一次函数竞赛1 (1)

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竞赛讲座函数

第一章函数一、基础知识定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。

定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。

定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。

定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。

定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。

A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。

集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。

通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}.定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。

例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x1(x ≠0).定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。

定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。

定义7 函数的性质。

（1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1)<f (x 2)(f (x )>f (x 2))，则称f (x )在区间I 上是增（减）函数，区间I 称为单调增（减）区间。

周末辅导之一次函数竞赛题(含答案)

周末尖子生辅导之一次函数（2019年12月14日）一、讲解部分1．已知一次函数3y x m =+的图象与一次函数21y x =-+的图象交于点A ．（1）点A 一定不在象限；（2）若点A 在第一象限，求常数m 的取值范围．2．已知abc ≠0,并且a b b c c a p c a b+++===,那么直线y px p =+一定经过( ) A ．第一、二象限 B ．第二、三象限 C ．第三、四象限 D ．第一、四象限3．（1）在直角坐标系中，画出函数2y x =-的图象；（2）在直角坐标系中，画出函数3|2|y x =--的图象；①图象与坐标轴交点的坐标是；②图象最高点的坐标是．4．如图，在直角坐标系中,长方形OABC 的顶点B 的坐标为(15,6),直线13y x b =+恰好将长方形形OABC 分成面积相等的两部分,那么,b =；如果OABC 是一个平行四边形呢？是一个等腰梯形，或是一个等边三角形呢？5．设直线(1)nx n y ++=(n 为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为n S (n =1,2,3,…,2000)．则S 1+S 2+S 3+…+S 2000的值为 ( )A ．19992000B ．1C ．20002001D ．200120026．在直角坐标系xOy 中,x 轴上的动点M (,0x )到定点P (5,5)、Q (2,1)的距离分别为MP 和MQ ．当M P M Q +最小值时,求M 的横坐标．7．（1）一次函数(1)y k x =-的图象经过一个定点，定点的坐标是；（2）函数3y kx k =-过哪个定点?8．求证：不论m 为何值,关于x 的函数2(3)21y m x mx =-++的图象恒过两定点，并求出这两定点的坐标．二、练习部分1．无论k 为何值，一次函数(21)(3)(13)0k x k y k -----=的图象必经过一个定点，这个定点的坐标是……（）A ．（0，0）B ．(2,5)--C ．（2，3）D ．（4，1） 2．已知正比例函数y =kx （k ≠0）的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y =kx +k 的图象大致是图中的（）A ．B ．C ．D ．3．若直线y =﹣2x ﹣4与直线y =4x +b 的交点在第三象限，则b 的取值范围是（）A ．﹣4＜b ＜8B ．﹣4＜b ＜0C ．b ＜﹣4或b ＞8D ．﹣4≤b ≤84．在直角坐标系中，若一点的纵、横坐标都是整数，则称该点为整点，设k 为整数，当直线2y x =-与y kx k =+的交点为整点时，k 的值可取……（）A ． 4个B ． 5个C ． 6个D ． 7个 5．若直线y =3x +k 与两坐标轴围成的三角形的面积是24，则k = ．6．如图，直线l 1的解析表达式为：y =﹣3x +3，且l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A ，B ，直线l 1，l 2交于点C ．（1）求点D 的坐标；（2）求直线l 2的解析表达式；（3）求△ADC 的面积；（4）在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接写出点P 的坐标．7．．求直线31y x =+关于x 轴成轴对称的图形的解析式为；关于y 轴成轴对称的图形的解析式为．它们之间有怎样的关系？说明理由．8．已知A （-2，3），B （3，1），P 点在x 轴上．（1）若│P A │+│PB │最小，求点P 的坐标；（2）若PA PB -最大，求点P 的坐标；（3）若P A =PB ．,求点P 的坐标．答案(讲解部分)：1．（1）三，理由是直线21y x =-+不经过第三象限；（2）312m -<<，可以求得两直线的交点坐标，由不等式组求解，也可以取直线3y x m =+过(0,1)和1(,0)2两个点确定2．2p =或1p =-，图象一定过二、三象限，选B3．分段函数，（2）(5,0),(1,0),(0,1)-，（2，3）4．12，平行四边形时相同，但等腰梯形和等边三角形时要通过计算，理由是它们不是中心对称图形 5．A 6．5(,0)27．(1,0),(3,0)8．(0,1),(2,11)--答案(练习部分)：1．B 2．C 3．A 4．A 5．12±6．解：（1）由y =﹣3x +3，令y =0，得﹣3x +3=0，∴x =1，∴D （1，0）；（2）设直线l 2的解析表达式为y =kx +b ，由图象知：x =4，y =0；x =3，32y =-，代入表达式y =kx +b ，得直线l 2的解析表达式为362y x =-；（3）由33362y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，得C （2，﹣3），∵AD=3，∴S △ADC =1933=22=⨯⨯；（4）△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等，△ADC 高就是点C 到直线AD 的距离，即C 纵坐标的绝对值=|﹣3|=3，则P 到AD 距离=3，∴P 纵坐标的绝对值=3，点P 不是点C ， ∴点P 纵坐标是3，∵y =1．5x ﹣6，y =3，∴1.5x ﹣6=3x =6，所以P （6，3）．7．（1）31y x =--；（2）31y x =-+，关系是平行8．(1)711(,0),(,0)42; (2)设点P 的坐标是(m ,0),则有22(3)1(2)9m m -+=++，解得 310m =-，3(,0)10P -。

初中数学竞赛专题复习一次函数的图象与性质(无答案)

一次函数的图象与性质考点·方法·破译1．一次函数及图象：⑴形如y ＝kx ＋b （k ，b 为常数，且k ≠0），则y 叫做x 的一次函数，当b ＝0，k ≠０时，y 叫做x 的正比例函数．⑵正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象是经过（0,0），（1，k ）两点的直线，一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）是经过（0，b ）、（－k b，0）两点的直线．2．一次函数的性质：当k ＞0时，y 随自变量x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．3．函数y ＝kx ＋b 中的系数符号，决定图象的大致位置的增减性．经典·考题·赏析【例１】（山东）函数y ＝ax ＋b ①和y ＝bx ＋a ②（ab ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）【解法指导】A 中①a ＞0，b ＞0，②b ＜0，a ＜0矛盾．B 中①a ＜0，b ＜0，矛盾．C 中①a ＞0，b ＞0②b ＞0，a ＝0矛盾．D 中①a ＞0，b ＜0②b ＜0，a ＞0，故选D ．【变式题组】01．（河北）如图所示的计算程序中，y 与x 之间的函数关系所对应的图象应为（）02．（安徽）已知函数y ＝kx ＋b 的图象如左图，则y ＝2kx ＋b 的图象可能是（）03．下列图象中，表示一次函数y ＝mx ＋n 与正比例函数y ＝mnx （m 、n 为常数，则mn ≠0）的图象是（）【例２】（绍兴）如图，一次函数y ＝x ＋5的图象经过点P(a ，b)和Q （c ，d ）则a （c －d ）－b （c －d ）的值为_______．【解法指导】因为点P(a ，b),Q （c ，d ）在一次函数图象上，∴b ＝a ＋5，d ＝c ＋5∴a －b ＝－5，c －d ＝－5，a （c －d ）－b （c －d ）＝（c －d ）（a －b ）＝（－5）×（－5）＝25【变式题组】01．如图一条直线l 经过不同三点A （a ，b ）,B （b ，a ）C （a －b ，b －a ）则直线l 经过（）A ．第二、四象限B ．第一、三象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限02．（南京市八年级竞赛试题）已知三点A(2,3),B （5,4）C(－4,1)依次连接这三点，则（）A ．构成等边三角形B ．构成直角三角形C ．构成锐角三角形D ．三点在同一条直线上03．（四川省初二数学联赛试题）已知一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过点（0,1），它与坐标轴围成的图是等腰直角三角形，则a 的值为_______．【例３】如图，已知正方形ABCD 的顶点坐标为A(1,1)、B(3,1)、C(3,3)、D(1,3),直线y ＝2x ＋b 交AB 于点E ，交CD 于点F ．直线与y 轴的交点为（0，b ），则b 的变化范围是_____.【解法指导】直线y ＝2x ＋b 是平行于直线y ＝2x 的直线，当直线经过B 点时，b 最小，当x ＝3时，y ＝1∴1＝2×3＋b ， b ＝－5当直线经过D 点时，b 最大，所以当x ＝1时，y ＝3∴3＝2×1＋b ， b ＝1∴－5≤b ≤１【变式题组】01．线段y ＝－21x ＋a （1≤b ≤3），当a 的值由－1增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为（）A ．6B ．8C ．9D ．1002．（新知杯上海）在平面直角坐标系中有两点P （－1,1），Q(2,2)，函数y＝kx －1的图象与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是_________.03．（济南）阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y ＝k1x ＋b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y ＝k2x ＋b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1＝ k2，且b1＝b2，我们就称直线l1与直线l2平行．解答下面的问题：⑴求过点P （1,4）且与已知直线y ＝－2x －1平行的直线l 的函数表达式，并画出直线l 的图象；⑵设直线l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ，如果直线m ：y ＝kx ＋t （t ＞0）与直线平行且交于x 轴于点C ，求出△ABC 的面积S 关于t 的函数关系式．【例４】已知一次函数y ＝kx ＋b ，当自变量取值范围是2≤x ≤６时，函数值的取值范围5≤y ≤9.求此函数的解析式．【解法指导】⑴当k ＞0，y 随x 的增大而增大，∴y ＝kx ＋b 经过（2,5），（6,9）两点∴9652b kb k∴31b k ，∴y ＝x ＋3 ⑵当k ＜0，y 随x 的增大而减小，∴y ＝kx ＋b 经过（2,9），（6,5）两点∴5692b k b k∴111bk ，∴y ＝－x ＋11 ∴所求解析式为y ＝x ＋3或y ＝－x ＋11【变式题组】01．已知一次函数y ＝kx ＋b ，当－3≤x ≤１时，对应y 的值为1≤y ≤9，则kb的值为（）A ．4B ．－6C ．－4或21D ．－6或1402．（遂宁）已知整数x 满足－5≤x ≤5，y1＝x ＋1，y2＝2x ＋4，对任意一个x ，m 都取y1,、y2中的最小值，则m 的最大值是（）A ．1B ．2C ．24D ．－9【例５】如图，直线y ＝－5x －5与x 轴交于A ，与y 轴交于B ，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于C ，与y 轴交于B 点，CD ⊥AB 交y 轴于E ．若CE ＝AB,求直线BC 的解析式．【解法指导】由CE ＝AB ，CD ⊥AB 可得△AOB ≌△EOC,因而OB＝OC 而y ＝－5x －5与y 轴交于B∴B(0，－5)∴C(5,0),而直线BC 经过（0，－5），（5,0）可求得解析式y ＝x －5【变式题组】01．如图，在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）是直线y ＝－x ＋6第一象限上的点，点A(5,0),O 是坐标原点，△PAO 的面积S ．⑴求S 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；⑵探究：当P 点运动到什么位置时△PAO 的面积为10.02．如图，直线l ：y ＝－21x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点C （0,4），动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动．⑴求A 、B 两点的坐标；⑵求△COM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；⑶当t 为何值时，△COM ≌△AOB ，并求此时M 点的坐标．03．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝kx ＋b 经过A （0,2）、B(4,2)两点．⑴求直线AB 的解析式；⑵点C 的坐标为（0,1），过点C 作CD ⊥AO 交AB 于D. x 轴上的点P 和A 、B 、C 、D 、O 中的两个点所构成的三角形与△ACD 全等，这样的三角形有_____个，请子啊图中画出其中两个三角形的示意图．【例６】如图，已知直线y ＝－x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B.另一条直线y ＝kx ＋b （k ≠0）经过（1，0），且把△AOB 分成两部分．⑴若△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 和b 的值；⑵若△AOB 被分成的两部分的面积比为1:5,求k 和b 的值．【解法指导】欲求k 和b 的值，需知道直线y ＝kx ＋b （k ≠0）经过两已知点，而点C （1，0）在直线上，因而只需求出另一点的坐标即可．解：⑴由题意得（2，0）、B(0，2)，∴Ｃ为OA 的中点，因而直线y ＝kx ＋b 过OA 中点且平分△AOB 的面积时只可能韦中线BC ．∴y ＝kx ＋b 经过C （1，0），（0，2）∴b b kx 20∴k ＝2 b ＝2⑵①设y ＝kx ＋b 与OB 交于M （0，t ）则有S △OMC ＝S △CAN,∴MN ∥ｘ轴，∴N(34,32)∴直线y ＝kx ＋b 经过34,32)，（1，0）∴03234b kb k∴22b k 【变式题组】01．如图，在平面直角坐标系xOy ，已知直线AC 的解析式为y ＝－21x ＋2，直线AC 交x 轴于点C ，交于y 轴于点A ．⑴若一个等腰直角三角形OBD 的顶点D 与点C 重合，直角顶点B 在第一象限内，请直接写出点B 的坐标；⑵过点B 作x 轴的垂线l ，在l 上是否存一点P ，使得△AOP 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；⑶试在直线AC 上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．02．（浙江杭州）已知，直线y ＝－133x 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B,以线段AB 为直角边的第一象限内作等腰Rt △ABC,90BAC°，且点P （1,a ）为坐标系中的一个动点．⑴求三角形ABC 的面积S △ABC;⑵证明不论a 取任何实数，三角形BOP 的面积是一个常数；⑶要使得△ABC 和△ABP 的面积相等，求实数a 的值．演练巩固·反馈提高01．（芜湖）关于x 的一次函数y ＝kx ＋k2＋1的图象可能正确的是（）02．一次函数y ＝kx －b 和正比例函数y ＝kbx 在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（）03．一次函数y ＝（m －1）x ＋m2＋2的图象与y 轴的交点的纵坐标是3，则m 的值是（）A ．5B ．1C ．－1D ．－204．直线y1＝kx ＋b 过第一、二、四象限，则直线y2＝bx －k 不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限05．已知一次函数y ＝（1－2m ）x ＋m －2，函数y 随着x 的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m 的取值范围是（）A ．m ＞21 B.m ≤2 C ．21＜m ＜2 D.21＜m ≤２06．如图，点A 、B 、C 、D 在一次函数y ＝－2x ＋m 的图象上，它们的横坐标依次为－1，1，2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（）A ．1B ．3C ．3(m －1)D ．23（m －2）07．（绍兴）如图，在x 轴上有五个点，它们横坐标依次为1，2，3，4，5.分别过这些点作x 轴的垂线与三条直线y ＝ax ，y ＝（a ＋1）x ，y ＝（a ＋2）x 相交，其中a ＞0，则图中阴影部分的面积是（）A ．12.5B ．25C ．12.5aD ．25a08．（重庆）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，动点P 从点B 出发，沿路线B →C →Ｄ作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（）09．（日照）如图，点A 的坐标为（－1,0）,点B 在直线y ＝x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（）A ．（0，0）B ．（22，－22）C ．（－21，－21）D ．（－22，－22）10．（义务）李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出这个函数的一个特征.甲：它的图象经过第一象限；乙：它的图象经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y 随x 增大而增大.在你学习的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式_________.11．观察下列各直角坐标系中的直线AB ，点P （x ，y ）是线段AB 上的点，且x 、y 都是整数，请根据图中所包含的规律，回答下列问题：⑴第5个图中满足条件的点P 个数是_______;⑵第n 个图中满足条件的点P 个数m 与n 之间的关系是________.12．（十堰）直线y ＝kx ＋b 经过点A(－2,0)和y 轴上的一点B ，如果△ABO （O为坐标原点）的面积为2，则b 的值为________.13．如图，长方形OABC 的顶点B 的坐标为（6，4），直线y ＝－x ＋b 恰好平分长方形的面积，则b ＝_______.14．如图，点B 、C 分别在两条直线y ＝2x 和y ＝kx 上，点A 、D 是x 轴上两点，已知四边形ABCD 是正方形，则k ＝______.15．（东营）正方形A1B1C1O1,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图所示的方式放置．点A1,A2,A3,…和C1,C2，C3,…分别在直线y ＝kx ＋b(k ＞0)和x 轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2）则Bn 的坐标是________.16．点P 为直线y ＝－3x ＋6上的一点，且点P 到两坐标轴距离相等，则P 点坐标为_____.17．已知直线y1＝x ，y2＝31x ＋1，y3＝－54x ＋5的图象如图所示，若无论x 取何值，y 总取y1、y2、y3中最小的值，则y 的最大值为_______.18．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P(0,－3),且与函数y ＝21x ＋1的图象相交于点A （a ,38）.⑴求a 的值；⑵若函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴的交点是B,函数y ＝21x ＋1的图象与y 轴的交点是C,求四边形ABOC 的面积(其中O 为坐标原点).19．定义q p,为一次函数y ＝px ＋q 的特征数．⑴求一次函数y ＝－2（x －1）的特征数；⑵若特征数是2,2k 的一次函数为正比例函数，求k 的值．20．已知：三点A(a ，1)、B(3,1)、C(6,0)，点A 在正比例函数y ＝21x 的图象上．⑴求a 的值；⑵点P 为x 轴上一动点，当△OAP 与△CBP 周长的和取得最小值时，求点P 的坐标；21.已知直线ln ：y ＝－n n 1x ＋n 1（n 是正整数）.当n ＝1时，直线l1:y ＝－2x＋1与x 轴和y 轴分别交于点A1和B1.设△A1OB1(O 是平面直角坐标系的原点)的面积为s1.当n ＝2时，直线l2：y ＝－2123x 与x 轴和y 轴分别交于点A2和B2，设△A2OB2的面积为s2，…，依次类推，直线ln 与x 轴和y 轴分别交于点An 和Bn ，设△AnOBn 的面积为Sn.求△A1OB1的面积s1；⑵求s1＋s2＋s3＋…＋s2019的值.22.（长沙）在平面直角坐标系中，一动点P （x ，y ）从M （1，0）出发，沿由A（－1，1），B （－1，－1），C （1，－1），D （1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动．图②是P 点运动的路程s （个单位）与运动时间t （秒）之间的函数图象，图③是P 点的纵坐标y 与P 点运动的路程s 之间的函数图象的一部分．⑴ｓ与t 之间的函数关系式是：_________；(2）与图③相对应的P 点的运动路径是：________；P 点出发 _______秒首次到达点B ；⑶写出当3≤s ≤８时，y 与s 之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象．培优升级·奥赛检测01．已知abc ≠0，且b a c a c b c ba ＝t ，则直线y ＝tx ＋t 一定通过（）A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三、四象限D ．第一、四象限02．一个一次函数的图象与直线y ＝x45＋495平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点(－1,－25),则在线段AB 上（包括端点A 、B ）横坐标、纵坐标都是整数的点有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个03．在一次函数y ＝－x ＋3的图象上取点P ，作PA ⊥ｘ轴，PB ⊥ｙ轴，垂足分别为A 、B ，长方形OAPB 的面积为2，则这样的点P 共有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个04．在直角坐标系中，x 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5），Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，若MP ＋MQ 取最小值，则点M 的坐标为________. 05．已知点A （0，2）、B(4,0)，点C 、D 分别在直线x ＝1与x ＝2上运动，且CD ∥ｘ轴，当AC ＋CD ＋DB 的值最小值，点C 的坐标为_____________.06．在直角坐标系中，有两个点A(－8,3)、B （－4，5）以及动点C （0，n ）、D（m ，0）.当四边形ABCD 的周长最短时，n m的值为_________.07．已知函数y ＝（a －2）x －3a －1，当自变量x 的值范围为3≤x ≤５时，y 既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，求实数a 的取值范围．08．（荆州市八年级数学联赛试题）已知一次函数y ＝ax ＋b （a 为整数）的图象过（98，19），它与x 轴的交点为（p ，0），与y 轴的交点为（0，q ），若P 为质数，q 是正整数，问符合条件的一次函数是否存在？若存在，求出解析式；若存在，说明理由．09．若直线y ＝mx －3，y ＝－1，y ＝3和x ＝1所围成的四边形面积为12，求m.10．设f （x ）＝kx ＋1是x 的函数，若m （k ）表示函数f （x ）＝kx ＋1在1≤x ≤３条件下的最大值，求函数m （k ）的解析式，并作出图象．。

一次函数与二次函数竞赛讲座

在开展数学竞赛的活动同时各学校能加强联系彼此交流数学教学经验从这种意义上来说数学竞赛可能成为数学课程改革的催化剂成为培
养优秀人才的有力措施! 不过应当注意在数学竞赛活动中注意普及与提高相结合而且要以普
及为主使竞赛具有广泛的群众基础否则难以持久! 当然现在有些人过于关注数学竞赛的成绩组织和参与都具有很强的
பைடு நூலகம்
一次函数的图象与性质
函数称为一次函数若则称为正比例函数
一次函数的图象是过两点的直线正比例函数
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总序
一次函数的图象与性质二次函数的图象与性质函数与一元二次方程函数与二次不等式函数的最值有关整数根问题函数的应用
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2022年冀教版八年级数学下册第二十一章一次函数专项测试试卷(无超纲带解析)

八年级数学下册第二十一章一次函数专项测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知一次函数4y kx =+，其中y 的值随x 值的增大而减小，若点A 在该函数图象上，则点A 的坐标可能是（）A ．(1,6)B ．(3,4)C ．(1,2)--D ．(2,5)-2、如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同．用t 表示小球滚动的时间，v 表示小球的速度．下列能表示小球在斜坡上滚下时v 与t 的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C．D．3、对于正比例函数y＝kx，当x增大时，y随x的增大而增大，则k的取值范围（）A．k＜0 B．k≤0C．k＞0 D．k≥04、甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，王明跑步从甲地往乙地，陈启浩骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，陈启浩先到达目的地，两人之间的距离s（km）与运动时间t（h）的函数关系大致如图所示,下列说法中错误的是（）A．两人出发1小时后相遇B．王明跑步的速度为8km/hC．陈启浩到达目的地时两人相距10kmD．陈启浩比王明提前1.5h到目的地5、甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A ，B 两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，54t =或154．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6、如图，在Rt △ABO 中，∠OBA ＝90°，A （4，4），且13AC CB =，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为（）A ．（2，2）B ．（52，52） C ．（83，83） D ．（163，163） 7、下列语句是真命题的是（）．A ．内错角相等B ．若22a b =，则a b =C ．直角三角形中，两锐角A ∠和B 的函数关系是一次函数D ．在ABC 中，::3:4:5A B C ∠∠∠=，那么ABC 为直角三角形8、若一次函数()11y m x =--的图像经过第一、三、四象限，则m 的值可能为（）A ．-2B ．-1C ．0D ．29、已知一次函数y=mnx与y=mx+n(m，n为常数，且mn≠0)，则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（）A．B．C．D．10、如图，已知点K为直线l：y＝2x+4上一点，先将点K向下平移2个单位，再向左平移a个单位至点K1，然后再将点K1向上平移b个单位，向右平1个单位至点K2，若点K2也恰好落在直线l上，则a，b应满足的关系是（）A．a+2b＝4 B．2a﹣b＝4 C．2a+b＝4 D．a+b＝4第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1，l2分别是关于x，y的二元一次方程a1x+b1y＝c1，a 2x +b 2y ＝c 2的图象，则二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为___．2、如图，直线y ＝－x ＋2与y ＝kx ＋b （k ≠0且k ，b 为常数）的交点坐标为（3，－1），则关于x 的不等式kx ＋b ≥－x ＋2的解集为 ___．3、在平面直角坐标系中，一次函数y kx =和y x b =-+的图象如图所示，则不等式kx x b >-+的解集为______4、已知一次函数(1)43y m x m =-+-（m 为常数），若其图象经过第一、三、四象限，则m 的取值范围为____．5、如图，将正方形ABCD 置于平面直角坐标系中，其中(1,0)A ，(3,0)D -，AD 边在x 轴上，直线:L y kx =与正方形ABCD 的边有两个交点O 、E ，当35OE <<时，k 的取值范围是__．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、经开区某中学计划举行一次知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．(1)求甲、乙两种奖品的单价；(2)根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于乙种奖品的一半，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．2、平面直角坐标系内有一平行四边形点()00O ，，()40A ，，()52B ，，()12C ，，有一次函数y kx b =+的图象过点()61P ，(1)若此一次函数图象经过平行四边形OA 边的中点，求k 的值(2)若此一次函数图象与平行四边形OABC 始终有两个交点，求出k 的取值范围3、甲、乙两车匀速从同一地点到距离出发地480千米处的景点，甲车出发半小时后，乙车以每小时80千米的速度沿同一路线行驶，两车分别到达目的地后停止，甲、乙两车之间的距离（千米）与甲车行驶的时间x （小时）之间的函数关系如图所示．(1)甲车行驶的速度是千米/小时．(2)求乙车追上甲车后，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3)直接写出两车相距85千米时x的值．4、一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应的y的取值为1≤y≤9，求该函数的解析式．5、【数学阅读】如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE=CF．小明的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．【推广延伸】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想PD，PE与CF的数量关系，并证明．【解决问题】如图4，在平面直角坐标系中，点C在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且AB=AC．点B到x轴的距离为3．（1）点B 的坐标为_____________；（2）点P 为射线．．CB 上一点，过点P 作PE ⊥AC 于E ，点P 到AB 的距离为d ，直接写出PE 与d 的数量关系_______________________________；（3）在（2）的条件下，当d =1，A 为(－4，0)时，求点P 的坐标．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】先判断0,k < 再利用待定系数法求解各选项对应的一次函数的解析式，即可得到答案.【详解】解：一次函数4y kx =+，其中y 的值随x 值的增大而减小，0,k ∴<当1,6x y ==时，则46,k 解得2k =，故A 不符合题意，当3,4x y ==时，则344,k 解得0,k = 故B 不符合题意；当1,2x y =-=-时，则42,k 解得6,k = 故C 不符合题意；当2,5x y =-=时，则245,k 解得1,2k =- 故D 符合题意；故选D【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握“利用待定系数法求解一次函数的解析式”是解本题的关键.2、C【解析】【分析】静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同即可判断．【详解】解：由题意得，小球从静止开始，设速度每秒增加的值相同为a ．00v v at a t ∴=+=+⨯，即v at =．故是正比例函数图象的一部分．故选：C ．【点睛】本题考查了函数关系式，这是一个跨学科的题目，实际上是利用“即时速度=初始速度+加速度⨯时间”，解题的关键是列出函数关系式．3、C【解析】略4、C【解析】【分析】根据函数图象中的数据，可以分别计算出两人的速度，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可知，两人出发1小时后相遇，故选项A正确；王明跑步的速度为24÷3=8（km/h），故选项B正确；陈启浩的速度为：24÷1-8=16（km/h），陈启浩从开始到到达目的地用的时间为：24÷16=1.5（h），故陈启浩到达目的地时两人相距8×1.5=12（km），故选项C错误；陈启浩比王提前3-1.5=1.5h到目的地，故选项D正确；故选：C．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5、B【解析】【分析】当不动时，距离300千米，就是A，B两地的距离；甲匀速运动，走完全程用时5小时，乙走完全程用时3小时，确定甲，乙的函数解析式，求交点坐标；分甲出发，乙未动，距离为50千米，甲出发，乙出发，且甲在前50距离50千米，甲在后距离50千米，乙到大时距离为50千米四种情形计算即可．【详解】∵（0，300）表示不动时，距离300千米，就是A，B两地的距离，∴①正确；∵甲匀速运动，走完全程用时5小时，乙走完全程用时3小时，∴乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；∴②正确；设y =mt 甲，∴300=5m ，解得m =60，∴y =60t 甲；设y =kt b +乙，∴4300=0k b k b +=⎧⎨+⎩解得100=-100k b =⎧⎨⎩， ∴y =100100t -乙；∴10010060t t -=解得t =2.5，∴2.5-1=1.5，∴乙车出发后1.5小时追上甲车；∴③错误；当乙未出发时，y =60=50t 甲，解得t =56；当乙出发，且在甲后面时，60(100100)=50t t --，解得t =54；当乙出发，且在甲前面时，10010060=50t t --，解得t =154；当乙到大目的地，甲自己行走时，y =60=250t 甲，解得t =256； ∴④错误；故选B ．【点睛】本题考查了函数的图像，一次函数的解析式确定，交点的意义，熟练掌握待定系数法，准确捕获图像信息是解题的关键．6、C【解析】【分析】先确定点D 关于直线AO 的对称点E （0，2），确定直线CE 的解析式，直线AO 的解析式，两个解析式的交点就是所求．【详解】∵∠OBA ＝90°，A （4，4），且13AC CB =，点D 为OB 的中点， ∴点D （2，0），AC =1，BC =3，点C （4，3），设直线AO 的解析式为y =kx ，∴4=4k,解得k=1，∴直线AO的解析式为y=x，过点D作DE⊥AO，交y轴于点E，交AO于点F，∵∠OBA＝90°，A（4，4），∴∠AOE=∠AOB=45°，∴∠OED=∠ODE=45°，OE=OD，∴DF=FE，∴点E是点D关于直线AO的对称点，∴点E（0，2），连接CE，交AO于点P，此时，点P是四边形PCBD周长最小的位置，设CE的解析式为y=mx+n，∴432k nn+=⎧⎨=⎩，解得142kn⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线CE的解析式为y=14x+2，∴{y =14y +2y =y，解得8383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为（83，83），故选C ．【点睛】本题考查了一次函数的解析式，将军饮马河原理，熟练掌握待定系数法和将军饮马河原理是解题的关键．7、C【解析】【分析】根据平行线的性质，函数的定义，三角形内角和定理逐一判断即可．【详解】解：A 、两直线平行，内错角相等，故原命题是假命题，不符合题意；B 、若22a b =，则a b =±，故原命题是假命题，不符合题意；C 、直角三角形中，两锐角A ∠和B 的函数关系是一次函数，故原命题是真命题，符合题意；D 、在ABC 中，::3:4:5A B C ∠∠∠=，那么最大角∠C =518075345⨯︒=︒++，故△ABC 为锐三角形，故原命题是假命题，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题叫定理．熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键．8、D【解析】【分析】利用一次函数图象与系数的关系可得出m -1＞0，解之即可得出m 的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．【详解】解：∵一次函数y =（m -1）x -1的图象经过第一、三、四象限，∴m -1＞0，∴m ＞1，∴m 的值可能为2．故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系、解一元一次不等式，牢记“k ＞0，b ＜0⇔y =kx +b 的图象经过一、三、四象限”是解题的关键．9、D【解析】【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y mx n =+图象分析可得m 、n 的符号，进而可得mn 的符号，从而判断y mnx =的图象是否正确，进而比较可得答案．【详解】A 、由一次函数y mx n =+图象可知0m >，0n <，即0mn <，与正比例函数y mnx =的图象可知0mn >，矛盾，故此选项错误；B 、由一次函数y mx n =+图象可知0m <，0n >，即0mn <，与正比例函数y mnx =的图象可知0mn >，矛盾，故此选项错误；C 、由一次函数y mx n =+图象可知0m >，0n >，即0mn >；正比例函数y mnx =的图象可知0mn <，矛盾，故此选项错误；D 、由一次函数y mx n =+图象可知0m <，0n >，即0mn <，与正比例函数y mnx =的图象可知0mn <，故此选项正确；故选：D ．【点睛】此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数y =kx +b 的图象有四种情况：①当k ＞0，b ＞0，函数y =kx +b 的图象经过第一、二、三象限；②当k ＞0，b ＜0，函数y =kx +b 的图象经过第一、三、四象限；③当k ＜0，b ＞0时，函数y =kx +b 的图象经过第一、二、四象限；④当k ＜0，b ＜0时，函数y =kx +b 的图象经过第二、三、四象限．10、C【解析】【分析】点K 为直线l ：y ＝2x +4上一点，设,24,K x x 再根据平移依次写出12,K K 的坐标，再把2K 的坐标代入一次函数的解析式，整理即可得到答案.【详解】解：点K 为直线l ：y ＝2x +4上一点，设,24,K x x将点K 向下平移2个单位，再向左平移a 个单位至点K 1，1,22,K x a x将点K 1向上平移b 个单位，向右平1个单位至点K 2，21,22,K x a x b点K2也恰好落在直线l 上，21422,x a x b整理得：24,a b故选C【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，点的平移，掌握“点的平移坐标的变化规律”是解本题的关键.二、填空题1、21x y =-⎧⎨=⎩【解析】【分析】本题可以通过直线与方程的关系得到方程组的解．【详解】解：因为直线l 1，l 2分别是关于x ，y 的二元一次方程a 1x +b 1y =c 1，a 2x +b 2y =c 2的图象，其交点为（-2，1），所以二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为21x y =-⎧⎨=⎩，故答案为：21x y =-⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 2、3x ≥【解析】【分析】根据题意结合函数图象，可得当3x ≥时，2y x =-+的图象对应的点在函数y kx b =+（0k ≠且k ，b 为常数）的图象下面，据此即可得出不等式的解集．【详解】解：从图象得到，当3x ≥时，2y x =-+的图象对应的点在函数y kx b =+（0k ≠且k ，b 为常数）的图象下面，∴不等式2kx b x +≥-+的解集为3x ≥，故答案为：3x ≥．【点睛】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用，解决此类问题的关键是仔细观察图形，注意几个关键点，做到数形结合．3、1x >【解析】【分析】根据函数图象写出一次函数y kx =在y x b =-+上方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：一次函数y kx =和y x b =-+的图象交于点()1,2所以，不等式kx x b >-+的解集为1x >．故答案为：1x >【点睛】本题考查了一次函数的交点问题及不等式，数形结合是解决此题的关键．4、43m > 【解析】【分析】根据一次函数的性质列出关于m 的不等式组求解．【详解】解：由一次函数(1)43y m x m =-+-的图象经过第一、三、四象限，∴10430m m ->⎧⎨-<⎩，解得，m ＞43．故答案为：43m >．【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k 、b 的关系．解答本题注意理解：直线y =kx +b 所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．k ＞0时，直线必经过一、三象限．k ＜0时，直线必经过二、四象限．b ＞0时，直线与y 轴正半轴相交．b =0时，直线过原点；b ＜0时，直线与y 轴负半轴相交．5、k >0k <且43k ≠-【解析】【分析】设BC 与y 轴交于点M ，根据题意可得E 点不在AD 边上，即0k ≠，分两种情况进行讨论：①如果0k >，那么点E 在AB 边或线段BM 上；②如果0k <，那么点E 在CD 边或线段CM 上；对两种情况的临界情况进行分析即可得出结果．【详解】解：如图，设BC 与y 轴交于点M ，13OA =<，3OD =，3OE >，∴E 点不在AD 边上，0k ∴≠；①如果0k >，那么点E 在AB 边或线段BM 上，当点E 在AB 边且3OE =时，由勾股定理得，222918AE OE OA =-=-=，AE ∴=(1E ∴，，当直线y kx =经过点(1，时，k = 22216117OB AB OA =+=+=，5OB ∴=<，当点E 在线段BM 上时，5OE OB <=<，k ∴>②如果0k <，那么点E 在CD 边或线段CM 上，当点E 在CD 边且3OE =时，E 与D 重合；当5OE =时，由勾股定理得，22225916DE OE OD =-=-=，4DE ∴=，(3,4)E ∴-，此时E 与C 重合，当直线y kx =经过点()3,4-时，43k =-．当点E 在线段CM 上时，5OE OC <=，0k ∴<且43k ≠-，符合题意；综上，当35OE <<时，k 的取值范围是k >0k <且43k ≠-，故答案为：k >0k <且43k ≠-．【点睛】题目主要考查正比例函数的综合问题，包括其性质及分类讨论思想，勾股定理解三角形等，理解题意，熟练掌握运用分类思想是解题关键．三、解答题1、 (1)甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件；(2)当学习购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是800元．【解析】【分析】（1）设甲种奖品的单价为x 元/件，乙种奖品的单价为y 元/件，根据“购买1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，购买2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买甲种奖品m 件，则购买乙种奖品（60-m ）件，设购买两种奖品的总费用为w ，由甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的一半，可得出关于m 的一元一次不等式，解之可得出m 的取值范围，再由总价=单价×数量，可得出w 关于m 的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．(1)设甲种奖品的单价为x 元/件，乙种奖品的单价为y 元/件，依题意，得：240 2370x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得2010xy=⎧⎨=⎩，答：甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件．(2)设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（60-m）件，设购买两种奖品的总费用为w元，∵甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的一半，∴m≥12（60-m），∴m≥20．依题意，得：w=20m+10（60-m）=10m+600，∵10＞0，∴w随m值的增大而增大，∴当学校购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是800元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的一次函数关系式．2、 (1)k＝14；(2)−1＜k＜12，且k≠0．【解析】【分析】（1）设OA的中点为M，根据M、P两点的坐标，运用待定系数法求得k的值；（2）当一次函数y=kx+b的图象过B、P两点时，求得k的值；当一次函数y=kx+b的图象过A、P两点时，求得k的值，最后判断k的取值范围．(1)解：设OA的中点为M，∵O（0，0），A（4，0），∴OA=4，∴OM=2，∴M（2，0），∵一次函数y=kx+b的图象过M（2，0），P(6，1)两点，∴61 20k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：k＝14；(2)如图，由一次函数y=kx+b的图象过定点P，作直线BP，AP与平行四边形只有一个交点，由于直线与平行四边形有两个交点，所以直线应在直线BP，AP之间，当一次函数y=kx+b的图象过B、P两点时，代入表达式y=kx+b得到：61 52k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：k=-1，当一次函数y=kx+b的图象过A、P两点时，代入表达式y=kx+b得到：61 40k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：k ＝12，所以−1＜k ＜12，由于要满足一次函数的存在性，所以−1＜k ＜12，且k ≠0．【点睛】本题考查了运用待定系数法求一次函数解析式，解题时注意：求正比例函数y =kx ，只要一对x ，y 的值；而求一次函数y =kx +b ，则需要两组x ，y 的值．3、 (1)60(2)y=20x-40（2 6.5x ≤≤）； (3)254或7912【解析】【分析】（1）用甲车行驶0.5小时的路程30除以时间即可得到速度；（2）分别求出相应线段的两个端点的坐标，再利用待定系数法求函数解析式；（3）分两种情况讨论：将x =85代入AB 的解析式，求出一个值；另一种情况是乙停止运动，两车还相距85千米．(1)解：甲车行驶的速度是300.560÷=（千米/小时），故答案为：60；(2)解：设甲出发x 小时后被乙追上，根据题意：60x =80（x -0.5），解得x =2，∴甲出发2小时后被乙追上，∴点A 的坐标为（2，0），∵480800.5 6.5÷+=，∴B （6.5，90），设AB 的解析式为y=kx+b ，∴206.590k b k b ，解得2040k b ，∴AB 的解析式为y=20x-40（2 6.5x ≤≤）；(3)解：根据题意得：20x-40=85或60x=480-85，解得x=254或7912．∴两车相距85千米时x为254或7912．【点睛】此题考查了一次函数的图象，一次函数的实际应用，利用待定系数法求函数解析式，并与行程问题的路程、时间、速度相结合，读出图形中的已知信息是关键，是一道综合性较强的函数题，有难度，同时也运用了数形结合的思想解决问题．4、函数的解析式为y=2x+7或y=-2x+3【解析】【分析】分类讨论：由于一次函数是递增或递减函数，所以当一次函数y=kx+b为增函数时，则x=-3，y=1；x=1，y=9，当一次函数y=kx+b为减函数时，则x=-3，y=9；x=1，y=1，然后把它们分别代入y=kx+b 中得到方程组，再解两个方程组即可．【详解】解：当x=-3，y=1；x=1，y=9，∴319k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解方程组得27kb=⎧⎨=⎩；当x=-3，y=9；x=1，y=1，∴391k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解方程组得23kb=-⎧⎨=⎩，∴函数的解析式为y =2x +7或y =-2x +3．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设一次函数的解析式为y =kx +b ，然后把一次函数图象上两点的坐标代入得到关于k 、b 的方程组，解方程组求出k 、b 的值，从而确定一次函数的解析式．也考查了分类讨论思想的运用．5、推广延伸：PD=PE+CF ，证明见解析；解决问题：（1）(0，3)；（2）PE =3+d 或PE =3－d ；（3）1,43⎛⎫- ⎪⎝⎭或1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】推广延伸：连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之差等于△ABC 的面积可以证得三线段间的关系；解决问题：（1）由点B 到x 轴的距离及点B 在y 轴正半轴上即可得到点B 的坐标；（2）分两种情况：当点P 在CB 延长线上时，由推广延伸的结论即可得PE 与d 的关系；当点P 在线段CB 上时，由阅读材料中的结论可得PE 与d 的关系；（3）由点A 的坐标及AB =AC 可求得点C 的坐标，从而可求得直线CB 的解析式；分两种情况：点P 在CB 延长线上及当点P 在线段CB 上，由（2）中结论即可求得点P 的纵坐标，从而由点P 在直线CB 上即可求得点P 的横坐标，从而得到点P 的坐标．【详解】推广延伸：猜想：PD =PE +CF证明如下：连接AP ，如图3∵ABP ACP ABC SS S =- 即111222AB PD AB CF AC PE ⨯-⨯=⨯∴AB=AC∴PD－CF=PE∴PD=PE+CF解决问题：（1）∵点B在y轴正半轴上，点B到x轴的距离为3 ∴B(0，3)故答案为：(0，3)（2）当点P在CB延长线上时，如图由推广延伸的结论有：PE=OB+PF=3+d；当点P在线段CB上时，如图由阅读材料中的结论可得PE=OB－PF=3－d；故答案为：PE=3+d或PE=3－d（3）∵A(－4，0)，B(0，3)∴OA=4，OB=3由勾股定理得：5AB==∴AC=AB=5∴OC=AC－OA=5－4=1∴C(1，0)设直线CB的解析式为y=kx+b(k≠0)把C、B的坐标分别代入得：3k bb+=⎧⎨=⎩解得：33 kb=-⎧⎨=⎩即直线CB的解析式为y=－3x+3由(2)的结论知：PE=3+1=4或PE=3－1=2∵点P在射线CB上∴点P的纵坐标为正，即点P的纵坐标为4或2当y=4时，－3x+3=4，解得：13x=-，即点P的坐标为1,43⎛⎫- ⎪⎝⎭；当y=2时，－3x+3=2，解得：13x=，即点P的坐标为1,23⎛⎫⎪⎝⎭综上：点P的坐标为1,43⎛⎫- ⎪⎝⎭或1,23⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题是材料阅读题，考查了等腰三角形的性质及一次函数的图象与性质，读懂材料的内容并能灵活运用于新的情境中是本题的关键．。

一次函数竞赛题范文

一次函数竞赛题范文这是一次针对初中数学一次函数的竞赛题，参赛选手需要运用一次函数的知识和技巧进行解答。

以下是本次竞赛题目：题目：计算与分析假设小明在调查一个旅行团的游客人数和对应的费用之间的关系。

他得到了一些数据，现在需要利用这些数据来推断其他相关信息。

请你根据给定的数据和提示，回答下列问题。

已知的数据如下：游客人数（x）：20，40，60，80，100对应费用（y）：100，80，60，40，20提示1：根据给定的数据，我们可以看到游客人数与对应的费用呈现出一定的规律，这一规律可以用一次函数来表示。

提示2：一次函数的表示形式是y = kx + b，其中k和b分别是常数。

问题2：根据你在问题1中找到的一次函数的表达式，预测游客人数为120时的费用。

问题3：根据给定的数据，你能否估算出游客人数为150时的费用？问题4：通过计算和分析，你认为小明给出的一次函数表达式能够准确地描述游客人数和对应费用之间的关系吗？要求：每个问题请给出详细的解答过程和推理思路。

温馨提示：如果需要，可以使用计算器、草稿纸等辅助工具进行计算。

答题提示：1.根据给定的数据，我们可以发现游客人数每增加20人，对应的费用就减少20元。

2.根据游客人数和费用的变化规律，我们可以得到一次函数表达式y=-x+120，其中x表示游客人数，y表示对应的费用。

【问题1解答】根据上述题目中给出的数据，我们观察发现游客人数每增加20人，对应的费用就减少20元。

而这种关系可以用一次函数来描述，一次函数的一般形式是y = kx + b，其中k和b是常数。

根据上述观察，我们可以得到以下数据点：(20,100)(40,80)(60,60)(80,40)(100,20)通过观察这些数据点，我们可以发现，当x增加20时，y减少20，即k=-20/20=-1根据一次函数的表达式y = kx + b，我们可以得到y = -x + b。

由此可以得知，在(20,100)这个数据点处，将x和y代入一次函数中，可以解得b=120。

一次函数经典提高题(含答案)

n dg s14一次函数经典练习题过关测试一、选择题：1．已知y 与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y 与x 之间的函数关系式为（）（A ）y=8x （B ）y=2x+6（C ）y=8x+6 （D ）y=5x+32．若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线y=bx+k 不经过（）（A ）一象限（B ）二象限（C ）三象限（D ）四象限3．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（）（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）164．若甲、乙两弹簧的长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数解析式分别为y=k 1x+a 1和y=k 2x+a 2，如图，所挂物体质量均为2kg 时，甲弹簧长为y 1，乙弹簧长为y 2，则y 1与y 2的大小关系为（）（A ）y 1>y 2 （B ）y 1=y 2（C ）y 1<y 2（D ）不能确定5．设b>a ，将一次函数y=bx+a 与y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组a ，b 的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）6．若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线y=bx+k 不经过第（）象限．（A ）一（B ）二（C ）三（D ）四 7．一次函数y=kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（）（A ）y 随x 的增大而增大（B ）y 随x 的增大而减小（C ）图像经过原点（D ）图像不经过第二象限8．无论m 为何实数，直线y=x+2m 与y=-x+4的交点不可能在（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限9．要得到y=-x-4的图像，可把直线y=-x （）．3232（A ）向左平移4个单位（B ）向右平移4个单位（C ）向上平移4个单位（D ）向下平移4个单位10．若函数y=（m-5）x+（4m+1）x 2（m 为常数）中的y 与x 成正比例，则m 的值为（）（A ）m>-（B ）m>5 （C ）m=- （D ）m=5141411．若直线y=3x-1与y=x-k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是（）．（A ）k<（B ）<k<1 （C ）k>1（D ）k>1或k<13131312．过点P （-1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（）（A ）4条（B ）3条（C ）2条（D ）1条 13．已知abc≠0，而且=p ，那么直线y=px+p 一定通过（）a b b c c ac a b+++==（A ）第一、二象限（B ）第二、三象限（C ）第三、四象限（D ）第一、四象限14．当-1≤x≤2时，函数y=ax+6满足y<10，则常数a 的取值范围是（）（A ）-4<a<0 （B ）0<a<2（C ）-4<a<2且a≠0 （D ）-4<a<215．在直角坐标系中，已知A （1，1），在x 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个16．一次函数y=ax+b （a 为整数）的图象过点（98，19），交x 轴于（p ，0），交y 轴于（ 0，q ），若p 为质数，q 为正整数，那么满足条件的一次函数的个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）无数17．在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数．当直线y=x-3与y=kx+k 的交点为整点时，k 的值可以取（）（A ）2个（B ）4个（C ）6个（D ）8个18．（2005年全国初中数学联赛初赛试题）在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线y=x-3与y=kx+k 的交点为整点时，k 的值可以取（）（A ）2个（B ）4个（C ）6个（D ）8个19．甲、乙二人在如图所示的斜坡AB 上作往返跑训练．已知：甲上山的速度是a 米/分，下山的速度是b 米/分，（a<b ）；乙上山的速度是a 米/分，下山的速度是2b 米/分．如果甲、乙二人同时从点A 出发，12时间为t （分），离开点A 的路程为S （米），那么下面图象中，大致表示甲、乙二人从点A出发后的时间t（分）与离开点A 的路程S （米）之间的函数关系的是（）20．若k 、b 是一元二次方程x 2+px-│q│=0的两个实根（kb≠0），在一次函数y=kx+b 中，y 随x 的增大而减小，则一次函数的图像一定经过（）（A ）第1、2、4象限（B ）第1、2、3象限（C ）第2、3、4象限（D ）第1、3、4象限二、填空题1．已知一次函数y=-6x+1，当-3≤x≤1时，y 的取值范围是________．2．已知一次函数y=（m-2）x+m-3的图像经过第一，第三，第四象限，则m 的取值范围是________．3．某一次函数的图像经过点（-1，2），且函数y 的值随x 的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式：_________．4．已知直线y=-2x+m 不经过第三象限，则m 的取值范围是_________．5．函数y=-3x+2的图像上存在点P ，使得P 到x 轴的距离等于3，则点P 的坐标为__________．6．过点P （8，2）且与直线y=x+1平行的一次函数解析式为_________．7．y=x 与y=-2x+3的图像的交点在第_________象限．238．某公司规定一个退休职工每年可获得一份退休金，金额与他工作的年数的算术平方根成正比例，如果他多工作a 年，他的退休金比原有的多p 元，如果他多工作b 年（b≠a），他的退休金比原来的多q 元，那么他每年的退休金是（以a 、b 、p 、 q ）表示______元．9．若一次函数y=kx+b ，当-3≤x≤1时，对应的y 值为1≤y≤9，则一次函数的解析式为________．三、解答题1．已知一次函数y=ax+b 的图象经过点A （2，0）与B （0，4）．（1）求一次函数的解析式，并在直角坐标系内画出这个函数的图象；（2）如果（1）中所求的函数y 的值在-4≤y≤4范围内，求相应的y 的值在什么范围内．2．已知y=p+z ，这里p 是一个常数，z 与x 成正比例，且x=2时，y=1；x=3时，y=-1．（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）如果x 的取值范围是1≤x≤4，求y 的取值范围．3．为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的．小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身高调节高度．于是，他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度，得到如下数据：第一档第二档第三档第四档凳高x （cm ） 37.040.042.045.0桌高y （cm ）70.0 74.8 78.0 82.8（1）小明经过对数据探究，发现：桌高y 是凳高x 的一次函数，请你求出这个一次函数的关系式；（不要求写出x 的取值范围）；（2）小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77cm ，凳子的高度为43.5cm ，请你判断它们是否配套？说明理由．4．小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y （千米）与所用的时间x （小时）之间关系的函数图象．（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？（2）求小明出发两个半小时离家多远？（3）求小明出发多长时间距家12千米？5．已知一次函数的图象，交x 轴于A （-6，0），交正比例函数的图象于点B ，且点B 在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB 的面积为6平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式．he i r8．在直角坐标系x0y 中，一次函数的图象与x 轴，y 轴，分别交于A 、B 两点，点C 坐标为（1，0），点D 在x 轴上，且∠BCD=∠ABD，求图象经过B 、D 两点的一次函数的解析式．9．已知：如图一次函数y=x-3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，过点C （4，0）作AB 的垂线12交AB 于点E ，交y 轴于点D ，求点D 、E 的坐标．11．（2005年宁波市蛟川杯初二数学竞赛）某租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台．现将这50台联合收割机派往A 、B 两地收割小麦，其中30 台派往A 地，20台派往B 地．两地区与该租赁公司商定的每天的租赁价格如下：甲型收割机的租金乙型收割机的租金A 地 1800元/台 1600元/台B 地1600元/台1200元/台（1）设派往A 地x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y （元），请用x 表示y ，并注明x 的范围．（2）若使租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案写出．15．A 市、B 市和C 市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D 市18台，E 市10．已知：从A 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为200元和800元；从B 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为300元和700元；从C 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为400元和500元．（1）设从A 市、B 市各调x 台到D 市，当28台机器调运完毕后，求总运费W （元）关于x （台）的函数关系式，并求W 的最大值和最小值．（2）设从A 市调x 台到D 市，B 市调y 台到D 市，当28台机器调运完毕后，用x 、y 表示总运费W （元），并求W 的最大值和最小值．答案:1．B 2．B 3．A 4．A 5．B 提示：由方程组的解知两直线的交点为（1，a+b ），y bx ay ax b =+⎧⎨=+⎩而图A 中交点横坐标是负数，故图A 不对；图C 中交点横坐标是2≠1，故图C 不对；图D 中交点纵坐标是大于a ，小于b 的数，不等于a+b ，故图D 不对；故选B ．6．B 提示：∵直线y=kx+b 经过一、二、四象限，∴ 对于直线y=bx+k ，0,k b <⎧⎨>⎩∵ ∴图像不经过第二象限，故应选B ．0,0k b <⎧⎨>⎩7．B 提示：∵y=kx+2经过（1，1），∴1=k+2，∴y=-x+2，∵k=-1<0，∴y 随x 的增大而减小，故B 正确．∵y=-x+2不是正比例函数，∴其图像不经过原点，故C 错误．∵k<0，b= 2>0，∴其图像经过第二象限，故D 错误．8．C 9．D 提示：根据y=kx+b 的图像之间的关系可知，将y=-x 的图像向下平移4个单位就可得到y=-x-4的图像．323210．C 提示：∵函数y=（m-5）x+（4m+1）x 中的y 与x 成正比例，∴ ∴m=-，故应选C ．5,50,1410,,4m m m m ≠⎧-≠⎧⎪⎨⎨+==-⎩⎪⎩即1411．B 12．C 13．B 提示：∵=p ，a b b c c ac a b+++==∴①若a+b+c≠0，则p==2；()()()a b b c c a a b c+++++++②若a+b+c=0，则p==-1，a b cc c+-=∴当p=2时，y=px+q 过第一、二、三象限；当p=-1时，y=px+p 过第二、三、四象限，综上所述，y=px+p 一定过第二、三象限．14．D 15．D 16．A 17．C 18．C 19．C20．A 提示：依题意，△=p 2+4│q│>0， k·b<0，||0k b p k b q k b +=-⎫⎪=-⇒⎬⎪≠⎭A A 一次函数y=kx+b 中，y 随x 的增大而减小一次函数的图像一定经过一、二、四000k k b <⎫⇒<⇒⇒⎬>⎭象限，选A ．二、1．-5≤y≤19 2．2<m<3 3．如y=-x+1等．4．m≥0．提示：应将y=-2x+m 的图像的可能情况考虑周全．5．（，3）或（,-3）．提示：∵点P 到x 轴的距离等于3，∴点P 的纵坐标为3或-31353当y=3时，x=；当y=-3时，x=；∴点P 的坐标为（，3）或（，-3）．13531353提示：“点P 到x 轴的距离等于3”就是点P 的纵坐标的绝对值为3，故点P 的纵坐标应有两种情况．6．y=x-6．提示：设所求一次函数的解析式为y=kx+b ．∵直线y=kx+b 与y=x+1平行，∴k=1，∴y=x+b．将P （8，2）代入，得2=8+b ，b=-6，∴所求解析式为y=x-6．7．解方程组 92,,83323,,4x y x y x y ⎧=⎧⎪=⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-+=⎩⎪⎩即∴两函数的交点坐标为（，），在第一象限．98348．． 9．y=2x+7或y=-2x+3 10．222()aq bp bp aq --10042009三、1．（1）由题意得： 20244a b a b b +==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩即即∴这个一镒函数的解析式为：y=-2x+4（函数图象略）．（2）∵y=-2x+4，-4≤y≤4， ∴-4≤-2x+4≤4，∴0≤x≤4．2．（1）∵z 与x 成正比例，∴设z=kx （k≠0）为常数，则y=p+kx ．将x=2，y=1；x=3，y=-1分别代入y=p+kx ，得解得k=-2，p=5，2131k p k p +=⎧⎨+=-⎩∴y 与x 之间的函数关系是y=-2x+5；（2）∵1≤x≤4，把x 1=1，x 2=4分别代入y=-2x+5，得y 1=3，y 2=-3．∴当1≤x≤4时，-3≤y≤3．另解：∵1≤x≤4，∴-8≤-2x≤-2，-3≤-2x+5≤3，即-3≤y≤3．3．（1）设一次函数为y=kx+b ，将表中的数据任取两取，不防取（37.0，70.0）和（42.0，78.0）代入，得2131k p k p +=⎧⎨+=-⎩∴一次函数关系式为y=1.6x+10.8．（2）当x=43.5时，y=1.6×43.5+10.8=80.4．∵77≠80.4，∴不配套．4．（1）由图象可知小明到达离家最远的地方需3小时；此时，他离家30千米．（2）设直线CD 的解析式为y=k 1x+b 1，由C （2，15）、D （3，30），代入得：y=15x-15，（2≤x≤3）．当x=2.5时，y=22.5（千米）答：出发两个半小时，小明离家22.5千米．（3）设过E 、F 两点的直线解析式为y=k 2x+b 2，由E （4，30），F （6，0），代入得y=-15x+90，（4≤x≤6）过A 、B 两点的直线解析式为y=k 3x ，∵B（1，15），∴y=15x．（0≤x≤1），分别令y=12，得x=（小时），x=（小时）．26545答：小明出发小时或小时距家12千米．265455．设正比例函数y=kx ，一次函数y=ax+b ，∵点B 在第三象限，横坐标为-2，设B （-2，y B ），其中y B <0，∵S △AOB =6，∴AO·│y B │=6，12∴y B =-2，把点B （-2，-2）代入正比例函数y=kx ，得k=1．把点A （-6，0）、B （-2，-2）代入y=ax+b ，得 1062223a ba ab b ⎧=-+=-⎧⎪⎨⎨-=-+⎩⎪=-⎩即即∴y=x，y=-x-3即所求．128．∵点A 、B 分别是直线与x 轴和y 轴交点，∴A（-3，0），B （0），∵点C 坐标（1，0）由勾股定理得，设点D 的坐标为（x ，0）．（1）当点D 在C 点右侧，即x>1时，∵∠BCD=∠ABD，∠BDC=∠ADB，∴△BCD∽△ABD，∴①BC CD AB BD ==∴，∴8x 2-22x+5=0，22321112x x x -+=+∴x 1=，x 2=，经检验：x 1=，x 2=，都是方程①的根，52145214∵x=，不合题意，∴舍去，∴x=，∴D 点坐标为（，0）．145252dAl l t he rb 设图象过B 、D 两点的一次函数解析式为y=kx+b ，502b k k b b ⎧⎧==⎪⎪∴⎨⎨+=⎪⎪=⎩⎩∴所求一次函数为．（2）若点D 在点C 左侧则x<1，可证△ABC∽△ADB，∴ ②AD BD AB CB == ∴8x 2-18x-5=0，∴x 1=-，x 2=，经检验x 1=，x 2=，都是方程②的根．14521452∵x 2=不合题意舍去，∴x 1=-，∴D 点坐标为（-，0），521414∴图象过B 、D （-，0）两点的一次函数解析式为，14综上所述，满足题意的一次函数为或．9．直线y=x-3与x 轴交于点A （6，0），与y 轴交于点B （0，-3），12∴OA=6，OB=3，∵OA⊥OB，CD⊥AB，∴∠ODC=∠OAB，∴cot∠ODC=cot∠OAB，即，OD OAOC OB=∴OD==8．∴点D 的坐标为（0，8），463OC OA OB ⨯=A 设过CD 的直线解析式为y=kx+8，将C （4，0）代入0=4k+8，解得k=-2．∴直线CD ：y=-2x+8，由 2213524285x y x y x y ⎧=⎧⎪=-⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-+=-⎩⎪⎩即即∴点E 的坐标为（，-）．2254511．（1）y=200x+74000，10≤x≤30（2）三种方案，依次为x=28，29，30的情况．15．（1）由题设知，A 市、B 市、C 市发往D 市的机器台数分x ，x ，18-2x ，发往E 市的机器台数分别为10-x ，10-x ，2x-10．于是W=200x+300x+400（18-2x ）+800（10-x ）+700（10-x ）+500（2x-10）=-800x+17200．又 010,010,01828,59,x x x x ≤≤≤≤⎧⎧∴⎨⎨≤-≤≤≤⎩⎩∴5≤x≤9，∴W=-800x+17200（5≤x≤9，x 是整数）．由上式可知，W 是随着x 的增加而减少的，所以当x=9时，W 取到最小值10000元；当x=5时，W 取到最大值13200元．（2）由题设知，A 市、B 市、C 市发往D 市的机器台数分别为x ，y ，18-x-y ，发往E 市的机器台数分别是10-x ，10-y ，x+y-10，于是W=200x+800（10-x ）+300y+700（10-y ）+ 400（19-x-y ）+500（x+y-10）=-500x-300y-17200．又010,010,010,010,0188,1018,x x y y x y x y ≤≤≤≤⎧⎧⎪⎪≤≤∴≤≤⎨⎨⎪⎪≤--≤≤+≤⎩⎩∴W=-500x-300y+17200，且（x ，y 为整数）．010,010,018.x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤+≤⎩W=-200x-300（x+y ）+17200≥-200×10-300×18+17200=9800．当x= 10，y=8时，W=9800．所以，W 的最小值为9800．又W=-200x-300（x+y ）+17200≤-200×0-300×10+17200=14200．当x=0，y=10时，W=14200，所以，W 的最大值为14200．。

北师大版八年级上册课题：《一次函数》复习课教学设计

北师大版八年级上册课题：《一次函数》复习课教学设计一. 教材分析《一次函数》是北师大版八年级上册数学第二章的内容，主要介绍了函数的概念、一次函数的定义、图像和性质。

本节课的教学内容是对一次函数的复习，通过复习使学生掌握一次函数的基本概念、图像和性质，提高学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了函数的概念和一次函数的基本知识，但部分学生对一次函数的图像和性质理解不够深入，解决实际问题的能力有待提高。

此外，学生的数学基础和学习兴趣存在差异，因此在教学过程中需要关注学生的个体差异，激发学生的学习兴趣。

三. 教学目标1.知识与技能：通过对一次函数的复习，使学生掌握一次函数的基本概念、图像和性质，提高学生解决实际问题的能力。

2.过程与方法：通过复习课的教学，培养学生自主学习、合作交流的能力，提高学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的数学素养，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 教学重难点1.重点：一次函数的基本概念、图像和性质。

2.难点：一次函数在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入一次函数，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生通过自主学习、合作交流，发现一次函数的性质。

3.案例教学法：通过解决实际问题，培养学生应用一次函数的能力。

4.反馈评价法：及时了解学生的学习情况，调整教学策略。

六. 教学准备1.教学课件：制作一次函数的复习课件，包括一次函数的基本概念、图像和性质。

2.教学案例：准备一些实际问题，用于巩固一次函数的应用。

3.作业布置：提前布置一次函数的相关作业，了解学生的掌握情况。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过生活实例引入一次函数，激发学生的学习兴趣。

例如，讲解购物时打折优惠的问题，引导学生发现折扣率与价格之间的关系是一次函数。

2.呈现（10分钟）呈现一次函数的基本概念、图像和性质，让学生回顾和巩固一次函数的知识。

一次函数的图象题(1)

一次函数的图象题1.已知一次函数的图象如图，求这个一次函数的解析式2.如图，一次函数图象经过点A，且与y=－x的图象交于点B，求一次函数解析式并求两个函数与x轴构成的三角形面积3.在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x（h）时，汽车与甲地的距离为y（km），y与x的函数关系如图所示．根据图象信息，解答下列问题：（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；（2）卸货时间是多少？（3）求返程中y与x之间的函数表达式；（4）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离．4.如图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120千米；②汽车在行驶途中停留了0.5小时；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 803千米/时；④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少．其中正确的说法是哪几个？5.某市出租车单程收费价格与行驶路程之间的函数关系如图所示，请根据图象回答下列问题：（1）出租车的起步价是多少元？在多少千米之内只收起步价费；（2）由图象求出起步里程走完之后每行驶1千米增加的钱数；（3）小芳想用42元坐出租车浏览本市，试求出她能走多少千米6.甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示,请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙队开挖到30m时，用了 h．开挖6h时甲队比乙队多挖了 m；（2）请求出：①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；（3）当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？7.若正方形ABCD的边长为2，点P从D出发，沿着D→C→B→A运动，最后回到点D，设DP=x，试求出△APD的面积y与x的函数关系式8.（1）如图，函数y1=︱x︱，y2=（x+4）／3．当y1＞y2时，x的范围是_____________；（2）如图，点Q在直线y＝－x上运动，点A的坐标为（1，0），当线段AQ最短时，点Q的坐标为__________9.甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地，再返回A地，如图表示两车离A地的距离s（千米）随时间t（小时）变化的图象，已知乙车到达B地后以30千米/小时的速度返回．请根据图象中的数据回答：（1）甲车出发多长时间后被乙车追上？（2）甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇？（3）甲车从A地返回的速度多大时，才能比乙车先回到A地？10.周末小亮与爷爷进行登山锻炼，如图所示，表示小亮与爷爷沿相同的登山路线同时从山脚出发的登山锻炼过程，各自行进的路程随时间变化的图象，请你根据图中所提供的信息，解答下列问题：（1）请你分别写出小亮和爷爷登山过程中路程S1（千米）、S2（千米）、与时间t （小时）之间的函数关系（不必写出自变量t的取值范围），S1=______，S2=______；（2）当小亮到达山顶时，爷爷行进到山路上某点A处，则A点到达山顶的路程为______千米；（3）已知小亮在山顶休息1小时，沿原路下山，在B处与爷爷相遇，此时B点到山顶的路程为1.5千米，相遇后，他们各自沿原来的路线下山和上山，问当爷爷到达山顶时，小亮离山脚下的出发点还有多远？小亮的整个登山过程用了几小时？11.（1）越野赛跑,当李明跑了1600米时,小刚跑了1450米,此后两人匀速跑的路程S(米)与时间t(秒)的关系如图,结合图象解答下列问题:(1)根据图中信息，直接写出EF与GD的比值: ；(2)求图中s1和s0的值(2)通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散．下图是学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数的近似图象．（y越大表示学生注意力越集中，且图象中的三部分都是线段）.①注意力最集中那段时间持续了几分钟？②当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x之间的函数关系式；③一道数学竞赛题，需要讲解23分钟，问老师能否经过适当安排使学生在听这道题时注意力的指标数都在34以上？12.在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是，从点燃到燃尽所用的时间分别是。

公开课竞赛课课件一次函数与方程、不等式

如图所示，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于
点
A
AA(.mx<,3)，则不等式2Bx.x＞ax+4的解集是（）
<3
C.x>
D.x
>3
补充题
如图所示，函数y1 =丨x丨和y2 = x+ x 的图象相交于(-1 ，1)，(2，2)两点，当y ＞1y 时2，m的取值范围是( D ) A.x＜-1 B.-1＜x＜2 C.x＞-1 D.x<-1或x>2
（1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1．
不等式ax+b＞c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值大于 c 的对应的自变量取值范围；不等式ax+b＜c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值小于
y =3x+2 y=2 y =0
y =-1
添加动态课件·从函数的角度看解一元一次不等式
补充题
用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示，所解的二元一次方程组是D（）
总结
一次函数与方程
如何从函数的角度解方程？
一次函数与不等式
如何从函数的角度解不等式？
复习巩固
1.一列火车以90km/h的速度匀速前进。求它的行驶路程 s(单位：km)关于行驶时间t(单位：h)的函数解析式，并画出函数图象.
补充题
如图所示，直线y =kx+b经过A.(3,1)和B(6,0)两点，则不等式组0＜kx+b ＜ x 的解集为3＜__x_＜_________
6
补充题
函数 =x+1 与 =ax+b(a≠0)的图象如图所示，这两个函数图象的交点在y轴上，那么使，的值都大于零的x 的取值范围-1是＜__x_＜__2_______.

浙教版2021-2022学年八年级数学上册第5章《一次函数》竞赛题精选(附解析)

2021-2022学年浙江八年级数学上册第5章《一次函数》竞赛题精选姓名学校考号一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2020•原阳县校级自主招生）不论m为何实数，直线y＝（m2+2m+2）x﹣3m2﹣6m﹣1恒过定点（）A．（ 3，2 ）B．（ 5，3 ）C．（ 3，5 ）D．（ 0，﹣1）2．（5分）（2020•西安自主招生）把函数y＝﹣2x+3的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得到的图象的函数解析式是（）A．y＝﹣2x﹣5 B．y＝﹣2x+7 C．y＝﹣2x﹣7 D．y＝﹣2x+113．（5分）（2020•武昌区校级自主招生）已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝x+的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P （﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是（）A．2B．24 C．2D．124．（5分）（2019•麻城市校级自主招生）直线y＝px（p是不等于0的整数）与直线y＝x+10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线有（）A．6条B．7条C．8条D．无数条5．（5分）（2018•武昌区校级自主招生）已知实数a、b、c满足a＜b＜c，并且k＝++，则直线y＝﹣kx+k一定经过（）A．第一、三、四象限B．第一、二、四象限C．第一、二、三象限D．第二、三、四象限6．（5分）（2020•浙江自主招生）函数y＝a|x|与y＝x+a的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是（）A．a＞1 B．﹣1＜a＜1 C．a≥1或a≤﹣1 D．a＞1或a＜﹣17．（5分）（2017•温江区校级自主招生）将函数y＝3x+b（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y＝|3x+b|的图象，若该图象在直线y＝3下方的点的横坐标x满足0＜x＜3，则b的取值范围为（）A．b＜﹣6或b＞﹣3 B．b≤﹣6或b≥﹣3 C．﹣6＜b＜﹣3 D．﹣6≤b≤﹣38．（5分）（2017•金牛区校级自主招生）若直线l：y＝kx+b经过不同的三点A（m，n），B（n，m），C（m﹣n，n﹣m），则该直线经过（）象限．A．二、四B．一、三C．二、三、四D．一、三、四二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）9．（5分）（2020•温江区校级自主招生）在同一直角坐标系中，关于x轴对称的两点P，Q分别在两个一次函数y＝﹣x+3与y＝3x﹣5的图象上，则点P的坐标是．10．（5分）（2020•浙江自主招生）已知关于x的一次函数y＝mx+2m﹣7在﹣1≤x≤5上的函数值总是正的，则m的取值范围是．11．（5分）（2020•浙江自主招生）若四条直线x＝1，y＝﹣1，y＝3，y＝kx﹣3所围成的凸四边形的面积等于12，则k的值为．12．（5分）（2020•南岸区自主招生）在一段长为1000m的笔直道路AB上，甲、乙两名运动员分别从A，B两地出发进行往返跑训练．已知甲比乙先出发30秒钟，甲距A点的距离y/m 与其出发的时间x/分钟的函数图象如图所示．乙的速度是200m/分钟，当乙到达A点后立即按原速返回B点．当两人第二次相遇时，乙跑的总路程是m．13．（5分）（2019•江阴市校级自主招生）在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，连接OD．当∠DOA＝∠OBA时，直线CD的解析式为．14．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）函数y＝|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+4|x﹣4|的最小值是．三．解答题（共4小题，满分93分）15．（7分）（2020•南岸区自主招生）已知函数y＝k|x+2|+b的图象经过点（﹣2，4）和（﹣6，﹣2），完成下面问题：（1）求函数y＝k|x+2|+b的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数y＝x+1的图象如图所示，结合你所画出y＝k|x+2|+b的图象，直接写出k|x+2|+b＞x+1的解集．16．（70分）（2011•南京）小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍．小颖在小亮出发后50min才乘上缆车，缆车的平均速度为180m/min．设小亮出发x min后行走的路程为y m，图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系．（1）小亮行走的总路程是m，他途中休息了min；（2）①当50≤x≤80时，求y与x的函数关系式；②当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？17．（8分）（2017•镇海区校级自主招生）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分 3 1 0奖励（元/每人）1500 700 0 当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分．（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．18．（8分）（2020•浙江自主招生）已知：实数x满足﹣≥x﹣，并且关于x的函数y＝2|x﹣a|+a2的最小值为4，求常数a的值．2021-2022学年浙江八年级数学上册第5章《一次函数》竞赛题精选一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2020•原阳县校级自主招生）不论m为何实数，直线y＝（m2+2m+2）x﹣3m2﹣6m﹣1恒过定点（）A．（ 3，2 ）B．（ 5，3 ）C．（ 3，5 ）D．（ 0，﹣1）【分析】令k＝m2+2m+2，则直线的解析式为y＝kx﹣3k+5＝k（x﹣3）+5，代入x＝3求出与之对应的y值，进而可得出直线恒过的顶点坐标．【解答】解：令k＝m2+2m+2，则﹣3m2﹣6m﹣1＝﹣3k+5，∴直线的解析式为y＝kx﹣3k+5＝k（x﹣3）+5，∴当x﹣3＝0，即x＝3时，y＝k（3﹣3）+5＝5．∴直线y＝（m2+2m+2）x﹣3m2﹣6m﹣1恒过定点（3，5）．故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．2．（5分）（2020•西安自主招生）把函数y＝﹣2x+3的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得到的图象的函数解析式是（）A．y＝﹣2x﹣5 B．y＝﹣2x+7 C．y＝﹣2x﹣7 D．y＝﹣2x+11【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【解答】解：把函数y＝﹣2x+3的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得到的图象的函数解析式是：y＝﹣2（x﹣3）+3﹣2＝﹣2x+7，故选：B．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．3．（5分）（2020•武昌区校级自主招生）已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝x+的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P （﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是（）A．2B．24 C．2D．12【分析】依据题意得到三个关系式：a﹣b＝﹣c，ab＝8，a2+b2＝c2，运用完全平方公式即可得到c的值．【解答】解：∵点P（﹣1，）在“勾股一次函数”y＝x+的图象上，∴＝﹣+，即a﹣b＝﹣c，又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是4，∴ab＝4，即ab＝8，又∵a2+b2＝c2，∴（a﹣b）2+2ab＝c2，即∴（﹣c）2+2×8＝c2，解得c＝2，故选：A．【点评】考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键．4．（5分）（2019•麻城市校级自主招生）直线y＝px（p是不等于0的整数）与直线y＝x+10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线有（）A．6条B．7条C．8条D．无数条【分析】联立直线y＝px与直线y＝x+10，求出p的取值范围即可求得结果．【解答】解：联立直线y＝px与直线y＝x+10，，得px＝x+10，x＝，∵x为整数，p也为整数．∴P的取值范围为：﹣9≤P≤11，且P≠1，P≠0．而.10＝2×5＝1×10，0＜P≤11，有四条直线，P≠0，﹣9≤P＜0，只有三条直线，那么满足条件的直线有7条．故选：B．【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，难度较大，关键不要漏掉某条直线．5．（5分）（2018•武昌区校级自主招生）已知实数a、b、c满足a＜b＜c，并且k＝++，则直线y＝﹣kx+k一定经过（）A．第一、三、四象限B．第一、二、四象限C．第一、二、三象限D．第二、三、四象限【分析】根据a＜b＜c，并且k＝++，可以得到k的正负情况，然后根据一次函数的性质，即可得到直线y＝﹣kx+k经过哪几个象限．【解答】解：∵a＜b＜c，∴c﹣a＞b﹣a＞0，∴，∵k＝++，∴k＝++＜++＝＜0，∴直线y＝﹣kx+k经过第一、三、四象限，故选：A．【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．6．（5分）（2020•浙江自主招生）函数y＝a|x|与y＝x+a的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是（）A．a＞1 B．﹣1＜a＜1 C．a≥1或a≤﹣1 D．a＞1或a＜﹣1【分析】画图象用数形结合解题，y＝a|x|的图在x轴上过原点是折线，关于y轴对称；a ＞0时，y＝x+a斜率为1，与y＝a|x|交于第一、二象限，a＜0时，y＝x+a斜率为1，与y ＝a|x|交于第三、四象限，分析图象可得答案．【解答】解：根据题意，y＝a|x|的图在x轴上过原点是折线，关于y轴对称；分两种情况讨论，①a＞0时，过第一、二象限，y＝x+a斜率为1，a＞0时，过第一、二、三象限，若使其图象恰有两个公共点，必有a＞1；②a＜0时，y＝a|x|过第三、四象限；而y＝x+a过第二、三、四象限；若使其图象恰有两个公共点，必有a＜﹣1；故选：D．【点评】本题要求利用图象求解各问题，先画函数图象，根据图象观察，得出结论．7．（5分）（2017•温江区校级自主招生）将函数y＝3x+b（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y＝|3x+b|的图象，若该图象在直线y＝3下方的点的横坐标x满足0＜x＜3，则b的取值范围为（）A．b＜﹣6或b＞﹣3 B．b≤﹣6或b≥﹣3 C．﹣6＜b＜﹣3 D．﹣6≤b≤﹣3【分析】先解不等式3x+b＜3时，得x＜；再求出函数y＝3x+b沿x轴翻折后的解析式为y＝﹣3x﹣b，解不等式﹣3x﹣b＜3，得x＞﹣；根据x满足0＜x＜3，得出﹣＝0，＝3，进而求出b的取值范围．【解答】解：∵y＝3x+b，∴当y＜3时，3x+b＜3，解得x＜；∵函数y＝3x+b沿x轴翻折后的解析式为﹣y＝3x+b，即y＝﹣3x﹣b，∴当y＜3时，﹣3x﹣b＜3，解得x＞﹣；∴﹣＜x＜，∵x满足0＜x＜3，∴﹣＝0，解得b＝﹣3，＝3，解得b＝﹣6，∴b的取值范围为﹣6≤b≤﹣3，故选：D．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，求出函数y＝3x+b沿x轴翻折后的解析式是解题的关键．8．（5分）（2017•金牛区校级自主招生）若直线l：y＝kx+b经过不同的三点A（m，n），B（n，m），C（m﹣n，n﹣m），则该直线经过（）象限．A．二、四B．一、三C．二、三、四D．一、三、四【分析】合理观察分析，即可求得此函数的解析式．【解答】解：根据题意得：mk+b＝n（1）nk+b＝m（2）（m﹣n）k+b＝n﹣m（3）由（1）﹣（2），得（m﹣n）k＝n﹣m．结合（3）可得b＝0，那么此函数为正比例函数，两边都除以m﹣n，得k＝﹣1所以此正比例函数过的是二四象限．故选：A．【点评】本题考查的知识点是；在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）9．（5分）（2020•温江区校级自主招生）在同一直角坐标系中，关于x轴对称的两点P，Q分别在两个一次函数y＝﹣x+3与y＝3x﹣5的图象上，则点P的坐标是（1，2）．【分析】根据题意点P，Q关于x轴对称，则P，Q的横坐标相等，纵坐标互为相反数，设点P的横坐标为a，点P在一次函数y＝﹣x+3的图象上，点Q在一次函数y＝3x﹣5的图象上，可得点P，Q的坐标，可列代数﹣a+3+3a﹣5＝0，即可得出答案．【解答】解：设点P的横坐标为a，则点Q的横坐标为a，∵点P在一次函数y＝﹣x+3的图象上，∴P（a，﹣a+3），则点Q在一次函数y＝3x﹣5的图象上，∴Q（a，3a﹣5），∴﹣a+3+3a﹣5＝0，解得a＝1，∴P（1，2），故答案为：（1，2）．【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征及关于x，y轴对称点的坐标的特征，合理应用坐标的特征进行计算是解决本题的关键．10．（5分）（2020•浙江自主招生）已知关于x的一次函数y＝mx+2m﹣7在﹣1≤x≤5上的函数值总是正的，则m的取值范围是m＞7 ．【分析】由题可知x取最小和最大值时函数的值总是正的，所以只要将x＝﹣1和x＝5代入函数式即可求m的取值范围．【解答】解：根据题意，得：当x＝﹣1时，y＝﹣m+2m﹣7＝m﹣7＞0，解得m＞7；当x＝5时，y＝5m+2m﹣7＝7m﹣7＞0，解得m＞1，∴m的取值范围是m＞7．故答案是：m＞7．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系．一次函数的图象是直线，只要保证两个端点的函数值恒大于0，即可求得m的取值范围．11．（5分）（2020•浙江自主招生）若四条直线x＝1，y＝﹣1，y＝3，y＝kx﹣3所围成的凸四边形的面积等于12，则k的值为﹣2或1 ．【分析】本题可先求出直线y＝kx﹣3与y＝﹣1和y＝3的交点坐标，由于四条直线所围的图形为直角梯形，也就求出了梯形上下底和高的长．根据直角梯形的面积公式可得出关于k 的方程，即可求出k的值．【解答】解：在y＝kx﹣3中，令y＝﹣1，解得x＝；令y＝3，x＝；当k＜0时，四边形的面积是：[（1﹣）+（1﹣）]×4＝12，解得k＝﹣2；当k＞0时，可得[（﹣1）+（﹣1）]×4＝12，解得k＝1．即k的值为﹣2或1；故答案为：﹣2或1．【点评】此题考查了一次函数的综合；利用k正确表示出四边形的面积是解决本题的关键，由于k的符号不确定，因此要分类讨论，以免造成错解、漏解．12．（5分）（2020•南岸区自主招生）在一段长为1000m的笔直道路AB上，甲、乙两名运动员分别从A，B两地出发进行往返跑训练．已知甲比乙先出发30秒钟，甲距A点的距离y/m 与其出发的时间x/分钟的函数图象如图所示．乙的速度是200m/分钟，当乙到达A点后立即按原速返回B点．当两人第二次相遇时，乙跑的总路程是1450 m．【分析】据函数图象中的数据求出甲的速度，进而求出两人第二次相遇时甲出发的时间，从而得出当两人第二次相遇时，乙跑的总路程．【解答】解：甲的速度为：1000÷4＝250（米/分钟），两人第一次相遇时处于两人都未跑完一个1000m时，由图象可知时间处于4分钟以内；∵甲比乙先出发30秒钟，∴当x＝5分钟时，乙跑了4.5分钟，此时乙跑了200×4.5＝900＜1000（m）；设甲返回时再经过m分钟，两人第二次相遇，此时甲返回的速度为200，根据题意得：（200+200）m＝1100，解得m＝，∴200×+900＝1450（米），∴乙总路程为1450米．故答案为：1450．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．13．（5分）（2019•江阴市校级自主招生）在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，连接OD．当∠DOA＝∠OBA时，直线CD的解析式为y＝﹣x+4 ．【分析】由旋转的性质得到三角形BOA与三角形CDA全等，再由已知角相等，以及公共角，得到三角形AOM与三角形AOB相似，确定出OD与AB垂直，再由OA＝DA，利用三线合一得到AB为角平分线，M为OD中点，利用SAS得到三角形AOB与三角形ABD全等，得出AD垂直于BC，进而确定出B，D，C三点共线，求出直线OD解析式，与直线AB解析式联立求出M坐标，确定出D坐标，设直线CD解析式为y＝mx+n，把B与D坐标代入求出m与n的值，即可确定出解析式．【解答】解：∵△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，∴△BOA≌△CDA，∵∠DOA＝∠OBA，∠OAM＝∠BAO，∴△AOM∽△ABO，∴∠AMO＝∠AOB＝90°，∴OD⊥AB，∵AO＝AD，∴∠OAM＝∠DAM，OM＝DM，连接BD，在△AOB和△ABD中，，∴△AOB≌△ABD（SAS），∴△ABD≌△ACD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴B，D，C三点共线，设直线AB解析式为y＝kx+b，把A与B坐标代入得：，解得：，∴直线AB解析式为y＝﹣x+4，∴直线OD解析式为y＝x，联立得：，解得：，即M（，），∵M为线段OD的中点，∴D（，），设直线CD解析式为y＝mx+n，把B与D坐标代入得：，解得：m＝﹣，n＝4，则直线CD解析式为y＝﹣x+4．故答案为：y＝﹣x+4【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，两直线的交点坐标，坐标与图形性质，以及旋转的性质，得出B，D，C三点共线是解本题的关键．14．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）函数y＝|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+4|x﹣4|的最小值是8 ．【分析】根据式子特点，分x≤1，1＜x≤2，2＜x≤3，3＜x≤4，x＞4几种情况讨论．【解答】解：①x≤1时，y＝1﹣x+2（2﹣x）+3（3﹣x）+4（4﹣x）＝30﹣10x，当x＝1时，y＝30﹣10＝20；最小值②1＜x≤2时，y＝x﹣1+2（2﹣x）+3（3﹣x）+4（4﹣x）＝﹣8x+28，当x＝2时，y最小值＝28﹣16＝12；③2＜x≤3时，y＝x﹣1+2（x﹣2）+3（3﹣x）+4（4﹣x）＝﹣4x+20，当x＝3时，y最小值＝20﹣12＝8；④3＜x≤4时，y＝x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）+4（4﹣x）＝2x+2，无最小值；⑤x＞4时，y＝x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）+4（x﹣4）＝10x﹣30，无最小值．综上所述，原式的最小值为8．【点评】通过分类讨论，将原函数转化为分段函数，再根据x的取值范围求出各段的最小值，取其最小者，即为原函数最小值．三．解答题（共4小题，满分93分）15．（7分）（2020•南岸区自主招生）已知函数y＝k|x+2|+b的图象经过点（﹣2，4）和（﹣6，﹣2），完成下面问题：（1）求函数y＝k|x+2|+b的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数y＝x+1的图象如图所示，结合你所画出y＝k|x+2|+b的图象，直接写出k|x+2|+b＞x+1的解集．【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）画出函数的图象，根据图象得出性质；（3）根据图象求得即可．【解答】解：（1）根据题意，得，解方程组，得，所求函数表达式为；（2）函数的图象如图所示，性质为：①当x＜﹣2时，y随x增大而增大；当x＞﹣2时，y随x增大而减少．②当x＝﹣2时，该函数取得最大值，函数的最大值为4．（3）由图象可知：k|x+2|+b＞x+1的解集为：﹣6＜x＜0．【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，数形结合是解题的关键．16．（70分）（2011•南京）小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍．小颖在小亮出发后50min才乘上缆车，缆车的平均速度为180m/min．设小亮出发x min后行走的路程为y m，图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系．（1）小亮行走的总路程是3600 m，他途中休息了20 min；（2）①当50≤x≤80时，求y与x的函数关系式；②当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？【分析】（1）纵坐标为小亮行走的路程，其休息的时间为纵坐标不随x的值的增加而增加；（2）根据当50≤x≤80时函数图象经过的两点的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式即可．【解答】解：（1）3600，20；（2）①当50≤x≤80时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，根据题意，当x＝50时，y＝1950；当x＝80时，y＝3600∴解得：∴函数关系式为：y＝55x﹣800．②缆车到山顶的线路长为3600÷2＝1800米，缆车到达终点所需时间为1800÷180＝10分钟小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10+50＝60分钟，把x＝60代入y＝55x﹣800，得y＝55×60﹣800＝2500．∴当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600﹣2500＝1100米．【点评】本题考查了一次函数的应用，解决此类题目最关键的地方是经过认真审题，从中整理出一次函数模型，用一次函数的知识解决此类问题．17．（8分）（2017•镇海区校级自主招生）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分 3 1 0奖励（元/每人）1500 700 0当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分．（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．【分析】（1）首先假设A队胜x场，平y场，负z场，得出x+y+z＝12，3x+y＝19，即可得出y，z与x的关系，再利用x≥0，y≥0，z≥0，得出即可；（2）根据图表奖金与出场费得出W＝（1500+500）x+（700+500）y+500z，进而得出即可．【解答】解：（1）设A队胜x场，平y场，负z场，得，可得：依题意，知x≥0，y≥0，z≥0，且x、y、z均为整数，∴解得：≤x≤，∴x可取4、5、6∴A队胜、平、负的场数有三种情况：当x＝4时，y＝7，z＝1；当x＝5时，y＝4，z＝3；当x＝6时，y＝1，z＝5．（2）∵W＝（1500+500）x+（700+500）y+500z＝﹣600x+19300当x＝4时，W最大，W最大值＝﹣600×4+19300＝16900（元）答：W的最大值为16900元．【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式组的应用等知识，利用已知得出x+y+z ＝12，3x+y＝19，进而得出y，z与x的关系是解题关键．18．（8分）（2020•浙江自主招生）已知：实数x满足﹣≥x﹣，并且关于x的函数y＝2|x﹣a|+a2的最小值为4，求常数a的值．【分析】首先得出x的取值范围，再利用当x＝a时，当x＞a时分别得出答案．【解答】解：﹣≥x﹣，解得：x≥1，当x＝a时，y最小＝a2＝4，解得：a＝±2，∵x≥1，∴a＝2，当x＞a时，y＝2x+a2﹣2a，∴当x＝1时，y＝2+a2﹣2a＝4，最小解得：a＝＝1±，∵x≥1，∴a＜1，∴a＝1﹣，∴x＜a时，y＝﹣2（x﹣a）+a2＝﹣2x+a2+2a无最小值，综上所述：a＝2或a＝1﹣时，y＝2|x﹣a|+a2的最小值为4．【点评】此题主要考查了一次函数与不等式，正确分类讨论是解题关键．。

八年级数学竞赛题：一次函数

八年级数学竞赛题：一次函数函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，它是变量数学的标志．“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系．函数b kx y +=（k ≠0）叫做一次函数，它的图象是一条直线，与一次函数相关的知识有：1．画直线b kx y +=时，一般选点（0，b ）和点)0,(kb -． 2．函数b kx y +=中的系数k 、b 的正负性，决定图象的大致位置及y 随x 的变化情况，如图所示：例1 如图，有一种动画程序，屏幕上正方形区域ABCD 表示黑色物体甲，其中A （1，1）、B （2，1）、C （2，2）、D （1，2），用信号枪沿直线y =2x +b 发射信号，当信号遇到区域甲时，甲由黑变白，则b 的取值范围为______________时，甲能由黑变白．例2已知函数b kx y +=的图象如图，则b kx y +=2的图象可能是（）．例3 早晨小欣与妈妈同时从家里出发，步行与骑自行车到方向相反的两地上学与上班，右图是他们离家的路程y （米）与时间x （分钟）的函数图象．妈妈骑车走了10分钟时接到小欣的电话，即以原速骑车前往小欣学校，并与小欣同时到达学校．已知小欣步行速度为每分50米，求小欣家与学校距离及小欣早晨上学需要的时间．例4 我市某乡A 、B 两村盛产柑橘，A 村有柑橘200吨，B 村有柑橘300吨．现将这些柑橘运到C 、D 两个冷藏仓库，已知C 仓库可储存240吨，D 仓库可储存260吨；从A 村运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 村运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A 村运往C 仓库的柑橘质量为x 吨，A 、B 两村运往两仓库的柑橘运输费用的分别为y A 元和y B 元．（1）请填写上表，并求出y A 、y B 与x 之间的函数关系式；。

（2）试讨论A 、B 两村中，哪个村的运费较少；（3）考虑到B 村的经济承受能力，B 村的柑橘运费不得超过4830元．在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．例5 如图，已知直线P A 是一次函数)0(>+=n n x y 的图象，直线PB 是一次函数 )(2n m m x y >+-=的图象．（1）用m 、n 表示出A 、B 、P 点的坐标；（2）若点Q 是P A 与y 轴的交点，且四边形PQOB 的面积是.2,65=AB 试求P 点的坐标，并写出直线P A 与PB 的解析式．1．如果一次函数b kx y +=的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么k ___________0．b ___________0．2．直线2+=x y 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的直线的解析式是___________．3．直线n mx y +=如图所示，化简=---2||n m ___________．4．去伪存真设有一次函数b kx y +=（k ，b 为常数），下表中给出5组自变量和相应的函数值，其中只有一组的函数值计算有误，则这个函数值是___________．5．某航空公司规定，旅客乘机所捞带行李的质量x （kg ）与其运费y （元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（）．A ．20kgB ．25kgC ．28 kgD ．30 kg6．已知abc ≠0，并且p ba c a cbc b a =+=+=+，则直线p px y +=一定通过（）． A ．第一、二象限 B ．第二、三象限C ．第三、四象限D ．第一、四象限7．如图，点A 、B 、C 在一次函数m x y +-=2的图象上，它们的横坐标依次为-1、1、2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（）．A ．1B ．3C ．3（m -1）D ．()322m - 8．甲、乙两同学从A 地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B 地，他们离出发地的距离s （千米）和行驶时间t （小时）之间的函数关系的图象如图所示．根据图中提供的信息，有下列说法：①他们都行驶了18千米；②甲在途中停留了0.5小时；③乙比甲晚出发0.5小时；④相遇后，甲的速度小于乙的速度；⑤甲、乙两人同时到达目的地．其中符合图象描述的说法有（）．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9．如图，已知直线l 1，经过点A （-1，0）与点B （2，3），另一条直线l 2经过点B ，且与x 轴相交于点P （m ，0）．（1）求直线l 1的解析式；（2）若△APB 的面积为3，求m 的值．10．某校八年级举行英语演讲比赛，派了两位老师去学校附近的超市购买笔记本作为奖品．经过了解得知，该超市的A 、B 两种笔记本的价格分别是12元和8元，他们准备购买这两种笔记本共30本．（1）如果他们计划用300元购买奖品，那么能买这两种笔记本各多少本？（2）两位老师根据演讲比赛的设奖情况，决定所购买的A 种笔记本的数量要少于B 种笔记本数量的23，但又不少于B 种笔记本数量的13，如果设他们买A 种笔记本n 本，买这两种笔记本共花费w 元．．①请写出w （元）关于n （本）的函数关系式，并求出自变量n 的取值范围；②请你帮他们计算，购买这两种笔记本各多少时，花费最少，此时的花费是多少元？11．设直线2)1(=++y n nx （n 为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为S n （n =1，2，…，2005），则200521S S S +++ 的值为_______________．12．成本核算一本书的出版成本包括固定成本和变动成本两部分．“稿费+排版费”是固定的，而“印刷费+纸张费”与印刷的书的数量成正比．现有一种图书，每本定价8元，假定以定价卖出．当印2000册并全部卖出时，出版社不赚不赔；当印3000册并全部卖出时，可得利润5000元．则此书的固定成本是________元．如果印刷4000册并全部卖完，出版社可得利润_____________元．13．如图，已知正方形ABCD 的顶点坐标为A （1，1），B （3，1），C （3，3），D （1，3），直线y =2x +b 交AB 于点E ，交CD 于点F ，则直线在y 轴上的截距b 的变化范围是_____________．14．已知点A （a 22-=kx y 与x y )12(-=图象的交点，则实数k 等于（）．A ．2-B ．12-C 21D ．115．有一个装有进、出水管的容器，单位时问内进、出的水量都是一定的．已知容器的容积为600升，又知单开进水管10分钟可把空容器注满：若同时打开进、出水管，20分钟可把满容器的水放完．现已知水池内有水200升，先打开进水管5分钟，再打开出水管，两管同时开放直至把容器中的水放完．则能正确反映这一过程中容器的水量Q （升）随时间t （分钟）变化的图象是（）．16．已知一次函数13,≤≤-+=x b kx y 当时，对应的y 值为.91≤≤y 则kb 的值为（）．A ．4B ．-6C ．-4或21D ．-6或1417．某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票．经调查统计发现，每天开始售票时，约有300名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数y （人）与售票时间x （分）的函数关系如图1所示；每个售票窗口售票数y （人）与售票时间x （分）的函数关系如图2所示．某天售票厅排队等候购票的人数y （人）与售票时间x （分）的函数关系如图3所示，已知售票的前a 分钟开放了两个售票窗口． ‘（1）求a 的值；（2）求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数；（3）该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着“以人为本，方便旅客”的宗旨，决定增设售票窗口．若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售票窗口？8．已知四条直线13,1,3==-=-=x y y mx y 和所围成的四边形的面积是12，求m 的值．19．如图，边长为2的正方形ABCD 中，顶点A 的坐标是（0，2）．一次函数y =x +t 的图象l 随t 的不同取值变化时，位于l 的右下方由l 和正方形的边围成的图形面积为S （阴影部分）．（1）当t 取何值时，S =3？（2）在平面直角坐标系中，画出S 与t 的函数图象．20．如图，一次函数33+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt △ABC ，且使∠BAC =90°．（1）求三角形ABC 的面积；（2）如果在第二象限内有一点P （m ，32），试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求出当△ABP 与△ABC 的面积相等时m 的值；（3）是否存在使△QAB 为等腰三角形并且在坐标轴上的点Q ？若存在，请写出点Q 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．。

一次函数练习题(大题30道)

1．已知一次函数y=ax+b的图象经过点A（2，0）与B（0，4）．（1）求一次函数的解析式，并在直角坐标系内画出这个函数的图象；（2）如果（1）中所求的函数y的值在-4≤y ≤4范围内，求相应的y的值在什么范围内．2．已知y=p+z，这里p是一个常数，z与x成正比例，且x=2时，y=1；x=3时，y=-1．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）如果x的取值范围是1≤x≤4，求y的取值范围．3.一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）（1）求此一次函数表达式；（2）求此一次函数与x轴、y轴的交点坐标；（3）求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积。

4.知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1, -5),且与正比例函数y= x的图象相交于点(2,a),求(1)a的值(2)k,b的值(3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积.5．已知一次函数的图象，交x轴于A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点B•在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB的面积为6平方单位，•求正比例函数和一次函数的解析式．6．如图，一束光线从y 轴上的点A （0，1）出发，经过x 轴上点C 反射后经过点B （3，3），求光线从A 点到B 点经过的路线的长．7．由方程│x-1│+│y-1│=1确定的曲线围成的图形是什么图形，其面积是多少？8．直角坐标系x0y 中，一次函数y=3的图象与x 轴，y 轴，分别交于A 、B 两点，•点C 坐标为（1，0），点D 在x 轴上，且∠BCD=∠ABD ，求图象经过B 、D•两点的一次函数的解析式．9．已知：如图一次函数y=12x-3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，过点C （4，0）作AB 的垂线交AB 于点E ，交y 轴于点D ，求点D 、E 的坐标．10．已知直线y=43x+4与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ．又P 、Q 两点的坐标分别为P （•0，-1），Q （0，k ），其中0<k<4，再以Q 点为圆心，PQ 长为半径作圆，则当k 取何值时，⊙Q•与直线AB 相切？11．（2005年宁波市蛟川杯初二数学竞赛）某租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台．现将这50台联合收割机派往A、B两地收割小麦，其中30•台派往A 地，20台派往B地．两地区与该租赁公司商定的每天的租赁价格如下：（1）设派往A地x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），请用x表示y，并注明x的范围．（2）若使租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，•说明有多少种分派方案，并将各种方案写出．12．已知写文章、出版图书所获得稿费的纳税计算方法是f（x）=(800)20%(130%),400(120%)20%(130%),400x xx x--≤⎧⎨-->⎩其中f（x）表示稿费为x元应缴纳的税额．假如张三取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到7104元，•问张三的这笔稿费是多少元？13．某中学预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定减少10个，总金额多用29元．•又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（1）求x、y的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x，y的值．14. 已知直线1l ：45y x =-+和直线2l ：142y x =-，求两条直线1l 和2l 的交点坐标，并判断该交点落在平面直角坐标系的哪一个象限上．15. 已知正比例函数y =kx 经过点P (1，2），如图所示．（1）求这个正比例函数的解析式；（2）将这个正比例函数的图像向右平移4个单位，写出在这个平移下，点P 、原点O 的像P '、O '的坐标，并求出平移后的直线的解析式．16. 如图，在直角坐标系中，已知矩形OABC 的两个顶点坐标(30)A ，，(32)B ，，对角线AC 所在直线为l ，求直线l 对应的函数解析式．17. “一方有难，八方支援”．在抗击“5．12”汶川特大地震灾害中，某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满．根据右表提供的信息，解答下列问题:（1）设装运食品的车辆数为x ，装运药品的车辆数为y ．求y 与x 的函数关系式；（2）如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案?并写出每种安排方案；物资种类食品药品生活用品x（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案?并求出最少总运费．18. 某农户种植一种经济作物，总用水量y （米3）与种植时间x （天）之间的函数关系式如图10所示．（1）第20天的总用水量为多少米3？（2）当x ≥20时，求y 与x 之间的函数关系式．（3）种植时间为多少天时，总用水量达到7000米3？19. 武警战士乘一冲锋舟从A 地逆流而上，前往C 地营救受困群众，途经B 地时，由所携带的救生艇将B 地受困群众运回A 地，冲锋舟继续前进，到C 地接到群众后立刻返回A 地，途中曾与救生艇相遇．冲锋舟和救生艇距A 地的距离y （千米）和冲锋舟出发后所用时间x （分）之间的函数图象如图所示．假设营救群众的时间忽略不计，水流速度和冲锋舟在静水中的速度不变．（1）请直接写出冲锋舟从A 地到C 地所用的时间．（2）求水流的速度．（3）冲锋舟将C 地群众安全送到A 地后，又立即去接应救生艇．已知救生艇与A 地的距离y （千米）和冲锋舟出发后所用时间x （分）之间的函数关系式为11112y x =-+，假设群众上下船的时间不计，求冲锋舟在距离A 地多远处与救生艇第二次相遇？每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨所需运费（元/吨） 120 160 100天)x （分）20. 甲乙两人同时登西山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山的速度是每分钟米，乙在A地提速时距地面的高度b为米．（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，请分别求出甲、乙二人登山全过程中，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．（3）登山多长时间时，乙追上了甲？此时乙距A地的高度为多少米？21. 我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按>）收费．设一户居民月用水x吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系每吨b元（b a如图所示．（1）求a的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？x>时，y与x之间的函数关系式；（2）求b的值，并写出当10（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？22. 我市花石镇组织10辆汽车装运完A、B、C三种不同品质的湘莲共100吨到外地销售，按计划10辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装同一种湘莲，根据下表提供的信息，解答以下问题：（1）设装运A x之间的函数关系式；（2）如果装运每种湘莲的车辆数都不少于2辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值.23. 某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利24. 五月份，某品牌衬衣正式上市销售，5月1日的销售量为10件，5月2日的销售量为35件，以后每天的销售量比前一天多25件，直到日销售量达到最大后，销售量开始逐日下降，至此，每天的销售量比前一天少15件，直到5月31日销售量为0.设该品牌衬衣的日销售量为P（件），销售日期为n(日)，P与n之间的关系如图所示．（1）写出P关于n的函数关系式P= （注明n的取值范围）；（2）经研究表明，该品牌衬衣的日销售量超过150件的时间为该品牌衬衣的流行期．请问：该品牌衬衣本月在市面的流行期是多少天？25. 某市为了节约用水，规定：每户每月用水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元和定额损耗费c元(c≤5);若用水量超过am3时,除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每1m3付b元的超额费．某市一家庭今年一月份、二月份和三月份的用水量和支付费用如下表所示：根据上表的表格中的数据，求a、b、c．、26 ．A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，•现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10．已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B•市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元．（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值．（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y 表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值．27了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的．•小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身高调节高度．于是，他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度，得到如下数据：（1）小明经过对数据探究，发现：桌高y是凳高x的一次函数，请你求出这个一次函数的关系式；（不要求写出x的取值范围）；（2）小明回家后，•测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77cm，凳子的高度为43.5cm，请你判断它们是否配套？说明理由．28.小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x （小时）之间关系的函数图象．（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？（2）求小明出发两个半小时离家多远？（3）•求小明出发多长时间距家12千米？29.(宁波市蛟川杯初二数学竞赛）某租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台．现将这50台联合收割机派往A、B两地收割小麦，其中30•台派往A地，20台派往B地．两地区与该租赁公司商定的每天的租赁价格如下：（1）设派往A地x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），请用x表示y，并注明x的范围．（2）若使租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，•说明有多少种分派方案，并将各种方案写出．30. 某土产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售．按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满．根据下表提供的信息，解答.数关系式．（2）如果装运每辆土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案．（3）若要使此次销售获利最大，应采用（2）中哪种安排方案？并求出最大利润的值．.。

高一数学竞赛试卷

高一数学竞赛试卷考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.设，实数满足，则函数的图象形状（）2.的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a 2-c 2 +b 2<0 ，则角C 是（）A.小于600的角B. 钝角C.锐角D. 都有可能 3. 设，用二分法求方程在内近似解的过程中，可计算得到：则该方程的根落在以下区间（）中.A ．（0,1.25）B ．（1， 1.25）C ．（1.25， 1.5） D ．（ 1.5，2） 4.（理科）已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集是A ．B ．C ．D ．5.如果函数在区间上是减少的，那么实数的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．6.将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（）A． B．－ C． D．－7.直线的倾斜角是A． B． C． D．8.已知集合，，则（）．A． B． C． D．9.（）A． B． C．或 D．或10.若函数在上是增函数，则关于的不等式的解集为（）A． B． C． D．11.已知直线，有以下几个判断：若，则；若，则；若，则；若，则．上述判断中正确的是（）A． B． C． D．12.已知全集，且，，则（）A． B． C． D．13.在中，，则等于A． B． C． D．14.设为钝角，且，则的值为（）A． B． C． D．或15.一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（）A． B． C． D．16.给出下列命题：（1）直线a与平面不平行，则a与平面内的所有直线都不平行；（2）直线a与平面不垂直，则a与平面内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；（4）若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面其中错误命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．317.ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（） A ． B ． C ． D ．18.在中，若，则是（）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形 19.将函数的图象按向量平移得到函数的图象，则（）A ．B ．C ．D ．20.已知a ＝(2,1)，b ＝(x ，－2)且a ＋b 与2a －b 平行，则x 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－4 D ．4二、填空题21.函数ｙ＝的单调递增区间为 ;22.（2014•龙岩模拟）一水平放置的平面图形OABC ，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形OABC 的面积为．23. 如果函数满足：对任意实数都有，且，则_____________________24.已知 y="f(x)" 在定义域(-1,1)上是减函数，且f(1-a)<f(2a-1), 则的取值范围是； 25.已知为与的和向量，且=，则=______，=________。

一次函数竞赛题归纳及其解法

一次函数竞赛题归纳及其解法一次函数竞赛题归纳及其解法一次函数是与现实生活联系最紧密的知识点,受到各级各类竞赛的青睐.近几年各国各地竞赛试题中与一次函数相关的问题屡见不鲜. 1 一次函数的性质问题一次函数y kx b =+(,k b 是常数,k ≠0)的性质大致如下: (1)它的图象是经过点(,0bk-)和(0,b )的一条直线; (2)它的系数符号决定图象的大致位置及单调性(y 随x 的变化情况),如图1所示.来源学科网Z,X,X,K]例1 已知一次函数,0y kx b kb =+<,则这样的一次函数的图象必经过的公共象限有个,即第象限.例2 已知abc ≠0,并且a b b c c ap c a b+++===,那么y px p =+一定经过( )A.第一、二象限B.第二、三象限 C 、第三、四象限 D 、第一、四象限2 一次函数图象上的特殊点问题(k<0,b<0)(k<0.b>0)(k>0,b<0)(k>o,b>0)OxyOxy Oy y xO一次函数图象上的特殊点主要指与两坐标轴的交点、定点(恒过某一点)、整点以及两个一次函数图象的交点等.例3 函数3|2|y x =--的图象如图2所示,则点A 与B 的坐标分别是A ,B例 4 如图3在直角坐标系中,矩形OABC 的顶点B 的坐标为(15,6),直线13y x b =+恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分,那么,b =3 一次函数的图象与面积问题一次函数的图象与两坐标轴的交点以及坐标原点构成的直角三角形的面积,可用一次函数的系数,k b 表示;若所考察的三角形的边不在坐标轴上,关键是把相关三角形的面积用边在坐标轴上的其他三角形的面积来表示,使面积问题与坐标建立联系.例5 设直线(1)2nx n y ++=(n 为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为n S (n =1,2,3,…,2000).则S 1+S 2+S 3+…+S 2000的值为 ( )A.19992000B.1C.20002001D.20012002例6 如图4,直线313y x =-+与x 轴,y 轴分别交于点,A B ,以线段AB 为直yxOB (15,6)yxAC OB y角边在第一象限内作等腰直角△ABC,且∠BAC=90○.如果在第二象限内有一点P(a,12),且△ABP的面积与Rt△ABC的面积相等,求a的值.4 一次函数的应用问题一次函数的应用就是从给定的材料中抽象出函数关系,构建一次函数模型,再利用一次函数的性质求出问题的解.例7 某家电生产业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按120个工作时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台.已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如表1 表一家电名称空调器彩电冰箱工时121314产值(千元) 4 3 2[来源:学科网ZX XK]问每周应生产空调器,彩电,冰箱各多少台才能使产值最高?最高产值多少(以千元为单位)?与一次函数相关的内容是十分丰富的,如大家非常熟悉的用待定系数法求解析式等,在这里就不一一赘述.【练习题】。

一次函数竞赛、赏析、图解、例题剖析、竞赛真题

【本讲教育信息】一. 教学内容：一次函数的图像、性质和应用；二元一次方程组的图像解法[学习目标]1. 理解一次函数的图像是一条直线以及它的性质，会画一次函数的图像.2. 会应用一次函数的性质解决实际问题，能够用图像法解二元一次方程组.3. 通过学习，进一步体会“数形结合”的数学思想方法以及数学建模的思想.二. 重点、难点：能够熟练地用描点法、两点法画出一次函数的图像，用图像法解二元一次方程组，理解一次函数性质并会应用一次函数解决问题是重点；难点是对一次函数性质的理解以及应用一次函数解决问题.三. 知识要点：1. 一次函数与正比例函数的图像一般地，一次函数的图像是过（），（0，b）的一条直线；特殊的，正比例函数的图像是过（0，0），（1，k）的一条直线.直线是由直线向上或向下平移单位得到的.或者说直线是由直线向右或向左平移单位得到的.2. 一次函数的性质（1）增减性：如果，那么y的值随x值的增大而增大；如果，那么y的值随x值的增大而减小（2）所通过的象限如下表k，b的符k>0，b>0 k>0，b<0 k<0，b>0 k<0，b<0 号图像所通过一，二，三一，三，四一，二，四二，三，四的象限3. 一次函数图像上任意一点的坐标与二元一次方程解的关系：一次函数图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的一个解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数图像上.4. 数形结合及数学建模思想方法的体会与应用也是本章的一个重要知识点.【典型例题】例1. 如图所示，两条直线分别表示函数和，请根据图像，回答下列问题：（1）直线AB表示的图像，直线OB表示的图像.（2）函数随x的增大而，函数随x的减小而.分析（1）观察图像可知，直线AB与直线OB的区别是直线OB经过原点，而正比例函数的图像是经过原点的一条直线，所以直线OB表示，直线AB表示.（2）从左向右看两个图像的变化趋势可知，函数随x的增大而增大；函数随x的减小而增大解（1）；（2）增大；增大方法指导经过原点的直线是正比例函数的图像，不经过原点的直线是一般是一次函数的图像.例2.直线y＝kx+b与直线y＝kbx，它们在同一个坐标系中的图象大致为（）分析解决此题有效的方法是排除法.如我们以B为例，可以看出正比例函数kb>0，即k，b为同号；另外从一次函数y＝kx+b的图像可以看出k<0，b>0，即k，b异号，所以出现矛盾情况.做此类题目的关键是对一次函数性质的理解和掌握.解 A例3一次函数的图像过（3，0），且与坐标轴所围成的图形的面积为9，求一次函数的函数关系式.分析要求一次函数的函数关系式，必须知道函数图像经过两点的坐标，由条件知一个点的坐标，必须求出另一个点的坐标.由“图像与坐标轴所围成的面积为9”可求得另一个点的坐标.最后用待定系数法去求关系式.解如图，设一次函数的图像与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，b），则OA＝3，OB＝.又，故B的坐标为（0，6）或（0，－6）.设一次函数的函数关系式为，则得所以一次函数的解析式为y＝－2x+6或y＝2x－6评析解决面积问题结合图形考虑，不但对问题容易把握，而且可以使问题解决的更全面.例4如图所表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（km）随时间x（min）变化的图像（全程）.根据图像回答下列问题：（1）求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇；（2）求这次比赛的全程是多少千米；（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇.分析认真读图，通过图像上的一些特殊点，如图像与坐标轴的交点，图像的起、终点，图像上已用虚线表示出横、纵坐标的点等寻找突破口，如本题以A，B两点为突破口.解（1）当把（15，5）和（33，7）代入得当y＝6时，有∴比赛开始24min两人第一次相遇.（2）设∴∴比赛的全程为12km.（3）当解得解方程组∴比赛开始38min两人第二次相遇.评析本题体现了从形到数的转化，是数形结合的具体运用，也是待定系数法的具体应用，此方法与方程、方程组的解法密不可分.例5 在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（cm）与燃烧时间x（h）的关系如图所示.请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是，从点燃到燃尽所用的时间分别是；（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；（3）当x为何值时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等？分析（1）纵轴表示蜡烛的高度.（2）因为图像都是线段，所以它们的函数关系式都是一次函数.根据图像上提供的点的坐标用待定系数法分别求解.（3）求出两条线段的交点坐标，结合图像的位置求解.解（1）30cm，25cm；2h，2.5h（2）设甲蜡烛燃烧时y与x函数关系式为观察可知，它的图像经过点（2，0），（0，30）所以解得所以甲蜡烛燃烧时函数关系式为设乙蜡烛燃烧时y与x函数关系式为观察可知，它的图像经过点（2.5，0），（0，25）所以解得∴乙蜡烛燃烧时函数关系式为：（3）当甲蜡烛与乙蜡烛的高度相等时，则所以x＝1时，甲蜡烛与乙蜡烛的高度相等.观察图像可知，当甲蜡烛比乙蜡烛低.方法指导第（3）小问要抓住交点的意义，并结合图像求解.例6 学校有一批复印任务，原来有甲复印社承接，按每100页40元计费.现在乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费.两复印社每月收费情况如图根据图像回答下列问题：（1）乙复印社的每月承包费是多少?（2）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同?（3）如果每月复印页数在1200页左右，那么学校应选择哪个复印社比较合算?分析由图像可知，乙的图像与y轴的交点坐标为（0，200），说明乙每月的承包费为200元；而“收费相同”在图像上的反映就是两条直线的交点位置；对于选择哪家复印社比较合算，那就要看当x＝1200时，哪条直线的位置“较低”了.解（1）乙复印社的每月承包费为200元；（2）从图像上观察可知，当每月复印800页时，两复印社实际收费相同；（3）如果每月复印页数在1200页左右，也就是当x＝1200时，其在乙图像上的点低于甲图像上的点，故说明学校应选择乙复印社比较合算.评析根据条件，本题还可以依据图像写出收费y（元）与复印页数x（页）之间的函数关系式，甲为y＝0.4x，乙为y＝0.15x+200.这样就可以通过解方程以及计算来求出第（2），（3）问了.【模拟试题】（答题时间：60分钟）1.若函数的图象经过点（1，2），则函数的表达式可能是（写出一个即可）2. 一次函数y＝kx+b满足kb＞0且y随x的增大而减小，则此函数图象不经过（）A、第1象限B、第2象限C、第3象限D、第4象限3. 两个一次函数y1＝mx+n，y2＝nx+m，它们在同一坐标系中的图象可能是下图中的（）4. 在函数y＝－2x+3中，当自变量x满足时，图象在第一象限.5. 已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，1）且不经过第四象限，则满足以上条件的一个一次函数的解析式为6. 某污水处理厂的一个净化池设有2个进水口和1个出水口，三个水口至少打开一个，每个进水口进水速度由图甲给出，出水口出水的速度由图乙给出.某一天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的函数关系如图丙所示.通过对图象的观察，小亮得出了以下三个论断：（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水也不出水.其中正确的是（）A、（1）B、（1）（2）C、（1）（3）D、（1）（2）（3）7.如图，过点A的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，能表示这个一次函数的解析式为（）A. 2x－y+3＝0B. x－y－3＝0C. 2y－x+3＝0D. x+y－3＝08. 如图，表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车均行驶90km的过程中，行驶的路程与经过的时间的函数关系，请根据图象填空：出发早，早了小时，先到达，先到小时，电动自行车的速度为km/h，汽车的速度为km/h.9. 已知正比例函数y＝k1x的图象与一次函数y＝k2x－9的图象相交于点P（3，－6）.（1）求k1、k2的值；（2）如果一次函数y＝k1x－9的图象与x轴交于点A，求A的坐标.10. 某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次印刷的印数不少于5000印数x（册）5000 8000 10000 15000 ……成本y（元）28500 36000 41000 53500 ……（1）经过对上表数据的探究，发现这种读物的投入成本y（元）是印数x（册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；（2）如果出版社投入48000元，那么能印读物多少册？11. 某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，下图表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：（1）求y1、y2的解析式；（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的；（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案？12. 电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧.经调查，播放甲连续剧平均每集有收视观众20万人次，播放乙连续剧平均每集有收视观众15万人次，公司要求电视台每周共播放7集.（1）设一周内甲连续剧播x集，甲、乙两部连续剧观众的人次的总和为y万人次，求y关于x的函数关系式；（2）已知电视台每周只能为该公司提供不超过300分钟的播放时间，并且播放甲连续剧每集需50分钟，播放乙连续剧每集需35分钟，请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集，才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大，并求出这个最大值.【试题答案】1. y＝2x2. A3. B4.5. y＝x+16. C7. D8. 电动车，2 ，汽车， 2 ，18 km/h， 60 km/h.9. （1）k1＝－2，k2＝1；（2）（9，0）10. （1）（2）1280011. （1）（2）第一种情况是按照推销的件数提成；第二种情况是先付给推销员300元，然后再按推销的件数提成.（3）当推销产品的件数等于30件时，两种方案一样，然后再分大于30件和小于3012. （1）y＝5x+105（2）略一次函数最优化问题的解法一次函数解法全析取值范围1、方法要领求自变量的取值范围，主要考虑三点：（1）分母不为0，即x1中x ≠0；（2）二次根号内的数大于或等于0，即x 中，x ≥0；（3）实际问题中的自变量，要使其有实际意义.2、实战分析例1、(2005年，荆门)如果代数式mnm 1+-有意义，那么平面直角坐标系中的点P （m ，n ）的位置在（）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：要考虑两点：第一，分母不为0，即mn ≠0；第二，二次根号内的数大于或等于0，故要⎩⎨⎧≥≥-0mn m .所以m<0,n<0.故点P （m,n ）在第三象限.例2、求xx y --=22中自变量x 的取值范围.解：由分子中的x -2≥0，及分母2-x ≠0.综合可得x<-2或x>2.3、融会贯通（1）(2005年，兰州)函数ｙ＝42113-+-x x 中自变量ｘ的取值范围是（） A ．ｘ≥１且ｘ≠２ B ．ｘ≠２ C ．ｘ＞１且ｘ≠２ D ．全体实数（2）求132-+=x x y 中自变量x 的取值范围.函数概念1、方法要领若两个变量x ，y 的关系可以表示成y =kx +b (k ，b 为常数，k ≠0)的形式，则称y =kx +b 为一次函数 (x 为自变量，y 为因变量)．特别地，当b =0时，一次函数y =kx （k ≠0）也叫正比例函数．2、实战分析例3、已知关于x 的函数y =(m －2)x 552+-m m +m －3，问：当m 为何值时，它是一次函数？解：根据一次函数的定义，有⎩⎨⎧≠-=+-021552m m m 解得⎩⎨⎧≠==241m m m 或故m =1或m =4例4、如果关于x 的函数y =mx 32-m是正比例函数，而且对于它的每一组非零的对应值(x ，y )，总有xy ＜0，求m 的值．分析：根据正比例函数y =kx (k ≠0)中对k 的要求及对x 的指数的要求，可求得m 的值．解：根据题意，y =mx 32-m是正比例函数，故有m 2－3=1，且m ≠0，得2±=m .但当m =2时，y=2x ，由xy<0知x ≠0, 则xy=2>0.xy >0，与题设矛盾. ∴m =－2．3、融会贯通（3）若函数y =（3m -2）x 2+（1-2m ）x （m 为常数）是正比例函数，则m 的值为_________.函数表达式1、方法要领确定一次函数的表达式，一般是先设出一次函数的一般形式，再把符合函数的点的坐标代入，解方程（组）求得k 和b 的值.2、实战分析例5、若一次函数y =kx +b （k 、b 为常数）的图象经过点(－3，－2)和(1，6)，求k ，b 及一次函数的表达式．分析：题目中已经设好了关系式，直接代入求值就行了. 解：根据题意，得②①⎩⎨⎧=+-=+-623b k b k 解得：⎩⎨⎧==42b k从而，所求一次函数的表达式为y =2x +4.例6、已知一次函数的图象过点A (2，－1)和点B ，其中点B 是直线y =－21x +3与y 轴的交点，求这个一次函数的表达式．解：在函数y =－21x +3中当x =0时，y =3即直线y =－21x +3与y 轴的交点B 坐标为(0，3). 设过A 、B 两点的直线表达式为y =kx +b ．根据题意，得⎩⎨⎧=-=+312b b k 解得：⎩⎨⎧=-=32b k故所求一次函数的表达式为y =－2x +33、融会贯通（4）在平面直角坐标系中，一次函数y =kx +b （k 、b 为常数）的图象经过三点A (2，0)，B (0，2)，C (m ，3)，求这个函数的表达式，并求m 的值．图象解题1、方法要领当函数图象反映的是实际问题时，图象与图象以及图象与坐标轴的交点都是具有特殊意义的，图象的形状反映了事物的状态或变化过程.要会根据实际问题看图、用图.2、实战分析例7、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备与一合资出租车公司或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设所租汽车每月行驶x 千米，应付给合资出租车公司的月租费y 2元，应付给国营出租车公司的月租费是y 1元，y 1、y 2与x 之间的函数关系图象分别如图1所示，观察图象回答下列问题．(1)每月行驶的路程在什么范围内时租国营公司的车合算？ (2)每月行驶的路程等于多少时租两家的车的费用相同？(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km ，那么这个单位租哪一家的车合算？图1分析：结合实际意义，图象在下方的费用少，在上方的费用多，交点表示费用相等.解：观察图象可知：(1)每月行驶的路程小于1500km 时，租国营公司的车合算． (2)每月行驶的路程等于1500km 时，租两家车的费用相同．(3)如果每月行驶的路程为2300km 时，那么租合资公司的车合算．例8、图2中的折线ABC 为从甲地向乙地打长途电话所需付的电话费y (元)与通话时间x (分钟)之间的函数关系的图象，当x ≥3时，该函数的解析式为_________.图2解：由图象知，当x ≥3时，图象过B （3，2.4）和C （5，4.4）两点. 设直线BC 的解析式为y =kx +b ．则⎩⎨⎧=+=+4.454.23b k b k 解得：⎩⎨⎧-==6.01b k ∴故该函数的解析式为y =x -0.6（x ≥3）3、融会贯通（5）某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y (微克)随时间x (h)的变化情况如图3所示． ①服药后_____h 时，血液中含药量最高，达每毫升_____微克，接着逐步衰减； ②服药后5h 时，血液中含药量为每毫升_____微克； ③当x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式是_____； ④当x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式是_____．⑤如果每毫升血液中含药量不小于3微克时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间范围是服药后的_________．图3（6）一次函数y =kx +b (k 、b 为常数，k ≠0)的图象是一条直线，它可以表示许多实际意义，比如在图4中，若x 代表时间(h)，y 代表路程(km)，那么从图象上可以看出，某人出发时(x =0)，离某地2km ，出发1h 后，由x =1，得y =5，即某人离某地5km ，他走了3km ．甲、乙两人的运动图象如图5所示，请根据图象回答下列问题．图4 图5①如果用t 表示时间，y 表示路程，那么甲、乙两人各自的路程与时间的函数关系式分别是_______，_________；②甲的运动速度是_________km/h ．③两人同时同向出发，相遇时，甲比乙多走_________km ．图象应用1、方法要领一次函数关系式中k 和b 的取值与函数图象位置的关系如下图所示：k>0,b>0x y x y xyxy xy xyk>0,b<0 k<0,b>0 k<0,b>0利用图象的性质可轻松解决很多问题.另外，两个一次函数的图象平行时，它们的自变量系数k 是相等的.2、实战分析例9、已知关于x 的函数y=（m －2）x+n 的图象经过第一、二、四象限，求m 、n 的取值范围．解：由函数y=（m －2）x+n 的图象经过第一、二、四象限，可知 m －2<0，n>0，∴m<2，n>0．例10、已知关于x 的一次函数182)3(2+--=m x m y ．（1）m 为何值时，函数的图象经过原点?（2）m 为何值时，函数的图象经过点（0，－2）? （3）m 为何值时，函数的图象和直线y=－x 平行?（4）m 为何值时，y 随x 的增大而减小？解：（1）由题意，m 需满足⎩⎨⎧≠±=⎩⎨⎧≠-=+-330301822m m m m ，，故m=－3时，函数的图象经过原点；（2）由题意得：m 需满足，21822-=+-m ，故10±=m 时，函数的图象经过点（0，－2）；（3）由题意，m 需满足⎩⎨⎧=±≠⎩⎨⎧-=-≠+-431301822m m m m ，，故m=4时，函数的图象平行于直线y=－x ；（4）当3－m<0时，即m>3时，y 随x 的增大而减小．3、融会贯通（7）已知某一次函数的图象与正比例函数x y 32-=平行，且通过点M(0，4)．①若点(－8，m)和(n ，5)在一次函数图象上，求m 、n 的值； ②x 在什么范围内取值时，这个一次函数的值是正数？图象面积1、方法要领一次函数的图象与两坐标轴相交（或两相交直线与坐标轴之间）能组成三角形，如何求其面积呢？解这类题目一般通过解析式求出三角形顶点的坐标，找出三角形的底和高，直接求其面积.不易找出底和高的，可把三角形进行分割，再分别求其面积.解题时一定要准确画出图形，注意数形结合思想的运用.2、实战分析例11、已知直线111b x k y +=经过原点和点(－2，－4)，直线222b x k y +=经过点(1，5)和点(8，－2)．(1)求这两条直线的解析式，并作出其图象．(2)若直线111b x k y +=与222b x k y +=交于点M ，直线222b x k y +=与x 轴交于点N ，试求△MON 的面积．分析：本题可利用待定系数法求解析式．然后把两条直线的解析式均看作二元一次方程，二元一次方程组的解就是它们交点的坐标．解：(1)对直线111b x k y +=，由题意可得：⎩⎨⎧-=+-=420111b k b解得21=k ， ∴x y 21=．对直线222b x k y +=，由题意可得：⎩⎨⎧-=+=+.28,52222b k b k解得：12-=k ，62=b ．∴62+-=x y ．图6 它们的图象如图6所示．其交点为M （2，4）.(2)由于直线222b x k y +=与x 轴交于点N ，令02=y ，得x=6． ∴点N 的坐标为(6，0)，于是△MON 中，ON=6．又ON 边上的高为点M 的纵坐标4．∴124621=⨯⨯=∆MON S ．例12、直线y=kx+b 过点A(－1，5)且平行于直线y=－x ．若点B(m ，-5)在这条直线上，O 为坐标原点，求m 的值及△AOB 的面积．分析：直线解析式易求.求三角形面积时，因三角形的边不在坐标轴上，可用坐标轴把三角形分成几个边在坐标轴上的小三角形来处理．解：易得直线解析式为y=－x+4． ∵B(m ，－5)在直线上， ∴－5=－m+4，m=9．如图7，设直线与y 轴的交点为C ，则C 的坐标为(0，4)．由图知∴BOC AOC AOB S S S ∆∆∆+=图7.2094211421||21||21=⨯⨯+⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅=B A x OC x OC （注: A x 为A 的横坐标，B x 为B 的横坐标）3、融会贯通（8）如图8，直线y= -x+2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，另一直线y=kx+b 经过点C （1，0），且把△AOB 分成两部分，若△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，求k 和b 的值.图8中考函数1、方法要领中考中的一次函数问题，一般和实际问题结合较多.解题中一定要读懂题目的意思，结合一次函数的图象和性质来解题.2、实战分析例13、如图9，直线l 1、l 2相交于点A ，l 1与x 轴的交点坐标为（-1，0），l 2与y 轴的交点坐标为（0，-2），结合图象解答下列问题：x yA BC O 12y=-x+2y=kx+b-123xy Al1l2O（1）求出直线l 2表示的一次函数的表达式；（2）当x 为何值时，l 1、l 2表示的两个一次函数的函数值都大于0？解：（1）设l 2的解析式为y=kx+b,由图象可知，l 2过点（2，3）和点（0，-2），则有232k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：b= -2，k=52 图9 所以l 2的解析式为y=52x-2 （2）从图象可知，当x>-1时，l 1表示的一次函数的函数值大于0 .对于l 2，当y=0时，x=45，所以 l 2与x 轴的交点为（45，0）.再结合图象可知，当x>45时，l 2表示的一次函数的函数值大于0 .综合可知，当x>45时，l 1、l 2表示的两个一次函数的函数值都大于0.例14、在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧过程中，其高度y （cm ）与燃烧时间x （h ）之间的关系如图10所示(蜡烛点燃到燃尽过程中不熄灭)，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是，从点燃到燃尽所用的时间分别是 .（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y 与x 之间的函数关系式.（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？图10解：（1）30cm 和25cm ；2h 和2.5h.（2）设甲蜡烛燃烧时y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b .由图10可知，函数的图象过点（2，0），（0，30），则有⎩⎨⎧==+3002b b k ，解得⎩⎨⎧=-=3015b k 所以y=-15x+30（0≤x ≤2）.同理可得乙蜡烛燃烧时y 与x 之间的函数关系式为 y=-10x+25（0≤x ≤2.5）.（3）由⎩⎨⎧+-=+-=25103015x y x y ，解得两图象交点为（1，15），所以当燃烧1h 的时候，甲、乙两根蜡烛的高度相等.观察图象可知，当0≤x ＜1时，甲蜡烛比乙蜡烛高；当1＜x ＜2.5时，甲蜡烛比乙蜡烛低.3、融会贯通（9）温度与我们的生活息息相关，你仔细观察过温度计吗?如图11是一个温度计实物示意图，左边的刻度是摄氏温度(℃)，右边的刻度是华氏温度(°F)，设摄氏温度为x(℃)，华氏温度为y(°F)，则y 是x 的一次函数.①仔细观察图中数据，试求出y 与x 之间的函数表达式；②当摄氏温度为零下15℃时，求华氏温度为多少?图11创新题型1、方法要领创新题型主要包括开放型问题、探索型问题、应用型问题.这类题型解法比较灵活，技巧性较强，难以找到解题的突破口.解题关键是要结合一次函数性质，大胆猜测，敢于动手.2、实战分析例15、设直线nx+(n+1)y=2(n 为非零自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为S n (n=1,2,…2005)，则S 1+ S 2+ ……S 2005的值是多少？分析：通过直线解析式求出直线与两坐标轴交点的坐标，再用n 表示出S n ，这时你就会发现表示S n 的代数式是一个非常熟悉的式子，求和将会很简单.解：当x=0时，12+=n y ，∴直线与y 轴交点B （0，12+n ）当y=0时，n x 2=，∴直线与x 轴交点A （n2，0）P D A FCEB 故OA=n 2，OB=12+n ∴)1(112221+=+⋅⋅==∆n n n n S S OAB n ∴S 1+ S 2+ ……S 2005=)12005(20051)12(21)11(11+⨯+++⨯++⨯=(1-21)+(21-31)+……+(2006120051-) =1-20061=200620053、融会贯通（10）如图12，在直角梯形ABCD 中，AB=22，CD=10，AD=16.①在斜腰BC 上任取一点P ，过P 点作底边的垂线，与上下底分别交于E 、F.设PE 长为x ，PF 长为y ，求y 与x 的函数表达式； ②如果S △PCD =S △PAB ，P 点应取在什么地方？图12——运费与利润一、一次函数的最值一次函数y=kx+b 在n ≤x ≤m 时可取得最值。