解法欧拉方程是特殊的变系数方程
微分方程例题精讲
1 C1 ( 2 ) dx x x
C 2 xe
C1 x
.
二、高阶微分方程的计算
题型2 高阶线性微分方程
[解题思路]特征方程，待定系数法。 常系数线性微分方程： 齐次：特征根法；非齐次：待定系数法。 可化为常系数的微分方程：变量代换。 线性微分方程解的理论。
例9 求特解
y 2 y y xe e , y (1) y(1) 1
显然S(0)=0。因此S(x)满足初值问题
x y xy , y(0) 0 2
3
一阶线性
(II)
x3 y xy , y(0) 0 2
一阶线性
常数变易法
对应的齐次方程为: y xy 0.
dy xdx ln | y | x ln | C | y Ce y 2
可分离变量
u sin u cos u du dx 两边积分 2u cos u x C 所求通解为 xy cos y C u cos u 2 x x
还原
例4 求通解 xy 2 y 3 x y
3
4 3
解: 原式可化为 y 2 y 3x y
2
4 3
x
n
此方程的一般形式为
可分离变量
分离变量解得
1 P C1 y
2
dy P C1 y 1 即 C1 y 1 dx
可分离变量
还原
故方程的通解为
2 C y 1 x C 2 C1 1
例8 求方程 yy y 0 的通解
2
d ( yy) 0 解: 将方程写成 dx
故有 yy C1
求解方程 y 4 y 1 ( x cos 2 x) 例10 2
微分方程欧拉方程
微分方程欧拉方程欧拉方程是微分方程的一种特殊形式，它是描述物理现象和自然现象的重要数学工具。
本文将介绍欧拉方程的定义、特点以及一些典型的应用。
欧拉方程是指具有以下形式的微分方程：\[a_nx^n y^{(n)} + a_{n-1}x^{n-1} y^{(n-1)} + \ldots + a_1 x y' + a_0 y = 0\]其中，\(y^{(n)}\)表示y的n阶导数，\(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0\)是给定的常数。
欧拉方程的特点是含有自变量x和因变量y的多项式系数，并且在x=0处可能出现奇点。
这使得求解欧拉方程需要特殊的方法。
针对不同的n值，欧拉方程的解法也不同。
当n=2时，欧拉方程称为二阶欧拉方程。
二阶欧拉方程的一般形式为：\[a_2 x^2 y'' + a_1 x y' + a_0 y = 0\]对于二阶欧拉方程，可以进行一些简化。
首先，假设解为y=x^r，其中r是一个常数。
对y=x^r求导，可得到：\[y' = rx^{r-1}\]\[y'' = r(r-1)x^{r-2}\]将y、y'和y''的表达式代入原方程，可以得到一个关于r的代数方程，称为欧拉特征方程。
解欧拉特征方程可以得到r的值，进而得到y的表达式。
当r是实数时，解为y=x^r。
当r是复数时，解为y=x^αcos(βlnx)+x^αsin(βlnx)，其中α和β是常数。
除了二阶欧拉方程，欧拉方程还可以推广到更高阶的情况。
不同阶数的欧拉方程具有不同的特点和解法，需要根据具体问题进行分析和求解。
欧拉方程在物理学和工程学中有广泛的应用。
例如，在弹性力学中，弹性梁的挠度满足四阶欧拉方程，在电路理论中，电阻、电容和电感的组合电路中的电流满足二阶欧拉方程。
欧拉方程还可以应用于一些经济学和生物学领域。
例如，在经济学中，经济增长模型可以用欧拉方程来描述经济变量之间的关系；在生物学中，种群增长模型也可以用欧拉方程来描述种群数量随时间的变化。
欧拉方程
第六节、欧拉方程
因为变系数的二阶及二阶以上的线性微分方程还 没有一般的解法，所以本节介绍一类特殊的变系数的 线性微分方程——欧拉方程，通过变量替换可以化为 常系数的线性微分方程，因而容易求解. 形如 xny(n)+p1xn－1y(n－1)+…+pn－1xy′+pny=f(x) （6-33n为常数.
代入原方程，得 a=1/3,
即 y =1/3x2,
所以欧拉方程的通解为 y=1/3x2+C1/x+C2x.
谢谢聆听
第六节、欧拉方程
欧拉方程的特点是：方程中各项未知函数导数的阶数与其 乘积因子自变量的幂次相同. 当自变量x>0时，作变量替换x=et，则t=ln x，有
第六节、欧拉方程
如果来用记号D表示对自变量t求导的运算d/dt，则上述结 果可表示为
xy′=Dy，
一般的，有 xky(k)=D(D－1)…(D－k+1)y.（6-34）
当自变量x<0时，作变换x=－et，可得类似结果. 将式（6-34）代入欧拉方程，则方程（6-33）化为以t为自变 量的常系数线性微分方程，求出该方程的解后，回代t=ln x， 即得到原方程的解.
第六节、欧拉方程
【例1】
求欧拉方程x2y″+xy′－y=x2的通解. 解 作变换x=et(设x>0),原方程化为
D(D－1)y+Dy－y=e2t, 即
D2y－y=e2t 或
方程（6-35）所对应的齐次方程为
其特征方程为
r2－1=0,
（6-35） （6-36）
第六节、欧拉方程
特征根为 r1,2=±1,
所以齐次方程（6-36）的通解为 Y=C1e－t+C2et=C1x+C2x.
一类欧拉方程特解的求解
2 具体求法
1 预备知识
定 义1 若 函 数f（x）的 原 函 数 能 用 初 等 函 数 表
乙%
示，则称不定积分 f（x）dx 是可积的；否则，不定积 %
定义2 以r为未知数的一元二次代数方程
r2+（a－1）r+b=0
（8）
称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程。 其特征方
程（8）的根r1和r2称为方程（2）的特征根[5，6]。
βt
的右端将转化为keateλχ ，则方程（3）的特解是很难求
出的。 在此，我们将给出方程（3）为可积方程的一个
充分条件，并在此充分条件下用初等积分法求方程
（3）的特解。
本文中的可积方程是指其通解可以用初等函数
表示出来的常微分方程。 这不同于一般教材或文献
对可积方程的定义。
乙%
分 f（x）dx 是不可积的。 %
育出版社, 2003.
Construction of Mathematical Model about NBA Schedule Analysis and Evaluation
ZENG Yu-hua YANG Xu-xin CHENG Xia-yan (Hunan First Normal College, Changsha 410205)
曾玉华，杨徐昕，成夏炎：NBA赛程分析与评价数学模型的构建
南赛区二等奖。 ）
参考文献 [1] 徐玖平,胡知能,王委. 运筹学(第二版)[M]. 北京：科学出版
社 ，2004. [2] 韩旭里,万中. 数值分析与实验[M]. 北京：科学出版社，2006. [3] 姜启源,谢金星,叶俊. 数学模型(第三版)[M]. 北京：高等教
β=2，k=2，λ=2且 α－r1 =1， α－r2 =2，由定 理 知 其 为 可
欧拉方程
6-7欧拉方程,方程组
p1 x y pn1 xy pn y f ( x ) 的方程(其中 p1 , p2 pn 为常数) 叫欧拉方程. x y
n ( n) n 1 ( n 1 )
形如
上述结果可以写为 xy Dy, 2 d y dy 2 x y 2 ( D 2 D ) y D( D 1) y , dt dt 3 2 d y d y dy 3 x y 3 3 2 2 dt dt dt ( D 3 3 D 2 2 D ) y D( D 1)( D 2) y ,
例3.
解: 方程两边关于 x 求导 , 得
得初值问题
③ ④
d 令 x e , 记 D , 则 ③ 化为 dt [ D( D 1) D 4] y 5e t
t
即 ( D 2 4 ) y 5e t
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d2y t 即得微分方程 4 y 5 e , 2 dt
第六章
第七节 欧拉方程
常系数线性微分方程组
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结束
一、欧拉方程
形如
2 d y dy 2 x qy f ( x ) 2 px dx dx
的方程称为欧拉方程，其中 p, q 是常数。
作变量替换 则
x e t 或 t ln x ,
dy dy dt 1 dy d 2 y 1 d 2 y dy , 2 2 , 2 dx dt dx x dt dx x dt dt
例如， y ( n ) a1 y ( n1) an1 y an y f ( x ) 用记号 D 可表示为
欧拉方程解法课件
一阶线性欧拉方程的解
举例
(y' = 2xy) 的解为 (y = x^2)，通过分离变量法得到。
举例
(y' = frac{1}{x}) 的解为 (y = ln x)，通过变量代换法得到。
二阶常系数线性欧拉方程的解
举例
(y'' + 4xy = 0) 的解为 (y = c_1x^2 + c_2x^2)，通过特征值法得到。
应用示例
对于形如 (frac{partial^2 u}{partial x^2} + frac{partial^2 u}{partial y^2} = f(x,y)) 的偏微分方程，可以 使用有限差分法、有限元法等数值解 法进行求解。
03
欧拉方程的解的性质
解的存在性和唯一性
存在性
对于给定的初值条件和边界条件，欧 拉方程存在一个解。
应用示例
对于形如 (u(x,y) = v(x)w(y)) 的函数，如果满足一定的条件，可以将方程分解为两个独立的常微分方程， 分别求解后再组合得到原方程的解。
积分因子法
01
总结词
通过引入一个积分因子，将偏微分方程转化为全微分方程 ，从而简化求解过程。
02 03
详细描述
积分因子法是一种通过引入一个积分因子来简化偏微分方 程的方法。这种方法适用于具有特定对称性的偏微分方程 ，通过引入积分因子可以将偏微分方程转化为全微分方程 ，从而简化求解过程。
并行计算
将计算任务分解成多个子 任务，利用多核处理器或 分布式计算资源并行处理， 加快计算速度。
THANKS
感谢观看
VS
举例
(y'' - 2y' + y = 0) 的解为 (y = c_1e^x + c_2e^{-x})，通过常数变易法得到。
欧 拉 方 程
欧拉方程
欧拉方程的特点是：方程中各项未知函数导数的阶数与其乘 积因子自变量的幂次相同.
当自变量x>0时，作变量替换x=et，则t=lnx，有
欧拉方程
欧拉方程
【例27】
求欧拉方程x2y″+xy′－y=x2的通解.பைடு நூலகம்解作变换x=et(设x>0),原方程化为
D(D－1)y+Dy－y=e2t, 即
D2y－y=e2t 或
(12-23) (12-24)
欧拉方程
其特征方程为r2－1=0, 特征根为r1,2=±1, 所以齐次方程(12-24)的通解为
谢谢聆听
欧拉方程
欧拉方程
因为变系数的二阶及二阶以上的线性微分方程还没有一般 的解法，所以本节介绍一类特殊的变系数的线性微分方程—— 欧拉方程，通过变量替换可以化为常系数的线性微分方程，因 而容易求解.
形如 xny(n)+p1xn-1y(n-1)+…+pn-1xy′+pny=f(x) (12-21) 的方程称为欧拉方程，其中p1，p2，…，pn为常数.
第十二章 欧拉方程【高等数学+同济大学】
特征方程的根为 r1 0, r2 1, r3 3.
所以齐次方程的通解为
Y
C1
C2etC3e3t
C1
C2 x
C3x3.
设特解为 y be2t bx2 ,
代入原方程，得 b 1 . 2
即 y x2 , 2
所给欧拉方程的通解为
y
C1
C2 x
用 D 表示对自变量 t 求导的运算 d ,
dt 上述结果可以写为
xy Dy,
x2 y d 2 y dy (D2 D) y D(D 1) y, dt 2 dt
x3 y d 3 y 3 d 2 y 2 dy dt 3 dt 2 dt
(D3 3D2 2D) y D(D 1)(D 2) y,
欧拉方程
一、欧拉方程
形如
xn y(n)
p x y n1 (n1) 1
pn1 xy
pn y
f (x)
的方程(其中 p1 , p2 pn为常数) 叫欧拉方程.
特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同．
解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变 量代换可化为常系数微分方程.
一般地， xk y(k) D(D 1)(D k 1) y.
将上式代入欧拉方程，则化为以 t 为自变量
的常系数 线性微分方程. 求出这个方程的解后
把 t 换为 ln x ，即得到原方，程的解.
例 求欧拉方程
x3 y x2 y 4xy 3x2 的通解．
解 作变量变换 x et 或 t ln x,
欧拉方程 解
欧拉方程解
欧拉方程是一种常微分方程，它描述了一类特殊的物理现象，如弹性
力学、流体力学和电磁学等。
欧拉方程的形式非常简单，但它却是一
种非常重要的数学工具，被广泛应用于各个领域。
欧拉方程的一般形式为：
$$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$$
其中，$y$是未知函数，$y'$表示$y$的一阶导数，$y''$表示$y$的二
阶导数，$y^{(n)}$表示$y$的$n$阶导数。
$F$是一个关于
$x,y,y',y'',...,y^{(n)}$的函数。
欧拉方程的解法非常复杂，需要使用一些高级的数学工具。
一般来说，欧拉方程的解法可以分为两类：一类是使用变量分离法，将欧拉方程
转化为一些简单的微分方程，然后再求解；另一类是使用特殊函数，
如贝塞尔函数、超几何函数等，来求解欧拉方程。
在物理学中，欧拉方程被广泛应用于描述一些重要的物理现象。
例如，在弹性力学中，欧拉方程可以用来描述弹性杆的振动；在流体力学中，欧拉方程可以用来描述流体的运动；在电磁学中，欧拉方程可以用来
描述电磁场的变化。
总之，欧拉方程是一种非常重要的数学工具，被广泛应用于各个领域。
虽然欧拉方程的解法非常复杂，但是它却可以帮助我们更好地理解和
描述一些重要的物理现象。
微分方程欧拉方程解法
微分方程欧拉方程解法一、引言微分方程是数学中重要的一部分，它在物理、工程、经济等学科的研究中具有广泛的应用。
在解微分方程的过程中，欧拉方程是一种常见的解法之一。
本文将介绍欧拉方程的基本概念和求解方法，并通过具体的例子来说明其应用。
二、欧拉方程的定义欧拉方程是指具有形如F(x,y,y′,y″,...)=0的形式的微分方程。
其中，F是关于x,y,y′,y″,...的函数，y是未知函数，y′,y″分别表示y的一阶、二阶导数等。
解欧拉方程即是要找到满足该方程的函数y=f(x)。
三、欧拉方程的求解方法欧拉方程的求解方法主要有以下几种：3.1 变量分离法变量分离法是一种常用的解微分方程的方法，也适用于欧拉方程的求解。
具体步骤如下： 1. 将方程中所有含有y′的项移到方程的一边，其它项移到方程的另一边，得到F(x,y)−y′G(x,y,y′,y″...)=0的形式； 2. 观察方程的左边和右边是否可以通过变量分离，即是否可以将y和x分离开来； 3. 若能分离，则将左边只含有y的项移到右边，只含有x的项移到左边； 4. 对两边分别积分，得到H(x)+C=∫G(x,y,y′,y″...) dx的形式； 5. 求解上述积分方程，得到H(x)的表达式； 6. 将H(x)代入F(x,y)中，得到关于y的方程； 7. 求解该关于y的方程，得到解y=f(x)。
3.2 特征方程法特征方程法是欧拉方程求解的一种常用方法，适用于形如x n y(n)+a n−1x n−1y(n−1)+...+a0y=f(x)的方程。
具体步骤如下： 1. 假设解为y=x m，代入原方程，得到特征方程； 2. 求解特征方程，得到特征方程的根m； 3. 根据特征方程的根，给出通解的形式； 4. 根据边界条件，求解常数，得到特解。
四、欧拉方程的例子及求解过程为了更好地理解欧拉方程的求解方法，我们来看一个具体的例子：x2y″+xy′−4y=0。
下面是求解该方程的步骤：4.1 将方程变形为欧拉方程将方程变形为x2y″+xy′−4y=x2(d2ydx2)+x(dydx)−4y=0。
欧拉方程的求解
欧拉方程的求解.————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:ﻩ欧拉方程的求解1.引言在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等,让人敬佩跟羡慕.但是,迄今为止,哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一,人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉(Leo ｎhard E ｕler,1707-－1783）.几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”欧拉还是许多数学符号的发明者,例如用π表示圆周率、e 表示自然对数的底、()f x 表示函数、∑表示求和、i 表示虚数单位以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.在文献[1］中,关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如K y x =的解，进而求得欧拉方程的解.但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明．２.几类欧拉方程的求解定义１ 形状为()1(1)110n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++++=(1)的方程称为欧拉方程． (其中1a ，2a ，，1n a -，n a 为常数）2.1二阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）二阶齐次欧拉方程:2120x y a xy a y '''++=. (2）(其中1a ,2a 为已知常数)我们注意到，方程（２）的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数（分别是2x 、1a x 和02a x ）,且其次依次降低一次．所以根据幂函数求导的性质,我们用幂函数K y x =来尝试,看能否选取适当的常数K ,使得K y x =满足方程（2).对K y x =求一、二阶导数，并带入方程（2），得212()0K K K K K x a Kx a x -++=或212[(1)]0K K a K a x +-+=,消去K x ，有 212(1)0K a K a +-+=. （3）定义 2 以K 为未知数的一元二次方程(3)称为二阶齐次欧拉方程（2)的特征方程.由此可见,只要常数K 满足特征方程（3),则幂函数K y x =就是方程(2)的解.于是，对于方程(２）的通解，我们有如下结论:定理1 方程(２）的通解为(ｉ） 1112ln K K y c x c x x =+, (12K K =是方程（３)的相等的实根）(ii)1212K K x c x y c +=, (12K K ≠是方程(3)的不等的实根)(iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.(1,2K i αβ=±是方程（3)的一对共轭复根)(其中1c 、2c 为任意常数)证明 （i ）若特征方程（3）有两个相等的实根: 12K K =，则11K x y =是方程(2）的解,且设2()u x y =，11()K y x u x =（()u x 为待定函数）也是方程（２）的解（由于21()y u x y =，即1y ,2y 线性无关）,将其带入方程（２）,得 11122111112[()2]()0K K K x K K u K xu x u a x K u xu a x u ''''-+++++=,约去1K x ，并以u ''、u '、u 为准合并同类项,得22111112(2)[(1)]0x u K a xu K a K a u '''++++-+=.由于1K 是特征方程（3)的二重根， 因此21112(1)0K a K a +-+=或112(1)0K a +-=,于是，得20x u ux '''+=或0xu u '''+=,即 ()0xu ''=, 故 12()ln u x c x c =+. 不妨取()ln u x x =,可得方程(2）的另一个特解12ln K y x x =，所以，方程(2)的通解为1112ln K K y c x c x x =+．（其中1c ,2c 为任意常数）（ii ）若特征方程（3)有两个不等的实根: 12K K ≠，则11K x y =,22K y x =是方程(2)的解．又2211()21K K K K y x x y x -==不是常数，即1y ,2y 是线性无关的. 所以,方程(2）的通解为1212K K x c x y c +=．（其中1c ，2c 为任意常数）（iii ）若特征方程(3)有一对共轭复根:1,2K i αβ=±（0β≠)，则()1i x y αβ+=，()2i y x αβ-=是方程(2)的两个解,利用欧拉公式，有()ln 1(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ+===+, ()ln 2(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ--===-,显然,12cos(ln )2y y x x αβ+=和12sin(ln )2y y x x iαβ-=是方程(2)的两个线性无关的实函数解． 所以,方程(2）的通解为12cos(ln )sin(ln )x x x x y c c ααββ=+.(其中1c ,2c 为任意常数）例1求方程20x y xy y '''-+=的通解． 解 该欧拉方程的特征方程为(1)10K K K --+=，即 2(1)0K -=, 其根为: 121K K ==, 所以原方程的通解为12(ln )y c c x x =+.（其中1c ，2c 为任意常数）例2 求方程280x y xy y '''--=的通解．解 该欧拉方程的特征方程为2(11)80K K +---=,即 2280K K --=， 其根为: 12K =-，24K =，所以原方程的通解为4122c y c x x=+. (其中1c ,2c 为任意常数）例3 求方程的通解2350x y xy y '''++=. 解 该欧拉方程的特征方程为(1)350K K K -++=,即 2250K K ++=， 其根为： 1,212K i =-±， 所以原方程的通解为121[cos(2ln )sin(2ln )]y c x c x x=+．(其中1c ,2c 为任意常数）２.2二阶非齐次欧拉方程的求解（初等积分法）二阶非齐次欧拉方程:212()x y a xy a y f x ++='''. (4）（其中1a ,2a 为已知实常数，()f x 为已知实函数）为了使方程（４)降阶为一阶线性微分方程,不妨设1121a K K =--，212a K K =，（5）则方程(4）变为212122)(1()K a x y K K xy K y f x +--+='''，即212()()()x xy K y K xy K y f x ---=''',(6)根据韦达定理,由（5)式可知,1K ，2K 是一元二次代数方程212(1)0K a K a +-+=（3）的两个根．具体求解方法:定理2 若1K ，2K 为方程(2）的两个特征根，则方程（４）的通解为212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰.（７）证明 因为1K ，2K 为方程(2）的两个特征根， 于是方程（4)等价于方程(6),令 2xy K y p '-=, 代入方程（6)并整理,得1()K f x p x x p =-' 和2K p y y x x'-=, 解之，得方程（4)的通解为212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰．由定理2知，只需要通过两个不定积分(当(７)式中的积分可积时)即可求得方程(4)的通解．为了方便计算,给出如下更直接的结论．定理3 若1K ,2K 为方程(2）的两个特征根，则(ｉ）当12K K =是方程(2）的相等的实特征根时，方程（４）的通解为11111[ln ()ln ()]K K K x x f x dx x x f x dx y x -----⋅=⎰⎰,(ｉi ）当12K K ≠是方程(2）的互不相等的实特征根时,方程（4）的通解为112211121[()()]K K K K x x f x dx x x f x dx K K y ------=⎰⎰,（iii)当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时,方程(4)的通解为111[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]y x x x x f x dx x x x f x dx αααβββββ----=-⎰⎰证明 （ii ）当12K K ≠是方程（２）的互不相等的的实特征根时， 将方程（１)的通解（7）进行分部积分，得21212112212121121111211212112111[()]1[()]1{[()]}1[]()()()K K K K K K K K K K K K K K K K K K K x x x f x dx dxx x f x dx dx K K x x x d x f x dx K K x x K K y x f x dx x f x dx x f x dx -------------------=-===--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（８)(iii)当1,2K i αβ=±是方程(２）的共轭复特征根时,122K K i β-=， 再由欧拉公式有1ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ+===+，2ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ--===-,将其代入（８）式，整理可得方程（4）的通解为111[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]x x x x f x dx x x x f x dx y αααβββββ-----=⎰⎰（i)的证明和（ii)类似.例1求方程22234ln y xy y x x x x '''-+=+的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2440K K -+=, 特征根为 122K K ==, 所以由定理３，原方程的通解为23223222232122223212[ln (ln )ln (ln )]111{ln [(ln )ln ][(ln )(ln )]}23211ln [(ln )(ln )]62x x x x x dx x x x x x dx x x x c x x c x x c x x x x y x x c --+-⋅+++-+-+++===⎰⎰（其中1c ，2c 为任意常数)例2求方程2322x x y xy y x e -+='''的通解． 解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2320K K -+=，特征根为 12K =,21K =, 所以由定理３,原方程的通解为23323212212()()x x x x x xx x e dx x x x e dxx e c x xe e c c x c x xe y x ---=+---=++=⎰⎰(其中1c ,2c 为任意常数)例3求方程2cos(ln )2xx x y xy y -+='''的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2220k k -+=,特征根为 1,21K i =±， 所以由定理3，原方程的通解为212122cos(ln )]cos(ln )cos(ln )11sin(ln )cos(ln )cos(ln ))sin(ln )cos(ln )sin(ln )cos(ln )sin(ln )[sin(ln )]{sin(ln )(ln )cos(ln )[ln(cos(ln )]}[][sin(ln )ln x xx x dx dx x x x dx x dx x x x x c x y x x x x x x x x x x c x x c x c x x x ----+===+++=++⎰⎰⎰⎰cos(ln )ln(cos(ln ))]x x(其中1c ，2c 为任意常数)在定理3中,若令()0f x =，则得到二阶齐次欧拉方程（2）的通解.推论 方程(2）的通解为(i)1112ln K K x c x x y c +=, (12K K =是方程(2）的相等的实特征根)(ii ）1212K K x c x y c +=， (12K K ≠是方程（2)的不等的实特征根）(iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（２）的共轭复特征根)(其中1c ,2c 为任意常数)２.3三阶非齐次欧拉方程的求解(常数变易法）三阶非齐次欧拉方程:32123()x y a x y a xy a y f x +++=''''''.（9)（其中1a ，2a ，3a 为常数） (９）对应的齐次方程为321230x y a x y a xy a y +++=''''''. (10)特征方程为321123(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=. （１１)定理4 设1K 是方程（１1)的根，2K 是方程22122112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=的根,则（9）的通解为12211211(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰ .(1２)证明 根据条件1K y cx =（c 为任意常数）是方程(10）的解. 设1()K y c x x =是方程（９）的解（其中()c x 是待定的未知数)， 将其代入方程（9),整理得1121111112(3)3231111213()(3)()[3(1)2]()[(3)(2)]()()K c x K a x c x K K a K a x c x K a K a a K a x c x xf x ---+-''''''+++-++++-+-++= （13）因为1K 是（11）的根，则321111213(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=,于是(13)式化为1(3)121111112()(3)()[3(1)2]()()K c x K a x c x K K a K a x c x x f x -+--''''''+++-++=(14)这是以()c x '为未知函数的二阶欧拉方程． 设2K 为(1４)对应的齐次方程的特征方程21111112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=, （１５)的根，则221121(23)(2)()[()]K K K a K K c x x x x f x dx dx -+++-'=⎰⎰．从而2211211(23)(22){[()]}()K K K a K K a x x x f x dx dx dx c x -++++-=⎰⎰⎰. 故方程（１)的通解为12211211(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰．定理５ 设1K 是方程（11)的根，2K 是方程(15）的根，则（ｉ)当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单实根,则(9)的通解为1212121121(2)1(3)(2)121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++=-++-⎰⎰⎰(ii ）当1K 是方程(11）的单实根，2K 是方程（１5)的单虚根，则(９）的通解为111(2)(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x xx f x dx x x x f x dx dxy xαααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰（其中11132K a α--=,2211112113624(1)2K K a K a a β=-++--) （ｉｉｉ)当1K 是方程(11）的单实根，2K 是方程(15)的重实根，则（９)的通解为121212(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰，(ｉv)当1K 是方程（１1）的三重实根,方程(15）变为2210K K ++=，有21K =-，则(９)的通解为111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K y x x x x f x dx x x f x dx dx -+-+-=-⋅⎰⎰⎰. 证明 （ｉ）因为2K 是方程(1５)的单实根,得(14)的通解为212121121(2)1(3)(2)31211[()()](32)1()K K K K K a K K a x x f x dx x x f x dx K K a c x -++-++++--++-='⎰⎰则(9)的通解为1212121121(2)1(3)(2)3121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++-=-++-⎰⎰⎰（ii ）因为2K 是方程（14）的单虚根，此时方程（１5)有一对共轭虚根1,222111111212(13)3624(1)2a K i K K a K a a K --±-++--=, 得（1４）的通解为11(2)(2)[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]()K K x x x x f x dx x x x f x dx c x αααβββββ-++-++-='⎰⎰则（９)的通解为111(2)(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x xx f x dx x x x f x dx dxy xαααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰(其中11132K a α--=，2211112113624(1)2K K a K a a β=-++--) （i ｉi)因为2K 是方程（1５）的重实根，得（９）的通解为121212(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰.（i ｖ)当1K 是方程（１0）的三重实根（1133a K =-），方程（15）变为222210K K ++=，有21K =-,将1133a K =-,21K =-代入（12）式得11(1)11{[()]}K K y x x x x f x dx dx dx -+--=⎰⎰，对上式分部积分得(９)的通解为111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K x x x x f x dx x x f x dx dx y -+-+-⋅-⋅=⎰⎰⎰．例1 求三阶欧拉方程32366x y x y xy y x -+-=''''''的通解． 解 原方程对应的齐次方程为323660x y x y xy y -+-='''''',其特征方程为3261160K K K -+-=，解得其特征根为1,2，3，取 11K =， 将11K =,13a =-,26a =,代入方程（15），得2220K K -=,解得21K =或0，利用定理５（i)的通解公式有323212311[]ln 22y x x x dx x dx dx x x c x c x c x --=-=+++⎰⎰⎰. (其中1c ,2c ,3c 为任意常数)例2 求三阶欧拉方程3241313x y x y xy y x ''''''-+-=的通解. 解 原方程对应的齐次方程为32413130x y x y xy y ''''''-+-=,其特征方程为21613()()0K K K -+-=，从而解得特征单实根为11K =，将11K =，14a =-，213a =代入方程(1５),得到222250K K -+=,解得 1,2212i K =±. 令212i K =+,则1α=,2β=, 利用定理５（ii)的通解公式有33213{[sin(2ln )cos(2ln )cos(2ln )sin(2ln )]}211ln [sin(2ln )cos(2ln )]816xx x x dx x x x dx dxx x c x c x c x y x ---=+-+=⎰⎰⎰（其中1c ，2c ，3c 为任意常数)2.4 n 阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解)令K y x =是方程（1)的解,将其求导(需要求出y '、y''(1)n y -、()n y ）代入方程（1),并消去K x ，得 1(1)(1)(1)(1)(2)0n n K K K n a K K K n a K a ---++--++++=. （16）定义３ 以K 为未知数的一元n 次方程(16)称为n 阶齐次欧拉方程(1)的特征方程.由此可见，如果选取k 是特征方程（16)的根，那么幂函数k y x =就是方程（1）的解.于是,对于方程(1）的通解,我们有如下结论：定理6 方程(1)的通解为112211n n n n y c y c y c y c y --=++++(其中1c ，2c 1n c -，n c 为任意常数）,且通解中的每一项都有特征方程（16)的一个根所对应，其对应情况如下表:例１ 求方程4(4)3(3)281550x y x y x y xy '''+++=的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为(1)(2)(3)8(1)(2)15(1)50K K K K K K K K K K ---+--+-+=,整理，得2(22)0K K K ++=，其根为120K K ==，3,41K i =-±,所以原方程的通解为3412ln cos(ln )sin(ln )c cy c c x x x x x=+++. （其中1c ,2c ，3c ，4c 为任意常数）例2 求方程(4)(3)432670x y x y x y xy y ++++='''的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为方程（１6)的根 方程（1）通解中的对应项 单实根:K给出一项:K cx一对单共轭复根:1,2K i αβ=±给出两项:12cos(ln )sin(ln )c x x c x x ααββ+ k 重实根:K给出k 项:12[ln (ln )]K K K x c c x c x +++一对k 重共轭复根:1,2K i αβ=±给出2k 项:1212[ln (ln )]cos(ln )[ln (ln )]sin(ln )k k kk x c c x c x x x d d x d x x ααββ+++++++(1)(2)(3)6(1)(2)7(1)10K K K K K K K K K K ---+--+-++=，整理,得410K +=，其根为1,2K i =-,3,4K i =（即一对二重共轭复根），所以原方程的通解为1234cos(ln )sin(ln )ln cos(ln )ln sin(ln )y c x c x c x x c x x =+++.(其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数)３.结束语从前面的讨论过程来看，和教材中的变量变换法相比,本文中的解决办法更直接、更简单．但需要说明的是，本文中的定理和例题都是在0x >范围内对齐次欧拉方程求解的,如果要在0x <范围内对其求解，则文中的所有ln x 都将变为ln()x -，所得的结果和0x >范围内的结果相似.4.致谢经过这好几个月忙碌的学习跟工作，本次毕业论文的写作已经接近尾声了,但这次毕业论文的写作经历让我感受颇多.首先,自己要有很好的专业知识的储备，这也是写作的基础. 其次，自己要有严谨的思维逻辑.再次,自己要善于思考，遇到不懂得问题就要勤于思考，查资料，问老师．最后,自己一定要有坚持不懈的精神.毕业论文的写作是一个长期的过程，在写作过程中我们难免会遇到各种各样的过程，但我们不能因此就放弃，而要做到坚持.要相信“有付出就一定会有所收获”的.在这里首先要感谢我的指导老师胡宏昌教授.胡老师平日里工作繁多,但在我做毕业论文阶段，他都给予了我悉心的指导，细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有他的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩胡老师的专业水平外,他的治学严谨和科学研究的精神也值得我永远学习，并将积极影响我今后的学习和工作．然后还要感谢大学四年来我的所有的老师跟领导，为我们打下了坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康,工作顺利！5、参考文献[1]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[Ｍ].第３版.北京：高等教育出版社,２006:1４2－144.[2]华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].第３版.北京:高等教育出社，1999：８７－199.[3］钟玉泉.复变函数论[M］.第3版.北京:高等教育出版社，２0０3:10－１1．[4]胡劲松.一类欧拉方程特解的求解．重庆科技学院学报[Ｊ］,2009,１1(2）:１43-1４4．[5]胡劲松，郑克龙.常数变易法解二阶欧拉方程.大学数学[J],２0０5,21(2）:116-1１9.[6]米荣波，沈有建，汪洪波.三阶欧拉方程求解的简化常数变易方法．海南师范大学学报[J]，２００8,2１(3）：260-26３.[7]胡劲松.齐次欧拉方程的另一种求解方法．重庆工学院学报[J]，2004，1８(１)：4-７4８．[8］冀弘帅.认识伟大的数学家----欧拉.数学爱好者[J］,2006，１0：５2-53．[９]卓越科学家欧拉.中学生数理化（北师大版)[J］,20０7,Z2： 10１-102.。
《欧拉方程解法》课件
龙格-库塔方法是另一种常用的数值求解常微分方程的方法，其基本思想是利用 已知的初值和导数值来逼近微分方程的解。
02
龙格-库塔方法的基本步骤是：首先选择一个初始点和初始导数值，然后利用微 分方程、初始条件和初始导数值来计算下一个点和导数值，以此类推，得到一 系列的点和导数值，这些点和导数值就构成了微分方程的近似解。
收敛性分析
随着网格密度的增加，数值解应逐渐接近真实解。
全局误差估计
误差传播
在数值求解过程中，误差会随着 时间和空间的离散化而传播和累 积。全局误差估计需要考虑误差 传播的影响。
收敛速度
全局误差估计还涉及数值解的收 敛速度。理论上，随着时间和空 间的离散化，数值解应逐渐接近 真实解。
误差界
全局误差估计的一个重要目标是 确定数值解的上界和下界，以便 评估其精度和可靠性。
03
欧拉方程的数值解法
欧拉方法
欧拉方法是一种简单的数值求解常微分方程的方法，其基 本思想是利用已知的初值来逼近微分方程的解。
欧拉方法的基本步骤是：首先选择一个初始点，然后利用 微分方程和初始条件来计算下一个点，以此类推，得到一 系列的点，这些点就构成了微分方程的近似解。
欧拉方法的优点是简单易懂，易于实现，但其缺点误差较小，且适用于复杂和非线性的微分方 程，但其缺点是计算量较大，需要更多的计算资源和时间。
04
欧拉方程的稳定性分析
线性稳定性分析
01 线性稳定性分析是研究欧拉方程解的稳定性的基 础方法。
02 通过线性化欧拉方程，可以得到其线性化方程， 进而分析其解的稳定性。
边界问题是指给定微分方 程和某些边界条件，求解 该微分方程的解。
03 方法
使用积分变换、分离变量
欧拉方程的求解
欧拉方程的求解1.引言在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（Leonhard Euler,1707--1783）.几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用π表示圆周率、e表示自然对数的底、()f x表示函数、∑表示求和、i表示虚数单位以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.在文献[1]中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如K=的解，进而求得欧y x拉方程的解.但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.2.几类欧拉方程的求解定义1 形状为()1(1)110n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++++=（1） 的方程称为欧拉方程. （其中1a ，2a ，，1n a -，n a 为常数）2.1二阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）二阶齐次欧拉方程： 2120x y a xy a y '''++=. （2） (其中1a ,2a 为已知常数）我们注意到，方程（2）的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数（分别是2x 、1a x 和02a x ），且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂函数K y x =来尝试，看能否选取适当的常数K ，使得K y x =满足方程（2）. 对K y x =求一、二阶导数，并带入方程（2），得212()0K K K K K x a Kx a x -++=或212[(1)]0K K a K a x +-+=,消去K x ，有 212(1)0K a K a +-+=. （3）定义2 以K 为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程.由此可见，只要常数K 满足特征方程（3），则幂函数K y x =就是方程（2）的解.于是，对于方程（2）的通解，我们有如下结论：定理1 方程（2）的通解为(i) 1112ln K K y c x c x x =+, （12K K =是方程（3）的相等的实根） (ii)1212K K x c x y c +=, (12K K ≠是方程（3）的不等的实根) (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（3）的一对共轭复根）（其中1c 、2c 为任意常数）证明 （i ）若特征方程（3）有两个相等的实根: 12K K =，则 11K x y =是方程（2）的解, 且设2()u x y =，11()K y x u x =（()u x 为待定函数）也是方程（2）的解（由于21()y u x y =，即1y ，2y 线性无关），将其带入方程（2），得 11122111112[()2]()0K K K x K K u K xu x u a x K u xu a x u ''''-+++++=,约去1K x ，并以u ''、u '、u 为准合并同类项，得22111112(2)[(1)]0x u K a xu K a K a u '''++++-+=.由于1K 是特征方程（3）的二重根，因此21112(1)0K a K a +-+=或112(1)0K a +-=,于是，得20x u ux '''+=或0xu u '''+=,即 ()0xu ''=,故 12()ln u x c x c =+.不妨取()ln u x x =，可得方程（2）的另一个特解12ln K y x x =,所以，方程（2）的通解为1112ln K K y c x c x x =+.（其中1c ，2c 为任意常数）（ii ）若特征方程（3）有两个不等的实根: 12K K ≠，则11K x y =，22K y x =是方程（2）的解. 又2211()21K K K K y x x y x-==不是常数，即1y ，2y 是线性无关的. 所以，方程（2）的通解为1212K K x c x y c +=.（其中1c ，2c 为任意常数）（iii ）若特征方程（3）有一对共轭复根：1,2K i αβ=±（0β≠），则 ()1i x y αβ+=，()2i y x αβ-=是方程（2）的两个解，利用欧拉公式，有()ln 1(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ+===+，()ln 2(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ--===-,显然，12cos(ln )2y y x x αβ+= 和12sin(ln )2y y x x iαβ-= 是方程（2）的两个线性无关的实函数解.所以，方程（2）的通解为12cos(ln )sin(ln )x x x x y c c ααββ=+.（其中1c ，2c 为任意常数）例1求方程20x y xy y '''-+=的通解.解 该欧拉方程的特征方程为(1)10K K K --+=，即 2(1)0K -=, 其根为： 121K K ==,所以原方程的通解为12(ln )y c c x x =+.（其中1c ，2c 为任意常数）例2 求方程280x y xy y '''--=的通解.解 该欧拉方程的特征方程为2(11)80K K +---=，即 2280K K --=,其根为： 12K =-，24K =，所以原方程的通解为4122c y c x x=+. （其中1c ，2c 为任意常数）例3 求方程的通解2350x y xy y '''++=.解 该欧拉方程的特征方程为(1)350K K K -++=，即 2250K K ++=,其根为： 1,212K i =-±,所以原方程的通解为121[cos(2ln )sin(2ln )]y c x c x x=+. （其中1c ，2c 为任意常数）2.2二阶非齐次欧拉方程的求解（初等积分法）二阶非齐次欧拉方程：212()x y a xy a y f x ++='''. （4） （其中1a ，2a 为已知实常数，()f x 为已知实函数）为了使方程（4）降阶为一阶线性微分方程，不妨设1121a K K =--，212a K K =, （5）则方程（4）变为212122)(1()K a x y K K xy K y f x +--+='''，即212()()()x xy K y K xy K y f x ---=''', （6）根据韦达定理，由（5）式可知，1K ，2K 是一元二次代数方程 212(1)0K a K a +-+= （3） 的两个根.具体求解方法：定理2 若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则方程（4）的通解为212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰. （7）证明 因为1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，于是方程（4）等价于方程（6），令 2x y K y p '-=,代入方程（6）并整理，得1()K f x p x xp =-' 和 2K p y y x x'-=, 解之，得方程（4）的通解为212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰.由定理2知，只需要通过两个不定积分（当（7）式中的积分可积时）即可求得方程（4）的通解.为了方便计算，给出如下更直接的结论.定理3 若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则（i ）当12K K =是方程（2）的相等的实特征根时，方程（4）的通解为 11111[ln ()ln ()]K K K x x f x dx x x f x dx y x -----⋅=⎰⎰, （ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的实特征根时，方程（4）的通解为112211121[()()]K K K K x x f x dx x x f x dx K K y ------=⎰⎰, （iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，方程（4）的通解为111[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]y x x x x f x dx x x x f x dx αααβββββ----=-⎰⎰ 证明 （ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的的实特征根时，将方程（1）的通解（7）进行分部积分，得21212112212121121111211212112111[()]1[()]1{[()]}1[]()()()K K K K K K K K K K K K K K K K K K K x x x f x dx dx x x f x dx dx K K x x x d x f x dx K K x x K K y x f x dx x f x dx x f x dx -------------------=-===--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（8） （iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，122K K i β-=， 再由欧拉公式有1ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ+===+, 2ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ--===-, 将其代入(8)式，整理可得方程（4）的通解为111[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]x x x x f x dx x x x f x dx y αααβββββ-----=⎰⎰（i ）的证明和（ii ）类似.例1求方程22234ln y xy y x x x x '''-+=+的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2440K K -+=， 特征根为 122K K ==,所以由定理3，原方程的通解为23223222232122223212[ln (ln )ln (ln )]111{ln [(ln )ln ][(ln )(ln )]}23211ln [(ln )(ln )]62x x x x x dx x x x x x dx x x x c x x c x x c x x x x y x x c --+-⋅+++-+-+++===⎰⎰ （其中1c ，2c 为任意常数）例2求方程2322x x y xy y x e -+='''的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2320K K -+=，特征根为 12K =，21K =，所以由定理3，原方程的通解为23323212212()()x x x x x xx x e dx x x x e dxx e c x xe e c c x c x xe y x ---=+---=++=⎰⎰（其中1c ，2c 为任意常数）例3求方程2cos(ln )2x x x y xy y -+='''的通解. 解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2220k k -+=，特征根为 1,21K i =±,所以由定理3，原方程的通解为212122cos(ln )]cos(ln )cos(ln )11sin(ln )cos(ln )cos(ln ))sin(ln )cos(ln )sin(ln )cos(ln )sin(ln )[sin(ln )]{sin(ln )(ln )cos(ln )[ln(cos(ln )]}[][sin(ln )ln x xx x dx dx x x x dx x dx x x x x c x y x x x x x x x x x x c x x c x c x x x ----+===+++=++⎰⎰⎰⎰cos(ln )ln(cos(ln ))]x x（其中1c ，2c 为任意常数）在定理3中，若令()0f x =，则得到二阶齐次欧拉方程（2）的通解.推论 方程（2）的通解为(i)1112ln K K x c x x y c +=, （12K K =是方程（2）的相等的实特征根） (ii)1212K K x c x y c +=, （12K K ≠是方程（2）的不等的实特征根） (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根）（其中1c ，2c 为任意常数）2.3三阶非齐次欧拉方程的求解（常数变易法）三阶非齐次欧拉方程：32123()x y a x y a xy a y f x +++=''''''. （9）（其中1a ，2a ，3a 为常数） （9）对应的齐次方程为321230x y a x y a xy a y +++=''''''. （10）特征方程为321123(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=. （11）定理4 设1K 是方程（11）的根，2K 是方程22122112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=的根，则（9）的通解为12211211(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰ . （12）证明 根据条件1K y cx =（c 为任意常数）是方程（10）的解. 设1()K y c x x =是方程（9）的解（其中()c x 是待定的未知数）， 将其代入方程（9），整理得1121111112(3)3231111213()(3)()[3(1)2]()[(3)(2)]()()K c x K a x c x K K a K a x c x K a K a a K a x c x xf x ---+-''''''+++-++++-+-++= （13）因为1K 是（11）的根，则321111213(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=,于是（13）式化为1(3)121111112()(3)()[3(1)2]()()K c x K a x c x K K a K a x c x x f x -+--''''''+++-++=（14）这是以()c x '为未知函数的二阶欧拉方程. 设2K 为（14）对应的齐次方程的特征方程21111112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=, （15）的根，则221121(23)(2)()[()]K K K a K K c x x x x f x dx dx -+++-'=⎰⎰.从而2211211(23)(22){[()]}()K K K a K K a x x x f x dx dx dx c x -++++-=⎰⎰⎰. 故方程（1）的通解为12211211(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰.定理5 设1K 是方程（11）的根，2K 是方程（15）的根，则（i ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单实根，则（9）的通解为1212121121(2)1(3)(2)121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++=-++-⎰⎰⎰（ii ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单虚根，则（9）的通解为111(2)(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x xx f x dx x x x f x dx dxy xαααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰（其中11132K a α--=，β= (iii ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的重实根，则（9）的通解为121212(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰,（iv ）当1K 是方程（11）的三重实根，方程（15）变为2210K K ++=，有21K =-，则（9）的通解为111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K y x x x x f x dx x x f x dx dx -+-+-=-⋅⎰⎰⎰. 证明 （i ）因为2K 是方程（15）的单实根，得（14）的通解为212121121(2)1(3)(2)31211[()()](32)1()K K K K K a K K a x x f x dx x x f x dx K K a c x -++-++++--++-='⎰⎰则（9）的通解为1212121121(2)1(3)(2)3121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++-=-++-⎰⎰⎰（ii ）因为2K 是方程（14）的单虚根，此时方程（15）有一对共轭虚根1,22K =得（14）的通解为11(2)(2)[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]()K K x x x x f x dx x x x f x dx c x αααβββββ-++-++-='⎰⎰则（9）的通解为111(2)(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x xx f x dx x x x f x dx dxy xαααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰（其中11132K a α--=，β= （iii ）因为2K 是方程（15）的重实根，得（9）的通解为121212(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰.（iv ）当1K 是方程（10）的三重实根（1133a K =-），方程（15）变为222210K K ++=，有21K =-，将1133a K =-，21K =-代入（12）式得11(1)11{[()]}K K y x x x x f x dx dx dx -+--=⎰⎰,对上式分部积分得（9）的通解为111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K x x x x f x dx x x f x dx dx y -+-+-⋅-⋅=⎰⎰⎰.例1 求三阶欧拉方程32366x y x y xy y x -+-=''''''的通解. 解 原方程对应的齐次方程为323660x y x y xy y -+-='''''',其特征方程为3261160K K K -+-=，解得其特征根为1，2，3，取 11K =， 将11K =，13a =-，26a =，代入方程（15），得2220K K -=,解得21K =或0，利用定理5（i ）的通解公式有323212311[]ln 22y x x x dx x dx dx x x c x c x c x --=-=+++⎰⎰⎰. （其中1c ，2c ，3c 为任意常数）例2 求三阶欧拉方程3241313x y x y xy y x ''''''-+-=的通解.解 原方程对应的齐次方程为32413130x y x y xy y ''''''-+-=,其特征方程为21613()()0K K K -+-=，从而解得特征单实根为11K =，将11K =，14a =-，213a =代入方程（15），得到222250K K -+=，解得 1,2212i K =±. 令212i K =+，则1α=，2β=， 利用定理5（ii ）的通解公式有33213{[sin(2ln )cos(2ln )cos(2ln )sin(2ln )]}211ln [sin(2ln )cos(2ln )]816xx x x dx x x x dx dxx x c x c x c x y x ---=+-+=⎰⎰⎰（其中1c ，2c ，3c 为任意常数）2.4 n 阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）令K y x =是方程（1）的解，将其求导（需要求出y '、y ''(1)n y -、()n y ）代入方程（1），并消去K x ，得1(1)(1)(1)(1)(2)0n n K K K n a K K K n a K a ---++--++++=. (16） 定义3 以K 为未知数的一元n 次方程（16）称为n 阶齐次欧拉方程（1）的特征方程.由此可见，如果选取k 是特征方程（16）的根，那么幂函数k y x =就是方程（1）的解.于是，对于方程（1）的通解，我们有如下结论：定理6 方程（1）的通解为112211n n n n y c y c y c y c y --=++++（其中1c ，2c 1n c -，n c 为任意常数），且通解中的每一项都有特征方程（16）的一个根所对应，其对应情况如下表：例1 求方程4(4)3(3)281550x y x y x y xy '''+++=的通解.(ln k d ++解 该欧拉方程的特征方程为(1)(2)(3)8(1)(2)15(1)50K K K K K K K K K K ---+--+-+=,整理，得2(22)0K K K ++=，其根为120K K ==，3,41K i =-±，所以原方程的通解为3412ln cos(ln )sin(ln )c cy c c x x x x x=+++. （其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）例2 求方程(4)(3)432670x y x y x y xy y ++++='''的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为(1)(2)(3)6(1)(2)7(1)10K K K K K K K K K K ---+--+-++=，整理，得410K +=，其根为1,2K i =-，3,4K i =（即一对二重共轭复根），所以原方程的通解为1234cos(ln )sin(ln )ln cos(ln )ln sin(ln )y c x c x c x x c x x =+++.（其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）3.结束语从前面的讨论过程来看，和教材中的变量变换法相比，本文中的解决办法更直接、更简单.但需要说明的是，本文中的定理和例题都是在0x >范围内对齐次欧拉方程求解的，如果要在0x <范围内对其求解，则文中的所有ln x 都将变为ln()x -，所得的结果和0x >范围内的结果相似.4.致谢经过这好几个月忙碌的学习跟工作，本次毕业论文的写作已经接近尾声了，但这次毕业论文的写作经历让我感受颇多.首先，自己要有很好的专业知识的储备，这也是写作的基础. 其次，自己要有严谨的思维逻辑.再次，自己要善于思考，遇到不懂得问题就要勤于思考，查资料，问老师.最后，自己一定要有坚持不懈的精神.毕业论文的写作是一个长期的过程，在写作过程中我们难免会遇到各种各样的过程，但我们不能因此就放弃，而要做到坚持.要相信“有付出就一定会有所收获”的.在这里首先要感谢我的指导老师胡宏昌教授.胡老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文阶段，他都给予了我悉心的指导，细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有他的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩胡老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也值得我永远学习，并将积极影响我今后的学习和工作.然后还要感谢大学四年来我的所有的老师跟领导，为我们打下了坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康，工作顺利！5、参考文献[1]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M].第3版.北京：高等教育出版社，2006:142-144.[2]华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].第3版.北京：高等教育出社,1999:87-199.[3]钟玉泉.复变函数论[M].第3版.北京：高等教育出版社，2003:10-11.[4]胡劲松.一类欧拉方程特解的求解.重庆科技学院学报[J],2009,11(2):143-144.[5]胡劲松，郑克龙.常数变易法解二阶欧拉方程.大学数学[J],2005,21(2):116-119.[6]米荣波，沈有建，汪洪波.三阶欧拉方程求解的简化常数变易方法.海南师范大学学报[J]，2008,21(3):260-263.[7]胡劲松.齐次欧拉方程的另一种求解方法.重庆工学院学报[J],2004,18(1):4-748.[8]冀弘帅.认识伟大的数学家----欧拉.数学爱好者[J],2006，10：52-53.[9]卓越科学家欧拉.中学生数理化(北师大版)[J],2007,Z2: 101-102.Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
7.1—高阶线性微分方程(4)
例3 求微分方程
(x
2)2
d3 y dx 3
(x
2)
d2 y dx 2
dy dx
1
的通解.
分析 令 t (x 2)
得
t2
d3 y dt 3
t
d2 y dt 2
dy dt
1
即得
t3
d3 y dt 3
t2
d2 y dt 2
t
dy dt
t
这样就转化为Euler方程了.
例4
解 由题设得定解问题 ③ ④
x t
dx dx d 1 dx , dt d dt t d
d2x dt 2
1 t2
d2x
d 2
dx
d
,
d3x dt 3
1 t3
d3x
d 3
3
d2
d
x
2
2
dx
d
,
将上式代入Euler方程，则化为以 为自变量
的常系数 线性微分方程. 求出这个方程的解后，
把 换为 lnt, 即得到原方程的解.
例1 求Euler方程 t3x t 2 x 4tx 3t 2 的通解．
(2) 特征方程
利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为 x ( d cos x k sin x )
思考题1
如何求解 y ay by cos3 x 的通解呢？
提示
cos3t 4cos3 t 3cost; sin 3t 3sin t 4sin3 t
思考2 求 y y c o s x c o s 2 x 的 通 解 .
其中a1 ,a2 ,,an均为常数 .
特点: 各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的 乘方次数相同．
微积分-常微分方程解题方法
北京理工大学微积分-常微分方程解法常微分方程各种解题方法程功2011/2/161.几个基本定义（1）微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.分类1: 常微分方程： 未知函数为一元函数 偏微分方程： 未知函数为多元函数分类2:微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之. 一阶微分方程(,,)0,F x y y '=(,);y f x y '=高阶()n 微分方程()(,,,,)0,n F x y y y '= ()(1)(,,,,).n n y f x y y y -'=分类3: 线性与非线性微分方程.()(),y P x y Q x '+=2()20;x y yy x ''-+=分类4: 单个微分方程与微分方程组.32,2,dyy z dxdz y z dx⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（2）微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.微分方程的解的分类：① 通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,y y '=例;x y Ce =通解0,y y ''+=12sin cos ;y C x C x =+通解② 特解: 确定了通解中任意常数以后的解. （3）解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族.（4）初始条件: 用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.一阶:00(,)x x y f x y y y ='=⎧⎪⎨=⎪⎩过定点的积分曲线;二阶:0000(,,),x x x x y f x y y y y y y =='''=⎧⎪⎨''==⎪⎩过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.2.可分离变量的微分方程可分离变量微分方程的形式()()g y dy f x dx =44225522,dy x y y dy x dx dx-=⇒=例如解法：设函数()g y 和()f x 是连续的,()()g y dy f x dx =⎰⎰设函数()G y 和()F x 是依次为()g y 和()f x 的原函数,()()G y F x C =+为微分方程的解.3.齐次方程形如()dy yf dx x=的微分方程称为齐次方程. 解法：作变量代换,y u x =,y xu =即,dy duu x dx dx∴=+ 代入原式(),du u x f u dx += 即().du f u u dx x-=（可分离变量的方程） （1）()0,f u u -≠当时1ln ,()duC x f u u=-⎰得),u x Ce ϕ=即()()du u f u uϕ=-⎰（）,yu x =将代入(),yx x Ce ϕ=得通解 （2）0,u ∃当00()0,f u u -=使0,u u =则是新方程的解,代回原方程0.y u x =得齐次方程的解 4．可化为齐次的方程 定义111()dy ax by cf dx a x b y c ++=++形如的微分方程 10,c c ==当时为齐次方程.否则为非齐次方程. 解法：,x X h y Y k =+=+令，（其中h 和k 是待定的常数）,dx dX dy dY ==11111()dY aX bY ah bk c f dX a X b Y a h b k c ++++=++++1110,0,ah bk c a h b k c ++=⎧⎨++=⎩ （1）1122a b a b ≠有唯一一组解.11()dY aX bYf dX a X b Y +=+得通解代回,X x h Y y k =-⎧⎨=-⎩， （2）11,a b a b λ==1(),()dy ax by c f dx ax by c λ++=++方程可化为,z ax by =+令 dz dy a b dx dx =+则，11()().dz z c a f b dx z c λ+-=+可分离变量. 5.其它类型：通过变量代换化为可分离变量方程(1)()()()f x y dx dy g x dx ±±=,u x y =±令,du dx dy =±方程化为()()f u du g x dx = (2)()()()f xy xdy ydx g x dx +=,u xy =令,du xdy ydx =+代入方程得()()f u du g x dx =(3)()()()y f xdy ydx g x dx x -=,y u x =令则2,xdy ydx du x -=代入方程得2()()g x f u du dx x=22(4)()()()f x y xdx ydy g x dx ++=22,u x y =+令 则22,du xdx ydy =+代入方程得()2()f u du g x dx =6.线性方程一阶线性微分方程的标准形式:()()dyP x y Q x dx+= ()0,Q x ≡当上方程称为齐次的.()Q x ≡当0,上方程称为非齐次的. 例如2,dy y x dx =+2sin ,dx x t t dt=+线性的; 23,yy xy '-=cos 1,y y '-=非线性的。
高数欧拉方程的解法
高数欧拉方程的解法
高数欧拉方程的解法有以下几种：
1. 积分法：积分法是求解高数欧拉方程的最常用的方法，它是将高数欧拉方程化为一组积分方程，然后利用积分的方法求解。
2. 分离变量法：分离变量法是将高数欧拉方程化为一组分离变量的方程，然后利用分离变量的方法求解。
3. 幂级数法：幂级数法是将高数欧拉方程化为一组幂级数方程，然后利用幂级数的方法求解。
4. 变分法：变分法是将高数欧拉方程化为一组变分方程，然后利用变分的方法求解。
5. 微分变换法：微分变换法是将高数欧拉方程化为一组微分变换方程，然后利用微分变换的方法求解。
欧拉方程常微分方程例题
欧拉方程常微分方程例题
欧拉方程是一种常微分方程，形式为：
ax^2y'' + bxy' + cy = 0
其中，a、b、c为常数。
欧拉方程是一种特殊的二阶线性常微分方程，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在18世纪提出。
欧拉方程的解常常涉及到特殊函数，如指数函数、对数函数、幂函数等。
以下是一些关于欧拉方程的例题及其相关参考内容：
例题1：
求解欧拉方程：x^2y'' + 4xy' + 2y = 0
解法：
将欧拉方程的形式转化为特征方程求解。
令y = x^r，则有：y' = rx^(r-1)，y'' = r(r-1)x^(r-2)
将以上表达式代入原始方程得：
x^2r(r-1)x^(r-2) + 4xrx^(r-1) + 2x^r = 0
r(r-1)x^r + 4rx^r + 2x^r = 0
(r^2 + 4r + 2)x^r = 0
由于x^r不能为零，所以上式的系数必须为零，即有：
r^2 + 4r + 2 = 0
解上式得到其特征根：
r = -2 + √2 或 r = -2 - √2
因此，欧拉方程的通解为：
y = c1x^-2+√2 + c2x^-2-√2
其中c1、c2为常数。
参考内容：
1. G.F. Simmons, Differential Equations with Applications and Historical Notes (2nd Edition). Springer, 1991.
2. GeoGebra欧拉方程示意图。
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将自变量换为 t,
dy dy dt 1 dy , dx dt dx x dt
d2y dx2
1 x2
d2y
dt 2
dy , dt
d3y dx 3
1 x3
d3y dt 3
d2y 3
dt 2
2 dy , dt
用 D 表示对自变量 t 求导的运算 d ,
dt 上述结果可以写为
xy Dy,
x2 y d 2 y dy (D2 D) y D(D 1) y, dt 2 dt
x3 y d 3 y 3 d 2 y 2 dy dt 3 dt 2 dt
(D3 3D2 2D) y D(D 1)(D 2) y,
一般地， xk y(k) D(D 1)(D k 1) y.
将上式代入欧拉方程，则化为以 t 为自变量
的常系数 线性微分方程. 求出这个方程的解后，
或
d 3 y 2 d 2 y 3 dy 3e2t . dt 3 dt 2 dt
(1)
方程(1)所对应的齐次方程为
d 3 y 2 d 2 y 3 dy 0, dt 3 dt 2 dt 其特征方程 r 3 2r 2 3r 0,
特征方程的根为 r1 0, r2 1, r3 3.
所以齐次方程的通解为
把 t 换为 ln x ，即得到原方程的解.
例 求欧拉方程
x3 y x2 y 4xy 3x2 的通解．
解 作变量变换 x et 或 t ln x,
原方程化为
D(D 1)( D 2) y D(D 1) y 4Dy 3e2t ,
即 D3 y 2D2 y 3Dy 3e2t ,
*第十一节 欧拉方程
形如
xn y(n)
p x n
f (x)
的方程(其中 p1 , p2 pn为常数) 叫欧拉方程.
特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同．
解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变 量代换可化为常系数微分方程.
作变量变换 x et 或 t ln x,
Y
C1
C2etC3e3t
C1
C2 x
C3x3.
设特解为 y be2t bx2 ,
代入原方程，得 b 1 . 2
即 y x2 , 2
所给欧拉方程的通解为
y
C1
C2 x
C3 x3
1 2
x2.