控制系统微分方程

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控制系统微分方程的建立

⎪⎧La ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪
dI a dt
+ Ra I a
+
Ea
Ea = keω
Ja
dω dt
=
Ma
=Ua
⎪⎩
M a = kcIa
(2-27)
消去中间变量 I a 、 Ea 、 M a ，得到输入为电枢电压U a ，输出为转轴角速度 ω 的二阶微
分方程
J a La kc
d 2ω dt 2
+
J a Ra kc
一、典型元件系统微分方程的建立
1．电学系统电学系统中，所需遵循的是元件约束和网络约束，元件约束指电阻、电容、电感等器件
的电压——电流关系遵循广义欧姆定律，网络约束指基尔霍夫电压定律和电流定律。
例 2-1 RLC 无源网络如图 2-1 所示，图中 R、L、C 分别为电阻(Ω)、电感(H)、电容(F)；
例 2-5 电枢控制的直流电动机如图 2-5 所示，建立输入电压 ua (t )(V)和输出转角θm (t )
之间的动态关系式。
图 2-5 电枢控制的他励直流电动机
解：电枢控制的他励直流电动机，激磁电流 if ，保持不变，仅改变加在电枢两端的电压
ua (t )来控制电机的运动方式。根据电动机的工作原理可列出如下方程:
=
⎜⎜⎝⎛
Z Z
1 2
⎟⎟⎠⎞2 M c
则齿轮系的微分方程为：
J
dω1 dt
+
fω1
+
M c'
=
Mm
（2-15）
式中 J , f 及 M c' 分别是折合到齿轮 1 上的等效转动惯量、等效粘性摩擦系数及等效负载转
矩。显然，折算的等效值与齿轮系的速度比有关，速度比 ω1/ω2 越大，Z1/Z2 越小，折算的等效值越小。如果齿轮系的速度比足够大，则后级齿轮及负载的影响便可以不予考虑。 5．电枢控制的他励直流电动机

自动控制原理与系统第三章自动控制系统的数学模型

④将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的各项放在方程的右边，把与输出量有关的各项放在方程的左边，各导数项按降幂排列，并将方程中的系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常
二、微分方程建立举例
[例3-1]直流电动机的微分方程。
1.直流电动机(Direct-Current Motor)各物理量间的关系。
②在各环节功能框的基础上，首先确定系统的给定量(输入量)和输出量，然后从给定量开始，由
左至右，根据相互作用的顺序，依次画出各个环节，直至得出所需要的输出量，并使它们符合各作用量间的关系。
③然后由内到外，画出各反馈环节，最后在图上标明输入量、输出量、扰动量和各中间参变量。
④这样就可以得到整个控制系统的框图。
①列出直流电动机各个环节的微分方程［参见式3-1～式3-4］，然后由微分方程→拉氏变换式→ 传递函数→功能框。今将直流电动机的各功能框列于表3-1中。
②如今以电动机电枢电压作为输入量，以电动机的角位移θ 为输出量。于是可由开始，按照电动机的工作原理，由依次组合各环节的功能框，然后再加上电势反馈功能框，如图3-15所示。
(或环节)的固有特性。它是系统的复数域模型，也是自动控制系统最常用的数学模型。
3．对同一个系统，若选取不同的输出量或不同的输入量，则其对应的微分方程表达式和传递函数也不相同。
4．典型环节的传递函数有
对一般的自动控制系统，应尽可能将它分解为若干个典型的环节，以利于理解系统的构成和系统的分析。
它还清楚地表明了各环节间的相互联系，因此它是理解和分析系统的重要方法。
①全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统工作的物理规律，并确定系统的输入量(给定量)和输出量(被控量) ②将系统分解成若干个单元(或环节或部件)，然后从被控量出发，由控制对象→执行环节→功率。

控制系统的微分方程

J
d
dt

m
mc
整理得
La J CeCm
d 2 dt 2

Ra J CeCm
d dt

ua Ce
La CeCm
dmc dt

Ra mc CeCm
TaTm
d 2 dt 2
Tm
d dt

Kuua

Km (Ta
dmc dt
mc )
其中Ta

La Ra
和
Tm

Ra J CeCm
电机通电后产生转矩
Ce称为电动机电势常数
m K2ia K2K f i f ia Cmia
Cm称为电动机转矩常数，再根据牛顿定律可得机械转动方程
Wednesday, June 26,
J
d
dt

m

mc
2019
10
控制系统的微分方程
La
di dt

Rai

ea

ua
ea Ce
m Cmia
分别称为电磁时间常数和机电时间常数
Ku
1 Ce
和
Km
Ra CeCm
分别是转速与电压传递系数和转速与负载
传W递edn系esd数ay, 。Jun这e 26里, 已略去摩擦力和扭转弹性力。
2019
11
相似系统和相似量
[需要讨论的几个问题]：
1、相似系统和相似量：
我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全一样的。
Ra La
if
i ua
ea
M
ω
这里输入是电枢电压ua和等效到电机

2.1 控制系统的微分方程

西安航空职业技术学院自动化工程学院
《自动控制技术及应用》电子课件
2.1.1 微分方程的建立
解:（1）确定系统的输入变量和输出变量. 输入变量----外力F（t），输出变量----位移y（t）（2）建立初始微分方程组. 根据牛顿第二定律可得∑F=ma 合外力 ∑F=F-F1(t)-F2(t) 2 d 加速度 a= y2(t )
2.1.2
拉斯变换与拉斯反变换
3 拉斯变换的基本定理
（4）积分定理
设 L f (t ) F (s)
F (s) 则 L f（t )dt s （5）初值定理

设 L f (t ) F (s) 则 lim f (t ) lim sF ( s )
t 0 s
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2.1.2
拉斯变换与拉斯反变换
f(t) 1
【例2-3】求单位阶跃函数的拉斯变换
解：单位阶跃函数
0
f (t )
t<0
0 t
1 t≥0
0
L f (t ) F ( s)
1 1 e dt s
st
图2-4 单位阶跃信号
在经典控制理论中，控制系统的数学模型有
多种，常用的有微分方程、传递函数、动态
结构图等.
对线性定常系统，微分方程是最基本的数学模型，最常用的数学模型是在此基础上转换来的传递函数和动态结构图。
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2.1 控制系统的微分方程
列写微分方程，目的在于确定输出量与

第2章-1-微分方程

K
eo
eo
ei
e
i1 i2 i3
i1 ui u R1
u u 0
d(u uo ) i2 C dt
i3
u uo R2
有源网络的微分方程为
C
duo uo ui dt R2 R1
自动控制原理
2.1.3 机电系统
电枢
1．直流电动机，控制电压
Ce (t ) ua (t )
自动控制原理
2.1.3 机电系统
La Ra
磁场控制式直流电动机微分方程为

Rf
转动惯量 J 摩擦系数 f
激磁电流负载
d 2 (t ) d (t ) Lf J Lf f Rf J R f f (t ) kmu f (t ) 2 dt dt dM c (t ) Lf R f M c (t ) dt
自动控制原理
第2章自动控制系统的数学模型
2.1 控制系统的微分方程
2.2 控制系统的传递函数
2.3 方块图
2.4 控制系统的信号流图
数学模型：系统的输入/输出时间函数描述
物理模型——任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以
对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。简化是
V
H
M
x
P M
自动控制原理
2.1.1 机械系统
• 简化物理模型 • 列写控制系统各部分的微分方程 • 在平衡点附近线性化各部分的微分方程：
I V sin H cos
d2 m 2 ( x sin ) H dt

控制系统的微分方程

解：
L
di(t) dt
Ri(t)
1 C
i(t)dt
ui(t)
u 1 o(t ) C i(t )dt
消去中间变量 i(t) 得到微分方程：
LC
d 2 uo(t) dt 2
RC
duo(t) dt
uo(t)
ui(t)
例2: 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移x。
量,根据各环节的物理规律写出各环节的微分方程； 3.消去中间变量，求出系统的微分方程。标准式：方程式左边列写与输出量有关的量。
方程式右边列写与输入量有关的量。
例3：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。
ug ue+ u1
-
功率
+
u u 2 放大器 a
Mc
负载
uf
测速发电机
[解]：⑴该系统的组成和原理；
在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为
线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，
即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。
若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。
则将函数在该点展开为泰勒级
数，得：y
df (x) f (x0 ) dx |xx0
(x x0 )
y0 y0

自动控制原理-第二章控制系统的数学模型

dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt

Raia (t)

Ea (t)

ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt

fmm (t)

Mm

MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t

L1 U C
S

L1
S
2
1 S
1
1 S

S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)

三角函数的微分方程在控制系统中的应用

三角函数的微分方程在控制系统中的应用在控制系统中，微分方程是一个重要的数学工具，用于描述系统的动态行为和控制过程。

三角函数的微分方程在控制系统中具有广泛的应用，可以帮助控制工程师分析和设计各种控制系统。

一、三角函数的基本性质三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们在控制系统中应用广泛。

这些函数具有周期性、连续性和微分性的特点，可以描述事物的周期性运动和振荡现象。

下面我们以正弦函数为例来介绍其基本性质。

正弦函数可以表示为y=Asin(ωt+ϕ)，其中A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，ϕ表示相位。

正弦函数的微分方程可以表示为dy/dt=ωAcos(ωt+ϕ)，表示正弦函数的变化率与其本身的相位和角频率有关。

二、振动系统的建模在控制系统中，振动系统是一个常见的对象。

三角函数的微分方程在振动系统的建模中起着重要的作用。

振动系统可以简化为一个质点在回复力作用下的运动，可以用微分方程描述。

以单自由度振动系统为例，其微分方程可以表示为mx''+bx'+kx=F(t)，其中m表示质量，x表示位移，x''表示加速度，b表示阻尼系数，k表示刚度，F(t)表示外界输入力。

由于振动系统中质点的运动可以用三角函数来描述，我们可以将位移函数假设为x(t)=Acos(ωt+ϕ)，其中A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，ϕ表示相位。

通过对位移函数求微分，我们可以得到速度函数和加速度函数。

根据牛顿定律和上述假设的位移函数，可以得到质点的加速度函数为x''(t)=-ω²Acos(ωt+ϕ)，然后将其代入微分方程中，进行化简和变换，最终可以得到振动系统的微分方程。

三、控制系统的分析与设计三角函数的微分方程在控制系统的分析与设计中，被用来描述控制对象的动态行为和响应。

对于一个线性控制系统，可以利用线性微分方程来描述系统的动态特性。

而三角函数的微分方程则可以用于描述非线性系统的动态特性，比如振荡系统、非线性传输环节等。

控制系统的微分方程传递函数

C(s)

s(s2
1 4s

5)

(s
4)c(0) s2 4s

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c '(0) 5
零状态响应

1 5

1 s

4(s 2) (s 2)2 1

(s
13 2)2
1
查表
c(t)

1 5
1(t)

4e2t
cos
t
13e2t
sin
t

零输入响应
练习
三、线性微分方程式的求解
拉氏变换法求解微分方程：
时间函数 f (t) 的拉氏变换记作
F (s) L[ f (t)] f (t)est dt 0
拉氏变换
线性微分方程
代数方程
（时域ｔ）
（复数域ｓ）
微分方程的解
代数方程的解
（时域ｔ）拉氏反变换（复数域ｓ）
f (t) L1[F (s)]
复习拉普拉斯变换
常用的拉氏变换性质：微分定理：设f(t)的拉氏变换为F(s),则初值定理：
终值定理：若存在，则
F位(s移)的已定所知理F有：(s极)，点如均何知位道于fs(的) 左存在半与平否面？（？包？括原点）。复位移定理：
3、拉氏反变换 F (s) f (t) f (t) L1[F (s)]
nm
K0 — 放大系数
s = p1 , p2 ··· , pn — 传递函数的极点
s = z1 , z2 ··· , zm — 传递函数的零点
在复平面上表示传递函数的零点和极点的图形，
称为传递函数的零极点分布图。

控制系统的微分方程

控制系统的微分方程数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。

描述各变量动态关系的表达式称为动态数学模型，常用的动态模型为微分方程。

建立数学模型的方法分为解析法和实验法。

解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。

实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。

建立微分方程的步骤：1、分析各元件的工作原理，明确输入、输出量；2、按照信号的传递顺序，列写各变量的动态关系式；3、化简（线性化、消去中间变量），写出输入、输出变量间的数学表达式。

例：RLC 无源网络如图所示，图中R 、L 、C 分别为电阻（Ω）、电感（H)、电容（F);建立输入电压u r (V)和输出电压u c (V)之间的动态方程。

解由基尔霍夫定律得:()1()()()r di t u t Ri t L i t dt dt C=++⎰1()()c C u t i t dt=⎰消去中间变量i (t ),可得:222()d ()2()()c c c rd u t u t T T u t u t dt dt ζ++=22()()()()c c c rd u t du t LC RC u t u t dt dt ++=令，则微分方程为：2,2LC T RC T ζ==式中：T 称为时间常数，单位为s,称为阻尼比，无量纲。

ζ例设有一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力F 作用于系统时，系统将产生运动。

建立外力F 与质量块位移y (t )之间的动态方程。

其中弹簧的弹性系数为k ，阻尼器的阻尼系数为f ，质量块的质量为m 。

解对质量块进行受力分析，作用在质量块上的力有：外力: F 弹簧恢复力:Ky(t)阻尼力:()dy t f dt由牛顿第二定律得:22()()()d y t dy t m F f Ky t dt dt =−−22()()()d y t dy t m f Ky t Fdt dt ++=222()()2()d y t dy t T T y t kFdt dt ζ++=令，，/T m K =2/T f K ζ=1/k K =/2f mKζ=则微分方程可以写为该方程描述了由质量块、弹簧和阻尼器组成系统的动态关系，它是一个二阶线性定常微分方程。

控制工程基础第二章控制系统的数学模型

R1 ui C1 K
R2 C2 uc
U c ( s) K U i ( s ) ( R1C1s 1)( R2C2 s 1)

有源网络：
Ur R0
R1
C1 +12V
+
-12V
Uc
U c ( s) R1C1s 1 U r ( s) R0C1s
2-3 典型环节及其传递函数

环节：具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。系统传递函数可写为：

例2 电学系统：其中：电阻为R，电感为L，电容为C。
＋ ur(t) － i
＋ uc(t) －
解：系统的微分方程如下
d U c (t ) dUc (t ) LC RC U c (t ) U r (t ) 2 dt dt
2
拉氏变换后（零初始条件下）
U c ( s) 1 2 U r ( s ) LCs RCs 1
2 2
1 1 1 , 2 2 s Ts 1, T s 2Ts 1
各典型环节名称：

比例环节：K 一阶微分环节：s 1 2 2 s 二阶微分环节： 2 s 1 1 积分环节： s 1 惯性环节： 1 Ts 1 二阶振荡环节：2 s 2 2Ts 1 T

传递函数的性质：（1）传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，与输入输出无关；（2）传递函数概念仅适用于线性定常系统，具有复变函数的所有性质；（3）传递函数是复变量s 的有理真分式，即n≥m；（4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换；
传递函数的性质：（5）传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系；（6）由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系数均为实数，故零点和极点可以是实数，也可以是成对的共轭复数。

自动控制原理第2章

略去高次项，
yy0 dfd(IT
第2章第20页
② 两个自变量
y=f(r1， r2)
静态工作点： y0=f(r10， r20)
在y0=f(r10， r20) 附近展开成泰勒级数，即
y
f
(r10,r20)rf1
(r1
r10)rf2
(r2
r20)
EXIT
第2章第14页
2.1.3 机电系统
图示为一他激直流电动机。 +
图中，ω为电动机角速度
（ rad/s ）， Mc 为折算到电 ua 动机轴上的总负载力矩 _
（ N·m ）， ua 为电枢电压 + （V）。设激磁电流恒定，
并忽略电枢反应。
_
ia La
ea Ra
Mc
负载
取得u: a为给定输入量， ω为输出量，Mc为扰动量，忽略电枢电感，
• 传递函数是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统或元件输入、输出关系的函数。它是和微分方程一一对应的一种数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数对系统响应的影响。
EXIT
第2章第26页
1. 定义零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变
换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数，记为G(s)，即：
例一个由弹簧-质量-阻尼器组成的机械平移系统如图所示。m为物体质量，k为弹簧系数，f 为粘性阻尼系数，外力F(t)为输入量，位移x(t)为输出量。列写系统的运动方程。
F
k
m x
EXIT
第2章第10页
解在物体受外力F的作用下，质量m相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为x、dx/dt、d2x/dt2 。设外作用力F为输入量，位移 x 为输出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关系和牛顿第二定律，可列出作用在上的力和加速度之间的关系为

建立控制系统微分方程的一般步骤

建立控制系统微分方程的一般步骤控制系统是指通过输入信号来控制输出信号的系统，其设计和分析需要建立控制系统的微分方程。

以下将介绍建立控制系统微分方程的一般步骤。

1. 确定系统的物理模型：首先需要对待控制的系统进行建模，确定系统的物理特性和行为。

根据具体情况，可以采用机械模型、电路模型、传输线模型等不同的模型。

2. 建立系统的拉普拉斯域方程：将系统的物理模型转换到拉普拉斯域中，建立系统的传输函数。

传输函数是输入和输出之间的关系，通常用H(s)表示，其中s为复变量。

3. 对传输函数进行变换：将传输函数进行变换，消除高阶项和负阶项，得到标准形式的传输函数。

标准形式的传输函数一般具有较简单的形式，方便后续的分析和设计。

4. 求解系统的特征方程：将传输函数的分母部分设置为零，得到系统的特征方程。

特征方程的根决定了系统的稳定性和动态响应特性。

5. 根据特征方程确定系统的微分方程：通过特征方程可以确定系统的微分方程。

微分方程描述了系统输入和输出之间的微分关系，是控制系统分析和设计的重要工具。

6. 进行系统的稳态分析：通过分析系统的特征方程和微分方程，可以得到系统的稳态响应特性，包括稳态误差、稳态增益等。

7. 进行系统的动态分析：通过分析系统的特征方程和微分方程，可以得到系统的动态响应特性，包括过渡过程、阻尼比、振荡频率等。

8. 进行系统的频域分析：将系统的微分方程转换到频域中，进行频域分析。

频域分析可以得到系统的频率响应特性，包括幅频特性、相频特性等。

9. 进行系统的稳定性分析：通过分析系统的特征方程和微分方程，可以确定系统的稳定性。

稳定性是控制系统设计中的重要考虑因素，决定了系统是否能够稳定工作。

10. 进行系统的性能指标分析：通过分析系统的特征方程和微分方程，可以得到系统的性能指标，包括超调量、调整时间、上升时间等。

这些指标反映了系统的动态性能。

通过以上一系列步骤，可以建立控制系统的微分方程，并通过分析微分方程进行系统的稳态和动态性能分析。

第2章第1讲自动控制系统微分方程及线性化

在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不
计，因而上式可简化为
Tm
dωm (t)
dt
+ ωm (t)
=
K1ua (t)
−
K2Mc
(t)
Tm
=
Ra
Ra J m fm + CmCe
K1
=
Ra
Cm fm + CmCe
K2
=
Ra
Ra fm + CmCe
若电枢电阻Ra和电机转动惯量Jm都很小忽略不计时上式还可进一步简化为：
电气电感L 电容C
电阻R 电压u
机械质量m 弹性系数的倒数1/K 摩擦阻力f 力F
相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。为我们利用简单易实现的系统去研究复杂系统提供理论依据。复杂控制系统微分方程建立注意： ¾信号传输的单向性（即前一级的输出为下一级的输入） ¾后一级是否对前一级有影响
例量2，-电6 动列机出转所速图示ωm的(t微)为分输方出程量，，要图求中取R电a、枢La电分压别是ua(电t)枢为电输路入的
电阻和电感，Mc 是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。
＋
ua
－
La Ra
ia
－
＋ Ea
ωm Jm fm
SM
负载
MC
图2-6电枢电压控制直流电动机原理图
解：直流电动机的运动方程可由以下三部分组成
A
物料( 能量) －单位时间流出的物料( 能量)
h
Qo
Qi
− Qo
=
A
dh dt
=
dV dt
………………（1）
（3）消去中间变量Qo ，得到最终的方程

自动控制理论-第二章

2-1 控制系统的时域数学模型
1、控制系统微分方程的建立（1）举例例1：电路无源网络试列写以 u (t ) 为输入量，以 u (t )为输出量的网络微分方程
i
o
解：设回路电流为 i(t ) ，由基尔霍夫定律可写出回路方程为
di ( t ) 1 + i ( t ) dt + Ri ( t ) = u i ( t ) dt C ∫ 1 u o (t ) = i ( t ) dt C ∫ L
f 2 (t )
c(t ) = c1 (t )
作用时， c(t ) = c2 (t ) 叠加性：当 f (t ) 、 f (t ) 同时作用时，c(t ) = c1 (t ) + c2 (t ) 均匀性：当 f (t ) = A ⋅ f1 (t ) 时， c(t ) = A ⋅ c1 (t ) 线性系统的叠加原理表明：两个外作用同时加于系统所产生的总输出，为各个外作用单独作用时分别产生的输出之和。
[
]
1 1 1 F ( s ) + n f ( −1) (0) + L + f ( − n ) (0) n s s s
式中
f
( −1)
f ( −1) (0)、f ( −2) (0) L f ( − n ) (0)
(−n)
为
f (t )
的各重积分在 t = 0 时的值。如果
(0) = f ( −2 ) (0) = L = f
(0) = 0 ，则有
L ∫ L ∫ f (t )(dt ) n =
[
]
1 F (s) sn
（4）初值定理若函数 f (t ) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则
f (0 + ) = lim f (t ) = lim sF ( s)

2-4 第四节控制系统的微分方程及线性化方程

第四节控制系统的微分方程及线性化方程一、基本概念1、系统的微分方程——在时域内用来描述系统及其输入、输出三者之间的动态关系的数学模型。

（包括系统动态方程、运动方程或动力学模型）2、建立微分方程——根据支配系统动态特性的各种物理规律（力学、电学、液压等各种原理和规律），明确输入（一般为已知函数）和输出（一般作待求的未知函数），列出微分方程，并整理为标准形式（含输出项在等式左边，含输入项在等式右边，并按微分降幂排列）。

二、系统分类1、线性系统可用线性微分方程描述的系统。

（1）线性定常系统—线性微分方程中的系数与时间无关的系统。

（2）线性时变系统—线性微分方程中的系数与时间相关的系统。

特点：可应用线性加原理，分别处理各项输入引起的输出，最后将结果叠加。

2、非线性系统必须用非线性微分方程描述的系统，不能使用叠加原理。

本课程属经典控制论范畴，主要研究线性定常系统！三、微分方程的建立1、位移系统中元件的复阻抗（1）弹簧)的正方向相同，无论时受压还是受拉，都有：()()=f t Kx t即： ()()=F s Kx s（K为弹簧刚度系数）（为速度阻尼系数） B（M为质量）输入：()f t作用力输出：()x t线位移根据牛顿第二定律F ma =设质量块正方向移动()x t ，()f t 作用力要克服弹簧和阻尼器的阻力K f 和B f 。

即：()()()()()K B f t f f maf t Kx t Bx t Mx t −−=⇒−−=移项标准化：()()()()Mxt Bx t Kx t f t ++=J K ——扭转弹簧刚度系数（N m ⋅/）rad τ——外加力矩（N m ⋅）J B ——转动粘性阻尼（/） N m s ⋅⋅rad 解：输入为力矩τ，输出为转角()t θ 根据转矩公式：M J ε=⋅力矩τ要使系统进行转动的话，必须克服弹簧和阻尼器的阻力矩。

()()()()J J J J K t B w J K t B t J t τθετθθ−⋅−⋅=⋅⇒−⋅−⋅= θ整理得：()()()J JJ t B t K t θθθτ+⋅+⋅= 例3：已知电机转矩为，负载转矩为m T L T ，为齿轮齿数，为各轴系粘性转动动阻尼系数，为各轴系转动惯量，i Z i B i J i θ为各轴系的角位移。

控制系统的微分方程

u1(t) K1ue (t)
u2
(t)
K2
du1 (t ) dt
u1 (t )
式中 K1 ，K2 ——运算放大器Ⅰ和Ⅱ的放大倍数。
代入可得
u2 (t)
K1K2
due (t) dt
ue
(t
)
（3）执行机构。功率放大器的输入量 u2 (t) 和输出量u（a t）之间的关系为
ua (t) K3u2 (t)
C1
duC1 (t) dt
i2
(t)
C2
duc (t) dt
消去中间变量uC1 (t)，i1(t) ，i2 (t) 。代入得
i1 (t )
C1
duC1 (t) dt
C2
duc (t) dt
代入得
R1C1
duC1 (t) dt
R1C2
duc (t) dt
uC1
(t)
ur
(t)
R2C2
duc (t) dt
首先建立描述系统各环节输入量与输出量之间关系的微分方程，具体如下。
（1）比较元件。输入量 u（r t）和 u（f t）与输出量 ue (t)之间的关系为
ue (t) ur (t) uf (t)
（2）控制器。运算放大器Ⅰ的输入量 ue (t)和输出量 ul (t) 之间，以及运算放大器Ⅱ的输入量 u1(t) 与输出量u2 (t)之间的关系分别为
为
uf (t) Kf(t)
按照控制系统的连接顺序，消去以上各式中的中间变量，合并得
代入得
u2 (t)
K1K2
dur (t) dt
K1K2
duf (t) dt
K1K2
ur
(t )

自控第二章

Fi 0
式中：Fi是作用于质量块上
f
的主动力，约束力以及惯性
力。
将各力代入上等式，则得
K M y(t)
d2 y(t) dy(t) m dt2 f dt Ky(t) F (t)
(2 1 6)
式中：y——质量块m的位移（m）；
f——阻尼系数（N·s/m)；
K ——弹簧刚度（N/m)。
将式(2-1-6)的微分方程标准化
加若干倍，这就是叠加原理。
2－3 传递函数
传递函数的定义：
线性定常系统在零初始条件下，输出
的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。
•传递函数是在拉氏变换基础上引申出来的复数域数学模型。传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和频域法，就是以传递函数为基础建立起来的。因此，传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的数学模型.
自动控制原理
第二章自动控制系统的数学模型
第二章自动控制系统的数学模型
主要内容 2-1 控制系统微分方程的建立 2-2 非线性微分方程的线性化 2-3 传递函数 2-4 动态结构图 2-5 系统的脉冲响应函数 2-6 典型反馈系统传递函数
基本要求 1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。 2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式。 3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。 4.掌握传递函数的概念及性质。 5.掌握典型环节的传递函数形式。
K s
1 Ts
K——比例系数 T——积分时间常数
可以应用在一些信号转换电路上，比如关于X轴对称的方波经过积分电路处理后，输出三角波。
3.微分环节
• 理想的微分环节，其输出与输入量的导数成比例。

自动控制系统分类

1-3自动控制系统的分类之吉白夕凡创作本课程的主要内容是研究按偏差控制的系统。

为了更好的了解自动控制系统的特点，介绍一下自动控制系统的分类。

分类方法很多，这里主要介绍其中比较重要的几种：一、按描述系统的微分方程分类在数学上通常可以用微分方程来描述控制系统的动态特性。

按描述系统运动的微分方程可将系统分成两类：1．线性自动控制系统描述系统运动的微分方程是线性微分方程。

如方程的系数为常数，则称为定常线性自动控制系统；相反，如系数不是常数而是时间t的函数，则称为变系数线性自动控制系统。

线性系统的特点是可以应用叠加原理，因此数学上较容易处理。

2．非线性自动控制系统描述系统的微分方程是非线性微分方程。

非线性系统一般不克不及应用叠加原理，因此数学上处理比较困难，至今尚没有通用的处理方法。

严格地说，在实践中，理想的线性系统是不存在的，但是如果对于所研究的问题，非线性的影响不很严重时，则可近似地看成线性系统。

同样，实际上理想的定常系统也是不存在的，但如果系数变更比较缓慢，也可以近似地看成线性定常系统。

二、按系统中传递信号的性质分类1．连续系统系统中传递的信号都是时间的连续函数，则称为连续系统。

2．采样系统系统中至少有一处，传递的信号是时间的离散信号，则称为采样系统，或离散系统。

三、按控制信号r(t)的变更规律分类1．镇定系统()r t为恒值的系统称为镇定系统(图1-2所示系统就是一例)。

2．程序控制系统()r t为事先给定的时间函数的系统称为程序控制系统(图1-11所示系统就是一例)。

3．随动系统()r t为事先未知的时间函数的系统称为随动系统，或跟踪系统，如图1-7所示的位置随动系统及函数记录仪系统。

第三节自动控制系统的分类控制系统的分类方法:按控制方式分：开环控制，闭环控制，复合控制等；按系统性能分：线性系统和非线性系统、连续系统和离散系统、定常系统和时变系统。

线性连续控制系统计算机控制系统的分类作者: cips发表日期: 2006-02-08 15:43 复制链接计算机控制系统的分类有三种方法：以自动控制行式分类，以参于控制方式分类或以调节规律分类。

控制系统微分方程