2019徐汇数学一模

上海市徐汇区2019届高三一模数学试卷

2018.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 2. 已知全集U =R ，集合2{|,,0}A y y x x x -==∈≠R ，则U A =ð 3. 若实数x 、y 满足1xy =，则222x y +的最小值为

4. 若数列{}n a 的通项公式为2111n n

a n n

=+（n ∈*

N ），则lim n n a →∞

= 5. 已知双曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程是2y x =，它的一个焦点与

抛物线220y x =的焦点相同，则此双曲线的方程是

6. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，(3,1)n =r

是l 的一个法向量，已知数列

{}n a 满足：对任意的正整数n ，点1(,)n n a a +均在l 上，若26a =，则3a 的值为

7. 已知21

(2)n x x -（n ∈*N ）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x

项的系数是 （结果用数值表示）

8. 上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如下表所示：

上海某高中2018届高三（1）班选考物理学业水平等级考的学生中，有5人取得A +成绩， 其他人的成绩至少是B 级及以上，平均分是64分，这个班级选考物理学业水平等级考的人 数至少为 人

9. 已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，()lg(1)f x x =+，令函数

()()g x f x =（[1,2]x ∈），则()g x 的反函数为

10. 已知函数sin y x =的定义域是[,]a b ，值域是1[1,]2

-，则b a -的最大值是 11. 已知λ∈R ，函数2

4()43x x f x x x x λ

λ-≥⎧

=⎨-+<⎩，若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取 值范围是

12. 已知圆22:(1)1M x y +-=，圆22:(1)1N x y ++=，直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，

且1l 与圆M 相交于A 、B 两点，2l 与圆N 相交于C 、D 两点，点P 是椭圆22

194

x y +=上 任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r

的最小值为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 设θ∈R ，则“6

π

θ=

”是“1

sin 2

θ=

”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件

14. 魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内 切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合 方盖”的体积之比应为:4π，若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ） A. 16

B. C.

163 D. 1283

15. 对于函数()y f x =，如果其图像上的任意一点都在平面区域{(,)|()()0}x y y x y x +-≤ 内，则称函数()f x 为“蝶型函数”，已知函数：①sin y x =

；②y =；下列结论正

确的是（ ）

A. ①、②均不是“蝶型函数”

B. ①、②均是“蝶型函数”

C. ①是“蝶型函数”，②不是“蝶型函数”

D. ①不是“蝶型函数”，②是“蝶型函数”

16. 已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，前n 项和为n S ，若对任意的n ∈*N ，都有

3n S S ≥，则

6

5

a a 的值不可能为（ ） A. 2 B. 53 C. 32

D. 4

3

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1.

（1）正方体ABCD A B C D ''''-中哪些棱所在的直线与直线A B '是异面直线？ （2）若M 、N 分别是A B '、BC '的中点，求异面直线MN 与BC 所成角的大小.

18. 已知函数2

()2

ax f x x -=

+，其中a ∈R . （1）解关于x 的不等式()1f x ≤-；

（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数.

19. 我国的“洋垃圾禁止入境“政策已实施一年多，某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ， 对应的圆心角3

AOB π

∠=

，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域

ABCD 对不明船只进行识别查证（如图，其中海域与陆地近似看作在同一平面内），在圆

弧的两端点A 、B 分别建有检查站，A 与B 之间的直线距离为100海里. （1）求海域ABCD 的面积；

（2）现海上P 点处有一艘不明船只，在A 点测得其距

A 点40海里，在

B 点测得其距B 点

这艘不明船只是否进入了海域ABCD ？请说明理由.

20. 已知椭圆22

22:1x y a b

Γ+=（0a b >>）的长轴长为

1，直线:l y kx m =+与椭圆Γ交于A 、B 两点.

（1）求椭圆Γ的方程；

（2）若A 为椭圆的上顶点，M 为AB 中点，O 为坐标原点，

连接OM 并延长交椭圆Γ于N ，

ON =u u u r u u u r ，求k 的值；

（3）若原点O 到直线l 的距离为1，OA OB λ⋅=u u u r u u u r

，

当45

56

λ≤≤时，求△OAB 的面积S 的范围.

21. 已知项数为0n （04n ≥）项的有穷数列{}n a ，若同时满足以下三个条件：

①11a =，0n a m =（m 为正整数）；②10i i a a --=或1，其中02,3,,i n =⋅⋅⋅；③任取数列{}n a 中的两项p a 、q a （p q ≠），剩下的02n -项中一定存在两项s a 、t a （s t ≠），满足

p q s t a a a a +=+，则称数列{}n a 为Ω数列.

（1）若数列{}n a 是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列{}n a 是否是Ω数列，并说明理由；

（2）当3m =时，设Ω数列{}n a 中1出现1d 次，2出现2d 次，3出现3d 次，其中

123,,d d d ∈*N ，求证：14d ≥，22d ≥，34d ≥；

（3）当2019m =时，求Ω数列{}n a 中项数0n 的最小值.