陕西省2020届高三年级第三次联考理科数学试卷及其答案
2020届陕西省高三第三次联考理科数学试题(解析版)
理科数学
一、选择题
1.全集U R ，集合 A x y ln x 1 ， B y y x 2 4x 8 ，则 A ðU B （ ）
A. 1, 2
B. 1, 2
C. 1, 2
D. 1, 2
【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据对数函数的性质以及二次函数的图像与性质求出集合 A 、 B ，再利用集合的交、补运算即可求解.
ab
（
）
A. 5
B. 2 5
C. 5
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量平行的条件列方程，解方程求得
x
的值，求得
a
b
的坐标后，求得
r a
r b
.
【详解】由题得 2x 6 0 . x 3 ，
a b 4, 2 ，
ab
42 22 2 5 .
故选：B
【点睛】本小题主要考查向量平行的坐标表示，考查向量减法和模的坐标运算，属于基础题.
最小值为（ ）
A. 4
B. 5
【答案】C
C. 4 2 2
D. 5 2 2
【解析】
【分析】
将问题转化为求 PA PF 的最小值，根据抛物线的定义可知 PF PD ，即求 PA PD 的最小值，
当 P 、 A 、 D 三点共线时， PA PD 最小，由 PA PD min xA 1 3 1 4 即可求解.
交稿数为（ ）
A. 2800 【答案】D
B. 3000
C. 3200
D. 3400
【解析】
【分析】
先求出总的稿件的数量，再求出高三年级交稿数占总交稿数的比例，再求高三年级的交稿数.
2020届陕西省高三第三次联考数学(理)试卷及解析
2020届陕西省高三第三次联考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.全集U =R ,集合(){}ln 1A x y x ==-,{B y y ==,则()U A B =（ ）A. ()1,2B. (]1,2C. [)1,2D. []1,2【答案】A【解析】 首先根据对数函数的性质以及二次函数的图像与性质求出集合A 、B ,再利用集合的交、补运算即可求解.【详解】{{}2B y y y y ====≥, {}2U B y y =<,(){}{}ln 11A x y x x x ==-=>, ()()1,2U A B ⋂=． 故选：A ．2.已知复数51i z i +=-（i 为虚数单位）,则在复平面内z 所对应的点在（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】根据复数的除法运算,求得复数23z i =+,再结合复数的几何意义,即可求解. 【详解】由题意,根据复数除法运算,可得复数5(5)(1)46231(1)(1)2i i i i z i i i i ++++====+--+, 则在复平面内z 所对应的点为()2,3,在第一象限.故选：A .3.已知向量()2,1a =-,()6,b x =,且//a b ,则a b -=（ ）A. 5B. 25C. 5D. 4【答案】B【解析】 利用向量平行的条件列方程,解方程求得x 的值,求得a b -的坐标后,求得a b -.【详解】由题得260x +=.3x ∴=-,()4,2a b ∴-=-,()224225a b ∴-=-+=.故选：B4.已知二项式()20121n n n x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+,且16a =,则012n a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A. 128B. 127C. 64D. 63【答案】C【解析】 结合二项式展开式的通项公式以及1a ,求得n 的值,利用赋值法求得所求表达式的值.【详解】由题意,二项式()1n x +展开式的通项为1r n r r n T C x -+=,令1=-r n ,可得1n n n T C x -=,即16n n C -=.解得6n =.令1x =,则6012264n a a a a +++⋅⋅⋅+==.故选:C5.某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕,在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文,收到的稿件经分类统计,得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份,则高三年级的交稿数为（ ）A. 2800B. 3000C. 3200D. 3400 【答案】D。
2020届陕西省高三年级第三次联考理科数学试卷(含答案)
理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】D2.已知复数（是虚数单位），则的实部为（）A. B. C. D.【答案】B3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B4.已知向量，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A5.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到准线的距离为（）A. B. C. 1 D. 3【答案】B6.已知的面积为，三个内角的对边分别为，若，，则三角形是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定【答案】A7.阅读如图所示的程序框图，则输出的（）A. 30B. 29C. 90D. 54【答案】D8.同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为，则的数学期望是（）A. 1B.C. 2D.【答案】A9.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B10.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B11.已知双曲线，若抛物线（为双曲线半焦距）的准线被双曲线截得的弦长为（为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】D12.已知函数是定义域为的奇函数，且满足，当时，，则方程在区间上的解的个数是（）A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】D【解析】【分析】由条件通过解方程可得时的根为，进而通过分析函数的奇偶性及周期性可得的解得个数. 【详解】∵当时，，令，则，解得.∵，∴函数是周期为4的周期函数.又∵函数是定义域为的奇函数，∴在区间上，，，，，则方程在区间上的解有0，1，2，3，4，5，6，7，8共9个.故应选D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数的图像在处的切线方程是，则______．【答案】1014.已知实数满足，则的最大值是______．【答案】1415.将函数的图像向左平移个单位得到一个偶函数的图像，则____．【答案】16.直三棱柱的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为，则该三棱柱体积的最大值为______．【答案】【解析】【分析】由题意可知三棱柱上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，利用勾股定理建立变量间的关系，结合均值不等式得到最值.【详解】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a，b，则棱柱的高，设外接球的半径为r，则，解得，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，∴．∴，∴，∴．当且仅当时“＝”成立．∴三棱柱的体积．故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知正项等比数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】(1) 由题意得，解出基本量即可得到数列的通项公式；(2) 由（1）知，，利用裂项相消法求和.【详解】（1）设数列的公比为q，由已知，由题意得，所以．解得，．因此数列的通项公式为．（2）由（1）知，，∴．18.某工厂某产品近几年的产量统计如下表：年份2013 2014 2015 2016 2017 2018年份代码 1 2 3 4 5 6年产量（万件） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4（1）根据表中数据，求关于的线性回归方程；（2）若近几年该产品每千克的价格（单位：元）与年产量满足的函数关系式为，且每年该产品都能售完.①根据（1）中所建立的回归方程预测该地区年该产品的产量；②当为何值时，销售额最大？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（1）（2）①7. 56②【解析】【分析】（1）求得样本中心点，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（2）①将t=7代入线性回归方程，即可预测该地区2019（t=7）年该农产品的产量；②由题，先表示出，销售额S=（4.5–0.3y）y×107=（–0.3y2+4.5y）×107可知，当y=7.5时，函数S取得最大值，只有y=7.56最靠近y=7.5，可得结果.【详解】（1）由题意，得，，=（–2.5）×（–0.4）+（–1.5）×（–0.3）+0+0.5×0.1+1.5×0.2+2.5×0.4=2.8，=（–2.5）2+（–1.5）2+（–0.5）2+0.52+1.52+2.52=17.5．由，得，又，得，∴y关于t 的线性回归方程为．（2）①由（1）知，当t=7时，，所以预测2019年该农产品的产量为7.56万吨．②当年产量为y时，销售额S=（4.5–0.3y）y×107=（–0.3y2+4.5y）×107（元），当y=75时，函数S取得最大值，又因y∈{6.6，6.7，7，7.1，7.2，7.4，7.56}，计算得当y=7.56，即t=7时，即2019年销售额最大．19.如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面ABC，D，E分别是AC ，的中点．求证：平面；求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定和性质，得到平面，进而证得；（2）建立空间直角坐标系，求面DBE 和面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值.【详解】（1）∵，D是AC 的中点，∴，∵平面ABC，∴平面平面ABC，∴平面，∴．又∵在正方形中，D，E分别是AC，的中点，易证得∴△A1AD≌△ACE∴∠A1DA=∠AEC, ∵∠AEC+∠CAE=90°，∴∠A1DA+∠CAE=90° ,即．又，∴平面．又，则（2）取中点F，以DF，DA，DB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，，，设平面DBE的一个法向量为，则，令，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，设二面角的平面角为，观察可知为锐角，故二面角的余弦值为．20.已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过右顶点作直线与椭圆交于另一个点，是左焦点，连接并延长交椭圆于点，当面积最大时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件列方程，进而可得椭圆方程；（2）由，将直线与椭圆联立，结合韦达定理，可得，令，可得，又斜率不存在时，，从而得最大值.【详解】（1）设椭圆方程为，由题意知：，解之得，所以椭圆方程为.（2）由题知，当直线斜率存在时，设所在直线为，，，，①，，.代入①式得，令，则，，当斜率不存时，.故当面积最大时，垂直于轴，此时直线的斜率为，则直线的方程：.21.已知函数，，，为自然对数的底数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若，方程有个解，求的值.【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）0.【解析】【分析】（1）求函数导数，结合定义域即可得单调区间；（2）设，求函数的导数可得在区间内单调递增，，，结合条件，整理得，结合基本不等式及的范围可得解.【详解】（1）当时，，其定义域为，，解，得，解，得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为.（2）设，由题意知有个零点，∵，，记，则，知在区间内单调递增.又∵，，∴在区间内存在唯一的零点，即，于是，.当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，当且仅当时，取等号.由，得，∴，即函数没有零点.即.【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性及零点，涉及“隐零点”的解法，是解题的关键，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于点（不同于原点），与直线交于点，求的值.【答案】（1）:;:;（2）.【解析】【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B到原点的距离，作差得出|AB|．【详解】（1）∵，∴，∴曲线C的直角坐标方程为．∵直线l的参数方程为（t为参数），∴．∴直线l的极坐标方程为．（2）将代入曲线C的极坐标方程得，∴A点的极坐标为．将代入直线l的极坐标方程得，解得．∴B点的极坐标为，∴．【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题．23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2），使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）去绝对值得，对于恒成立，设，只需即可得解. 【详解】（1）可化为，∴或或，分别解得或或无解.所以不等式的解集为.（2）由题意：，.设，要想，成立，只需，∵，∴在上单调递增，∴，∴，∴的取值范围为.【点睛】本题主要考查了分类讨论去绝对值的思想及恒成立问题参变分离的方法，属于基础题.。
2020届陕西高三第三次模拟考试卷理科数学解析
（2）在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ？若存在，确定点 的位置；若不存在，请说明理由．
19．（12分）已知 ， ， ， ．
（1）求 的轨迹 ；
（2）过轨迹 上任意一点 作圆 的切线 ， ，设直线 ， ， 的斜率分别是 ， ， ，试问在三个斜率都存在且不为 的条件下， 时候是定值，请说明理由，并加以证明．
2．答案:】C
解:对复数 进行化简： ，
所以 ．
3．答案:】D
解:标准化 ，通径 ．
4．答案:】D
解:设 年该校参加高考的人数为 ，则 年该校参加高考的人数为 ．
对于选项A， 年一本达线人数为 ， 年一本达线人数为 ，
可见一本达线人数增加了，故选项A错误；
对于选项B， 年二本达线人数为 ， 年二本达线人数为 ，
（1）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）是否存在实数 ， ，使得 ？并说明理由．
答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．答案:】A
解:由 可知集合 中一定有元素 ，
所以符合要求的集合 有 ， ， ， 共 种情况．
（2）在 中， ，∴ ，ຫໍສະໝຸດ ， ，∴ 的周长，
又∵ ，∴ ，
当 ，即 时， 取得最大值 ．
18．答案:】（1）证明见解析；（2）存在， 为线段 的中点．
解:（1）证明：∵ ， 为 的中点，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，∴ ，
∵ ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 ．
（2）如图，由（1）知， ， ，点 ， 分别为 ， 的中点，
2020届陕西省西安市高三下学期第三次质量检测数学(理)试题(解析版)
2020届陕西省西安市高三下学期第三次质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知全集U R =，集合{|23}A x x =-≤<,1{|2,0}x B y y x -==≥，则()UA B ⋂=（ ）A ．{|20}x x -≤<B ．1{|2}2x x -≤< C ．1{|0}2x x ≤< D ．{|03}x x ≤<【答案】B【解析】【详解】试题分析：111{|2,0},{|}{|}22x U B y y x B y y B x x -==≥∴=≥∴=<，所以()U A B ⋂= 1{|2}2x x -≤<．【考点】集合的交集、补集运算．2．若复数z 满足()34112i z i -=+其中i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数，则z 的虚部为（ ） A ．﹣2 B ．2C ．﹣2iD ．2i【答案】A【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，利用共轭复数概念求出z 从而可得结果. 【详解】由于复数()34112i z i -=+， 得()()11234112255012342525i i i iz i i ++++====+-， 12z i =-，则z 的虚部为2-. 故选：A. 【点睛】主要考查复数的概念及复数的运算．属于容易题.3．已知向量()1,0i =，向量()1,1f =，则34-i f 的值为（ ）A ．17B ．5CD ．25【答案】C【解析】先由题意，得到()341,4f i -=--，再由向量模的坐标公式，即可得出结果. 【详解】因为向量()1,0i =，向量()1,1f =， 所以()341,4f i -=--，因此(341f i -=-=故选：C. 【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量模的坐标公式即可，属于基础题型.4．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是 A ．众数 B ．平均数C ．中位数D ．标准差【答案】D【解析】【详解】试题分析：A 样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88． B 样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90 众数分别为88，90，不相等，A 错． 平均数86，88不相等，B 错． 中位数分别为86，88，不相等，C 错 A 样本方差2S =4，标准差S=2， B 样本方差2S =4，标准差S=2，D 正确【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数5．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N ）个圆环所需的移动最少次数，若a 1＝1．且a n ＝1121,22,n n a n a n ---⎧⎨+⎩为偶数为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）A ．7B ．13C ．16D ．22【答案】C【解析】根据已知的递推关系求5a ，从而得到正确答案. 【详解】11a =，∴21211a a =-=，32224a a =+=，43217a a =-=，542216a a =+=,所以解下5个环所需的最少移动次数为16. 故选：C 【点睛】本题考查以数学文化为背景，考查递推公式求指定项，属于基础题型. 6．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．b a c << D ．b c a <<【答案】A【解析】首先判断,,a b c 和1的大小关系，再由换底公式和对数函数ln y x =的单调性判断,b c 的大小即可. 【详解】因为ln3ln 1a e =>>，311log ,log ln 3ln b e c e ππ====，1ln3ln π<<，所以1c b <<，综上可得c b a <<.故选：A 【点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7．函数()cos xf x e x =的图象在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【答案】B【解析】利用导数值为切线斜率，求得倾斜角，得到答案.【详解】()cos sin x x e x x e x f =-'，则()01k f '==，则倾斜角为4π．故选：B ． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，导数的乘法运算，属于基础题.8．函数()24412f x x x-+=的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】本题先借用函数的奇偶性排除两个选项，再利用某点处的函数值得到答案即可. 【详解】解：函数()24412f x x x-+=是偶函数，排除选项B 、C ； 当2x =时，()150223f =-<，对应点在第四象限，排除A ． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的图像与性质，是简单题.9．在圆锥PO 中，已知高PO ＝2，底面圆的半径为4，M 为母线PB 的中点，根据圆锥曲线的定义，图中的截面边界曲线为抛物线，在截面所在的平面中，以M 为原点．MO 为x 轴，过M 点与MO 垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A ．455B ．855C 25D 5【答案】B【解析】设抛物线方程为22(0)y px p =>，代入H 的坐标即可求得结果. 【详解】因为2PO =，4OH OB ==，所以41625PB =+=M 为PB 的中点，所以152OM PB == 设抛物线方程为22(0)y px p =>，则5,4)H -，所以2(4)25p -=85p =所以抛物线的焦点到准线的距离为855. 故选：B. 【点睛】本题考查了圆锥的结构特征，考查了抛物线的标准方程和p 的几何意义，属于基础题. 10．已知函数()cos sin f x a x x =+图象的一条对称轴是6x π=，则a 的值为（ ）A ．5B 5C ．3D 3【答案】D【解析】先将函数整理，得到()()21sin f x a x ϕ++，确定其最值，再由题意，得到2cos sin 1666f a a πππ⎛⎫=+=±+ ⎪⎝⎭.【详解】函数()()2cos sin 1sin f x a x x a x ϕ=+++，其中tan a ϕ=，所以()f x ≤ 因为6x π=是其图像的一条对称轴，正弦型三角函数在对称轴位置取最值，所以cos sin 666f a πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭12+=()223141a a ++=+，整理得：230a -+=，解得：a =故选：D . 【点睛】本题主要考查由三角函数的对称轴求参数，属于常考题型.11．已知F 是双曲线22:145x y C 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（ ）A ．32B ．52C ．72D ．92【答案】B【解析】设()00,P x y ，因为=OP OF 再结合双曲线方程可解出0y ，再利用三角形面积公式可求出结果. 【详解】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ===，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =， 即053y =， 0115532232OPF S OF y ∆∴==⨯⨯=， 故选B ． 【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅．12．定义域和值域均为[],a a -(常数0a >)的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，则方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由图象可得方程()0f x =在[],a a -上有三个实数解，结合函数()g x 的值域与单调性即可得解. 【详解】由图(a )可知，方程()0f x =在[],a a -上有三个实数解，由图(b )可知，函数()g x 在[],a a -上单调递减，且值域为[],a a -， 所以方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有三个实数解. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数图象的应用，考查了数形结合思想，属于基础题.二、填空题13．甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为______． 【答案】0.5【解析】根据甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，由互斥事件的概率可得． 【详解】解：设甲、乙两人下成和棋P ，甲获胜的概率为()P A ，则乙不输的概率为()1P A -， 甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，()0.8P A P ∴+=，()10.7P A -=，1 1.5P ∴+=，解得0.5P =．∴两人下成和棋的概率为0.5．故答案为：0.5 【点睛】本题考查互斥事件的概率，理清事件与事件之间的关系是解决问题的关键，属基础题． 14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若51310a a -=，则13S =_____． 【答案】65【解析】由51310a a -=求出7a ，再求13S 即可. 【详解】解：设{}n a 的公差为d ，()51111310,3+410,65a a a d a a d -=-=+=，即75a =；()1131371313135652a a S a +===⨯=.故答案为：65. 【点睛】考查等差数列的性质和求前项n 和，基础题. 15．已知函数2tan ()1tan xf x x=-，()f x 的最小正周期是___________. 【答案】2π 【解析】先化简函数f (x )，再利用三角函数的周期公式求解. 【详解】 由题得212tan 1()=tan 221tan 2x f x x x =⋅-， 所以函数的最小正周期为2π. 故答案为：2π 【点睛】本题主要考查和角的正切和正切函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.16．如图，圆锥形容器的高为2圆锥内水面的高为1．若将圆锥形容器倒置，水面高为h ．则h 等于_____．37【解析】根据水的体积不变列出方程解出h . 【详解】设圆锥形容器的底面积为S,则未倒置前液面的面积为14S ，∴水的体积()111722133412V S S S =⨯-⨯⨯-=，设倒置后液面面积为S ',则22S h S ⎛'⎫= ⎪⎝⎭，24Sh S ∴'=， ∴水的体积为321332Sh V S h '==⨯， 3273212Sh S ∴=⨯， 解得37h =37 【点睛】本题主要考查了圆锥的平行底面的截面的性质，以及圆锥的体积计算问题，属于中档题.三、解答题17．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图；（1）求高一参赛学生的成绩的众数、中位数； （2）求高一参赛学生的平均成绩．【答案】（1）众数：65；中位数：65；（2）67.【解析】（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，即可得出众数，利用中位数的两边频率相等，即可求得中位数；（2）利用各小组底边的中点值乘以本组对应的频率求和，即可求得成绩的平均值． 【详解】（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值为65，所以众数为65， 又因为第一个小矩形的面积为0.3，第二个小矩形的面积是0.4，0.30.40.5+> ，所以中位数在第二组， 设中位数为x ，则()0.3600.040.5x +-⨯=，解得：65x =， 所以中位数为65.（2）依题意，利用平均数的计算公式，可得平均成绩为：()550.03650.04750.015850.010950.00510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯67=，所以参赛学生的平均成绩为67分． 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的众数、中位数和平均数的计算方法是解答的关键，着重考查了识图与运算能力，属于基础题． 18．在△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足22cos 1cos cos 22cos 2CA B A B =-+． （1）求cos B 的值；（2）设△ABC 外接圆半径为R ，且()sin +sin 1R A C =，求b 的取值范围．【答案】（1）13；（2）,23⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用，化简已知等式可得sin sin cos A B A B =，结合sin 0A ≠，可求sin B B =，利用同角三角函数基本关系式可求cos B 的值．（2）由（1）可求1cos 3B =，又由正弦定理得2a c +=，利用余弦定理可得2284(1)33b a =-+，结合范围02a <<，利用二次函数的性质可求b 的范围． 【详解】（1）因为22cos 1cos cos cos 2C A B A B =-+，所以cos cos cos cos C A B A B +=，即cos()cos cos cos A B A B A B -++=，所以sin sin cos A B A B =，因为sin 0A ≠，所以sin 0B B => 又因为22sin cos 1B B +=，解得：1cos 3B =. （2）因为()sin +sin 1R AC =，由正弦定理得2a c +=，可得2c a =-， 由余弦定理可得：2222222cos 3b ac ac B a c ac =+-=+-222284(2)(2)(1)333a a a a a =+---==-+，∵02a <<2b ≤<，所以b 的取值范围为23⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了函数思想的应用，属于中档题． 19．如图，菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 为CD 中点，将ADE 沿AE 折起使得平面ADE ⊥平面ABCE ，BE 与AC 相交于点O ，H 是棱DE 上的一点且满足2DH HE =.（1）求证：//OH 平面BCD ；（2）求二面角A BC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（221. 【解析】（1）根据题意可得:1:2OE OB =，结合2DH HE =可得//OH BD ，再利用线面平行的判定定理即可证出.（2）利用面面垂直的性质定理以及线面垂直的性质定理可得DE CE ⊥，以E 为坐标原点，EC ，EA ，ED 为x 轴，y 轴，z 轴，求出平面BCD 的一个法向量以及平面ABC 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】（1）证明：由题意知//CE AB ，2AB CE =，所以:1:2OE OB =.又2DH HE =，所以//OH BD ，又BD ⊂平面BCD ，OH ⊄平面BCD ，所以//OH 平面BCD . （2）因为平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE平面ABCE AE =，DE AE ⊥， 又ED ⊂平面AED ，所以DE ⊥平面ABCE ，所以DE CE ⊥，以E 为坐标原点，EC ，EA ，ED 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，不妨设菱形的边长为4，则点()0,0,2D ，()2,0,0C ，()4,23,0B .则()2,0,2DC =-，()4,23,2DB =-.设平面BCD 的一个法向量为(),,n x y z =， 0n DC ⋅=，0n DB ⋅=，即22042320x zx y z-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令1z=，得31,,1n⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭；易知平面ABC的一个法向量为()0,0,1m=，设二面角A BC D--的大小为θ，则2177c s3oθ==.故二面角A BC D--的余弦值为217.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、空间向量法求二面角，属于中档题.20．已知函数()()()ln1ln1f x x x=+--．（1）证明()2f x'≥；（2）若()0f x ax-≥对01x≤<恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）2a≤.【解析】(1)先求函数的定义域，用分析法易证.(2)令()(),01g x f x ax x=-≤<，只需证明()min0g x≥即可，分0a≤，02a<≤，2a>讨论即可.【详解】(1)证明：函数的定义域为()10,1,110xxx+>⎧∈-⎨->⎩，()()111111111f xx x x x'=-⋅-=++-+-，只需证明11211x x+≥+-， 即证明()()11211x x x x -++≥-+，即证20x ≥，显然成立所以()2f x '≥.（2）解：令()()()()ln 1ln 1,01g x f x ax x x ax x =-=+---≤<()1111g x a x x'=+-+- ①当0a ≤时，()11011g x a x x '=+->+-，()g x 在01x ≤<递增，()()min 00g x g ==，即()0f x ax -≥对01x ≤<恒成立，②当02a <≤时，()221120111ax a g x a x x x-+'=+-=>+--，()g x 在01x ≤<递增，()()min 00g x g ==，即()0f x ax -≥对01x ≤<恒成立，③当2a >时，()2221121111a x x ax a g x a x x x x ⎛+ -+⎝⎭⎝⎭'=+-==+---，因为01<<，所以有， 令()0,g x x ⎫'>∈⎪⎪⎭，()g x 递增； 令()0,g x x ⎛'<∈ ⎝，()g x 递减； ()min ln ln 1g x g ⎛⎛==-- ⎝⎝，()min 2ln ln 2g x g ==， 令()()min 2ln ln 2h a g x g ===-， ()()20a h a -'==<，()h a 在2a >上递减，且()()20h a h <=，所以当2a >时，()min 0g x g =≥不可能； 综合①②③有，2a ≤.【点睛】考查证明不等式和不等式恒成立求参数的取值范围，后一个问题转化为研究函数的值域确定参数的范围，难题.21．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>y x =交椭圆C 于A 、B 两点，椭圆C 左焦点为F ，已知4FA FB +=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y kx m =+（0k ≠，0m ≠）与椭圆C 交于不同两点M 、N ，且定点10,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足MQ NQ =，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）2214x y +=；（2）1,66⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）由椭圆对称性得24FA FB FA AD a +=+==，可得a 的值，在根据离心率和椭圆的性质即可求出b 的值，进而求出椭圆方程；（2）直线与椭圆方程联立得()222418440k x kmx m +++-=，由于直线与椭圆有两个交点，可得2241k m >-；由于MQ NQ =，设MN 中点为D ，可得DQ MN ⊥，根据垂直斜率的关系，由此可推导出m 的取值范围．【详解】（1）∵设椭圆右焦点为D ，由椭圆对称性得24FA FB FA AD a +=+==， ∴2a =．又2c a =，∴c = ∴2221b a c =-=，∴椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()222418440k x kmx m +++-=， ∵直线与椭圆交于不同的两点M ，N ，∴()()222264441440k m k m ∆=-+->，整理得2241k m >-．设()11,M x y ，()22,N x y ， 则122841km x x k -+-+， 又设MN 中点D 的坐标为(),D D x y ， ∴1144241D x x km x k +-==+，22244141D D k m m y kx m m k k -=+=+=++． ∵MQ NQ =，∴DQ MN ⊥，即112D D y x k+=-，∴2614m k -=，∴2610611m m m ->⎧⎨->-⎩，解得166m <<， ∴实数m 的取值范围1,66⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． 22．在平面直角坐标系中，直线l 的方程为()()tan 20y x ααπ=-≤<，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：4cos 2πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，设M （2，0），若|MP |+|MQ |＝，求直线l 的斜率．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程：2240x y y +-=；直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）；（2）1-. 【解析】（1）根据题意得出直线l 过定点()2,0，得出线l 的的倾斜角，可得出其参数方程，直接应用极坐标方程化直角坐标方程的公式,可得出答案.（2）将直线l 的参数方程代入圆的方程224x y y +=得：()24cos sin 40t t αα+-+=,利用直线参数方程中的几何意义可得出答案.【详解】（1）由4cos 4sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即24sin ρρθ=，得2240x y y +-=. 由直线l 的方程为()tan 2y x α=-，()0απ≤<则tan k α=,又0απ≤<，所以直线l 的的倾斜角为α，又直线l 过定点()2,0，则直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数） （2）设P ，Q 两点在直线l 的参数方程中的对应参数分别为12,t t .将直线l 的参数方程代入圆的方程224x y y +=得：()24cos sin 40t t αα+-+= 所以()12124sin cos ,40t t t t αα+=-=>则124sin cos 4t MP Q t M πααα⎛⎫+==-=-= ⎪⎝⎭+即sin 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由0απ≤<，则3444πππα-≤-< 所以42ππα-=，即34απ=，所以直线l 的斜率为3tan 14k π==- 【点睛】本题考查直线的普通方程化为参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数方程的几何意义的应用，属于中档题.23．已知函数()||g x x b x a =++-，a R ∈，b R ∈且0b a +>．（1）若函数()g x 的最小值为2，试证明点(),a b 在定直线上；（2）若3b =，[]01x ∈，时，不等式()5g x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）点(),a b 在定直线20x y +-=上，证明过程见详解；（2）[]1,2-.【解析】（1）先根据绝对值三角不等式，得到()g x b a ≥+，根据题意，得到2b a b a +=+=，即可得出结果；（2）先由题意，化不等式为||2x a -≤，求解，得到22a x a -≤≤+，推出[][]012,2a a ⊆-+，，进而可求出结果.【详解】（1）由绝对值三角不等式可得，()||||a g x x b x a x b x b a x b x a =++-++-=≥++-=+，当且仅当()()0x b a x +-≥时，取等号；又函数()g x 的最小值为2，0b a +>，所以2b a b a +=+=，即点(),a b 在定直线20x y +-=；（2）因为3b =，所以()3||g x x x a =++-，当[]01x ∈，时，不等式()5g x x ≤+可化为3||5x x x a -++≤+，整理得：||2x a -≤，解得：22a x a -≤≤+，由题意，可得：[][]012,2a a ⊆-+，，则2021a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得：12a -≤≤， 即实数a 的取值范围是[]1,2-.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式的应用，属于常考题型.。
2020年陕西省高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
2020年陕西省高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足（1-i）z=1+i，则复数z=（）A. 1+iB. 1-iC. iD. -i2.设集合A={x|-1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B等于（）A. {-1，0，1，2，3}B. {0，1，2，3}C. {1，2，3}D. {2}3.若向量=（1，1），=（-1，3），=（2，x）满足（3+）•=10，则x=（）A. 1B. 2C. 3D. 44.已知tan（α+）=-2，则tan（）=（）A. B. C. -3 D. 35.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n-1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…则此数列的前15项和为（）A. 110B. 114C. 124D. 1256.若正数m，n满足2m+n=1，则+的最小值为（）A. 3+2B. 3+C. 2+2D. 37.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为ln5，则在判断框内应填（）A. i≤5？B. i≤4？C. i＜6？D. i＞5？8.已知在三棱锥P-ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.9.一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A. B. C. D.10.函数y=-2sin x的图象大致是（）A. B.C. D.11.已知双曲线与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的离心率为（）A. 2B. 2C.D.12.已知函数f（x）=ln x-ax2，若f（x）恰有两个不同的零点，则a的取值范围为（）A. （，+∞）B. [．+∞）C. （0，）D. （0，]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足约束条件，则z=x-2y的最小值是______．14.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2-a5=0，则=______．15.（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为______．16.曲线y=2ln x在点（e2，4）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（a+b+c）（a+b-c）=3ab．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a+b的取值范围．18.已知某种细菌的适宜生长温度为10℃-25℃，为了研究该种细菌的繁殖数量y（单位：个）随温度x（单位：℃）变化的规律，收集数据如下：温度x/℃12141618202224繁殖数量y/个2025332751112194对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：1866 3.8112 4.3142820.5其中k i=ln y i，=（Ⅰ）请绘出y关于x的散点图，并根据散点图判断y=bx+a与y=ce dx哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于温度x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）根据（1）的判断结果及表格数据，建立y关于x的回归方程（结果精确到0.1）；（Ⅲ）当温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？参考公式：对于一组数据（u i，v i）（i=1，2，3，…，n），其回归宜线v=βu+a的斜率和截距的最小二成估计分别为β=，，参考数据：e5.5≈245．19.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，E，F分别为AC，DC的中点（Ⅰ）求证：EF⊥BC；（Ⅱ）求二面角E-BF-C的余弦值20.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．21.已知函数f（x）=e x-x2-1．（1）若函数g（x）=，x∈（0，+∞），求函数g（x）的极值；（2）若k∈Z，且f（x）+（3x2+x-3k）≥0对任意x∈R恒成立，求k的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且||=2||，求实数a的值．23.已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|恒成立，求实数c的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：由题设（1-i）z=1+i得z==故选：C．由复数的除法进行变行即可求出复数的除法与乘法是复数的基本运算2.答案：B解析：解：∵A={0，1，2}，B={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：B．可以求出集合A，然后进行并集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算．3.答案：A解析：解：向量=（1，1），=（-1，3），=（2，x）满足（3+）•=10，可得（2，6）•（2，x）=10，可得4+6x=10，解得x=1．故选：A．利用向量的坐标运算以及数量积的运算法则化简求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的应用，考查计算能力．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查两角差的和的正切公式的应用，属于基础题．由题意利用两角差的和的正切公式，求得tan（）=tan[（α+）+]的值．【解答】解：∵tan（α+）=-2，∴tan（）=tan[（α+）+]===-，故选：A．5.答案：B解析：解：数列的前15项为2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6，15，20，15，6，可得此数列的前15项和为2+3+3+4+6+4+5+10+10+5+6+15+20+15+6=4-2+8-2+16-2+32-2+64-2=（4+8+16+32+64）-10=114．故选：B．由题意写出数列的前15项计算可得所求和．本题考查数列在实际问题中的运用，考查数列的求和，以及运算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：∵2m+n=1，则+=（+）（2m+n）=3+，当且仅当时取等号，即最小值3+2，故选：A．由题意可得，+=（+）（2m+n），展开后利用基本不等式可求．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是对应用条件的配凑．7.答案：B解析：解：∵ln（1+）=ln=ln（i+1）-ln i，∴i=1时，S=ln2-ln1=ln2，i=2时，S=ln2+ln3-ln2=ln3，i=3时，S=ln3+ln4-ln3=ln4，i=4，S=ln4+ln5-ln4=ln5，此时i=5不满足条件，输出S=ln5，即条件为i≤4？，故选：B．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键．8.答案：B解析：【分析】求出P到平面ABC的距离，AC为截面圆的直径，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，求出R，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．属于中档题．【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC==，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故选：B．9.答案：D解析：解：①中线段为虚线，②正确，③中线段为实线，④正确，故选：D．根据空间几何体的三视图的画法结合正方体判断分析．本题考查了空间几何体的三视图的画法，属于中档题，空间想象能力．10.答案：C解析：解：当x=0时，y=0-2sin0=0故函数图象过原点，可排除A又∵y'=故函数的单调区间呈周期性变化分析四个答案，只有C满足要求故选：C．根据函数的解析式，我们根据定义在R上的奇函数图象必要原点可以排除A，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个答案，即可找到满足条件的结论．本题考查的知识点是函数的图象，在分析非基本函数图象的形状时，特殊点、单调性、奇偶性是我们经常用的方法．11.答案：A解析：【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2-a2，联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，c=2，∵设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|=m+=m+2=5，∴m=3．∴P点的坐标为（3，），∴，解得：，c=2，则双曲线的离心率为2，故选：A．12.答案：C解析：解：f（x）=ln x-ax2，可得f′（x）=-2ax，①a≤0时，f′（x）＞0函数是增函数，不可能有两个零点，②0＜a时，令f′（x）=-2ax=0，解得x=，当0时，f′（x）＞0函数是增函数，当x＞时，f′（x）＜0函数是减函数，f（x）的最大值为：f（）=ln-a（）2=-，f（x）恰有两个不同的零点，当x→0+时，f（x）→-∞，当x→+∞时，f（x）→-∞，所以-＞0，解得a∈（0，）．故选：C．利用函数的导数，求解函数的最大值大于0，结合函数的单调性，判断零点的个数即可．本题考查函数的零点问题，渗透了转化思想，分类讨论思想的应用，是一道难题．13.答案：-2解析：解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x-2y为y=x-．联立，解得：C（0，1）．由图可知，当直线y=x-过C（0，1）时直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于0-2×1=-2．故答案为：-2．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.答案：解析：解：∵8a2-a5=0，∴q3==8，∴q=2，则==，故答案为：．由已知结合等比数列的性质可求q3=，进而可求q，然后结合等比数列的求和公式，代入即可求解．本题主要考查了等比数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题．15.答案：-26解析：解：由（1-x）6的展开式的通项得：T r+1=（-x）r，则（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为（-1）3+（-1）5=-26，故答案为：-26．由二项式定理及二项式展开式的通项公式得：（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为（-1）3+（-1）5=-26，得解．本题考查了二项式定理、二项式展开式的通项公式及分类讨论思想，属中档题．16.答案：e2解析：解：根据题意，曲线y=2ln x，其导数y′=，则x=e2处的切线的斜率k=y′=，则切线的方程为y-4=（x-e2），即y=x+2，x=0，y=2，切线与y轴的交点坐标为（0，2），y=0，x=-e2，切线与y轴的交点坐标为（-e2，0），则切线与坐标轴所围三角形的面积S=×2×|-e2|=e2；故答案为：e2根据题意，求出y=2ln x的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率k=y′=，进而可得切线的方程，求出切线与x轴、y轴交点的坐标，由三角形面积公式计算可得答案．本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义．17.答案：解：（Ⅰ）△ABC中，（a+b+c）（a+b-c）=3ab，∴a2+b2-c2=ab，由余弦定理得，cos C==；又∵C∈（0，π），∴C=；（Ⅱ）由c=2，C=，根据正弦定理得，====，∴a+b=（sin A+sin B）=[sin A+sin（-A）]=2sin A+2cos A=4sin（A+）；又∵△ABC为锐角三角形，∴，解得＜A＜；∴＜A+＜，∴2＜4sin（A+）≤4，综上，a+b的取值范围是（2，4]．解析：（Ⅰ）化简（a+b+c）（a+b-c）=3ab，利用余弦定理求得C的值；（Ⅱ）由正弦定理求出a+b的解析式，利用三角恒等变换化简，根据题意求出A的取值范围，从而求出a+b的取值范围．本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．18.答案：解：（Ⅰ）绘出y关于x的散点图，如图所示；由散点图可知，y=ce dx更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于x的回归方程类型；（Ⅱ）把y=ce dx两边取自然对数，得ln y=dx+ln c，即k=dx+ln c，由d==≈0.183≈0.2，ln c=3.8-0.183×18≈0.5．∴ln y=0.2x+0.5，则y关于x的回归方程为y=e0.5•e0.2x；（Ⅲ）当x=25时，计算可得y=e0.5•e5=e5.5≈245；即温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为245．解析：（Ⅰ）绘出y关于x的散点图，由散点图判断y=ce dx更适合作为回归方程类型；（Ⅱ）把y=ce dx两边取自然对数，得ln y=dx+ln c，求出回归系数，写出回归方程；（Ⅲ）利用回归方程计算x=25时y的值即可．本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了数学转化思想与计算能力，是中档题．19.答案：证明：（Ⅰ）证法一：过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF．由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC．所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC．又EO⊥BC，∴BC⊥平面EFO，又EF⊂平面EFO，∴EF⊥BC．证法二：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y 轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则B（0，0，0），A（0，-1，），D（，-1，0），C（0，2，0）．E（0，，），F（，，0），∴=（，0，-），=（0，2，0），∴•=0．∴EF⊥BC．（2）解：解法一：过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG．由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG⊥BF．∴∠EGO为二面角E-BF-C的平面角．在△EOC中，EO=EC=BC•cos30°=，由△BGO∽△BFC知，OG=•FC=，∴tan∠EGO==2，∴cos∠EGO=，即二面角E-BF-C的余弦值为．解法二：在图中，平面BFC的一个法向量为=（0，0，1）．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），又=（，，0），=（0，，）．，取x=1，得=（1，-，1）．设二面角E-BF-C的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则cos θ=|cos＜＞=||==，故．二面角E-BF-C的余弦值为．解析：（Ⅰ）法一：过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF．证出△EOC≌△FOC．从而FO⊥BC．又EO⊥BC，进而BC⊥平面EFO，由此能证明EF⊥BC．法二：以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能证明EF⊥BC．（2）法一：过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG．由三垂线定理知EG⊥BF．∠EGO为二面角E-BF-C 的平面角．由此能求出二面角E-BF-C的余弦值．法二：求出平面BFC的一个法向量和平面BEF的法向量，利用向量法能求出二面角E-BF-C的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：（Ⅰ）由题意得，得．（2分）结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．（3分）所以，椭圆的方程为．（4分）（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2-a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，（6分）依题意，OM⊥ON，易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，（7分）因为，，所以．（8分）即，（9分）将其整理为k2=-=-1-（10分）因为，所以，12≤a2＜18．（11分）所以，即．（13分）解析：（Ⅰ）由题意得，得，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2-a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，依题意OM⊥ON知，四边形OMF2N为矩形，所以AF2⊥BF2，因为，，所以．由此能求出k的取值范围．本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21.答案：解：（1）函数f（x）=e x-x2-1，则f′（x）=e x-2x，又g（x）=，x∈（0，+∞），则g′（x）==；设y=e x-x-1，则y′=e x-1＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，即y=e x-x-1在x＞0时单调递增；所以y=e x-x-1＞0；令g′（x）＞0，可得x＞1，令g′（x）＜0，可得0＜x＜1；所以g（x）的单调增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；所以函数g（x）的极小值为g（1）=e-2，无最大值；（2）不等式f（x）+（3x2+x-3k）≥0对任意x∈R恒成立，即为e x+x2+x--1≥0对任意x恒成立，即k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立；设h（x）=e x+x2+x-，则h′（x）=e x+x+，易知h′（x）在R上单调递增，h′（-1）=-＜0，h′（0）=＞0，则存在唯一的x0∈（-1，0），使h′（x0）=0，即+x0+=0；当x＜x0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞x0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）min=h（x0）=++x0-；又h′（x0）=0，则h（x0）=（--x0）++x0-=（-x0-3），又x0∈（-1，0），则h（x0）∈（-1，-），即k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立，所以k≤h（x0），由k max=-1，得出k的最大值为-1．解析：（1）根据题意，对函数g（x）=求导数，利用导数判断g（x）的单调性，并求g（x）的极值；（2）根据题意化为k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立，构造函数，利用导数求该函数的最小值即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了不等式恒成立问题，也考查了构造法与转化思想，是难题．22.答案：解：（I）∵曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R），∴曲线C1的普通方程为x-y-a+1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0．∴曲线C2的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0，∴x2+4x-x2-y2=0，即曲线C2的直角坐标方程为y2=4x．（说明：化简不对，但准确写出互化公式得1分）（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解，得，要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有，∵||=2||，∴，或=-2，当时．根据直线参数方程的几何意义可知t1=2t2，，解得a=，a=，符合题意，∴实数a的值为．当时．根据直线参数方程的几何意义可知t1=-2t2，，解得a=，a=＞0，符合题意，∴实数a的值为．综上，a的值为或．解析：（I）由曲线C1参数方程能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0，由此能求出曲线C2的直角坐标方程．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解，得，由此能求出实数a的值．本题考查极坐标方程化普通方程，韦达定理，直线参数方程的几何意义，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.答案：（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）=-f（-x）=-（x2-2x），∴g（x）=-x2+2x，x∈R．∴原不等式可化为2x2-|x-1|≤0．上面不等价于下列二个不等式组：…①，或…②，由①得，而②无解．∴原不等式的解集为．…（5分）（Ⅱ）不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|可化为：c≤2x2-|x-1|．作出函数F（x）=2x2-|x-1|的图象（这里略）．由此可得函数F（x）的最小值为，∴实数c的取值范围是．…（10分）解析：先将M，N化简，再计算交集或并集，得出正确选项本题考查二次函数图象与性质．。
2020年陕西省西安市高考数学第三次质检试卷(理科)(三模)
在平面直角坐标系中，直线 的方程为 ＝ ，以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为： ＝ ．
（1）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的参数方程；
（2）设直线 与曲线 相交于 ， 两点，设 ，若 ＝ ，求直线 的斜率．
A. B. C. D.
二.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋，已知甲不输的概率为 ，乙不输的概率为 ，则两人下成和棋的概率为________．
设等差数列 的前 项和为 ，若 ＝ ，则 ＝________．
已知函数 ， 的最小正周期是________．
1.
【答案】
B
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
求出集合 中的不等式的解集，确定出集合 ，根据全集 ＝ ，找出集合 的补集，然后找出集合 补集与集合 的公共部分，即可求出所求的集合
【解答】
[由指数函数的性质，可知集合 ＝ ＝
又全集 ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
集合 ＝ ，
∴ ＝ ．
2.
【答案】
A
【考点】
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
已知函数 ＝ ．
（1）证明 ；
（2）若 对 恒成立，求实数 的取源自范围．已知椭圆 的离心率为 ，直线 ＝ 交椭圆 于 、 两点，椭圆 的右顶点为 ，且满足 ．
Ⅰ 求椭圆 的方程；
Ⅱ 若直线 ＝ 与椭圆 交于不同两点 、 ，且定点 满足 ，求实数 的取值范围．
A. B. C. D.
3.已知向量 ，向量 ，则 的值为（）
2020年陕西省西安市高考数学第三次质检试卷
2020年陕西省西安市高考数学第三次质检试卷（理科）（三模）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1．（5分）已知全集RU =，集合{}32|<≤-=x x A ，{}0,2|1≥==-x y y B x ，则A∩∁U B=( )A ．{}02|<≤-x xB ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤-212|x xC ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤210|x xD ．{}30|<≤x x2．（5分）若复数z 满足i z i 211)43(+=-．其中i 为虚数单位，z 为z 共轭复数，则z 的虚部为( )A ．2-B ．2C ．i 2-D ．i 2 3．（5分）已知向量)0,1(=i ，向量)1,1(=f ，则|43|f i-的值为( )A ．17B ．5C ．17D ．254．（5分）在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是()A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差5．（5分）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用na 表示解下),9(*N n n n ∈≤个圆环所需的移动最少次数，若11a =．且⎩⎨⎧+-=--为奇数，为偶数，n a n a a n n n 221211，则解下5个环所需的最少移动次数为( )A ．7B ．13C ．16D ．226．（5分）已知3ln =a ，eb 3log =，ec πlog =（注e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是( )A ．c a b <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c b a <<7．（5分）函数x e x f xcos )(=的图象在点))0(,0(f 处的切线的倾斜角为( )A ．4πB ．0C ．43π D ．18．（5分）函数42214)(x x x f +-=的大致图象是()A ．B ．C ．D ．9．（5分）在圆锥PO 中，已知高PO =2，底面圆的半径为4，M 为母线PB 的中点，根据圆锥曲线的定义，图中的截面边界曲线为抛物线，在截面所在的平面中，以M 为原点．MO 为x 轴，过M 点与MO 垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系，则抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．554B ．558C ．552D ．510．（5分）已知函数)(cos sin )(R a x a x x f ∈+=图象的一条对称轴是6π=x ，则a 的值为()A ．5B ．5C ．3D ．311．（5分）已知F 是双曲线154:22=-y x C 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||OF OP =，则OPF ∆的面积为( )A ．23B ．25C ．27D ．2912．（5分）定义域和值域均为[-a ，a ]（常数a >0的函数)(x f y =和)(x g y =的图象如图所示，方程0)]([=x f g 解得个数不可能的是()A ．1B ．2C ．3D ．4二.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋，已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ． 14．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10315=-a a ，则=13S．15．（5分）已知函数x xx f 2tan 1tan )(-=，)(x f 的最小正周期是．16．（5分）如图，圆锥形容器的高为2圆锥内水面的高为1．若将圆锥形容器倒置，水面高为h ．则h 等于 ．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17．（12分）某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图；（1）求高一参赛学生的成绩的众数、中位数； （2）求高一参赛学生的平均成绩．18．（12分）在ABC∆中角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足B A B A Ccos sin 22cos cos 12cos 22+⋅-=． （1）求B cos 的值；（2）设ABC ∆外接圆半径为R ，且1)sin (sin =+C A R ，求b 的取值范围．19．（12分）如图，菱形ABCD 中，60=∠ABC ，E 为CD 中点，将ADE ∆沿AE 折起使得平面ABCE ADE 平面⊥，BE 与AC 相交于点O ，H 是棱DE 上的一点且满足DH =2HE ．（1）求证：OH //平面BCD ；（2）求二面角A —BC —D 的余弦值． 20．（12分）已知函数)1ln()1ln()(x x x f --+=．（1）证明2)('≥x f ；（2）若0)(≥-ax x f 对10<≤x 恒成立，求实数a 的取值范围．21．（12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，直线x y =交椭圆C 于A 、B 两点，椭圆C 的右顶点为P ，且满足4||=+PB PA ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线)0,0(≠≠+=m k m kx y 与椭圆C 交于不同两点M 、N ，且定点)21,0(-Q 满足||||NQ MQ =，求实数m 的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参數方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l 的方程为)2(tan -=x y α，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：)2cos(4θπρ-=．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，设M (2,0)，若24||||=+MQ MP ，求直线l 的斜率．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．已知函数R b R a a x b x x g ∈∈-++=，，||||)(且0>+a b ．（1）若函数)(x g 的最小值为2，试证明点(a ，b )在定直线上；（2）若3=b ，]10[，∈x 时，不等式|5|)(+≤x x g 恒成立，求实数a 的取值范围．2020年陕西省西安市高考数学第三次质检试卷（三模）评析一、试题总体分析1、题型分布试卷共21道必做题，2道选做题。
陕西省2020届高三下学期第三次教学质量检测数学(理)试题含解析
【答案】－40
【解析】
【分析】
利用二项式定理求出二项式 的展开式的通项公式,令 的指数为零，求得 的值，然后代入二项式 的展开式的通项公式即可求解。
【详解】由题意知,二项式 的展开式的通项公式为
，
令 ,解得 ，
所以二项式 的展开式的常数项为
【答案】 （1)。 （2）。
【解析】
【分析】
根据题中条件，先得到从第二行开始,每一行相邻的两个数之和都等于这两个数上一行对应的数字,由此可求出第10行从左边数第3个位置上的数；以及满足的关系式.
【详解】由题中条件可得， , ， ， ， , ， , ， ，……,
由此可得,从第二行开始，每一行相邻的两个数之和都等于这两个数上一行对应的数字；
12. 已知椭圆 ： 与双曲线 ： （ ， )有共同的焦点 ， ，且在第一象限的交点为 ，满足 （其中 为原点）。设 ， 的离心率分别为 ， ，当 取得最小值时， 的值为（ ）
A。 B.
C。 D。
【答案】D
【解析】
【分析】
作 ,利用椭圆和双曲线定义可表示出 ，由 ,可得点 的横坐标为 ，利用勾股定理可得 ,即 ,再利用基本不等式可求出最值,并求出此时 的值.
8. 在 中,若 ，则下列等式中一定成立的是（ ）
A. B。 C. D。
【答案】A
【解析】
【分析】
利用降次公式得到 ，展开得到 ,得到
【详解】∵ ,
∴ 。
∵ .
故选A。
【点睛】本题考查了三角恒等变换，也可以利用特殊值法排除选项得到答案.
9. “ ”是“ ”的( ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C。 充要条件D。 既不充分也不必要条件
精品解析：2020届陕西省高三第三次联考理科数学试题(解析版)
陕西省2020届高三年级第三次联考理科数学一、选择题1.全集U =R ，集合(){}ln 1A x y x ==-，{B y y ==，则()U A B =I ð（ ）A. ()1,2B. (]1,2C. [)1,2D. []1,2【答案】A 【解析】 【分析】首先根据对数函数的性质以及二次函数的图像与性质求出集合A 、B ，再利用集合的交、补运算即可求解.【详解】{{}2B y y y y ====≥，{}2U B y y =<ð，(){}{}ln 11A x y x x x ==-=>， ()()1,2U A B ⋂=ð． 故选：A ．【点睛】本题考查了集合的基本运算、对数函数的性质以及二次函数的图像与性质，属于基础题. 2.已知复数51iz i+=-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，求得复数23z i =+，再结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，根据复数的除法运算，可得复数5(5)(1)46231(1)(1)2i i i iz i i i i ++++====+--+， 则在复平面内z 所对应的点为()2,3，在第一象限. 故选：A .【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，以及复数的除法运算，其中解答中熟练应用复数的除法运算，求得复数的代数形式是解答的关键，着重考查了计算能力.3.已知向量()2,1a =-r ，()6,b x =r ，且//a b r r，则a b -=r r （ ）A. 5B.C.D. 4【答案】B 【解析】 【分析】利用向量平行的条件列方程，解方程求得x 的值，求得a b -r r的坐标后，求得a b -r r .【详解】由题得260x +=.3x ∴=-，()4,2a b ∴-=-r r，a b ∴-==r r 故选：B【点睛】本小题主要考查向量平行的坐标表示，考查向量减法和模的坐标运算，属于基础题.4.已知二项式()20121nnn x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，且16a =，则012n a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A. 128B. 127C. 64D. 63【答案】C 【解析】 【分析】结合二项式展开式的通项公式以及1a ，求得n 的值，利用赋值法求得所求表达式的值.【详解】由题意，二项式()1nx +展开式的通项为1r n rr n T C x -+=，令1=-r n ，可得1n n n T C x -=，即16n nC -=.解得6n =.令1x =，则6012264n a a a a +++⋅⋅⋅+==. 故选:C【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式以及展开式系数和的求法，属于基础题.5.某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为（ ）A. 2800B. 3000C. 3200D. 3400【答案】D 【解析】 【分析】先求出总的稿件的数量，再求出高三年级交稿数占总交稿数的比例，再求高三年级的交稿数. 【详解】高一年级交稿2000份，在总交稿数中占比8023609=，所以总交稿数为2200090009÷=， 高二年级交稿数占总交稿数的14423605=，所以高三年级交稿数占总交稿数的221719545--=，所以高三年级交稿数为179000340045⨯=． 故选D【点睛】本题主要考查扇形统计图的有关计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 6.已知点()(),,0a b a b >在直线240x y +-=上，则12a b+的最小值为（ ） A. 6 B. 4C. 3D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用“1”的代换的方法，结合基本不等式，求得12a b+的最小值. 【详解】由题意知24a b +=，所以()(121121412224242444b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当且仅当4b aa b =，即12a b =⎧⎨=⎩时，等号成立.故选:D【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.7.设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A. 若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B. 若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥C. 若a b a b αβ⊂⊂P ，，，则αβ∥D. 若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥r r【答案】D 【解析】【详解】试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误； 故选D.8.抛物线24y x =的焦点为F ，点()3,2A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF △周长的最小值为（ ）A. 4B. 5C.4+ D. 5+【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为求PA PF +的最小值，根据抛物线的定义可知PF PD =，即求PA PD+的最小值，当P 、A 、D 三点共线时，PA PD +最小，由()()min1314A PA PDx +=--=+=即可求解.【详解】由抛物线为24y x =可得焦点坐标()1,0F ，准线方程为1x =-． 由题可知求PAF △周长的最小值．即求PA PF +的最小值． 设点p 在准线上射影为点D ． 则根据抛物线的定义．可知PF PD =．因此求PA PF +的最小值即求PA PD+的最小值．根据平面几何知识，当P 、A 、D 三点共线时，PA PD+最小．所以()()min1314A PA PDx +=--=+=．又因为AF ==所以PAF △周长的最小值为4+ 故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了转化与化归的思想，属于基础题. 9.若关于x 的不等式21cos 2cos 03x a x -+≥在R 上恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A. 13- B. 13C. 23D. 1【答案】B 【解析】令cos [1,1]x t =∈-，则问题转化为不等式24350t at --≤在[1,1]-上恒成立，即435011435033a a a +-≤⎧⇒-≤≤⎨--≤⎩，应选答案B ． 10.若函数321y x x mx =+++是R 上的单调递增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A. 1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭B. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数以及导数的运算法则求出此函数的导函数232y x x m '=++，由单调性只需2320x x m +≥+恒成立，根据二次函数的图像与性质只需0∆≤即可求解.【详解】232y x x m '=++， 由题意2320x x m +≥+恒成立．4120m ∴=-≤△，13m ≥．故选：C ．【点睛】本题考查了由函数的单调区间求参数的取值范围、利用导数研究函数的单调性，解题的关键是熟记基本初等函数的导数以及导数的运算法则，属于基础题.11.设1F 、2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若1290F PF ∠=︒，2c =，213PF F S =△，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. 2y x =±B. y =C. 3y x =±D. y =【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得22121216132PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，配方可得()2124PF PF -=，从而利用双曲线的定义可求出1a =，进而利用222b c a =-求出b ，得出双曲线的标准方程即可求出渐近线方程.【详解】由题意可得22121216132PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，()2124PF PF -=，可得1222PF PF a -==，可得1a =，b ==，可得渐近线方程为y =． 故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义、双曲线的简单几何性质，属于基础题.12.已知函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ∈（﹣∞，0]时，f （x ）为减函数，若a=f （20.3），12log 4b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，c=f （log 25），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a ＞b ＞cB. a ＞c ＞bC. c ＞a ＞bD. c ＞b ＞a【答案】D 【解析】【详解】由偶函数的性质可得：()()()122log 4log 422f f f f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 结合偶函数的性质可得函数f(x)在区间()0,∞+是单调递增，且：0.32122log 5<<<，故()()()0.3222log 5f f f <<，即()()()0.322log 5log 52,f f f c b a >>>>.本题选择D 选项.点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．二、填空题13.某商店为调查进店顾客的消费水平，调整营销思路，统计了一个月来进店的2000名顾客的消费金额（单位：元），并从中随机抽取了100名顾客的消费金额按[0,50]，(50,100]，(100,150]，(150,200]，(200,250]进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知a ，b ，c 成等差数列，则该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为______.【答案】600 【解析】 【分析】先根据频率分布直方图求出,,a b c 的值，然后利用等差数列的性质求出b ，进而得到消费金额超过150元的频率，用其估计总体即可． 【详解】,,,2+a b c b a c ∴∴=， 又由频率分布直方图可得1[1(0.0020.006)50]0.01250a b c ++=-+⨯=， =0.004b ∴，故消费金额超过150元的频率为(0.002)500.3b +⨯=，故该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为20000.3600⨯=，故答案为600.【点睛】本题主要考查频率分布直方图中的基本运算及等差数列的基本性质，是一道基础题．14.已知函数()538f x ax bx cx =+++，且()210f -=，则函数()2f 的值是__________．【答案】6 【解析】 【分析】令()()8g x f x =-，可证得()g x 为奇函数；利用()()22g g =--求得()2g ，进而求得()2f . 【详解】令()()538g x f x ax bx cx =-=++ ()()53g x ax bx cx g x ∴-=---=-()g x ∴为奇函数 ()()()22282g g f ∴=--=---=-⎡⎤⎣⎦又()()228g f =- ()26f ∴= 本题正确结果：6【点睛】本题考查构造具有奇偶性的函数求解函数值的问题；关键是能够构造合适的函数，利用所构造函数的奇偶性得到所求函数值与已知函数值的关系.15.甲船在岛B 的正南A 处，6AB km = ，甲船以每小时4km 的速度向正北方向航行，同时乙船自B 出发以每小时3km 的速度向北偏东60︒的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是_____km . 【答案】939【解析】 【分析】根据条件画出示意图，在三角形中利用余弦定理求解相距的距离，利用二次函数对称轴及可求解出最值. 【详解】假设经过x 小时两船相距最近，甲、乙分别行至C ，D ， 如图所示，可知64BC x =-，3BD x =，120CBD ∠=︒，()()22222212cos 64926431330362CD BC BD BC BD CBD x x x x x x =+-⨯⨯∠=-++-⨯=-+． 当1513x =小时时甲、乙两船相距最近，最近距离为939km 13．【点睛】本题考查解三角形的实际应用，难度较易.关键是通过题意将示意图画出来，然后将待求量用未知数表示，最后利用函数思想求最值.16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2M ，为1CC 的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为_________． 【答案】3225+ 【解析】 【分析】根据线面垂直的条件先确定平面α，再根据截面形状求周长即可得解. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC ⊥，BD CM ⊥，∴BD ⊥面ACM ，∴BD AM ⊥，取1BB 的中点N ，11A B 的中点E ，连接MN ，AN ，BE ， 易知BE AN ⊥，由MN ⊥面11ABB A 可得MN BE ⊥，∴BE ⊥面AMN ，∴BE AM ⊥，∴AM ⊥面BDE ，取11A D 的中点F ，由//EF BD 可知点F 在面BDE 上， ∴平面α截正方体所得截面为BDFE ，由正方体棱长为2易得截面周长为225253225+++=+. 故答案为：3225+.【点睛】本题考查了线面垂直的判定和截面的性质，考查了空间思维能力，属于中档题.三、解答题 （一）必考题17.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知点(),n n S 在函数()22f x x x =+的图像上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前9项和. 【答案】（Ⅰ）21n a n =+；（Ⅱ）27.【解析】 【分析】(1)本题首先可根据点(),n n S 在函数()22f x x x =+的图像上得出22n S n n =+，然后根据n a 与n S 的关系即可求得数列{}n a 的通项公式；(2)首先可根据数列{}n a 的通项公式得出112123n b n n =-++，然后根据裂项相消法求和即可得出结果．【详解】(1)由题意知22n S n n =+. 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+； 当1n =时，113a S ==，适合上式. 所以21n a n =+. (2)()()1221121232123n n n b a a n n n n +===-++++. 则129111111116235571921321217b b b ++鬃?=-+-+鬃?-=-==． 【点睛】本题考查根据数列{}n a 的前n 项和为n S 求数列{}n a 的通项公式，考查裂项相消法求和，n a 与n S 满足1n n n a S S -=-以及11a S =，考查计算能力，是中档题．18.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：t ）的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费x （万元）和年销售量y （单位：t ）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.（1）根据表中数据建立年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程；（2）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为20.05 1.85z y x =--，根据（1）中的结果回答下列问题： ①当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.附：问归方程ˆˆˆybx a =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1111112221111ˆnni i n ni i x ynx yx x yybx nxx x====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 参考数据：11188.5Si x y==∑，21190Si x ==∑.【答案】（1）ˆ0.850.6y x =+；（2）①年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25；②5万元【解析】 【分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程. （2）①先求得年利润z 关于x 的表达式，然后将10x =分别代入回归直线方程和年利润的函数表达式，由此求得年销售量及年利润的预报值②求得年利润与年宣传费的比值w 的表达式，利用基本不等式求得5x =时，年利润与年宣传费的比值最大. 【详解】（1）由题意2453645x ++++==， 2.5 4.543645y ++++==，21222188.554ˆ0.859054ni ii nii x y nx ybxnx ==--⨯∴===-⨯-∑∑， ˆˆ40.8540.6ay bx =-=-⨯=， 0.80.ˆ56yx ∴=+. （2）①由（1）得220.05 1.850.050.85 1.25z y x x x =+--=--，当10x =时，0.85100.ˆ69.1y∴=⨯+=，20.05100.8510 1.25 2.25z =-⨯⨯-=+. 即当年宣传费为10万元时，年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25.②令年利润与年宣传费的比值为w ，则()1.250.050.850w x x x=--+>，1.25 1.250.050.850.050.85w x x x x ⎛⎫=--+=-++≤- ⎪⎝⎭1.2520.050.850.35x x ⋅+=. 当且仅当 1.250.05x x=即5x =时取最大值.故该公司应该投入5万元宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.19.如图所示，平面BCD ⊥平面ABD ，BCD V 为直角三角形，BD 的中点为E ，AB 中点为F ，5AB AD ==，2BD =，BC CD =.（1）求证：AC BD ⊥；（2）求直线AC 与平面CDF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2485【解析】 【分析】（1）通过等腰三角形的性质证得BD AE ⊥、BD CE ⊥，由此证得BD ⊥平面ACE ，从而证得AC BD ⊥. （2）建立空间直角坐标系，根据直线AC 的方向向量和平面CDF 的法向量，计算线面角的正弦值. 【详解】（1）BD Q 的中点为E ，AB AD =，BC CD =，BD AE ∴⊥，BD CE ⊥，又AE CE E =I ，BD ∴⊥平面ACE ，而AC ⊂平面ACE ，AC BD ∴⊥.（2）Q 平面BCD ⊥平面ABD ，BD CE ⊥，平面BCD I 平面ABD BD =，CE ∴⊥平面ABD ，又AE ⊂平面ABD ，CE AE ∴⊥，分别以EA ，EB ，EC 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，CE BD ⊥Q .BE DE =，BCD V 是直角三角形，CB CD =.112CE BD ∴==，2AE =， ()0,0,0E ∴，()2,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,1C .F 是AB 中点， 11,,02F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，()2,0,1AC =-u u ur ，31,,02DF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，()0,1,1DC =u u u r ，设平面DCF 的法向量为(),,n x y z =r ，则3020n DF x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ，令2y =，则3x =-，2z =-，()3,2,2n =--r，cos n <r，n AC AC n AC ⋅>=⋅r u u u ru u u r r u u u r ()()()22222322021322201-⨯-+⨯+-⨯=-++-⋅-++485=∴直线AC 与平面CDF 485.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知函数()1ln f x a x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，a R ∈. （1）求()f x 的极值；（2）若方程()2ln 20f x x x -++=有三个解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a >时，极小值a ；当0a =时，无极值；当0a <时，极大值a ；（2）3,22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）求得()f x 的定义域和导函数，对a 分成0,0,0a a a >=<三种情况进行分类讨论 ()f x 的极值. （2）构造函数()()2ln 2h x f x x x =-++，通过()h x 的导函数()'h x 研究()h x 的零点，对a 分成1110,,0,222a a a a ≥=--<<<-进行分类讨论，结合()h x 有三个零点，求得a 的取值范围.【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()22111a x f x a x x x -⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭， 当0a >时，()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()f x 在1x =处取得极小值a ， 当0a =时，()0f x =，所以无极值，当0a <时，()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，所以()f x 在1x =处取得极大值a . （2）设()()2ln 2h x f x x x =-++，即()()l 2212n ax x xh x a +=-++， ()22121a ah x x x-'=-+ ()22212x a x ax +--=()()()2120x x a x x-+=>.①若0a ≥，则当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，()h x 至多有两个零点. ②若12a =-，则()0,x ∈+∞，()0h x '≥（仅()10h '=）.()h x 单调递增，()h x 至多有一个零点. ③若102a -<<，则021a <-<，当()0,2x a ∈-或()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()2,1x a ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，要使()h x 有三个零点，必须有()()2010h a h ⎧->⎪⎨<⎪⎩成立.由()10h <，得32a <-，这与102a -<<矛盾，所以()h x 不可能有三个零点. ④若12a <-，则21a ->.当()0,1x ∈或()2,x a ∈-+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()1,2x a ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，要使()h x 有三个零点，必须有()()1020h h a ⎧>⎪⎨-<⎪⎩成立，由()10h >，得32a >-，由()()()221ln 210h a a a -=---<⎡⎤⎣⎦及12a <-，得2ea <-， 322ea ∴-<<-.并且，当322e a -<<-时，201e -<<，22e a >-，()()()2222242242h e e a e e e e ---=++-<+--4150e <+-<，()()()2222222222326370h e e a e e e e e e ---=++>-+=-->->.综上，使()h x 有三个零点的a 的取值范围为3,22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究方程的根，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e =(是椭圆C 上一点． （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线l 的斜率为12，且直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于原点的对称点为E ，点()2,1A -是椭圆C 上一点，判断直线AE 与AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值，如果不是，请说明理由．【答案】（1）22182x y +=（2）是定值，0【解析】 【分析】（1）根据题意可知2223b a c a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解方程组即可求出a 、b ，即可求解.（2）设直线l 的方程为12y x t =+，代入椭圆22:48C x y +=，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，可得点()11,E x y --，利用韦达定理以及两点求斜率化简即可求解.【详解】（1）由题意知b =又离心率e =a =，于是有2223b a c a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得a =b =所以椭圆C的方程为22182x y +=；（2）由于直线l 的斜率为12．可设直线l 的方程为12y x t =+， 代入椭圆22:48C x y +=，可得222240x tx t ++-=． 由于直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点， 所以()2244240t t =-->△， 整理解得22t -<<．设点()11,P x y 、()22,Q x y ，由于点P 与点E 关于原点对称，故点()11,E x y --，于是有122x x t +=-，21224x x t =-．设直线AE 与AQ 的斜率分别为AE k ，AQ k ，由于点()2,1A -，则12121122AE AQ y y k k x x ---+=+-++()()()()()()122121212122x y x y x x ---++=+-，又1112y x t =+Q ，2212y x t =+．于是有()()()()12212121x y x y ---++()()2112211224y y x y x y x x =--++-- ()211212124x x x x tx tx x x =--+++--()()()21212424240x x t x x t t t =--+-=-----=，故直线AE 与AQ 的斜率之和为0，即0AE AQ k k +=．【点睛】本题考查了根据离心率求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定值问题，此题要求有较高的计算能力，属于难题.（二）选考题22.已知直线l的参数方程为1422x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的极坐标方程； （2）若直线()6πθρ=∈R 与曲线C 交于点A （不同于原点），与直线l 交于点B ，求||AB 的值.【答案】（1）C :22x y x +=;l:cos 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（2）2. 【解析】 【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C ，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将6πθ=分别代入直线l 和曲线C 的极坐标方程求出A ，B 到原点的距离，作差得出|AB|．【详解】（1）∵2cos ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=．∵直线l的参数方程为1422x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）y -=．∴直线l cos sin θρθ-=（2）将π6θ=代入曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=得ρ=∴A 点的极坐标为π6⎫⎪⎭．将π6θ=代入直线l 的极坐标方程得3122ρρ-=ρ=∴B 点的极坐标为π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴AB =【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2|2||1|f x x x =-++. （1）解不等式()6f x ≤；（2）[1,2]x ∃∈，使得不等式2()f x x a >-+成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[1,3]-；（2）(7),-∞. 【解析】 【分析】（1）利用分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）去绝对值得25a x x <-+，对于[1,2]x ∈恒成立，设2()5g x x x =-+，只需max ()a g x <即可得解.【详解】（1）()6f x ≤可化为2|2||1|6x x -++≤，∴2336x x >⎧⎨-≤⎩或1256x x -≤≤⎧⎨-≤⎩或1336x x <-⎧⎨-+≤⎩，分别解得23x <≤或12x -≤≤或无解. 所以不等式的解集为[1,3]-.（2）由题意：22()5f x x a a x x >-+⇔<-+，[1,2]x ∈.设2()5g x x x =-+，要想[1,2]x ∃∈，2()f x x a >-+成立，只需max ()a g x <，∵2119()24g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()g x 在[1,2]上单调递增，∴max ()(2)7g x g ==， ∴7a <，∴a 的取值范围为(7),-∞.【点睛】本题主要考查了分类讨论去绝对值的思想及恒成立问题参变分离的方法，属于基础题.。
陕西省2020届高三数学第三次教学质量检测试题 理(含解析)
2020年高三第三次教学质量检测理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数i i z +=-1)1(，则复数z =（ ） A. 2i + B. 2i -C. iD. i -【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，即可求解，得到答案.【详解】由题意，复数i i z +=-1)1(，则()()()()11121112i i i iz i i i i +++====--+，故选C. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的除法运算的法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.设集合{|12,}A x x x N =-≤≤∈，集合{2,3}B =，则B A Y 等于（ ） A. {1,0,1,2,3}- B. {0,1,2,3}C. }3,2,1{D. {2}【答案】B 【解析】 【分析】求得集合{|12,}{0,1,2}A x x x N =-≤≤∈=，根据集合的并集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|12,}{0,1,2}A x x x N =-≤≤∈=， 又由集合{2,3}B =，所以0,1,3}2,{A B =U ，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的并集运算，其中解答中正确求解集合A ，熟练应用集合并集的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3.若向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r 满足(3)10a b c +⋅=r r r，则=x （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，求得(3)(2,6)a b +=rr ，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，向量(1,1)a =r，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r ，则向量(3)3(1,1)(1,3)(2,6)a b +=+-=rr ，所以(3)(2,6)(2,)22610a b c x x +⋅=⋅=⨯+=rrr，解得1x =，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4.已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A. 13- B.13C. -3D. 3【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知3124tan tan πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意结合两角和的正切公式可得3tan πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】3124tan tan πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112431124tan tantan tan ππαππα⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故选A .【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前15项和为（ ）A. 110B. 114C. 124D. 125【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式系数对应的杨辉上三角形的第1n +行，令1x =，得到二项展开式的二项式系数的和，再结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第1n +行， 令1x =，可得二项展开式的二项式系数的和n 2，其中第1行为02，第2行为12，第3行为22，L L 以此类推， 即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的对边数列，则杨辉三角形中前n 行的数字之和为122112nn n S -==--，若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3,4,L 可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则(1)2n n n T +=， 令(1)152n n +=，解得5n =， 所以前15项的和表示前7行的数列之和，减去所有的1，即()72113114--=， 即前15项的数字之和为114，故选B.【点睛】本题主要考查了借助杨辉三角形的系数与二项式系数的关系考查等差、等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中认真审题，结合二项式系数，利用等差等比数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.若正数,m n 满足12=+n m ，则11m n+的最小值为（ ） A. 223+ B. 32+C. 222+D. 3【答案】A 【解析】 【分析】 由11112()(2)3n m m n m n m n m n+=+⋅+=++，利用基本不等式，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，因为12=+n m ， 则111122()(2)332322n m n m m n m n m n m n m n+=+⋅+=++≥+⋅=+， 当且仅当2n mm n =，即2n m =时等号成立， 所以11m n+的最小值为223+，故选A.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用基本不是准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为ln 5，则在判断框内应填（ ）A. 5i ≤B. 4≤iC. 6i <D. 5i >【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合程序的输出值模拟程序的运行过程可知4i =时，程序需要继续执行，5i =时，程序结束，据此确定判断框内的内容即可. 【详解】程序运行过程如下： 首先初始化数据，0,1S i ==，第一次循环，执行1ln 10ln 2ln 2S S i ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭，12i i =+=，此时不应跳出循环；第二次循环，执行13ln 1ln 2lnln 32S S i ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭，13i i =+=，此时不应跳出循环； 第三次循环，执行14ln 1ln 3lnln 43S S i ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭，14i i =+=，此时不应跳出循环； 第四次循环，执行15ln 1ln 4lnln 54S S i ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭，15i i =+=，此时应跳出循环； 4i =时，程序需要继续执行，5i =时，程序结束，故在判断框内应填4?i ≤. 故选B .【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．8.已知在三棱锥ABC P -中，1PA PB BC ===，2=AB ，AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）B.3C. 2πD. 3π【答案】D 【解析】 【分析】求出P 到平面ABC 的距离为2，AC 为截面圆的直径, AC22222312222R d d 骣骣骣琪琪琪=+=+-琪琪琪桫桫桫求出R ，即可求出球的表面积。
2020届陕西省安康市高三下学期第三次联考数学(理)试题(解析版)
如图，直线 ，直线 ， ，
此时 与 异面，故充分性不成立，
如图，直线 ，直线 ，若 ，则 ，
因为 ，过 做一平面 ，且 ，则 ，
所以 ，所以 ，故必要性成立，
∴“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】
本题考查充分、必要条件的判断，考查线面关系的判断，属于基础题.
7．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线 的焦点，A、B是抛物线上两个不同的点．若 ，则线段AB的中点到y轴的距离为（）
二、填空题
13．已知x，y满足约束条件 ，则 的最大值为______.
【答案】
【解析】先根据约束条件画出可行域，再根据图形找到最优解，即可解得结果.
【详解】
不等式组表示的平面区域如图所示，
由图可知，当直线 经过点 时， .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了利用线性规划求最值，属于基础题.
14．已知 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边， ， ， ，则 的面积为__________.
当 时，所得图象的一条对称轴方程为 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查了三角函数的图象变换，考查了正弦函数图象的对称轴，属于基础题.
6．已知 ， 是两个不重合的平面，直线 ，直线 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】利用线面的位置关系即可判断出结论.
【详解】
解：（1）设 ， ，
可得 ， ，两式相减得 ，
将 ， 代入上式，
即 ， ，
又 ，即有 ， ，
则椭圆E的方程为 ；
（2）直线AC的方程为 ，
联立 ，解得 或 ，
陕西、湖北、山西部分学校2020届高三3月联考数学(理科)试题及答案word
高三数学试卷（理科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2{|10},|20A x x B x x x =-=--<…，则A B ⋂=（ ） A.[1,2)B.(1,1]-C.(1,1)-D.(2,1]-2.已知,,3(21)a b R ai b a i ∈+=--，则（ ） A.3b a =B ．6b a =C ．9b a =D ．12b a =3.若直线240x y m ++=经过抛物线22y x =的焦点，则m =（ ）A.12B.12-C.2D.2-4.已知函数22,0,()1,0,x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩…，则((1))f f -=（ ）A.2B.3C.4D.55.要得到函数2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数2cos2y x =的图象（ ） A.向左平移3π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度 D.向右平移6π个单位长度 6.在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4AD AA AB ===，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值为（ ）B.25D.457.已知数列{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ）A.4B.3C.2D.18.如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）A.甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B.甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C.甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D.甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是1039.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ） A.96里B.72里C.48里D.24里10.已知整数,x y 满足2210x y +≤，记点M 的坐标为(,)x y ，则点M 满足x y +≥ ）A.935B.635C.537D.73711.已知函数())33x x f x x -=+-，不等式()2(50f f x ++…对x R ∈恒成立，则a 的取值范围为（ ） A.[2,)-+∞B.(,2]-∞-C.5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D.5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦12.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a =-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为（ ）B.3D.2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量(1,2),(3,2)a b ==-r r ，若向量ka b +r r 与2a b -r r共线，则k =________.14.已知实数,x y 满约束条件20,250,1,x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩…„…，则3z x y =-+的最大值为___________.15.已知函数()1xf x e ax =+-，若0,()0x f x 厖恒成立，则a 的取值范围是___________.16.已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O的球面上，5,PA BC PB AC PC AB ======则球O 的表面积为__________.三、解答题：本大题共δ小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c，且2sin 2cos a B b C =+.（1）求tan B ； （2）若3a c ==，求b .18.（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，3,4AB AP ==，E 为PD 的中点，AE PC ⊥.（1）求线段AD 的长.（2）若M 为线段BC 上一点，且1BM =，求二面角M PD A --的余弦值. 19.（12分）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种. 方案一：每满100元减20元；方案二：满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球（逐个有放回地抽取），所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）（1）该商场某顾客购物金额超过100元，若该顾客选择方案二，求该顾客获得7折或8折优惠的概率； （2）若某顾客购物金额为180元，选择哪种方案更划算？ 20.（12分）椭圆2222:1(1)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，椭圆E 上两动点,P Q 使得四边形12PFQF 为平行四边形，且平行四边形12PFQF 的周长和最大面积分别为8和 （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线2PF 与椭圆E 的另一交点为M ，当点1F 在以线段PM 为直径的圆上时，求直线2PF 的方程. 21.（12分）已知函数2()xf x ae x =-.（1）若曲线()f x 存在与y 轴垂直的切线，求a 的取值范围.（2）当1a ≥时，证明：23()12f x x x +-…. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的标准方程为2214x y +=.以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l sin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 上，点Q 在直线l 上，求||PQ 的最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数()|1||42|f x x x =+--.（1）求不等式1()(1)3f x x -…的解集；（2）若函数()f x 的最大值为m ，且2(0,0)a b m a b +=>>，求21a b+的最小值.高三数学试卷参考答案（理科）1.B 由题意{|10}{|1},{|12}A x x x x B x x =-==-<<厔，则(1,1]A B ⋂=-.2.C 因为3(21)ai b a i +=--，所以3,(21),b a a =⎧⎨--=⎩，解得3,31,b a =⎧⎨=⎩则9b a =.3.B 22y x =可化为212x y =，焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，故12m =-. 4.A 因为22,0,()1,0,x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩…所以2((1))(2)222f f f -==-=.5.D 因为2sin 22cos 22cos 2636y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以只需将2cos2y x =的图象向右平移6π个单位. 6.C由题意可得1115,AC AD AB CD ====因为11//A B CD ，所以1ACD ∠是异面直线1A B 与AC 所成的角，记为θ，故222111cos 25AC CD AD AC CD θ+-===⋅. 7.A 由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+.已知0d ≠，解得14a d=. 8.D 由题意可得甲班的平均分是104，中位数是103，方差是26.4；乙班的平均分是102，中位数是101，方差是37.6，则A ，B ，C 正确.因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故D 错误. 9.B 由题意可知此人每天走的路程构成公比为12的等比数列，设此人第一天走的路程为1a ，则61112378112a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-，解得1192a =，从而可得3241119296,1922422a a ⎛⎫=⨯==⨯= ⎪⎝⎭，故24962472a a -=-=.10.D 因为,x y 是整数，所以所有满足条件的点(,)M x y 是位于圆2210x y +=（含边界）内的整数点，满足条件2210x y +≤的整数点有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(2,0),(3,0),(1,1),(2,1),(3,1),(1,2),(2,2),(1,3)±±±±±±±±±±±±±±±±±±共37个，满足x y +≥7个，则所求概率为737. 11.C())33(),())33x x x x f x x f x f x x ---=++-=-=+-是奇函数且在R 上单调递减，不等式()2(50f f x ++„，即()2(5f f x --„，结合函数的单调性可得22max 55,,2x a⎫⎫--=-+-=-，所以52a -…. 12.A 设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为bx y c a=-. 联立2222,1,b x y c a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩整理得()44232420b a y ab cy a b --+=， 则()()3241212222222,ab a b y y y y b a c b a c +==--.因为11122OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r ，所以P 为线段1QF 的中点，所以212y y =，()()()()22622221222222224124942a b b a c y y b y y b a b a c a b -+===⋅--，整理得229b a =，故该双曲线的离心率e =13.2- 由题意可得(3,22),2(5,2)ka b k k a b +=-+-=r r r r ，因为ka b +r r 与2a b -r r共线，所以有2(3)5(22)0k k --+=，即816k =-，解得2k =-.14.8 根据约束条件20,250,1,x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩…„…，画出可行域，图中阴影部分为可行域.又目标函数3,3zz x y =-+表示直线30x y z -+=在y 轴上的截距， 由图可知当30x y z -+=经过点(1,3)P 时截距最大，故z 的最大值为8.15.[1,)-+∞ 因为()1x f x e ax =+-，所以()xf x e a '=+，因为0x …，所以()1f x a '+….当10a +…，即1a ≥-时，()0f x '…，则()f x 在[0,)+∞上单调递增，从而()(0)0f x f =…，故1a ≥-符合题意；当10a +<，即1a <-时，因为()x f x e a '=+在[0,)+∞上单调递增，且(0)10f a '=+<，所以存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00f x '=.令()0f x '<，得00x x <„，则()f x 在[)00,x 上单调递减，从而()(0)0f x f =„，故1a <-不符合题意.综上，a 的取值范围是[1,)-+∞.16.30π 如图所示，将三棱锥P ABC -补成长方体. 球O 为长方体的外接球，长、宽、高分别为,,a b c ，则22222225,15,20,a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，所以22230a b c ++=，所以球O的半径R =，则球O的表面积为2244302S R πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.17.解：（1）由2sin 2cos a B b C =+，可得2sin()sin 2sin cos C B C B B C +=+.因为sin 0C >，所以2cos B B =，所以tan 5B =. （2）由（1）知2cos 0B B =>，又因为22sin cos 1B B +=，所以cos 3B =. 因为2222cos b a c ac B =+-，所以2592343b =+-⨯=， 即2b =.18.解：（1）分别以,,AB AP AD 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -. 设AD t =，则(0,0,0),0,2,,(3,0,),(0,4,0)2t A E C t P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以0,2,,(3,4,)2t AE PC t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u r u u ur .因为AE PC ⊥，所以0AE PC ⋅=u u u r u u u r，即2160t -=，解得4t =， 所以AD 的长为4.（2）因为1BM =，所以(3,0,1)M ，又(0,4,0),(0,0,4)P D ，故(0,4,4),(3,0,3)DP DM =-=-u u u r u u u u r.设(,,)n x y z =r 为平面DMP 的法向量，则,,n DP n DM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩r u u u rr u u u u r 即440,330,y z x z -=⎧⎨-=⎩ 取1z =，解得1,1y x ==，所以(1,1,1)n =r为平面DMP 的一个法向量. 显然，(3,0,0)AB =u u u r为平面PDA 的一个法向量，则cos ,||||n AB n AB n AB ⋅〈〉===r u u u rr u u u r r u u u r 据图可知，二面角M PD A --的余弦值为3. 19解：（1）该顾客获得7折优惠的概率312148P ⎛⎫== ⎪⎝⎭，该顾客获得8折优惠的概率2223223448P C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，故该顾客获得7折或8折优惠的概率12131882P P P =+=+=. （2）若选择方案一，则付款金额为18020160-=.若选择方案二，记付款金额为X 元，则X 可取的值为126，144，162，180.323113(126),(144)828P X P X C ⎛⎫===== ⎪⎝⎭， 3310331311(162),(180)2828P X C P X C ⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则13311261441621801538888EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 因为160153>，所以选择方案二更为划算.20.解：（1）由平行四边形12PFQF 的周长为8，可知48a =，即2a =.由平行四边形的最大面积为bc =，又1a b >>，解得1b c ==.所以椭圆方程为22143x y +=.（2）注意到直线2PF 的斜率不为0，且过定点2(1,0)F . 设()()21122:1,,,,PF l x my P x y M x y =+， 由221,3412,x my x y =+⎧⎨+=⎩消x 得()2234690m y my ++-=， 所以1221226,349.34m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩因为()()1111222,,2,F P my y F M my y =+=+u u u r u u u u r，所以()()()()2111212*********F P F M my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++u u u r u u u u r ()2222229112794343434m m m m m m +-=--+=+++. 因为点1F 在以线段PM 为直径的圆上，所以110F P F M ⋅=u u u r u u u u r，即m =， 所以直线2PF的方程330x +-=或330x --=.21.（1）解：由题可得，()20xf x ae x '=-=在x R ∈上有解， 则2x x a e =，令2()x x g x e =，22()xxg x e -'=，当1x <时，()0,()g x g x '>单调递增； 当1x >时，()0,()g x g x '<单调递减.所以1x =是()g x 的最大值点，所以2a e„. （2）证明：由1xx a ae e ⇒厖，所以2()x f x e x -…，要证明23()12f x x x +-…，只需证22312x e x x x -+-…，即证21102x e x x +--…. 记21()1,()1,()2x x h x e x x h x e x h x ''=+--=+-在R 上单调递增，且(0)0h '=， 当0x <时，()0,()h x h x '<单调递减；当0x >时，()0,()h x h x '>单调递增.所以0x =是()h x 的最小值点，()(0)0h x h =…，则21102x e x x +--…， 故23()12f x x x +-…. 22.解：（1sin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos 0ρθρθ+-=， 因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以直线l的直角坐标方程为0x y +-=. （2）由题意可设(2cos ,sin )P αα，则点P 到直线l的距离d == 因为1sin()1αϕ-+剟d ， 因为||PQ d …，故||PQ. 23.解：（1）5,1,()|1||42|33,12,5, 2.x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=+--=--⎨⎪-+>⎩剟因为1()(1)3f x x -…，所以1,15(1)3x x x <-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩或12,133(1)3x x x -⎧⎪⎨--⎪⎩剟…或2,15(1),3x x x >⎧⎪⎨-+≥-⎪⎩解得12x 剟或24x <„. 故不等式1()(1)3f x x -…的解集为[1,4].（2）由（1）可知()f x 的最大值(2)3m f ==.因为23(0,0)a b a b +=>>，所以211211221(2)5(225)3333a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…， 当且仅当1a b ==时，等号成立， 故21a b +的最小值是3.。
2020年陕西榆林高三三模理科数学试卷-学生用卷
2020年陕西榆林高三三模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年陕西榆林高三三模理科第1题5分2020年陕西榆林高三三模文科第1题5分2019~2020学年3月陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学高三下学期月考理科第1题5分设集合A={x|3x−1<m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是（）．A. 2<m<5B. 2⩽m<5C. 2<m⩽5D. 2⩽m⩽52、【来源】 2020年陕西榆林高三三模理科第2题5分下面关于复数z=−1+i（其中i为虚数单位）的结论正确的是（）．A. z对应的点在第一象限B. |z|<|z+1|C. z的虚部为iD. z+z<03、【来源】 2020年陕西榆林高三三模理科第3题5分2020年陕西榆林高三三模文科第3题5分2018~2019学年湖北高二下学期期中理科第2题5分如图，给出了样本容量均为7的A、B两组样本数据的散点图，已知A组样本数据的相关系数为r1，B组数据的相关系数为r2，则（）．A. r1=r2B. r1<r2，C. r1>r2D. 无法判断4、【来源】 2020年陕西榆林高三三模理科第4题5分2019~2020学年3月陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学高三下学期月考理科第3题5分已知数列{a n}为等差数列，且a3=4，a5=8，则该数列的前10项之和S10=（）．A. 80B. 90C. 100D. 1105、【来源】 2020年陕西榆林高三三模理科第5题5分已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列命题中，是真命题的是（）．A. 若m//α，m//β，则α//βB. 若m//α，n//α，则m//nC. 若m⊥α，n⊥α，则m//nD. 若α⊥γ，α⊥β，则γ//β6、【来源】 2020年陕西榆林高三三模理科第6题5分2020年陕西榆林高三三模文科第6题5分设x1，x2，x3均为实数，且e−x1=lnx1，e−x2=ln(x2+1)，e−x3=lgx3，则（）．A. x1<x2<x3B. x1<x3<x2C. x2<x3<x1D. x2<x1<x37、【来源】 2020年陕西榆林高三三模理科第7题5分2020年陕西榆林高三三模文科第7题5分2019~2020学年3月陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学高三下学期月考理科第9题5分已知向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|=3，|AC→|=2若AP→=λAB→+AC→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为（）．A. 712B. 512C. 16D. 348、【来源】 2020年陕西榆林高三三模理科第8题5分2020年陕西榆林高三三模文科第8题5分2019~2020学年3月陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学高三下学期月考理科第7题5分瑞士数学家欧拉（LeonℎardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC的顶点A(−4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为x−y+2=0，则顶点C的坐标可以是（）．A. (1,3)B. (3,1)C. (−2,0)D. (0,−2)9、【来源】 2020年陕西榆林高三三模理科第9题5分若函数f(x)=√3sin(2x+θ)+cos(2x+θ)(0<θ<π)的图象关于(π2,0)成中心对称，则函数f(x)在[−π4,π6]上的最小值是（）．A. −√3B. −2C. −1D. −1210、【来源】 2020年陕西榆林高三三模理科第10题5分F是抛物线y2=8x与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的公共焦点，A(m,n)(n>0)为抛物线上一点，直线AF与双曲线有且只有一个交点，若|AF|=8，则该双曲线的离心率为（）．A. √2B. 2C. √3D. √511、【来源】 2020年陕西榆林高三三模理科第11题5分新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，广大医务工作者积极响应党中央号召，舍小家，为大家，不顾个人安危，生动诠释了敬佑生命、救死扶伤、甘于奉献、大爱无疆的崇高精神．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是（）．A. 男医生B. 男护士C. 女医生D. 女护士12、【来源】 2020年陕西榆林高三三模理科第12题5分已知三棱锥P−ABC中，PA=PB=2，CA=CB=√7，AB=2√3，PC=√3，关于该三棱锥有以下结论：①三棱锥P−ABC的表面积为5√3；②三棱锥P−ABC的内切球的半径r=√35；③点P到平面ABC的距离为√32；④若侧面PAB内的动点M到平面ABC的距离为d，且MP=2√33d，则动点M的轨迹为抛物线的一部分．其中正确结论的序号为（）．A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②③④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年陕西榆林高三三模理科第13题5分设x，y满足约束条件{x+y⩾2x⩽1y⩽2，则目标函数z=−2x+y的取值范围为．14、【来源】 2020年陕西榆林高三三模理科第14题5分若曲线y=2√x与函数f(x)=ae x在公共点处有相同的切线，则实数a的值为．15、【来源】 2020年陕西榆林高三三模理科第15题5分2019~2020学年3月陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学高三下学期月考理科第15题5分2020年陕西榆林高三三模文科第15题5分已知数列{a n}的前n项之和为S n，对任意的n∈N∗，都有3S n=a n+16．若b n=a1a2⋯a n，n∈N∗，则数列{a n}的通项公式a n=；数列{b n}中最大的项为．16、【来源】 2020年陕西榆林高三三模理科第16题5分2020年陕西榆林高三三模文科第16题5分2019~2020学年3月陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学高三下学期月考理科第16题5分定义在R上的偶函数y=f(x)满足f(x+2)=−f(x)，当x∈[0,1)时，f(x)=1−x2有以下4个结论：①2是函数y=f(x)的一个周期；②f(1)=0；③函数y=f(x−1)为奇函数；④函数y=f(x+1)在(1,2)上递增．则这4个结论中正确的是．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年陕西榆林高三三模理科第17题12分2020年陕西榆林高三三模文科第17题12分已知△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(sinB+sinC)2=sin2A+sinBsinC．(1) 求A．(2) 若b+c=6，△ABC的面积为2√3，求a．18、【来源】 2020年陕西榆林高三三模理科第18题12分2019~2020学年3月陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学高三下学期月考理科第19题12分如图，在几何体中，四边形ABCD为菱形，AB=2，∠ABC=120°，AC与BD相交于点O，四边形BDEF为直角梯形，DE//BF，BD⊥DE，DE=3BF=3，平面BDEF⊥平面ABCD．(1) 证明：平面AEF⊥平面AFC．(2) 求二面角E−AC−F的余弦值．19、【来源】 2020年陕西榆林高三三模理科第19题12分2020年陕西榆林高三三模文科第21题12分已知椭圆E:x 2a2+y23=1(a>√3)的离心率e=12，直线x=t(t>0)与椭圆E交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C．(1) 求椭圆E的方程．(2) 若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值．20、【来源】 2020年陕西榆林高三三模理科第20题12分2017~2018学年12月四川德阳高三上学期月考理科第19题12分2018~2019学年广东广州越秀区广州市育才中学高三下学期开学考试理科第20题12分为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）．某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：(1) 若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算A 居民用电户用电410度时应交电费多少元？(2) 现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望．(3) 以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值．21、【来源】 2020年陕西榆林高三三模理科第21题12分2019~2020学年3月陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学高三下学期月考理科第20题12分 已知x =√e3是函数f(x)=x n lnx 的极值点． (1) 求f(x)的最小值．(2) 设函数g(x)=mx e x ，若对任意x 1∈(0,+∞)，存在x 2∈R ，使得f(x 1)>g(x 2)，求实数m 的取值范围．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年陕西榆林高三三模理科第22题10分2019~2020学年3月陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学高三下学期月考理科第22题10分 在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ．若过P(5,−3)，倾斜角为α，且cosα=−35的直线交曲线C 于P 1、P 2两点．(1) 求|PP1|⋅|PP2|的值．(2) 求弦P1P2的中点M的坐标．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年陕西榆林高三三模理科第23题10分2019~2020学年3月陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学高三下学期月考理科第23题10分对∀a∈R，|a+1|+|a−1|的最小值为M．(1) 若三个正数x，y，z满足x+y+z=M，证明：x 2y +y2z+z2x⩾2；(2) 若三个实数x，y，z满足x+y+z=M，且(x−2)2+(y−1)2+(z+m)2⩾13恒成立，求m 的取值范围．1 、【答案】 C;2 、【答案】 D;3 、【答案】 C;4 、【答案】 B;5 、【答案】 C;6 、【答案】 D;7 、【答案】 A;8 、【答案】 D;9 、【答案】 A;10 、【答案】 B;11 、【答案】 C;12 、【答案】 D;13 、【答案】[−1,2];14 、【答案】√2ee;15 、【答案】(−1)n−1⋅24−n;64;16 、【答案】②③④;17 、【答案】 (1) A=2π3．;(2) a=2√7．;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √55．;19 、【答案】 (1) x24+y23=1．;(2) 3√77．;20 、【答案】 (1) 227元．;(2)E(ξ)=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910．;(3) k=6．;21 、【答案】 (1) −13e．;(2) (−∞,−13)∪(0,+∞)．;22 、【答案】 (1) 40．;(2) (3225,4925)．;23 、【答案】 (1) 证明见解析. ;(2) m⩽0或m⩾2.;。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初高中数学学习资料的店
初高中数学学习资料的店 第 1 页 共 14 页 陕西省2020届高三年级第三次联考
理科数学
一、选择题
1．全集U =R ，集合(){}ln 1A x y x ==-
，{B y y ==
，则()U A B ⋂=ð（ ） A ．()1,2 B ．(]1,2 C ．[)1,2 D ．[]1,2 2．已知复数51i z i +=
-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．已知向量()2,1a =-，()6,b x =，且//a b ，则a b -=（ ）
A ．5
B
． C
D ．4 4．已知二项式()20121n n n x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，且16a =，则012n a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．128
B ．127
C ．64
D ．63
5．某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为（ ）
A ．2800
B ．3000
C ．3200
D ．3400
6．已知点()(),,0a b a b >在直线240x y +-=上，则
12a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．4 C ．3
D ．2 7．设a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A ．若a ，b 与α所成的角相等，则//a b
B ．若//a α，//b β，//αβ，则//a b
C ．若a α⊂，b β⊂，//a b ，则//αβ
D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥。