是外来的噪 声 或干扰所产生；而“随机性”指的是不规则的不 能预测的行为。
混沌的特性
（1）确定系统的内在随机性.
混沌现象是由系统内部的非线性因素引起的，是 系统内在随机性的表现，而不是外来随即扰动所 产生的不规则结果。混沌理论的研究表明，只要 确定性系统中有非线性因素作用，系统就会在一 定的控制参数范围内产生一种内在的随机性，即 确定性混沌。
混沌的定义
目前尚未确定，众说纷纭，这儿只取其一帮助理解。
混沌是指确定宏观的非线形系统在一定条件下所呈现 的或不可预测的随即现象，是确定性与不确定性，规 则性与不规则性，有序性与无序性融为一体的现象， 其不确定性或随机性不是来源于外部干扰，而是来源 于内部的“非线性交叉耦合作用机制”。这种“非线 性交叉耦合作用”得数学表达式是动力学方程中的非 线性项。正是由于这种“交叉”作用，非线性系统在 一定的临界条件下才表现出混沌现象，才导致其对初 值的敏感性，才导致内在的不稳定性的综合效果。
西方的大爆炸理论的未定势
在大爆炸的宇宙观中，混沌就是巨大的能力 在未对称破缺的阶段；
中国的小说或古代神话：指代宇宙的初始， 自由均衡未定结构和状态；
现代意义，大系统的自由熵状态；例如一段 未被环流化的天气系统—它可能会在一定的 机缘中孕育台风这样的旋转序，
一个自由的能量系统，这种能量和资源可能 会不确定的被其中的子系统序化。
混沌现象是确定性系统的一种“内在随机性”， 它有别于由系统外部引入不确定随机影响而产生 的随机性。为了与类似大量分子热运动的外在随 机性和无序性加以区别，我们称所研
的混沌为非线形动力学混沌，而把系统处于平衡态 时究所呈现的杂乱无章的热运动混乱状态称为平衡 态热力学混沌。
混沌的特性
（1）确定系统的内在随机性.
混沌现象是由系统内部的非线性因素引起的，是 系统内在随机性的表现，而不是外来随即扰动所 产生的不规则结果。混沌理论的研究表明，只要 确定性系统中有非线性因素作用，系统就会在一 定的控制参数范围内产生一种内在的随机性，即 确定性混沌。
混沌的定义
目前尚未确定，众说纷纭，这儿只取其一帮助理解。
混沌是指确定宏观的非线形系统在一定条件下所呈现 的或不可预测的随即现象，是确定性与不确定性，规 则性与不规则性，有序性与无序性融为一体的现象， 其不确定性或随机性不是来源于外部干扰，而是来源 于内部的“非线性交叉耦合作用机制”。这种“非线 性交叉耦合作用”得数学表达式是动力学方程中的非 线性项。正是由于这种“交叉”作用，非线性系统在 一定的临界条件下才表现出混沌现象，才导致其对初 值的敏感性，才导致内在的不稳定性的综合效果。
西方的大爆炸理论的未定势
在大爆炸的宇宙观中，混沌就是巨大的能力 在未对称破缺的阶段；
中国的小说或古代神话：指代宇宙的初始， 自由均衡未定结构和状态；
现代意义，大系统的自由熵状态；例如一段 未被环流化的天气系统—它可能会在一定的 机缘中孕育台风这样的旋转序，
一个自由的能量系统，这种能量和资源可能 会不确定的被其中的子系统序化。
混沌现象是确定性系统的一种“内在随机性”， 它有别于由系统外部引入不确定随机影响而产生 的随机性。为了与类似大量分子热运动的外在随 机性和无序性加以区别，我们称所研
的混沌为非线形动力学混沌，而把系统处于平衡态 时究所呈现的杂乱无章的热运动混乱状态称为平衡 态热力学混沌。
分形几何概述阮火军
k 1
分形几何的研究对象（一） —自相似集
1 Cantor集
2 Sierpinski垫片
3 Koch曲线
Cantor集C
Cantor集C中的点的表示
• x[0,1]，可用三进 ： x 制a小 j 3j， 数 aj 展 {0,1,2} 开 ． j1 记x为 (a1a2 an )．
• k 若x aj 3j，其a中 k 0．我们规定： j1 当 a k 2 时 x ( ， a 1 a 2 a k 0 取 ) 0 ； 0
在大多数令人感兴趣的情形下，E以非常 简单的方式定义，可能由迭代产生。
分形几何的研究方法 ——维数和测度
我们仅讨论维数 传统意义下的维数：
点是0维的，线是1维的，平面是2维的， 立方体是三维的，… 用这个维数去刻画分形集合时的困难：
Cantor集：含有无穷多个点，长度为0. Koch曲线：长度为无穷，面积为0. Sierpinski垫片：长度为无穷，面积为0.
Koch曲线
Koch曲线的生成过程 —第0步、第1步
Koch曲线的生成过程 —第2步、第3步
Koch曲线与雪花曲线
—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线
Koch曲线的一些基本性质
Koch曲线具有与Cantor集，Sierpinski垫 片类似的性质.
长度等于无穷.
自相似集合的定义
f的斥性周期点合 所的 组闭 成包 集 f的 称Ju为li集 a ．
若f(z)z2,则f的Jul集 ia 为单位(圆 验周 证 ) ． ！ 若f(z)z2C,则 当C0时f， 的Jul集 ia 将非常复
Julia集的图象
C = -1
C = -0.5+0.5i
C=-0.2+0.75 i
分形几何的研究对象（一） —自相似集
1 Cantor集
2 Sierpinski垫片
3 Koch曲线
Cantor集C
Cantor集C中的点的表示
• x[0,1]，可用三进 ： x 制a小 j 3j， 数 aj 展 {0,1,2} 开 ． j1 记x为 (a1a2 an )．
• k 若x aj 3j，其a中 k 0．我们规定： j1 当 a k 2 时 x ( ， a 1 a 2 a k 0 取 ) 0 ； 0
在大多数令人感兴趣的情形下，E以非常 简单的方式定义，可能由迭代产生。
分形几何的研究方法 ——维数和测度
我们仅讨论维数 传统意义下的维数：
点是0维的，线是1维的，平面是2维的， 立方体是三维的，… 用这个维数去刻画分形集合时的困难：
Cantor集：含有无穷多个点，长度为0. Koch曲线：长度为无穷，面积为0. Sierpinski垫片：长度为无穷，面积为0.
Koch曲线
Koch曲线的生成过程 —第0步、第1步
Koch曲线的生成过程 —第2步、第3步
Koch曲线与雪花曲线
—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线
Koch曲线的一些基本性质
Koch曲线具有与Cantor集，Sierpinski垫 片类似的性质.
长度等于无穷.
自相似集合的定义
f的斥性周期点合 所的 组闭 成包 集 f的 称Ju为li集 a ．
若f(z)z2,则f的Jul集 ia 为单位(圆 验周 证 ) ． ！ 若f(z)z2C,则 当C0时f， 的Jul集 ia 将非常复
Julia集的图象
C = -1
C = -0.5+0.5i
C=-0.2+0.75 i
分形插值及分形维数的图解法
分形插值及分形维数的图解法陈慧琴【摘要】自然界中存在的许多现象具有分形特征,传统的Euclid空间对具有分形特征的自然界形态模拟具有一定的困难,对此可以用分形插值来拟合自然界形态.基于迭代函数系统(IFS),通过离散的数据点构成分形插值函数,可以证明分形插值函数是这个IFS唯一的吸引子.分形插值曲线的分形维数直接用数学公式求解比较困难,借助于MATLAB矩阵运算与图形绘制功能,采用图解方法求取,精度可以达到0.01~0.001,从而实现离散数据点的分形插值拟合及其分形维数的求解.试验结果表明,该算法具有简捷直观的特点.【期刊名称】《江西科学》【年(卷),期】2010(028)002【总页数】4页(P167-169,185)【关键词】分形插值;迭代函数系统;分形维数;图解法【作者】陈慧琴【作者单位】江西蓝天学院机电系,江西,南昌,330098【正文语种】中文【中图分类】O174.42分形几何是由Mandelbrot(1983)发展起来的一门新的数学分支,用来描述自然界不规则以及杂乱无章的现象和行为。
自然界中存在的许多现象具有分形特征,如大脑皮层的褶皱、闪电的痕迹、雪花的形状、山峰的形状、植物的形状、晶体的结构等,这些分形现象的特点是局部与整体具有自相似的性质,或是近似的,用传统 Euclid 几何进行描述与恢复重现比较困难[1～3]。
于是人们想到了用插值的方法拟合这些不规则的自然景观,由于它插值的对象是分形,故这种插值称作分形插值。
分形插值函数与初等函数一样也具有其本身的几何特征,它也能用数学公式来表示,能快速地被计算出来,它们之间的主要差别在于分形插值函数的分形特征,如它有非整的维数。
利用MATLAB极强的矩阵运算、图形绘制、数据处理功能,可以实现离散数据点的分形插值拟合与分形维数的计算。
分形插值函数是由一类特殊的迭代函数系统(Iterated Function System,简称 IFS)产生的,基于迭代函数系统的分形插值是利用数据点构成分形插值函数,把要生成的图形作为压缩映射的不变。
几何画板迭代详解之：迭代与分形几何
几何画板迭代详解之：迭代与分形几何佛山市南海区石门中学谢辅炬分形的特点是，整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。
分形图片具有无可争议的美学感召力，特别是对于从事分形研究的科学家来说。
欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识，但相对而言，分形美是通俗易懂的。
分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道小肠绒毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云朵等等，也都是分形。
人们对这些东西太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。
分形的确贴近人们的生活，因而由分形而来的分形艺术也并不遥远，普通人也能体验分形之美。
因为分形几何的迭代的原像一般不止一个，而且均为多映射迭代，为了叙述的方便，我们先作以下两个约定。
1.用(A,B,C)表示有顺序的两点A、B和C。
2.(A,B,C)(D,E,F,),(G,H,I)⇒表示A映射到D，B映射到D，C映射到F,然后添加映射A映射到G，B映射到H，C映射到I,如此类推。
【Sierpinski三角形】波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子，这些怪物常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛”。
如今，几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子。
它们不但有趣，而且有助于形象地理解分形。
著名的Sierpinski三角形，它是很有代表性的线性分形，具有严格的自相似特点。
不断连接等边三角形的中点，挖去中间新的小三角形进行分割---随着分割不断进行Sierpinski三角形总面积趋于零，总长度趋于无穷。
Sierpinski 三角形在力学上也有实用价值，Sierpinski三角形结构节省材料，强度高，例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。
【步骤】1.在平面上任意画一个三角形ABC，取三边中点为D、E、F，连接DEF。
2.新建参数n＝33.顺次选择B,C,A三点和参数n，作深度迭代,(B,C,A)(D,F,A)⇒。
分形几何 ppt课件
27
❖ f(z) = |z2|
分形几何
28
分形几何 ❖可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了，
等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空 间，就对应着那些模已经相当大了的复数。
29
分形几何
❖如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0.3 ， 那么整个图会怎样变化呢？
❖对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3 ， 这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。 因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方 向上拉伸。这也就是 f(z) = |z2 + 0.3| 的等高线地 形图。见下图（为便于观察，对图像进行了旋 转）。
36
分形几何
❖ 我们照这个思路（加0.2然 后平方）迭代12次后，可 得到右图图形。可以看见 整个图形已经具有了分形 图形的复杂程度（图形的 “黑边”其实是密集的等 高线）。
37
分形几何
❖ 上图中，大部分区域内的数都变得越来越大，直 达无穷。而原点附近这个四叶草形区域内的数， 至少目前还不算太大。
8
分形几何
9
分形几何 ❖康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于
非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其 局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。
10
分形几何
4. Mandelbrot集合 曼德博集合可以用复二次多项式来定义： fc(z)=z2+C; 其中 c 是一个复数参数。
➢ 从 z = 0 开始对 fc(z) 进行迭代：
① 将线段分成三等份（AC,CD,DB）； ② 以CD为底，向外（内外随意）画一个等边三角
形DMC ； ③ 将线段CD移去； ④ 分别对AC,CM,MD,DB重复1~3。
5
分形几何
6
❖ f(z) = |z2|
分形几何
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分形几何 ❖可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了，
等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空 间，就对应着那些模已经相当大了的复数。
29
分形几何
❖如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0.3 ， 那么整个图会怎样变化呢？
❖对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3 ， 这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。 因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方 向上拉伸。这也就是 f(z) = |z2 + 0.3| 的等高线地 形图。见下图（为便于观察，对图像进行了旋 转）。
36
分形几何
❖ 我们照这个思路（加0.2然 后平方）迭代12次后，可 得到右图图形。可以看见 整个图形已经具有了分形 图形的复杂程度（图形的 “黑边”其实是密集的等 高线）。
37
分形几何
❖ 上图中，大部分区域内的数都变得越来越大，直 达无穷。而原点附近这个四叶草形区域内的数， 至少目前还不算太大。
8
分形几何
9
分形几何 ❖康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于
非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其 局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。
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分形几何
4. Mandelbrot集合 曼德博集合可以用复二次多项式来定义： fc(z)=z2+C; 其中 c 是一个复数参数。
➢ 从 z = 0 开始对 fc(z) 进行迭代：
① 将线段分成三等份（AC,CD,DB）； ② 以CD为底，向外（内外随意）画一个等边三角
形DMC ； ③ 将线段CD移去； ④ 分别对AC,CM,MD,DB重复1~3。
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分形几何
6
第八章 分形几何
Peano-Hilbert曲线的出现，曾令数学界大吃一惊： （1）它是一条曲线，但又是一个平面； （2）Peano-Hilbert曲线的方程只有一个参数，但它却 能确定了一个平面；而在欧几里德几何学中，确定一条 曲线需要一个参数，确定一个平面需要两个参数。
“病态”原因：一维曲线却能充满二维平面。 分形维数：D=ln4/ln2=2.0。
对于典型的分形曲线，例如Koch曲线，构成方法 如下：取一段直线，将其三等分，保留两端的两段， 将中间一段拉起构造等边三角形的两条边。N=4，S=3， 分维D=ln4/ln3=1.26186。可以看出Koch曲线点点连 续，但点点不可导，属于病态曲线；Koch曲线局部与 整体相似，具有自相似性。因此可以使用Koch曲线来 模拟海岸线。根据Mandelbrot的计算，英国海岸线的 分维为D=1.25。
L0 ( P1 .x P0 .x) 2 ( P1 . y P0 . y ) 2
设递归n次后的最小线元长度为d，则
d L0 /(2(1 + cos ))
n
（8-4）
Koch 雪花
void CTestView::Koch(int n)//Koch函数 { if(0==n) { P1.x=P0.x+d*cos(Alpha); P1.y=P0.y+d*sin(Alpha); pDC->MoveTo(ROUND(P0.x),ROUND(P0.y)); pDC->LineTo(ROUND(P1.x),ROUND(P1.y)); P0=P1; return; } Koch(n-1); Alpha+=Theta; Koch(n-1); Alpha-=2*Theta; Koch(n-1); Alpha+=Theta; Koch(n-1); }
《分形几何学》课件
分形风险管理：评 估和管理金融市场 的风险
分形投资策略：基 于分形理论的投资 策略，如分形交易 策略、分形投资组 合管理等
分形在物理学中的应用
分形几何学的未来 展望
分形几何学的发展趋势
应用领域：分形几何学在计算机图形学、图像处理、生物医学等领域的应用将越来越广泛
理论研究：分形几何学的理论研究将更加深入，包括分形维数的计算、分形几何的拓扑性质等
添加标题
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添加标题
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特点：具有自相似性，即无论放大 或缩小，其形状保持不变
性质：具有无限长度，但面积却为 零，是一种典型的分形图形
分形几何学的应用 实例
分形在图像压缩中的应用
分形压缩算法：基于分形几何学的图像压缩算法 压缩效果：提高压缩比，降低图像质量损失 应用场景：适用于图像传输、存储和显示等领域 技术挑战：如何平衡压缩比和图像质量损失，提高压缩算法的效率和稳定性
发展：1977年，数学家哈肯提出分形几何学的基本理论
应用：分形几何学在物理学、生物学、经济学等领域得到广泛应用 现状：分形几何学已成为现代数学的一个重要分支，对科学研究和实际应 用具有重要意义
分形几何学的应用领域
分形几何学的基本 概念
自相似性
定义：在任意 尺度下，具有 相同或相似的
结构或模式
特点：自相似 性是分形几何 学的核心概念
科赫曲线的生成过程： 将一条线段分为三等份， 去掉中间一段，然后将 剩下的两段分别替换为 两个新的科赫曲线
科赫曲线的应用：在计 算机图形学、动画制作 等领域有广泛应用
科赫曲线的性质：具有 自相似性、无限长度和 面积、分形维数等性质
皮亚诺曲线
定义：由意大利数学家皮亚诺提出 的一种分形图形
分形分维ppt
分形分维
分形理论
提出：曼德.布罗特，题为“英国的海岸线有多长？”的论文使得 数学家开始正视“无限复杂性” 基础：分形几何学（以不规则几何形态为研究对象的几何学） 特点：用分数维度的视角和数学方法描述和研究客观事物
分形特征：
1.在任何细小的尺度下， 分形具有精细的结构,，即有任意小 比例的细节 2.分形不规则，因而它的整体和局部都不能用传统的几何语言 来描述 3.分形通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的 4.一般地， 分形的 “分形维数” (以某种方式定义)大于它的 拓朴维数
• 3.相似维数：F是Rd上的有界子集，如果F可划分为N个同等大小的部分， 且每部分与F的相似比为r，则称dimsF=logN/log1/r
• 特点：1.不规则形2.长度为(4/3)k,为无穷 大3.自相似性4.平面内面积为零
分形的度量尺度—分维
• 分维产生原因：近似或统计的图形自相似性
• 自相似性：如果一个物体自我相似，表明它每部分的曲线 有一小块和它相似，比如海岸线 • 维数：几何对象的一个重要特征量，是为了确定几何对象中的 一个点的位置所需要的独立坐标的个数或独立方向的数目
KOCH曲线
• 产生：设 E0是单位长度的直线段,E1是由 E0去掉中间 1 /3的线段,而代替以底边在 被除去的线段上的等边三角形的另外两边 所得的图形,它包含四个线段,对 E1的每个 直线段重复上述同样的过程构造出 E2.依 此类推,从 Ek - 1得到Ek.当 k→∞时,折线 序列趋于极限曲线 E,称 E 为 koch 曲线, 它是一条处处连续但处处不可微的曲线。
常见分维数的定义
• 1.豪斯道夫维数：提出连续空间概念，认为空间维数连续。取D维物体， 将每一维尺寸放大L倍，得到K个原来的物体，则K=LD，两边取对数，得 到维数D=lnk/lnL • 2.盒维数：设E属于Rd且有界非空, 令 Nδ(E)为半径为 δ的覆盖 E 的球的 最小个数, 则称dimBE =limδ→ 0[log Nδ(E)/(- logδ)]为 E 的盒维数
分形理论
提出：曼德.布罗特，题为“英国的海岸线有多长？”的论文使得 数学家开始正视“无限复杂性” 基础：分形几何学（以不规则几何形态为研究对象的几何学） 特点：用分数维度的视角和数学方法描述和研究客观事物
分形特征：
1.在任何细小的尺度下， 分形具有精细的结构,，即有任意小 比例的细节 2.分形不规则，因而它的整体和局部都不能用传统的几何语言 来描述 3.分形通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的 4.一般地， 分形的 “分形维数” (以某种方式定义)大于它的 拓朴维数
• 3.相似维数：F是Rd上的有界子集，如果F可划分为N个同等大小的部分， 且每部分与F的相似比为r，则称dimsF=logN/log1/r
• 特点：1.不规则形2.长度为(4/3)k,为无穷 大3.自相似性4.平面内面积为零
分形的度量尺度—分维
• 分维产生原因：近似或统计的图形自相似性
• 自相似性：如果一个物体自我相似，表明它每部分的曲线 有一小块和它相似，比如海岸线 • 维数：几何对象的一个重要特征量，是为了确定几何对象中的 一个点的位置所需要的独立坐标的个数或独立方向的数目
KOCH曲线
• 产生：设 E0是单位长度的直线段,E1是由 E0去掉中间 1 /3的线段,而代替以底边在 被除去的线段上的等边三角形的另外两边 所得的图形,它包含四个线段,对 E1的每个 直线段重复上述同样的过程构造出 E2.依 此类推,从 Ek - 1得到Ek.当 k→∞时,折线 序列趋于极限曲线 E,称 E 为 koch 曲线, 它是一条处处连续但处处不可微的曲线。
常见分维数的定义
• 1.豪斯道夫维数：提出连续空间概念，认为空间维数连续。取D维物体， 将每一维尺寸放大L倍，得到K个原来的物体，则K=LD，两边取对数，得 到维数D=lnk/lnL • 2.盒维数：设E属于Rd且有界非空, 令 Nδ(E)为半径为 δ的覆盖 E 的球的 最小个数, 则称dimBE =limδ→ 0[log Nδ(E)/(- logδ)]为 E 的盒维数
高中数学知识框架思维导图(整理版)
柯西不等式
第四部分
位置关系
截距
解析几何
斜率公式、倾斜角的变化与斜率的变化: = tan ， =
倾斜角和斜率
重合
A1B2－A2B1＝0，C1B2－C2B1＝0
平行
A1B2－A2B1＝0，C1B2－C2B1≠0
相交
A1B2－A2B1≠0
垂直
直线的方程
z 的几何意义：
过可行域内一点（, ）
向直线 = ， = 作
复合函数
函数与方程
2
二次函数、基本不等式、双勾函数、三角函
数有界性、数形结合、单调性、导数.
基本初等函数
分段函数
, )
零点
求根法、二分法、图象法、二次及三次方程根的分布
建立函数模型
平移变换： = () → = ( ± )， = () → = () ± ，, > 0
对称性
y＝Asin(x＋)＋b
化简、求值、
证明（恒等变形）
）
值域
图象
对称轴（正切函数除外）经过函数图象
的最高（或低）点且垂直 x 轴的直线，
对称中心是正余弦函数图象的零点，正
切函数的对称中心为( ，0)（k∈Z）.
最值
2
①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；
2.
3.
分组求和法
2
=
1
−
−1)(2+1 −1)
2 −1
+1
1 1
1
= (
2 (+2)2
(−1) ∙4
4 2
(2−1)(2+1)
1
2+1 −1
第4讲-1 分形几何与分形插值
500 km
N
♂
图
1.3 河流水系的分形特征
其实，自相似的例子在我们的身边到处可见。例如 一棵大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状 上没什么大的区别，所以我们说，大树与树枝这种关 系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片 树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质。动
物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记 录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您 无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。 分形几何的创始人Benoit B. Mandelbrot 说过: “云团不是球体, 山峰不是锥形, 海岸线不是圆弧, 树 皮也并不光滑, 闪电也不是直线传播[2]。” 这就说 明了在自然界中大量的物体都不能用传统的几何形 态来精确地进行描述。 而在这些 “不规则” 的形 体中, 大量的具有分形的特征。 分形是适合于描述大自然的几何。研究表明星云 的分布、海岸线的形状、山形的起伏、地震、河网 水系、材料组织生长、湍流、酶和蛋白质的结构、 人体血管系统、肺膜结构、脑电图、城市噪音、股 市的涨落等等，大至宇宙星云分布，小到准晶态的
图1.4 欧氏空间中单位形体码尺与度量次数之间关系 r：码尺，N (r)：度量次数，l(r)：单位形体体积 (a) 一维形体；(b) 二维形体；(c) 三维形体
所以，我们可以得到，对于d维欧氏空间中的形体， 码尺长度r与度量次数N (r)之间关系为
1.3 维数与分形维数
在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的， 平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。 也可以稍加推广，认为点是零维的。还可以引入 高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。 分形的另一个特征是分数维数，即维数可以是 分数的。这类维数是在研究自然界中复杂现象时 需要引入的一个重要概念。 为了弄清楚分形维数的计算方法，我们首回顾 在欧氏空间中，度量不同维数的单位形体时，尺 码与度量次的关系(见图1.4)。
分形几何学.ppt
一、什么是分形几何学
通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的 自相似图形和结构的几何学。 分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层 次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方 面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。例如，一块磁 铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去， 每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次 结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。 又如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上 没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相 似关系；一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质； 动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛 的全部生长信息；还有高山的表面，无论怎样放大其局部，它都 如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何 揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。
随机康托尔集都是随机分形，著名的随机分形还有布朗 （R.Brown）粒子运动的轨迹
（2）Sierpinski地毯： 三分康托尔集等数学怪物的出现，使相当一部分传统数学 家感到“直觉的危机”的同时，也引起了一些数学家的兴 趣.1915~1916年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)将三 分康托尔集的构造思想推广到二维平面，构造出谢尔宾斯基 “垫片”：设E0是边长为1的等边三角形区域，将它均分成四个 小等边三角形，去掉中间一个得E1，对E1的每个小等边三角形 进行相同的操作得E2，……，这样的操作不断继续下去直到无 穷，所得图形F称为谢尔宾斯基“垫片”（图）.它被用作超导 现象和非晶态物质的模型
⑴ 康托尔三分集 1883年，德国数学家康托尔(G.Cantor)构造了一个奇异集合： 取一条长度为1的直线段E0，将它三等分，去掉中间一段，剩下 两段记为E1，将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段， 剩下更短的四段记为E2，……，将这样的操作一直继续下去， 直至无穷，得到一个离散的点集F（图），称为康托尔三分集. 在康托尔三分集的构造过程中，如果每一步都用掷骰子的方法 来决定去掉被分成的三段中的哪一段，或来选择子区间的长度， 就会得到很不规则的随机康托尔集（如图），它被当时在美国 IBM公司任职的曼德尔布罗特用作描述通讯线路中噪声分布的 数学模型，如今在现代非线性动力学的理论研究中有重要地位.
分形何学
过逐级放大后，竟然导致整个国家灭亡的灾难性后 果。
国殇
数万之族起北方，刀枪浴血书存亡；
怀柔常乞人心顺，忠恕只求士子帮；
从此文化儒家尊，八股平庸也飞扬；
迭代维文得官饷，常使权贵呈豪强； 人心智慧为所以，科学渐渐入膏肓； 南国烟禁虽有心，民族衰微却无望； 近日痛定思过往，喋血泣泪问国殇；
波尔的太极分布量子观
我们不要以为
西方的自然科 学没有受到东 方哲学的启迪 实际上从逻辑 到辩证法，西 方的文艺复兴 后的“大家” 几乎无一例外
2.历史阶段
2.1 雪后初晴时，人类出水日
2.2 文明薪火 2.3 哲学与神学
2.4 东方古文明
2.5 古希腊文明 2.6 文艺复兴 2.7 自然的重光 2.8 经典时代
神与魔鬼是每个民族儿时的记忆；
不需要其他，只要人类祖先对黑暗的恐惧、火的温暖
、还有火焰的摇曳，在那个墙上或帐篷的壁上，神和 魔就开始了斗法。 有了这个斗法，你就知道神的真理与不可预控魔的力 量。在各个民族文明的起点，本就不存在谁比谁优越 ，更不见那个民族是只有神保佑没有魔的折磨。 文明（文化）优越论就如同神话，是不证自明的心理 而不是颠覆不破的真理。 没有语言的发展对神的膜拜就没有后面的文明。 珍爱神话如同珍爱童真，因为想象有不竭的人类思想 的干细胞。
这就是混沌
一旦有光明的照耀，他就会雷霆万钧！
在这里纯洁而原始的力量，已为新世纪准备
了灿烂的曙光！ 不用怀疑民众的智慧和力量 混沌是他们自然美丽的脸庞， 淳朴是他们的仁厚心肠； 待到革命胜利，千万学会把他们珍藏！ 用你成功获得的人民的力量把他们再次滋养。
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