2019徐汇数学一模
2019年上海初三所有区一模数学压轴题详解
25题汇编1. 相似三角形的分类讨论（宝山）25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分4分）如图10，已知：梯形ABCD 中，∠ABC =90°，∠A =45°，AB ∥DC ，DC =3，AB =5，点 P 在AB 边上，以点A 为圆心AP 为半径作弧交边DC 于点E ，射线EP 与射线CB 交于点F ．（1）若，求DE 的长； （2）联结CP ，若CP=EP ，求AP 的长；（3）线段CF 上是否存在点G ，使得△ADE 与△FGE 相似，若相似，求FG 的值；若不相似，请说明理由．【答案】(1) DE =1；(2)；(3) 【解析】(1)过点A 作AG ⊥CD 交CD 的延长线于点M ……………………… … …1分梯形ABCD 中，∠ABC =90°，∠A =45°∴∠DAM =45°∵AB //CD ，AM=CD 且∠ADM =∠DAM =45°，DM=AM =2……… … …1分 ∴Rt △AEM 中，AE=AP =√13，ME =√AE 2−AG 2=3…………… ……1分 ∴DE =1 ……………………………………………………………… ……1分 (2)过点P 作PH ⊥CD ，垂足是点H∵CP=EP ∴EC =2CH ……………………………………… …… 1分 设AE=AP=x ，PB =5-x ，EC =10-2x ， BC =2∴Rt △PBC 中，PE=PC=√PB 2+BC 2=√(5−x )2+22=√x 2−10x +29 …… 1分由题意可知AE=AP ，∴∠AEP =∠APE ，∵CP=EP ，∴∠PEC =∠PCE …… …1分13AP =31310+133-PEABCDF（图10）∵AB //CD ∴∠PEC =∠APE ，∴∠PEC =∠APE 且∠PCE =∠AEP ∴△APE ∽△PCE …………………………………………………………1分∴ 即 ……………… ……1分化简得解得，（不合题意舍去） ………………………1分∴当CP=EP 时，AD 为． (3)∵△ADE 是钝角三角形，当点G 在CF 上时，∠GEF 、∠F 必是锐角，∴若△ADE ∽△FGE ，只能∠ADE =∠FGE =135°…………………………… ……1分 ∵Rt △PBF 中,∠F +∠FPB =90° 又∵∠EAP +∠APE +∠AEP =180° ∵∠FPB =∠APE ，∠APE =∠AEP ∴∠EAP =2∠F ∵AB//CD ∴∠DEA =∠EAP ∴∠DEA =2∠F∴必有∠DAE =∠F …………………………………………………………… …… …1分 ∴∠EAP =2∠DAE ∴∠EAP =30°，∠F=∠DAE =15°∴AE=AP =2AM =4，PB =1，EM =，CG=CE=……………… ………1分 ∴EG=∵△ADE ∽△FGE∴∴FG=………………………………1分 ∴当FG =时，△ADE ∽△FGE ．ECEPEP AP =x x x x x x2102910291022-+-=+-0292032=+-x x 313101+=x 313-102=x 31310+3232-56225-FGADEG DE =133-133-（奉贤）25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）如图11，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB =90°，AD =4，26AB CD ==，E 是边BC 上一点，过点D 、E 分别作BC 、CD 的平行线交于点F ，联结AF 并延长，与射线DC 交于点G ． （1）当点G 与点C 重合时，求:CE BE 的值；（2）当点G 在边CD 上时，设CE m =，求△DFG 的面积；（用含m 的代数式表示） （3）当AFD ∆∽ADG ∆时，求∠DAG 的余弦值．【答案】(1) :1CE BE；(2)26255DFGm S m∆=-；(3) 3cos 5DAG ∠= 【解析】（1）∵CD ∥EF ，DF ∥CE ，∴四边形DFEC 是平行四边形． ······················································ （1分） ∴EF=DC ． ················································································ （1分） ∵26AB CD ==，∴3CD EF ==．∵AB ∥CD ，∴AB ∥EF ． ∵点G 与点C 重合，∴12EF CE AB BC ==．∴:1CE BE ． ····················· （2分） （2）过点C 作CQ ∥AG ，交AB 于点Q ，交EF 于点P ． 过点C 作CM ⊥AB ，交AB 于点M ，交EF 于点N ． 在Rt △BCM 中，90CMB ，4CM AD ==，3BM AB CD =-=，∴5BC =．∵AB ∥EF ∥CD ，∴GC=PF =AQ ． ∴EP CEBQ BC =．又3EF =，∴365GC m CG -=-． ∴1565mGC m-=-．········································································ （2分） ∴35mDG DC GC m=-=-． ····························································· （1分）∵NE ∥MB ，∴CN CECM BC=． 又4CM AD ==，∴45CN m =，45mCN =． ········································ （1分） 图11ABC D FEG 备用图ABCD∴2113462254255DFGm m m S DG CN m m∆=••=••=--． ································· （1分） （3）当AFD ∆∽ADG ∆时，∵∠DAB =90°，∴ADG ∆是直角三角形，∴AFD ∆也是直角三角形． ∵90DAF ，90FDA ，∴90DFA． ····························· （1分） ∵90FADADF，90FDC ADF，∴FAD FDC ．∵AB ∥EF ，∴BCEF ．∵四边形DFEC 是平行四边形，∴FDC CEF ．∴BFDC FAD ． ······························································ （1分） 在Rt △BCM 中， 90CMB ，3BM AB CD =-=，5BC =，∴3cos 5BM B BC ==． ········································································ （2分） ∴3cos 5DAG ∠=． ·········································································· （1分）（嘉定）25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）在矩形ABCD 中，6=AB ，8=AD ，点E 是边AD 上一点，EC EM ⊥交AB 于点M ，点N 在射线MB 上，且AE 是AM 和AN 的比例中项. （1）如图8，求证：DCE ANE ∠=∠；（2）如图9，当点N 在线段MB 之间，联结AC ，且AC 与NE 互相垂直，求MN 的长； （3）联结AC ，如果△AEC 与以点E 、M 、N 为顶点所组成的三角形相似，求DE 的长．【答案】(1) 略；(2) 2449=MN ；(3) 29或3【解析】（1）证明：∵AE 是AM 和AN 的比例中项∴ANAEAE AM =……………………1分 ∵A A ∠=∠∴△AME ∽△AEN ∴ANE AEM ∠=∠……………………1分 ∵︒=∠90D ∴︒=∠+∠90DEC DCE ∵EC EM ⊥∴︒=∠+∠90DEC AEM ∴DCE AEM ∠=∠……………………1分 ∴DCE ANE ∠=∠ ………1分（2）∵AC 与NE 互相垂直∴︒=∠+∠90AEN EAC ∵︒=∠90BAC ∴︒=∠+∠90AEN ANE ∴EAC ANE ∠=∠ 由（1）得DCE ANE ∠=∠ ∴EAC DCE ∠=∠ ∴DAC DCE ∠=∠tan tan∴ADDCDC DE =……………………1分 ∵6==AB DC , 8=AD , ∴29=DE∴27298=-=AE ……………………1分A 图8BMEDCNA备用图BDCM ENA 图9BDC由（1）得DCE AEM ∠=∠ ∴DCE AEM ∠=∠tan tan ∴DCDEAE AM =∴821=AM ……………………1分 ∵AN AE AE AM = ∴314=AN ……………………1分 ∴2449=MN ……………………1分（3）∵AEM MAE NME ∠+∠=∠,DCE D AEC ∠+∠=∠又︒=∠=∠90D MAE ,由（1）得DCE AEM ∠=∠∴ NME AEC ∠=∠ …………………………1分 当△AEC 与以点E 、M 、N 为顶点所组成的三角形相似时 1）EAC ENM ∠=∠，如图9 ∴EAC ANE ∠=∠ 由（2）得：29=DE ……………………2分 2）ECA ENM ∠=∠，如图10 过点E 作AC EH ⊥，垂足为点H由（1）得DCE ANE ∠=∠ ∴DCE ECA ∠=∠ ∴DE HE =又86tan ===∠AD DC AH HE HAE 设x DE 3=，则x HE 3=，x AH 4=，x AE 5= 又AD DE AE =+ ∴835=+x x ，解得1=x∴33==x DE ……………………2分综上所述，DE 的长分别为29或3．A 图10B MEDCNH25（青浦）．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，BC =18，DB =DC =15，点E 、F 分别在线段BD 、CD 上，DE =DF =5． AE 的延长线交边BC 于点G ， AF 交BD 于点N 、其延长线交BC 的延长线于点H ． （1）求证：BG =CH ；（2）设AD =x ，△ADN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结FG ，当△HFG 与△ADN 相似时，求AD 的长．【答案】(1) 略；(2)()22096x y x x =<≤+；(3) 3或2 【解析】（1）∵AD//BC ，∴=AD DE BG EB ，=AD DFCH FC． ····················································· （2分） ∵DB =DC =15，DE =DF =5， ∴12==DE DF EB FC ，∴=AD ADBG CH． ············································· （1分） ∴BG ＝CH ． ············································································ （1分） （2）过点D 作DP ⊥BC ，过点N 作NQ ⊥AD ，垂足分别为点P 、Q ．∵DB =DC =15，BC =18，∴BP = CP =9，DP =12． ······························ （1分）∵12==AD DE BG EB ，∴BG = CH =2x ，∴BH =18+2x ． ·························· （1分） ∵AD ∥BC ，∴=AD DN BH NB ，∴182=+x DN x NB ，∴182+15==++x DN DNx x NB DN ， ∴56=+xDN x ． ······································································ （1分）∵AD ∥BC ，∴∠ADN =∠DBC ，∴sin ∠ADN =sin ∠DBC ， ∴=NQ PD DN BD ，∴46=+xNQ x ． ················································· （1分） NHG FEDC AB （第25题图）∴()21142092266=⋅=⋅=<≤++x x y AD NQ x x x x ．························· （2分） （3）∵AD ∥BC ，∴∠DAN =∠FHG ．（i ）当∠ADN =∠FGH 时，∵∠ADN =∠DBC ，∴∠DBC =∠FGH ，∴BD ∥FG ， ············································································ （1分） ∴=BG DF BC DC ，∴51815=BG ，∴BG =6，∴AD =3．·························· （1分） （ii ）当∠ADN =∠GFH 时， ∵∠ADN =∠DBC=∠DCB ， 又∵∠AND =∠FGH ，∴△ADN ∽△FCG ． ································································· （1分） ∴=AD FC DN CG ，∴()5182106⋅-=⋅+xx x x ，整理得23290--=x x ，解得 =x =x ． ································· （1分）综上所述，当△HFG 与△ADN 相似时，AD 的长为3（长宁）25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）已知锐角MBN ∠的余弦值为53，点C 在射线BN 上，25=BC ，点A 在MBN ∠的内部， 且︒=∠90BAC ，MBN BCA ∠=∠．过点A 的直线DE 分别交射线BM 、射线BN 于点D 、E ． 点F 在线段BE 上（点F 不与点B 重合），且MBN EAF ∠=∠． （1）如图1，当BN AF ⊥时，求EF 的长；（2）如图2，当点E 在线段BC 上时，设x BF =，y BD =，求y 关于x 的函数解析式并写出函数定义域；（3）联结DF ，当ADF ∆与ACE ∆相似时，请直接写出BD 的长．【答案】(1) 16=EF ；(2)157400x y -=（2250≤<x ）；(3) 596或 1172000【解析】（1）∵在 BAC Rt ∆中 ︒=∠90BAC∴53cos cos ==∠=∠BC AC MBN BCA ∵25=BC ∴15=AC2022=-=AC BC AB∵AF BC AC AB S ABC ⋅=⋅=∆2121 ∴12=AF ∵BC AF ⊥ ∴︒=∠90AFC ∴ 34tan tan ==∠=∠AF EF BCA FAE ∴16=EF （2）过点A 作EF AH ⊥于点H ∴ ︒=∠90AHB ∴ 1622=-=AH AB BH∵x BF =，x FH -=16，x FC -=25第25题图如图2BF EC N DA MB FC E N AD M如图1备用图BC NAM∴ 40032)16(122222+-=-+=x x x AF ∵ BCA MBN ∠=∠，EAF MBN ∠=∠∴BCA EAF ∠=∠ 又∵CFA AFE ∠=∠ ∴AFE ∆∽CFA ∆ ∴AFEFCF AF =，FAC AEF ∠=∠， ∴EF FC AF ⋅=2∴EF x x x ⋅-=+-)25(400322∴xx x EF -+-=25400322，xxx x x x BF EF BE --=+-+-=+=25740025400322∵ ACB MBN ∠=∠，FAC AEF ∠=∠，∴BDE ∆∽CFA ∆∴ACBEFC BD =∴1525740025x x x y --=- ∴157400x y -=（2250≤<x ）（3）596或 11720002. 等腰三角形的分类讨论（虹口）25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，AB =6，BC =10，点E 为边AD 上一点，将△ABE 沿BE 翻折，点A 落在对角线BD 上的点G 处，联结EG 并延长交射线BC 于点F ． （1）如果cos ∠DBC =23，求EF 的长；（2）当点F 在边BC 上时，联结AG ，设AD=x ，ABG BEF S y S ∆∆= ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结CG ，如果△FCG 是等腰三角形，求AD 的长．【答案】(1) 9；(2)2236x y x =+（92x ≥）；(3) 454AD =或189191【解析】（1）根据题意得△ABE ≌△GBE ∴BG=AB=6在Rt △BGF 中，BF = 9cos BGDBC=∠ …………………………………………（2分）由△ABE ≌△GBE得∠AEB =∠BEG ∵AD ∥BC ∴∠AEB =∠EBF∴∠BEF =∠EBF∴FE=FB =9………………………………………………………………………（2分） （2）∵AD ∥BC ∴∠ADB =∠GBF 又∵∠A =∠BGF =90° ∴△ABD ∽△GFB∴AD BD BG BF =即2366x x BF+= ∴2636x BF x +=………………………………………………………………（2分）EABCFG∵AD ∥BC ∠A =90° ∴∠ABF =90° ∴∠ABG+∠GBF=90° 又∵∠GBF+∠EFB =90° ∴∠ABG =∠EFB 根据题意得AB=BG 又∵FE=FB∴AB BG FB FE =∴△ABG ∽△EFB …………………………………………………………………（1分）∴2222236()36(36)36ABG BEF S AB x x S BF x x ∆∆===++…………………………………（1分）∴2236x y x =+（92x ≥） ………………………………………………（1分，1分）（3）①点F 在BC 上 ∵∠GFC =∠AEG >90°∵△FCG 是等腰三角形 ∴FG=FC 设FG=FC=a ，则BF=10-a由题意得a 2+62=（10-a ）2 解得165a =∵∠ADB=∠GBF ∴tan ∠ADB = tan ∠GBF即16656AD = 解得454AD = ………………………………………………（2分）②点F 在BC 的延长线上 ∵∠GCF >∠DCF >90°∵△FCG 是等腰三角形 ∴CG=CF∴易得在Rt △BGF 中，BC=CF =10∴FG =∵∠ADB=∠GBF ∴tan ∠ADB = tan ∠GBF即6AD =解得AD =…………………………………………（2分）综合①②，454AD =（黄浦）25．（本题满分14分）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3BC =，4AC =，点O 是AB 的中点，点D 是边AC 上一点，DE BD ⊥，交BC 的延长线于点E ，OD DF ⊥，交BC 边于点F ，过点E 作EG AB ⊥，垂足为点G ，EG 分别交BD 、DF 、DC 于点M 、N 、H .（1）求证：DE NEDB OB=； （2）设CD x =，NE y =，求y 关于x 的函数关系式及其定义域； （3）当DEF ∆是以DE 为腰的等腰三角形时，求线段CD 的长.【答案】(1) 略；(2)；(3) 或【解析】（1）证明：∵，，，，.------------------------------------------------------------------------------------------（1分），，，又，∴，-------------------------------------------------------------------------------------（1分） ∽，---------------------------------------------------------------------------------------（1分）.---------------------------------------------------------------------------------------------------（1分） （2），在Rt 中，tan DEDBE BD∠=，在Rt 中，tan DC DBE BC ∠=，.----------------------------------------------------（1分） 又，.--------------------------------------------------------------------------------（1分）∵，，，，，.-------------（2分） （3）∵，，，∵，90ADO FDC ∴∠+∠=︒， ∵90ACB ∠=︒，90CFD FDC ∴∠+∠=︒，ADO CFD ∴∠=∠，∽.---（1分） ()5026y x x ∴=<≤7843OD DF ⊥90ODB BDF ∴∠+∠=︒DE BD ⊥90EDF BDF ∴∠+∠=︒ODB EDF ∴∠=∠DE BD ⊥EG AB ⊥90BGM EDM ∴∠=∠=︒GMB DME ∠=∠GBM DEM ∠=∠∴NDE ∆ODB ∆DE NEDB OB∴=90BDE BCD ∠=∠=︒BDE ∆BCD ∆DE DC DB BC ∴=DE NEDB OB =NE DC OB BC∴=3BC =4AC =CD x =NE y =532y x∴=()5026y x x ∴=<≤EG AB ⊥90ACB ∠=︒GEB A ∴∠=∠OD DF ⊥∴AOD ∆ENF ∆ABCDOEF HGM N（第25题图），∵∽，，，.------------（1分）若，，90AOD DNF ∴∠=∠=︒，，∴.-----（2分） 若，∴点H 是重心，.∵tan tan CEH A ∠=∠，，，，，.-----------------------（2分）综上所述，线段CD 的长为或.（徐汇）25. （本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知：在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，54cos =∠ACB ，点E 在对角线AC 上(不与点A 、C 重合)，EDC ACB ∠=∠，DE 的延长线与射线CB 交于点F ，设AD 的长为x ． （1）如图1，当DF BC ⊥时，求AD 的长；（2）设EC 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域； （3）当△DFC 是等腰三角形时，求AD 的长．【答案】(1) 72AD =；(2)21610010x x y -+=(016x <<且10)x ≠；(3) 3964或.【解析】（1）过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，∵=CH AHC ACB AC ∆∠在Rt 中，cos ，且4=,105ACB AC ∠=cos ，∴8CH =． ∵222AHC AH CH AC ∆+=在Rt 中，，∴6AH = ……………………………（1分） ∴34AHC ACB ∆∠在Rt 中，tan =，∵AD ∥,,BC DF BC AH BC ⊥⊥且， ∴90AHF HFD DFH ∠=∠=∠=︒，∴四边形AHFD 是矩形，∴6DF AH ==AO OD EN NF ∴=NDE ∆ODB ∆BO ODEN ND∴=AO BO =NF ND ∴=DE EF =NE DF ∴⊥OA AC AD AB ∴=78CD =DE DF =1133HC CD x ==HC BCCE AC∴=49CE x ∴=tan tan CDE DBE ∠=∠CE DC DC BC ∴=43CD ∴=7843（第25题图1）（第25题图）CBB∵,CFDFC DEC EDC ACB DF∆∠∠=∠在Rt 中，tan =且…………………………（1分） ∴39tan ,42CF ACB CF DF =∠==得： ……………………………………………（1分） ∴97822AD HF ==-= ……………………………………………………………（1分）（2）∵AD ∥BC ,∴DAC ACB ∠=∠． ∵EDC ACB ∠=∠,∴EDC DAC ∠=∠．∵ACD ACD ∠=∠,∴CAD ∽CDE ………………………………………（1分） ∴CA CDCD CE=, ∵10,AC EC y ==,∴210CD CA CE y =⋅= …………………………………（1分） ∵222226(8)DFC CD DF FC x ∆=+=+-在Rt 中，∴221610010(8)36,10x x y x y -+=-+=即(016x <<且10)x ≠ ……………（2分）（3）由EDC ACB ∠=∠，EFC EFC ∠=∠得：FCE ∆∽FDC ∆， 又AD ∥BC 有FCE ∆∽DAE ∆，∴DAE ∆∽FDC ∆∴当FDC ∆是等腰三角形时，DAE ∆也是等腰三角形 ………………………（1分）∴1,DA DE ︒=当时不存在； ………………………………………………………（1分）2,10AD AE x y ︒==-当时得：120(),6x x ==解得：舍……………………………………………………………（2分）3,sin AMEA ED AME MAE ACB AE︒=∆∠=∠当时在Rt 中由=sin 12143920(),1054xx x y ===-得：，解得：舍………………………………………（2分）∴综上所述，当DFC ∆是等腰三角形时，AD 的长是3964或.3. 直角三角形存在性分类讨论 （静安）25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知：如图11，在ABC ∆中，6AB =，9AC =，tan 22ABC ∠=．过点B 作BM //AC ，动点P 在射线BM 上（点P 不与点B 重合），联结PA 并延长到点Q ，使AQC ABP ∠=∠． （1）求ABC ∆的面积；（2）设BP x =，AQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； （3）联结PC ，如果PQC ∆是直角三角形，求BP 的长．【答案】(1) 略；(2)；(3) 或【解析】（1）过点A 作AH ⊥BC ，交BC 于点H ． ············· （1分）在Rt ABH ∆中，tan 22AHABC BH∠==． 设22,AH x BH x ==,由勾股定理得36AB x ==．∴2,42BH x AH === ····················· （1分） 在Rt AHC ∆中，∴22229(42)7HC AC AH =-=-=,∴279BC BH HC =+=+=, ·················· （1分） ∴1194218222ABC S BC AH ∆=⋅=⨯⨯=．…………………（1分） (2) 过点A 作AG ⊥BM ，交BM 于点G ． ∵AC BC =, ∴CAB CBA ∠=∠ ∵BM //AC , ∴ABP CAB ∠=∠∴ABP CBA ∠=∠∴42AG AH ==,即2BG BH ==………（1分） ∴2PG x =- 在Rt AGP ∆中，22222(42)(2)436AP AG PG x x x =+=+-=-+（1分）∵BAQ BAC CAQ ∠=∠+∠,BAQ ABP APB ∠=∠+∠,∴APB CAQ ∠=∠又AQC ABP ∠=∠ ················ （1分）()5026y x x ∴=<≤7843 图11ABCPQM第25题ABCPQM GH∴ABP ∆∽CQA ∆ ∴AP BPAC AQ=∴9x y=, 即0)y x => ·········· （2分）(3) 由题意得PQ AP AQ =+=2=由ABP ∆∽CQA ∆得AB APCQ AC= 得 CQ = ········ （1分）如果PCQ ∆是直角三角形，又90AQC ABP ∠=∠≠，故只有两种可能：……（1分） ①90PCQ ∠=，则1cos 3CQ AQC PQ ∠==，即3PQ CQ =， 23=，解得129,14x x ==-（舍）； （2分）②90CPQ ∠=，则1cos 3PQ AQC CQ ∠==，即3CQ PQ =， 23=（1分）综上所述，如果PCQ ∆是直角三角形，BP 的长为9．4. 其他求线段长或线段之比 （闵 行）25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分、第（2）、（3）小题各5分）如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = CD ，AD = 5，BC = 15，5cos 13ABC ∠=．E 为射线CD 上任意一点，过点A 作AF // BE ，与射线CD 相交于点F ．联结BF ，与直线AD 相交于点G ．设CE = x ，AGy DG=． （1）求AB 的长；（2）当点G 在线段AD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果23ABEF ABCDS S =四边形四边形，求线段CE 的长．【答案】(1) AB = 13；(2)3923x y x -=（3902x <<）；(3) 136522CE =或【解析】（1）分别过点A 、D 作AM ⊥BC 、DN ⊥BC ，垂足为点M 、N ．∵ AD // BC ，AB = CD ，AD = 5，BC = 15，∴ 11()(155)522BM BC AD =-=-=．……………………………（2分）在Rt △ABM 中，∠AMB = 90°，∴ 55cos 13BM ABM AB AB ∠===． ∴ AB = 13．……………………………………………………………（2分） （2）∵AG y DG =，∴ 1AG DGy DG+=+．即得 51DG y =+．………（1分） ∵ ∠AFD =∠BEC ，∠ADF =∠C ．∴ △ADF ∽△BCE ． ∴51153FD AD EC BC ===．……………………………………………（1分） 又∵ CE = x ，13FD x =，AB = CD = 13．即得 1133FC x =+．ABCDEFG（第25题图）ABCD（备用图）∵ AD // BC ，∴ FD DGFC BC =．∴ 5113115133x y x +=+．……………（1分） ∴ 3923xy x-=． ∴ 所求函数的解析式为3923x y x -=，函数定义域为3902x <<．（2分） （3）在Rt △ABM 中，利用勾股定理，得12AM =．∴ 11()(515)1212022ABCD S AD BC AM =+⋅=+⨯=梯形．∵23ABEF ABCDS S =四边形四边形，∴ 80ABEF S =四边形． …………………………（1分） 设ADFS S =．由 △ADF ∽△BCE ，13FD EC =，得 9BECS S =．过点E 作EH ⊥BC ，垂足为点H ． 由题意，本题有两种情况：（ⅰ）如果点G 在边AD 上，则 840ABCD ABEF S S S -==四边形四边形．∴ S = 5．∴ 945BECS S ==．∴ 11154522BECSBC EH EH =⋅=⨯⋅=．∴ 6EH =． 由 DN ⊥BC ，EH ⊥BC ，易得 EH // DN ． ∴61122CE EH CD DN ===． 又 CD = AB = 13，∴ 132CE =．…………………………………（2分） （ⅱ）如果点G 在边DA 的延长线上，则 9ADFABCD ABEF S S SS ++=四边形四边形．∴ 8200S =．解得 25S =．∴ 9225BECS S ==．∴ 111522522BECS BC EH EH =⋅=⨯⋅=．解得 30EH =． ∴305122CE EH CD DN ===．∴ 652CE =．……………………………（2分） ∴ 136522CE =或．（松江）25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，P 是边AC 上一动点，BP 与CD 相交于点E ． （1）如果BC =6，AC =8，且P 为AC 的中点，求线段BE 的长； （2）联结PD ，如果PD ⊥AB ，且CE =2，ED =3，求cosA 的值； （3）联结PD ，如果222BP CD =，且CE =2，ED =3，求线段PD 的长．【答案】(1) 241333BE BP ==；(2)6cos 3A =；(3) 15=PD 【解析】（1）∵P 为AC 的中点，AC =8，∴CP =4……………………………（1分）∵∠ACB =90°，BC =6，∴BP =213……………………………………………（1分） ∵D 是边AB 的中点，P 为AC 的中点，∴点E 是△ABC 的重心……………（1分） ∴241333BE BP ==…………………………………………………………（1分） （2）过点B 作BF ∥CA 交CD 的延长线于点F ………………………………（1分） ∴CABFDC FD DA BD ==………………………………（1分） ∵BD=DA ，∴FD=DC ，BF=AC …………………（1分） ∵CE=2，ED=3，则CD =5，∴EF =8∴4182===EF CE BF CP …………………………（1分） ∴41=CA CP ，∴13CP PA =，设CP=k ，则P A=3k ，∵PD ⊥AB ，D 是边AB 的中点，∴P A=PB=3k∴k BC 22=，∴k AB 62=，∵k AC 4=，∴6cos 3A =…………（1分） （3）∵∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，∴12CD BD AB ==∵222BP CD =，∴22BP CD CD BD AB =⋅=⋅……………（1分）（备用图2）ABCD（备用图1）ABCD（第25题图）ABPC DEPE （备用图ABCD F∵∠PBD=∠ABP ，∴△PBD ∽△ABP …………………………（1分） ∴∠BPD=∠A ……………………………………………………（1分） ∵∠A=∠DCA ，∴∠DPE=∠DCP ，∵∠PDE=∠CDP ，△DPE ∽△DCP ，∴DC DE PD ⋅=2…………………………（1分） ∵DE=3,DC=5，∴15=PD …………………………………（1分）（普陀）25．（本题满分14分）如图11，点O 在线段AB 上，22AO OB a ==，60BOP ∠=︒，点C 是射线OP 上的一个动点． （1）如图11①，当90ACB ∠=︒，2OC =，求a 的值；（2）如图11②，当AC =AB 时，求OC 的长（用含a 的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A 作AQ ∥BC ，并使∠QOC=∠B ，求:AQ OQ 的值．【答案】(1) 1334a +=；(2)6OC a a =-+；(3) 165AQ OQ +=【解析】（1）过点C 作CH AB ⊥，H 为垂足． ············································· （1分）∴90CHO CHB ∠=∠=．在Rt △COH 中，60COB ∠=，2OC =．∴1OH =，3CH =． ································································ （1分） ∵22AO OB a ==， ∴21AH a =+，1BH a =-．∵90ACB ∠=，∴90ACH HCB ∠+∠=．A BCPOABCPO图11①图11②∵CH AB ⊥，∴90ACH A ∠+∠=． ∴A HCB ∠=∠．∵90CHA BHC ∠=∠=︒，∴△ACH ∽△CBH ． ·································································· （1分） ∴AH CHCH BH=． ∴2CH AH BH =⋅．∴2(21)(1)a a =+⋅-． ···························································· （1分）∴a =，a =．∴14a =． ············································································ （1分）（2）过点C 作CH AB ⊥，H 为垂足．设OC m =． 在Rt △COH 中，60COB ∠=，OC m =．∴12OH m =，2CH =． ·························································· （2分） 在Rt △ACH 中，90CHA ∠=︒， ∴222AC AH CH =+．∴2221(3)(2)()22a a m =++． ···················································· （2分）得m a =-，m a =-（不合题意，舍去）．即OC a =-． ······································································ （1分） （3）延长QA 、CO 交于点E ． ∵AQ //BC ，∴E OCB ∠=∠．∵COA AOQ QOC ∠=∠+∠，COA OCB B ∠=∠+∠，QOC B ∠=∠， ∴AOQ OCB ∠=∠．∵QOA E ∠=∠．又∵Q Q ∠=∠，∴△QOA ∽△QEO ． ············································ （1分） ∴AQ AOOQ OE=． ············································································ （1分） ∵AQ //BC ，∴AO EO OB OC =．∴AO OBEO OC=．∴AQ OB OQ OC =． ················· （1分）。
上海市2019届初三数学一模提升题汇编第24题（二次函数综合）（含2019上海中考试题答案）
22213-3)（第24题图）题图）∵抛物线21:C y ax bx A B=+经过点、，∴可得：342033233a a b a b b ì=-+=ìïïíí-=-ïî=ïî解得：………………………………………………（1分）分）∴这条抛物线的表达式为232333y x x=-+…………………………………………（1分）分）（2）过M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ，∵232333y x x =-+∴顶点M 是31,3æöç÷ç÷èø，得33MG = ……………………………………………………（1分）分）∵(1,3)A--，M 31,3æöç÷ç÷èø．∴得：直线AM 为23333y x =- …………………………………………………（1分）分） ∴直线AM 与x 轴的交点N 为1,02æöç÷èø……………………………………………………（1分）分）∴1122AOM SON MG ON AH D =×+×11311322322=´´+´´33=…………………………………………………………………………（1分）分）（3）∵）33，1（M 、)0,2(B ，∴33MG Rt BGM MBG BG D Ð=在中，中，tan tan =，∴MBG а=30．∴MBF 150Ð=°．由抛物线的轴对称性得：MO=MB ，∴MBO MOB=150Ð=а． ∵OB=120A а，∴OM=150A а ∴OM=MBF A ÐÐ．∴BM BFOA OM 或BF BM OA OM 相似时，有：AOM 与MBF 当==D D 即332BF 2332或BF 3322332==，∴32BF 或2BF ==． ∴）0，38）或（0，4（F ………………………………………………（2分）分）设向上平移后的抛物线kx x y ++-=33233:为C 22，当）0，4（F 时，338=k ，∴抛物线33833233:为C 22++-=x x y …（1分）分）当）0，38（F 时，27316=k ，抛物线22323163:3327C y x x =-++……．（1分）】【2019届一模浦东】届一模浦东】24. （本题满分12分，其中每小题各4分）分）已知：如图9，在平面直角坐标系xOy 中，直线12y x b=-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B. 抛物线（1）求抛物线的表达式; （2）求证: △BOD ∽△AOB; （3）如果点P 在线段AB 上，且∠BCP=∠DBO ， 求点P 的坐标. xBOAy【24、（1）211482y x x =-++；（2）证明略；（3）1612,55æöç÷èø】【2019届一模杨浦】届一模杨浦】24．（本题满分12分，每小题各4分）分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++?与y 轴交于点C （0,2），它的顶点为D （1,m ），且1tan 3COD?. （1）求m 的值及抛物线的表达式；的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且OA=OB.若点A 是由原抛物线上的点E 平移所得，求点E 的坐标；的坐标；（3）在（2）的条件下，的条件下，点点P 是抛物线对称轴上的一点是抛物线对称轴上的一点（位于（位于x 轴上方），且∠APB=45°.求P 点的坐标. O xy1 2 3 4 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -1 -2 -3 （第24题图）【24．解：（1）作DH ⊥y 轴，垂足为H ，∵D （1,m ）（0m >），∴DH= m ，HO=1. ∵1tan 3COD?，∴13OH DH =，∴m=3. m=3. · ····················································· （1分）分）∴抛物线2y ax bx c =++的顶点为D （1,3）. 又∵抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点C （0,2），∴3,1,22.a b c b a c ì++=ïïïïï-=íïïïï=ïî（2分）∴1,2,2.a b c ì=-ïïï=íïï=ïïî∴抛物线的表达式为222y x x =-++. ······ （1分）分） （2）∵将此抛物线向上平移，）∵将此抛物线向上平移，∴设平移后的抛物线表达式为222(0)y x x k k =-+++>，. ···························· （1分）分） 则它与y 轴交点B （0,2+k ）. ∵平移后的抛物线与x 轴正半轴交于点A ，且OA=OB ，∴A 点的坐标为（2+k,0）. .（1分）分）∴20(2)2(2)2k k k =-+++++.∴122,1k k =-=. ∵0k >，∴1k =. ∴A （3,0），抛物线222y x x =-++向上平移了1个单位. . ······························ （1分）分）∵点A 由点E 向上平移了1个单位所得，∴E （3,-1）. . ··································· （1分）分） （3）由（2）得A （3,0），B （0, 3），∴32AB =. ∵点P 是抛物线对称轴上的一点（位于x 轴上方），且∠APB=45°,原顶点D （1,3）, ∴设P （1,y ），设对称轴与AB 的交点为M ，与x 轴的交点为H ，则H （1,0）. ∵A （3,0），B （0, 3），∴∠OAB=45°, ∴∠AMH=45°. ∴M （1,2）. ∴2BM =. ∵∠BMP=∠AMH, ∴∠BMP=45°. ∵∠APB=45°, ∴∠BMP=∠APB. ∵∠B=∠B ，∴△BMP ∽△ A. ·BP A. ··································································· （2分）分）B A PyO M H∴BP BA BMBP =.∴23226BP BA BM =??∴221(3)6BP y =+-=.∴123535y y，=+=-（舍）.. ···························· （1分）分）∴(1,35)P+. . ····················································································· （1分）】【2019届一模普陀】届一模普陀】 24．（本题满分12分）分） 如图10，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-(0)a ¹与x轴交于点A()1,0-和点B ，且3OB OA =，与y 轴交于点C ，此抛物线顶点为点D ．（1）求抛物线的表达式及点D 的坐标；的坐标；（2）如果点E 是y轴上的一点（点E 与点C 不重合），当BE DE ^时，求点E 的坐标；的坐标；（3）如果点F 是抛物线上的一点，且，求点F 的坐标．的坐标．135FBD Ð=xOy图10 C BAOyx【24．解：．解：（1）∵抛物线与x 轴交于点A ()1,0-和点，且3OB OA =，∴点的坐标是()3,0． ··········································································· （1分）分）解法一：由抛物线23y ax bx =+-经过点()1,0-和()3,0．得03,093 3.a b a b =--ìí=+-î 解得1,2.a b =ìí=-î ······························································ （1分）分）∴抛物线的表达式是223y x x =--． ······················································ （1分）分）点D 的坐标是()1,4-． ············································································· （1分）分） 解法二：由抛物线23y ax bx =+-经过点()1,0-和()3,0．可设抛物线的表达式为(1)(3)y a x x =+-， 由抛物线与y轴的交点C 的坐标是()0,3-，得3(01)(03)a -=+-，解得1a =． ······························································ （1分）分） ∴抛物线的表达式是223y x x =--． ························································ （1分）分）点D 的坐标是()1,4-． ············································································· （1分）分） （2）过点D 作DH OC ^，H 为垂足．为垂足． ∴90DHO Ð=．∴90DEH EDH Ð+Ð=． ∵BE DE ^，∴90DEH BEO Ð+Ð=． ∴BEO EDH Ð=Ð．又∵BOE EHDÐ=Ð，∴△BOE∽△E H D ． ········································· （1分）分）∴BO OEEH HD =． ∵点D 的坐标是()1,4-，∴1DH =，4OH =．B B∵点的坐标是()3,0，∴3OB =．∴341OEOE=-． ·············································································· （1分）分） ∴1OE =或3OE =． ················································································ （1分）分） ∵点E 与点C 不重合，∴1OE =．∴点E 的坐标是()0,1-． ··········································································· （1分）分）（3）过点F 作FG x ^轴，G 为垂足．为垂足．作45DBM Ð=，由第（2）题可得，点M 与点E 重合．重合． ∵1OE =，1DH =，∴OE DH =． 可得△BOE ≌△E H D ． ∴BE ED =． ∵90BED Ð=，∴45DBE Ð=． ∵135FBD Ð=，∴90FBE Ð=． ················································································ （1分）分） ∴OBE GFB Ð=Ð．∴在Rt △BOE 中，90BOE Ð=，∴cot 3OBE Ð=∴cot 3GFB Ð=． ·········· （1分）分） ∴3FG BG =．设点F 点的坐标为()2,23m m m --．∴223FG m m =--,3BG m =-． ∴2233(3)m m m --=-． ··································································· （1分）分）解得3m =，4m =-． ∵3m =不合题意舍去，∴4m =-． 点F 的坐标是()4,21-． ·········································································· （1分）】【2019届一模奉贤】届一模奉贤】24．（本题满分12分，每小题满分6分）分）B如图10，在平面直角坐标系中，直线AB 与抛物线2y ax bx=+交于点A(6，0)和点B(1，－5)．（1）求这条抛物线的表达式和直线AB 的表达式；的表达式；（2）如果点C 在直线AB 上，且∠BOC 的正切值是32，求点C 的坐标．的坐标．【24．解：（1）由题意得，抛物线2y ax bx=+经过点A(6，0)和点B(1，－5)，代入得3660,5.a b a b ì+=ïïíï+=-ïî 解得解得 1,6.a b ì=ïïíï=-ïî ∴抛物线的表达式是26y x x =-. ······ （4分）分）由题意得，设直线AB 的表达式为y kx b=+，它经过点A(6，0)和点B(1，－5)，代入得60,5.k b k b ì+=ïïíï+=-ïî 解得解得 1,6.k b ì=ïïíï=-ïî ∴直线AB 的表达式是6y x =-. ········ （2分）分）（2）过点O 作OH AB ^，垂足为点H ． 设直线AB 与y 轴交点为点D ，则点D 坐标为()0,6-. ∴45ODA OAD??，cos4532DH OH OD ==·°=. ∵2BD =，∴22BH =. 在Rt △OBH 中，90OHB?，3tan 2OH OBHBH ?=． ······························· （2分）分）∵∠BOC 的正切值是32，∴BOCCBO ?. ··············································· （1分）分）①当点C 在点B 上方时，BOCCBO ?.∴CO CB =．设点C(,6)x x -， 2222(6)(1)(65)x x x x +-=-+-+xOy图10 ABxyo解得解得 174x =，1776644x -=-=-.--------------------------------------------------------------------（2分）分）所以点D坐标为177,44æö-ç÷èø. ②当点C 在点B 下方，BOC CBO ?时，OC//AB. 点C 不在直线AB 上. ········ （1分）分）综上所述，如果∠BOC 的正切值是32，点C 的坐标是177,44æö-ç÷èø．】【2019届一模松江】届一模松江】24.（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）分）如图，抛物线cbx x y ++-=221经过点A （﹣2，0），点B （0，4）. （1）求这条抛物线的表达式；）求这条抛物线的表达式；（2）P 是抛物线对称轴上的点，联结AB 、PB ，如果∠PBO=∠BAO ，求点P 的坐标；的坐标； （3）将抛物线沿y 轴向下平移m 个单位，所得新抛物线与y 轴交于点D ，过点D 作DE∥x 轴交新抛物线于点E ，射线EO 交新抛物线于点F ，如果EO=2OF ，求m 的值. 【24．解：（1）∵抛物线经过点A （﹣2，0），点B （0，4）∴îíì==+--4022c c b …………（1分）， 解得14b c =ìí=î………………………（1分）分） ∴抛物线解析式为2142y x x =-++ …………………………………………（1分）分）(第24题图) y xOBA（2）()2912142122+--=++-=xxxy…………………………………（1分）分）∴对称轴为直线x=1，过点P作PG⊥y轴，垂足为G ∵∠PBO=∠BAO，∴tan∠PBO=tan∠BAO，∴PG BOBG AO=……………………………………………（1分）分）∴121BG=，∴12BG=…………………………………（1分）分）∴72OG=，∴P（1，27）………………………………（1分）分）（3）设新抛物线的表达式为2142y x x m=-++-…（1分）分）则()0,4D m-,()2,4E m-，DE=2……………………（1分）分）过点F作FH⊥y轴，垂足为H，∵DE∥FH，EO=2OF ∴2=1DE EO DOFH OF OH==，∴FH=1……………………………………………（1分）分）点D在y轴的正半轴上，则51,2F mæö--ç÷èø，∴52OH m=-∴42512DO mOH m-==-，∴m=3……………………………………………………（1分）分）点D在y轴的负半轴上，则91,2F mæö-ç÷èø，∴92OH m=-∴42912DO mOH m-==-，∴m=5……………………………………………………（1分）分）∴综上所述m的值为3或5.】(第24题图) yx OBAEDF H的面积；的面积； D ，点E 的坐标．的坐标． 2)O 1 1 x y--∴点C 的坐标为)0,2(， ……………………1分 过点M 作y MH ^轴，垂足为点H∴AOC MHCAOHMAMCSSSSD D D --= (1)分∴42211412149)41(21´´-´´-´+´=D AMC S∴23=D AMC S …………1分 （3）联结OB过点B 作x BG ^轴，垂足为点G∵点B 的坐标为)2,2(，点A 的坐标为)0,4(∴2=BG ，2=GA∴△BGA 是等腰直角三角形∴°=Ð45BAO 同理：°=Ð45BOA∵点C 的坐标为)0,2(∴2=BC ，2=OC 由题意得，△OCB 是等腰直角三角形是等腰直角三角形 ∴°=Ð45DBO ,22=BO ∴DBO BAO Ð=Ð∵°=Ð45DOE ∴°=Ð+Ð45BOE DOB ∵°=Ð+Ð45EOA BOE ∴DOB EOA Ð=Ð ∴△AOE ∽△BOD∴BO AO BD AE = …………1分 ∵抛物线221412++-=x x y 的对称轴是直线1=x ，∴点D 的坐标为)2,1(∴1=BD …………1分∴2241=AE∴2=AE …………1分过点E 作x EF ^轴，垂足为点F 易得，△AFE 是等腰直角三角形是等腰直角三角形 ∴1==AF EF∴点E 的坐标为)1,3( …………1分】分】 【2019届一模青浦】届一模青浦】24．（本题满分12分，分， 其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）分）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x =-平移后经过点A （-1，0）、B （4，0），且平移后的抛物线与y 轴交于点C （如图）． （1）求平移后的抛物线的表达式；）求平移后的抛物线的表达式；（2）如果点D 在线段CB 上，且CD=2，求∠CAD 的正弦值；的正弦值；（3）点E 在y 轴上且位于点C 的上方，点P 在直线BC 上，点Q 在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ 是菱形，求点Q 的坐标．的坐标．【24．解：（1）设平移后的抛物线的解析式为2+=-+y x bx c． ······················· （1分）分）将A （-1，0）、B （4，0），代入得，代入得C B A xy O CB A xyO （第24题图）题图） （备用图）（备用图）101640.，--+=ìí-++=îb c b c ··············································································· （1分）分） 解得：34.，=ìí=îb c所以，2+34=-+y x x ． ·········································································· （1分）分）（2）∵2+34=-+y x x ，∴点C 的坐标为（0，4） ····································· （1分）． 设直线BC 的解析式为y= kx+4，将B （4，0），代入得kx+4=0，解得k=-1，∴y= -x+4． ········································································································ 设点D 的坐标为（m ，4- m ）．∵CD=2，∴22=2m ，解得=1m 或=1-m （舍去），∴点D 的坐标为（1，3）． ········································································· （1分）分） 过点D 作DM ⊥AC ，过点B 作BN ⊥AC ，垂足分别为点M 、N ．∵1122×=×AC BN AB OC，∴1754×=´BN ，∴202017=1717=BN ． ········ （1分）分） ∵DM ∥BN ，∴=DM CD BN CB ，∴242=DM BN ，∴51717=DM ． ···················· （1分）分） ∴51715221sin =1722113Ð=´=DM CAD AD ． ············································· （1分）分）（3）设点Q 的坐标为（n ，2+34-+n n ）．如果四边形ECPQ 是菱形，则0>n ，PQ ∥y 轴，PQ=PC ，点P 的坐标为（n ，4-+n ）．∵22+3444=-++-=-PQ n n n n n，2=PC n ， ····································· （2分）分）∴24=2-n n n，解得=42-n 或=0n （舍）． ·········································· （1分）分）∴点Q 的坐标为（42-，522-）． ···················································· （1分）】【2019届一模静安】届一模静安】24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）分）在平面直角坐标系xOy 中（如图10），已知抛物线2(0)y ax bx c a =++¹的图像经过点(40)B ，、(53)D ，，设它与x 轴的另一个交点为A （点A 在点B 的左侧），且ABD D 的面积是3．（1）求该抛物线的表达式；）求该抛物线的表达式； （2）求A D B Ð的正切值；的正切值；（3）若抛物线与y 轴交于点C ，直线CD 交x 轴于点E ，点P 在射线AD 上，当APE D 与ABD D 相似时，求点P 的坐标．的坐标．【24．解：．解：（1）过点D 作DH ⊥x 轴，交x 轴于点H ．∵132ABDSAB DHD =×=，又∵(5,3)D∴2AB =．····························································································· （1分）分） ∵(4,0)B ，点A 在点B 的左侧，的左侧，∴(2,0)A ． ····························································································· （1分）分）把(2,0)A ，(4,0)B ，(5,3)D 分别代入2y ax bx c =++，得04201643255a b c a b c a b c =++ìï=++íï=++î 解得168a b c =ìï=-íï=î ． ···························································· （1分）分）∴抛物线解析式是268y x x =-+． ······························································ （1分）分） （2）过点B 作BG AD ^，交AD 于点G ． ··················································· （1分）分）B D O 图10 x y ﹒ ﹒由(2,0)A ，(5,0)H ，(5,3)D，得A D H D 是等腰直角三角形，且45HAD Ð=∵3AH DH ==，∴32AD =． ································································ （1分）分） ∴在等腰直角AGB D 中，由2AB =，得2AG BG ==， ∴22DG AD AG =-=，∴在Rt DGB D 中，1tan 2BG ADB DGÐ==． ·················································· （1分）分） （3）∵抛物线268y x x =-+与y轴交于点(0,8)C ，又(5,3)D ，∴直线CD 的解析式为8y x=-+，∴(8,0)E． ···························································································· （1分）分）当点P 在线段AD 上时，APE D ∽ABD D ，点,,A P E 分别与点,,A B D 对应，则对应，则AP AE AB AD =，即262232AB AE AP AD ´´===．………………………………………（1分）··························································································································· 过点P 作PQ ^∴2AQ PQ ==，即(4,2)P ． ····································································· （1分）分）②当点P 在线段AD 延长线上时，APE A D B Ð=Ð， ·················································· ∴EP //D B过点P 作PR x ^轴于点R ，·················································································· 13AH AD AB AR AP AE ===，∴9AR PR ==， ······················································································ （1分）分）即(11,9)P． ···························································································· （1分）分）∴APE D 与ABD D 相似时，点P 的坐标为的坐标为 (4,2)或 (11,9)．】 【2019届一模宝山】届一模宝山】24．（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）分）如图9，已知：二次函数的图像交x 轴正半轴于点A ，顶点为P,一次函数2y x bx=+。
2019年上海市徐汇区高考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市徐汇区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）若复数z满足i•z＝1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．2．（4分）已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝x﹣2，x∈R，x≠0}，则∁U A＝．3．（4分）若实数x，y满足xy＝1，则2x2+y2的最小值为．4．（4分）若数列{a n}的通项公式为a n＝（n∈N*），则a n＝．5．（4分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y＝2x，它的一个焦点与抛物线y2＝20x的焦点相同，则此双曲线的方程是．6．（4分）在平面直角坐标系xOy中，直线经过坐标原点，＝（3，1）是l的一个法向量．已知数列{a n}满足：对任意的正整数n，点（a n+1，a n）均在l上，若a2＝6，则a3的值为．7．（5分）已知（2x2﹣）n（n∈N*）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是．（结果用数值表示）8．（5分）上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如表所示：上海某高中2018届高三（1）班选考物理学业水平等级考的学生中，有5人取得A+成绩，其他人的成绩至少是B级及以上，平均分是64分，这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为人．9．（5分）已知函数f（x）是以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x+1），令函数g（x）＝f（x）（x∈[1，2]），则g（x）的反函数为．10．（5分）已知函数y＝sin x的定义域是[a，b]，值域是[﹣1，]，则b﹣a的最大值是．11．（5分）已知λ∈R，函数f（x）＝，若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是．12．（5分）已知圆M：x2+（y﹣1）2＝1，圆N：x2+（y+1）2＝1．直线l1、l2分别过圆心M、N，且11与圆M相交于A，B两点，12与圆N相交于C，D两点，点P是椭圆＝1上任意一点，则+的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设θ∈R，则“θ＝”是“sinθ＝”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（5分）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4．若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（）A．16B．16C．D．15．（5分）对于函数y＝f（x），如果其图象上的任意一点都在平面区域{（x，y）|（y+x）（y ﹣x）≤0}内，则称函数f（x）为“蝶型函数”，已知函数：①y＝sin x；②y＝，下列结论正确的是（）A．①、②均不是“蝶型函数”B．①、②均是“蝶型函数”C．①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数”D．①不是“蝶型函数”：②是“蝶型函数”16．（5分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，若对任意的n∈N*，都有S n≥S3，则的值不可能为（）A．2B．C．D．三、解答题.17．（14分）如图，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1．（1）正方体ABCD﹣A′B′C′D'中哪些棱所在的直线与直线A′B是异面直线？（2）若M，N分别是A'B，BC′的中点，求异面直线MN与BC所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）＝，其中a∈R．（1）解关于x的不等式f（x）≤﹣1；（2）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．19．（14分）我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多．某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角∠AOB＝，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）在圆弧的两端点A，B分别建有监测站，A与B之间的直线距离为100海里．（1）求海域ABCD的面积；（2）现海上P点处有一艘不明船只，在A点测得其距A点40海里，在B点测得其距B 点20海里．判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD？请说明理由．20．（16分）已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的长轴长为2，右顶点到左焦点的距离为+1，直线l：y＝kx+m与椭圆Γ交于A，B两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若A为椭圆的上项点，M为AB中点，O为坐标原点，连接OM并延长交椭圆Γ于N，，求k的值．（3）若原点O到直线l的距离为1，＝λ，当时，求△OAB的面积S 的范围．21．（18分）已知项数为n0（n0≥4）项的有穷数列{a n}，若同时满足以下三个条件：①a 1＝1，a＝m（m为正整数）；②a i﹣a i﹣1＝0或1，其中i＝2，3，……，n0；③任取数列{a n}中的两项a p，a q（p≠q），剩下的n0﹣2项中一定存在两项a s，a t（s≠t），满足a p+a q＝a s+a t，则称数列{a n}为Ω数列．（1）若数列{a n}是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列{a n}是否是Ω数列，并说明理由．（2）当m＝3时，设Ω数列{a n}中1出现d1次，2出现d2次，3出现d3次，其中d1，d2，d3∈N*．求证：d1≥4，d2≥2，d3≥4；（3）当m＝2019时，求Ω数列{a n}中项数n0的最小值．2019年上海市徐汇区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．【解答】解：由i•z＝1+2i，得z＝，∴z的实部为2．故答案为：2．2．【解答】解：A＝（0，+∞）；∴∁U A＝（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．3．【解答】解：∵xy＝1，∴2x2+y2≥2＝2，（当且仅当2x＝y＝±时，取等），故答案为：2．4．【解答】解：数列{a n}的通项公式为a n＝＝﹣，则a n＝（﹣）＝﹣1．故答案为：﹣1．5．【解答】解：抛物线y2＝20x的焦点为（5，0），则双曲线的焦点在x轴上，双曲线的一条渐近线为y＝2x，可得b＝2a，由题意双曲线的一个焦点与抛物线y2＝20x的焦点相同，可得＝5，解得a＝，b＝2，则双曲线的方程为：．故答案为：．6．【解答】解：直线经过坐标原点，＝（3，1）是l的一个法向量，可得直线l的斜率为﹣3，即有直线l的方程为y＝﹣3x，点（a n+1，a n）均在l上，可得a n＝﹣3a n+1，即有a n+1＝﹣a n，则数列{a n}为公比q为﹣的等比数列，可得a3＝a2q＝6×（﹣）＝﹣2．故答案为：﹣2．7．【解答】解：由题意，2n＝128，得n＝7．∴（2x2﹣）n＝（2x2﹣）7，其二项展开式的通项＝．由14﹣3r＝﹣1，得r＝5．∴展开式中含项的系数是．故答案为：﹣84．8．【解答】解：设取得A成绩的x人，取得B+成绩的y人，取得B成绩的z人，则70×5+67x+64y+61z＝64×（5+x+y+z），即z﹣x＝10，又x，y，z∈N，即当且仅当x＝0，y＝0，z＝10时，5+x+y+z取得最小值15，取得A成绩的0人，取得B+成绩的0人，取得B成绩的10人，这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为15人，故答案为：159．【解答】解：当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，∴f（x）＝f（﹣x）＝lg（﹣x+1），当1≤x≤2时，﹣1≤x﹣2≤0，∴f（x）＝f（x﹣2）＝lg[﹣（x﹣2）+1]＝lg（﹣x+3）．∴g（x）＝lg（﹣x+3）（1≤x≤2），∴﹣x+3＝10g（x），∴x＝3﹣10g（x），故答案为：g﹣1（x）＝3﹣10x，（0≤x≤lg2）10．【解答】解：函数y＝sin x，令≤a≤，要使b﹣a的最大值，可知b的最大值为：b＝，∴b﹣a的最大值为；故答案为：11．【解答】解：根据题意，在同一个坐标系中作出函数y＝x﹣4和y＝x2﹣4x+3的图象，如图：若函数f（x）恰有2个零点，即函数f（x）图象与x轴有且仅有2个交点，则1＜λ≤3或λ＞4，即λ的取值范围是：（1，3]∪（4，+∞）故答案为：（1，3]∪（4，+∞）．12．【解答】解：由题意可得，M（0，1），N（0，﹣1），r M＝r N＝1，＝（）•（）＝＝，＝（）•＝＝﹣1，∵∵P为椭圆上的点，∴＝+﹣2＝2（x2+y2）＝由题意可知，﹣3≤x≤3，∴8≤，故答案为：8．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．【解答】解：由θ＝，则有sinθ＝，即“θ＝”是“sinθ＝”的充分条件，由sinθ＝，得：θ＝kπ+（﹣1）k，即“θ＝”是“sinθ＝”的不必要条件，即“θ＝”是“sinθ＝”的充分不必要条件．故选：A．14．【解答】解：正方体的棱长为2，则其内切球的半径r＝1，∴正方体的内切球的体积，又由已知，∴．故选：C．15．【解答】解：由y＝sin x，设g（x）＝sin x+x，导数为cos x+1≥0，即有x＞0，g（x）＞0；x＜0时，g（x）＜0；设h（x）＝sin x﹣x，其导数为cos x﹣1≤0，x＞0时，h（x）＜0，x＜0时，h（x）＞0，可得（y+x）（y﹣x）≤0恒成立，即有y＝sin x为“蝶型函数”；由（+x）（﹣x）＝x2﹣1﹣x2＝﹣1＜0，可得y＝为“蝶型函数”．故选：B．16．【解答】解：∵数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，对任意的n∈N*，都有S n≥S3，∴，∴，且∴﹣3d≤a1≤﹣2d，∴当＝＝2时，a1＝﹣3d．成立；当＝＝时，a1＝﹣d．成立；当＝＝时，a1＝﹣2d．成立；当＝＝时，a1＝﹣d．不成立．∴的值不可能为．故选：D．三、解答题.17．【解答】解：（1）正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，直线A′B是异面直线的棱所在直线有：AD，B′C′，CD，C′D′，DD′，CC′，共6条．（2）M，N分别是A'B，BC′的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，则A′（1，0，1），B（1，1，0），C′（0，1，1），M（1，，），N（），B（1，1，0），C（0，1，0），＝（﹣，0），＝（﹣1，0，0），设异面直线MN与BC所成角的大小为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝45°，∴异面直线MN与BC所成角的大小为45°．18．【解答】解：（1）x的不等式f（x）≤﹣1，即为≤﹣1，即为≤0，当a＝﹣1时，解集为{x|x≠﹣2}；当a＞﹣1时，解集为（﹣2，0]；当a＜﹣1时，解集为（﹣∞，﹣2）∪[0，+∞）；（2）f（x）＝＝a+，由f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数，可得﹣2﹣2a＞0，解得a＜﹣1．即a的范围是（﹣∞，﹣1）．19．【解答】解：（1）∵∠AOB＝，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD，AB＝100∴AD＝BC＝20，OA＝OB＝AB＝100，∴OD＝OA+AD＝100+20＝120，∴S ABCD＝•π（OD2﹣OA2）＝π（1202﹣1002）＝（平方海里），（2）由题意建立平面直角坐标系，如图所示；由题意知，点P在圆B上，即（x﹣100）2+y2＝7600…①，点P也在圆A上，即（x﹣50）2+＝1600…②；由①②组成方程组，解得或；又区域ABCD内的点满足，由302+＝3600＜10000，∴点（30，30）不在区域ABCD内，由902+＝15600＞14400，∴点（90，50）也不在区域ABCD内；即这艘不明船只没进入了海域ABCD．20．【解答】解：（1）由题意可知，，于是得到，因为右顶点到左焦点的距离为，所以，c＝1，则，因此，椭圆Γ的方程为；（2）当点A为椭圆的上顶点时，点A的坐标为（1，0），则m＝1，直线l的方程为y＝kx+1，将直线l的方程代入椭圆的方程并化简得（2k2+1）x2+4kx＝0，解得，，所以点B的坐标为，由于点M为线段AB的中点，则点M的坐标为，由于，所以，点N的坐标为，将点N的坐标代入椭圆的方程得，化简得，解得；（3）由于点O到直线l的距离为1，则有，所以，m2＝k2+1．设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程代入椭圆方程并化简得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，由韦达定理可得，，＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝＝＝＝，由于，即，解得，线段AB的长为＝＝＝＝，所以，．因此，△OAB的面积S的取值范围是．21．【解答】解：（1）若数列{a n}：1，2，3，4，5，6是Ω数列，取数列{a n}中的两项1和2，则剩下的4项中不存在两项a s，a t（s≠t），使得1+2＝a s+a t，故数列{a n}不是Ω数列；（2）若d1≤3，对于p＝1，q＝2，若存在2＜s＜t，满足a p+a q＝a s+a t，∵2＜s＜t，于是s≥3，t≥4，故a5≥a2，a t＞a1，从而a s+a t＞a2+a1，矛盾，故d1≥4，同理d3≥4，下面证明d2≥2：若d2＝1，即2出现了1次，不妨设a k＝2，a1+a k＝a s+a t，等式左边是3，等式右边有几种可能，分别是1+1或1+3或3+3，等式两边不相等，矛盾，于是d1≥2；（3）设出现d1次，2出现d2次…，2019出现d2019次，其中d1，d2，…，d2019∈N*，由（2）可知，d1≥4，d2019≥4，且d2≥2，同理d2018≥2，又∵d3，d4…，d2017∈N*，故项数n0＝d1+d2+…+d2019≥2027，下面证明项数n0的最小值是2027：取d1＝4，d2＝2，d3＝d4＝…＝d2017＝1，d2018＝2，d2019＝4，可以得到数列{a n}：1，1，1，1，2，2，3，4…，2016，2017，2018，2019，2019，2019，2019，接下来证明上述数列是Ω数列：若任取的两项分别是1，1，则其余的项中还存在2个1，满足1+1＝1+1，同理，若任取的两项分别是2019，2019也满足要求，若任取的两项分别是1，2，则其余的项中还存在3个1，1个2，满足要求，同理，若任取的两项分别是2018，2019也满足要求，若任取a p＝1，a q≥3，则在其中的项中取a5＝2，a t＝a q﹣1，满足要求，同理，若a p≤2017，a q＝2019也满足要求，若任取的两项a p，a q满足1＜a p≤a q＜2019，则在其余的项中选取a s＝a p﹣1，a t＝a q+1，每个数最多被选取了1次，于是也满足要求，从而，项数n0的最小值是2027．。
上海市2019年高考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=．2．（4分）函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．3．（4分）设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．4．（4分）若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=．5．（4分）已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=．6．（4分）甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．19．（14分）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k ＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3．【考点】反函数．【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n 的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n 又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：6【点评】求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和；二项式系数和为2n．属于基础题．6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是解决本题的关键，属中档题．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=2．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵ ++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴a n=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．【点评】本题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强．11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+ =（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：8【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，属于中档题．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max=cos0=1，y min=cos（cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题．16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx min＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）=3；min当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）=1﹣＜0，所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．【点评】本题考查恒成立问题，将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y）=+，求得f （y）min=3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）（2017•上海一模）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，则V A﹣BCD====．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，﹣2，﹣2），=（），设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．【点评】本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题．18．（14分）（2017•上海一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．【考点】余弦定理；解三角形．【分析】（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b 和c的值．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos （B+C）]﹣4cos2A+2=7，（1分）又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．（4分）解得，∴．（6分）（II）由．（8分）又．（10分）由．（12分）【点评】本题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题．19．（14分）（2017•上海一模）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD 是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D 重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，消去y得△=0即可证明b=﹣；（2）写出点P的坐标（t，2t2），代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式求出S的最大值．【解答】（1）证明：函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；（2）解：设点P的横坐标为t，则P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+）；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣2；即S的最大值是4﹣．【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了阅读理解能力，是综合性题目．20．（16分）（2017•上海一模）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】（1）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a ≤3时，当a＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，∴函数f（x）的值域是：[2，6]；（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，y min=h（a）=φ（）=﹣；当≤a≤3时，y min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．故h（a）=；（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）•（m+n），又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．【点评】本题主要考查二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，是中档题．21．（18分）（2017•上海一模）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r ∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．【考点】数列递推式．【分析】（1）由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），由此能够证明a n+2﹣a n为定值．（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】（1）证明：∵rS n=a n a n+1﹣1，①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），∵a n＞0，∴a n+2﹣a n=r．（2）解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，…．当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，…．所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，（3）解：因为数列{a n}是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，a=是有理数．设=k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，a n=，S n=，∵c n=2•3n﹣1（n∈N*），a n=1时，不符合，舍去．a n=时，若2•3n﹣1=，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n}中的所有项不都是数列{a n}中的项．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、数列的周期性性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
上海市徐汇区西南模范中学2019-2020学年八年级10月月考数学试题(解析版)
【19题答案】
【答案】A
【分析】将方程解的条件化为函数的取值，从而求出m的取值范围．
【详解】∵方程x2+（m+2）x+m+5=0的一个根大于1，另一个根小于1，
令f（x）=x2+（m+2）x+m+5，
则f（1）=1+m+2+m+5＜0，
解得，m＜-4．
故选A．
【点睛】本题考查了函数与方程之间的互相转化，属于基础题．
4.当 _____时，函数 是正比例函数，且 的值随 的值增大而减小.
【4题答案】
【答案】0
【分析】根据正比例函数的意义，可得答案．
【详解】∵函数 是正比例函数，
∴ ，
解得， ， ，
∵y的值随x的值增大而减小，
∴m-2＜0，即m＜2
∴m=0，
故答案为0．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，形如y=kx，（k是不等于0的常数）是正比例函数．
【答案】C
【分析】先提取公因式4后，观察方程4（x2+2x- ），可以令x2+2x- =0，用配方法解得两根x1、x2，则 =4（x2+2x- ）=（x-x1）（x-x2）．
【详解】 =4（x2+2x- ）
令x2+2x- =0，则x2+2x=
∴x2+2x+1= +1，即（x+1）2=
解得， ， ，
∴ =4
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，此题应特别注意一元二次方程的二次项系数不得为零．
10.关于 的代数式 是一个完全平方式，则 _____.
2019年上海市高三数学一模分类汇编：立体几何
2（2019杨浦一模）. 已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为 5（2019普陀一模）. 若一个球的体积是其半径的43倍，则该球的表面积为 5（2019长嘉一模）. 若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 5（2019虹口一模）. 若一个球的表面积为4π，则它的体积为5（2019青浦一模）. 已知直角三角形△ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，则△ABC 绕直线AC 旋转一周所得几何体的体积为6（2019杨浦一模）. 若圆锥的母线长5()l cm =，高4()h cm =，则这个圆锥的体积等于 3()cm8（2019浦东一模）. ，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的表面积为8（2019崇明一模）. 设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于 9（2019普陀一模）. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为4，记1111AC B D F =I ，11BC B C E =I ，若AE BF ⊥，则此棱柱的体积为9（2019闵行一模）. 如图，在过正方体1111ABCD A B C D -的任意两个顶点的所有直线中，与直线1AC 异面的直线的条数为10（2019金山一模）. 在120︒的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A 、B 两点，则这两个点在球面上的距离是10（2019静安一模）. 已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是 3cm （结果保留圆周率π）10（2019宝山一模）. 将函数y =y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是14（2019徐汇一模）. 魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4π，若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ）A. 16B. 163C. 163D. 128314（2019金山一模）. 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14（2019虹口一模）. 关于三个不同平面α、β、γ与直线l ，下来命题中的假命题是（ ） A. 若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于βB. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC. 若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥D. 若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β14（2019奉贤一模）. 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件14（2019闵行一模）. 已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，a αβ=I ，a ∥b ，则下列结论不可能成立的是（ ）A. b β，且b ∥αB. b α，且b ∥βC. b ∥α，且b ∥βD. b 与α、β都相交14（2019浦东一模）. 下列命题正确的是（ ）A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行C. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行D. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行15（2019黄浦一模）. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线的条数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 615（2019青浦一模）. 对于两条不同的直线m 、n 和两个不同的平面α、β，以下结论正确的是（ ）A. 若m α，n ∥β，m 、n 是异面直线，则α、β相交B. 若m α⊥，m β⊥，n ∥α，则n ∥βC. mα，n ∥α，m 、n 共面于β，则m ∥n D. 若m α⊥，n β⊥，α、β不平行，则m 、n 为异面直线15（2019普陀一模）. 若a 、b 、c 表示直线，α、β表示平面，则“a ∥b ”成立的一个充分非必要条件是（ ）A. a b ⊥，b c ⊥B. a ∥α，b ∥αC. a β⊥，b β⊥D. a ∥c ，b c ⊥17（2019浦东一模）. 已知直三棱柱111A B C ABC -中，11AB AC AA ===，90BAC ︒∠=.（1）求异面直线1A B 与11B C 所成角；（2）求点1B 到平面1A BC 的距离.17（2019金山一模）. 如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，M 是 BC 的中点，若底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB 与底面ABC 所成的角为3π. 求： （1）三棱锥P ABC -的体积；（2）异面直线PM 与AC 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）17（2019黄浦一模）. 如图，一个圆锥形量杯的高为12厘米，其母线与轴的夹角为30︒.（1）求该量杯的侧面积S ；（2）若要在该圆锥形量杯的一条母线PA 上，刻上刻度，表示液面到达这个刻度时，量杯里的液体的体积是多少，当液体体积是100立方厘米时，刻度的位置B 与顶点P 之间的距离是多少厘米（精确到0.1厘米）？17（2019奉贤一模）. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，AB AC =，D 是BC 的中点.（1）求证：BC ⊥平面11A AD ；（2）若90BAC ︒∠=，4BC =，三棱柱111ABC A B C -的 体积是83，求异面直线1A D 与1AB 所成角的大小.17（2019青浦一模）. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为3，15A D =.（1）求该正四棱柱的侧面积与体积；（2）若E 为线段1A D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小.17（2019闵行一模）. 如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，D 为棱BC 的中点.（1）求该三棱柱的表面积；（2）求异面直线AB 与1C D 所成角的大小.17（2019宝山一模）. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，4PA =，设E 为侧棱PC 的中点.（1）求正四棱锥E ABCD -的体积V ；（2）求直线BE 与平面PCD 所成角θ的大小.17（2019崇明一模）. 如图，设长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，直线1A C 与平面ABCD 所成的角为4π. （1）求三棱锥1A A BD -的体积；（2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小.17（2019徐汇一模）. 如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1.（1）正方体ABCD A B C D ''''-中哪些棱所在的直线与直线A B '是异面直线？（2）若M 、N 分别是A B '、BC '的中点，求异面直线MN 与BC 所成角的大小.17（2019虹口一模）. 在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小.17（2019杨浦一模）. 如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1PA AB ==，2AD =，点F 是PB 的中心，点E 在边BC 上移动.（1）求三棱锥E PAD -的体积；（2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有AF ⊥PE .18（2019静安一模）. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，PA AC AB ==，E 、F 分别是CD 、PD 的中点.（1）求证：CD ⊥平面PAE ；（2）求异面直线AF 与PE 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18（2019长嘉一模）. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD .（1）已知4AD CD m ==，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15︒，求立柱PD 的长； （精确到0.01m ）（2）求证：四面体PDBC 为鳖臑.19（2019普陀一模）. 如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O ，钉尖为i A （1,2,3,4i =）.（1）记i OA a =（0a >），当1A 、2A 、3A 在同一水平面内时，求1OA 与平面123A A A 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为232cm ，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（耗损忽略不计），共需要该种材料多少米？。
2019年江苏省徐州市市区学校中考数学一模试卷 解析版
2019年江苏省徐州市市区学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，每空3分，共计24分．每题只有一个正确答案，请将正确案填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）﹣5的相反数是（）A．5B．﹣5C．D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a3•a4＝a12B．a3+a3＝2a6C．a3÷a3＝0D．3x2•5x3＝15x53．（3分）2018年底徐州市总人口约为9060000人，数字9060000用科学记数法表示为（）A．9.06×105B．0.906×10﹣5C．9.06×106D．0.906×10﹣7 4．（3分）在下列事件中，必然事件是（）A．两条线段可以组成一个三角形B．400 人中至少有两个人的生日在同一天C．早上的太阳从西方升起D．过马路时恰好遇到红灯5．（3分）如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．6．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．菱形7．（3分）顺次连接菱形ABCD各边中点所得到的四边形一定是（）A．菱形B．正方形C．矩形D．对角线互相垂直的四边形8．（3分）已知一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为常数），x与y的对应值如表：x﹣10123y3210﹣1不等式ax+b＜0的解集是（）A．x＞﹣2B．x＜2C．x＞0D．x＞2二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共计30分不需与出解答过程，请将答案直接填号在答题卡相应位置上）；9．（3分）9的算术平方根是．10．（3分）一组数据：2，4，4，5，3，9，4，5，1，8，这组数据的中位数是．11．（3分）使二次根式有意义的x的取值范围是．12．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．13．（3分）若反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则k的值是．14．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a＝0的两个实数根分别为2和b，则ab＝．15．（3分）圆锥的底面直径是8，母线长是12，则这个圆锥侧面展开图的扇形圆心角是度．16．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的G处，点C落在点H 处，者∠AGB＝75°，连接BG，则∠DGH＝度．17．（3分）在矩形ABCD中，已知AB＝2cm，BC＝3cm，现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为cm2．18．（3分）如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝6，则弦BC 的长是．三.解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算）19．（10分）（1）计算：﹣（）﹣1+|﹣3+2|+2sin30°；（2）化简：（2﹣÷20．（10分）（1）解方程：x2﹣4x+3＝0；（2）解不等组：21．（7分）我校对全校学生进传统文化礼仪知识测试，为了了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，现将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如下两幅统计图（不完整）．请你根据图中所给的信息解答下列问题：（1）本次随机抽取的人数是人，并将以上两幅统计图补充完整；（2）若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则我校被抽取的学生中有人达标；（3）若我校学生有1200人，请你估计此次测试中，全校达标的学生有多少人？22．（7分）在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字6，﹣2，7的小球，它们的形状大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．（1）第一次取出恰为写有数字﹣2的小球的概率为；（2）请你用列表法或树状图的方法（只选其中一种）求出两次取出小球上的数字之和为偶数的概率．23．（8分）如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．24．（8分）为加快城市群的建设与发展，在徐州与连云港两城市间新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的210km缩短至180km，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快200km，运行时间仅是现行时间的，求建成后的城际铁路在徐州到连云港两地的运行时间．25．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）如果AB＝6，AE＝3，求⊙O的半径．26．（8分）初三（5）班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60°方向，C点在B点北偏东45°方向，C点在D点正东方向，且测得AB＝20米，BC ＝40米，求AD的长．（≈1.732，≈1.414，结果精确到0.01米）27．（10分）将一副直角三角尺按图1摆放，其中∠C＝90°，∠EDF＝90°，∠B＝60°，∠F＝45°，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC＝4cm．（1）求DG的长；（2）如图2．将△DEF绕点D按顺时针方向旋转，直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过点H，D作AB，BC的垂线，垂足分别为点M，N．猜想HM与CN之间的数量关系，并证明；（3）如图3，在旋转的过程中，若△DEF两边DE，DF与△ABC两边AC，BC分别交于K、T两点，则KT的最小值为．28．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y的正半轴交于点C．（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式．（2）点Q（m，0）是线段OB上一点，过点Q作y轴的平行线，与BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为D．探究：是否存在点Q，使得四边形MNDC是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E在二次函数图象上，且以E为圆心的圆与直线BC相切与点F，且EF＝，请直接写出点E的坐标．2019年江苏省徐州市市区学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每空3分，共计24分．每题只有一个正确答案，请将正确案填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）﹣5的相反数是（）A．5B．﹣5C．D．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【解答】解：﹣5的相反数是5，故选：A．【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a3•a4＝a12B．a3+a3＝2a6C．a3÷a3＝0D．3x2•5x3＝15x5【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；单项式的乘法法则，合并同类项的法则，对各选项计算后利用排除法求解．【解答】解：A、应为a3•a4＝a7，故本选项错误；B、应为a3+a3＝2a3，故本选项错误；C、应为a3÷a3＝a0＝1，错误；D、3x2•5x3＝15x5，正确．故选：D．【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法和除法，单项式的乘法，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键．3．（3分）2018年底徐州市总人口约为9060000人，数字9060000用科学记数法表示为（）A．9.06×105B．0.906×10﹣5C．9.06×106D．0.906×10﹣7【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：9060000＝9.06×106，【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）在下列事件中，必然事件是（）A．两条线段可以组成一个三角形B．400 人中至少有两个人的生日在同一天C．早上的太阳从西方升起D．过马路时恰好遇到红灯【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件，依据定义即可求解．【解答】解：A、两条线段可以组成一个三角形是不可能事件，故选项错误；B、400 人中至少有两个人的生日在同一天是必然事件，故选项正确；C、早上的太阳从西方升起是不可能事件，故选项错误；D、过马路时恰好遇到红灯是不确定事件，即随机事件，故选项错误．故选：B．【点评】该题考查的是对必然事件的概念的理解；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．5．（3分）如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上面看易得上面第一层中间有1个正方形，第二层有3个正方形．下面一层左边有1个正方形，【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．6．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．菱形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．7．（3分）顺次连接菱形ABCD各边中点所得到的四边形一定是（）A．菱形B．正方形C．矩形D．对角线互相垂直的四边形【分析】先证明四边形EFGH是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断．【解答】解：如图：菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EH＝FG＝BD；EF∥HG∥AC，EF＝HG＝AC，故四边形EFGH是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴EH⊥EF，∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是矩形，故选：C．【点评】本题考查了中点四边形的有关性质，解题的关键是要熟知菱形的性质，矩形的概念及三角形的中位线定理．菱形的性质：菱形的对角线互相垂直；矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形；三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半．8．（3分）已知一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为常数），x与y的对应值如表：x﹣10123y3210﹣1不等式ax+b＜0的解集是（）A．x＞﹣2B．x＜2C．x＞0D．x＞2【分析】根据不等式ax+b＜0的解集为函数y＝ax+b中y＜0时自变量x的取值范围，由图表可知，y随x的增大而减小，因此x＞2时，函数值y＜0，即不等式ax+b＜0的解集为x＞2．【解答】解：由图表可得：当x＝2时，y＝0，且y随x的增大而减小，所以不等式ax+b＜0的解集是：x＞2，故选：D．【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，难度适中．二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共计30分不需与出解答过程，请将答案直接填号在答题卡相应位置上）；9．（3分）9的算术平方根是3．【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．【解答】解：∵（±3）2＝9，∴9的算术平方根是|±3|＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了数的算式平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．10．（3分）一组数据：2，4，4，5，3，9，4，5，1，8，这组数据的中位数是4．【分析】根据中位数的定义求解可得．【解答】解：将这组数据重新排列为1，2，3，4，4，4，5，5，8，9，则其中位数为＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了中位数，找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．11．（3分）使二次根式有意义的x的取值范围是x≥﹣3．【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解．【解答】解：根据二次根式的意义，得x+3≥0，解得x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．【点评】用到的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为6．【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度，720÷180+2＝6，∴这个多边形是六边形．故答案为：6．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．13．（3分）若反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则k的值是﹣2．【分析】因为（﹣1，2）在函数图象上，k＝xy，从而可确定k的值．【解答】解：∵图象经过点（﹣1，2），∴k＝xy＝﹣1×2＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，关键知道反比例函数式的形式，从而得解．14．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a＝0的两个实数根分别为2和b，则ab＝4．【分析】根据根与系数的关系得到，通过解该方程组可以求得a、b的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a＝0的两个实数根分别是2、b，∴由韦达定理，得，解得，．∴ab＝1×4＝4．故答案是：4．【点评】本题考查了根与系数的关系．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．15．（3分）圆锥的底面直径是8，母线长是12，则这个圆锥侧面展开图的扇形圆心角是120度．【分析】底面的直径为8，则底面圆的周长即侧面展开图得到的扇形的弧长是8π；圆锥母线长是12，则扇形的半径是12，根据弧长的公式．【解答】解：根据弧长的公式l＝得到：8π＝解得n＝120°这个圆锥侧面展开图的扇形圆心角是120度．【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．16．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的G处，点C落在点H 处，者∠AGB＝75°，连接BG，则∠DGH＝30度．【分析】由折叠的性质可知：GE＝BE，∠EGH＝∠ABC＝90°，从而可证明∠EBG＝∠EGB．，然后再根据∠EGH﹣∠EGB＝∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC＝∠BGH，由平行线的性质可知∠AGB＝∠GBC，从而易证∠AGB＝∠BGH，据此可得答案．【解答】解：由折叠的性质可知：GE＝BE，∠EGH＝∠ABC＝90°，∴∠EBG＝∠EGB．∴∠EGH﹣∠EGB＝∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC＝∠BGH．又∵AD∥BC，∴∠AGB＝∠GBC．∴∠AGB＝∠BGH．∵∠DGH＝30°，∴∠AGH＝150°，∴∠AGB＝∠AGH＝75°，∴∠AGH＝150°．∴∠DGH＝180°﹣∠AGH＝30°．故答案为：30．【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．17．（3分）在矩形ABCD中，已知AB＝2cm，BC＝3cm，现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF 的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为6﹣πcm2．【分析】根据题意得出木棒EF的中点P在运动过程中的轨迹为分别以A，B，C，D为圆心，1cm为半径的弧，进而得出扇形面积，即可得出阴影部分面积．【解答】解：如图所示：由题意根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出P 到B点距离始终为1，则木棒EF的中点P在运动过程中的轨迹为分别以A，B，C，D为圆心，1cm为半径的弧，故所围成的图形的面积为：矩形面积﹣4个扇形面积＝6﹣4×＝6﹣π（cm2）．故答案为：6﹣π．【点评】此题主要考查了扇形的面积计算以及矩形的性质，根据题意得出P到B点距离始终为1是解题关键．18．（3分）如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝6，则弦BC 的长是4．【分析】作CH⊥AD于H，连接OC、AC、CD，如图，先利用折叠的性质得AC弧与CDB 弧所在的圆为等圆，利用圆周角定理得＝，所以CA＝CD，则AH＝DH＝2，再利用勾股定理计算出CH＝4，AC＝2，然后根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出BC．【解答】解：作CH⊥AD于H，连接OC、AC、CD，如图，∵以半圆的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，∴AC弧与CDB弧所在的圆为等圆，∴＝，∴CA＝CD，∴AH＝DH＝2，在Rt△OCH中，OC＝5，OH＝3，∴CH＝4，在Rt△ACH中，AC＝＝2，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝10＝4．故答案为4．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆的对称性、圆周角定理和勾股定理．三.解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算）19．（10分）（1）计算：﹣（）﹣1+|﹣3+2|+2sin30°；（2）化简：（2﹣÷【分析】（1）本题涉及绝对值、立方根、负指数幂、特殊角三角函数4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）一方面注重第一个括号内的通分，另一方面注重对多项式的因式分解即可．【解答】解：（1）﹣（）﹣1+|﹣3+2|+2sin30°＝2﹣2+1+2×＝1+1＝2故原式的值为2．（2）原式＝（﹣）÷＝×＝．【点评】本题考查的是实数的综合运算以及分式的化简求值，重点是化简与运算过程中不能出现纰漏，按运算顺序正确计算是关键．20．（10分）（1）解方程：x2﹣4x+3＝0；（2）解不等组：【分析】（1）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝0，（x﹣1）（x﹣3）＝0，x﹣1＝0，x﹣3＝0，x1＝1，x2＝3；（2）∵解不等式①得：x＞﹣7，解不等式②得：x＜﹣5，∴不等式组的解集是﹣7＜x＜﹣5．【点评】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式组，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（2）的关键，注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法，直接开平方法，公式法，配方法等．21．（7分）我校对全校学生进传统文化礼仪知识测试，为了了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，现将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如下两幅统计图（不完整）．请你根据图中所给的信息解答下列问题：（1）本次随机抽取的人数是120人，并将以上两幅统计图补充完整；（2）若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则我校被抽取的学生中有96人达标；（3）若我校学生有1200人，请你估计此次测试中，全校达标的学生有多少人？【分析】（1）由“不合格”的人数除以占的百分比求出总人数，确定出“优秀”的人数，以及一般的百分比，补全统计图即可；（2）求出“一般”与“优秀”占的百分比，乘以总人数即可得到结果；（3）求出达标占的百分比，乘以1200即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：24÷20%＝120（人），则“优秀”人数为120﹣（24+36）＝60（人），“一般”占的百分比为×100%＝30%，补全统计图，如图所示：（2）根据题意得：36+60＝96（人），则达标的人数为96人；（3）根据题意得：×1200＝960（人），则全校达标的学生有960人．故答案为：（1）120；（2）96人．【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．22．（7分）在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字6，﹣2，7的小球，它们的形状大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．（1）第一次取出恰为写有数字﹣2的小球的概率为；（2）请你用列表法或树状图的方法（只选其中一种）求出两次取出小球上的数字之和为偶数的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次取出小球上的数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）第一次取出恰为写有数字﹣2的小球的概率＝；故答案为；（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次取出小球上的数字之和为偶数的结果数为5，所以两次取出小球上的数字之和为偶数的概率＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．23．（8分）如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，再由BE＝AB得出BE ＝CD，根据平行线的性质得出∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，进而可得出结论；（2）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，再由AB＝BE，可得CD＝EB，进而可判定四边形BECD是平行四边形，然后再证明BC＝DE即可得到四边形BECD是矩形【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝CD，AB∥CD．∵BE＝AB，∴BE＝CD．∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，在△BEF与△CDF中，∵，∴△BEF≌△CDF（ASA）；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，∵AB＝BE，∴CD＝EB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BF＝CF，EF＝DF，∵∠BFD＝2∠A，∴∠BFD＝2∠DCF，∴∠DCF＝∠FDC，∴DF＝CF，∴DE＝BC，∴四边形BECD是矩形．【点评】此题主要考查的值矩形的判定及平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分．24．（8分）为加快城市群的建设与发展，在徐州与连云港两城市间新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的210km缩短至180km，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快200km，运行时间仅是现行时间的，求建成后的城际铁路在徐州到连云港两地的运行时间．【分析】设建成后的城际铁路在徐州到连云港两地的运行时间为xh，则建成前在徐州到连云港两地的运行时间为xh，根据速度＝路程÷时间结合城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快200km，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设建成后的城际铁路在徐州到连云港两地的运行时间为xh，则建成前在徐州到连云港两地的运行时间为xh，依题意，得：﹣＝200，解得：x＝，经检验，x＝是原方程的解，且符合题意．答：建成后的城际铁路在徐州到连云港两地的运行时间为h．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．25．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）如果AB＝6，AE＝3，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OA，利用已知首先得出OA∥DE，进而证明OA⊥AE就能得到AE 是⊙O的切线；（2）通过证明△BAD∽△AED，再利用对应边成比例关系从而求出⊙O半径的长．【解答】（1）证明：连接OA，∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∵DA平分∠BDE，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴OA∥DE．∴∠OAE＝∠ADE，∵AE⊥CD，∴∠ADE＝90°．∴∠OAE＝90°，即OA⊥AE．又∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°．∵∠5＝90°，∴∠BAD＝∠5．又∵∠2＝∠3，∴△BAD∽△AED．∴＝，∵BA＝6，AE＝3，∴BD＝2AD．在Rt△BAD中，根据勾股定理，得BD＝4．∴⊙O半径为2．【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定及性质的运用和切线的求法等知识点的掌握情况．要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．26．（8分）初三（5）班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60°方向，C点在B点北偏东45°方向，C点在D点正东方向，且测得AB＝20米，BC ＝40米，求AD的长．（≈1.732，≈1.414，结果精确到0.01米）【分析】过点B作BE⊥DA，BF⊥DC，垂足分别为E、F，已知AD＝AE+ED，则分别求得AE、DE的长即可求得AD的长．【解答】解：过点B作BE⊥DA，BF⊥DC，垂足分别为E，F，由题意知，AD⊥CD∴四边形BFDE为矩形∴BF＝ED在Rt△ABE中，AE＝AB•cos∠EAB在Rt△BCF中，BF＝BC•cos∠FBC∴AD＝AE+BF＝20•cos60°+40•cos45°＝20×+40×＝10+20＝10+20×1.414＝38.28（米）．即AD＝38.28米．【点评】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．27．（10分）将一副直角三角尺按图1摆放，其中∠C＝90°，∠EDF＝90°，∠B＝60°，∠F＝45°，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC＝4cm．（1）求DG的长；（2）如图2．将△DEF绕点D按顺时针方向旋转，直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过点H，D作AB，BC的垂线，垂足分别为点M，N．猜想HM与CN之间的数量关系，并证明；（3）如图3，在旋转的过程中，若△DEF两边DE，DF与△ABC两边AC，BC分别交于K、T两点，则KT的最小值为4．【分析】（1）解直角三角形求出AB，再在Rt△ADG中，根据DG＝AD•tan30°计算即可解决问题．（2）利用相似三角形的性质解决问题即可．（3）证明K，D，T，C四点共圆，推出KT是该圆的直径，易知当CD是该圆的直径时，KT的长最短．【解答】解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝4，∠CAB＝30°∴AB＝2BC＝8，∵DF垂直平分线段AB，∴AD＝DB＝4，在Rt△ADG中，DG＝AD•tan30°＝4×＝4．（2）结论：CN＝HM．理由：如图2中，∵∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝DA＝DB，∵∠B＝60°，∴△BDC是等边三角形，∴∠DCB＝∠CDB＝60°，∵∠ACB＝∠CDH＝90°，∴∠MDH＝∠HCD＝30°，∴CD＝DH，∵∠DHM＝∠DCN＝60°，∠DMH＝∠DNC＝90°，∴△DMH∽△DNC，∴＝＝，∴CN＝HM．（3）如图3中，连接CD．∵∠KCT＝∠KDT＝90°，∴∠KCT+∠KDT＝180°，∴K，D，T，C四点共圆，∴KT是该圆的直径，当CD是该圆的直径时，KT的长最短，此时KT＝CD＝AB＝4．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．28．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y的正半轴交于点C．（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式．（2）点Q（m，0）是线段OB上一点，过点Q作y轴的平行线，与BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为D．探究：是否存在点Q，使得四边形MNDC是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E在二次函数图象上，且以E为圆心的圆与直线BC相切与点F，且EF＝，请直接写出点E的坐标．【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B，C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式，由点Q的坐标可得出点M，N的坐标，进而可得出MN的长度，结合点C的坐标可得出MC的长度，由菱形的性质可得出MN＝MC，进而可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值（取正值），进而可得出点Q的坐标；（3）过点E作EP∥直线BC，交y轴于点P，这样的点P有两个，记为P1，P2，利用面积法可求出点O到直线BC的距离，结合EF＝可得出点P1为线段OC的中点，进而可得出点P1的坐标，由CP1＝CP2可得出点P2的坐标，结合BC的解析式可求出直线EP的函数表达式，联立直线EP和抛物线的函数表达式成方程组，通过解方程组即可求出点P的坐标．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+3，得：，解得：，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+3．（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x+3＝3，∴点C的坐标为（0，3）．设直线BC的函数表达式为y＝kx+c（k≠0），将B（4，0），C（0，3）代入y＝kx+c，得：，解得：，。
2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分）1．某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（）A．1：2000B．1：200C．200：1D．2000：12．将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣23．若斜坡的坡比为1：，则斜坡的坡角等于（）A．30°B．45°C．50°D．60°4．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（）A．∠ADC＝∠ACB B．C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB5．若＝2，向量和向量方向相反，且||＝2||，则下列结论中不正确的是（）A．||＝2B．||＝4C．＝4D．＝6．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣10123…y…30﹣1m3…①抛物线开口向下②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1③m的值为0④图象不经过第三象限上述结论中正确的是（）A．①④B．②④C．③④D．②③二、填空题（本大题共12题，每题4分）7．已知，则的值是．8．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝．9．计算：（﹣2）﹣4＝．10．已知A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）是抛物线y＝（x﹣1）2+c上两点，则y1y2．（填“＞”、“＝”或“＜”）11．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AF分别交BC于点E、交DC的延长线于点F，且CF＝1，则CE的长为．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin A＝．13．如图，正方形DEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知BC 长为40厘米，若正方形DEFG的边长为25厘米，则ABC的高AH为厘米．14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交EF、BC于点G、H，若＝，＝，则用、表示＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG＝，则BC 长为．16．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为米（结果保留根号）．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E，cos B＝，则＝．18．在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，BC＝6，CD＝2，tan A＝．点E为BC上一点，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿直线EF翻折得到△GEF，当EG过点D时，BE的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）如图，已知△ABC，点D在边AC上，且AD＝2CD，AB∥EC，设＝，＝．（1）试用、表示；（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用、表示．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D的坐标；（2）若点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，求tan∠CEB的值．22．（10分）如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A为后胎中心，经测量车轮半径AD为30cm，中轴轴心C到地面的距离CF为30cm，座位高度最低刻度为155cm，此时车架中立管BC长为54cm，且∠BCA＝71°．（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.88）（1）求车座B到地面的高度（结果精确到1cm）；（2）根据经验，当车座B'到地面的距离B'E'为90cm时，身高175cm的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC拉长的长度BB'应是多少？（结果精确到1cm）23．（12分）如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2＝EG•ED．（1）求证：DE⊥EF；（2）求证：BC2＝2DF•BF．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．（1）求该抛物线的表达式；；（2）联结AM，求S△AOM（3）将抛物线C1向上平移得到抛物线C2，抛物线C2与x轴分别交于点E、F（点E在点F的左侧），如果△MBF与△AOM相似，求所有符合条件的抛物线C2的表达式．25．（14分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x．（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分）1．某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（）A．1：2000B．1：200C．200：1D．2000：1【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝”即可求得这幅设计图的比例尺．【解答】解：因为2毫米＝0.2厘米，则0.2厘米：40厘米＝1：200；所以这幅设计图的比例尺是1：200．故选：B．【点评】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．2．将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣2【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移+2个单位长度所得的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+2．故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．3．若斜坡的坡比为1：，则斜坡的坡角等于（）A．30°B．45°C．50°D．60°【分析】直接利用坡角的定义以及坡比的定义即可得出答案．【解答】解：∵斜坡的坡比为1：，设坡角为α，∴tanα＝＝，∴α＝60°．故选：D．【点评】此题考查了坡度坡角问题，借助解直角三角形的知识求解是关键．4．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（）A．∠ADC＝∠ACB B．C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB【分析】根据相似三角形的判定逐一判断可得．【解答】解：A、由∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；B、由不能判定△ACD∽△ABC，此选项符合题意；C、由∠ACD＝∠B，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；D、由AC2＝AD•AB，即＝，且∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．5．若＝2，向量和向量方向相反，且||＝2||，则下列结论中不正确的是（）A．||＝2B．||＝4C．＝4D．＝【分析】根据已知条件可以得到：＝﹣4，由此对选项进行判断．【解答】解：A、由＝2推知||＝2，故本选项不符合题意．B、由＝﹣4推知||＝4，故本选项不符合题意．C、依题意得：＝﹣4，故本选项符合题意．D、依题意得：＝，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．6．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣10123…y…30﹣1m3…①抛物线开口向下②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1③m的值为0④图象不经过第三象限上述结论中正确的是（）A．①④B．②④C．③④D．②③【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．【解答】解：由表格可知，抛物线的对称轴是直线x＝＝1，故②错误，抛物线的顶点坐标是（1，﹣1），有最小值，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，故①错误，当y＝0时，x＝0或x＝2，故m的值为0，故③正确，当y≤0时，x的取值范围是0≤x≤2，故④正确，故选：C．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题（本大题共12题，每题4分）7．已知，则的值是．【分析】已知，可设a＝2k，则b＝3k，代入所求的式子即可求解．【解答】解：∵∴设a＝2k，则b＝3k．∴＝＝．【点评】在解决本题时，根据已知中的比值，把几个未知数用一个未知数表示出来，是解决本题的关键．8．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝2﹣2．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：由于P为线段AB＝4的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝AB＝×4＝2﹣2．故答案为2﹣2．【点评】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．9．计算：（﹣2）﹣4＝﹣7．【分析】实数的运算法则同样适用于平面向量的计算．【解答】解：：（﹣2）﹣4＝﹣×2﹣4＝﹣7．故答案是：﹣7．【点评】本题考查了平面向量的有关概念，是基础题．10．已知A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）是抛物线y＝（x﹣1）2+c上两点，则y1＜y2．（填“＞”、“＝”或“＜”）【分析】根据二次函数的性质得到x＜1时，y随y的增大而减小，然后根据自变量的大小得到对应函数值的大小．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝1，而x＜1时，y随y的增大而减小，所以y1＜y2．故答案为＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．11．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AF分别交BC于点E、交DC的延长线于点F，且CF＝1，则CE的长为．【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质可得＝＝3，可得BE＝3CE，即可求CE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AD＝BC＝5，∴△ABE∽△FCE∴＝＝3∴BE＝3CE∵BC＝BE+CE＝5∴CE＝故答案为：【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin A＝．【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A，可代入数计算出答案．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴sin A＝＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦定义．13．如图，正方形DEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知BC 长为40厘米，若正方形DEFG的边长为25厘米，则ABC的高AH为厘米．【分析】由DG∥BC得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．【解答】解：设三角形ABC的高AH为x厘米．由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，∵AH⊥BC，∴AP⊥DG．由DG∥BC得△ADG∽△ABC∴＝．∵PH⊥BC，DE⊥BC，∴PH＝ED，AP＝AH﹣PH，∵BC长为40厘米，若正方形DEFG的边长为25厘米，∴＝，解得x＝．即AH为厘米．故答案为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交EF、BC于点G、H，若＝，＝，则用、表示＝．【分析】由梯形中位线定理得到EF＝，结合梯形的性质，平行四边形的判定与性质求得GF 的长度，利用平面向量表示即可．【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，则AD∥HC，AH∥CD，∴四边形AHCD是平行四边形．∴AD＝HC．又EF是梯形ABCD的中位线，∴EF＝，且GF＝AD．∴EG＝EF﹣GF＝﹣AD＝．∵＝，＝，∴＝．故答案是：．【点评】考查了平面向量和梯形中位线定理，注意：向量既有大小又有方向．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG＝，则BC 长为4．【分析】延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，由点G是△ABC的重心，得到CG＝2，求得CD ＝3，点D为AB的中点，根据等腰三角形的性质得到DC＝DB，又DE⊥BC，求得CE＝BE＝BC，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，∵点G是△ABC的重心，∵CG＝2，∴CD＝3，点D为AB的中点，∴DC＝DB，又DE⊥BC，∴CE＝BE＝BC，∵∠ACG+∠DCE＝∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠ACG＝∠CDE，∵sin∠ACG＝sin∠CDE＝，∴CE＝2，∴BC＝4故答案为：4．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质以及锐角三角函数的定义，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．16．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为（50﹣10）米（结果保留根号）．【分析】过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，可得四边形ECBG，HBDF是矩形，在Rt△AEG中，根据三角函数求得EG，在Rt△AHP中，根据三角函数求得AH，再根据线段的和差关系即可求解．【解答】解：过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，则四边形ECBG，HBDF是矩形，∴EC＝GB＝20，HB＝FD，∵B为CD的中点，∴EG＝CB＝BD＝HF，由已知得：∠EAG＝90°﹣60°＝30°，∠AFH＝45°．在Rt△AEG中，AG＝AB﹣GB＝50﹣20＝30米，∴EG＝AG•tan30°＝30×＝10米，在Rt△AHP中，AH＝HF•tan45°＝10米，∴FD＝HB＝AB﹣AH＝50﹣10（米）．答：2号楼的高度为（50﹣10）米．故答案为：（50﹣10）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E，cos B＝，则＝．【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，设BD＝5x，AB＝13x，根据勾股定理得到AD＝＝12x，求得BC＝2BD＝10x，根据相似三角形的性质得到BE＝x，CE＝x，于是得到结论．【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵cos B＝＝，设BD＝5x，AB＝13x，∴AD＝＝12x，∴BC＝2BD＝10x，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE，∴，∴＝，∴BE＝x，CE＝x，∴＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．18．在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，BC＝6，CD＝2，tan A＝．点E为BC上一点，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿直线EF翻折得到△GEF，当EG过点D时，BE的长为．【分析】根据平行线的性质得到∠A＝∠EFB，∠GFE＝∠AMF，根据轴对称的性质得到∠GFE＝∠BFE，求得∠A＝∠AMF，得到AF＝FM，作DQ⊥AB于点Q，求得∠AQD＝∠DQB＝90°．根据矩形的性质得到CD＝QB＝2，QD＝CB＝6，求得AQ＝10﹣2＝8，根据勾股定理得到AD＝＝10，设EB＝3x，求得FB＝4x，CE＝6﹣3x，求得AF＝MF＝10﹣4x，GM＝8x﹣10，根据相似三角形的性质得到GD＝6x﹣，求得DE＝﹣3x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：如图，∵EF∥AD，∴∠A＝∠EFB，∠GFE＝∠AMF，∵△GFE与△BFE关于EF对称，∴△GFE≌△BFE，∴∠GFE＝∠BFE，∴∠A＝∠AMF，∴△AMF是等腰三角形，∴AF＝FM，作DQ⊥AB于点Q，∴∠AQD＝∠DQB＝90°．∵AB∥DC，∴∠CDQ＝90°．∵∠B＝90°，∴四边形CDQB是矩形，∴CD＝QB＝2，QD＝CB＝6，∴AQ＝10﹣2＝8，在Rt△ADQ中，由勾股定理得AD＝＝10，∵tan A＝，∴tan∠EFB＝＝，设EB＝3x，∴FB＝4x，CE＝6﹣3x，∴AF＝MF＝10﹣4x，∴GM＝8x﹣10，∵∠G＝∠B＝∠DQA＝90°，∠GMD＝∠A，∴△DGM∽△DQA，∴＝，∴GD＝6x﹣，∴DE＝﹣3x，在Rt△CED中，由勾股定理得（﹣3x）2﹣（6﹣3x）2＝4，解得：3x＝，∴当EG过点D时BE＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定及性质的运用，矩形的性质的运用，勾股定理的性质的运用，轴对称的性质的运用，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．【解答】解：原式＝＝＝＝2+．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．20．（10分）如图，已知△ABC，点D在边AC上，且AD＝2CD，AB∥EC，设＝，＝．（1）试用、表示；（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用、表示．【分析】（1）利用三角形法则求出，再根据CD＝CA求出即可解决问题．（2）利用平行四边形法则，画出分向量，根据＝+计算即可．【解答】解：（1）∵＝，＝，∴＝+＝﹣+，∵AD＝2CD，∴CD＝CA，∵与同向，∴＝＝（﹣+）＝﹣；（2）如图在、上的分向量分别为，．∵＝+＝+﹣＝+．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D的坐标；（2）若点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，求tan∠CEB的值．【分析】（1）根据抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），可以得到抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式，即可得到顶点D的坐标；（2）根据题意，可以求得点E的坐标，从而可以求得直线EB的函数解析式，进而求得与y轴的交点，从而可以求得tan∠CEB的值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），∴，得，∴y＝﹣x2﹣+2＝，∴抛物线顶点D的坐标为（﹣1，），即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣+2，顶点D的坐标为（﹣1，）；（2）∵y＝，∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∵点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，点C（0，2），∴点E的坐标为（﹣2，2），当y＝0时，0＝，得x1＝﹣3，x2＝1，∴点B的坐标为（1，0），设直线BE的函数解析式为y＝kx+n，，得，∴直线BE的函数解析式为y＝﹣，当x＝0时，y＝，设直线BE与y轴交于点F，则点F的坐标为（0，），∴OF＝，∵点C（0，2），点E（﹣2，2），∴OC＝2，CE＝2，∴CF＝2﹣＝，∴tan∠CEF＝，即tan∠CEB的值是．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．（10分）如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A为后胎中心，经测量车轮半径AD为30cm，中轴轴心C到地面的距离CF为30cm，座位高度最低刻度为155cm，此时车架中立管BC长为54cm，且∠BCA＝71°．（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.88）（1）求车座B到地面的高度（结果精确到1cm）；（2）根据经验，当车座B'到地面的距离B'E'为90cm时，身高175cm的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC拉长的长度BB'应是多少？（结果精确到1cm）【分析】（1）根据上题证得的结论分别求得BH的长，利用正弦函数的定义即可得到结论；（2）设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，得到△B'H'C∽△BHC，利用相似三角形的性质求得BB'的长即可．【解答】解：（1）设AC于BE交于H，∵AD⊥l，CF⊥l，HE⊥l，∴AD∥CF∥HE，∵AD＝30cm，CF＝30cm，∴AD＝CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∵∠ADF＝90°，∴四边形ADFC是矩形，∴HE＝AD＝30cm，∵BC长为54cm，且∠BCA＝71°，∴BH＝BC•sin71°＝51.3cm，∴BE＝BH+EH＝BH+AD＝51.3+30≈81cm；答：车座B到地面的高度是81cm；（2）如图所示，B'E'＝96.8cm，设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，∴△B'H'C∽△BHC，得＝．即＝，∴B'C＝cm．故BB'＝B'C﹣BC＝60﹣54＝6（cm）．∴车架中立管BC拉长的长度BB'应是6cm．【点评】本题考查了相似三角形的应用、切线的性质解解直角三角形的应用，解题的难点在于从实际问题中抽象出数学问题，难度较大．23．（12分）如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2＝EG•ED．（1）求证：DE⊥EF；（2）求证：BC2＝2DF•BF．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AE＝FE，根据相似三角形的性质得到∠EAG＝∠ADG，求得∠DAG＝∠FEG，根据菱形的性质得到AD∥BC，求得∠DAG＝∠AFB＝90°，于是得到结论；（2）由AE＝EF，AE2＝EG•ED，得到FE2＝EG•ED，推出△FEG∽△DEF，根据相似三角形的性质得到∠EFG＝∠EDF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴AE＝FE，∴∠EAF＝∠AFE，∵AE2＝EG•ED，∴＝，∵∠AEG＝∠DEA，∴△AEG∽△DEA，∴∠EAG＝∠ADG，∵∠AGD＝∠FGE，∴∠DAG＝∠FEG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAG＝∠AFB＝90°，∴∠FEG＝90°，∴DE⊥EF；（2）解：∵AE＝EF，AE2＝EG•ED，∴FE2＝EG•ED，∴＝，∵∠FEG＝∠DEF，∴△FEG∽△DEF，∴∠EFG＝∠EDF，∴∠BAF＝∠EDF，∵∠DEF＝∠AFB＝90°，∴△ABF∽△DFE，∴＝，∵四边形ACBD是菱形，∴AB＝BC，∵∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴FE＝AB＝BC，∴＝，∴BC2＝2DF•BF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．（1）求该抛物线的表达式；；（2）联结AM，求S△AOM（3）将抛物线C1向上平移得到抛物线C2，抛物线C2与x轴分别交于点E、F（点E在点F的左侧），如果△MBF与△AOM相似，求所有符合条件的抛物线C2的表达式．【分析】（1）根据题意，可以写出点B和点A的坐标，从而可以得到该抛物线的表达式；（2）根据（1）中的函数解析式，可以求得点M的坐标，从而可以求得直线AM的函数解析式，从；而可以求得S△AOM（3）根据题意，利用分类讨论的方法和三角形相似的知识可以求得点F的坐标，从而可以求得抛物线C2的表达式．【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB ＝120°，∴点B（2，0），点A（﹣1，﹣），∴，得，∴该抛物线的解析式为y＝；（2）连接MO，AM，AM与y轴交于点D，∵y＝＝，∴点M的坐标为（1，），设过点A（﹣1，﹣），M（1，）的直线解析式为y＝mx+n，，得，∴直线AM的函数解析式为y＝x﹣，当x＝0时，y＝﹣，∴点D的坐标为（0，﹣），∴OD ＝，∴S △AOM ＝S △AOD +S △MOD ＝＝； （3）当△AOM ∽△FBM 时，，∵OA ＝2，点O （0，0），点M （1，），点B （2，0），∴OM ＝，BM ＝， ∴，解得，BF ＝2，∴点F 的坐标为（4，0），设抛物线C 2的函数解析式为：y ＝+c ， ∵点F （4，0）在抛物线C 2上，∴0＝+c ，得c ＝，∴抛物线C 2的函数解析式为：y ＝+3； 当△AOM ∽△MBF 时，，∵OA ＝2，点O （0，0），点M （1，），点B （2，0），∴OM ＝，BM ＝， ∴，解得，BF ＝，∴点F 的坐标为（，0），设抛物线C 2的函数解析式为：y ＝+d ，∵点F（，0）在抛物线C2上，∴0＝，得d＝，∴抛物线C2的函数解析式为：y＝+．【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论和数形结合的思想解答．25．（14分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x．（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．【分析】（1）证明△ADC∽△DCE，利用AC•CE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝10•5a，即可求解；（2）过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，CD2＝CH2+DH2＝（AC sinα）2+（AC cosα﹣x）2，即可求解；（3）分DF＝DC、FC＝DC、FC＝FD三种情况，求解即可．【解答】解：（1）设：∠ACB＝∠EDC＝∠α＝∠CAD，∵cosα＝，∴sinα＝，过点A作AH⊥BC交于点H，AH＝AC•sinα＝6＝DF，BH＝2，如图1，设：FC＝4a，∴cos∠ACB＝，则EF＝3a，EC＝5a，∵∠EDC＝∠α＝∠CAD，∠ACD＝∠ACD，∴△ADC∽△DCE，∴AC•CE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝10•5a，解得：a＝2或（舍去a＝2），AD＝HF＝10﹣2﹣4a＝；（2）过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，CD2＝CH2+DH2＝（AC sinα）2+（AC cosα﹣x）2，即：CD2＝36+（8﹣x）2，由（1）得：AC•CE＝CD2，即：y＝x2﹣x+10（0＜x≤10）…①，（3）①当DF＝DC时，∵∠ECF＝∠FDC＝α，∠DFC＝∠DFC，∴△DFC∽△CFE，∵DF＝DC，∴FC＝EC＝y，∴x+y＝10，即：10＝x2﹣x+10+x，解得：x＝6；②当FC＝DC，则∠DFC＝∠FDC＝α，则：EF＝EC＝y，DE＝AE＝10﹣y，在等腰△ADE中，cos∠DAE＝cosα＝＝＝，即：5x+8y＝80，将上式代入①式并解得：x＝；③当FC＝FD，则∠FCD＝∠FDC＝α，而∠ECF＝α≠∠FCD，不成立，故：该情况不存在；故：AD的长为6和．【点评】本题为四边形的综合题，涉及到解直角三角形、一元二次方程，三角形相似等诸多知识点，其中三角形相似是本题的突破点，难度较大．。
2019届徐汇区高三一模数学试卷(含标答)
公众号：上海 maths
且 l1 与圆相交于 A, B 两点， l2 与圆 N 相交于 C , D 两点，点 P 是椭圆 点，则 PA PB PC PD 的最小值为 二、选择题： 13、设 R ，则“
x2 y2 1 上任意一 9 4
1 ”是“ sin ”的（ 6 2
21、已知项数为 n0 n0 4 项的有穷数列 an ，若同时满足以下三个条件： ① a1 1 ， an0 m （ m 为正整数） ；② ai ai 1 0 或 1，其中 i 2,3,...n0 ； ③任取数列 an 中的两项 a p , aq （ p q ） ，剩下 n0 2 项中一定存在两项 as , at （ s t ） ， 满足 a p aq as at ，则称数列 an 为 数列。 （1） 若数列 an 是首项为 1， 公差为 1， 项数为 6 项的等差数列， 判断数列 an 是否是 数 列，并说明理由； （ 2 ） 当 m 3 时 ， 设 数 列 an 中 1 出 现 d1 次 ， 2 出 现 d 2 次 ， 3 出 现 d 3 次 ， 其 中
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18、已知函数 f x
ax 2 ，其中 a R 。 x2
（1）解关于 x 的不等式 f x 1 ； （2）求 a 的取值范围，使 f x 在区间 0, 上是单调递减函数。
19、我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多，某沿海地区的海岸线为一段圆弧 AB ， 对应的圆心角 AOB
d1 , d 2 , d 3 N ，求证： d1 4 ， d 2 2 ， d 3 4
（3）当 m 2019 时，求 数列 an 中项数 n0 的最小值。
2019年上海市徐汇区高考一模(文科)数学试题(附带超详细答案解析)
……○………学校:_______……○………绝密★启用前2019年上海市徐汇区高考一模（文科)数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知向量a 与b 不共线，且0a b =≠vv ，则下列结论中正确的是（ ）A ．向量a b +v v 与a b -v v垂直B ．向量a b -v v 与a v垂直C ．向量a b +v v 与a v 垂直D ．向量a b +v v 与a b -v v共线2．若,a b 为实数，则“01ab <<”是“1b a<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．设x 、y 均是实数，i 是虚数单位，复数（x ﹣2y ）+（5﹣2x ﹣y ）i 的实部大于0，虚部不小于0，则复数z=x+yi 在复平面上的点集用阴影表示为图中的（ ）A ．B ．C ．D ．4．设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意1x 、2x D ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图象的对称中心．研究函数()sin 3f x x x π=+-的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到1234030403120162016201620162016f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x=-，则抛物线的标准方程是__________. 6．方程log2(3x−5)=2的解是_______________7．设3nna-=（*n N∈）则数列{}n a的各项和为________8．函数()()sin24f x x x Rπ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭的单调递增区间是________________.9．若函数()f x的图象与对数函数4logy x=的图象关于直线x+y=0对称，则()f x的解析式为()f x=______．10．函数()24f x x x a=--有四个零点，则a的取值范围是________．11．设x、y R+∈且191x y+=，则x y+的最小值为___________.12．若三条直线30ax y++=，20x y++=和210x y-+=相交于一点，则行列式111a的值为________________.13．在ABC∆中，边2BC=，AB=C的取值范围是________________. 14．已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，CD=2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是________.15．()()322134x x x+++展开后各项系数的和等于______．16．已知函数()21f x x=-的定义域为D，值域为{}0,1，则这样的集合D最多有______个.17．正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为______．18．设1x，2x是实系数一元二次方程20ax bx c++=的两个根，若1x是虚数，212xx是实数，则24816321111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．三、解答题19．在三棱锥S ABC-中，,,SA AB SA AC AC BC⊥⊥⊥且2,AC BC SB ===（Ⅰ）求证：SC BC ⊥; （Ⅱ）求三棱锥的体积S ABC V -.20．已知函数()2sin 2sin 2cos2f x x x x =-.（1）化简函数()f x 的表达式，并求函数()f x 的最小正周期； （2）若点()00,A x y 是()y f x =图象的对称中心，且00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求点A 的坐标. 21．已知实数x 满足2411033903x x ---⋅+≤且()22log log 22x f x =⋅ （1）求实数x 的取值范围.（2）求()f x 的最大值和最小值，并求出此时x 的值. 22．数列{}n a 满足15a =，且()1231111122,n nn n N a a a a a *-++++=≥∈L . （1）求2a 、3a 、4a ；SABC订…………○…内※※答※※题※※订…………○…（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）令112nn na b a =-，求数列{}n b 的最大值与最小值.23．某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中()()0,025E t t <≤；曲线BC 是抛物线()2500y ax a =-+>的一部分；CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径.假定拟建体育馆的高50OB =（单位：米，下同）.（1）若20t =，149a =，求CD 、AD 的长度； （2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围； （3）若125a =，求AD 的最大值.参考答案1．A 【解析】 【分析】通过计算向量数量积确定是否具有垂直关系. 【详解】因为a b =r r ，()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=r r r r r r r r ,所以向量a b +r r 与a b -r r 垂直.当(1,0)a =r ，(0,1)b =r 时0a b =≠r r ，但向量a b -r r与a r 不垂直、向量a b +r r 与a r 不垂直、向量a b +r r 与a b -r r不共线故选：A. 【点睛】本题考查利用向量的数量积运算判定向量的垂直关系，属于基础题. 2．D 【解析】 【详解】若“0＜ab ＜1”，当a ，b 均小于0时，b ＞1a 即“0＜ab ＜1”⇒“b ＜1a”为假命题； 若“b ＜1a 当a ＜0时，ab ＞1，即“b ＜1a”⇒“0＜ab ＜1”为假命题，综上“0＜ab ＜1”是“b ＜1a”的既不充分也不必要条件，故选D 3．A 【解析】试题分析：由复数（x ﹣2y ）+（5﹣2x ﹣y ）i 的实部大于0，虚部不小于0，可得，利用线性规划的知识可得可行域即可．解：∵复数（x ﹣2y ）+（5﹣2x ﹣y ）i 的实部大于0，虚部不小于0， ∴，由线性规划的知识可得：可行域为直线x=2y 的右下方和直线的左下方，因此为A ． 故选A ．考点：复数的代数表示法及其几何意义． 4．C 【解析】 【分析】利用函数对称中心的性质可知，当122x x +=时，恒有()()124f x f x +=-，由此求出结果． 【详解】∵()sin 3f x x x π=+-，∴当1x =时，()11sin 32f π=+-=-，∴根据对称中心的定义，可得当122x x +=时，恒有()()124f x f x +=-， ∴1234030403120162016201620162016f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1403120162015201620162016ff f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()201542=⨯-- 8062=-．故选：C ． 【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 5．28y x = 【解析】 【分析】根据抛物线准线方程可求出p ，再根据准线方程设出抛物线的标准方程，代入p 值即可. 【详解】 由题意可知：22p=，4p ∴=且抛物线的标准方程的焦点在x 轴的正半轴上 故可设抛物线的标准方程为：22y px =将p 代入可得28y x =.故答案为：28y x =. 【点睛】本题考查了根据抛物线准线的方程求抛物线标准方程，属于基础题. 6．x ＝2 【解析】 【分析】把对数方程转化为指数方程，解方程即可. 【详解】解：由方程log 2(3x −5)=2可得 3x ﹣5＝4，即3x ＝32，解得x ＝2， 故答案为 x ＝2． 【点睛】本题主要考查对数方程的解法，指数对数的运算性质应用，属于基础题． 7．12【解析】 【分析】根据无穷等比数列的各项和的计算方法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，数列{}n a 的通项公式为13()3nn n a -==，且113a =， 所以数列{}n a 的各项和为111311213a q ==--.故答案为：12.【点睛】本题主要考查了无穷等比数列的各项和的求解，其中解答中熟记无穷等比数列的各项和的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】解不等式()222242k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，即可求出函数()y f x =的单调递增区间. 【详解】 解不等式()222242k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，得()388k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 因此，函数()y f x =的单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解，熟悉正弦函数的单调性是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 9．4x y -=- 【解析】 【分析】先设()f x 上任意一点(),x y ，求出这个点关于0x y +=的对称点，则根据题意该对称点在函数4log y x =的图象上，满足函数4log y x =的解析式，从而可求出点(),x y 的轨迹方程. 【详解】设函数()f x 的图象上任意一点(),x y ，则点(),x y 关于0x y +=的对称点(),x y ''在对数函数4log y x =的图象．由题意知1022y yx xx x y y -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+='''⎩'⎪，解得x y '=-，y x '=-又∵点(),x y ''在对数函数4log y x =的图象 ∴()4log x y -=-∴4xy --=，∴4x y -=-；故答案为：4xy -=-．【点睛】本题考查利用函数的图象与性质，求函数的解析式．解题的关键是求出点关于某条直线的对称点，属于基础题． 10．(0,4) 【解析】 【分析】()24f x x x a =--有四个零点则240x x a --=,即24x x a -=有四个根,故画出24y x x =-的图像,与y a =有四个交点即可.【详解】由题240x x a --=即24x x a -=有四个根,画出24y x x =-的图像有当2x =时24224y =⨯-=,故a 的取值范围是(0,4) 故答案为(0,4) 【点睛】本题主要考查了绝对值函数的画法以及数形结合的思想,属于基础题型. 11．16 【解析】 【分析】把代数式变形为1()x y ⋅+，用191x y=+进行代换，最后利用基本不等式求解即可. 【详解】191x y+=Q， ,x y R +∈，199()9()101016x y x y y x x y x y x y x y x y ⎛⎫++∴+=+⋅+=+=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当9y xx y=时，取等号，即4x =，12y =时取等号）. 故答案为：16 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力. 12．1 【解析】 【分析】先由三条直线30ax y ++=，20x y ++=和210x y -+=相交于一点，求出a ，再由二阶行列式的计算法则可计算出行列式111a 的值.【详解】 联立20210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩，由于三条直线30ax y ++=，20x y ++=和210x y -+=相交于一点， 所以，直线30ax y ++=过点()1,1--，则130a --+=，解得2a =，因此，212111111=⨯-⨯=.故答案为：1. 【点睛】本题考查三线共点问题的求解，同时也考查了二阶行列式的计算，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式计算法则的合理运用． 13．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】利用余弦定理构建方程，利用判别式可得不等式，从而可求角C 的取值范围． 【详解】由题意，设AC b =，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅， 即2344cos b b C =+-，即24cos 10b b C -+=，216cos 40C ∴∆=-≥，1cos 2C ∴≥或1cos 2C ≤-， AB BC <Q ，C ∴不可能为钝角，则1cos 2C ≥，又0C >，03C π∴<≤.因此，角C 的取值范围是0,3π⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查余弦定理的运用，考查解不等式，解题的关键是利用余弦定理构建方程，利用判别式得不等式，属于中等题. 14．23π 【解析】 【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ，进而在△A 0B 中，利用余弦定理求得cos ∠AOB 的值，则∠AOB 可求，进而根据弧长的计算方法求得答案． 【详解】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O 在CD 中点，则OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝1，再由AB =A 0B 中，利用余弦定理cos ∠AOB 11312112+-==-⨯⨯，则∠AOB 23π=，则弧AB 23π=•123π=． 故答案为：23π．【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等，考查了学生观察分析和基本的运算能力． 15．28 【解析】 【分析】根据题意，令1x =，代入多项式即可求出展开式中各项系数的和． 【详解】由于()()322134x x x +++展开后含有字母x ，令1x =，则展开式中各项系数的和为： ()()32121131428+⨯+⨯+=； 故答案为：28． 【点睛】本题考查了求多项式展开式的各项系数和的应用问题，解题的关键应该先令1x =，然后即可求出结果，属于基础题． 16．9 【解析】 【分析】根据值域中的几个函数值，结合函数表达式推断出定义域中可能出现的几个x 值，再加以组合即可得到定义域D 的各种情况． 【详解】令()0f x =，可得1x =±；令()1f x =，可得x =因此，定义域D 的可能结果为：{1,-、{-、{1,、{、{1,1,-、{-、{1,-、{1,、{1,1,-，共9种.故答案为：9.【点睛】本题给出二次函数的一个值域，要我们求函数的定义域最多有几个，着重考查了函数的定义与进行简单合情推理等知识，属于基础题． 17．14【解析】 【分析】首先求出基本事件总数4416n =⨯=，再由列举法求出露在外面的6个数字之和恰好是9包含的基本事件个数，再利用古典概型公式，即可求出露在外面的6个数字之和恰好是9的概率． 【详解】正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上， 露在外面的6个数字之和包含的基本事件总数4416n =⨯=， 设两个正四面体中压在桌面的数字分别为m ，n ，则露在外面的6个数字之和恰好是9的基本情况有：()0,3，()3,0，()1,2，()2,1，共包含4个基本事件，∴露在外面的6个数字之和恰好是9的概率41164p ==． 故答案为：14． 【点睛】本题考查古典概型公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． 18．-2 【解析】 【分析】设1i x s t =+（s ，t ∈R ，0t ≠）．则2i x s t =-．则122x x s +=，2212x x s t =+．利用212x x 是实数，可得223s t =．于是122x x s +=，2212x x s t =+．2112210x x x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，取12x x ω=，则210ωω++=，31ω=．代入化简即可得出． 【详解】设1i x s t =+（s ，t ∈R ，0t ≠）．则2i x s t =-．则122x x s +=，2212x x s t =+．∵()223223122222i 33i i s t x s st s t t x s t s t s t+--==+-++是实数，∴2330s t t -=， ∴223s t =．∴122x x s +=，2212x x s t =+．∴()22221212121242s x x x x x x x x =+=++=，∴122110x x x x ++=， 取12x x ω=， 则210ωω++=， ∴31ω=． 则2481632248163211111122222211x x x x x x S x x x x x x ωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭220ωωωω=++++2=-．故答案为：2-． 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了复数的概念，考查了复数的性质210ωω++=，属于中档题.19．（Ⅰ）证明过程详见试题解析；（Ⅱ）3. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由线线垂直得到线面垂直，再根据直线所在的平面得到线线垂直；（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式13S ABC ABC V S h -∆=⋅⋅求之. 试题解析：（Ⅰ）证明：因为090SAB SAC ∠=∠=,所以,SA AB SA AC ⊥⊥. 又因为AB AC A ⋂=,所以SA ⊥平面ABC ,所以SA BC ⊥.又090ACB ∠=,所以AC BC ⊥.所以BC ⊥平面SAC .故SC BC ⊥.（Ⅱ）在ABC ∆中，090,2,ACB AC BC ∠===所以AB =又在SAB ∆中，,SA AB AB SB ⊥==,所以SA =.又因为SA ⊥平面ABC ,所以112323S ABC V -⎛=⨯⨯⨯=⎝. 考点：（Ⅰ）线面垂直的性质定理；（Ⅱ）三棱锥的体积公式.20．（1）()f x 14242x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，最小正周期为2π；（2）31,162π⎛⎫ ⎪⎝⎭或71,162π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式、二倍角公式、辅助角公式化简()14242f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，代入周期公式计算周期；（2）由对称中心的性质可知0sin 404x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求出0x ，即可得到点A 的坐标． 【详解】（1）()()21cos 4111sin 2sin 2cos 2sin 4sin 4cos 42222x f x x x x x x x -=-=-=-++14242x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 所以，函数()y f x =的最小正周期为242T ππ==；（2）由()14242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，Q 点()00,A x y 是函数()y f x =图象的对称中心，则0sin 404x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得()044x k k Z ππ+=∈，()0416k x k Z ππ∴=-∈， 由()04162k k Z πππ≤-≤∈，解得()1944k k Z ≤≤∈，得1k =或2k =， 当1k =时，0316x π=，此时，点A 的坐标为31,162π⎛⎫⎪⎝⎭； 当2k =时，0716x π=，此时，点A 的坐标为71,162π⎛⎫⎪⎝⎭. 综上所述，点A 的坐标为31,162π⎛⎫ ⎪⎝⎭或71,162π⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．21．（1）[]2,4 （2）()min 1=8f x - x =; ()max 0f x = 2x =或4x = 【解析】 【分析】(1)由题意求解关于23x -的二次不等式即可确定函数的定义域；(2)由题意，利用换元法，结合二次函数的性质求解函数的最值和函数取得最值时自变量的取值即可. 【详解】 （1）由2411033903x x ---⋅+≤ 可得242310390x x ---⋅+≤ ，即 ()()2223139013924x x x x -----≤∴≤≤∴≤≤故实数x 的取值范围是[]2,4（2）()()()()2222221*********x f x log log log x log x log x log x ⎛⎫=⋅=--=-- ⎪⎝⎭， 令2log x t =，则[]1,2t ∈ ，()()()()21131122228f xg t t t t ⎛⎫∴==--=-- ⎪⎝⎭ ，()g t Q 在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，()()3128min min f x g t g ⎛⎫∴===- ⎪⎝⎭，此时232log x =解得x = ()()()()120max max f x g t g g ====，此时21log x =或22log x =即2x =或4x =. 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．22．（1）210a =，3203a =，4209a =；（2）25,1210,23n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（3）数列{}n b 的最大值为5，最小值为207-. 【解析】 【分析】（1）由题设条件，分别令2n =、3n =、4n =可计算出2a 、3a 、4a 的值； （2）令3n ≥，由123111112n n a a a a a -++++=L 可得出1232111112n n a a a a a --++++=L ，两式作差可得出123n n a a -=，再利用等比数列的通项公式即可得出数列{}n a 的通项公式； （3）先求出数列{}n b 的通项公式，分23112002n -⎛⎫⋅-> ⎪⎝⎭和23112002n -⎛⎫⋅-< ⎪⎝⎭两种情况讨论，利用数列的单调性即可求出数列{}n b 的最大值与最小值. 【详解】（1）Q 数列{}n a 满足15a =，且()1231111122,n nn n N a a a a a *-++++=≥∈L ，当2n =时，则有2125a =，解得210a =；当3n =时，则有31221111351010a a a =+=+=，解得3203a =； 当4n =时，则有4123211111395102020a a a a =++=++=，解得4409a =； （2）当3n ≥时，由123111112n n a a a a a -++++=L 可得出1232111112n n a a a a a --++++=L ， 两式相减得11122n n n a a a --=-，123n n a a -∴=，123n n a a -∴=，且212a a =， 所以，数列{}n a 从第二项起成等比数列，又210a =，所以25,1210,23n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩； （3）225,12103,2112211203n n n n n n a b n a --=⎧⎪⎛⎫⎪⋅⎪ ⎪==⎨⎝⎭≥-⎪⎛⎫⎪-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎩Q ， 当2n ≥时，222210103231120112032n n n n b ---⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫-⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当23n ≤≤时，23112002n -⎛⎫⋅-< ⎪⎝⎭，此时，数列{}n b 单调递减，且3207n b b ≥=-； 当4n ≥时，23112002n -⎛⎫⋅-> ⎪⎝⎭，此时，数列{}n b 单调递减，且44019n b b ≤=. 1440519b b =>=Q ，因此，数列{}n b 的最大值为15b =，最小值为3207b =-. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、数列的单调性、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（1）30CD =，AD =（2）1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）. 【解析】 【分析】（1）由CD OB OE =-可求出CD 的长，在抛物线方程中，令30y =，可求出OD 的长，在圆E 的方程中，令0y =，可求出AO 的长，相加即可得出AD 的长；（2≤恒成立，根据基本不等式解出即可；（3）先求得OD =E 的方程中，令0y =，可得出OA =AD =())025f t t =<≤，将问题转化为求函数()y f t =在(]0,25t ∈上的最大值.法一：令225cos t α=，0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，利用三角函数知识可求出()y f t =的最大值；法二：令x =y =，将问题转化为已知()22250,0x y x y +=≥≥，求()52z AD x y ==+的最大值，利用数形结合思想可求出AD 的最大值.【详解】（1）因为圆E 的半径为5030OB OE t -=-=，所以30CD =米，在215049y x =-+中令30y =，得OD =在圆()222:2030E x y +-=中，令0y =得AO =所以AD AO OD =+== （2）由圆E 的半径为50OB OE t -=-，得50.CD t =-在250y ax =-+中，令50y t =-，得OD =50DF OF OD t =+=-由题意知5075t-+≤对(]0,25t ∈≤恒成立.=25t =取得最小值1010≤，解得1100a ≥. 因此，实数a 的取值范围是1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； （3）当125a =时，OD = 又圆E 的方程为()()22250x y t t +-=-，令0y =，得x =±所以OA =AD = 下求())025f t t =<≤的最大值.方法一：令225cos t α=，0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则()105sin 55cos AD αααϕ==⨯+⨯=+， 其中ϕ是锐角，且1tan 2ϕ=，从而当2παϕ+=时，AD取得最大值方法二：令x =，y =()22250,0x y x y +=≥≥，求()52z AD x y ==+的最大值.当直线25z y x =-+与圆弧()22250,0x y x y +=≥≥相切时，直线25z y x =-+在y 轴上的截距最大，此时z5≤，0z >Q，解得0z <≤因此，z的最大值为答：当5t =米时，AD的最大值为.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，考查三角函数问题，考查函数不等式恒成立问题，考查了化归与转化思想的应用，是一道难题．答案第17页，总17页。
2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分）1．某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（）A．1：2000B．1：200C．200：1D．2000：12．将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣23．若斜坡的坡比为1：，则斜坡的坡角等于（）A．30°B．45°C．50°D．60°4．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（）A．∠ADC＝∠ACB B．C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB5．若＝2，向量和向量方向相反，且||＝2||，则下列结论中不正确的是（）A．||＝2B．||＝4C．＝4D．＝6．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣10123…y…30﹣1m3…①抛物线开口向下②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1③m的值为0④图象不经过第三象限上述结论中正确的是（）A．①④B．②④C．③④D．②③二、填空题（本大题共12题，每题4分）7．已知，则的值是．8．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝．9．计算：（﹣2）﹣4＝．10．已知A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）是抛物线y＝（x﹣1）2+c上两点，则y1y2．（填“＞”、“＝”或“＜”）11．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AF分别交BC于点E、交DC的延长线于点F，且CF＝1，则CE的长为．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin A＝．13．如图，正方形DEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知BC 长为40厘米，若正方形DEFG的边长为25厘米，则ABC的高AH为厘米．14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交EF、BC于点G、H，若＝，＝，则用、表示＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG＝，则BC 长为．16．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为米（结果保留根号）．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E，cos B＝，则＝．18．在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，BC＝6，CD＝2，tan A＝．点E为BC上一点，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿直线EF翻折得到△GEF，当EG过点D时，BE的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）如图，已知△ABC，点D在边AC上，且AD＝2CD，AB∥EC，设＝，＝．（1）试用、表示；（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用、表示．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D的坐标；（2）若点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，求tan∠CEB的值．22．（10分）如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A为后胎中心，经测量车轮半径AD为30cm，中轴轴心C到地面的距离CF为30cm，座位高度最低刻度为155cm，此时车架中立管BC长为54cm，且∠BCA＝71°．（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.88）（1）求车座B到地面的高度（结果精确到1cm）；（2）根据经验，当车座B'到地面的距离B'E'为90cm时，身高175cm的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC拉长的长度BB'应是多少？（结果精确到1cm）23．（12分）如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2＝EG•ED．（1）求证：DE⊥EF；（2）求证：BC2＝2DF•BF．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．（1）求该抛物线的表达式；；（2）联结AM，求S△AOM（3）将抛物线C1向上平移得到抛物线C2，抛物线C2与x轴分别交于点E、F（点E在点F的左侧），如果△MBF与△AOM相似，求所有符合条件的抛物线C2的表达式．25．（14分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x．（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分）1．某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（）A．1：2000B．1：200C．200：1D．2000：1【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝”即可求得这幅设计图的比例尺．【解答】解：因为2毫米＝0.2厘米，则0.2厘米：40厘米＝1：200；所以这幅设计图的比例尺是1：200．故选：B．【点评】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．2．将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣2【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移+2个单位长度所得的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+2．故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．3．若斜坡的坡比为1：，则斜坡的坡角等于（）A．30°B．45°C．50°D．60°【分析】直接利用坡角的定义以及坡比的定义即可得出答案．【解答】解：∵斜坡的坡比为1：，设坡角为α，∴tanα＝＝，∴α＝60°．故选：D．【点评】此题考查了坡度坡角问题，借助解直角三角形的知识求解是关键．4．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（）A．∠ADC＝∠ACB B．C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB【分析】根据相似三角形的判定逐一判断可得．【解答】解：A、由∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；B、由不能判定△ACD∽△ABC，此选项符合题意；C、由∠ACD＝∠B，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；D、由AC2＝AD•AB，即＝，且∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．5．若＝2，向量和向量方向相反，且||＝2||，则下列结论中不正确的是（）A．||＝2B．||＝4C．＝4D．＝【分析】根据已知条件可以得到：＝﹣4，由此对选项进行判断．【解答】解：A、由＝2推知||＝2，故本选项不符合题意．B、由＝﹣4推知||＝4，故本选项不符合题意．C、依题意得：＝﹣4，故本选项符合题意．D、依题意得：＝，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．6．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣10123…y…30﹣1m3…①抛物线开口向下②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1③m的值为0④图象不经过第三象限上述结论中正确的是（）A．①④B．②④C．③④D．②③【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．【解答】解：由表格可知，抛物线的对称轴是直线x＝＝1，故②错误，抛物线的顶点坐标是（1，﹣1），有最小值，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，故①错误，当y＝0时，x＝0或x＝2，故m的值为0，故③正确，当y≤0时，x的取值范围是0≤x≤2，故④正确，故选：C．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题（本大题共12题，每题4分）7．已知，则的值是．【分析】已知，可设a＝2k，则b＝3k，代入所求的式子即可求解．【解答】解：∵∴设a＝2k，则b＝3k．∴＝＝．【点评】在解决本题时，根据已知中的比值，把几个未知数用一个未知数表示出来，是解决本题的关键．8．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝2﹣2．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：由于P为线段AB＝4的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝AB＝×4＝2﹣2．故答案为2﹣2．【点评】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．9．计算：（﹣2）﹣4＝﹣7．【分析】实数的运算法则同样适用于平面向量的计算．【解答】解：：（﹣2）﹣4＝﹣×2﹣4＝﹣7．故答案是：﹣7．【点评】本题考查了平面向量的有关概念，是基础题．10．已知A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）是抛物线y＝（x﹣1）2+c上两点，则y1＜y2．（填“＞”、“＝”或“＜”）【分析】根据二次函数的性质得到x＜1时，y随y的增大而减小，然后根据自变量的大小得到对应函数值的大小．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝1，而x＜1时，y随y的增大而减小，所以y1＜y2．故答案为＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．11．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AF分别交BC于点E、交DC的延长线于点F，且CF＝1，则CE的长为．【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质可得＝＝3，可得BE＝3CE，即可求CE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AD＝BC＝5，∴△ABE∽△FCE∴＝＝3∴BE＝3CE∵BC＝BE+CE＝5∴CE＝故答案为：【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin A＝．【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A，可代入数计算出答案．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴sin A＝＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦定义．13．如图，正方形DEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知BC 长为40厘米，若正方形DEFG的边长为25厘米，则ABC的高AH为厘米．【分析】由DG∥BC得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．【解答】解：设三角形ABC的高AH为x厘米．由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，∵AH⊥BC，∴AP⊥DG．由DG∥BC得△ADG∽△ABC∴＝．∵PH⊥BC，DE⊥BC，∴PH＝ED，AP＝AH﹣PH，∵BC长为40厘米，若正方形DEFG的边长为25厘米，∴＝，解得x＝．即AH为厘米．故答案为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交EF、BC于点G、H，若＝，＝，则用、表示＝．【分析】由梯形中位线定理得到EF＝，结合梯形的性质，平行四边形的判定与性质求得GF 的长度，利用平面向量表示即可．【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，则AD∥HC，AH∥CD，∴四边形AHCD是平行四边形．∴AD＝HC．又EF是梯形ABCD的中位线，∴EF＝，且GF＝AD．∴EG＝EF﹣GF＝﹣AD＝．∵＝，＝，∴＝．故答案是：．【点评】考查了平面向量和梯形中位线定理，注意：向量既有大小又有方向．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG＝，则BC 长为4．【分析】延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，由点G是△ABC的重心，得到CG＝2，求得CD ＝3，点D为AB的中点，根据等腰三角形的性质得到DC＝DB，又DE⊥BC，求得CE＝BE＝BC，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，∵点G是△ABC的重心，∵CG＝2，∴CD＝3，点D为AB的中点，∴DC＝DB，又DE⊥BC，∴CE＝BE＝BC，∵∠ACG+∠DCE＝∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠ACG＝∠CDE，∵sin∠ACG＝sin∠CDE＝，∴CE＝2，∴BC＝4故答案为：4．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质以及锐角三角函数的定义，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．16．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为（50﹣10）米（结果保留根号）．【分析】过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，可得四边形ECBG，HBDF是矩形，在Rt△AEG中，根据三角函数求得EG，在Rt△AHP中，根据三角函数求得AH，再根据线段的和差关系即可求解．【解答】解：过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，则四边形ECBG，HBDF是矩形，∴EC＝GB＝20，HB＝FD，∵B为CD的中点，∴EG＝CB＝BD＝HF，由已知得：∠EAG＝90°﹣60°＝30°，∠AFH＝45°．在Rt△AEG中，AG＝AB﹣GB＝50﹣20＝30米，∴EG＝AG•tan30°＝30×＝10米，在Rt△AHP中，AH＝HF•tan45°＝10米，∴FD＝HB＝AB﹣AH＝50﹣10（米）．答：2号楼的高度为（50﹣10）米．故答案为：（50﹣10）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E，cos B＝，则＝．【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，设BD＝5x，AB＝13x，根据勾股定理得到AD＝＝12x，求得BC＝2BD＝10x，根据相似三角形的性质得到BE＝x，CE＝x，于是得到结论．【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵cos B＝＝，设BD＝5x，AB＝13x，∴AD＝＝12x，∴BC＝2BD＝10x，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE，∴，∴＝，∴BE＝x，CE＝x，∴＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．18．在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，BC＝6，CD＝2，tan A＝．点E为BC上一点，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿直线EF翻折得到△GEF，当EG过点D时，BE的长为．【分析】根据平行线的性质得到∠A＝∠EFB，∠GFE＝∠AMF，根据轴对称的性质得到∠GFE＝∠BFE，求得∠A＝∠AMF，得到AF＝FM，作DQ⊥AB于点Q，求得∠AQD＝∠DQB＝90°．根据矩形的性质得到CD＝QB＝2，QD＝CB＝6，求得AQ＝10﹣2＝8，根据勾股定理得到AD＝＝10，设EB＝3x，求得FB＝4x，CE＝6﹣3x，求得AF＝MF＝10﹣4x，GM＝8x﹣10，根据相似三角形的性质得到GD＝6x﹣，求得DE＝﹣3x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：如图，∵EF∥AD，∴∠A＝∠EFB，∠GFE＝∠AMF，∵△GFE与△BFE关于EF对称，∴△GFE≌△BFE，∴∠GFE＝∠BFE，∴∠A＝∠AMF，∴△AMF是等腰三角形，∴AF＝FM，作DQ⊥AB于点Q，∴∠AQD＝∠DQB＝90°．∵AB∥DC，∴∠CDQ＝90°．∵∠B＝90°，∴四边形CDQB是矩形，∴CD＝QB＝2，QD＝CB＝6，∴AQ＝10﹣2＝8，在Rt△ADQ中，由勾股定理得AD＝＝10，∵tan A＝，∴tan∠EFB＝＝，设EB＝3x，∴FB＝4x，CE＝6﹣3x，∴AF＝MF＝10﹣4x，∴GM＝8x﹣10，∵∠G＝∠B＝∠DQA＝90°，∠GMD＝∠A，∴△DGM∽△DQA，∴＝，∴GD＝6x﹣，∴DE＝﹣3x，在Rt△CED中，由勾股定理得（﹣3x）2﹣（6﹣3x）2＝4，解得：3x＝，∴当EG过点D时BE＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定及性质的运用，矩形的性质的运用，勾股定理的性质的运用，轴对称的性质的运用，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．【解答】解：原式＝＝＝＝2+．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．20．（10分）如图，已知△ABC，点D在边AC上，且AD＝2CD，AB∥EC，设＝，＝．（1）试用、表示；（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用、表示．【分析】（1）利用三角形法则求出，再根据CD＝CA求出即可解决问题．（2）利用平行四边形法则，画出分向量，根据＝+计算即可．【解答】解：（1）∵＝，＝，∴＝+＝﹣+，∵AD＝2CD，∴CD＝CA，∵与同向，∴＝＝（﹣+）＝﹣；（2）如图在、上的分向量分别为，．∵＝+＝+﹣＝+．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D的坐标；（2）若点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，求tan∠CEB的值．【分析】（1）根据抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），可以得到抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式，即可得到顶点D的坐标；（2）根据题意，可以求得点E的坐标，从而可以求得直线EB的函数解析式，进而求得与y轴的交点，从而可以求得tan∠CEB的值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），∴，得，∴y＝﹣x2﹣+2＝，∴抛物线顶点D的坐标为（﹣1，），即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣+2，顶点D的坐标为（﹣1，）；（2）∵y＝，∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∵点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，点C（0，2），∴点E的坐标为（﹣2，2），当y＝0时，0＝，得x1＝﹣3，x2＝1，∴点B的坐标为（1，0），设直线BE的函数解析式为y＝kx+n，，得，∴直线BE的函数解析式为y＝﹣，当x＝0时，y＝，设直线BE与y轴交于点F，则点F的坐标为（0，），∴OF＝，∵点C（0，2），点E（﹣2，2），∴OC＝2，CE＝2，∴CF＝2﹣＝，∴tan∠CEF＝，即tan∠CEB的值是．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．（10分）如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A为后胎中心，经测量车轮半径AD为30cm，中轴轴心C到地面的距离CF为30cm，座位高度最低刻度为155cm，此时车架中立管BC长为54cm，且∠BCA＝71°．（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.88）（1）求车座B到地面的高度（结果精确到1cm）；（2）根据经验，当车座B'到地面的距离B'E'为90cm时，身高175cm的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC拉长的长度BB'应是多少？（结果精确到1cm）【分析】（1）根据上题证得的结论分别求得BH的长，利用正弦函数的定义即可得到结论；（2）设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，得到△B'H'C∽△BHC，利用相似三角形的性质求得BB'的长即可．【解答】解：（1）设AC于BE交于H，∵AD⊥l，CF⊥l，HE⊥l，∴AD∥CF∥HE，∵AD＝30cm，CF＝30cm，∴AD＝CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∵∠ADF＝90°，∴四边形ADFC是矩形，∴HE＝AD＝30cm，∵BC长为54cm，且∠BCA＝71°，∴BH＝BC•sin71°＝51.3cm，∴BE＝BH+EH＝BH+AD＝51.3+30≈81cm；答：车座B到地面的高度是81cm；（2）如图所示，B'E'＝96.8cm，设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，∴△B'H'C∽△BHC，得＝．即＝，∴B'C＝cm．故BB'＝B'C﹣BC＝60﹣54＝6（cm）．∴车架中立管BC拉长的长度BB'应是6cm．【点评】本题考查了相似三角形的应用、切线的性质解解直角三角形的应用，解题的难点在于从实际问题中抽象出数学问题，难度较大．23．（12分）如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2＝EG•ED．（1）求证：DE⊥EF；（2）求证：BC2＝2DF•BF．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AE＝FE，根据相似三角形的性质得到∠EAG＝∠ADG，求得∠DAG＝∠FEG，根据菱形的性质得到AD∥BC，求得∠DAG＝∠AFB＝90°，于是得到结论；（2）由AE＝EF，AE2＝EG•ED，得到FE2＝EG•ED，推出△FEG∽△DEF，根据相似三角形的性质得到∠EFG＝∠EDF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴AE＝FE，∴∠EAF＝∠AFE，∵AE2＝EG•ED，∴＝，∵∠AEG＝∠DEA，∴△AEG∽△DEA，∴∠EAG＝∠ADG，∵∠AGD＝∠FGE，∴∠DAG＝∠FEG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAG＝∠AFB＝90°，∴∠FEG＝90°，∴DE⊥EF；（2）解：∵AE＝EF，AE2＝EG•ED，∴FE2＝EG•ED，∴＝，∵∠FEG＝∠DEF，∴△FEG∽△DEF，∴∠EFG＝∠EDF，∴∠BAF＝∠EDF，∵∠DEF＝∠AFB＝90°，∴△ABF∽△DFE，∴＝，∵四边形ACBD是菱形，∴AB＝BC，∵∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴FE＝AB＝BC，∴＝，∴BC2＝2DF•BF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．（1）求该抛物线的表达式；；（2）联结AM，求S△AOM（3）将抛物线C1向上平移得到抛物线C2，抛物线C2与x轴分别交于点E、F（点E在点F的左侧），如果△MBF与△AOM相似，求所有符合条件的抛物线C2的表达式．【分析】（1）根据题意，可以写出点B和点A的坐标，从而可以得到该抛物线的表达式；（2）根据（1）中的函数解析式，可以求得点M的坐标，从而可以求得直线AM的函数解析式，从；而可以求得S△AOM（3）根据题意，利用分类讨论的方法和三角形相似的知识可以求得点F的坐标，从而可以求得抛物线C2的表达式．【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB ＝120°，∴点B（2，0），点A（﹣1，﹣），∴，得，∴该抛物线的解析式为y＝；（2）连接MO，AM，AM与y轴交于点D，∵y＝＝，∴点M的坐标为（1，），设过点A（﹣1，﹣），M（1，）的直线解析式为y＝mx+n，，得，∴直线AM的函数解析式为y＝x﹣，当x＝0时，y＝﹣，∴点D的坐标为（0，﹣），∴OD ＝，∴S △AOM ＝S △AOD +S △MOD ＝＝；（3）当△AOM ∽△FBM 时，，∵OA ＝2，点O （0，0），点M （1，），点B （2，0），∴OM ＝，BM ＝，∴，解得，BF ＝2，∴点F 的坐标为（4，0）， 设抛物线C 2的函数解析式为：y ＝+c ，∵点F （4，0）在抛物线C 2上， ∴0＝+c ，得c ＝，∴抛物线C 2的函数解析式为：y ＝+3； 当△AOM ∽△MBF 时，，∵OA ＝2，点O （0，0），点M （1，），点B （2，0），∴OM ＝，BM ＝，∴，解得，BF ＝，∴点F 的坐标为（，0）， 设抛物线C 2的函数解析式为：y ＝+d ，∵点F（，0）在抛物线C2上，∴0＝，得d＝，∴抛物线C2的函数解析式为：y＝+．【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论和数形结合的思想解答．25．（14分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x．（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．【分析】（1）证明△ADC∽△DCE，利用AC•CE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝10•5a，即可求解；（2）过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，CD2＝CH2+DH2＝（AC sinα）2+（AC cosα﹣x）2，即可求解；（3）分DF＝DC、FC＝DC、FC＝FD三种情况，求解即可．【解答】解：（1）设：∠ACB＝∠EDC＝∠α＝∠CAD，∵cosα＝，∴sinα＝，过点A作AH⊥BC交于点H，AH＝AC•sinα＝6＝DF，BH＝2，如图1，设：FC＝4a，∴cos∠ACB＝，则EF＝3a，EC＝5a，∵∠EDC＝∠α＝∠CAD，∠ACD＝∠ACD，∴△ADC∽△DCE，∴AC•CE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝10•5a，解得：a＝2或（舍去a＝2），AD＝HF＝10﹣2﹣4a＝；（2）过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，CD2＝CH2+DH2＝（AC sinα）2+（AC cosα﹣x）2，即：CD2＝36+（8﹣x）2，由（1）得：AC•CE＝CD2，即：y＝x2﹣x+10（0＜x≤10）…①，（3）①当DF＝DC时，∵∠ECF＝∠FDC＝α，∠DFC＝∠DFC，∴△DFC∽△CFE，∵DF＝DC，∴FC＝EC＝y，∴x+y＝10，即：10＝x2﹣x+10+x，解得：x＝6；②当FC＝DC，则∠DFC＝∠FDC＝α，则：EF＝EC＝y，DE＝AE＝10﹣y，在等腰△ADE中，cos∠DAE＝cosα＝＝＝，即：5x+8y＝80，将上式代入①式并解得：x＝；③当FC＝FD，则∠FCD＝∠FDC＝α，而∠ECF＝α≠∠FCD，不成立，故：该情况不存在；故：AD的长为6和．【点评】本题为四边形的综合题，涉及到解直角三角形、一元二次方程，三角形相似等诸多知识点，其中三角形相似是本题的突破点，难度较大．。
徐汇区2019学年初三一模数学试卷含答案
2019学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学 试卷 2020.1（时间100分钟 满分150分）考生注意∶1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．已知二次函数322-+-=x x y ，那么下列关于该函数的判断正确的是（A ）该函数图像有最高点)3,0(-； （B ）该函数图像有最低点)3,0(-；（C ）该函数图像在x 轴的下方； （D ）该函数图像在对称轴左侧是下降的．2．如图，EF CD AB ////，2=AC ，5=AE ，5.1=BD ，那么下列结论正确的是 （A ）415=DF ； （B ）415=EF ； （C ）415=CD ； （D ）415=BF ． 3．已知点P 是线段AB 上的点，且AB BP AP ⋅=2，那么AB AP :的值是（A ）215-； （B ）253-； （C ）215+； （D ）253+． 4．在ABC Rt ∆中，︒=∠90B ，3=BC ，5=AC ，那么下列结论正确的是（A ）43sin =A ； （B ）54cos =A ；（C ）45cot =A ； （D ）34tan =A ． 5．跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A 的俯角为︒60，那么此时小李离 着落点A 的距离是（A ）200米； （B ）400米； （C ）33200米； （D ）33400米． 6．下列命题中，假命题是（A ）凡有内角为︒30的直角三角形都相似；（B ）凡有内角为︒45的等腰三角形都相似；（C ）凡有内角为︒60的直角三角形都相似；（D ）凡有内角为︒90的等腰三角形都相似．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：=︒⋅︒-︒45tan 30cot 60sin 2__▲___．8．已知线段4=a 厘米、9=c 厘米，那么线段a 、c 的比例中项=b __▲___厘米．9．如果两个相似三角形的对应高比是2:3，那么它们的相似比是__▲___．A B C D E F （第2题图）10．四边形ABCD 和四边形D C B A ''''是相似图形，点A 、B 、C 、D 分别与点A '、B '、C '、D '对应，已知3=BC ，4.2=CD ，2=''C B ，那么D C ''的长是__▲___．11．已知二次函数2)2(2+=x y ，如果2->x ，那么y 随x 的增大而__▲___．12．同一时刻，高为12米的学校旗杆的影长为9米，一座铁塔的影长为21米，那么此铁塔的高是__▲___米．13．一山坡的坡度3:1=i ，小刚从山坡脚下点P 处上坡走了1050米到达点N 处，那么他上升的高度是_▲_米．14．在ABC ∆中，点E D 、分别在边AC AB 、上，6=AB ，4=AC ，5=BC ，2=AD ，3=AE ，那么DE 的长是__▲___．15．如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，2=AC ，1=BC ，正方形DEFG 内接于ABC ∆， 点F G 、分别在边BC AC 、上，点E D 、在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长是 __▲___．16． 如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，AC AD ⊥，C BAD ∠=∠，2=BD ，6=CD ，那么C tan 的值是__▲___．17．我们把有两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图，ABC ∆是“中垂三角形”，其中ABC ∆的中线CE BD 、互相垂直于点G ，如果9=BD ，12=CE ，那么E D 、两点间的距离是__▲___．18．如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，4=AD ，将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转后得到矩形D C B A '''，点A 的对应点A '在对角线AC 上，点C 、D 分别与点C '、D '对应，D A ''与边BC 交于点E ，那么BE 的长是__▲___．三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（本题满分10分）已知：5:3:2::=c b a ． （1）求代数式cb ac b a -++-323的值； （2）如果243=+-c b a ，求a 、b 、c 的值．20．（本题满分10分）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 自变量x 的值和它对应的函数值y 如下表所示：（1）请写出该二次函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标和的值；（2）设该二次函数图像与x 轴的左交点为B ，它的顶点为A ，该图像上点C 的横坐标为4，求ABC ∆的面积． （第18题图） A B C D （第16题图） A B C D （第15题图） AB C D E F G （第17题图） A B C D E G21．（本题满分10分）如图，一艘游轮在离开码头A 处后，沿南偏西︒60方向行驶到达B 处，此时从B 处发现灯塔C 在游轮的东北方向，已知灯塔C 在码头A 的正西方向200米处，求此时游轮与灯塔C 的距离（精确到1米）． 参考数据：414.12≈，732.13≈，449.26≈．22．（本题满分10分）如图，在ABC ∆中，BE AD 、是ABC ∆的角平分线，CE BE =，2=AB ，3=AC ．（1）设AB a =，BC =b ，求向量BE （用向量a 、b 表示）；（2）将ABC ∆沿直线AD 翻折后，点B 与边AC 上的点F 重合，联结DF ，求CEB CDF S S ∆∆:的值．23．（本题满分12分）如图，在ACB ∆中，点D 、E 、F 、G 分别在边AB 、AC 、BC 上，AD AB 3=，AE CE 2=，CG FG BF ==，DG 与EF 交于点H ． （1）求证： AB HG AC FH ⋅=⋅；（2）联结DF 、EG ，求证：GEF FDG A ∠+∠=∠．24．（本题满分12分）A B C D EF G H （第23题图） AB C D E（第22题图）如图，将抛物线4342+-=x y 平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C ，新抛物线与x 轴正半轴交于点B ，联结BC ，4tan =B ，设新抛物线与x 轴的另一交点是A ，新抛物线的顶点是D ．（1）求点D 的坐标；（2）设点E 在新抛物线上，联结AC 、DC ，如果CE 平分DCA ∠，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线4342+-=x y 沿x 轴左右平移，点C 的对应点为F ，当DEF ∆和ABC ∆相似时，请直接写出平移后所得抛物线的表达式．25．（本题满分14分）如图，在ABC ∆中，5==AC AB ，6=BC ，点D 是边AB 上的动点（点D 不与点A 、B 重合），点G 在边AB 的延长线上，A CDE ∠=∠，ABC GBE ∠=∠，DE 与边BC 交于点F ．（1）求A cos 的值；（2）当ACD A ∠=∠2时，求AD 的长；（3）点D 在边AB 上运动的过程中，BE AD :的值是否会发生变化？如果不变化，请求BE AD :的值；如果变化，请说明理由．4342+x D B A C G F E （第25题图） B A C （备用图）2019学年第一学期徐汇区初三年级数学学科期终学习能力诊断卷参考答案和评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．C ； 2．D ； 3．A ； 4．B ； 5．D ； 6．B ．二．填空题：（本大题共12题，满分48分）7．0； 8．6； 9．2:3； 10．58； 11．增大； 12．28； 13．50； 14．25； 15．752； 16．21； 17．5； 18．825． 三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19. 解：（1）由题意，设k c k b k a 5,3,2===．∴1533225323323=-⨯+⨯+-⨯=-++-kk k k k k c b a c b a ． （2）由题意和（1），得 245323=+-⨯k k k ；解得 3=k ；∴632=⨯=a ，933=⨯=b ，1535=⨯=c ．20．解：（1）该二次函数图像的开口方向向上；对称轴是直线2=x ； 顶点坐标是)1,2(-；m 的值是3．（2）由题意，得)1,2(-A 、)0,1(B 、)3,4(C ；∵20,18,2222===AC BC AB ；∴222AC BC AB =+；∴︒=∠90ABC ； ∴323221=⨯⨯=∆ABC S ． 21．解：过点B 作AC BD ⊥，垂足为D ．由题意，得︒=∠30DAB ，︒=∠45DBC ；又DBC BCD ∠=︒=︒-︒=∠454590；∴DC DB =；设x DC DB ==，则200+=x DA ．在BDA Rt ∆中，︒=∠90BDA ，∴DB DA DAB =∠cot ，即xx 20030cot +=︒； ∴2003+=x x ，解得)13(100+=x ；∴3863.386)414.1449.2(100)26(1002≈=+⨯≈+==x BC ． 答：此时游轮与灯塔C 的距离约为386米．22．解：（1）∵CE BE =，∴EBC C ∠=∠；∵BE 平分ABC ∠，∴EBC ABE ∠=∠；∴C ABE ∠=∠；又CAB BAE ∠=∠，∴ABE ∆∽ACB ∆；∴ACAB AB AE =； 即322=AE ；得34=AE ；∴94=AC AE ；∴AC AE 94= ； 又=AC +AB b a BC +=； ∴=BE +BA b a b a a AE 9495)(94+-=++-=． （2）由题意，可得EBC ABC AFD ∠=∠=∠2，2==AB AF ； 又C EBC AEB ∠+∠=∠，EBC ABE C ∠=∠=∠，∴AFD EBC AEB ∠=∠=∠2；∴BE DF //；∴CDF ∆∽CBE ∆；∴259)351()(22===∆∆CE CF S S CBE CDF ． 23．证明：（1）∵AD AB 3=，AE CE 2=，CG FG BF ==， ∴31,31,31,31====BC CG BC BF AC AE AB AD ； ∴BCBF AC AE BC CG AB AD ==,； ∴AC DG //，AB EF //；∴C HGF ∠=∠，B HFG ∠=∠；∴HFG ∆∽ABC ∆； ∴ABFH AC HG =；即AB HG AC FH ⋅=⋅． （2）∵AB EF //，AC DG //，∴1==FB GF HD GH ，1==GFCG FH HE ； ∴FHHE HD GH =；∴DF EG //； ∴HGE FDG ∠=∠；又HEG HGE FHG ∠+∠=∠，∴HEG FDG FHG ∠+∠=∠；∵HFG ∆∽ABC ∆，∴A FHG ∠=∠；∴GEF FDG A ∠+∠=∠．24．解：（1）由题意，设新抛物线的表达式为4342++-=bx x y ． ∵抛物线4342+-=x y 的顶点为C ，∴)4,0(C ，4=OC ； 在BOC Rt ∆中，︒=∠90BOC ，∴4tan ==OBOC B ，得1=OB ；∴)0,1(B ； 由题意，得0434=++-b ，解得38-=b ； ∴新抛物线的表达式为438342+--=x x y ；∴)316,1(-D ． （2）由题意，可得)0,3(-A ；过点D 作OC DM ⊥，垂足为M ．∴)316,0(M ； ∴4,3,34,1====CO AO CM DM ；∴43==CO AO CM DM ； 又︒=∠=∠90AOC DMC ，∴DMC ∆∽AOC ∆，∴ACO DCM ∠=∠；∵CE 平分DCA ∠，∴ACE DCE ∠=∠；∴︒=∠+∠180)(2DCE DCM ；∴AOC MCE ∠=︒=∠90；∴AO CE //；∴点E 与点C 关于直线1-=x 对称；∴)4,2(-E ．（3）有两种情况满足要求，平移后所得抛物线的表达式为：4)32(342++-=x y 或4)121(342+--=x y ． 25．解：（1）过点B A 、分别作BC AH ⊥、AC BG ⊥，垂足分别为G H 、．在AHC Rt ∆中，︒=∠90AHC ，53cos ==∠AC CH ACB ； 在BGC Rt ∆中，︒=∠90BGC ，53cos ==∠BC CG GCB ； 得518=CG ；∴575185=-=AG ； 在ABG Rt ∆中，︒=∠90AGB ，∴257cos ==AB AG A ． （2）以点D 为圆心DA 长为半径作弧交AC 于点M ，过点D 作AC DN ⊥于N ．∴可设x DA DM ==；∴ACD A AMD ∠=∠=∠2， 又MCD MDC AMD ∠+∠=∠；∴MDC MCD ∠=∠；∴x DM CM ==；则x AM -=5；在AND Rt ∆中，︒=∠90AND ，∵257cos ==AD AN A ， 即25725=-x x ；解得 39125=x ；即39125=AD ． （3）点D 在边AB 上运动过程中，BE AD :的值不变，65:=BE AD ． 联结CE ．∵AC AB =，∴ACB ABC ∠=∠；∴︒=∠+∠1802ABC A ； 又︒=∠+∠+∠180GBE ABC CBE ，ABC GBE ∠=∠，∴︒=∠+∠1802ABC CBE ；∴CBE A ∠=∠；∵CDE A CBE ∠=∠=∠，DFC BFE ∠=∠；∴BFE ∆∽DFC ∆； ∴DCF BEF ∠=∠，CFEF DF BF =； 又EFC BFD ∠=∠，∴BFD ∆∽EFC ∆；∴ECF BDF ∠=∠． 又BEF BDF EBG ∠+∠=∠，ECF DCF DCE ∠+∠=∠， ∴ACB ABC GBE DCE ∠=∠=∠=∠；∴DCF ACB DCF DCE ∠-∠=∠-∠；即ACD BCE ∠=∠；∴ACD ∆∽CBE ∆； ∴65==BC AC BE AD ．。
完整word版2019届徐汇区高三一模数学Word版附解析
2019届高三一模数学试卷上海市徐汇区2018.1254分）分，7-12每题5分，共一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4i2i?i?z?1zz，其中1. 若复数是虚数单位，则满足的实部为2??e A0}??x,x,x?R yA?{y|R U?，集合，则 2. 已知全集U22x y?2x1?xyy 3. 若实数、满足的最小值为，则n2*}a{a?lim?a N n?），则（4. 若数列的通项公式为11n n nn??n?1n22yxb?01??y?2x0a?，它的一个焦点与5. 已知双曲线）的一条渐近线方程是，（22ab2?20xy的焦点相同，则此双曲线的方程是抛物线llxOy(3,1)n?的一个法向量，已知数列6. 在平面直角坐标系是中，直线经过坐标原点，{a}(a,a)anl6?a的值为，点，则均在上，若满足：对任意的正整数n?1nn3211n2*)(2x?N n? 128，则其展开式中含7. 已知）（的展开式中各项的二项式系数之和为xx（结果用数值表示）项的系数是各等级换算成分数如下表所示：8. 上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，CBDAE??等级????CC DABB4061467058 526755434964分数?A成绩，）班选考物理学业水平等级考的学生中，有届高三（15人取得上海某高中2018B 级及以上，平均分是64分，这个班级选考物理学业水平等级考的人其他人的成绩至少是数至少为人0?x?1f(x))?lg(x?1)f(x，令函数是以时，9. 已知函数2为周期的偶函数，当x?[1,2])(xg(x)?fg(x)的反函数为（），则1a?b]?[1,],b[ax?sin y，值域是10. 已知函数，则的定义域是的最大值是2??x?4x????x)f(R?)(xf个零点，则的取，若函数已知11. 恰有2，函数?2??x4x?3x??值范围是22221??(y1)xN1y?:Mx(?1)?:?MN ll分别过圆心已知圆12. 、，圆、，，直线2122yx??1MABPD ll CN是椭圆且上相交于与圆相交于、、两点，与圆两点，点2194PA?PB?PC?PD的最小值为任意一点，则二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）?1????sin?R?”的（13. 设，则“）”是“26A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合 ?:4，若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（方盖”的体积之比应为）12816316 D. B. C.A. 16 33y?f(x){(x,y)|(y?x)(y?x)?0} 15. 对于函数，如果其图像上的任意一点都在平面区域2?1y?x)x(fx sin y?；下列结论正为“蝶型函数”，已知函数：①；②内，则称函数）确的是（①、②均不是“蝶型函数”A.①、②均是“蝶型函数”B.①是“蝶型函数”，②不是“蝶型函数”C.①不是“蝶型函数”，②是“蝶型函数”D.*}{aSn N n?，都有，若对任意的是公差不为0已知数列16. 的等差数列，前项和为nn a S?S6的值不可能为（），则3n a5354 C. B. A. 2 D.332三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）????DBC?ABCDA的棱长为17. 如图，已知正方体1.?????DABCD?BACBA是异面直线？中哪些棱所在的直线与直线1（）正方体??BCMMNNBCBA所成角的大小. 的中点，求异面直线）若（2、分别是与、ax?2?xf()a?R. ，其中18. 已知函数x?2x f(x)??1；的不等式）解关于（1a f(x)(0,??)上是单调减函数在区间）求的取值范围，使. （2AB，19. 我国的“洋垃圾禁止入境“政策已实施一年多，某沿海地区的海岸线为一段圆弧??AOB?，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧对应的圆心角20海里内的海域3ABCD 对不明船只进行识别查证（如图，其中海域与陆地近似看作在同一平面内），在圆ABAB之间的直线距离为100海里与弧的两端点、. 分别建有检查站，ABCD的面积；（1）求海域AP点处有一艘不明船只，在（2）现海上点测得其距1920BBA海里，在点40点点测得其距海里，判断ABCD. 这艘不明船只是否进入了海域？请说明理由22yx220?ab?1??:?，右顶点到左焦点的距离为20. 已知椭圆（）的长轴长为22ba 1?2BA?m:y?kx?l.与椭圆、，直线交于两点?）求椭圆的方程；（1?ABAMOOMN为坐标原点，若并延长交椭圆为椭圆的上顶点，，为于中点，连接（2）6kOMON?的值；，求2??OBOA?lO到直线，的距离为3）若原点1，54???SOAB. 的面积时，求△当的范围65}{an?4n（）项的有穷数列21. 已知项数为，若同时满足以下三个条件：n00}a2,3,i????,n{?a?a0m ma?1a?③任取数列；②为正整数）①；1，，其中（或n?1i0i n10an2?aaats?qp?），满足、），剩下的项中一定存在两项中的两项（、（t0s qp}{a a??aa?a?.数列为，则称数列n tspq}a{{a}?是否是1是首项为1，公差为）若数列（1，项数为6项的等差数列，判断数列nn数列，并说明理由；}a{d?3?m dd次，其中出现时，设2数列出现次，中1出现（2）当3次，n321*4?d N?d,d,d4?d2d?，求证：，；，332112}a{n?2019m?. 的最小值时，求数列3（）当中项数n0参考答案一. 填空题22yx221???1,0](?? 4. 5.2. 3. 1. 2520?1x103?(xg)?2?84?x?[0,lg2] 8. 15 9. 6. ，7.?4(1,3](4,??) 10. 11. 12. 83二. 选择题13. A 14. C 15. B 16. D三. 解答题???????CDCBCCADCDDD. ，，，17.（1）），，；（24a??1x??2a??1?2?x?0a??1x?0x??2a??1. ），，；（；）（18.1；2或，2200?120??OP203932. ；（）（19.1）2，面积为，没有进入海域3222101x1122]?[,S?k??k?1?y?. ，；（3）1（20.）；（2）5634222027. 21.（）略；（21）不是；（3）。
上海市2019年中考数学真题与模拟题分类 专题16 图形的变化之填空题(3)(23道题)(解析版)(1)
专题16 图形的变化之填空题（3）参考答案与试题解析一．填空题（共23小题）1．（2019•徐汇区校级一模）为了测量某建筑物BE的高度（如图），小明在离建筑物15米（即DE＝15米）的A处，用测角仪测得建筑物顶部B的仰角为45°，已知测角仪高AD＝1.8米，则BE＝16.8米．【答案】解：过A作AC⊥BE于C，则AC＝DE＝15，根据题意：在Rt△ABC中，有BC＝AC×tan45°＝15，则BE＝BC+CE＝16.8（米），故答案为：16.8．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．2．（2019•奉贤区一模）如图，某水库大坝的横假面是梯形ABCD，坝顶宽DC是10米，坝底宽AB是90米，背水坡AD和迎水坡BC的坡度都为1：2.5，那么这个水库大坝的坝高是16米．【答案】解：如图所示：过点D作DM⊥AB于点M，作CN⊥AB于点N，设DM＝CN＝x，∵背水坡AD和迎水坡BC的坡度都为1：2.5，∴AM＝BN＝2.5x，故AB＝AM+BN+MN＝5x+10＝90，解得：x＝16，即这个水库大坝的坝高是16米．故答案为：16．【点睛】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．3．（2019•宝山区一模）我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于或．【答案】解：设等腰三角形的底边长为a，|5﹣a|＝3，解得，a＝2或a＝8，当a＝2时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，当a＝8时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，故答案为：或【点睛】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的角的三角函数值．4．（2019•嘉定区一模）小杰在楼下点A处看到楼上点B处的小明的仰角是42度，那么点B处的小明看点A处的小杰的俯角等于42度．【答案】解：由题意可得，∠BAO＝42°，∵BC∥AD，∴∠BAO＝∠ABC，∴∠ABC＝42°，即点B处的小明看点A处的小杰的俯角等于42度，故答案为：42．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．（2019•崇明区一模）在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（4，3），如果AO与y轴正半轴的夹角为α，那么cosα＝．【答案】解：过点A作AB⊥x轴于点B，∵A（4，3），∴OB＝4，AB＝3，∴由勾股定理可知：OA＝5，∴cosα＝cos∠A，故答案为：【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是根据勾股定理求出OA的长度，本题属于基础题型．6．（2019•闵行区一模）某超市自动扶梯的坡比为1：2.4．一位顾客从地面沿扶梯上行了5.2米，那么这位顾客此时离地面的高度为2米．【答案】解：由已知得斜坡垂直高度与水平宽度之比为1：2.4．设斜坡上最高点离地面的高度（即垂直高度）为x米，则水平宽度为2.4x米，由勾股定理得x2+（2.4x）2＝5.22，解之得x＝2（负值舍去）．故答案为：2．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡角坡度问题，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．7．（2019•青浦区一模）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则tan∠ABC的值为．【答案】解：连接CD，如右图所示，设每个小正方形的边长为a，则CD，BD＝2a，BC a，∵（2a）2+（a）2＝（a）2，∴△BCD是直角三角形，∴tan∠ABC＝tan∠DBC，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．8．（2019•闵行区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，tan A，那么BC＝2．【答案】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A，∴可设BC＝a，AC＝3a，∵BC2+AC2＝AB2，∴a2+（3a）2＝（2）2，解得a＝2，∴BC＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A．9．（2019•金山区一模）如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C，那么GE＝．【答案】解：作EF⊥BC于点F，∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C，∴AD⊥BC，AD＝3，CD＝4，∴AD∥EF，BC＝8，∴EF＝1.5，DF＝2，△BDG∽△BFE，∴，BF＝6，∴DG＝1，∴BG，∴，得BE，∴GE＝BE﹣BG，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．（2019•金山区一模）已知α是锐角，sinα ，那么cosα＝．【答案】解：∵α是锐角，sinα ，∴α＝30°，∴cosα ．故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解决问题的关键是熟记一些特殊角的三角函数值．11．（2019•黄浦区一模）在等腰△ABC中，AB＝AC，如果cos C，那么tan A＝．【答案】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BD⊥AC于点D，∵cos C，∴，，设CD＝x，BC＝4x，由于AB＝AC，∴CE＝2x，∴AC＝8x，∴AD＝AC﹣CD＝7x，∴由勾股定理可知：BD x，∴AB＝AC＝8x，∴tan∠BAC，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理以及锐角三角函数的定义，需要学生灵活运用所学知识．12．（2019•青浦区一模）如果α是锐角，且sinα＝cos20°，那么α＝70度．【答案】解：∵sinα＝cos20°，∴α＝90°﹣20°＝70°．故答案为：70．【点睛】此题主要考查了互余两角三角函数的关系，正确把握相关性质是解题关键．13．（2019•浦东新区一模）已知某斜面的坡度为1：，那么这个斜面的坡角等于30度．【答案】解：设该斜面坡角为α，∵某斜面的坡度为1：，∴tanα ，∴α＝30°．故答案为：30．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是掌握坡度的定义以及坡度与坡角之间的关系．坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i═tanα．14．（2019•青浦区一模）如图，某水库大坝的橫断面是梯形ABCD，坝高为15米，迎水坡CD的坡度为1：2.4，那么该水库迎水坡CD的长度为39米．【答案】解：过点D作DE⊥BC于点E，∵坝高为15米，迎水坡CD的坡度为1：2.4，∴DE＝15m，则，故EC＝2.4×15＝36（m），则在Rt△DEC中，DC39（m）．故答案为：39．【点睛】此题主要考查了坡度的定义，正确得出EC的长是解题关键．15．（2019•金山区一模）如图，为了测量铁塔AB的高度，在离铁塔底部（点B）60米的C处，测得塔顶A 的仰角为30°，那么铁塔的高度AB＝20米．【答案】解：由题意可得：tan30°，解得：AB＝20，答：铁塔的高度AB为20m．故答案为：20．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．16．（2019•辽阳模拟）如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A的北偏东60°方向、在码头B的北偏西45°方向，AC＝4千米．那么码头A、B之间的距离等于（22）千米．（结果保留根号）【答案】解：如图，作CD⊥AB于点D．∵在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∴CD＝AC•sin∠CAD＝42（km），AD＝AC•cos30°＝42（km），∵Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝2（km），∴AB＝AD+BD＝2（km），故答案是：（22）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，转化为直角三角形的计算，求得CD的长是关键．17．（2019•普陀区一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，那么∠A的正弦值是．【答案】解：∵∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，∴∠A的正弦值sin A，故答案为：．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．18．（2019•杨浦区一模）如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是270cm．【答案】解：由题意得，BH⊥AC，则BH＝18×4＝72，∵斜坡BC的坡度i＝1：5，∴CH＝72×5＝360，∴AC＝360﹣30×3＝270（cm），故答案为：270．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．19．（2019•黄浦区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B，则BC的长为4．【答案】解：如图所示：∵∠C＝90°，AB＝6，cos B，∴cos B，解得：BC＝4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆边角关系是解题关键．20．（2019•虹口区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sin A，BC＝4，那么AB＝6．【答案】解：∵在Rt△ABC中，sin A，且BC＝4，∴AB6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．21．（2019•奉贤区一模）计算：sin30°tan60°＝．【答案】解：sin30°tan60°．故答案为：．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．22．（2019•邹平县模拟）在△ABC中，∠C＝90°，sin A，BC＝4，则AB值是10．【答案】解：∵sin A，即，∴AB＝10，故答案为：10．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．23．（2019•嘉定区一模）在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，那么cos B的值＝．【答案】解：如图，作AD⊥BC于D点，∵AB＝AC＝4，BC＝6，∴BD BC＝3，在Rt△ABD中，cos B．故答案为．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦值等于这个角的邻边与斜边的比．也考查了等腰三角形的性质.。
2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷含答案解析
2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的1．下列两个图形一定相似的是（）A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形D．两个等腰梯形2．如图，如果AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A．=B．=C．=D．=3．将抛物线y=2（x+1）2﹣2向右平移2个单位，再向上平移2个单位所得新抛物线的表达式是（）A．y=2（x+3）2B．y=（x+3）2C．y=（x﹣1）2D．y=2（x﹣1）24．点G是△ABC的重心，如果AB=AC=5，BC=8，那么AG的长是（）A．1 B．2 C．3 D．45．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．南偏西30°方向B．南偏西60°方向C．南偏东30°方向D．南偏东60°方向6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=90°，AB=AC，点E是边AB上的一点，∠ECD=45°，那么下列结论错误的是（）A．∠AED=∠ECB B．∠ADE=∠ACE C．B E=AD D．BC=CE二、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分)7．计算：2（2+3）﹣+=．8．如果=，那么=．9．已知二次函数y=2x2﹣1，如果y随x的增大而增大，那么x的取值范围是．10．如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是．11．如图所示，一皮带轮的坡比是1：2.4，如果将货物从地面用皮带轮送到离地10米的平台，那么该货物经过的路程是米．12．已知点M（1，4）在抛物线y=ax2﹣4ax+1上，如果点N和点M关于该抛物线的对称轴对称，那么点N的坐标是．13．点D在△ABC的边AB上，AC=3，AB=4，∠ACD=∠B，那么AD的长是．14．如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=4，∠BAD的平分线AE分别交BD、CD于F、E，那么=．15．如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，正方形DEFG内接于△ABC，点D、E分别在边AB、AC 上，点G、F在边BC上．如果BC=20，正方形DEFG的面积为25，那么AH的长是．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，tan∠ACD=，AB=5，那么CD的长是．17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E是CD的中点，AC与BE交于点F，那么△ABF和△CEF的面积比是．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，cosB=，将△ABC绕着点A旋转得△ADE，点B的对应点D落在边BC上，联结CE，那么CE的长是．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．计算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+．20．抛物线y=x2﹣2x+c经过点（2，1）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y=x2﹣2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点，如果AB=2，求新抛物线的表达式．21．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，=，AE=3，CE=1，BC=6．（1）求DE的长；（2）过点D作DF∥AC交BC于F，设=，=，求向量（用向量、表示）22．如图，热气球在离地面800米的A处，在A处测得一大楼顶C的俯角是30°，热气球沿着水平方向向此大楼飞行400米后达到B处，从B处再次测得此大楼楼顶C的俯角是45°，求该大楼CD 的高度．参考数据：≈1.41，≈1.73．23．如图，在△ABC中，AC=BC，点D在边AC上，AB=BD，BE=ED，且∠CBE=∠ABD，DE与CB交于点F．求证：（1）BD2=AD•BE；（2）CD•BF=BC•DF．24．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，已知点A（﹣1，﹣1），点B在第二象限，OB=2，抛物线y=x2+bx+c经过点A和B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线y=x2+bx+c的对称轴；（3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO、BO的延长线交于点C、D，设点E在直线AB上，当△BOE 和△BCD相似时，直接写出点E的坐标．25．如图，四边形ABCD中，∠C=60°，AB=AD=5，CB=CD=8，点P、Q分别是边AD、BC上的动点，AQ和BP交于点E，且∠BEQ=90°﹣∠BAD，设A、P两点的距离为x．（1）求∠BEQ的正切值；（2）设=y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）当△AEP是等腰三角形时，求B、Q两点的距离．2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的1．下列两个图形一定相似的是（）A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形D．两个等腰梯形【考点】相似图形．【分析】根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解．【解答】解：A、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；B、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；故选：C．【点评】本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键．2．如图，如果AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A．=B．=C．=D．=【考点】平行线分线段成比例．【分析】由AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理求解即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：A、∵AB∥CD∥EF，∴，故错误；B、∵AB∥CD∥EF，∴，故正确；C、∵AB∥CD∥EF，∴，故错误；D、∵AB∥CD∥EF，∴，∴AC•DF=BD•CE，故错误．故选B．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．注意掌握各线段的对应关系．3．将抛物线y=2（x+1）2﹣2向右平移2个单位，再向上平移2个单位所得新抛物线的表达式是（）A．y=2（x+3）2B．y=（x+3）2C．y=（x﹣1）2D．y=2（x﹣1）2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线y=2（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），再利用点平移的规律，点（﹣1，﹣2）平移后的对应点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y=2（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），把点（﹣1，﹣2）向右平移2个单位，向上平移2个单位得到对应点的坐标为（1，0），所以平移后的抛物线解析式为y=2（x﹣1）2．故选d．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．4．点G是△ABC的重心，如果AB=AC=5，BC=8，那么AG的长是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】三角形的重心．【分析】根据题意画出图形，连接AG并延长交BC于点D，由等腰三角形的性质可得出AD⊥BC，再根据勾股定理求出AD的长，由三角形重心的性质即可得出AG的长．【解答】解：如图所示：连接AG并延长交BC于点D，∵G是△ABC的重心，AB=AC=5，BC=8，∴AD⊥BC，BD=BC=×8=4，∴AD===3，∴AG=AD=×3=2．故选B．【点评】本题考查的是三角形的重心，熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答此题的关键．5．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．南偏西30°方向B．南偏西60°方向C．南偏东30°方向D．南偏东60°方向【考点】方向角．【分析】根据题意正确画出图形进而分析得出从乙船看甲船的方向．【解答】解：如图所示：可得∠1=30°，∵从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，∴从乙船看甲船，甲船在乙船的南偏西30°方向．故选：A．【点评】此题主要考查了方向角，根据题意画出图形是解题关键．6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=90°，AB=AC，点E是边AB上的一点，∠ECD=45°，那么下列结论错误的是（）A．∠AED=∠ECB B．∠ADE=∠ACE C．BE=AD D．BC=CE【考点】梯形．【分析】根据等腰直角三角形的性质得出BC=AC，从而证得BC≠CE，根据平行线的性质得出∠DAC=∠ACB=45°，证得∠DAC=∠ABC，因为∠ACD=∠BCE，证得△DAC∽△EBC，得出=，==，从而证得BE=AD，进一步证得△ABC∽△DEC，得出∠EDC=∠BAC=90°，从而证得A、D在以EC为直径的圆上，根据圆周角定理证得∠AED=∠ACD=∠ECB，∠ADE=∠ACE，根据以上结论即可判断．【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴BC=AC，∵EC＞AC，∴BC≠CE，∵AD∥BC，∠ECD=45°，∴∠DAC=∠ACB=45°，∴∠DAC=∠ABC，∠ACD=∠BCE，∴△DAC∽△EBC，∴=，∵∠ACB=∠ECD=45°，∴△ABC∽△DEC，∴∠EDC=∠BAC=90°，∴A、D在以EC为直径的圆上，∴∠AED=∠ACD，∠ADE=∠ACE，∵∠ACD=∠ECB，∴∠AED=∠ECB，∵△DAC∽△EBC，∴==，∴BE=AD，故选D．【点评】本题考查了梯形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，圆周角定理等，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．二、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分)7．计算：2（2+3）﹣+=+．【考点】*平面向量．【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．【解答】解：2（2+3）﹣+=4+6﹣+=+．故答案为：+．【点评】此题考查了平面向量的运算．注意掌握去括号时符号的变化是解此题的关键．8．如果=，那么=．【考点】比例的性质．【专题】计算题．【分析】利用比例的性质由=得到=，则可设a=2t，b=3t，然后把a=2t，b=3t代入中进行分式的运算即可．【解答】解：∵=，∴=，设a=2t，b=3t，∴==．故答案为．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．9．已知二次函数y=2x2﹣1，如果y随x的增大而增大，那么x的取值范围是x≥0．【考点】二次函数的性质．【分析】由于抛物线y=2x2﹣1的对称轴是y轴，所以当x≥0时，y随x的增大而增大．【解答】解：∵抛物线y=2x2﹣1中a=2＞0，∴二次函数图象开口向上，且对称轴是y轴，∴当x≥0时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大．故答案为：x≥0．【点评】本题考查了抛物线y=ax2+b的性质：①图象是一条抛物线；②开口方向与a有关；③对称轴是y轴；④顶点（0，b）．10．如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是2：3．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形对应高的比等于相似比解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是4：9，∴两个相似三角形相似比是2：3，∴它们对应高的比是2：3．故答案为：2：3．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．11．如图所示，一皮带轮的坡比是1：2.4，如果将货物从地面用皮带轮送到离地10米的平台，那么该货物经过的路程是26米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图，由题意得：斜坡AB的坡比i=1：2.4，AE=10米，AE⊥BD，∵i==，∴BE=24米，∴在Rt△ABE中，AB==26（米）．故答案为：26．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡比的定义．12．已知点M（1，4）在抛物线y=ax2﹣4ax+1上，如果点N和点M关于该抛物线的对称轴对称，那么点N的坐标是（3，4）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】首先求得抛物线y=ax2﹣4ax+1对称轴为x=﹣=2，进一步利用二次函数的对称性求得点M关于此抛物线对称轴的对称点N的坐标是即可．【解答】解：∵抛物线y=ax2﹣4ax+1对称轴为x=﹣=2，∴点M（1，4）关于该抛物线的对称轴对称点N的坐标是（3，4）．故答案为：（3，4）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，求得对称轴，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．13．点D在△ABC的边AB上，AC=3，AB=4，∠ACD=∠B，那么AD的长是．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由∠A=∠A，∠ACD=∠B，得到△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论．【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴△ABC∽△ACD，∴，即：，∴AD=．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：①相似三角形的对应边的比相等，②有两角对应相等的两三角形相似．14．如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=4，∠BAD的平分线AE分别交BD、CD于F、E，那么=．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，CD=AB=6，由平行线的性质得到∠AED=∠EAB，由角平分线的定义得到∠DAE=∠BAE，等量代换得到∠DAE=∠AED，根据等腰三角形的判定得到DE=AD=4，由相似三角形的性质得到==，【解答】解：在▱ABCD中，∵AB∥CD，CD=AB=6，∴∠AED=∠EAB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠DAE=∠AED，∴DE=AD=4，∵DE∥AB，∴△DEF∽△ABF，∴==，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．15．如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，正方形DEFG内接于△ABC，点D、E分别在边AB、AC上，点G、F在边BC上．如果BC=20，正方形DEFG的面积为25，那么AH的长是．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】根据DG∥BC得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．【解答】解：由正方形DEFG得，DE∥E=GF，即DE∥BC，∵AH⊥BC，∴AP⊥DE，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，即，解得：AH=．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，tan∠A CD=，AB=5，那么CD的长是．【考点】解直角三角形．【分析】根据余角的性质得到∠B=∠ACD，由tan∠ACD=，得到tan∠B==，设AC=3x，BC=4x，根据勾股定理得到AC=3，BC=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=∠BCD+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，∵tan∠ACD=，∴tan∠B==，设AC=3x，BC=4x，∵AC2+BC2=AB2，∴（3x）2+（4x）2=52，解得：x=1，∴AC=3，BC=4，∵S△ABC=，∴CD==，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积公式，熟记三角形的面积公式是解题的关键．17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E是CD的中点，AC与BE交于点F，那么△ABF和△CEF的面积比是6：1．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】延长BE，AD交于G，根据平行线的性质得到∠G=∠EBC，根据全等三角形的性质得到DG=BC=2AD，GE=BE，于是得到AG=3AD，通过△AGF∽△BCF，得到=，设GF=3x，BF=2x，求得，由==，得到S△ABF=S△BCF，由==4，得到S△CEF=S△BCF，即可得到结论．【解答】解：延长BE，AD交于G，∵AD∥BC，∴∠G=∠EBC，在△DGE与△BCE中，，∴DG=BC=2AD，GE=BE，∴AG=3AD，∵AD∥BC，∴△AGF∽△BCF，∴=，∴设GF=3x，BF=2x，∴BG=5x，∴BE=GE=2.5x，∴EF=x，∴，∴==，∴S△ABF=S△BCF，∵==4，∴S△CEF=S△BCF，∴△ABF和△CEF的面积比==6：1．故答案为：6：1．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，cosB=，将△ABC绕着点A旋转得△ADE，点B的对应点D落在边BC上，联结CE，那么CE的长是．【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】先利用余弦定义计算出BC=5，再利用勾股定理计算出AC=4，接着根据旋转的性质得AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，利用三角形内角和定理易得∠ACE=∠B，作AH⊥CE于H，由等腰三角形的性质得EH=CH，如图，在Rt△ACH中，利用cos∠ACH==可计算出CH=AC=，所以CE=2CH=．【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=3，cosB==，∴BC=5，∴AC==4，∵△ABC绕着点A旋转得△ADE，点B的对应点D落在边BC上，∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，∵∠B=（180°﹣∠BAD），∠ACE=（180°﹣∠CAE），∴∠ACE=∠B，∴cos∠ACE=cosB=，作AH⊥CE于H，则EH=CH，如图，在Rt△ACH中，∵cos∠ACH==，∴CH=AC=，∴CE=2CH=．故答案为．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是证明∠ACE=∠B．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．计算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可．【解答】解：原式=4×﹣2××+=2﹣1+2=2+1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．20．抛物线y=x2﹣2x+c经过点（2，1）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y=x2﹣2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点，如果AB=2，求新抛物线的表达式．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】几何变换．【分析】（1）把（2，1）代入y=x2﹣2x+c中求出c的值即可得到抛物线解析式；（2）先确定抛物线y=x2﹣2x+1的对称轴，再利用抛物线的对称性得到A（0，0），B（2，0），然后利用交点式可写出新抛物线的表达式．【解答】解：（1）把（2，1）代入y=x2﹣2x+c得4﹣4+c=1，解得c=1，所以抛物线解析式为y=x2﹣2x+1；（2）y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，抛物线的对称轴为直线x=1，而新抛物线与x轴交于A、B两点，AB=2，所以A（0，0），B（2，0），所以新抛物线的解析式为y=x（x﹣2），即y=x2﹣2x．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．21．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，=，AE=3，CE=1，BC=6．（1）求DE的长；（2）过点D作DF∥AC交BC于F，设=，=，求向量（用向量、表示）【考点】*平面向量；平行线分线段成比例．【分析】（1）由=，AE=3，CE=1，可得==，即可证得DE∥BC，然后由平行线分线段成比例定理，即可求得DE的长；（2）由DF∥AC，可得==，再由三角形法则，即可求得答案．【解答】解：（1）∵AE=3，CE=1，∴AC=AE+CE=4，∴==，∴DE∥BC，∴==，∴DE=BC×=6×=；（2）∵DF∥AC，∴==，∴==（+）=+．【点评】此题考查了平行向量的知识以及平行线分线段成比例定理．注意掌握三角形法则以及平行四边形的法则的应用是解此题的关键．22．如图，热气球在离地面800米的A处，在A处测得一大楼顶C的俯角是30°，热气球沿着水平方向向此大楼飞行400米后达到B处，从B处再次测得此大楼楼顶C的俯角是45°，求该大楼CD 的高度．参考数据：≈1.41，≈1.73．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】作CE⊥AB交AB的延长线于E，设CE=x米，根据正切的定义分别求出AE、BE的长，列出方程，解方程求出x的值，计算即可．【解答】解：作CE⊥AB交AB的延长线于E，设CE=x米，∵∠EBC=45°，∴BE=x米，∵∠EAC=30°，∴AE==x米，由题意得，x﹣x=400，解得x=200（+1）米，则CD=800﹣200（+1）≈254米．答：大楼CD的高度约为254米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线、构造直角三角形、熟练运用锐角三角函数的定义是解题的关键．23．如图，在△ABC中，AC=BC，点D在边AC上，AB=BD，BE=ED，且∠CBE=∠ABD，DE与CB交于点F．求证：（1）BD2=AD•BE；（2）CD•BF=BC•DF．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）由∠CBE=∠ABD，得到∠ABC=∠DBE等量代换得到∠A=∠DBE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ADB，∠DBE=∠BDE，等量代换得到∠A=∠DBE=∠BDE，推出△ABD∽△DEB，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）通过△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质得到∠C=∠E，BE=BC，由于∠CFD=∠EFB，证得△CFD∽△EFB，根据相似三角形的性质得到结论．【解答】证明：（1）∵∠CBE=∠ABD，∴∠ABC=∠DBE，∵∠A=∠ABC，∴∠A=∠DBE，∵AB=BD，∴∠A=∠ADB，∵BE=DE，∴∠DBE=∠BDE，∴∠A=∠DBE=∠BDE，∴△ABD∽△DEB，∴，即BD2=AD•BE；（2）在△ABC与△DBE中，，∴△ABC≌△DBE，∴∠C=∠E，BE=BC，∵∠CFD=∠EFB，∴△CFD∽△EFB，∴，∴，即：CD•BF=BC•DF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，已知点A（﹣1，﹣1），点B在第二象限，OB=2，抛物线y=x2+bx+c经过点A和B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线y=x2+bx+c的对称轴；（3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO、BO的延长线交于点C、D，设点E在直线AB上，当△BOE 和△BCD相似时，直接写出点E的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据互相垂直的两直线一次项系数的乘积为﹣1，可得BO的解析式，根据勾股定理，可得B点坐标；（2）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得答案；（3）根据待定系数，可得AB的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得E、F点的坐标，分类讨论：△BCD∽△BEO时，可得F点坐标；△BCD∽△BOE时，根据相似于同一个三角形的两个三角形相似，可得△BFO∽BOE，根据相似三角形的性质，可得BF的长，根据勾股定理，可得F 点坐标．【解答】解：（1）AO的解析式为y=x，AO⊥BO，BO的解析式为y=﹣x，设B点坐标为（a，﹣a），由OB=2，得=2．解得a=2（不符合题意，舍），或a=﹣2，B（﹣2，2）；（2）将A、B点坐标代入函数解析式，得，解得，y=x2﹣x﹣=（x﹣1）2﹣，对称轴是x=1；（3）设AB的解析式为y=kx+b，将A、B点的坐标代入，得，解得，AB的解析式为y=﹣3x﹣4．当y=0时，x=﹣，即F（﹣，0）．AO：y=x，当x=1时，y=1，即C（1，1）；BO：y=﹣x，当x=1时，y=﹣1，即D（1，﹣1）；AB=BC=，AO=OC=．①图1，∠CBD=∠ABD，∠BOF=∠BDC=45°，△BCD∽△BEO时．此时，F与E重合，E（﹣，0）；②图2，设E点坐标为（b，﹣3b﹣4），△BCD∽△BOE时，∵△BCD∽△BFO，∴△BFO∽BOE，=，∴BO2=BF•BE，8=•BE，BE=，=，解得b=﹣，﹣3b﹣4=﹣3×（﹣）﹣4=﹣，∴E（﹣，﹣），综上所述：当△BOE和△BCD相似时，直接写出点E的坐标（﹣，0），（﹣，﹣）．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用互相垂直的两直线一次项系数的乘积为﹣1得出BO的解析式是解题关键；利用配方法得出对称轴是解题关键；利用相似于同一个三角形的两个三角形相似得出△BFO∽BOE，又利用了相似三角形的性质．25．如图，四边形ABCD中，∠C=60°，AB=AD=5，CB=CD=8，点P、Q分别是边AD、BC上的动点，AQ和BP交于点E，且∠BEQ=90°﹣∠BAD，设A、P两点的距离为x．（1）求∠BEQ的正切值；（2）设=y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）当△AEP是等腰三角形时，求B、Q两点的距离．【考点】相似形综合题．【分析】（1）求∠BEQ的正切值，要把∠BEQ放在直角三角形中进行解决，根据AB=AD=5，CB=CD=8可知，连接四边形ABCD的对角线可得到AC⊥BD，可通过∠BEQ=90°﹣∠BAD和∠ABD=90°﹣∠BAD，可知∠BEQ=∠ABD，通过求∠ABD的正切值来求得∠BEQ的正切值．（2）设AQ与BD交于点F，由（1）中的∠BEQ=∠ABD，AB=AD，CB=CD，得到∠AEP=∠ADF，从而可得△FAB∽△PBD，△APE∽△AFD．先由△FAB∽△PBD中的比例式=用含x的式子表示BF=（5﹣x），DF=BD﹣BF=，再用△APE∽△AFD中的比例式=用含x的式子表示y=（因为点P是在线段AD上移动，所以x的取值范围是0＜x≤5）．（3）由于题中没有说明△AEP中那两条边相等，所以要分情况讨论：①当AE=PE时，y==1 可得x=，可求出OF=1，作QH⊥BD，构造相似三角形，Rt△QHF∽Rt△AOF设BQ=a，用含有a 的式子表示BH=a，QH=a，根据==，可解得BQ=a=9﹣3；②当AP=PE时，易证△PAE∽△ABD，根据==，可得x=﹣，因为不合题意，故此种情况舍去；③当AP=AE 时，易证△AEP∽△ABD，利用==，可得AP=5，此时B、Q重合，即BQ=0．综合这三种情况可以求得B、Q两点间距离为：0或9﹣3．【解答】解：（1）连接BD、AC，交点于点O，（图1）∵AB=AD=5，CB=CD=8∴AC⊥BD，且OB=OD=BD=4∴∠ABD=90°﹣∠BAC=90°﹣∠BAD∴∠BEQ=∠ABD在Rt△ABO中，AB=5，OB=4∴tan∠BEQ=tan∠ABO==（2）设AQ与BD交于点F（图2）∵∠BEQ=∠ABD=∠AEP∠AFB=∠BFE∴△FBE∽△FAB，△FBE∽△PBD∴△FAB∽△PBD=，即=∴BF=（5﹣x），DF=BD﹣BF=又∵∠BEQ=∠ABD=∠AEP=∠ADB∠EAP=∠DAF ∴△APE∽△AFD∴y===整理得：y=（0＜x≤5）（3）如图3①当AE=PE时，y==1解得x=∵y===∴DF==5∴OF=DF﹣OD=5﹣4=1作QH⊥BD，∵AO⊥BD，∠ACB=30°∴∠BQH=30°，Rt△QHF∽Rt△AOF设BQ=a，则BH=a，QH=a，则==，即=，解得BQ=a=9﹣3；②当AP=PE时，∠PAE=∠PEA∵∠AEP=∠BEQ=∠ABD=∠ADB∴△PAE∽△ABD又∵BD=BC=CD=8∴==，即=，解得x=﹣（不合题意，舍去）③当AP=AE时，∠AEP=∠APE=∠ABD=∠ADB∴△AEP∽△ABD∴==，即=，解得x=5，即AP=5此时B、Q重合，即BQ=0，综上可知，B、Q两点间距离为：0或9﹣3．【点评】本题考查的知识点有：①通过等量代换的方法把一个角放到直角三角形中求三角函数值的方法；②利用相似三角形的相似比作为等量关系，用含x的式子表示某条线段或线段比；③利用△AEP是等腰三角形，求B、Q两点的距离时，没有说清那两条边相等的情况下要分三种情况考虑问题，然后再根据相等的角或边找到对应的等量关系求x的值．。
2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷
x
1
0
1
2
3
y
3
0
1
m
3
①抛物线开口向下②抛物线的对称轴为直线 x 1 ③ m 的值为 0④图象不经过第三象限 上述结论中正确的是 ( )
A．①④
B．②④
C．③④
D．②③
二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分）
7．（4
分）已知
a b
2 3
，则
a
a
b
的值是
．
-1-
8．（4 分）已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP BP ， AB 4 ，那么 AP
22．（10 分）如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、 车篮和座位上都做了升级． A 为后胎中心，经测量车轮半径 AD 为 30cm ，中轴轴心 C 到地 面的距离 CF 为 30cm ，座位高度最低刻度为155cm ，此时车架中立管 BC 长为 54cm ，且
-4-
BCA 71 ．（参考数据： sin 71 0.95 ， cos 71 0.33 ， tan 71 2.88) （1）求车座 B 到地面的高度（结果精确到1cm) ； （2）根据经验，当车座 B 到地面的距离 BE 为 90cm 时，身高175cm 的人骑车比较舒适， 此时车架中立管 BC 拉长的长度 BB 应是多少？（结果精确到1cm)
A． ADC ACB B． AB AC BC CD
C． ACD B
D． AC 2 ADAB
5．（4
分）若
a
2e
，向量
b
和向量
a
方向相反，且
|
b
|
2
|
a
2019年上海市徐汇区高考数学一模试卷及解析〔精品解析版〕
2019年上海市徐汇区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）若复数z满足i•z＝1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．2．（4分）已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝x﹣2，x∈R，x≠0}，则∁U A＝．3．（4分）若实数x，y满足xy＝1，则2x2+y2的最小值为．45分）已知双曲线6直线经过坐标原点，＝对任意的正整数n，点（a n+1，a n）均在上，若a2＝67）∈N*）的展开式中各项的二项式系数之和为式中含（结果用数值表示）8分）上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如表B+B B﹣C+C﹣49其他人的成绩至少是B级及以上，平均分是64分，这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为人．9．（5分）已知函数f（x）是以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x+1），令函数g（x）＝f（x）（x∈[1，2]），则g（x）的反函数为．10．（5分）已知函数y＝sin x的定义域是[a，b]，值域是[﹣1，]，则b﹣a的最大值是．11．（5分）已知λ∈R，函数f（x）＝，若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是．12．（5分）已知圆M：x2+（y﹣1）2＝1，圆N：x2+（y+1）2＝1．直线l1、l2分别过圆心M、N，且11与圆M相交于A，B两点，12与圆N相交于C，D两点，点P是椭圆＝1上任意一点，则+的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设θ∈R，则“θ＝”是“sinθ＝”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（5分）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4．若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（）A．16B．16C．D．15．（5分）对于函数y＝f（x），如果其图象上的任意一点都在平面区域{（x，y）|（y+x）（y ﹣x）≤0}内，则称函数f（x）为“蝶型函数”，已知函数：①y＝sin x；②y＝，下列结论正确的是（）A．①、②均不是“蝶型函数”B．①、②均是“蝶型函数”C．①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数”D．①不是“蝶型函数”：②是“蝶型函数”16．（5分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，若对任意的n∈N*，都有S n≥S3，则的值不可能为（）A．2B．C．D．三、解答题.17．（14分）如图，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1．（1）正方体ABCD﹣A′B′C′D'中哪些棱所在的直线与直线A′B是异面直线？（2）若M，N分别是A'B，BC′的中点，求异面直线MN与BC所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）＝，其中a∈R．（1）解关于x的不等式f（x）≤﹣1；（2）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．19．（14分）我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多．某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角∠AOB＝，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）在圆弧的两端点A，B分别建有监测站，A与B之间的直线距离为100海里．（1）求海域ABCD的面积；（2）现海上P点处有一艘不明船只，在A点测得其距A点40海里，在B点测得其距B 点20海里．判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD？请说明理由．20．（16分）已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的长轴长为2，右顶点到左焦点的距离为+1，直线l：y＝kx+m与椭圆Γ交于A，B两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若A为椭圆的上项点，M为AB中点，O为坐标原点，连接OM并延长交椭圆Γ于N，，求k的值．（3）若原点O到直线l的距离为1，＝λ，当时，求△OAB的面积S 的范围．21．（18分）已知项数为n0（n0≥4）项的有穷数列{a n}，若同时满足以下三个条件：①a 1＝1，a＝m（m为正整数）；②a i﹣a i﹣1＝0或1，其中i＝2，3，……，n0；③任取数列{a n}中的两项a p，a q（p≠q），剩下的n0﹣2项中一定存在两项a s，a t（s≠t），满足a p+a q＝a s+a t，则称数列{a n}为Ω数列．（1）若数列{a n}是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列{a n}是否是Ω数列，并说明理由．（2）当m＝3时，设Ω数列{a n}中1出现d1次，2出现d2次，3出现d3次，其中d1，d2，d3∈N*．求证：d1≥4，d2≥2，d3≥4；（3）当m＝2019时，求Ω数列{a n}中项数n0的最小值．2019年上海市徐汇区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）若复数z满足i•z＝1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为2．【解答】解：由i•z＝1+2i，得z＝，∴z2．（4∴∁U A3．（41，则2x2+y2的最小值为≥2＝2，（当且仅当＝±，．4．（4的通项公式为a n＝（n∈N，则﹣则a n＝（﹣）＝﹣1．故答案为：﹣1．5．（4分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y＝2x，它的一个焦点与抛物线y2＝20x的焦点相同，则此双曲线的方程是．【解答】解：抛物线y2＝20x的焦点为（5，0），则双曲线的焦点在x轴上，双曲线的一条渐近线为y＝2x，可得b＝2a，由题意双曲线的一个焦点与抛物线y2＝20x的焦点相同，可得＝5，解得a＝，b＝2，则双曲线的方程为：．故答案为：．6．（4分）在平面直角坐标系xOy中，直线经过坐标原点，＝（3，1）是l的一个法向量．已知数列{a n}满足：对任意的正整数n，点（a n+1，a n）均在l上，若a2＝6，则a3的值为﹣2．【解答】解：直线经过坐标原点，＝（3，1）是l的一个法向量，可得直线l的斜率为﹣3，即有直线l的方程为y＝﹣3x，点（a n+1，a n）均在l上，可得a n＝﹣3a n+1，即有a n+1＝﹣a n，则数列{a n}为公比q为﹣的等比数列，可得a3＝a2q＝6×（﹣）＝﹣2．故答案为：﹣2．7．（5分）已知（2x2﹣）n（n∈N*）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是﹣84．（结果用数值表示）【解答】解：由题意，2n＝128，得n＝7．∴（2x2﹣）n＝（2x2﹣）7，其二项展开式的通项＝．由14﹣3r＝﹣1，得r＝5．∴展开式中含项的系数是．故答案为：﹣84．8．（5分）上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如表所示：上海某高中2018届高三（1）班选考物理学业水平等级考的学生中，有5人取得A+成绩，其他人的成绩至少是B级及以上，平均分是64分，这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为15人．【解答】解：设取得A成绩的x人，取得B+成绩的y人，取得B成绩的z人，则70×5+67x+64y+61z＝64×（5+x+y+z），即z﹣x＝10，又x，y，z∈N，即当且仅当x＝0，y＝0，z＝10时，5+x+y+z取得最小值15，取得A成绩的0人，取得B+成绩的0人，取得B成绩的10人，这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为15人，故答案为：159．（5分）已知函数f（x）是以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x+1），令函数g（x）＝f（x）（x∈[1，2]），则g（x）的反函数为g﹣1（x）＝3﹣10x（0≤x≤lg2）．【解答】解：当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，∴f（x）＝f（﹣x）＝lg（﹣x+1），当1≤x≤2时，﹣1≤x﹣2≤0，∴f（x）＝f（x﹣2）＝lg[﹣（x﹣2）+1]＝lg（﹣x+3）．∴g（x）＝lg（﹣x+3）（1≤x≤2），∴﹣x+3＝10g（x），∴x＝3﹣10g（x），故答案为：g﹣1（x）＝3﹣10x，（0≤x≤lg2）10．（5分）已知函数y＝sin x的定义域是[a，b]，值域是[﹣1，]，则b﹣a的最大值是．【解答】解：函数y＝sin x，令≤a≤，要使b﹣a的最大值，可知b的最大值为：b＝，∴b﹣a的最大值为；故答案为：11．（5分）已知λ∈R，函数f（x）＝，若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是（1，3]∪（4，+∞）．【解答】解：根据题意，在同一个坐标系中作出函数y＝x﹣4和y＝x2﹣4x+3的图象，如图：若函数f（x）恰有2个零点，即函数f（x）图象与x轴有且仅有2个交点，则1＜λ≤3或λ＞4，即λ的取值范围是：（1，3]∪（4，+∞）故答案为：（1，3]∪（4，+∞）．12．（5分）已知圆M：x2+（y﹣1）2＝1，圆N：x2+（y+1）2＝1．直线l1、l2分别过圆心M、N，且11与圆M相交于A，B两点，12与圆N相交于C，D两点，点P是椭圆＝1上任意一点，则+的最小值为8．【解答】解：由题意可得，M（0，1），N（0，﹣1），r M＝r N＝1，＝（）•（）＝＝，＝（）•＝＝﹣1，∵∵P为椭圆上的点，∴＝+﹣2＝2（x2+y2）＝由题意可知，﹣3≤x≤3，∴8≤，故答案为：8．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设θ∈R，则“θ＝”是“sinθ＝”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：由θ＝，则有sinθ＝，即“θ＝”是“sinθ＝”的充分条件，由sinθ＝，得：θ＝kπ+（﹣1）k，即“θ＝”是“sinθ＝”的不必要条件，即“θ＝”是“sinθ＝”的充分不必要条件．故选：A．14．（5分）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4．若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（）A．16B．16C．D．【解答】解：正方体的棱长为2，则其内切球的半径r＝1，∴正方体的内切球的体积，又由已知，∴．故选：C．15．（5分）对于函数y＝f（x），如果其图象上的任意一点都在平面区域{（x，y）|（y+x）（y ﹣x）≤0}内，则称函数f（x）为“蝶型函数”，已知函数：①y＝sin x；②y＝，下列结论正确的是（）A．①、②均不是“蝶型函数”B．①、②均是“蝶型函数”C．①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数”D．①不是“蝶型函数”：②是“蝶型函数”【解答】解：由y＝sin x，设g（x）＝sin x+x，导数为cos x+1≥0，即有x＞0，g（x）＞0；x＜0时，g（x）＜0；设h（x）＝sin x﹣x，其导数为cos x﹣1≤0，x＞0时，h（x）＜0，x＜0时，h（x）＞0，可得（y+x）（y﹣x）≤0恒成立，即有y＝sin x为“蝶型函数”；由（+x）（﹣x）＝x2﹣1﹣x2＝﹣1＜0，可得y＝为“蝶型函数”．故选：B．16．（5分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，若对任意的n∈N*，都有S n≥S3，则的值不可能为（）A．2B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，对任意的n∈N*，都有S n≥S3，∴，∴，且∴﹣3d≤a1≤﹣2d，∴当＝＝2时，a1＝﹣3d．成立；当＝＝时，a1＝﹣d．成立；当＝＝时，a1＝﹣2d．成立；当＝＝时，a1＝﹣d．不成立．∴的值不可能为．故选：D．三、解答题.17．（14分）如图，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1．（1）正方体ABCD﹣A′B′C′D'中哪些棱所在的直线与直线A′B是异面直线？（2）若M，N分别是A'B，BC′的中点，求异面直线MN与BC所成角的大小．【解答】解：（1）正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，直线A′B是异面直线的棱所在直线有：AD，B′C′，CD，C′D′，DD′，CC′，共6条．（2）M，N分别是A'B，BC′的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，则A′（1，0，1），B（1，1，0），C′（0，1，1），M（1，，），N（），B（1，1，0），C（0，1，0），＝（﹣，0），＝（﹣1，0，0），设异面直线MN与BC所成角的大小为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝45°，∴异面直线MN与BC所成角的大小为45°．18．（14分）已知函数f（x）＝，其中a∈R．（1）解关于x的不等式f（x）≤﹣1；（2）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．【解答】解：（1）x的不等式f（x）≤﹣1，即为≤﹣1，即为≤0，当a＝﹣1时，解集为{x|x≠﹣2}；当a＞﹣1时，解集为（﹣2，0]；当a＜﹣1时，解集为（﹣∞，﹣2）∪[0，+∞）；（2）f（x）＝＝a+，由f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数，可得﹣2﹣2a＞0，解得a＜﹣1．即a的范围是（﹣∞，﹣1）．19．（14分）我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多．某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角∠AOB＝，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）在圆弧的两端点A，B分别建有监测站，A与B之间的直线距离为100海里．（1）求海域ABCD的面积；（2）现海上P点处有一艘不明船只，在A点测得其距A点40海里，在B点测得其距B 点20海里．判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD？请说明理由．【解答】解：（1）∵∠AOB＝，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD，AB＝100∴AD＝BC＝20，OA＝OB＝AB＝100，∴OD＝OA+AD＝100+20＝120，∴S ABCD＝•π（OD2﹣OA2）＝π（1202﹣1002）＝（平方海里），（2）由题意建立平面直角坐标系，如图所示；由题意知，点P在圆B上，即（x﹣100）2+y2＝7600…①，点P也在圆A上，即（x﹣50）2+＝1600…②；由①②组成方程组，解得或；又区域ABCD内的点满足，由302+＝3600＜10000，∴点（30，30）不在区域ABCD内，由902+＝15600＞14400，∴点（90，50）也不在区域ABCD内；即这艘不明船只没进入了海域ABCD．20．（16分）已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的长轴长为2，右顶点到左焦点的距离为+1，直线l：y＝kx+m与椭圆Γ交于A，B两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若A为椭圆的上项点，M为AB中点，O为坐标原点，连接OM并延长交椭圆Γ于N，，求k的值．（3）若原点O到直线l的距离为1，＝λ，当时，求△OAB的面积S的范围．【解答】解：（1）由题意可知，，于是得到，因为右顶点到左焦点的距离为，所以，c＝1，则，因此，椭圆Γ的方程为；（2）当点A为椭圆的上顶点时，点A的坐标为（1，0），则m＝1，直线l的方程为y＝kx+1，将直线l的方程代入椭圆的方程并化简得（2k2+1）x2+4kx＝0，解得，，所以点B的坐标为，由于点M为线段AB的中点，则点M的坐标为，由于，所以，点N的坐标为，将点N的坐标代入椭圆的方程得，化简得，解得；（3）由于点O到直线l的距离为1，则有，所以，m2＝k2+1．设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程代入椭圆方程并化简得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，由韦达定理可得，，＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝＝＝＝，由于，即，解得，线段AB的长为＝＝＝＝，所以，．因此，△OAB的面积S的取值范围是．21．（18分）已知项数为n0（n0≥4）项的有穷数列{a n}，若同时满足以下三个条件：①a 1＝1，a＝m（m为正整数）；②a i﹣a i﹣1＝0或1，其中i＝2，3，……，n0；③任取数列{a n}中的两项a p，a q（p≠q），剩下的n0﹣2项中一定存在两项a s，a t（s≠t），满足a p+a q＝a s+a t，则称数列{a n}为Ω数列．（1）若数列{a n}是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列{a n}是否是Ω数列，并说明理由．（2）当m＝3时，设Ω数列{a n}中1出现d1次，2出现d2次，3出现d3次，其中d1，d2，d3∈N*．求证：d1≥4，d2≥2，d3≥4；（3）当m＝2019时，求Ω数列{a n}中项数n0的最小值．【解答】解：（1）若数列{a n}：1，2，3，4，5，6是Ω数列，取数列{a n}中的两项1和2，则剩下的4项中不存在两项a s，a t（s≠t），使得1+2＝a s+a t，故数列{a n}不是Ω数列；（2）若d1≤3，对于p＝1，q＝2，若存在2＜s＜t，满足a p+a q＝a s+a t，∵2＜s＜t，于是s≥3，t≥4，故a5≥a2，a t＞a1，从而a s+a t＞a2+a1，矛盾，故d1≥4，同理d3≥4，下面证明d2≥2：若d2＝1，即2出现了1次，不妨设a k＝2，a1+a k＝a s+a t，等式左边是3，等式右边有几种可能，分别是1+1或1+3或3+3，等式两边不相等，矛盾，于是d1≥2；（3）设出现d1次，2出现d2次…，2019出现d2019次，其中d1，d2，…，d2019∈N*，由（2）可知，d1≥4，d2019≥4，且d2≥2，同理d2018≥2，又∵d3，d4…，d2017∈N*，故项数n0＝d1+d2+…+d2019≥2027，下面证明项数n0的最小值是2027：取d1＝4，d2＝2，d3＝d4＝…＝d2017＝1，d2018＝2，d2019＝4，可以得到数列{a n}：1，1，1，1，2，2，3，4…，2016，2017，2018，2019，2019，2019，2019，接下来证明上述数列是Ω数列：若任取的两项分别是1，1，则其余的项中还存在2个1，满足1+1＝1+1，同理，若任取的两项分别是2019，2019也满足要求，若任取的两项分别是1，2，则其余的项中还存在3个1，1个2，满足要求，同理，若任取的两项分别是2018，2019也满足要求，若任取a p＝1，a q≥3，则在其中的项中取a5＝2，a t＝a q﹣1，满足要求，同理，若a p≤2017，a q＝2019也满足要求，若任取的两项a p，a q满足1＜a p≤a q＜2019，则在其余的项中选取a s＝a p﹣1，a t＝a q+1，每个数最多被选取了1次，于是也满足要求，从而，项数n 0的最小值是2027．。
2019徐汇区初三一模
3
B ，与 y 轴交于点 C(0, 2) ．
（1）求抛物线的表达式，并用配．方．法．求出顶点 D 的坐标； （2）若点 E 是点 C 关于抛物线对称轴的对称点，求 tan CEB
3．若斜坡的坡比为 1∶ 3 ，则斜坡的坡角等于（ ） 3
A． 30 ；
B． 45 ；
C． 50 ；
D． 60 ．
4．如图，在下列条件中，不能判定△ACD∽△ABC 的是（ ）
（第 4 题图）
A．∠1=∠ACB； B． AB AC ；
C．∠2=∠B；
D．AC2=AD•AB．
BC CD
5．若 a
（1）试用 a 、 b 表示 CD ；
A
（2）在图中作出 BD 在 BA 、 BC 上的分向量，
并直接用 a 、 b 表示 BD .
D
E
B
F
C
（第 20 题图）
徐汇区初三数学 第 3页
21．（本题满分 10 分，第（1）小题满分 5 分，第（2）小题满分 5 分）
则 BC 长为 ．
（第 11 题图）
（第 13 题图）
（第 14 题图）
（第 15 题图）
16．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从 1 号楼和 2 号楼的地面正．中．间．B
点垂直起飞到高度为 50 米的 A 处，测得 1 号楼顶部 E 的俯角为 60°，测得 2 号楼顶部 F
的俯角为 45°．已知 1 号楼的高度为 20 米，则 2 号楼的高度为 米（结果保留根号）．
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上海市徐汇区2019届高三一模数学试卷
2018.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 2. 已知全集U =R ，集合2{|,,0}A y y x x x -==∈≠R ，则U A =ð 3. 若实数x 、y 满足1xy =，则222x y +的最小值为
4. 若数列{}n a 的通项公式为2111n n
a n n
=+（n ∈*
N ），则lim n n a →∞
= 5. 已知双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程是2y x =，它的一个焦点与
抛物线220y x =的焦点相同，则此双曲线的方程是
6. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，(3,1)n =r
是l 的一个法向量，已知数列
{}n a 满足：对任意的正整数n ，点1(,)n n a a +均在l 上，若26a =，则3a 的值为
7. 已知21
(2)n x x -（n ∈*N ）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x
项的系数是 （结果用数值表示）
8. 上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如下表所示：
上海某高中2018届高三（1）班选考物理学业水平等级考的学生中，有5人取得A +成绩， 其他人的成绩至少是B 级及以上，平均分是64分，这个班级选考物理学业水平等级考的人 数至少为 人
9. 已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，()lg(1)f x x =+，令函数
()()g x f x =（[1,2]x ∈），则()g x 的反函数为
10. 已知函数sin y x =的定义域是[,]a b ，值域是1[1,]2
-，则b a -的最大值是 11. 已知λ∈R ，函数2
4()43x x f x x x x λ
λ-≥⎧
=⎨-+<⎩，若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取 值范围是
12. 已知圆22:(1)1M x y +-=，圆22:(1)1N x y ++=，直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，
且1l 与圆M 相交于A 、B 两点，2l 与圆N 相交于C 、D 两点，点P 是椭圆22
194
x y +=上 任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
的最小值为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 设θ∈R ，则“6
π
θ=
”是“1
sin 2
θ=
”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
14. 魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内 切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合 方盖”的体积之比应为:4π，若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ） A. 16
B. C.
163 D. 1283
15. 对于函数()y f x =，如果其图像上的任意一点都在平面区域{(,)|()()0}x y y x y x +-≤ 内，则称函数()f x 为“蝶型函数”，已知函数：①sin y x =
；②y =；下列结论正
确的是（ ）
A. ①、②均不是“蝶型函数”
B. ①、②均是“蝶型函数”
C. ①是“蝶型函数”，②不是“蝶型函数”
D. ①不是“蝶型函数”，②是“蝶型函数”
16. 已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，前n 项和为n S ，若对任意的n ∈*N ，都有
3n S S ≥，则
6
5
a a 的值不可能为（ ） A. 2 B. 53 C. 32
D. 4
3
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1.
（1）正方体ABCD A B C D ''''-中哪些棱所在的直线与直线A B '是异面直线？ （2）若M 、N 分别是A B '、BC '的中点，求异面直线MN 与BC 所成角的大小.
18. 已知函数2
()2
ax f x x -=
+，其中a ∈R . （1）解关于x 的不等式()1f x ≤-；
（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数.
19. 我国的“洋垃圾禁止入境“政策已实施一年多，某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ， 对应的圆心角3
AOB π
∠=
，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域
ABCD 对不明船只进行识别查证（如图，其中海域与陆地近似看作在同一平面内），在圆
弧的两端点A 、B 分别建有检查站，A 与B 之间的直线距离为100海里. （1）求海域ABCD 的面积；
（2）现海上P 点处有一艘不明船只，在A 点测得其距
A 点40海里，在
B 点测得其距B 点
这艘不明船只是否进入了海域ABCD ？请说明理由.
20. 已知椭圆22
22:1x y a b
Γ+=（0a b >>）的长轴长为
1，直线:l y kx m =+与椭圆Γ交于A 、B 两点.
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若A 为椭圆的上顶点，M 为AB 中点，O 为坐标原点，
连接OM 并延长交椭圆Γ于N ，
ON =u u u r u u u r ，求k 的值；
（3）若原点O 到直线l 的距离为1，OA OB λ⋅=u u u r u u u r
，
当45
56
λ≤≤时，求△OAB 的面积S 的范围.
21. 已知项数为0n （04n ≥）项的有穷数列{}n a ，若同时满足以下三个条件：
①11a =，0n a m =（m 为正整数）；②10i i a a --=或1，其中02,3,,i n =⋅⋅⋅；③任取数列{}n a 中的两项p a 、q a （p q ≠），剩下的02n -项中一定存在两项s a 、t a （s t ≠），满足
p q s t a a a a +=+，则称数列{}n a 为Ω数列.
（1）若数列{}n a 是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列{}n a 是否是Ω数列，并说明理由；
（2）当3m =时，设Ω数列{}n a 中1出现1d 次，2出现2d 次，3出现3d 次，其中
123,,d d d ∈*N ，求证：14d ≥，22d ≥，34d ≥；
（3）当2019m =时，求Ω数列{}n a 中项数0n 的最小值.
参考答案
一. 填空题
1. 2
2. (,0]-∞
3.
4. 1-
5.
22
1520
x y -= 6. 2- 7. 84- 8. 15 9. 1()310x g x -=-，[0,lg 2]x ∈ 10. 43
π
11. (1,3](4,)+∞U 12. 8
二. 选择题
13. A 14. C 15. B 16. D
三. 解答题
17.（1）AD ，B C ''，CD ，DD '，D C ''，C C '；（2）
4
π. 18.（1）1a =-，2x ≠-；1a >-，20x -<≤；1a <-，0x ≥或2x <-；（2）1a <-.
19.（1）
2200
3
π，面积为2）120OP =>，没有进入海域.
20.（1）2
212x y +=；（2）12
k =±；（3）21143k ≤≤，65S ∈. 21.（1）不是；（2）略；（3）2027.。