南京市2021届高三年级学情调研(数学)参考答案

5
4 100
P(X＝1)＝C12×2×(1－2)×(1－3)＋3×(1－2)2＝ 39 ，
55
4 4 5 100
P(X＝2)＝(2)2×(1－3)＋C12×2×(1－2)×3＝2，
5
4
5 54 5
P(X＝3)＝(2)2×3＝ 3 ． 5 4 25
所以随机变量 X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
9
39
2
3
100
因此数列{an}不满足条件 P．
………………………………… 7 分
选③，
因为 a2a3＝4a4，
又数列{an}是公比为 2 的等比数列，
所以 2a1×4a1＝4×8a1，又 a1≠0，故 a1＝4，
因此 an＝4×2n－1＝2n＋1．
…………………………………4 分
此时任意 m，n∈N*，aman＝2m＋1·2n＋1＝2m＋n＋2，
100
5
25
………………………… 10 分
期望 E(X)＝0× 9 ＋1× 39 ＋2×2＋3× 3 100 100 5 25
＝1.55．
………………………… 12 分
20．（本小题满分 12 分）
（1）证明：因为∠PAD＝90°，所以 PA⊥AD．
因为平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，PA平面 PAD，
又数列{an}是公比为 2 的等比数列，
所以 4a1＝2a1＋2，解得 a1＝1，
因此 an＝1×2n－1＝2n－1．
…………………………………… 4 分
1
此时任意 m，n∈N*，aman＝2m－1·2n－1＝2m＋n－2，
由于 m＋n－1∈N*，所以 aman 是数列{an}的第 m＋n－1 项，
故以{A→B，A→D，A→P}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为 AB＝BC＝PA＝1，AD＝2，
z
所以 A(0，0，0)，P(0，0，1)，
因此数列{an}满足条件 P．
……………………………………7 分
选②，
因为 S3＝73，即 a1＋a2＋a3＝73，
又数列{an}是公比为 2 的等比数列，
所以 a1＋2a1＋4a1＝73，解得 a1＝13，
因此 an＝13×2n－1．
………………………………… 4 分
此时 a1a2＝29＜a1≤an，即 a1a2 不为数列{an}中的项，
由于 m＋n＋1∈N*，所以 aman 是为数列{an}的第 m＋n＋1 项，
因此数列{an}满足条件 P．
……………………………………7 分
（2）因为数列{an}是公比为 2 的等比数列， 所以an＋1＝2，因此 bn＝n×2n－1． an 所以 Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，
三、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．
13．2
14．64 3
15．4；220
பைடு நூலகம்
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．
16．(－∞，－1]
17．（本小题满分 10 分）
解：因为 m＝(2cosx，－1)，n＝( 3sinx，2cos2x)，
所以 f(x)＝m·n＋1＝2 3sinxcosx－2cos2x＋1
所以 PA⊥平面 ABCD．
………………………… 2 分
又 CD平面 ABCD，所以 CD⊥PA．
在四边形 ABCD 中，AD//BC，∠DAB＝90°，所以∠ABC＝90°，
又 AB＝BC＝1，所以△ABC 是等腰直角三角形，即∠BAC＝∠CAD＝45°，AC＝ 2．
在△CAD 中，∠CAD＝45°，AC＝ 2，AD＝2，
则 2Tn＝
1×21＋2×22＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n，
两式相减得－Tn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n×2n ＝1－2n－n×2n 1－2 ＝(1－n)2n－1，
………………………10 分
所以 Tn＝(n－1)2n＋1．
……………………………………12 分
2
19．（本小题满分 12 分）
3
所以 CD＝ AC2＋AD2－2×AC×AD×cos∠CAD＝ 2，从而 AC2＋CD2＝4＝AD2．
所以 CD⊥AC．
………………………… 4 分
又 AC∩PA＝A，AC，PA平面 PAC，所以 CD⊥平面 PAC．
又 AE平面 PAC，所以 CD⊥AE．
………………………… 6 分
（2）解：因为 PA⊥平面 ABCD，BA⊥AD，
南京市 2021 届高三年级学情调研
数学参考答案
2020.09
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
1．C 2．B 3．D 4．A 5．A 6．C 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．
9．ABD 10．ACD 11．ABC 12．AC
7．C
8．B
6
6
5
5
从而 cos2α＝cos[(2α－π)＋π]＝cos(2α－π)cosπ－sin(2α－π)sinπ
66
66
66
＝－3× 3－4×1＝－4－3 3．
5 2 52
10
…………………… 10 分
18．（本小题满分 12 分）
解：（1）选①，
因为 S1＋S3＝2S2＋2，
所以 S3－S2＝S2－S1＋2，即 a3＝a2＋2，
（2）记事件 A 为：从该校男生中随机抽取 1 人，课外阅读达标；
事件 B 为：从该校女生中随机抽取 1 人，课外阅读达标．
由题意知：P(A)＝24＝2，P(B)＝30＝3．
60 5
40 4
……………………… 6 分
随机变量 X 的取值可能为 0，1，2，3．
P(X＝0)＝(1－2)2×(1－3)＝ 9 ，
解：（1）假设 H0：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得
χ2＝
100×(36×30－24×10)2
＝2450≈11.836＞6.635，
(36＋24)×(10＋30)×(36＋10)×(24＋30) 207
因为当 H0 成立时，χ2≥6.635 的概率约为 0.01，
所以有 99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关． …………………… 4 分
＝ 3sin2x－cos2x＝2sin(2x－π)． 6
……………………… 4 分
（1）T＝2π＝π． 2
……………………… 5 分
（2）由 f(α)＝8，得 sin(2α－π)＝4．
5
65
由α∈[π，7π]，得π≤2α－π≤π，
3 12 2
6
所以 cos(2α－π)＝－ 1－sin2(2α－π)＝－ 1－(4)2＝－3，……………… 7 分