比率估计量.ppt
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比率估计
ratio estimator
分层抽样下，比率估计有两方法：
1.Separate Ratio estimator yL y y 2 rL , r , r2 xL x2 ……. x
1 1 1
(h=1,2,…..L)
y RS Wh y Rh
yh Wh Xh xh
ˆ Ny Y RS RS
yh ˆ X h Y Rh xh
bined Ratio estimator
联合比率估计量
combined ratio estimator
y RC
y st ˆ X X R C x st
ˆ Y RC
y st ˆ X X Ny RC R C x st
N (1 f ) 2 11 ˆ v Y s y 3.43303 10 n
2
ˆ s Y
ˆ ) 585921 v(Y
ˆ) v ( Y R ˆ deff 0.6135 ˆ) v(Y
效率：
分层随机抽样下的比率估计
•如果各层的样本量不小的话， 则可以采用各层分别进行比率 估计，将各层加权汇总得到总 体指标的估计，这种方式称为 分别比率估计量。separate
(1)按分别比率估计量估计
ˆX ˆ R Y RS
2 h 1 h h
0.959859 171400 1.049725 102900 272536.6
2 Nh (1 f h ) 2 2 2 ˆ ˆ s R yh h s xh 2 Rs yxh nh h 1 2
比率估计的效率 (与简单估计比较）
简单估计量无偏，而比率估计量渐近无偏。当ｎ比较大
1 f 2 V y Sy n 1 f 2 2 2 V yR S y R S x 2 RS yx n
分层抽样下，比率估计有两方法：
1.Separate Ratio estimator yL y y 2 rL , r , r2 xL x2 ……. x
1 1 1
(h=1,2,…..L)
y RS Wh y Rh
yh Wh Xh xh
ˆ Ny Y RS RS
yh ˆ X h Y Rh xh
bined Ratio estimator
联合比率估计量
combined ratio estimator
y RC
y st ˆ X X R C x st
ˆ Y RC
y st ˆ X X Ny RC R C x st
N (1 f ) 2 11 ˆ v Y s y 3.43303 10 n
2
ˆ s Y
ˆ ) 585921 v(Y
ˆ) v ( Y R ˆ deff 0.6135 ˆ) v(Y
效率：
分层随机抽样下的比率估计
•如果各层的样本量不小的话， 则可以采用各层分别进行比率 估计，将各层加权汇总得到总 体指标的估计，这种方式称为 分别比率估计量。separate
(1)按分别比率估计量估计
ˆX ˆ R Y RS
2 h 1 h h
0.959859 171400 1.049725 102900 272536.6
2 Nh (1 f h ) 2 2 2 ˆ ˆ s R yh h s xh 2 Rs yxh nh h 1 2
比率估计的效率 (与简单估计比较）
简单估计量无偏，而比率估计量渐近无偏。当ｎ比较大
1 f 2 V y Sy n 1 f 2 2 2 V yR S y R S x 2 RS yx n
抽样理论与方法：比估计与回归估计
1.假如市场上有奶酪出售 ，您会不会购买？ （ 1 ）会 （ 1 ） 4 ~ 5元 （2）不会 （2） 6 ~ 8元 （3） 9 ~ 10元 （4） 11 元以上 2.若会购买，您所能承受 的每盒最高价格范围是 ：
要估计会购买的人中，能承受的最高价格在4 ~ 5元者所占的比例, 可设总体有N人， 1，第i人会购买奶酪 xi 0，其他 1，第i人会购买且能承受的最高价格范围是4 ~ 5元 yi 0，其他 N
N 1
1 f 2 2 2 ( S 2 RS R S y xy x ) 2 nX 1 f 2 2 2 ( S 2 R S S R S y x y x ) 2 nX
证明：
y y Rx (1) R R R x x 当n大时， xX
y Rx y Rx E（R R） E（ ） E（ ） x X E（y R x ） Y RX 0 X X
2 ( Y Y ) i i 1
N 1
(3)比估计的方差估计
1 f 2 2 2 ˆ ˆ MSE ( R) V ( R) ( S 2 RS R S y xy x ) 2 nX
1 f 2 nX
(Y
i 1
N
i
RX i ) 2
N 1
ˆ )的渐近无偏估计为 n 当X已知时，V ( R 2 ˆ （ y R x ） i i 1 f 1 f 2 i 1 ˆ） ˆs R ˆ 2s 2 ) v （ R ( s 2 R 1 y xy x nX 2 n 1 nX 2
N
N 1
MSE ( R ) V( R )
N
1 f nX
2
2 ( Y RX ) i i i 1
要估计会购买的人中，能承受的最高价格在4 ~ 5元者所占的比例, 可设总体有N人， 1，第i人会购买奶酪 xi 0，其他 1，第i人会购买且能承受的最高价格范围是4 ~ 5元 yi 0，其他 N
N 1
1 f 2 2 2 ( S 2 RS R S y xy x ) 2 nX 1 f 2 2 2 ( S 2 R S S R S y x y x ) 2 nX
证明：
y y Rx (1) R R R x x 当n大时， xX
y Rx y Rx E（R R） E（ ） E（ ） x X E（y R x ） Y RX 0 X X
2 ( Y Y ) i i 1
N 1
(3)比估计的方差估计
1 f 2 2 2 ˆ ˆ MSE ( R) V ( R) ( S 2 RS R S y xy x ) 2 nX
1 f 2 nX
(Y
i 1
N
i
RX i ) 2
N 1
ˆ )的渐近无偏估计为 n 当X已知时，V ( R 2 ˆ （ y R x ） i i 1 f 1 f 2 i 1 ˆ） ˆs R ˆ 2s 2 ) v （ R ( s 2 R 1 y xy x nX 2 n 1 nX 2
N
N 1
MSE ( R ) V( R )
N
1 f nX
2
2 ( Y RX ) i i i 1
抽样技术第二章_简单随机抽样
目前，世界上已编有许多种随机数表。其中较 大的有兰德公司编制，1955年出版的100万数 字随机数表，它按五位一组排列，共有20万组 ；肯德尔和史密斯编制，1938年出版的10万 数字随机数表，它也按五位一组排列，共有 25000组。我国常用的是中国科学院数学研究 所概率统计室编印的《常用数理统计表》中的 随机数表。
率都等于1/ CNn，这种抽样称为简单随机抽样。
注意：定义2.1与定义2.3是等价的。
三个定义之间的联系
简单随机抽样的具体实施方法
常用的有抽签法和随机数法两种。 (一)抽签法 抽签法是先对总体N个抽样单元分别编上1到N的号码，再制作与
之相对应的N个号签并充分摇匀后，从中随机地抽取n个号签(可以 是一次抽取n个号签，也可以一次抽一个号签，连续抽n次)，与抽 中号签号码相同的n个单元即为抽中的单元，由其组成简单随机样 本。 抽签法在技术上十分简单，但在实际应用中，对总体各单元编号 并制作号签的工作量可能会很繁重，尤其是当总体容量比较大时 ，抽签法并不是很方便，而且也往往难以保证做到等概率。因此 ，实际工作中常常使用随机数法。
s2 / n
s（y）
y
t
1
2
s（y），y
t
1
2
s（y）
概述
一、简单随机抽样（或单纯随机抽样） 本书一般局限于不放回随机抽样
二、实施方法 三、地位、作用
是其他抽样方法基础
2.1定义与符号
定义2.1 从总体的N个单元中，一次整批抽取n 个单元，使任何一个单元被抽中的概率都相等 ，任何n个不同单元组成的组合被抽中的概率 也都相等，这种抽样称为简单随机抽样.
此外，简单随机抽样要求在抽样前编制出抽样 框，并对每一个总体抽样单元进行编号，而且 当总体抽样单元的分布比较分散时，样本也可 能会比较分散，这些都会给简单随机抽样方法 的运用造成许多的不便，甚至在某些情况下干 脆无法使用。因此，在此基础上研究其它抽样 技术显得更加重要。
第四章比估计与回归估计
6、相对方差、相对协方差
1 2 2 2 2 (Yi RXi ) SY R S X 2RSxy N 1 2 2 2 Y (CY C X 2C XY )
ˆ ) V (Y ˆ ˆ V ( Y ) V ( R ) 2 R R (cv) 2 2 2 Y Y R 1 f 2 2 (CY C X 2C XY ) n
二、方差估计及置信区间
1、方差估计
1 f 2 ˆ ˆ 2 s 2 2R ˆs ) v1 ( R ) ( s R y x xy 2 nX 1 f 2 ˆ ˆ 2 s 2 2R ˆs ) v2 ( R ) ( s R y x xy 2 nx
两者均是有偏估计量
很难比较两者优劣
y 109.19455 x 100.96622 2 2 s y 8896.8663 s x 7673.0140 s yx 8259.3624
已知上一年全系统工资总额（X）为 70523.16万元。试估计当年全系统的工资 总额及估计的近似标准差（P132） 。
第三节 回归估计
一、定义
2、置信区间
当 n 30, cv( x ) 0.1, cv( y ) 0.1 时，
R ˆ u ˆ), R ˆ u v( R ˆ) v( R
当上述条件不满足时，
ˆ [(1 u 2 c ) u (c 2 c 2 2c ) u 2 (c 2 c 2 c 2 ) ] R yx y x xy y x xy
2 W ˆ 2 h (1 f h ) v(Ylrs ) (nh 1)s yh (1 rh2 ) nh (nh 2)
联合回归估计：在分层随机抽样中，先 对 Y 及 X 作分层简单估计，再 Y 与 Y 作联合回归估计。
比率估计量
y ˆ Rr x
y x
i 1 i 1 n
n
i
i
抽样误差的评判标准
ˆ) E ˆ E ( ˆ) 估计量方差： V (
偏差： 均方误差：
ˆ) [ E( ˆ) ] B(
2
随机性 误差
ˆ) B(
MSE ( )
2 ˆ ˆ MSE( ) E ( ) 2 ˆ ˆ V ( ) B ( ) ˆ
R
2 1 f 2 ˆ ˆs R ˆ 2s2 ) v(YR ) N (s y 2R x xy n 0.96215 2 687 (8896 .8663 2 1.0818150 7673 .0140) 114343 .42 ˆ ) 338.1470 s(Y （万元） R
很难判定两种估 计方式的优劣 （P42例2.4）
例1：某系统共有N=687个单位，为预估当年全系统
的工资总额，用简单随机抽样抽取一个n=26个单位的 样本，对样本的资料统计如下：
y 109.19455 x 100.96622 2 2 sy 8896.8663 s x 7673.0140 s yx 8259.3624
(3)
当 n 相当大时， x 与 X 相当接近，而 X 是常数，又 y 是Y 的 ˆ) R 。 ˆ y X ，所以 E( R 无偏估计，因此，实质上 R
ˆ ) R 这一事实，而且告 (3) 式的好处不单单告诉我们E( R ˆ 可以表示成 ˆ y X ，表明 R 诉了我们，当 n 相当大时， R ˆ 的分布可近似正态分布 yi X (i 1,2, , n) 的平均数，因此 R ˆ R R 因此，可利用 近似标准正态分布获得 R 的置信区间 ˆ) Var ( R
期货最优套期保值比率估计演示教学
期货最优套期保值比率估计期货最优套期保值比率的估计一、理论基础（一）简单回归模型(OLS)：考虑现货价格的变动（△S ）和期货价格变动（△F ）的线性回归关系，即建立：t t t F h c S ε+∆+=∆*其中C 为常数项，t ε为回归方程的残差。
上述线性回归模型常常会遇到残差项序列相关和异方差性的问题，从而降低参数估计的有效性。
（二）误差修正模型(ECM)：Lien & Luo （1993）认为，若现货和期货价格序列之间存在协整关系，那么，最优套期保值比率可以根据以下两步来估计。
第一步，对下式进行协整回归：t t t bF a S ε++=第二步，估计以下误差修正模型：∑∑=--=--+∆+∆+∆+-=∆nj t j t j i t mi i t t t t e S F F F S S 1111)(θδβα式中β的OLS 估计量βˆ即为最优套期保值比率*h 。
（三）ECM-BGARCH 模型：分为常数二元GARCH 模型和D-BEKKGARCH 模型。
其均值方程相同，为,111,1111ˆˆ()s t s S t t f f t f t t t t t C z S C z F z S F εδδεαβ-------⎡⎤∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=-+(2-8)（其中即上文提到的误差修正项）1~(0,)t t t N H ε-Ω（四）期货套期保值比率绩效的估计我们考虑一包含1 单位的现货多头头寸和h 单位的期货空头头寸的组合。
组合的利润H V ∆为：t f t s H F C S C V ∆-∆=∆ (2-10)套期保值组合的风险为：),(2)()()(22F S Cov C C F Var C S Var C V Var f s f s H ∆∆-∆+∆=∆ (2-11)由于现货的持有头寸在期初即为已知，因此，可以视之为常数，等式两边同除2s C ，得：),(2)()()()(*2*2F S Cov h F Var h S Var C V Var sH ∆∆-∆+∆=∆ (2-12) 对于不同方法计算出的最优套期保值比率*h ，我们可以通过比较（2-12）来对它们各自套期保值的保值效果进行分析。
比估计与回归估计
Y的回归估计为: ylr y （0 X x）
当0 0时，ylr y（即回归估计为简单估计）
当0 1时，ylr y （X x）（即回归估计为差估计）
当0
Rˆ
y x
时，ylr
y
y（X x
x）
y x
X
RˆX
（即回归估计为比估计）
• 性质1：E（Yˆlr） Y
• 性 2 ： V 质 （ y l） r 1 n f（ S y 2 20 S x y 0 2 S x 2 ）
2（.比1）估比计估的计性是质有：偏对的于，简但单当随n机大抽时样，，E(Rˆ) R
N
（2）
MSE
(
Rˆ )
V (Rˆ )
1 nX
f
2
i 1
(Yi RX i )2 N 1
1 f nX 2(S源自2 y2RS xy
R2Sx2)
1 nX
f
2
(
S
2 y
2RSxS y
R2Sx2)
证明：(1) Rˆ R y R y Rx
i1
i1
10
10
10
yi2 4463, xi2 4066, yixi 4245
i1
10
i1
i1
Rˆ
i 1 10
yi xi
187 178
1.05
i 1
10
10
10
70
( yi Rˆxi )2 yi2 2Rˆ yi xi Rˆ 2 xi2 31.265
i1
i1
i1
如果置信度1为的绝对误差限d为,
当n大时，V（YˆR）
1 n
f
Sd2，其中Sd2
1 N 1
比率估计
ratio estimator
分层抽样下，比率估计有两方法：
1.Separate Ratio estimator yL y y 2 rL , r , r2 xL x2 ……. x
1 1 1
(h=1,2,…..L)
y RS Wh y Rh
yh Wh Xh xh
(1)按分别比率估计量估计
ˆX ˆ R Y RS
2 h 1 h h
0.959859 171400 1.049725 102900 272536.6
2 Nh (1 f h ) 2 2 2 ˆ ˆ s R yh h s xh 2 Rs yxh nh h 1 2
2014-1-21 1
例如: 一般认为GDP与能源消耗总量之比 不可能急剧变化, 可根据能源消耗是否增 加很多, 佐证GDP的高增长是否令人怀疑.
辅助变量的特点: (1)辅助变量必须与主要变量高度相关 (2)辅助变量与主要变量之间关系整体上稳定 (3)辅助变量的总体总值必须是已知的,或易获得. (4)辅助变量的信息质量更好,或信息更成本低
正高度相关某县在对船舶调查月完成的货运量进行调查时对运管部门登记的船舶台帐进行整理后获得注册船舶2860艘载重吨位154626吨从2860艘船舶中抽取了一个的简单随机样本调查得到样本船舶调查月完成的货运量y及其载重吨位x如下表单位
第四章 比率估计
设我们关心的主要变量为 Y, 另一个与 Y 有关的 辅助变量为X,对简单随机抽样的一个样本中的 每个单元获得了Y和X的调查值yi和Xi,而X的总 体总值是已知的. 实际中,辅助变量一般有几种常见的情况. (1)同一变量的上期结果,往往隐含着当期与上期 的变化不会太大的假设; (2)与主要变量之间整体上存在某种比值关系 ,即 隐含两者比值关系的变化不会太大的假设
分层抽样下，比率估计有两方法：
1.Separate Ratio estimator yL y y 2 rL , r , r2 xL x2 ……. x
1 1 1
(h=1,2,…..L)
y RS Wh y Rh
yh Wh Xh xh
(1)按分别比率估计量估计
ˆX ˆ R Y RS
2 h 1 h h
0.959859 171400 1.049725 102900 272536.6
2 Nh (1 f h ) 2 2 2 ˆ ˆ s R yh h s xh 2 Rs yxh nh h 1 2
2014-1-21 1
例如: 一般认为GDP与能源消耗总量之比 不可能急剧变化, 可根据能源消耗是否增 加很多, 佐证GDP的高增长是否令人怀疑.
辅助变量的特点: (1)辅助变量必须与主要变量高度相关 (2)辅助变量与主要变量之间关系整体上稳定 (3)辅助变量的总体总值必须是已知的,或易获得. (4)辅助变量的信息质量更好,或信息更成本低
正高度相关某县在对船舶调查月完成的货运量进行调查时对运管部门登记的船舶台帐进行整理后获得注册船舶2860艘载重吨位154626吨从2860艘船舶中抽取了一个的简单随机样本调查得到样本船舶调查月完成的货运量y及其载重吨位x如下表单位
第四章 比率估计
设我们关心的主要变量为 Y, 另一个与 Y 有关的 辅助变量为X,对简单随机抽样的一个样本中的 每个单元获得了Y和X的调查值yi和Xi,而X的总 体总值是已知的. 实际中,辅助变量一般有几种常见的情况. (1)同一变量的上期结果,往往隐含着当期与上期 的变化不会太大的假设; (2)与主要变量之间整体上存在某种比值关系 ,即 隐含两者比值关系的变化不会太大的假设
抽样技术(第5版)课件PPT课件第2章
n i 1
n i j
1 n N
1 n(n 1)
2 (Yi Y ) 2 2
(Yi Y )(Y j Y )
n N i 1
n N ( N 1) i j
n 1 N
n 1 N
1 N
n 1
2
2
(Yi Y )
(Yi Y ) 2
1.5
4.5
10
平均
5
6
5.5
2.5
0.5
3
0
6.5
方差1.95
y -Y
2
证明 性质1
对于固定的有限总体，估计量的期望是对所有可能样本求平均得
到的，因此
y y1 y 2 y n
E y n
CN
nCNn
总体中每个特定的单元
在不同的样本中出现的次数。C n 1
小写符号表示样本的标志值
符号
总
1
Y
N
体
Y1 Y2 YN
Y
i
N
i 1
N
N
Y Yi Y1 Y2 YN
i 1
A 1
P
N N
N
Y Yi 0或1
i 1
i
1 N
N
2
S
Y
Y
2
i
N 1 i 1
N 1
2
样
y y2 yn
i 1
n
i 1
y
x
n i j
1 n N
1 n(n 1)
2 (Yi Y ) 2 2
(Yi Y )(Y j Y )
n N i 1
n N ( N 1) i j
n 1 N
n 1 N
1 N
n 1
2
2
(Yi Y )
(Yi Y ) 2
1.5
4.5
10
平均
5
6
5.5
2.5
0.5
3
0
6.5
方差1.95
y -Y
2
证明 性质1
对于固定的有限总体，估计量的期望是对所有可能样本求平均得
到的，因此
y y1 y 2 y n
E y n
CN
nCNn
总体中每个特定的单元
在不同的样本中出现的次数。C n 1
小写符号表示样本的标志值
符号
总
1
Y
N
体
Y1 Y2 YN
Y
i
N
i 1
N
N
Y Yi Y1 Y2 YN
i 1
A 1
P
N N
N
Y Yi 0或1
i 1
i
1 N
N
2
S
Y
Y
2
i
N 1 i 1
N 1
2
样
y y2 yn
i 1
n
i 1
y
x
第五章-比率与回归估计
大致成正比例关系时,应用比率估计量才能使
估计精度有较大改进.
若分别以SY2
,
S
2 X
表示两个变量的总体方差,
以SYX表示总体协方差, 表示总体相关系数
SY2
1 N-1
(Yi Y )2
S
2 X
1 N-1
(Xi X )2
SYX
1 N-1
(Yi Y )( Xi X )
SYX
SY SX
X 或总体总值X已知,可以利用辅助变量构造
调查变量总体均值,总体总值Y的比率估计量为:
-
Y
yR
RX
y x
X,
YR
RX
y x
X
N
yR
比率估计量 R, yR ,Y R 中任何两个之间都仅差一个
常数,性质相同.
二、比率估计量的偏差与均方误差
比率估计量是有偏的，但当样本量增大时其偏 差将趋近于零。
下表是容量为5的总体，列出了两个变量的值， 计算全部可能的n=3的简单随机样本指标。
y
13.7967,
x1
24.43899,
x2
38.4444,
s
2 y
35.4958,
s2 x1
74.6789,
s2 x2
174.9671, syx1
42.26167, syx2
46.5118
1 f 0.0522332,现种植面积和良种比例为辅助变量对 n
皮棉产量进行比率估计。
六、乘积估计
当辅助变量x与调查变量y成负相关关系时， 不能用比例估计，应改用乘积估计，
设 yRk 是Y 的基于第k个辅助变量的比率估计，
则Y 的多元比率估计量为
2总体比率和方差的估计
质量管理
实验二
学实验 总体比率和方差的估计
1 一个（单）总体比率的估计 2 两个（双）总体比率之差的估计 3 一个（单）总体方差的估计 4 两个（双）总体方差比的估计
1 -1
单总体比率的区间估计
假定条件：
总体服从二项分布 样本比例可以由正态分布来近似（即大样本：nπ≥5，
n（1-π）≥5)
使用正态分布统计量z
学实验
(图示)
总体方差的
1 的置信区间
2
1
2
2
2
2
自由度为n-1的2
1 -8
质量管理 总体方差的区间估计
学实验
(例题分析)
【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某
天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如 下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95% 的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间
• 1. 假定条件
▪ 两个总体服从二项分布 ▪ 可以用正态分布来近似 ▪ 两个样本是独立的
• 2. 两个总体比例之差1- 2在1- 置信
水平下的置信区间为
p1 p2 z 2
1 -4
p1 (1 p1 ) p2 (1 p2 )
n1
n2
质量管理两个总体比例之差的估计
学实验
(例题分析)
【例】在某个电视节目的收
质量管理 总体方差的区间估计
学实验
(例题分析)
解:已知n＝25，1-＝95% ,根据样本数据计算得
s2 =93.21
2
22 (置n 信1)度 为02.09255(2%4)的 3置9.信364区1 间1为2 2 (n
1)
2 0.9
75
(
实验二
学实验 总体比率和方差的估计
1 一个（单）总体比率的估计 2 两个（双）总体比率之差的估计 3 一个（单）总体方差的估计 4 两个（双）总体方差比的估计
1 -1
单总体比率的区间估计
假定条件：
总体服从二项分布 样本比例可以由正态分布来近似（即大样本：nπ≥5，
n（1-π）≥5)
使用正态分布统计量z
学实验
(图示)
总体方差的
1 的置信区间
2
1
2
2
2
2
自由度为n-1的2
1 -8
质量管理 总体方差的区间估计
学实验
(例题分析)
【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某
天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如 下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95% 的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间
• 1. 假定条件
▪ 两个总体服从二项分布 ▪ 可以用正态分布来近似 ▪ 两个样本是独立的
• 2. 两个总体比例之差1- 2在1- 置信
水平下的置信区间为
p1 p2 z 2
1 -4
p1 (1 p1 ) p2 (1 p2 )
n1
n2
质量管理两个总体比例之差的估计
学实验
(例题分析)
【例】在某个电视节目的收
质量管理 总体方差的区间估计
学实验
(例题分析)
解:已知n＝25，1-＝95% ,根据样本数据计算得
s2 =93.21
2
22 (置n 信1)度 为02.09255(2%4)的 3置9.信364区1 间1为2 2 (n
1)
2 0.9
75
(
2.3 比率估计量及其性质
RX i )2
1 N 1
N i 1
[(Yi
RX i ) (Y
RX )]2
由于Y RX 0
1 N 1
N i 1
[(Yi
Y
)
R( X i
X
)]2
1 N 1
N i 1
[(Yi
Y
)2
2R(Yi
Y
)( X i
X
)
R2(Xi
X
)]
1 N 1
N i1
(Yi
Y
)2
2R
1 N 1
N i1
(Yi
Y )( Xi
表2 -10的计算表明 r与Rˆ的差别其实并不大。
对于第三个问题的解释：
1、回顾均方误差、方差、偏差 MSE V (ˆ) B2 (ˆ)
对任何估计量均方误差 MSE小比偏倚 B更要紧，比率估 计虽然有偏，但其均方 误差MSE因此降低，可以得到足 够的补偿。
下面介绍一种形式比较简单的无偏比率估计量：
i 1
(4)
(R R) 1 NX
N
Ri ( X i X )
i 1
由(2)可得
1
NX
N i 1
Ri ( X i
X
)
1 NX
N
R(Xi X)
i 1
1
NX
N
(Ri R )( X i X ) E(r ) R B
正如前面指出的，在实际的抽样调查问题中，总体方差 与协方差都是未知的，因此为了得到上述比率估计量方差或 协方差的估计，必须对总体方差与协方差进行估计。
根据定理2.4和定理2.5，直接用Y与X的样本方差、样本 协方差和样本比率替代相应比率估计量方差定理中Y与X的 总体方差、总体协方差和总体比率，有
外汇汇率预测53页PPT
• 套利者支付1000欧元在德国市场上每购进一台 计算机，到美国市场上出售800美元，兑换800/ 0.65=1230.77欧元，获利230.77欧元。
第三十一页，编辑于星期一：二十三点 三十九分。
（二）绝对购买力平价与相对购买力平价
• 绝对购买力平价理论认为，任何一种货 币，不论在哪个国家，具有相同的购买 力。
国的物价水平。
第三十二页，编辑于星期一：二十三点 三十九分。
（三）汇率变化与预期通货膨胀的差异
基期汇率 : S0
PA0 PB0
S1
S0
(1
S )
PA0 PB0
(1 (1
IA) IB )
IA、IB分别表示两国的通货膨 胀率,
△S表示两国货币汇率变化百
分比
S1
/
S0
(1
S )
(1 (1
IA) IB)
– 货币的价值在于其购买力,因此不同货币之间的 兑换率取决于其购买力之比, 也就是说，汇率 与各国的价格水平之间有直接联系。
第二十九页，编辑于星期一：二十三点 三十九分。
（一）一价定律
• 汇率与价格水平之间的关系，如果市场与市场之 间不存在流通限制，而且没有诸如运输成本之类 的交易成本，相对于同一种商品，不论用哪一种 货币，所代表的购买力是一样的。即一价定律。
• △S=（5%-1%）/（1+1%）=3.85% • 基期1€=1.54$，即S0= 1.54，则 • S1=S0*（1+△S）= 1.54*（1+ 3.85%）= 1.60
• 1€=1.60$
第三十四页，编辑于星期一：二十三点 三十九分。
(四）局限性
• 1、汇率变动不只受通货膨胀的影响，还受到其他许多 因素的影响；
第三十一页，编辑于星期一：二十三点 三十九分。
（二）绝对购买力平价与相对购买力平价
• 绝对购买力平价理论认为，任何一种货 币，不论在哪个国家，具有相同的购买 力。
国的物价水平。
第三十二页，编辑于星期一：二十三点 三十九分。
（三）汇率变化与预期通货膨胀的差异
基期汇率 : S0
PA0 PB0
S1
S0
(1
S )
PA0 PB0
(1 (1
IA) IB )
IA、IB分别表示两国的通货膨 胀率,
△S表示两国货币汇率变化百
分比
S1
/
S0
(1
S )
(1 (1
IA) IB)
– 货币的价值在于其购买力,因此不同货币之间的 兑换率取决于其购买力之比, 也就是说，汇率 与各国的价格水平之间有直接联系。
第二十九页，编辑于星期一：二十三点 三十九分。
（一）一价定律
• 汇率与价格水平之间的关系，如果市场与市场之 间不存在流通限制，而且没有诸如运输成本之类 的交易成本，相对于同一种商品，不论用哪一种 货币，所代表的购买力是一样的。即一价定律。
• △S=（5%-1%）/（1+1%）=3.85% • 基期1€=1.54$，即S0= 1.54，则 • S1=S0*（1+△S）= 1.54*（1+ 3.85%）= 1.60
• 1€=1.60$
第三十四页，编辑于星期一：二十三点 三十九分。
(四）局限性
• 1、汇率变动不只受通货膨胀的影响，还受到其他许多 因素的影响；
抽样调查_比率估计
v1 yR
此例表明：辅助信息的 恰当应用，比估计的精 度高于简单估计。
后来的财务记录表明： 现薪平均水平为 34419 .5元 / 年。
比估计中，v2的精度一般高于 v1 .
例：现设某地区45万户居民1998年底的居民储蓄存款 余额为135亿元，而调查300户居民家庭得知户均年总 收入为1.8万元，户均储蓄存款余额为2.6万元，用比 估计法估计该市居民总体的户均年总收入及年总收入。
n
N 1
n
性质3．
ˆ 2 s2 2R ˆs ) v1 ( yR ) 1 f ( s 2 R y x xy n 2 1 f X 2 ˆ 2 s2 2R ˆs ) v2 ( yR ) ( s R y x xy 2 n x
ˆ ) E (Y R
ˆ ) V (Y R
ˆ ) v1 (Y R
ˆ x )2 ( y R i i
i 1
n
n1
1 f 2 ˆ2 2 ˆ ˆ s ) v1 ( R ) ( s R s 2 R y x xy 2 nX 1 f 2 ˆ2 2 ˆ ˆs ) v 2( R ) ( s y R sx 2 R xy 2 nx
性质2,3的证明
1 f 2 ˆ2 2 ˆ v1 yR s y R sx 2 Rs xy 470563.4 n
2 X2 1 f 2 ˆ2 2 17016 ˆ v2 yR 2 s y R sx 2 Rs 470563.4 xy 2 x n 18642.6
E ( y Rx )2 E ( g )2 E( g G )2 V ( g )
1 f n
2 ( Y RX ) i i i 1 N
抽样技术(金勇进)PPT
条件下,
y yR x X
y x
X
YˆR
y x
X
y x
X
NyR
Rˆ y x
辅助指标x，V其(Rˆ总) 体1nX均2f值（(Y总Ni 量R1X）i )已2 知
【例4.1】对以下假设总体（N=6），用简单随机抽样抽 取的样本，比较简单随机抽样比估计及简单估计的性质。
1234 5 6
X i 0 1 3 5 8 10
• 设抽取一个行业的样本：令yi为i行业花费在健
y
康保险上的金额，xi为i行业的雇员数。假定对
x
总体中的每个行业xi均已知。我们希望一个行
业花费在健康保险上的金额与雇员数相关。某
些行业在调查中可能涉及不到。估计保险费用 的总花销时调整无回答的方法之一是用总体数
X 乘以比率 y
x
一、
在 srs
Ratio Estimator
比率估计的近似方差
V ( yR ) V ( XRˆ) X 2V (Rˆ)
V (YˆR ) N 2 X 2V (Rˆ)
当 R>0.5 时,比估计比 srs 有更高的精度。
1 2 V (Rˆ ) E(Rˆ R) X E( y RX ) 分层抽样下，比估计有两种方法： 2
2 v1
(
Rˆ )
• 调查中都有辅助信息，抽样框也通常有每个单元额外 的信息，这些信息能被用来提高我们的估计精度。
为什么要使用比率估计/回归估计
• 利用总体的辅助信息提高估计的精度。
–辅助指标的选择 ：y辅助指标应该与调y 查指标有较好
的正的相关关系 。x 的抽样分布较 xu 的抽样分布变
动性要小得多。
–辅助指标的总体总量或总体均值已知。
比率估计的概念
比率估计的概念比率估计是统计学中的一种方法，用于估计总体参数的取值。
在估计总体参数时，如果无法对全部个体进行测量或观察，通常会采用抽样的方法，选取部分个体进行测量或观察，然后根据抽样结果对总体参数进行估计。
比率估计是一种重要的估计方法，常用于估计总体比例、总体概率等参数的取值。
总体比例是指某一特征在总体中的占比或概率，而比率估计则是根据样本数据对总体比例进行估计。
在进行比率估计时，首先需要获得一个代表总体的随机样本。
随机样本的选取应遵循一定的抽样方法，例如简单随机抽样、分层抽样、整群抽样等，以确保样本的代表性和可靠性。
一旦得到随机样本，就可以计算样本中某一特征的比例，并将其作为总体比例的估计值。
比率估计的关键是要确定该估计值的可靠程度，即估计值和真实总体比例之间的差距有多大。
为了评估估计值的可靠性，统计学家使用了一个称为置信区间的概念。
置信区间是一个范围，其中包含了参数估计值的真实值的概率。
通常，置信区间的上下界称为置信下限和置信上限，用于表示估计值的上下限范围。
置信区间的计算通常基于样本容量、抽样方法以及估计值的分布。
常用的计算方法包括正态分布法、大样本法、中心极限定理法等。
这些方法根据不同的前提条件和样本特性，给出了不同的置信区间估计方法。
比率估计的目的是以一个可靠的方法估计总体参数，并提供估计值的可靠程度的评估指标。
通过估计总体参数的取值，我们可以对总体的特征或概率进行推断，从而做出相应的决策或预测。
比率估计在各个领域都有广泛的应用。
例如，在医学研究中，比率估计可以用于估计某种疾病的患病率，对疾病的流行程度进行评估。
在市场调查中，比率估计可以用于估计某种产品的市场份额，以及不同用户群体的比例。
比率估计也有一些限制和局限性。
首先，比率估计通常要求样本容量足够大，以确保估计值的可靠性。
如果样本容量较小，估计值的可靠程度会降低。
其次，比率估计在估计过程中假设了总体参数的分布，并未考虑总体分布的严格形式，可能存在一定的误差。
比估计和回归估计(抽样)
（2）若调查指标为Y , X为辅助变量 X X i 或X X / N已知。 则Y 及Y的比（比率）估计量分别定义为： y ˆX YR y R X R x y ˆ ˆX R ˆX Y R X Ny R NR x ˆ ˆ ˆ 通称为比估计量。 我们将R、Y 、Y
2. 比估计与回归估计的使用 条件 • （1）调查主要指标与辅助变量 之间有良好的线性正相关关系 • （2）辅助变量的总体总量或均 值已知。
第二节 比估计
• 一、定义及基本性质 • （一）定义 • 1.比估计,也叫比估计量,是指以 下三个估计量。
（ 1 ）对简单随机抽样，若y、x 是样 本两个指标的均值，则总体这两个 指标总量或均值的比值（率）为： Y Y R 可以用： X X y ˆ ˆ 是比值估计量。 R 进行估计。R x
样本号j
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
样本包含单元号 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 5 1, 2, 3, 6 1, 2, 4, 5 1, 2, 4, 6 1, 2, 5, 6 1, 3, 4, 5 1, 3, 4, 6 1, 3, 5, 6 1, 4, 5, 6 2, 3, 4, 5 2, 3, 4, 6 2, 3, 5, 6 2, 4, 5, 6 3, 4, 5, 6
2 (S y R 2 S x2 2 RS yx ) 2 (S y R 2 S x2 2 RS x S y )
Y (C C 2C yx )
2 2 y 2 x
1 f 2 (C y C x2 2C yx ). n
ˆ ) N 2 X 2V ( R ˆ ) MSE (Y ˆ ) V (Y R R N (1 f ) 2 2 2 ( S y R S x 2 RS yx ) n N 2 (1 f ) 2 ( S y R 2 S x2 2 RS x S y ) n 1 f 2 2 Y (C y C x2 2C yx ) n ˆ ) 1 f V (Y 2 2 R ( C C y x 2C yx ). 2 n Y
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Yˆ Ny
N n
n i 1
yi
Pˆ
p
1 n
n i 1
yi
n1 n
n
Rˆ r
y x
i 1 n
yi xi
i 1
抽样误差的评判标准
估计量方差： V (ˆ) E ˆ E(ˆ) 2
偏差：
B(ˆ) [E(ˆ) ]
均方误差： MSE(ˆ) E(ˆ )2
MSE(ˆ)
V (ˆ) B2 (ˆ)
法之一是用总体数 X 乘以比率
比估计及其性质
设有一个二元变量的总体 ( X ,Y )：( X1,Y1 ),( X2 ,Y2 ), ,( X N ,YN ) 有 4 个参数是我们所熟悉的：
X、Y ————指标 X、Y 的平均数
S
2 X
1 N 1
N
(Xi
i 1
X )2
SY2
1 N 1
N
(Yi
i 1
辅助指标的总体总量或总体均值已知。
比率估计、回归估计需要有足够的样本量才能
保证估计的有效。
有偏估计：当样本量足够大时，估计的偏倚趋于0。
调整来自样本的估计量以便它们反映人口统计 学的总量。
在一所具有4000名学生的大学提取一个400个学 生的简单随机样本，此样本可能包含240个女性，160 个男性，且其中被抽中的84名女性和40名男性计划以
教学为毕业后的职业。
4000 124 1240 400
84 2700 40 1300 1270
240
160
比率估计量被用来对无回答进行调整
设抽取一个行业的样本：令yi为i行业花费在健 康保险上的金额，xi为i行业的雇员数。假定对总体中 的每个行业xi均已知。我们希望一个行业花费在健康 保险上的金额与雇员数相关。某些行业在调查中可能 涉及不到。估计保险费用的总花销时调整无回答的方
通常的比估计是指 (1) 式与 (2) 式，而 Rˆ 则称为比值R 的
估计。
由 (1) 式与 (2) 式可知，YˆR 与 YˆR 的习性主要依赖于估计量
Rˆ ，因此在不少场合，我们常用 Rˆ 来说明。
尽管x, y 分别是X ,Y 的无偏估计，由于 Rˆ 的非线性形式，因 此 Rˆ 关于 R 是有偏的，从而 YˆR ,YˆR 关于 Y ,Y 也是有偏的。
一个合理的估计量，应该随着样本容量 n 的增加，估计量的 期望与参数之差应该越来越小并渐渐趋于零，即“渐近无偏”
比估计是否渐近无偏呢？
将比估计Rˆ y x 表示为：
Rˆ y
y
x X (1 x X )
利用Taylor展开式，有
X
Rˆ
y x
y X
1
xX X
xX X2y X1 N
(Xi
X
)
2
N
(Yi
Y
)
2
i1
i1
如果简单随机样本为( xi , yi ) (i 1, 2, , n) ，则Cov( X ,Y )
及 的估计为：
S xy
1 n1
n i 1
( xi
x)( yi
y)
n
( xi x)( yi y)
ˆ
i 1 1
1
n
( xi
x
)
2
n
(
yi
B(ˆ)
随机性 误差
系统性 误差
V (ˆ)
对总体特征估计的思路和方法
两种思路和方法：
直接估计：不借助任何辅助变量，仅仅通过 变量的样本观察值对其总体特征进行直接估 计，即样本特征的线性组合表示总体特征， 故统称线性估计。
间接估计：借助相关辅助变量，对我们所感 兴趣的变量的总体特征进行间接估计，用样 本特征的非线性组合表示总体特征，故统称 为非线性估计。
直接估计：简单线性估计 间接估计：比估计、回归估计
1802年，拉普拉斯想要估计法国的人口数目。他 获得了一个遍布全国范围的30commune的样本，截至 1802年9月23日总共有2037615居民。在包括1802年9 月23日以前的三年中，在30个commune 有215599个 新生儿。
拉普拉斯认为30个commune每年注册的新生儿数为 215599/3=71866.33。把2037615按照71866.33来分， 拉普拉斯估计每年每28.35人里有一个注册新生儿。
y
)
2
i1
i1
在讨论比估计之前，先考察总体的两个平均数之比，即
RY X
由于x, y 分别是X ,Y 的无偏估计，R 的估计自然定义为
Rˆ y x
假如 X 或 X 已知，总体平均数 Y 与总体总和 Y 的比估计
量定义为：
YˆR
yR
X
y x
1 N
XRˆ
(1)
YˆR
NYˆR
X
y x
XRˆ
(2)
➢（3）总体比例:
P
1 N
N
Yi
i 1
N1 N
➢（4）总体比率: R Y Y
XX
统计量：是根据样本的n个单元的变量值计算出的一个量，
也叫估计量，用于对总体参数的估计。统计量是随 机变量。
常用的统计量有4种：
➢（1）均值估计:
Yˆ
y
1 n
n i 1
yi
➢（2）总值估计: ➢（3）比例估计: ➢（4）比率估计:
Y )2
——指标 X、Y的方差
在研究比估计之前，再引进一个新的参数——变量之间
的协方差：
Cov( X ,Y )
1 N 1
N i 1
(Xi
X )(Yi
Y )
X、Y 之间的相关系数定义为：
Cov( X ,Y )
Var( X ) Var(Y )
N
( Xi X )(Yi Y )
i 1
1
1
2.3 比率估计量及其性质
2.3.1 比率估计量的性质 2.3.2 比率估计量的方差估计 2.3.3 比率估计量的其他问题
总体参数：总体是调查的客体，而总体参数是总
体某个特征或属性的数量表现。
常见的总体参数有4种：
1 N
➢（1）总体均值:
Y
N
Yi
i 1
N
➢（2）总体总值: Y Yi NY i 1
具有众多人口的乡镇也就可能有同样众多的注册 新生儿，通过用28.35乘以全法国年度新生儿总数来 估计得出法国人口总数。
调查中都有辅助信息，抽样框也通常有每个单元 额外的信息，这些信息能用来提高我们的估计精 度。
为什么要使用比率估计/回归估计?
利用总体的辅助信息提高估计的精度。
辅助指标的选择 ：辅助指标应该与调查指标有较好 的相关关系 。
xX X
x
X X
2
(3)
当 n 相当大时， x 与 X 相当接近，而 X 是常数，又 y 是Y 的
无偏估计，因此，实质上 Rˆ y X ，所以 E( Rˆ ) R 。
(3) 式的好处不单单告诉我们E(Rˆ ) R 这一事实，而且告
诉了我们，当 n 相当大时，Rˆ y X ，表明 Rˆ 可以表示成