分部积分的计算方法

一般地，形如 的积分，都可以用分部积分法计算，并且计算方法和例5类似。
例6．求
分析：可以用两种方法凑微分。先看看用下面的凑微分情况怎样。
变成跟原式差不多的积分。再看看用下面的凑微分：
两种凑微分都差不多，都把原不定积分转化为积分 。可以想象，把这个积分作类似的分部积分，就会转化为原积分 。这时采用方程的思想即可求出原积分。（略）
§7.2wenku.baidu.com部积分法与换元积分法
(一) 教学目的：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法．
(二) 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．
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如何计算不定积分 ？我们知道， ，那么是否有 ？显然不对。
计算不定积分，仅有直接积分法还是不行的。如 、 、 等积分就不能直接积分，下面探讨其它的计算不定积分的方法。
或
走哪条路好呢？通过尝试可以知道，第一种方法越算越复杂，无法得到结果。第二种方法刚好相反。
解：
从此例可以看到，原题中的积分可能有两种凑微分的方法，但选择那一种，有时是要认真考虑或尝试一下的。
一般地，形如 、 的积分，都可以用分部积分法来计算，并且计算方法和例1的方法类似。
例2．求
解：
例3．求
解：
一般地，形如 的积分，都可以用分部积分法来计算，并且计算方法和例1、例2的方法类似。
二、分部积分法
我们知道，
即
于是，
或
这就是分部积分公式。
应用分部积分公式计算不定积分的过程一般为：
在这里，主要是把不定积分 的计算转化为不定积分 计算。通过这样的转化，往往会达到化未知为已知，化繁为简，化难为易的目的。
在分部积分的过程中，还是要凑微分，
例1．求
分析：初看这道题，会感到无从下手。尝试一下使用分部积分。可以有两个凑微分的方向：
特别地，k = 0时，
例4．求
解：
一般地，形如 、 等形式的积分，都可以用分部积分法计算，并且计算方法和例4类似。
例5．求
分析：可以用两种方法凑微分，但用哪一种行得通？要试试看。
虽然还不能得到结果，但次数降低了，越变越简单。再进行一次分部积分，应该行得通。
解：
=
有些积分，用一次分部积分不行的话，可进行两次、三次或更多次的分部积分。
解：设 ，则有 ，于是
要将变量还原为x，由 ，可得 ，于是
一般地，当被积函数是含有形如 的式子时，都可考虑作变量替换 ，目的是去掉根号。此时 ，
例19．求
解：设 ，则有 ，
∴
当 时，
由 ，得 ， ，于是
当 时，
由 ， ，
综上所述，对任意 ，有
一般地，当被积函数是含有形如 的式子时，都可考虑作变量替换 ，目的是去掉根号。此时 ，
则函数 在 存在原函数，且
具体应用此定理计算不定积分时，其过程是这样的：
例17．求
分析：被积函数带有根号，想办法去掉。联想到三角函数公式 ，于是作变换 ，则 ，根号去掉了。
解：设 ，则 ，于是
由 ，得 ，所以
∴
一般地，当被积函数是含有形如 的式子时，都可考虑作变量替换 ，目的是去掉根号。此时
例18．求
，
，
等等。
除此以外，我们还可以写出许多凑微分公式：
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
例10．求
分析：应用凑微分公式（2），有
解：（略）
例11．求
例12．求
例13．求
例14．求
例15．求
例16．求
补充例题：
2．第二换元法
这是一种与凑微分法的过程刚好相反的计算不定积分的方法。
定理2（第二换元积分法）若函数 在 可导， ，且 ，函数 在 有定义， ，有
解：
一般地，在计算积分的时候，有时为了化为能用公式计算，我们常根据需要作下面的凑微分公式：
（1）
**计算熟练以后，就可以省略“设”的步骤，把所设的式子当作一个整体，在心里面想着它是一个变数，就可以使书写简化。如上面的例子，就可以简化为
例9．求
分析：注意到我们有
解：
一般地，我们有凑微分公式：
（2）
特殊地，有
一、换元积分法
1．凑微分法
定理1（第一换元积分法）若函数 在[a,b]可导，且 ， ，有 ，则函数 存在原函数 ，即
**具体应用此定理计算不定积分时，其过程是这样的：
例7．求
分析：我们有公式 ，而上述积分中被积函数根号里面还要加5，不能直接用公式。为了能用公式计算，进行凑微分：
解：
例8．求
分析：为了能应用公式计算，进行凑微分：