第五章离散偏微分方程
偏微分方程与数学物理中的基本概念
电磁感应和电磁波
03、
应用广泛的电磁学理论
光学和电磁场的关系
电磁辐射和传播
04、
总结
偏微分方程在数学物理领域扮演着重要角色，薛 定谔方程、热传导方程、纳维-斯托克斯方程和 麦克斯韦方程组分别在量子力学、热力学、流体 力学和电磁学中有着广泛的应用，深化了我们对 自然界规律的认识。
● 06
● 03
第3章 偏微分方程的数值解 法
有限差分法
有限差分法是常用的 偏微分方程数值解法， 通过将偏导数用差分 近似替代，将偏微分 方程转化为代数问题 来求解。这种方法在 数学物理中有广泛的 应用，尤其适用于一 些简单的方程模型。
有限元法
复杂边界条 件
适用于复杂的偏 微分方程模型
数值计算
通过数值方法求 解偏微分方程的
边界条件和初值 条件
边界条件和初值条件 是偏微分方程求解过 程中不可或缺的条件。 边界条件规定了解在 边界上的行为，初值 条件则决定了解在初 始时刻的状态。这两 个条件相互配合，可 以帮助我们准确求解 偏微分方程，揭示物 理系统的演化规律。
齐次与非齐次偏微分方程
齐次偏微分 方程
所有项都包含未 知函数及其偏导
感谢家人对我学习科研道路的理解和支持
02、 同学支持
感谢同学们在学习中的互帮互助
04、
总结与展望
通过学习偏微分方程与数学物理基本概念，相信 大家对现代科学技术的发展有了更深刻的认识。 希望大家在未来的学习和研究中能够运用所学知 识，探索新的领域，为科学事业的发展贡献力量。
感谢观看
THANKS
第6章 偏微分方程的数值模 拟与实验验证
数值模拟在偏微分方程中的应 用
数值模拟是验证偏微分方程解的有效方法。通过 计算机模拟实验验证理论预测，可以更直观地了 解偏微分方程解的特性，为理论研究提供重要支 持。
偏微分方程的有限元法
第五章 偏微分方程的有限元法
有限元法特点有限元法的物理意义直观明确，理论完整可靠。 因为变分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原理（如力学中的最小势能原理）。 优异的解题能力。有限元法对边界几何形状复杂以及媒质物理性质变异等复杂物理问题求解上，有突出优点： ① 不受几何形状和媒质分布的复杂程度限制。 ②不必单独处理第二、三类边界条件。 ③ 离散点配置比较随意，通过控制有限单元剖分密度和单元插值函数的选取，可以充分保证所需的数值计算精度。
有限元法于上世纪50年代首先在力学领域-----飞机结构的静、动态特性分析中得到应用，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。有限元法主要用于求解拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中。
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第五章 偏微分方程的有限元法
有限元法---变分原理
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5.1 泛函与变分原理
数学上，通常自变量与因变量间的关系称为函数，而泛函则是函数集合的函数，也就是函数的函数，即自变量为函数，而不是变量。
5.1.1 泛函的定义 泛函通常是指一种定义域为函数，而值域为实数的“函数”。 设C是函数的集合，B是实数集合。如果对C中的任一元素y(x)，在B中都有一个元素J与之对应，则称J为y(x)的泛函，记为J[y(x)]。
5.1.3 泛函的变分
定义最简泛函
F(x,y,y’)称为泛函的“核函数”
泛函的变分
最简泛函: 核函数只包含自变量 x、未知函数y(x)以及导数y’(x)
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5.1 泛函与变分原理
利用二元函数的泰勒展开
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5.1 泛函与变分原理
其中
分别称为泛函的一阶变分和二阶变分。
偏微分方程的数值离散方法
偏微分方程的数值离散方法一维抛物方程是一个常见的偏微分方程，可以用来描述热传导问题。
其一般形式为：∂u/∂t=α(∂²u/∂x²)其中，u是温度的函数，t是时间，x是空间坐标，α是热扩散系数。
为了求解这个方程，我们可以使用显式差分法。
首先，在空间上进行离散化，将连续的空间坐标x划分成离散的节点。
然后，在时间上进行离散化，将连续的时间t划分成离散的时间步长。
通过将偏微分方程中的导数近似为差分，我们可以得到一个差分方程来逼近原方程。
在一维抛物方程中，使用中心差分法可以得到如下的差分方程：(u_i^(n+1)-u_i^n)/Δt=α(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)/Δx²其中，u_i^n表示在节点i和时间步n的温度值，Δt和Δx分别是时间步长和空间步长。
然后，我们可以根据初始条件和边界条件来逐步更新节点的温度值，直到达到预定的时间。
另一个常见的偏微分方程是一维波动方程，可以用来描述波动的传播。
其一般形式为：∂²u/∂t²=ν²∂²u/∂x²其中，u是波动的位移函数，t是时间，x是空间坐标，ν是波速。
对于这个方程，我们可以使用数值离散方法，如有限差分法来求解。
类似于抛物方程，我们首先在空间上和时间上进行离散化。
然后，我们根据差分逼近，得到如下的差分方程：(u_i^{n+1}-2u_i^n+u_i^{n-1})/Δt²=ν²(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)/Δx²其中，u_i^n表示在节点i和时间步n的位移值。
通过使用适当的初始条件和边界条件，我们可以逐步更新节点的位移值，直到达到预定的时间。
尽管上述方法对于一维问题是有效的，但是对于更复杂的二维或三维问题，就需要使用更高阶的差分方法，如二维抛物方程和二维波动方程中的五点差分法或九点差分法。
此外，还有其他更高级的数值方法，如有限元法和谱方法，可以用于求解偏微分方程。
偏微分方程的解法及其应用
偏微分方程的解法及其应用偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中的一种重要的分支，是与自然科学和工程技术研究密切相关的基础理论。
它的研究涵盖了数值计算、物理学、化学、金融学、生物学等众多学科领域。
本文将以解法及其应用为主题，简要介绍偏微分方程的基本概念、模型以及求解算法。
一、基本概念偏微分方程是包含多个自变量的微分方程。
与常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODEs）不同，偏微分方程中的未知函数是一个或多个变量的函数，而常微分方程中的未知函数只是一个自变量的函数。
偏微分方程也常常用于表征热传导、流体力学、宏观物理学、生物学和经济学等领域的现象。
举个例子，波动方程就是一个著名的偏微分方程模型。
波动方程具有以下形式：$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\nabla^2 u$其中，$u$是待求函数，$t$是时间变量，$\nabla$是空间微分算子，$c$代表波速。
此方程描述了一个物质在空间中随着时间传播的状态。
在此，我们可以看到偏微分方程的一般形式中涉及的多个自变量和微分算子。
二、常见算法在现代科学和工程领域中，为了求解偏微分方程，研究者们发明了多种算法。
这里，我们将简要介绍一些常见的算法。
1. 分离变量法分离变量法（Separation of Variables Method）是一种经典的求解偏微分方程的方法。
该方法的思想是，将多自变量的函数$u(x_1,x_2,...,x_n)$看作是各个自变量的单独函数的积的形式。
然后，我们可以将多自变量的偏微分方程转化为多个一元函数的常微分方程，便于求解。
虽然分离变量法并不适用于所有类型的偏微分方程，但是在实际应用中已经证明是十分有效的。
2. 有限差分法有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值求解偏微分方程的方法。
高等数学偏微分方程教材
高等数学偏微分方程教材引言：高等数学偏微分方程教材是一本专注于讲解偏微分方程的教材。
它旨在帮助学生深入理解该领域的概念和技巧，培养他们的数学思维和解决实际问题的能力。
本教材的编写旨在提供清晰、系统和综合的课程内容，以满足学生对高等数学偏微分方程的学习需求。
第一章偏微分方程简介1.1 偏微分方程的概念与分类- 偏微分方程的定义与基本概念- 常见的偏微分方程分类及其特点1.2 偏微分方程的数学建模- 偏微分方程在自然科学和工程领域的应用- 建立数学模型与偏微分方程的联系第二章一阶偏微分方程2.1 一阶偏微分方程的基本概念与解法- 一阶线性偏微分方程的解法- 一阶齐次与非齐次偏微分方程的解法2.2 传热问题与一维热传导方程- 一维热传导方程的物理背景与模型建立- 定解条件与初值问题解法- 热传导问题的数值解法与应用第三章二阶线性偏微分方程3.1 二阶线性偏微分方程的基本理论- 二阶线性偏微分方程的一般形式与特征方程 - 常系数与变系数二阶线性偏微分方程的解法3.2 波动方程与振动问题- 波动方程的物理背景与模型建立- 结束条件与初值问题的解法- 波动问题的数值解法与应用第四章椭圆型偏微分方程4.1 椭圆型偏微分方程的基本理论- 椭圆型偏微分方程的定义与性质- 球坐标与柱坐标下的椭圆型偏微分方程4.2 热传导问题与二维热传导方程- 二维热传导方程的模型建立与解法- 边值问题与数值解法- 热传导问题的应用案例第五章抛物型偏微分方程5.1 抛物型偏微分方程的基本理论- 抛物型偏微分方程的定义与分析 - 热传导方程与时间相关问题5.2 扩散过程与扩散方程- 扩散方程的模型与解法- 边界条件与初始值问题的解法- 扩散问题的数值解法与应用第六章偏微分方程的数值解法6.1 偏微分方程的数值离散化- 偏微分方程的差分格式与有限元法 - 空间离散化与时间离散化的方法6.2 常见数值解法的实现与应用- 追赶法与矩阵分解法- 迭代法与收敛性分析- 各种数值方法的优缺点与应用领域结语：高等数学偏微分方程教材的编写旨在全面深入地介绍偏微分方程的理论与应用。
偏微分方程的求解方法
偏微分方程的求解方法偏微分方程是研究自然现象中具有变化性、互相联系的物理量之间的关系的数学工具。
例如流体力学、电磁学、量子力学等领域中，大量问题都可以用偏微分方程来描述。
因此，研究偏微分方程求解方法是数学领域中一个重要的研究方向。
偏微分方程的一般形式为$$F(x, u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, ..., \frac{\partial^n u}{\partial x^n})=0$$其中，$x$是自变量，$u(x)$是未知函数，$\frac{\partialu}{\partial x}, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, ..., \frac{\partial^n u}{\partial x^n}$是$u(x)$的各阶导数，$F$是给定的函数。
偏微分方程的求解方法主要有分离变量法、变量代换法、特征线法、有限差分法、有限元法等。
一、分离变量法分离变量法是偏微分方程最常用的求解方法之一。
分离变量法的基本思路是，假设$u(x)$可以表示为几个只与$x$有关的函数的积的形式，通过代入偏微分方程中，再根据对称性和正交性等特征来推导出每个函数的具体形式。
例如，考虑一维热传导方程$$\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha\frac{\partial^2 u}{\partialx^2}$$其中，$u(x, t)$表示在位置$x$和时间$t$上的温度分布，$\alpha$为热传导系数。
假设$u(x, t)$可以表示为$$u(x,t)=X(x)T(t)$$将$u(x,t)$代入热传导方程中，得到$$\frac{1}{\alpha}\frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda$$其中，$\lambda$为常数。
偏微分方程的基本概念和求解方法
偏微分方程的基本概念和求解方法偏微分方程是数学分析的一个分支，被广泛应用于物理、工程、计算机等领域中。
在现代科学和技术中，很多问题都可以用偏微分方程描述和解决。
本文将介绍偏微分方程的基本概念和求解方法。
一、偏微分方程的基本概念偏微分方程是指包含未知函数及其偏导数的方程。
偏微分方程通常以自变量和各个偏导数的函数形式表示。
偏微分方程的解是满足方程的函数。
偏微分方程的解和初始条件有关。
初始条件是指方程的解在某一时刻的取值。
常见的一维偏微分方程有：热传导方程、波动方程、扩散方程等。
热传导方程：$$\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$波动方程：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$扩散方程：$$\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$其中，$u$表示温度、振动、物质密度等量；$k$表示热传导系数；$c$表示波速；$D$表示扩散系数。
二、偏微分方程的求解方法偏微分方程的求解一般采用分离变量法、特征线法和有限差分法。
1. 分离变量法分离变量法是常见的求解偏微分方程的方法。
它的基本思想是通过一些变换，把偏微分方程转化为一系列常微分方程。
例如，对于热传导方程：设 $u(x,t)=X(x)T(t)$，代入原方程得：$$XT' = kX''T$$将式子两边分离变量，得到：$$\frac{1}{k}\frac{T'}{T}=\frac{X''}{X}=-\omega^2$$分别解出 $T$ 和 $X$，再将它们组合起来即可得到原方程的解。
2. 特征线法特征线法也是求解偏微分方程的重要方法之一。
偏微分方程数值解流程
偏微分方程数值解流程1.网格划分：将求解域划分为网格，这是将偏微分方程离散化的基础。
可以使用等距网格或非等距网格，具体取决于问题的特点。
2.离散化：根据偏微分方程的类型和边界条件，将偏微分方程的导数转换为离散的差分或有限差分格式。
常用的数值离散化方法有前向差分，后向差分和中心差分等。
3.初值条件：根据问题的初始状态，确定在初始时间步骤上网格点的值。
常用的方法是根据问题的初始条件进行数值插值。
4.边界条件：确定在边界网格点上的值。
根据问题的边界条件，可以采用数值插值法或手动设置边界值。
5. 迭代求解：根据离散化的差分方程，通过迭代方法求解离散化的方程组。
常用的迭代方法有Jacobi方法，Gauss-Seidel方法，SOR方法等。
6.收敛性判断：根据设定的收敛准则，判断数值解是否达到了预期的精度。
通常可以通过比较相邻两次迭代的差异来判断收敛性。
7.后处理：根据求解得到的数值解，计算并绘制出感兴趣的物理量。
还可以评估数值方法的误差和稳定性，并进行必要的修正。
8.参数选择：在数值解的迭代过程中，可能需要选择合适的参数，如网格大小和时间步长等。
这需要根据问题的特性和数值方法的准则进行选择。
9.优化和改进：根据数值解的结果和收敛性，可以对数值方法进行改进和优化。
可能需要调整离散化方法，调整网格布局或改进迭代算法。
总之，偏微分方程的数值解流程是一个迭代过程，通过将偏微分方程离散化为差分方程，并进行迭代求解和收敛性判断，获得问题的数值解。
这个过程需要认真的数值计算和对问题的物理背景知识的深刻理解。
偏微分方程的离散化方法
偏微分方程的离散化方法偏微分方程是数学中一个重要的研究方向，它描述了在空间中各点的物理量随时间和空间变化的关系。
在实际问题中，我们常常需要求解偏微分方程的数值解。
然而，偏微分方程的解析解往往很难获得，因此我们需要对偏微分方程进行离散化处理，通过数值方法求解。
离散化方法是将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程组的过程。
离散化的基本思想是将自变量和依变量都用有限个点表示，并采用差分近似方式将微分算子离散化。
下面将介绍几种常见的离散化方法。
1. 有限差分方法（Finite Difference Method）有限差分方法是最常用的离散化方法之一、它基于泰勒展开将偏微分方程中的导数项用差分表示，然后在离散点上构建差分方程，最后求解得到数值解。
有限差分方法在空间和时间上都进行离散化，通常采用中心差分或者向前、向后差分的方式来逼近导数项。
2. 有限元方法（Finite Element Method）有限元方法是另一种常用的离散化方法，它将求解区域划分为有限个离散的子区域，称为单元，然后在单元上构建适当的插值函数，将偏微分方程转化为一个代数方程组。
有限元方法在时间上进行离散化，通常采用线性或非线性插值函数来逼近解。
3. 边界元方法（Boundary Element Method）边界元方法是一种特殊的有限元方法，它将偏微分方程转化为边界上的积分方程，从而将偏微分方程转化为一个边界上的代数方程组。
边界元方法只在边界上进行离散化，对内部区域不需要离散化，因此可以减少计算量。
4. 谱方法（Spectral Method）谱方法基于函数在一定函数空间的展开表示，将偏微分方程转化为一个无限维度的代数方程组。
谱方法通过选择合适的基函数，可以获得非常高的数值精度。
常见的基函数包括傅里叶基函数和勒让德基函数等。
除了以上介绍的几种常见离散化方法，还有其他一些方法，如有限体积法、有限差分积分法等。
这些方法各有特点，适用于不同类型的偏微分方程。
第五章偏微分方程的有限元法
有限元空间与基函数
针对椭圆型方程的特点，构造适当的有限元空间及 基函数，使得近似解能够较好地逼近真实解。
刚度矩阵与载荷向量
利用有限元基函数对椭圆型方程进行离散化 ，得到以刚度矩阵和载荷向量为未知量的线 性方程组。
抛物型偏微分方程的有限元法
时间离散与空间离散
抛物型偏微分方程涉及时间变量，需要采用合适的时间离散方案， 并结合空间有限元离散进行求解。
刚度矩阵反映了单元内部节点间的相 互作用力，需要根据形函数和单元刚 度矩阵进行组装得到整体刚度矩阵。
载荷向量组装
载荷向量反映了作用在节点上的外力 ，需要根据形函数和节点载荷进行组 装得到整体载荷向量。
边界条件处理与方程求解
边界条件处理
对于给定的边界条件，需要在整体刚度矩阵 和载荷向量中进行相应的处理，以保证求解 的正确性。常见的边界条件有Dirichlet边界 条件和Neumann边界条件。
分片插值
在每个单元内，选择基函数，用 单元基函数的线形组合来逼近单 元中的真解。
求解线性方程组
将问题的控制方程转化为等效的 线性方程组进行求解，得到每个 节点的待求量。
有限元法的发展历程
起源
有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其 方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。
素。
有限元法的实现过
04
程
网格划分与单元构造
网格划分
将求解区域划分为有限个互不重叠的子 区域，即单元。常见的网格划分方法有 结构化网格和非结构化网格。
VS
单元构造
对于每个单元，需要确定其形状、大小、 节点数及节点坐标等信息。常见的单元类 型有三角形、四边形、四面体等。
偏微分方程数值解
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休 息
5.1 偏微分方程简介
偏微分方程的分类
2u
2u
2u
u
u
a() x2
b() xy
c() y2
d() x
e() y
f ()u
g()
0
线性微分方程 Linear partial differencial equation
x, y
拟线性微分方程 Quasilinear partial differencial equation
数学上的分类：
椭圆方程 Elliptic
b2 4ac 0
抛物线方程 Parabolic b2 4ac 0
双曲线方程 Hyperbolic b2 4ac 0
物理实际问题的归类：
波动方程(双曲型）一维弦振动模型：
2u t 2
2
2u x 2
热传导方程（抛物线型）一维线性热传导方程
u t
些离散变量的函数。
un i , j,k
u(t, x,
y, z)tnt ,xix, y jy,zkz
一阶偏导的离散化公式
u
un1 i , j,k
un i , j,k
t tnt ,xix , y jy,zkz
t
一般采用欧拉公式表示
有时为了保证系统和稳定性， 对时间的差分往往采用向后公式
u
un i1, j,k
un i , j,k
x tnt ,xix , y jy,zkz
x
u
un i , j1,k
un i , j,k
y tnt ,xix , y jy,zkz
y
u
un1 i , j,k
偏微分方程的离散化方法研究
偏微分方程的离散化方法研究偏微分方程是描述自然界中动态行为的重要数学工具。
由于解析解通常很难或无法获得，离散化方法成为解决偏微分方程的重要手段之一、离散化方法的研究既包括离散化算法的设计与分析，也包括离散算法的稳定性和收敛性的研究。
本文将从这几个方面进行阐述，介绍离散化方法在偏微分方程求解中的应用和研究现状。
首先，离散化方法的设计和分析是解决偏微分方程求解中的关键。
离散化方法的目标是将连续型的偏微分方程转化为离散型的方程组。
其中一种常见的方法是有限差分法。
有限差分法将连续函数的导数用差商来近似，从而将偏微分方程转化为差分方程。
此外，还有有限元法、有限体积法等其他离散化方法，不同方法有不同适用范围，可以根据具体问题选择合适的方法。
其次，离散化方法的稳定性也是研究的重点之一、稳定性是指离散化方法对输入误差和算法扰动的敏感程度。
离散化方法的稳定性分析可以通过研究差分方程的解的增长率和振幅来进行。
一种常见的稳定性分析方法是Von Neumann分析，通过对差分方程进行傅里叶变换，得到差分方程的增长因子，从而判断稳定性。
稳定性是离散化方法是否能够产生可靠结果的重要保证。
最后，离散化方法的收敛性也是一个重要研究方向。
收敛性是指离散化方法在网格细化的情况下，逼近连续解的能力。
离散化方法的收敛性分析可以通过证明差分方程的解与连续解之间的误差的收敛程度。
通常通过证明差分格式的截断误差和稳定性之间的关系来研究收敛性。
收敛性分析可以帮助选择合适的离散化方法和网格大小，以保证数值解的精度。
离散化方法的研究在数值计算和科学工程中有着广泛的应用。
例如，在流体力学中，离散化方法可以用于求解Navier-Stokes方程，模拟流体的运动和流动特性。
在材料科学中，离散化方法可以用于求解热传导方程，分析材料的热传导性质。
在量子力学中，离散化方法可以用于求解薛定谔方程，研究原子和分子的波函数。
总而言之，离散化方法在偏微分方程求解中起着重要的作用，具有广泛的应用前景。
偏微分方程的离散化方法PPT精选文档
2!
3!
4!
(*)
P(x) xP(x) O(x)
P(x x) P(x) x P(x) (x/2)2 P(x) (x/2)3 P(x)
2
2
2!
3!
P(x) x P(x)O(x)
2
2
16
1、 一 阶 前 差 商
P P ( x x ) P ( x ) ， P Pi1 Pi
x
x
x i
P P ( x x / 2 ) P ( x x / 2 ) ， P Pi1 / 2 Pi1 / 2 忽 略 截 断 误 差 O (( x / 2 ) 2 )
x
x
x i
x
17
1、 二阶差商
将 方 程 (*)正 负 相 加 ,可 得 : P(x x) P(x x) 2P(x) x 2 P '' (x) x 4 P (4) (x) .........
x
2、 一 阶 后 差 商
P P ( x ) P ( x x ) ， P Pi Pi1
x
x
x i
x
3、 一 阶 中 心 差 商
P P ( x x ) P ( x x ) ， P Pi1 Pi1
x
2x
x i
2x
忽 略 截 断 误 差 O(x) 忽 略 截 断 误 差 O(x) 忽 略 截 断 误 差 O (x2)
2
（1）离散空间：把所研究的空间划分成某种类型的网格， 大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通 常采用矩形网格（正方体）。 （2）离散时间：把研究的时间域分成若干小的时间段， 在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步 长大小取决于所要解决的实际问题。
常微分方程第五章微分方程建模案例
第五章微分方程建模案例微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。
微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。
微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。
本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。
下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法：1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模型。
例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。
2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。
例如从几何观点看，曲线上某点)yy=点的导数；力学中的牛顿第二运动(x(xyy=的切线斜率即函数在该)F=，其中加速度a就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间的一定律：ma阶导数等等。
从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。
例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。
偏微分方程的离散化方法4
偏微分方程的离散化方法4偏微分方程的离散化方法4偏微分方程是描述自然现象和物理过程的重要数学工具。
离散化方法是对偏微分方程进行数值求解的一种常用方法，通过将连续的自变量离散化成一系列离散点，将偏微分方程转化为一组代数方程，从而实现通过数值计算求解偏微分方程的目的。
离散化方法有多种，本文将介绍四种常用的离散化方法：有限差分法、有限元法、谱方法和配点法。
一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是一种常用的离散化方法，它将偏微分方程中的导数项用差商逼近。
对于偏微分方程中的一阶导数项，可以使用一阶中心差分公式进行离散化：\[f'(x_i) = \frac{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{2h},\]其中$h$为离散步长。
对于二阶导数项，可以使用二阶中心差分公式：\[f''(x_i) = \frac{f(x_{i+1})-2f(x_i)+f(x_{i-1})}{h^2}.\]根据具体问题的边界条件，可以将偏微分方程离散化为一组代数方程，通过求解这组代数方程得到数值解。
二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种广泛应用于结构力学、流体力学等领域的离散化方法。
与有限差分法类似，有限元法也将偏微分方程中的导数项离散化，但是它将求解区域划分为若干个小区域，称为有限元。
每个有限元内部的离散点称为节点，假设在每个有限元内，问题的解可以用一个简单的多项式逼近，如线性多项式或二次多项式。
在每个有限元内，偏微分方程的解用这些节点的函数值进行近似，通过确定节点上的函数值可以得到整个求解区域上的数值解。
三、谱方法（Spectral Method）谱方法是一种基于函数空间变换的离散化方法，它可以达到很高的精度。
谱方法基于傅里叶分析的思想，使用特定选择的基函数进行近似。
对于一维偏微分方程，可以使用傅立叶级数或切比雪夫多项式作为基函数。
偏微分方程知识点总结
偏微分方程知识点总结1. 什么是偏微分方程？偏微分方程是描述多个自变量和它们的偏导数之间关系的方程。
它在数学和物理学中起着重要的作用，并被广泛应用于各个领域。
2. 偏微分方程的分类偏微分方程可以分为几个主要的类型，包括：- 椭圆型方程：以拉普拉斯方程为代表，通常用于描述稳定的分布或调和情况。
- 抛物型方程：以热方程和扩散方程为代表，通常用于描述物质传导或扩散过程。
- 双曲型方程：以波动方程为代表，通常用于描述波动或振动的传播过程。
3. 常见的偏微分方程以下是几个常见的偏微分方程：- 热方程（Heat Equation）：用于描述温度在空间和时间中的传导过程。
- 波动方程（Wave Equation）：用于描述波动的传播过程，如声波、光波等。
- 扩散方程（Diffusion Equation）：用于描述物质在空间中的扩散过程。
- 广义拉普拉斯方程（Generalized Laplace Equation）：用于描述稳定的分布情况，例如电势分布。
4. 解偏微分方程的方法解偏微分方程的方法有多种，常见的方法包括：- 分离变量法：将方程中的未知函数表示为多个独立变量的乘积形式，从而将偏微分方程转化为一组常微分方程。
- 特征线法：根据偏微分方程的特征曲线，将方程转化为常微分方程，并通过求解常微分方程得到解析解。
- 有限差分法：将偏微分方程中的偏导数用差商近似表示，将区域离散化为一个个小区域，利用差分方程逐步逼近解析解。
- 有限元法：将区域划分为有限个子区域，通过对子区域进行逼近，得到整个区域的近似解。
5. 偏微分方程在实际应用中的重要性偏微分方程在各个领域中都有着广泛的应用，如：- 物理学：用于描述波动、传热、扩散等物理现象。
- 工程学：用于解决结构强度、热传导、流体力学等工程问题。
- 经济学：用于建立经济模型，描述经济增长、分配等问题。
- 生物学：用于研究生物传输、生物过程等生命科学问题。
以上是我对偏微分方程的知识点进行的简要总结，请您参考。
数学学中的偏微分方程理论研究
数学学中的偏微分方程理论研究第一章引言数学学中的偏微分方程理论研究是数学领域的一个重要分支。
它涉及到了数学中的多个方面，如实数、复数理论、微积分学、概率论，统计学等等。
因此，它深刻地影响了数学学科的发展，并成为许多科学，工学和工程领域的基础原理。
在本文中，我将深入探讨偏微分方程理论研究中涉及的一些重要概念和技术。
第二章偏微分方程的定义和概述在数学中，“偏微分方程”描述了一个或多个未知函数的微分方程，这些未知函数与多个自变量（或称自变量）有关。
偏微分方程可以用于描述各种形式的自然现象和工程问题。
例如，波动，传输和量子现象等。
偏微分方程可以形式化地表示为：F(x1, x2, ..., xn, u, ∂u/∂x1, ∂u/∂x2, ..., ∂²u/∂x₁², ∂²u/∂x₂², ...,∂²u/∂x₁∂x₂, ..., ∂ⁿu/∂xnⁿ) = 0其中，u是未知函数，x1、x2、、、xn是自变量。
偏微分方程中还包含u的偏导数的各种组合，我们称其为偏微分项。
F是已知函数，我们称其为方程左边的函数。
解决偏微分方程的目标是找到函数u的表达式。
这个过程依赖于偏微分方程类型的具体形式，同时也需要其他辅助信息，例如初始条件和边界条件等。
第三章偏微分方程的类型偏微分方程被划分为许多不同类型，每种类型都具有其特殊性质和解决方法。
这里我将简单介绍偏微分方程的一些基本类型。
线性偏微分方程线性偏微分方程是指方程的所有偏导数项的系数都是线性的，即它们只有乘数关系。
非线性偏微分方程非线性偏微分方程是指方程的一个或多个偏导数项的系数是非线性的。
椭圆偏微分方程椭圆偏微分方程通常以二阶齐次形式出现，它们的解决方式需要使用解析或数值技术。
双曲线偏微分方程双曲线偏微分方程也是二阶偏微分方程，但是它们的部分导数的系数都有相反的符号。
抛物线偏微分方程抛物线偏微分方程通常以一阶或二阶偏导数的形式出现，是空间上的时间依赖型偏微分方程。
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2013届毕业生外文文献翻译学院理学院专业数学与应用数学姓名孟文静学号201101210511指导教师张兆忠第五章 离散偏微分方程5.1 介绍有多种方法求得的偏微分方程的数值解，然而本质上这些都涉及到构建一些近似值或获得求解的方程组的近似值，得到近似的离散系统的解决方案。
这个过程通常有两个部分。
第一个涉及发展近似值的一个未知的函数，它的导数以及其他涉及使用或应用这些算法计算出所需的数值的数量。
虽然这过于简单化，但它提供了一个方便的研究技术的起点来求解偏微分方程。
离散偏微分方程的最直观直接的方法是代替部分采用有限差分近似的导数，从而构造一个泛函微分方程（FDE ）代替偏微分方程。
本质上偏微分方程的好处是被替换为一个泛函微分方程来产生一组代数方程组，原则上可以解决，以构建偏微分方程的一个近似解。
完成离散化后，构建一个合适的计算方法来解决泛函微分方程的任务，具有挑战性，的确可能影响导数如何先被离散化。
在开发一个解决偏微分方程的误差的数值方法时，需要一个数值解的质量评估。
例如，确定提出的方法是否收敛，即，是否在有限的邻域内，近似解可以尽可能接近的偏微分方程的精确解，这是开发新方法的过程的一个重要部分。
此外还有有效的计算方法和更多新的可平行性算法来检验和评估。
本章介绍了这些思路，专注于开发取代有限差异的导数的技术，还展示了在开发一个简单的数值方案的背景下如何构建的一些偏微分方程的近似解。
其他的内容将在后面章节介绍。
5.2 在实数域上构建有限差分近似对一个函数的导数f 的差分近似的建设可以直接找到多项式，使该多项式插值f 在指定的一列点上，0,...,n x x 。
考虑使用二次多项式()122012,p x a a x a x =++ ()5.1差值f 在点01,,x x 和2x ，即，使用局部坐标系，让10,i i x x h +==和22i x h +=，然后()20120i i i f x a a x a x a =++= ()5.2()22101121012i i i f x a a x a x a a h a h +++=++=++ ()5.3()()()22201222012=22i i i f x a a x a x a a h a h +++++=++ ()5.4 这个含三个未知数的三个方程可化为 ()()00i a f x f == ()5.5()()()()()()21143243022i i i f x f x f x f h f h f a h h++-+--+-== ()5.6 ()()()()()()21222222022i i i f x f x f x f h f h f a h h ++-+-+== ()5.7 解得,1,2,3i a i =，得到()f x 的差值多项式()5.1。
为了得到导数的近似值，对()5.1求导()122,f x a a x '=+ ()5.8然后在0i x =（局部坐标系）计算该表达式，得()()()()21432i i i f x f x f x f x h++-+-'= . ()5.9 该方法构建方便，但无法说明近似误差，然而，而一阶导数f 的有限差分近似值可以使用第二章描述的的一些标准方法获得，在这些近似值中得到一个理想的误差是必要的。
5.3 截断误差关于点x ，f 是足够光滑的，则f 的泰勒级数展开式可以表示为()()()()223323...2!3!d h d h d f x h f x h f x f x dx dx dx+=++++ ()5.10 把()5.10右侧的函数()f x 移到()5.10的左侧，然后除以h ，可得标准差商（用来定义f 的导数），即，()()()()()23223...2!3!f x h f x df x d f x d f x h h h dx dx dx ⎧⎫+-⎪⎪=+++⎨⎬⎪⎪⎩⎭()5.11 令0h →，大括号里的项消失，由()1.26介绍的导数定义得()()()f x h f x f x h+-'≈ ()5.12 考虑对于任意固定值h ，用差商()()()/f x h f x h +-代替()f x '产生的误差，即，()()()()()23223=+...2!3!f x h f x d f x d f x h h f x h dx dx +-'-+ ()5.13 从()5.13的右边的项中提取f ，这个项可以视为代表一个线性算子作用于f ，即，()()22323...2!3!h d h d T f f x dx dx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()5.14 代表构造出了微分算子D /f df dx =和近似线性算子()()()/h D f f x h f x h =+-之间的误差。
误差()T f 或T 在()5.14作为截断误差被求出，并且一般来说当函数ϕ足够光滑时，通过一个离散的线性算子h L ，截断误差被定义为代表线性算子L 中的误差。
因此，定义5.1. （截断误差）让h L 是一个到线性微分算子L 定义的有最大值h 的邻域上离散逼近；如果存在常数0,0C p >>和00h >那么()(),p h T L L Ch ϕϕ=-≤ m C ϕ∀∈并且0,h h ∀<那么h L 就有一个()p O h 的截断误差。
一个离散逼近到一个有()p O h 的截断误差的线性算子，称为命令p 。
此外，这个近似值可被称为p 阶精度。
例如，在()5.13中对任意光滑的f 和充分小的h ，()5.13最右侧的项被右侧绝对值中的首项所支配，即，()0lim ,2h f T f h →''= ()5.15 （因为封闭，有界域f 和它的所有导数是连续有界的）因此，截断误差()T f ，当变量h 无限趋近于零时，可由()5.12给出的方法定义()O h 的收敛。
为得到一个有效的截断误差时，发现对任何固定值h ，值()T f 在()5.13中不线性依赖h 。
这个行为只能在h 足够小时实现，即，当()43/6...h f +远远小于/2hf ''时。
的确，这种行为在对f '计算近似值时不会数据性观察，若函数f 的二阶导数在有效范围内比其他阶导数远远小时，即，当()()()0,n f x f x ''< 2n > ()5.165.4 用特勒多项式构建导数在点x 附近再次考虑f 的泰勒级数，即，()()()()()()()2344...2!3!4!h h h f x h f x hf x f x f x f x ''''''+=+++++ ()5.17 已经表明，可以为f '重新安排以提供一个前向差分近似，即，()()()()()()()2344...2!3!4!f x h f x h h h f x f x f x f x h +-''''''=---+ ()5.18由命令h 的截断误差得到()f x '的一个前向差分近似公式()()()()+f x h f x f x O h h+-'= ()5.19 同样的，在-h 方向上的点x 周围可扩展f 的泰勒级数()()()()()23...2!3!h h f x h f x hf x f x f x ''''''-=-+-+ ()5.20 获得所谓的在点x 的f '向后差分近似，()()()()+f x f x h f x O h h--'= ()5.21 ()5.17减()5.20得()()()()30202...3!h f x h f x h hf x f x ''''+--=++++ ()5.22 求解()f x '得中心差分近似()()()()2+2f x h f x h f x O h h+--'= ()5.23 只使用f 的两个点计算得到三个不同的离散表达式，像()5.19，()5.21和()5.23表示的一样通过扩展f 的泰勒多项式得f 的一阶导数。
前两个式子，向前差分和向后差分，在计算模板中涉及使用两点，并且有截断误差()O h 。
中心差分近似仅使用关于点x 的点x h -和+x h 的中点，实际上使用了三个点，然而点()f x 因为它的系数为零而在式子中消失。
表明中心差分近似在()5.23中为二阶精度，并且精确度的提高来自于向前和向后泰勒级数相加后偶数项的抵销。
这个近似值可以看做向前和向后差分近似的平均值，即，()()()()()()21+2f x h f x f x f x h f x O h h h +---⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭()5.24 一般来说这个结果是正确的，即，向前和向后差分没有相应的中心差分精确。
当然如果是这种情况，这个问题不必麻烦的使用片面的差分。
答案更依赖于构建解决偏微分方程的问题，而不是只通过检验对一些方程的导数构建离散近似值这种狭窄问题来回答。
对数值导数的构建不是唯一的，并且虽然中心差分近似的精度可能比相应的向前或向后差分近似值大，但是构建构建向前和向后差分近似可能需要一些截断误差，所以某种程度上，在这些近似值之间最根本的区别是定向的偏差，即，当评估导数时，向前或向后差分或没有差分被介绍。
例5.1. 求解f '的向前近似差分，其中f '是二阶精度。
解： 考虑关于点x 的在点x ，x h +和2x h +的f 的泰勒级数展开式，那么()()()()()23 (26)h h f x h f x hf x f x f x ''''''+=++++, 和()()()()()234822 (26)h h f x h f x hf x f x f x ''''''+=++++ 结果，计算()()()432,f x h f x f x h +--+()()()()()344322 (6)h f x h f x f x h hf x f x ''''+--+=-- 通过划分2h 并重新安排，得()()()()()2243...,23f x h f x h f x h f x f x h -+++-''''=-- 即()()()()243.2f x h f x h f x f x h-+++-'≈ 如果f 的导数在()5.25中使用的近似值x 的一个邻域内有界，例如如果f C ∞∈，那么f 的所有导数可能也有界，并且h 充分小，存在0C >那么()()22/3.../3,T f h f Ch '''=+≤即()()2=T f O h在一个统一领域内，例题5.1中的向前差分近似的二阶导数可写为()2143.2k k k f f f f x h++-+-'≈ ()5.25 ()k k f f x ≡是f 的节点值，即，f 的值均匀的分布在间隔点,0,...,.k x k n =上。