晶体中电子的运动

载
晶体电子在能带顶的有效质量小于零。由运动方程（5.15）可见，能带顶电子的加速度方向 与外加电场力方向相反。由牛顿运动方程（5.16）可知，电子的加速度方向总是与合外力方 向相同； 能带顶电子的加速度方向与外加电场力方向不同， 是晶体周期场力作用的又一明显 体现．
未
，
有
所
权
版
许
可
，
不
得
转
⎛1 0 0⎞ ⎟ =2 ⎜ =2 m = － ＝－ 0 1 0 ⎜ ⎟ 2 J 1a 2 ⎜ 2 J 1a 2 ⎟ 0 0 1 ⎝ ⎠
版
可
K K K
，
5.1.2 在外力作用下状态的变化和准动量
有
不
得
转
其中 W 是能带宽度．
经
载
，
(5.4)
有
(5.5)
(5.6)
上式与牛顿定律有相似的形式， =k 具有动量的量纲、具有类似于动量的性质，但是， 由于一个状态的波矢 k 具有倒格矢 G h 的不确定性，故称 =k 为准动量． 5.1.3 晶体电子的有效质量
(m * ) −1 =
1 K K K ∇ ∇ E (k ) =2 k k
，
有
不
得
转
载
就是有效质量张量 m 。由上式直接可以得到倒有效质量张量
版
许
*
可
，
不
称为倒有效质量张量分量。倒有效质量
1 * −1 是一个张量，也记作 ( m ) 。倒有效质量的逆 * m
未
得
转
载
(5.11)
经
未
，
有
不
得
式（5.9）把晶体中电子的加速度与外加电场力联系了起来，称为晶体中电子的运动方程。
有
所
权
版
许
可
*
，
不
得
转
载
，
π
a
，
π
a
可
） ，有效质量为
(5.22)
载
许
可
，
不
得
转
载
经
未
，
有
所
权
版
许
可
，
不
得
转
载
经
未
，
有
所
权
版
许
可
，
不
得
转
载
经
未
，
有
所
权
版
许
可
，
不
得
转
载
经
未
，
有
所
权
版
许
可
，
不
得
转
载
经
，
有
所
权
版
d =k = eF dt
波矢随时间线性变化
版
权
以一维晶体为例．在稳恒电场 F 作用下（电场方向沿负 x 方向） ，准动量的运动方程为
所
有
，
E s (k ) = E sat − J 0 − 2 J 1 cos ka
未
经
例题 5.1.2 在紧束缚近似下，计算一维单原子链 s 态电子的能带函数、能带电子的速度和 有效质量。 解：紧束缚近似下，一维单原子链 s 态电子的能带函数为
有
所
权
许
可
，
不
得
转
(5.23) (5.24) (5.25)
比较运动方程（5.16）与运动方程（5.9）或(5.15)，可知晶体电子的有效质量与电子惯性质 量的区别，就在于有效质量包含了晶体周期场力的作用． 引入晶体电子有效质量的概念， 可以不必分析复杂的晶体周期场力， 而方便地分析讨论 晶体电子在外加电场作用下的运动。
未
，
有
所
权
许
可
，
不
得
转
载
K K me a = f + 晶体周期场力
v(k ) =
1 dE ( k ) = dk
有
，
(5.2)
未
，
有
所
权
版
许
可
，
v(k ) =
不
得
Wa sin(ka) 2=
转
具体地对于一维单原子链，在紧束缚近似下 s 态能带中 k 态电子的速度为 (5.3)
经
载
未
，
所
权
未
所
权
版
得到晶体电子在稳恒电场 F 作用下,波矢 k 满足的准经典运动方程为
d G K =k = f dt
许
可
，
不
得
转
载
h eFa
(5.26)
经
未
，
有
所
权
版
许
可
，
不
得
转
载
经
未
，
有
所
权
版
许
可
，
不
得
转
载
经
未
，
有
不
得
转
载
经
载
经
未
，
有
所
权
许
可
，
不
得
转
载
满带中的电子波矢状态是正负对称分布的，状态 k 与 − k 具有相同的能量
K
K
得
且具有大小相等方向相反的速度
转
载
K K E (k ) = E (−k ) K K K K v ( k ) = −v ( − k )
* 2
经
所
权
许
可
，
2 ∂2E * 2 ∂ E m = = / 2 ， m z = = / 2 ，运动方程（5.9）简化为 ∂k y ∂k z
未
有
不
* y
，
2
得
转
载
∂2E ， ∂k x2
所
，
经
未
，
所
权
可
许
，
m* yay = f y
得
转
m* xax = f x
版
载
(5.15a) (5.15b)
有
不
经
所
版
版
许
可
TB = 1.38 × 10 −10 s，远远大于电子的平均自由时间τ，布洛赫振荡被破坏而不能实现．为
有
所
，
不
得
转
注 意 到 TB =
0 h 5 ， 如 果 a = 3 A ， 在 比 较 强 的 电 场 F = 10 V/m 作 用 下 ， eFa
版
许
可
，
Biblioteka Baidu
电子速度随时间 t 的周期振荡, 对应着电子在空间的局域振荡． 晶体电子在稳恒电场 F 作用下的运动, 是在实空间局域的周期往复的振荡．这是布洛 赫在 1928 年理论分析得到的结果, 称为布洛赫振荡． 1．理想周期结构中的电子不导电 在电场作用下晶体电子的布洛赫振荡运动, 是不会产生电荷的宏观迁移的, 即不产生 电流． 即使是对于金属晶体, 在电场作用下也不会产生电流． 这是周期场对电子的奇妙作用． 2．晶体缺陷是产生电流的原因 我们普遍使用的铜、 铝、 铁等多种金属材料具有良好的导电性, 它们都是金属晶体, 需 要注意的是这些实际使用的金属晶体都不是理想的完整晶体, 有晶格振动和杂质等多种晶 体缺陷； 正是这些晶体缺陷, 才使金属材料可能具有良好的导电性； 没有缺陷的金属晶体却 没有导电能力． 3．布洛赫振荡的实验验证 -13 室温下实际晶体中电子运动的平均自由时间τ的典型值为 10 s. 当布洛赫振荡的振 荡周期TB<τ时, 表现出振荡；而当布洛赫振荡的振荡周期TB>τ时, 振荡被散射所破坏, 表 现出定向运动．
(5.27)
，
不
许
可
版
权
所
§5.3 导体、半导体和绝缘体的分类
有
，
未
经
了使布洛赫振荡能够得到实验验证，只有增大周期；随着科学技术的发展，特别是分子束外 延技术的成熟，L.Esaki 和 R.Tsu（朱兆祥）于 1969 年首先提出了超晶格的概念，即人工长 周期结构，1971 年卓以和（A.Y.Cho）首先用分子束外延方法成功生长出 GaAs/AlGaAs 的超 晶格； 超晶格的周期比天然晶体的周期长度大两个数量级， 布洛赫振荡在超晶格中成功地得 到了实验验证．
(m* ) −1 =
1 ∂ 2 E 1 ∂v(k ) 2 J 1a 2 = = cos ka = 2 ∂k 2 = ∂k =2
一维单原子链 s 态电子的能带函数、 速度和有效质量如图 5.1 所示。 在能带顶和能带底， 电子速度为零；在能带函数的拐点处，电子速率最大。能带电子的有效质量，在能带底附近 大于零，而在能带顶附近小于零。有效质量函数的复杂变化，体现了晶体周期场力的复杂作 用．
得
转
⎛1 0 0⎞ ⎟ =2 ⎜ =2 m = ＝ 0 1 0 ⎜ ⎟ 2 J 1a 2 ⎜ 2 J 1a 2 ⎟ ⎝0 0 1⎠
*
有
所
可
，
版
许
(5.21)
权
经
权
版
许
π
a
载
经
未
，
经
经
未
，
版
v(k ) =
倒有效质量为
1 ∂E (k ) 2 J 1a sin ka = = ∂k =
版
权
状态 k 的电子速度
v (t ) =
Wa eFa sin( t + k0 a ) 2= =
载
这是时间 t 的周期振荡函数, 振荡周期为
TB =
所
权
未
，
权
版
5.3.1 价带和导带 晶体中的电子能带有很多个，较低的电子能带与原子的内层电子能级相对应，较高的 能带与原子的较外层电子能级相对应；较低的电子能带中填满了电子、是满带，而较高的能 带中没有电子、 是空带； 其中最高的满带称为价带， 价带上面的那个不满带或空带称为导带． 材料的电学性质、光学性质、光电性质等主要都是价带和导带中电子的运动和状态变 化的表现． 5.3.2 不同能带的导电性 1．满带电子不导电
∂2E ∂k x ∂k z ∂2E ∂k y ∂k z ∂2E ∂k z2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
，
有
所
权
许
可
，
不
得
转
(5.12) (5.13)
版
有
0 ∂2E 2 ∂k y 0
这时，有效质量张量为
，
⎞ 0 ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ ⎟ ∂2E ⎟ 2 ⎟ ∂k z ⎠
未
经
载
或写为
版
许
可
，
所
有
，
未
§5.2
稳恒电场作用下晶体电子的运动 布洛赫振荡
经
许
可
，
不
得
图 5.1
晶体电子的能带、速度和有效质量
未
转
(5.23) (5.24) (5.25)
k = k0 +
eFt =
其中k0是t=0 时的初始波矢, e是电子电量． 波矢随时间线性变化，对应着电子速度随时间的变化．具体地对于一维单原子链，在 紧束缚近似下 s 态能带中 k 态电子的速度为
转
载
⎛ 2 ∂2E ⎜= / 2 ⎜ ∂k x ⎜ * 0 m = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝
0
=2 /
，
不
∂2E 2 ∂k y 0
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ 2 ⎟ 2 ∂ E⎟ = / 2⎟ ∂k z ⎠ 0
载
许
可
得
(5.14)
转
权
版
许
可
对 于 对 角 化 的 倒 有 效 质 量 张 量 (5.13) ， 或 有 效 质 量 张 量 (5.14) ， 记 m x = = /
权
可
，
注意到晶体中电子受到的合外力，不仅有外加电场力，还有复杂的晶体周期场对电子 的作用力，牛顿运动方程应为
未
，
有
不
得
转
载
m* z az = f z
(5.15c)
版
许
(5.16)
(5.17)
状态 k 的电子速度
K
2J a ˆ 1 K K K ˆ sin k a ) v (k ) = ∇ k E = 1 (i sin k x a + ˆ j sin k y a + k z = =
对于倒有效质量张量，容易计算得到非对角元为零，即
(5.18)
∂2E =0 ∂kα ∂k β
其中
α≠β
(5.19)
即倒有效质量张量是对角化的， k x 、 k y 、 k z 轴沿着张量的主轴方向；因而，有效质量张 量为
载
许
⎛ (cos k x a ) −1 ⎜ = ⎜ m* = 0 2 J 1a 2 ⎜ ⎜ 0 ⎝
2
，
不
0 (cos k y a ) −1 0
⎞ ⎟ ⎟ −1 ⎟ (cos k z a ) ⎟ ⎠ 0 0
得
转
(5.20)
可
未
，
不
得
转
在能带底（ k x , k y , k z ）＝（ 0,0,0 ） ，有效质量张量为
经
载
未
，
有
所
，
不
有效质量张量退化为标量。在能带底，晶体电子的有效质量大于零。 在能带顶（ k x , k y , k z ）＝（
G
版
G
K
权
所
K d=k K K K ( − f ) ⋅ v (k ) = 0 dt
，
未
经
即
许
可
K K K K K dk ⋅ ∇ kK E ( k ) = f ⋅ v ( k )dt
，
有
不
得
转
外力 f 在 dt 时间内对晶体中 k 态电子作的功为 f ⋅ v (k )dt ，根据功能原理，有
经
载
K
许
K
经
版
K E s (k ) = E sat − J 0 − 2 J 1 (cos k x a + cos k y a + cos k z a)
版
解：紧束缚近似下，简单立方晶体的 s 能带函数为
权
所
例题 5.1.1 对于简单立方晶体，在紧束缚近似下计算 s 能带 k 状态电子的速度和有效质量。
有
，
未
K
经
( m * ) −1
⎛ ∂2E ⎜ 2 ⎜ ∂k x ⎜ 1 = 2⎜ 0 = ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝
版
权
⎛ ∂2E ⎜ ⎜ ∂k x2 1 ⎜ ∂2E (m * ) −1 = 2 ⎜ = ⎜ ∂k y ∂k x ⎜ ∂2E ⎜ ⎜ ∂k ∂k ⎝ z x
未
所
∂2E ∂k x ∂k y ∂2E 2 ∂k y ∂2E ∂k z k y
(5.7)
，
不
许
可
(5.8)
经
未
，
有
不
得
代入式（5.6） ，得到
转
1 aα = 2 =
所
，
载
权
版
许
可
(5.9)
经
未
得 ， 不
其中
转
K 1 1 ∂ 2 E (k ) ( * )αβ = 2 m = ∂kα ∂k β
有
，
载
所
权
版
许
可
(5.10)
经
，
有
所
权
经
未
所
权
经
若 k x 、 k y 、 k z 轴沿着张量的主轴方向，则张量的非对角元为零，倒有效质量张量是对角 化的
K
K
G
首先计算晶体电子的加速度
得
对于每一个分量
转
载
1 d G K K d G a = v(k ) = ∇ E (k ) = dt k dt
K K dk β ∂ ∂E (k ) 1 d ∂E (k ) 1 aα = ＝ ∑ = dt ∂kα = β dt ∂k β ∂kα
K 1 ∂ 2 E (k ) f β ＝ ∑ ( * )αβ f β ∑ m β β ∂k β ∂k α
第五章
晶体中电子在电场和磁场中的运动
载
许
可
，
不
5.1.1 晶体电子的运动速度
得
转
§5.1 晶体电子的准经典运动
经
未
，
不
得
转
能带 E (k ) 中的晶体电子，其运动速度为
载
G
版
许
G G G 1 v (k ) = ∇ kG E (k ) =
有
所
，
权
可
(5.1)
经
未
，
不
得
在一维情况下，简化为
转
载
所
权
版
许
可