线性变换和矩阵.
矩阵论-线性变换和矩阵
,
2
,
下的坐标
3
;
(3)向量
及T(
)基1,
2
,
下的坐标
3
.
四、特征值与特征向量
定义 设T L(V,V),若存在0 F及V的非零向量 , 使得T =0 ,则称0为T的一个特征值,而为T的属 于特征值0的一个特征向量.
注：特征向量在线性变换作用下保持方位不变 (在同一直线上).
取定V的一组基e1, , en ,设T(e1, , en )=否存在依赖于V所在的数域F，
如矩阵
0 1
01的特征多项式为f ()
1
1 2 1.
注2 :当dim V=n很大时，上述求法太繁琐，可借助于计算机.
注3 : E(i ) {X F n | (iI-A) X 0} N (iI-A)(解空间).由 亏加秩定理有r(iI-A) dim N (iI-A) n, 所以E(i )的维数为 dim E(i ) n r(iI-A) 称为i的几何重数.
的行列式
-a11 a12 |I-A|= a21 -a22
a1n
-a2 n
-an1 -an2
-ann
的展开式是的一个n次多项式, 其根为A的特征值, 而相应
于(*)式的非零解向量 称为A的属于0的特征向量. 注:1)0是T的特征值 0是A的特征值. 2)是T的特征向量 是A的特征向量,这里，
=(e1, , en ).
2)f保持线性运算,即, F, x, y V ,有f(x y) =f(x） f ( y),
则称V与W同构，记为V W.
同构的线性空间具有完全一致的空间结构和各种运 算规律，故可视为一个空间.
定理3 L(V,V) Fnn.
线性变换与矩阵表示
线性变换与矩阵表示线性代数是数学中的一个重要分支，其中线性变换是其中的核心概念之一。
线性变换是指在向量空间中进行的保持向量加法和数量乘法性质的变换。
研究线性变换的一个重要方法是使用矩阵来表示线性变换，这为我们的计算和分析提供了方便和效率。
1. 线性变换的定义与性质线性变换是指保持向量加法和数量乘法性质的变换。
在数学上，我们可以将线性变换表示为一个函数T，它将向量x映射到向量T(x)。
线性变换需要满足以下两个性质：- 加法性质：对于任意的向量x和y，有T(x + y) = T(x) + T(y)，即线性变换保持向量的加法关系。
- 乘法性质：对于任意的标量c和向量x，有T(cx) = cT(x)，即线性变换保持向量的数量乘法关系。
2. 线性变换的矩阵表示线性变换可以使用矩阵来表示，这种表示方式被广泛应用于计算机图形学、机器学习等领域。
我们将线性变换T表示为一个矩阵A，然后通过矩阵乘法的方式来实现线性变换。
设向量x的坐标表示为[x1, x2, ..., xn]，线性变换T对应的矩阵A的维度为n×n。
那么，线性变换T(x)可以表示为矩阵乘法的形式T(x) =A·x。
其中，A·x表示矩阵A与向量x的乘积，它的计算方式为将矩阵A的每一行乘以向量x的每一列，再将结果相加。
3. 线性变换的几何意义线性变换的几何意义是研究线性变换如何影响向量的几何特性。
对于平面上的线性变换来说，它可以改变向量的长度、方向和位置。
具体来说，线性变换可以实现以下几种几何操作：- 缩放：线性变换可以将向量的长度进行缩放，比如将向量拉长或压缩。
- 旋转：线性变换可以改变向量的方向，实现向量的旋转。
- 平移：线性变换可以将向量整体移动到平面上的另一个位置。
4. 矩阵表示的优势与应用使用矩阵表示线性变换具有以下优势和应用：- 简化计算：使用矩阵表示线性变换可以将复杂的计算转化为简单的矩阵乘法，提高计算效率。
- 线性组合：矩阵乘法具有线性组合的性质，可以方便地进行多个线性变换的组合。
线性变换与矩阵地关系
线性变换与矩阵的关系学院：数学与计算机科学学院班级：2011级数学与应用数学：学号：线性变换与矩阵的关系（西北民族大学数学与应用数学专业， 730124）指导教师一、线性变换定义1 设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=T α,( α∈V)。
设α∈V，T(α)= β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。
即T(V)={ β=T(α)|α∈V},显然T(V) ⊂U注：变换的概念实际上是函数概念的推广。
定义2 设V n,U m分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m得变换，如果变换满足（1）任给α1 ，α2∈V n，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2);（2）任给α∈V n，k∈R，都有 T(kα)=kT(α)。
那么，就称T为从V n到U m的线性变换。
说明：○1线性变换就是保持线性组合的对应的变换。
○2一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元α在变换下的象。
○3若U m=V n，则T是一个从线性空间V n到其自身的线性变换，称为线性空V n中的线性变换。
下面主要讨论线性空间V n中的线性变换。
二、线性变换的性质设T是V n中的线性变换，则(1)T(0)=0,T(-α)=-T(α);(2)若β=k1α1+k2α2+…+k mαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+k m Tαm;(3)若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关；注：讨论对线性无关的情形不一定成立。
(4)线性变换T的象集T(V n)是一个线性空间V n的子空间。
记S T={α|α∈V n,T α=0}称为线性变换T的核，S T是V n的子空间。
设V和W是数域F上的向量空间，而σ：V→W是一个线性映射。
线性变换与矩阵的关系
线性变换与矩阵的关系线性代数是数学中的一个分支学科，它是整个数学的一个基础。
线性代数的核心概念是线性变换和矩阵。
线性变换可以被视为线性代数中最基本的概念，矩阵则是线性变换最常用的工具。
本文将探讨线性变换与矩阵之间的关系。
一、线性变换的定义线性变换是一种把向量空间V中的每一个元素映射到向量空间W中的一种映射。
如果对于每个向量x和每个标量c，我们都有T(x + cy) = T(x) + cT(y)，则此映射为线性变换。
其中，T为线性变换的运算符，y是向量空间V中的元素。
线性变换的一个重要性质是它保持线性运算。
这意味着，对于向量空间V中的任何两个向量x和y，以及标量c，都有：T(x + y) = T(x) + T(y)T(cx) = cT(x)这些性质使得线性变换在数学中扮演着重要的角色。
二、矩阵的定义矩阵是一个有限的、有序的、由数构成的矩形表。
我们通常用大写字母表示矩阵，例如A。
矩阵可以用来表示线性变换，而线性变换可以用矩阵来描述。
我们可以将矩阵视为一种数字表示，它包含了一个线性变换所以可能的操作。
三、线性变换和矩阵的关系线性变换和矩阵是密不可分的。
每个线性变换都可以表示为一个矩阵，而每个矩阵也可以表示为一个线性变换。
矩阵的第i行和第j列上的元素用a(i,j)表示。
我们可以用以下公式将一个向量空间中的向量转换成矩阵的形式：⎡ a(1,1) a(1,2) ... a(1,n)⎤⎢ a(2,1) a(2,2) ... a(2,n)⎥A = ⎢ ... ... ... ... ... ⎥⎢ a(n,1) a(n,2) ... a(n,n)⎥⎣⎦对于一个给定的矩阵A，我们可以将它作为线性变换T的矩阵表示。
这个线性变换对一个向量进行变换的方式为 T(x) = Ax，其中x为向量，Ax表示矩阵A和向量x的乘积。
矩阵乘法的目的是用一个矩阵描述一种线性变换。
在矩阵乘法中，行列式中每个元素都表示了一种特定的线性变换。
向量空间中的线性变换与矩阵
向量空间中的线性变换与矩阵线性代数是现代数学中的一门基础学科，研究向量空间、线性变换及其矩阵表示等内容。
在实际应用中，线性代数有广泛的应用。
本文主要介绍向量空间中的线性变换与矩阵的相关内容。
一、向量空间向量空间是线性代数中的一个基本概念。
简单来说，向量空间是由向量组成的集合，这些向量满足一定的线性性质。
向量的加法和数乘满足交换律、结合律、分配律以及存在零元素和负元素等性质。
向量空间中的向量可以是有限维的，也可以是无限维的。
在有限维向量空间中，可以定义标准基，即一组由单位向量组成的基。
在无限维向量空间中，没有标准基，但可以采用其他方法去描述向量空间。
二、线性变换线性变换是指将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量，并且保持线性性质。
即对于两个向量之和的映射等于两个向量分别映射后的和，对于一个向量乘以一个标量的映射等于将向量映射后再乘以标量。
对于一个有限维向量空间，线性变换可以用矩阵来表示。
设有向量空间 $V$ 和 $W$，其中 $V$ 有一组基 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\dots, \mathbf{v}_n\}$，$W$ 有一组基 $\{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \dots, \mathbf{w}_m\}$。
则线性变换 $T: V \rightarrow W$ 可以表示成下面的形式：$$ T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}, $$其中 $A$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵，$\mathbf{v}$ 是 $V$ 中的一个向量。
三、矩阵矩阵是一个矩形的数表，其中的元素可以是实数、复数或其他数域的元素。
矩阵一般用一个大写字母来表示，例如 $A$，其中 $a_{ij}$ 表示矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。
矩阵的加法是指两个相同大小的矩阵的对应元素相加。
即如果 $A$ 和$B$ 都是 $m \times n$ 的矩阵，则它们的和 $C=A+B$ 定义为 $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$。
线性变换的矩阵表示线性变换与矩阵的关系与计算
线性变换的矩阵表示线性变换与矩阵的关系与计算线性变换的矩阵表示——线性变换与矩阵的关系与计算在数学中，线性变换是一类重要的变换，具有广泛的应用背景。
线性变换可以通过矩阵来表示，这为我们在计算和理解线性变换提供了便利。
本文将介绍线性变换与矩阵的关系，以及如何进行线性变换的矩阵计算。
一、线性变换与矩阵的关系线性变换是指保持直线性质和原点不动的变换。
对于一个n维向量空间V中的向量x，若存在一个线性变换T，将向量x映射为向量y，即y=T(x)，则称T为从V到V的一个线性变换。
线性变换可以通过矩阵的乘法运算来表示。
设V是n维向量空间，取V中的一组基{v1,v2,...,vn}，在这组基下，对于向量x和y，若y=T(x)，则存在一个n×n的矩阵A，使得y=Ax。
这个矩阵A就是线性变换T对应的矩阵表示。
矩阵表示的好处在于，通过矩阵的乘法运算，我们可以将线性变换转化为矩阵的计算，从而简化问题的求解过程。
二、线性变换的矩阵表示对于线性变换T，我们希望找到它对应的矩阵表示A。
假设V是n 维向量空间，取V中的一组基{v1,v2,...,vn}。
根据线性变换的定义，对于向量vi，有T(vi)=wi，我们可以将T(vi)表示为基向量w1,w2,...,wn的线性组合。
设T(vi)=w1i+w2i+...+wni，其中wi是基向量wi的系数。
我们可以将系数wi构成一个列向量Wi，将基向量构成一个矩阵W。
则有W=[w1,w2,...,wn]，Wi=AW，其中A是线性变换T对应的矩阵表示。
求解矩阵A的方法有很多种，最常用的方法是利用线性变换T在基向量上的作用。
将基向量vi映射为向量wi，我们可以在基向量的基础上用线性组合的方式得到wi。
将所有的基向量和对应的映射向量展开，我们可以得到矩阵A的表达式。
三、线性变换的矩阵计算在得到线性变换的矩阵表示后，我们可以利用矩阵的乘法运算对线性变换进行计算。
设矩阵A对应线性变换T，向量x对应向量y，即y=Ax。
矩阵与线性变换
矩阵与线性变换在线性代数中，矩阵与线性变换是密切相关的概念。
矩阵是一种有序矩形数表，而线性变换是一种保持向量加法和数乘的运算的函数。
本文将就矩阵与线性变换的概念、性质以及二者之间的关系进行探讨。
一、矩阵的定义和性质矩阵是数学中一种重要的代数结构，对于描述线性变换起到关键作用。
它是按照矩形的形式排列的一组数。
在定义方面，一个矩阵可以表示为m行n列的一个矩形数表，记作A=[a_{ij}]，其中1 ≤ i ≤ m，1 ≤ j ≤ n。
其中，a_{ij}表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵的性质有以下几点：1. 矩阵的行数和列数分别称为矩阵的行数和列数。
对于一个m行n列的矩阵，可以记作A_{m×n}。
2. 矩阵A中的元素可以是实数或者复数。
根据元素的性质，可以将矩阵分为实矩阵和复矩阵。
3. 矩阵的转置是指行和列进行对换，记作A^T。
矩阵的转置可以通过矩阵的行与列进行对换得到。
4. 矩阵的加法和数乘是指对矩阵中的每个元素进行相应的操作得到一个新的矩阵。
二、线性变换的定义和性质线性变换是线性代数中一个重要的概念，用于描述一个向量空间内的向量的变换规则。
其基本思想是保持向量加法和数乘的运算。
在线性代数中，一个线性变换可以定义为一个函数T，将向量空间V的向量映射到另一个向量空间W的向量。
线性变换的性质有以下几点：1. 线性变换必须满足保持向量加法的运算规则，即对于向量v和u，T(v+u) = T(v) + T(u)。
2. 线性变换必须满足保持数乘的运算规则，即对于向量v和标量c，T(cv) = cT(v)。
3. 对于线性变换T，它的核是指所有使得T(v) = 0的向量v的集合。
核是向量空间的一个子空间。
4. 对于线性变换T，它的值域是指所有T(v)的向量v的集合。
值域是向量空间的一个子空间。
三、矩阵与线性变换的关系矩阵与线性变换之间存在着密切的联系。
具体而言，对于一个 m 行n 列的矩阵 A，可以定义一个线性变换 T_A，该线性变换将一个 n 维向量空间 V 的向量映射到一个 m 维向量空间 W 的向量。
线性变换与矩阵的相似性
线性变换与矩阵的相似性在数学中，线性变换和矩阵是两个非常重要的概念。
线性变换是指一个向量空间内的元素进行的一种操作，而矩阵则是线性变换在选择基准下的具体表示。
本文将讨论线性变换和矩阵之间的相似性。
一、线性变换简介线性变换可以将一个向量空间的元素映射为同一向量空间中的另一个元素，保持向量空间的线性结构。
具体而言，设V和W是两个向量空间，如果对于任意的向量x，y∈V和标量a，b∈F（其中F是一个指定的域），满足以下两个条件：1. T(x+y) = T(x) + T(y) （线性性）2. T(ax) = aT(x) （齐次性）则称T:V→W为一个线性变换。
二、矩阵简介矩阵是线性变换在选定的基下的具体表达。
设V和W是两个有限维向量空间，分别选定它们的基v1, v2, ..., vn和w1, w2, ..., wm。
对于线性变换T:V→W，我们可以将T在这两个基下的表达表示为一个矩阵。
具体而言，设x∈V是一个向量，T(x)∈W是T对应的向量，若T(x)在基w1, w2, ..., wm下的坐标是(y1, y2, ..., ym)，则称(y1, y2, ..., ym)为x在基v1, v2, ..., vn下的坐标。
我们可以将所有x在这两个基下的坐标组成一个矩阵，这就是线性变换T在选定基下的矩阵表示。
三、线性变换与矩阵之间存在着一种特殊的关系，即相似性。
对于同一个线性变换T，在不同的基下，其对应的矩阵表示可能是不同的。
然而，这些矩阵之间存在一种特殊的关系，即相似矩阵。
定义：如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，其中A和B是n×n矩阵，那么我们称A与B相似。
换句话说，一对相似的矩阵表示的是同一个线性变换在不同基下的具体表达。
相似矩阵之间具有如下性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值和特征向量。
设A和B是相似矩阵，且v是A的一个特征向量，那么有Av = λv, 其中λ是A的一个特征值。
此时，对于B，也有B(Pv) = P(Av) = λ(Pv)，即Pv是B的特征向量，λ是B的特征值。
矩阵与线性变换
矩阵与线性变换矩阵是线性代数中一个重要的概念，而线性变换则是与矩阵紧密相关的一个概念。
本文将介绍矩阵和线性变换的基本概念及其相关性质。
一、矩阵的定义与性质矩阵是由各种数按照一定的排列方式组成的矩形阵列。
通常用大写字母表示矩阵，如A、B等。
一个m×n的矩阵表示有m行n列的矩阵，其中每个元素可以是实数或者复数。
矩阵加法：对于两个相同维数的矩阵A和B，它们的和A + B也是一个同样维数的矩阵，其中每个元素等于对应位置的两个矩阵元素的和。
矩阵乘法：矩阵乘法是按照一定的规则，将一个m×n的矩阵A乘以一个n×p的矩阵B得到一个m×p的矩阵C。
矩阵乘法具有结合律但不满足交换律。
单位矩阵：单位矩阵是一个特殊的方阵，它的主对角线上的元素全为1，其余元素全为0。
用I表示，即I = [1 0 0 ... 0; 0 1 0 ... 0; ...; 0 0 0 ...1]。
二、线性变换的定义与性质线性变换是一个将一个向量空间映射到另一个向量空间的函数。
线性变换可以用矩阵来表示，而变换前后的向量可以用矩阵乘法的形式表示。
线性变换的定义：对于向量空间V和W，若存在一个映射T：V → W，满足以下两个条件，即可称T为线性变换：1. 对于任意的向量u、v∈V和标量c，有T(u+v) = T(u) + T(v)和T(cu) = cT(u)。
2. T(0) = 0，即线性变换将零向量映射为零向量。
线性变换与矩阵的关系：我们可以通过一个m×n的矩阵A来表示一个线性变换T：R^n → R^m。
对于向量x∈R^n，线性变换T的值可以通过矩阵乘法的形式表示，即T(x) = Ax。
线性变换的性质：1. 线性变换保持向量空间的线性运算，即对于任意的向量u、v∈V和标量c，有T(u+v) = T(u) + T(v)和T(cu) = cT(u)。
2. 线性变换将零向量映射为零向量，即T(0) = 0。
线性代数之——线性变换及对应矩阵
线性代数之——线性变换及对应矩阵1. 线性变换的概念当⼀个矩阵A乘以⼀个向量v时，它将v变换到另⼀个向量A v。
进来的是v，出去的是T(v)=A v。
⼀个变换T就像⼀个函数⼀样，进来⼀个数字x，得到f(x)。
但更⾼的⽬标是⼀次考虑所有的v，我们是将整个空间V进⾏变换当我们⽤A乘以每⼀个向量v时。
⼀个变换T，为空间V中的每⼀个向量v分配⼀个输出T(v)。
这个变换是线性的，如果它满⾜：(a)T(v+w)=T(v)+T(w)(b)T(c v)=cT(v) 对任意c成⽴我们可以将这两个条件结合成⼀个，T(c v+d w)=cT(v)+dT(w)矩阵相乘满⾜线性变化，因为A(c v+d w)=cA v+dA w始终成⽴。
线性变换满⾜线到线，三⾓形到三⾓形，看下图。
在⼀条线上的三个点经过变换后仍然在⼀条线上，变换前等距离的点变换后仍然是等距离的点，输⼊是⼀个三⾓形变换后输出还是⼀个三⾓形。
这种线性可以扩展到三个向量或者 N 个向量的组合。
变换有⾃⼰的语⾔，如果没有矩阵的话，我们没办法讨论列空间。
但是这些思想可以被保留，⽐如列空间包含所有的线性组合Av，零空间包含所有使得Av=0 的输⼊。
将它们转化为值域（range）和核（kernel）：T的值域 = 所有输出T(v) 的集合，对应于列空间。
T的核 = 所有使得T(v)=0 的输⼊的集合，对应于零空间。
投影任意⼀个三维向量到xy平⾯，那么我们有T(x,y,z)=(x,y,0)。
值域就是这个平⾯，包含了所有的T(v)；核是z轴，它们被投影到了零点。
这是⼀个线性的变换。
投影任意⼀个三维向量到z=1 平⾯，那么我们有T(x,y,z)=(x,y,1)。
这不是⼀个线性的变换，为什么呢？它根本不能将零向量投影到零点，⽽这是线性变换必须满⾜的条件。
假设A是⼀个可逆的矩阵，那么核是零向量，值域W和输⼊空间V相同。
有另⼀个线性变化是乘以矩阵A−1，它将每⼀个T(v)都带回到v ，有，T−1(T(v))=v⟺A−1Av=v我们遇到了⼀个不可避免的问题，所有的线性变换都可以由⼀个矩阵产⽣吗？答案是肯定的，所有的变换⽐如旋转、投影……背后都藏着对应的⼀个矩阵。
线性变换和矩阵的相似性
线性变换和矩阵的相似性线性变换和矩阵的相似性是线性代数中一个重要的概念。
在研究线性变换和矩阵时，相似性的概念可以帮助我们更好地理解它们之间的关系。
本文将从线性变换的定义开始讨论，然后介绍矩阵的相似性以及它们之间的关系。
一、线性变换的定义和性质在线性代数中，线性变换是指保持向量加法和数乘运算的函数。
具体来说，对于一个向量空间V上的线性变换T，满足以下条件：1. 对于任意的两个向量u和v，T(u+v) = T(u) + T(v)；2. 对于任意的标量k和向量u，T(ku) = kT(u)。
线性变换可以用一个矩阵来表示，这个矩阵称为线性变换的矩阵表示。
对于一个n维向量空间V上的线性变换T，我们可以找到一个n×n 的矩阵A，使得对于任意的向量u，有T(u) = Au。
线性变换的矩阵表示有许多性质，比如矩阵乘法对应了线性变换的复合，单位矩阵对应了恒等变换等等。
二、矩阵的相似性矩阵的相似性是指对于两个矩阵A和B，存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=B。
换句话说，两个相似的矩阵具有相同的特征多项式和特征值。
矩阵的相似性具有以下性质：1. 相似性是一个等价关系，即满足自反性、对称性和传递性。
2. 如果两个矩阵相似，它们必定具有相同的秩和迹。
3. 相似矩阵具有相似的对角化形式。
也就是说，如果A和B相似，那么它们都可以对角化，并且它们的对角线上的元素相等。
三、线性变换的矩阵表示和矩阵的相似性有密切的关系。
对于一个n维向量空间V上的线性变换T以及它的矩阵表示A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P⁻¹AP是对角矩阵D，则称T和线性变换D相似。
换句话说，T和D具有相同的特征多项式和特征值。
线性变换和矩阵的相似性在很多应用中具有重要的意义。
比如，在求解线性微分方程和矩阵对角化等问题中，相似矩阵的性质可以帮助我们简化计算过程，提高求解效率。
同时，相似性也为我们的理论研究提供了一个统一的观点，使得我们能够更好地理解线性变换和矩阵之间的关系。
线性变换和矩阵
求：（1） 在标准基下的矩阵；
（2） 在基 {1,2 ,3} 下的矩阵。
二、矩阵的相似
1、定义：设 A 、B 是数域 F 上的两个 n 阶矩阵，若存在 F 上n 阶可逆矩阵
T ，使得 B T 1AT 成立，则称B 与
A 相似，记作：A ~ B 。
2、性质
（1）自反性：每一个 n 阶矩阵 A 均
与它本身相似。 A I 1 AI
x1
将（3）代 (入 (（1),4(）2 ),，,得(n )：) xxn2
（4）
x1
( )
(1, 2 ,
,
n
)
A
x2 xn
上式表明， () 关于基 {1,2, ,n}的坐标所 成的列是
x1
A
x2 xn
。
比较（1）式，得：
定理7.3.1：令V 是数域 F上一个n 维的向量空间， 是 V 的一个线性变
结论：n 维向量空间的一个线性变换
关于两个基的矩阵是相似的。
B T 1 AT
推广：（1）T 1( A1 A2 Ar )T T 1 A1T T 1 A2T T 1 ArT （2）T 1 ArT (T 1 AT )r 三、矩阵 A 在给定基下的线性变换
引理7.3.2：设V 是数域 F 上一个 n
（2）对称性：若 A ~ B ，则 B ~ A 。
A ~ B B T 1 AT A TBT 1 (T 1 )1 BT 1
（3）传递性：若 A ~ B 且 B ~ C ，则 A~C 。
， A ~ B B ~ C B T 1 AT ,C U 1BU
C U 1 (T 1 AT )U (TU )1 A(TU )
关于V 的两个基 和 的 {1,2 , ,n} {1, 2 , , n} 矩阵分别为 A 和 B ，而基 {1,2, ,n} 到 {1, 2 , , n} 的过渡矩阵为 T ，则有
线性变换与矩阵表示
线性变换与矩阵表示
线性变换是线性代数中的重要概念，可以用来描述向量空间中的变换关系。
而矩阵表示则是将线性变换表示为矩阵的形式，便于计算和分析。
线性变换
线性变换是指保持向量空间中向量加法和数乘的运算规则不变的变换。
具体地，对于向量空间V中的两个向量u和v，以及标量c，线性变换T满足以下条件：
1. T(u + v) = T(u) + T(v)
2. T(cu) = cT(u)
这意味着线性变换保持向量加法和数乘的运算结果不变。
矩阵表示
线性变换可以通过矩阵表示来进行计算和分析。
对于向量空间V中的一个线性变换T，选择向量空间V的一组基{e1, e2, ..., en}，对于每个向量ei，线性变换T(ei)可以表示为一个线性组合：
T(ei) = a1i * e1 + a2i * e2 + ... + ani * en
其中aij为标量。
将向量空间V的基按列组成一个矩阵A：
A = [e1, e2, ..., en]
那么对于向量空间V中的任意向量x，线性变换T(x)可以表示为：
T(x) = A * x
其中x为列向量。
通过选择合适的基和矩阵A，可以将线性变换T表示为矩阵的形式，通过矩阵乘法进行计算和分析。
总结
线性变换是保持向量空间中向量加法和数乘的运算规则不变的变换，矩阵表示则是将线性变换表示为矩阵形式。
通过选择合适的基和矩阵，线性变换可以方便地用矩阵乘法进行计算和分析。
对于线性代数的学习和应用，理解线性变换和矩阵表示是非常重要的基础知识。
向量空间中的线性变换和矩阵变换
向量空间中的线性变换和矩阵变换在线性代数中，向量空间是一个重要的概念，它是一组元素的集合，这些元素可以相加和相乘，满足一些特定的规则。
线性变换和矩阵变换则是向量空间中的基本操作，它们有着重要的应用，例如在机器学习和物理学等领域中。
一、线性变换的定义和性质线性变换是指将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量的变换。
严格地说，线性变换应该满足以下两个性质：1. 对于任意向量a和b，有T(a+b) = T(a) + T(b)；2. 对于任意向量a和标量k，有T(ka) = kT(a)。
这两个性质分别对应向量的加法和乘法。
线性变换不仅用于向量空间中，还可以应用于其他数学领域，例如微积分和拓扑学等。
线性变换有很多重要的性质，例如：1. 线性变换可以用矩阵表示；2. 线性变换保持向量空间的结构不变；3. 线性变换可以有逆变换，逆变换也是线性变换。
这些性质使得线性变换成为了一个非常常见的数学工具。
二、矩阵变换的定义和性质矩阵变换是指将一个向量空间中的向量用矩阵相乘的方式进行变换。
矩阵变换的定义可以表示为：T(x) = Ax其中T表示矩阵变换，A表示一个矩阵，x表示一个向量。
矩阵变换中的矩阵A具有很多特殊的性质，例如：1. 矩阵A可以表示线性变换；2. 矩阵A的行列式为0时，矩阵A不可逆，否则可逆；3. 矩阵A的秩表示变换后空间的维度；4. 矩阵A的特征值和特征向量可以用于描述变换的性质。
矩阵变换可以方便地进行计算，并且可以应用于很多实际问题中。
三、线性变换与矩阵变换的关系线性变换和矩阵变换有着密切的关系。
事实上，线性变换可以用矩阵表示，也可以通过矩阵变换来实现。
具体来说，任何一个线性变换T都可以表示成矩阵变换的形式：T(x) = Ax其中x表示一个向量，A表示一个矩阵。
如果我们在一个标准基下进行求解，那么矩阵A的每一列就是变换后的基向量的坐标。
同时，任何一个矩阵变换也可以表示成线性变换的形式。
对于任意矩阵A，可以定义一个线性变换T，使得：T(x) = Ax这里的x同样表示一个向量。
第二讲 线性变换及其矩阵
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第二讲 线性变换及其矩阵
一、线性变换及其运算
1. 定义 设 V 是数域 K 上的线性空间，T 是 V 到自身的一个映射，若 V , 均存在唯一 的 V 与之对应，则称 T 为 V 的一个变换（或算子），记为T ( ) . 称 为 在变换 T 下的象， 为 的原象。 若变换 T 还满足, V , k,l K,有T (k l ) kT () lT ( ).则称 T 为线性变换。
T 1,2,
,n (T (1),T (2),
,T (n)) 1,2,
a11 a12
,n
a21 a22
an1 an2
1,2, ,n 下的矩阵。
1
a1n
a2n
1,
2
,
ann
称 A (aij )nn 为 T 在基 ,n A
R(T ) T ( ) | V n 为 T 的值域； N(T ) | V n,T () 称为T 的核。
易证 R(T ) 和 N (T ) 均为V n 的子空间，分别称为 T 的像空间和核（零）空间，称 dim R(T ) 、 dim N (T ) 为T 的秩和零度。 2、定理 设 T 为V n 上的线性变换， 1,2, ,n 为V n 的一组基，则
（1） R(T ) SpanT (1),T (2), T(n)；（2） dim R(T ) dim N(T ) n ；
特别地，若 A 是线性变换 T 的矩阵，则 dim R(T ) = dim R( A) ，dim N(T ) = dim N ( A) .
矩阵与线性变换的性质与求解
矩阵与线性变换的性质与求解在线性代数中，矩阵与线性变换是两个重要的概念。
矩阵是一个由数值排列成的矩形阵列，而线性变换则是将一个向量空间的元素映射到另一个向量空间的过程。
本文将讨论矩阵与线性变换的性质以及如何求解相关问题。
一、矩阵的基本性质1.1 矩阵的定义和表示矩阵由m行n列的数排列而成，可表示为一个mxn的矩阵A。
其中，a_ij表示A的第i行第j列的元素。
1.2 矩阵的运算矩阵之间可以进行加法和数乘运算。
设矩阵A、B是同型矩阵，则有：- 加法：A + B = (a_ij + b_ij)- 数乘：kA = (ka_ij)1.3 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行与列对调得到的新矩阵。
设A为mxn 的矩阵，则其转置表示为A^T。
即A^T的第i行第j列的元素为A 的第j行第i列的元素。
二、线性变换的基本性质2.1 线性变换的定义线性变换是指将一个向量空间V的元素映射到另一个向量空间W的过程，且满足两个性质：- 加法性：T(u + v) = T(u) + T(v)，其中u、v ∈ V。
- 数乘性：T(ku) = kT(u)，其中k为标量。
2.2 线性变换的矩阵表示对于线性变换T: V → W，我们可以找到V和W的基，用矩阵A表示线性变换T。
设V的基为{v_1, v_2, ..., v_n}，W的基为{w_1, w_2, ..., w_m}，则A为一个mxn的矩阵，其中A的第j列为T(v_j)在W基下的坐标。
三、矩阵与线性变换的关系3.1 线性变换的矩阵表示对于一个线性变换T: V → W，可以找到V和W的基，通过计算T(v_j)在W基下的坐标构成一个mxn的矩阵A来表示线性变换T。
3.2 矩阵的作用矩阵A作用于向量v可以得到矩阵向量乘积Av，表示向量v 在线性变换T下的像。
3.3 矩阵的性质- 逆矩阵：若矩阵A是可逆的，则存在矩阵B使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
- 矩阵的行列式：行列式用来确定一个矩阵是否可逆，行列式为0表示矩阵不可逆。
矩阵与线性变换的性质与应用
矩阵与线性变换的性质与应用矩阵与线性变换是线性代数中的重要概念，它们在数学和应用领域中有着广泛的应用。
本文将介绍矩阵与线性变换的基本性质，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、矩阵的基本性质1. 矩阵的定义矩阵是一个由一定数量的数按照长方阵列排列而成的矩形数表。
一般表示为m×n(m行n列)。
矩阵中的元素可以是实数、复数或者其他代数元素。
2. 矩阵的运算矩阵与矩阵之间有加法和乘法运算。
对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的加法定义为A + B = C，其中C的每个元素等于A和B对应位置上元素的和。
矩阵的乘法定义为A × B = D，其中D的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
3. 矩阵的转置和逆矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
转置后的矩阵记作A^T。
对于方阵A，如果存在一个矩阵B使得A × B = B × A = I（单位矩阵），则称B为A的逆矩阵。
逆矩阵可以用来解线性方程组，求解矩阵的逆矩阵需要满足一定的条件。
二、线性变换的基本性质1. 线性变换的定义线性变换是指保持向量加法和数乘运算的映射。
对于向量空间V中的两个向量u和v，以及标量c，线性变换T必须满足两个性质：T(u + v) = T(u) + T(v)和T(cu) = cT(u)。
2. 线性变换的表示与矩阵每个线性变换都可以由一个矩阵表示。
对于向量空间V中的一组基底B = {b1, b2, ..., bn}，线性变换T定义为T(v) = Av，其中A 是一个由线性变换将基底B中的向量映射到对应的新坐标系中的向量所得到的矩阵。
3. 线性变换的性质线性变换具有以下性质：- 保持原点不变：T(0) = 0- 保持直线性质：对于直线上的点，线性变换后仍然在直线上- 保持比例关系：对于两个向量u和v，如果它们的比例关系为u = cv，那么它们的线性变换后的比例关系为T(u) = cT(v)三、矩阵与线性变换的应用1. 矩阵的行列式矩阵的行列式是一个标量值，可以用来判断矩阵是否可逆以及计算矩阵的逆矩阵。
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§3 线性变换和矩阵
一、线性变换关于基的矩阵
设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基，现在建立线性变换与
矩阵关系.
空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式
n n x x x εεεξ+++= 2211 (1)
其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系：
A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211）
=1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) (2)
上式表明，如果知道了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ
的像也就知道了，或者说
1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，如果线性变换Å与ℬ在这组基上
的作用相同，即
A i ε=
B i ε， ,,,2,1n i =
那么A = B .
结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是
2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21 一定有一个线性变换Å使
A i ε=i α .,,2,1n i =
定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个
向量.存在唯一的线性变换Å使
A i ε=i α .,,2,1n i =
定义2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个
线性变换.基向量的像可以被基线性表出：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=.
,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示就是
A （n εεε,,,21 ）=（A (1ε)，A Å(2ε)，…， A (n ε)）
=A n ),,,(21εεε (5) 其中
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221
11211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵.
例 1 设m εεε,,,21 是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它
扩充为V 的一组基n εεε,,,21 .指定线性变换A 如下
⎩⎨⎧+====.
,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i i i εεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明
A 2=A
投影A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛00111 这样，在取定一组基之后，就建立了由数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换到数域P 上的n n ⨯矩阵的一个映射.前面结论1说明这个映射是单射，结论2说明这个映射是满射.换句话说，在这二者之间建立了一个双射.这个对应的重要性表现在它保持运算，即有
定理2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每
个线性变换按公式（5）对应一个n n ⨯矩阵，这个对应具有以下性质：
1）线性变换的和对应于矩阵的和；
2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；
3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；
4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.
定理2 说明数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换组成的集合)(V L 对于线性变换的加法与数量乘法构成P 上一个线性空间，与数域P 上n 级方阵构成的线性空间n n P ⨯同构.
定理3 设线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是A ，向量ξ在基n εεε,,,21 下的坐标是),,,(21n x x x ,则A ξ在基n εεε,,,21 下的坐标),,,(21n y y y 可以按公式
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A y y y 2121 计算.
二、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系.
线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的.一般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的.
定理4设线性空间V 中线性变换A 在两组基
n εεε,,,21 , (6)
n ηηη,,,21 (7)
下的矩阵分别为A 和B 从基（6）到（7）的过渡矩阵是X ，于是AX X B 1-=.
定理4 告诉我们，同一个线性变换A 在不同基下的矩阵之间的关系.
定义3 设A ，B 为数域P 上两个n 级方阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆方阵X ，使得AX X B 1-=，就说A 相似于B ，记作B A ~.
相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：
1. 反身性：A A ~
2. 对称性：如果B A ~，那么A B ~.
3. 传递性：如果B A ~,C B ~,那么C A ~.
定理 5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.
矩阵的相似对于运算有下面的性质.
如果X A X B 111-=,X A X B 212-=，那么
X A A X B B )(21121+=+-,
X A A X B B )(21121-=
由此可知，如果AX X B 1-=，且)(x f 是数域P 上一多项式，那么
X A f X B f )()(1-=
利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算.
例 2 设V 是数域P 上一个二维线性空间，21,εε是一组基，线性变换A 在21,εε下的矩阵是
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0112 计算A 在V 的另一组基21,ηη下的矩阵，这里
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=2111),(),(2121εεηη。