平面立体讲义及平面截割体
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第三章 平面与立体的截切
第 三 章 平面与立体的截切
昆明理工大学工程图学教研室
第三章
平面与立体的截交
截交：用一个平面与立体相截切，截去立体 的一部分，如图P与三棱锥S-ABC相截交。 截平面 —— 用以截 切立体的平面，如P平 面。 截交线 —— 截平 面与立体表面的交线， 如：KN，NL，KL。
S p
L
K A B N
★找特殊点 ★补充一般点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
昆明理工大学工程图学教研室
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
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㈢ 球体的截切
平面与圆球相交，截交线的空
间形状都是圆，但根据截平面与投
影面的相对位置不同，其截交线的
投影可能为圆、椭圆或积聚成一条
直线。
平行 两平行直线
例1：已知主、俯视图，求左视图 同一立体被多 个平面截切，要逐 个截平面进行截交 线的分析和作图。
●
解题步骤：
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
●
●
●
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例1：已知主、俯视图，求左视图
解题步骤：
㈡ 圆锥体的截切
根据截平面与圆锥轴线的相 对位置不同，截交线的空间形状 有五种情况：
PV θ PV PV θ
PV
α
α
θ PV
α
θ = 90° 圆
过锥顶 两相交直线
θ ＞α 椭圆
θ =α 抛物线
θ = 0°＜α 双曲线
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例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
截交线 截交线 的空间 的投影 如何找椭圆另 形状？ 特性？ 一根轴的端点？
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第三章
平面与立体的截交
截交：用一个平面与立体相截切，截去立体 的一部分，如图P与三棱锥S-ABC相截交。 截平面 —— 用以截 切立体的平面，如P平 面。 截交线 —— 截平 面与立体表面的交线， 如：KN，NL，KL。
S p
L
K A B N
★找特殊点 ★补充一般点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
昆明理工大学工程图学教研室
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
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㈢ 球体的截切
平面与圆球相交，截交线的空
间形状都是圆，但根据截平面与投
影面的相对位置不同，其截交线的
投影可能为圆、椭圆或积聚成一条
直线。
平行 两平行直线
例1：已知主、俯视图，求左视图 同一立体被多 个平面截切，要逐 个截平面进行截交 线的分析和作图。
●
解题步骤：
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
●
●
●
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例1：已知主、俯视图，求左视图
解题步骤：
㈡ 圆锥体的截切
根据截平面与圆锥轴线的相 对位置不同，截交线的空间形状 有五种情况：
PV θ PV PV θ
PV
α
α
θ PV
α
θ = 90° 圆
过锥顶 两相交直线
θ ＞α 椭圆
θ =α 抛物线
θ = 0°＜α 双曲线
昆明理工大学工程图学教研室
例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
截交线 截交线 的空间 的投影 如何找椭圆另 形状？ 特性？ 一根轴的端点？
平面立体及截切1
例2：六棱柱被切割
5
4
6
3
1
2
3’(5’) 4’ 5” 4”
3”
2’(6’)
1’
6”
Hale Waihona Puke 2”1”65
54
6
3
1
4
12
23
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1 (4) 2 3
1
4 2 ●
●
●
● 3
4 ●
3
1
●
●
2●
★ 空间分析 ★几交★截求个线截左平棱截投的交视面面形交影 线图与相状在上线分体交？俯的的析？、形 ★ 分析棱线状的？投影
1．先进行空间分析
要分析明确所画对象的基本体是什么平面立体； 用什么位置的截平面在立体的哪个位置切割立体；切 割后的立体出现了哪些新的面和线等。 2．画切割体视图
先画基本体三视图；再分别在其投影上画出截平 面的投影（特别是截平面的积聚性投影）；逐个画出
切割产生的新面和线的投影；修改描深完成切割体的三视图。
基本体的形成及其三视图
常见的基本几何体
平面基本体
曲面基本体
立体表面是由若干面所组成。平面围成的
立体称为平面立体；曲面或平面与曲面围成的 立体称为曲面立体。
平面基本体
平面立体的投影实质是关于其表面上点、线、面投影的集 合，且以棱边的投影为主要特征，对于可见的棱边，其投影以 粗实线表示，反之，则以虚线示之。在投影图中，当多种图线 发生重叠时，应以粗实线、虚线、点画线等顺序优Z 先绘制。
根据其它投影规律画出其它的两个投影。如图3-2所示。
Z
a’ d’ e’
a” d”
b’ c’
机械制图-平面截切立体
感谢聆听
平面截切立体
例1：已知三棱锥S-ABC和截平面P，P为正垂面，求作截交线的三面投影。
3'
●
●
2' 1' ●
3"
●ห้องสมุดไป่ตู้
● 2"
●
1"
P
●3
1● ●2
3
●
●
1 2●
1.空间和投影分析 2.用找点法绘图
平面截切立体
二、平面截切曲面立体
截交线是截平面与回转体表面的共有线。 截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平 面与回转体轴线的相对位置。 截交线的投影的形状取决于截平面与投影面的 相对位置。 ⒈ 求截交线的方法： 求截平面与回转体表面的共有点。
平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置 不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。 例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两水个平侧面平与面圆与球圆面球的面交 的线交的线投的影投，影在，俯在视左图视上上为 为部部分分圆圆弧弧，，在在左俯视视图图上上积 积聚聚为为直直线线。。
●3" 1.找特殊点
●
2"
●
1"
2.找中间点
3.光滑连接各点
4.分析轮廓素线的投影
7
●
●
●
8
6
1●
5
●
2
●
4●
●
3
平面截切立体
45°
椭圆的长、短轴 随截平面与圆柱轴线 夹角的变化而改变。
什么情况下 投影为圆呢？
截平面与圆柱轴线 成45°时。
平面截切立体
㈡ 圆锥体表面的截交线 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。
第5章(3)平面立体截切
◐加深
例7 已知一光学三棱镜ABCD被两个正平面P1、P2、一个正垂面Q、一个侧平面S 和一个水平面T所截切而成，试完成棱镜的三视图。 a b ≡c c b a
SV
QV
TV
d c P1H
a
d P2H
SH
b
◐未截切前 三棱锥 ◐画未截切前 三棱锥侧视图 ◐侧平面S截切 三角形 ◐画侧视图三角形
◐加深
SH
b
本次课重点 ◐平面立体截切 ◆截交线性质 ◆求截交线方法 棱线法、棱面法 ◆求截交线的步骤 ◎分析——形状、相对位置 ◎求作截平面与棱线交点 平面与平面交线的端点 ◎连接各点 ◎分析棱线投影
作业: 习题集P40、41——13～16 17、18（预做）
下次课内容——曲面立体截切
习题集P40 14.(c)
◐ 未截切前 ——五棱柱 ◐ 画五棱柱俯视图
例5 求立体被平面截切后的俯视图。
◐ 左、右上角 两正垂面截切 ——三角形
◐ 画俯视图 ——类似三角形
例5 求立体被平面截切后的俯视图。
◐ 左右下角 两正垂面截切 ——六边形
◐ 画俯视图 ——类似六边形
例5 求立体被平面截切后的俯视图。
◐ 加深轮廓线
例6 完成梯形棱柱被平面截切后的三视图。
习题集P41、16
◐未截切前 梯形棱柱 ◐截平面 一正垂面 两铅垂面 ◐正垂面截切 四边形（梯形） ◐画侧、俯视图 类似四边形
例6 完成梯形棱柱被平面截切后的三视图。
◐两铅垂面截切 四边形
◐完成主、侧视图 类似四边形
例6 完成梯形棱柱被平面截切后的三视图。
SV
QV
TV
d c P1H
d
a
d P2H
平面立体的截切.ppt
a、截平面与立体的相对位置
—— 确定截交线的形状
b、截平面、立体表面与投影面的相对位置
—— 确定截交线的投影特性
2) 画出截交线的投影
运用线面交点法或面面交线法，分别求出截平面 与棱面的交线，并连接成多边形。
3) 整理立体的棱线投影
平面立体截交线的求法
1. 从反映平面立体特征视图的多边形线框出发，想象出完整的平 面立体形状并画出其投影；
1)积聚投影法——当截平面或平面立体的棱面、棱线垂直于投 影面而有积聚投影时，则截交点及截交线段在这个投影面上的 投影，就位于这些积聚投影上而成为已知，其余投影可借助于 有关棱面或截平面上的直线来作出；当截平面和棱面分别垂直 于两个投影面时，则截交点及截交线的两个投影成为已知，于 是可求出截交点的第三投影来连得截交线的第三投影。
2. 想象出截交线的形状并画出其投影； 3. 利用平面特性中的类似形投影特征来作图和检查。
1 棱柱上截交线的求法
【例题1】完成棱柱体被截切后的水平投影和侧面投影。
6′7′ 4′5′
7″ 5″
6″ 4″
1. 画出棱柱的投影； 2. 画出截交线的投影；
截平面和棱柱表面均有积聚 性，利用积聚投影法来求。
2’
2”
1”
3” 4”
6” 5” 7”
1
2
7
6
3
5
4
例5：
1’
2’
5’
p’
6’
4’
3’
1”, 2”ห้องสมุดไป่ตู้
p”
5”, 6”
3”, 4”
1 5
p
2 6
4
3
[例题6] 求立体截割后的投影
1'（2'） 3'（4'）
—— 确定截交线的形状
b、截平面、立体表面与投影面的相对位置
—— 确定截交线的投影特性
2) 画出截交线的投影
运用线面交点法或面面交线法，分别求出截平面 与棱面的交线，并连接成多边形。
3) 整理立体的棱线投影
平面立体截交线的求法
1. 从反映平面立体特征视图的多边形线框出发，想象出完整的平 面立体形状并画出其投影；
1)积聚投影法——当截平面或平面立体的棱面、棱线垂直于投 影面而有积聚投影时，则截交点及截交线段在这个投影面上的 投影，就位于这些积聚投影上而成为已知，其余投影可借助于 有关棱面或截平面上的直线来作出；当截平面和棱面分别垂直 于两个投影面时，则截交点及截交线的两个投影成为已知，于 是可求出截交点的第三投影来连得截交线的第三投影。
2. 想象出截交线的形状并画出其投影； 3. 利用平面特性中的类似形投影特征来作图和检查。
1 棱柱上截交线的求法
【例题1】完成棱柱体被截切后的水平投影和侧面投影。
6′7′ 4′5′
7″ 5″
6″ 4″
1. 画出棱柱的投影； 2. 画出截交线的投影；
截平面和棱柱表面均有积聚 性，利用积聚投影法来求。
2’
2”
1”
3” 4”
6” 5” 7”
1
2
7
6
3
5
4
例5：
1’
2’
5’
p’
6’
4’
3’
1”, 2”ห้องสมุดไป่ตู้
p”
5”, 6”
3”, 4”
1 5
p
2 6
4
3
[例题6] 求立体截割后的投影
1'（2'） 3'（4'）
第三讲平面立体及其切割体三视图
2"
1"
a′
b′
c′ a ″(c ″) c
b″
a 2 S
1 回本节 回本讲
例2：
如图所示，已知三棱锥棱面(侧垂面）上点的V面投影(1′），求1″、1。
s′
s″
s′
s″
a′
b′
a s
c ′ a ″(c ″) c
b″
a′
b ′ c ′ a ″(c ″) b ″
a s
c
b
s s s
b
回本节 回本讲
例3 如图所示，已知六棱柱棱面(铅垂面）上点的V面投影1 ′， 求1″、1。
回本节 回本讲
例1
画出如图所示平面切割体的三视图
主要作图步骤： （1）分析形体：用铅垂面切去了长方体 左前角，正垂面切去了左上角，产生铅 垂面E和正垂面F（交线AB为倾斜线）。
（2）画基本体的三视图。
回本节 回本讲
例1
(3)画铅垂面E的三个投影。
（4）画正垂面F的三个 投影，并加深三视图。
回本节 回本讲
回本节 回本讲
例3
画出如图所示平面切割体的三视图
主要作图步骤： （1）分析形体：在长方体左上方切出E、 F两面角，右上方切出由G、H两侧垂面围 成的“V”形槽（交线AB、AC均为倾斜 线）。
（2）画基本体的三视图。
回本节 回本讲
本讲结束
例3
(3)画两面角的E、F平面投影。
（4）画“V”形槽的两侧垂面G、H投 影（交线AB、AC的投影），并加深 三视图。
回本讲
二、平面切割体三视图的一般画图步骤 1．先进行空间分析
明确四个问题：
要分析明确所画对象的基本体是什么平面立体； 用什么位置的截平面在立体的哪个位置切割立体； 切割后的立体出现了哪些新的面和线等。
06平面立体及其截切体的投影
如图所示 , 四棱柱中间的切槽是由两个侧平面和 一个水平面切割而成。 一个水平面切割而成。 平面Ⅰ为侧平面 它与四棱 平面Ⅰ为侧平面,它与四棱 柱侧面的交线为两条铅垂线 AA1,BB1。 。 平面Ⅱ为一水平面,它与 平面Ⅱ为一水平面 它与 四棱柱侧面和侧平面的交线共 同围成一六边形。 同围成一六边形。 作图时 , 先作反映切口特 征且具有积聚性的正面投影 , 然后补画其它两面投影。 然后补画其它两面投影。
作图: 作图
1
a) 直观图
b) 投影图
(2) 棱柱表面上点的投影
由于棱柱的表面都是平面， 由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在 表面都是平面 平面上取点的方法相同 的方法相同。 平面上取点的方法相同。
A M D
B
C
a) 直观图 图 正六棱柱表面取点
已知六棱柱表面上点M的正面投影 的正面投影m'，求其另两面投影， 例1 已知六棱柱表面上点 的正面投影 ，求其另两面投影， 并判别可见性。 并判别可见性。
采用什么 方法？ 方法？ 平面上作辅助线
作图方法1 作图方法
n″ N a' n′
s' m″ a" (c")
s"
n′
(m′) ′ b' c'
n″ b"
a n
m s n b
c
a) 直观图
b) 投影图 图 三棱锥表面取点
作图方法2: 作图方法
s' n′ n′ n″ N a' b' c' a" (c") n″ b" s"
四棱锥被正垂面切割， 四棱锥被正垂面切割， 截交线也应是平面多边 形，其正面投影积聚为 一条线， 一条线，水平投影侧面 投影小于实形的类似形 四棱锥被水平面切割， 四棱锥被水平面切割，截 交线应是平面多边形， 交线应是平面多边形，其 水平投影反映实形。 水平投影反映实形。侧面 投影是一条线。 投影是一条线。
平面立体及截切--的制图方法PPT课件
4基.1本基立本体体
.
1
平面立体
•平面立体：表面由平面围成的形体 •棱线：平面上相邻表面的交线
画平面体视图的实质：
画出所有棱线（或表面）的投 影，并根据可见与否，采用粗实 线或虚线表示。
.
2
一、棱柱
棱柱有直棱柱和斜棱柱。 顶面和底面为正多边形的直棱 柱，称为正棱柱。
1. 棱柱的三视图 W V
六棱柱 两底面为水平面，H面投 影具有实形性； 前后两侧面为正平面 其余四个侧面是铅垂面
棱锥的三面视图画图步骤：
s
s
a
b
c a(yc)
b
a
c
s
y
b
.
7
2. 在棱锥表面取点
已知棱柱表面的点M、N的投影m′、n′，求其它两面投影。
s
s
a
b
c a(yc)
b
a
c
s
y
b
.
8
4.平2 面平与面立与体立相体交相交
截断体：形体被平面截断后分成两部分，每 部分均称为截断体。
截断面
截交线
截断体
• 截交线 —— 截平面与立体表面的交线。 • 截平面 —— 用来截断形体的平面。 • 断面 —— 由截交线围成的平面图形。
1(2)
2" ●
● 1"
3(4)
2(4)
注意：
要逐个截平面分析和绘制
截交线。当平面体只有局
部被截切时，先假想为整
体被截切，求出截交线后
1(3)
. 再取局部。
15
二、棱锥的截断
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1 (4)2 3
4• •1 •2 •3
.
1
平面立体
•平面立体：表面由平面围成的形体 •棱线：平面上相邻表面的交线
画平面体视图的实质：
画出所有棱线（或表面）的投 影，并根据可见与否，采用粗实 线或虚线表示。
.
2
一、棱柱
棱柱有直棱柱和斜棱柱。 顶面和底面为正多边形的直棱 柱，称为正棱柱。
1. 棱柱的三视图 W V
六棱柱 两底面为水平面，H面投 影具有实形性； 前后两侧面为正平面 其余四个侧面是铅垂面
棱锥的三面视图画图步骤：
s
s
a
b
c a(yc)
b
a
c
s
y
b
.
7
2. 在棱锥表面取点
已知棱柱表面的点M、N的投影m′、n′，求其它两面投影。
s
s
a
b
c a(yc)
b
a
c
s
y
b
.
8
4.平2 面平与面立与体立相体交相交
截断体：形体被平面截断后分成两部分，每 部分均称为截断体。
截断面
截交线
截断体
• 截交线 —— 截平面与立体表面的交线。 • 截平面 —— 用来截断形体的平面。 • 断面 —— 由截交线围成的平面图形。
1(2)
2" ●
● 1"
3(4)
2(4)
注意：
要逐个截平面分析和绘制
截交线。当平面体只有局
部被截切时，先假想为整
体被截切，求出截交线后
1(3)
. 再取局部。
15
二、棱锥的截断
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1 (4)2 3
4• •1 •2 •3
第四章平面体及回转体的截切讲解
截切：用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。
∙截平面——用以截切物体的平面。
∙截交线——截平面与物体表面的交线。
∙截断面——因截平面的截切，在物体上形成的平面。
讨论的问题：截交线的分析和作图。
一、平面截切的基本形式截交线的性质：∙截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切位置。
∙例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
棱线法！例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例3: 求八棱柱被平面P2例3: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
一、回转体截切的基本形式截交线的性质：∙截交线是截平面与回转体表面的共有线。
∙截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置。
∙截交线都是封闭的平面图形。
二、求平面与回转体的截交线的一般步骤⒈空间及投影分析☆分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。
找出截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：☆先找特殊点，补充中间点。
☆将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。
例1：求左视图例1：求左视图解题步骤：★空间及投影分析截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置★求截交线★分析圆柱体轮廓素线的投影例2：求左视图例2：求左视图例3：求俯视图截交线截交线的空间的投影形状？特性？例:如何找椭圆另一根轴的端点？例: 圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成三视图。
㈢球体的截切平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
㈣复合回转体的截切首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。
立体的投影—平面截割平面立体(工程制图)
《工程制图》
平面和平面立体相交
平面和平面立体相交 也叫做立体被平面截 割
截断面
截平面
截线
截交线的性质
闭合性：截交线一定是闭合的平面多边形。多边形的 各顶点就是平面立体的棱线和截平面的交点。 共有性：截交线即从属于截平面，又从属于立体表面。
截交线的求法
交点法：求出平面立体的棱线和截平面的交点。 交线法：求出平面立体的棱面和截平面的交线。
在实际作图时常采用交点法 交点求出后的连接原则是：位于同一棱面上的两个交点才能连接。 同时还要注意可见性：可见棱面上的两点用实线连接，不可见棱面上 的两点用虚线连接。
截交线的求法
求作正垂面截割三 棱锥S－ABC的截交 线。
s'
1' 2'
a'
b'
a 1 s
2
b
PV 3'
c' 3c
平面和平面立体相交
平面和平面立体相交 也叫做立体被平面截 割
截断面
截平面
截线
截交线的性质
闭合性：截交线一定是闭合的平面多边形。多边形的 各顶点就是平面立体的棱线和截平面的交点。 共有性：截交线即从属于截平面，又从属于立体表面。
截交线的求法
交点法：求出平面立体的棱线和截平面的交点。 交线法：求出平面立体的棱面和截平面的交线。
在实际作图时常采用交点法 交点求出后的连接原则是：位于同一棱面上的两个交点才能连接。 同时还要注意可见性：可见棱面上的两点用实线连接，不可见棱面上 的两点用虚线连接。
截交线的求法
求作正垂面截割三 棱锥S－ABC的截交 线。
s'
1' 2'
a'
b'
a 1 s
2
b
PV 3'
c' 3c
第五讲平面与立体截交
平面与回转体相交
例1 完成被截切圆柱体的俯视图和左视图。
Ⅱ 截
Ⅰ
1）分析 2）作图
平面与回转体相交
平面与圆柱体截交在形体中的表现形式
生成 方式
平面 截圆柱
平面 交圆柱
平面 截圆孔
平面 交圆孔
立 体
三 视 图
平面与回转体相交
平面与圆锥体截交
θ为截平面与圆锥轴线的夹角，α为锥顶半角 P为截平面
θ=90˚ θ>α θ=α θ<α 过锥顶
P垂直于轴线
P平行于轴线 P过锥顶
平面与回转体相交
P垂直于轴线 圆 P平行于轴线 P过锥顶
双曲线
直线
平面与回转体相交
例2 完成被截切圆锥体的俯视图和左视图。
Ⅱ
Ⅰ
R
1）分析 2）作图
平面与回转体相交
平面与球体截交
平面截切球体所得的截交线都是圆。 1）当截平面与投影面倾斜时，截交线的 投影为椭圆； 2）当截平面与投影面平行时，截交线的 投影为圆。
五院051系工程图学教研室
主 要 内 容
一、投影法与三视图
二、平面与立体截交
三、立体与立体相交 四、组合体
二、平面与立体截交
截交线的概念及性质 平面与平面立体截交 平面与回转体截交
截交线的概念及性质
平面截切立体，在立体表面产生的交线称为 截交线，该平面称为截平面. 性质： 1) 截交线是截 平面与立体表面共 有点的集合。 2) 截交线是一 个封闭的平面多边 形。 截平面
平面与回转体相交
P平行于水平面
P平行于正面
平面与回转体相交
例3 求作被截切圆锥体的俯视图和左视图。
Ⅰ Ⅱ
1）分析 2）作图
【精品】第八章切割体13详解教学课件
二 平面截圆锥
截交线为圆 截平面为圆
截平面垂直于 圆锥的轴线
= 90°
截平面倾斜于圆锥的轴线
截交线为椭圆 截平面为椭圆
>
截平面平行一条素线
截交线为抛物线 截平面为抛物线与直线组成的封闭图形
=
截平面与轴线平行
截交线为双曲线
截平面为双曲线与直 线组成的封闭图形
截平面通过锥顶
截交线为两条直线
例：求开槽圆柱的左视图。
5'（6'） •
• 6"
• 5"
1'（2'） 2"
•
• 3'
（4'）•
• 4"
•• 3"1"
2 •
6 • (4)
分析：槽是由三个截平面形 成的，左右对称的两个截平 面是平行于圆柱轴线的侧平 面，它们与圆柱面的截交线 均为两条直素线。另一个截 平面是垂直于圆柱轴线的水 平面，它与圆柱面的截交线 为两段圆弧。三个截平面间 产生了两条交线，均为正垂线。
截平面为三角形
圆锥体的五种截交线
θ PV
PV
θ
α
PV
θ= 90° 过锥顶
圆
两相交直线
θ＞α 椭圆
PV θ PV α
α
θ=α 抛物线
θ= 0°＜α 双曲线
例、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的 另外两个投影。
此种截交线为一椭圆。 由于圆锥前后对称，故椭圆 也前后对称。椭圆的长轴为 截平面与圆锥前后对称面的 交线——正平线，椭圆的短 轴是垂直与长轴的正垂线。
例：求左视图
● ● ● ●
90截交线为椭圆截平面为椭圆截平面平行一条素线截交线为抛物线截平面为抛物线与直线组成的封闭图形截平面与轴线平行截交线为双曲线截平面为双曲线与直线组成的封闭图形截平面通过锥顶截交线为两条直线截平面为三角形圆锥体的五种截交线例如图所示圆锥被正垂面截切求出截交线的另外两个投影
截交线-平面切割平面立体讲解
? 平面与平面立体的截交线为封闭的多边形。 ? 多边形的各个顶点是截平面与立体的棱线
或底边的交点，多边形的各条边是截平面 与平面立体表面的交线。
（一）水平面切割正六棱柱
主视图
左视图
俯视图
（二）正垂面切割正六棱柱
4'
3'(5')
5”
4” 3”
2'(6')
6”
1”
2”
1'
6 1
2
5 4
3
Ⅴ
Ⅳ
Ⅵ
P
Ⅲ
Ⅱ
小结
? 平面与平面立体相交，其截交线是一封闭 的平面折线。求平面与平面立体的截交线， 应先求出立体棱线与截平面的交点，并判 别可见性，然后依次连接各交点，即为所 求的截交线的投影。
谢 谢！
4”
3”
5”
6” 1”
2”
5
6
4
1
3
2
Ⅳ
Ⅴ
Ⅲ
Ⅵ
P1
P2
Ⅰ
Ⅱ
平面切割四棱锥
4' 3'(5')
2'(1')
5 1
4 2
3
不能漏4”5” Nhomakorabea3”1” 2”
Ⅳ Ⅴ
Ⅲ
P
Ⅰ Ⅱ
平面切割四棱锥
? 可以看出，本题中的截交线围成的是一个 五边形，而一般情况下得到的是四边形。 这是由于截平面与三条侧棱和两条底边相 交共五个交点而致。
? (1) 由于基本体表面是有范围的，所以截 交线必定是封闭的平面图形。
? (2) 截交线是截平面和基本体表面共有的 线，截交线上的点都是它们的共有点。
平面切割长方体
或底边的交点，多边形的各条边是截平面 与平面立体表面的交线。
（一）水平面切割正六棱柱
主视图
左视图
俯视图
（二）正垂面切割正六棱柱
4'
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5”
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6”
1”
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Ⅳ
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Ⅲ
Ⅱ
小结
? 平面与平面立体相交，其截交线是一封闭 的平面折线。求平面与平面立体的截交线， 应先求出立体棱线与截平面的交点，并判 别可见性，然后依次连接各交点，即为所 求的截交线的投影。
谢 谢！
4”
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Ⅳ
Ⅴ
Ⅲ
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P1
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Ⅰ
Ⅱ
平面切割四棱锥
4' 3'(5')
2'(1')
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不能漏4”5” Nhomakorabea3”1” 2”
Ⅳ Ⅴ
Ⅲ
P
Ⅰ Ⅱ
平面切割四棱锥
? 可以看出，本题中的截交线围成的是一个 五边形，而一般情况下得到的是四边形。 这是由于截平面与三条侧棱和两条底边相 交共五个交点而致。
? (1) 由于基本体表面是有范围的，所以截 交线必定是封闭的平面图形。
? (2) 截交线是截平面和基本体表面共有的 线，截交线上的点都是它们的共有点。
平面切割长方体
6(2)平面立体的截切
㈢ 求截交线的作图步骤： 求截交线的作图步骤： 1) 空间分析及投影分析
a、截平面与立体的相对位置
—— 确定截交线的形状 确定截交线的形状
b、截平面、立体表面与投影面的相对位置 截平面、
—— 确定截交线的投影特性 确定截交线的投影特性
2) 画出截交线的投影
运用线面交点法或面面交线法， 运用线面交点法或面面交线法，分别求出截平 线面交点法 面与棱面的交线，并连接成多边形。 面与棱面的交线，并连接成多边形。
求立体切割后的投影
1′（2′）
2″ 4″
1″
3′（4′）
3″
5′（6′） 6 4 2 1
6″
5″
Ⅱ Ⅳ Ⅲ Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
3
5
例题9：求四棱柱与P、Q、R平面的截交 例题9 线
Pv
Qh Rh
例题9：求四棱柱与P、Q、R平面的截交 例题9 线
例10
求直三棱柱ABC与一般位置平面△DEF相交时的截交线投影 求直三棱柱ABC与一般位置平面△DEF相交时的截交线投影 ABC与一般位置平面
——水平截平面截切的交
线平行于四棱锥对应底边； 线平行于四棱锥对应底边；
——侧平截平面截切的交
线平行于四棱锥前后棱线。 线平行于四棱锥前后棱线。
3、投影作图 4、整理图线
采用的是哪种解题方法？ 采用的是哪种解题方法？
浏览三维动画
【例题5】完成四棱台上部开槽后的水平投影和侧面投影 例题5
1′2′ 5′6′ 2〞6〞 1〞5〞
(3)截交线的V (3)截交线的V面投影求法 截交线的 利用棱线的积聚性——先求截交点，再连成截交线。 先求截交点，再连成截交线。 利用棱线的积聚性 先求截交点
设斜棱柱被通过G点且垂直于侧棱的P面所截， 例11 设斜棱柱被通过G点且垂直于侧棱的P面所截，求截交线的 投影和截断面实形。 投影和截断面实形。 与棱柱的侧棱垂直的截平面，所形成的截交线和截断面， 解 与棱柱的侧棱垂直的截平面，所形成的截交线和截断面， 法截面、 相应地称为法截面 法截线和法断面。 相应地称为法截面、法截线和法断面。
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三视图的位置关系和投影规律
上
上
左
右高
后
前
下
下
长
宽
后
左
右宽
前
主、俯视图 主、左视图 俯、左视图
长对正 高平齐 宽相等
北京工商大学材料与机械工程学院
工程图学教研室
பைடு நூலகம்
2 平面立体
棱柱
棱锥
表面均为平面构成的立体称为平面立体，平面 立体上相邻两表面的交线称为棱线。常见的平面立 体有棱柱、棱锥和棱台等。
北京工商大学材料与机械工程学院
c’ a(c) y
a
c
y
1 s3
Ⅰ
2
A
b
北京工商大学材料与机械工程学院
b Ⅲ
Ⅱ
B
工程图学教研室
平面截割体的投影
北京工商大学材料与机械工程学院
工程图学教研室
截交线的概念
截交线
截平面
平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平 面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线，截交 线上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截平面上 又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以 截交线一定是封闭的线条，通常是一条平面曲线或者是由曲 线和直线组成的平面图形或多边形。
b
s
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c
北京工商大a 学材料与机械工程学院
a”
B
C
A
工程图学教研室
(2) 棱锥表面上取点
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2 r 1 (3)
2
3 1
b
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b(c)
a
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1
2
北京工商大学材料与a 机械工程学院
工程图学教研室
已知三棱锥表面上三点正面投影，求其侧面投影并连线。
s’
s
3 2
1
3 2
1
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精品jing
平面立体及平面截割体
基本体的投影
1 三面投影与三视图 2 平面立体
按照一定规则形成的简单立体称为基本体，基 本体分为平面立体和曲面立体两类。
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1 三面投影与三视图
主视图 Z 左视图
O
X 俯视图
YW
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YH
工程图学教研室
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平面与平面立体相交
由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平面多边形， 多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线的问题 可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简化为求直线与平 面交点的问题。
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例1 三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。
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易水寒江雪敬奉 Thanks
Thanks
s’
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1
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1
a’
b’
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a
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1 s3
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2
A
b
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b Ⅲ
Ⅱ
B
工程图学教研室
例2 求带切口三棱锥的投影
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s"
4'
1' a'
4"
2' 3'
b'c' c"
c 3
3" y
1" 2" a" y
解题步骤
1 分析 截交线的正 面投影已知，水平投 影和侧面投影未知；
工程图学教研室
棱柱
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(1) 棱柱的投影
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(2) 棱柱表面上取点
a
(a)
(b)
b
b
a
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棱锥
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(1) 棱锥的投影
s
s
S
b’
a’
2 求出截交线上的折 点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ
b" ；
3 顺次地连接各点， 作出截交线，并且判 别可见性；
4 整理轮廓线。
y
a1
4
s
y
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b
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例3 求立体截切后的投影
6
（5）4
1
2 （3）
6
5
4
3 1 2 Ⅵ
35
1
6
24
Ⅴ Ⅳ
Ⅲ
ⅠⅡ
北京工商大学材料与机械工程学院