第五章 电磁波的辐射-2

(2
1 c2
2 t 2
)
Q (t
4
r c
0r
)
1
0
Q(t) (x)
1
4 0
(2
1 c2
2 t 2
Q(t )
r
r) c
dV
1
4 0
[2
0
Q r
1 c2
2 t 2
Q ]4r 2
r
dr
一、推测求解
积分的第二项
1
40c 2
0
2Q t 2
4r
dr
当η→0时，
2Q t 2
为有限，可提到积分号前边。
0 4
J
(x , t r
r c
)
dV
(2.12) (2.13)
二、讨论
1、空间某点x处的标势是空间所有电荷在该点 产生标势的叠加。
2、当只有一个点电荷时，在x点处，t 时刻的 势 (x,t) 并不是由同一时刻t 的电荷激发的，而是t －r/c时刻的电荷激发的。
二、讨论
在电荷分布的区域内中取 两个小体积 dV1和 dV2 ，它 们的坐标分别为 x1和 x2 ， 它们到场点x的距离分别为 r1和r2，则它们在场点x处 产生的势分别为
一、推测求解
f (t r )
(r ,t)
c
r
（**）
由于Q(t)处于坐标原点,考虑在静电情形下,
1 Q 40 r
一、推测求解
推广到变化的情况,我们推测(**)式的解有下列形式
Q (t r )
c
4 0r
（2.9）
一、推测求解
(2 1
2 ) (2 1
2
Q (t )
r c
)
c 2 t 2
（2.13）
可以验证,(2.12)和(2.13)式的 和A 满足洛仑兹
条件
A
1 c2
t
0
一、推测求解
设 t t r ，对r的函数而言,有▽＝-▽′
c
A(x , t )
0 4
J
(x , t ) r
dV
0 [ J (x,t) J (x,t) |t不变 ]dV
4
r
r
0 [ J (x,t) dS J (x,t) |t不变 dV ]
2 Q 1 (r 2 Q ) 2 (Q ) 2 (Q ) r r 2 r r r r 2 r r r r
(*)
一、推测求解
r
Q r
1 r2
[r
Q r
Q]
1 r
Q r
Q r2
2 r 2
(Q r
)
r
[1 r
Q r
Q r2
]
1 2Q 1 Q 1 Q 2Q
r
r 2
r2
r
r2
r
r3
1 2Q 2 Q 2Q r r 2 r 2 r r 3
dV
1 c2
1
4 0
1 dV
r t
0 4
[
1 r
J
1J r
1 r
]dV
t
一、推测求解
J J (x ,t r ) c
r x x J 既是x ´ ，y ´ ，z ´ 的函数，又是x，y，z的隐函数。令
t r c
(x,y, z, x,y, z,t)
一、推测求解
J J x J y J z x y z
4 S r
r
0
4
1 J r
(x , t )
|t 不变
dV
一、推测求解
t
1
4 0
1 r
t
(x,t) dV
1
4 0
1 r
t
(x,t) dV
A 1 0
c 2 t 4
1[ J r
(x , t )
|t 不变
t
(x , t )] dV
由电荷守恒定律
J（x,t）|t不变
t
(x,t r )
(x,t)
c dV
4 0r
（2.12）
一、推测求解
当电荷分布不随时间变化时，它所激发的电势 也
不随时间变化，即为静电势
(x
)
(x ) 4 0r
dV
正好为第二章的（1.7）式。
标势 与电荷相联系，矢势A 与电流相联系
一、推测求解
A(x,t)
0 4
J
(x,t r
r) c
dV
)
z
J
c
J
J
c
r cr
J
一、推测求解
J
J
c
r cr
J
(2)
(1)+(2)得
J J J c
J J J c
A
1 c2
t
0
4
[ 1 J r
1 J r
c
1 J r
1 r
]dV
t
一、推测求解
由电荷守恒定律
J
c
t
A
1 c2
t
0 4
[ 1 J 1 J ]dV rr
J
(t r ) 1 r 1 r
cc
源自文库
cr
J J r
(1)
cr
一、推测求解
J J x J y J z x y z
J x x
c
J x
J y
x y
c
J y
J z
y z
c
J z
z
( J x x
J y y
J z z
)
c
(
J x
J y x
J z y
ρ(x,t)＝Q(t)δ(x) 空间的势是由该点电荷激发的。
一、推测求解
2
1 c2
2
t 2
Q(t) (x) 0
1、r ≠0的区域
δ（x）＝0
(2.2)式转化为
（2.2）
一、推测求解
2
1 c2
2
t 2
0
2
1 r2
r
(r
2
r
)
1 r2
r
(r 2
r
)
1 c2
2
t 2
0
(r
0)
1 rn
（*） （2.4）
(x , t )
0
A
1 c2
t
0
一、推测求解
说明： 从第31张幻灯片到第37张幻灯片是（2.12）
和（2.13）式满足洛仑兹规范的第二种证明方法。
一、推测求解
在电荷守恒定律中
J（x,t） (x,t) 0
t
J（x,t）|t 不变
t
(x,t ) |x 不变
0
A
1 c2
t
0 4
J r
二、讨论
d1(x,t )
1
4 0
(x1,
t
r1 c
)dV1
r1
d 2 (x ,t )
1
4 0
(x
2
,
t
r2 c
)
dV2
r2
对场点P（x），t时刻的势有贡献的是
t r1 c
的ρ1
值与
t r2 c
时刻的ρ2值。 dV2中 的电荷激发场的时
刻比中 dV1 的早，这样才能同时到达P点。
二、讨论
3、当电荷是连续分布时，在空间某点x处t 时刻标
4 0
0
左边的积分为 Q(t)
0
一、推测求解
而右边的积分为
1
Q (t )
(x) dV
Q(t)
0
0
0
1
Q(t r ) c
40 r
一、推测求解
如果电荷不在原点，而在
xˊ点上，令r为xˊ点到
x点的距离，则标势 为
Q(x,t r )
(x,t)
c
4 0r
一、推测求解
假定电荷是连续分布的。电场的叠加原理，对于一 般变化的电荷分布， (x,t) ，它所激发的标势为
c 2 t 2 40r
1
4 0
(2
1 c2
2 t 2
)Q r
1
4 0
[
2
(Q r
)
1 c2
2 t 2
(Q )] r
2 (Q ) r
1 r2
r
[r
2
r
(Q )] r
2 r 2
(Q ) r
2 r
r
(Q ) r
tr
c
一、推测求解
Q
Q
,
Q
2Q
2
,
Q t
Q t
Q
2Q 2Q
t 2 2 ,
1
0c 2
2Q t 2
r dr
0
该积分～~η2，当η→0时，该项积分为零。
一、推测求解
积分中的第一项
1 2 Q 4r 2 dr
40 0 r 当η→0时，
Q(t r ) Q(t) c
一、推测求解
积分转化为
Q(t) 2 1 dV
4 0
r
Q(t)
4 0
4(r ) dV
Q(t) (4 ) Q(t)
一、推测求解
1 r
2Q r 2
2 r2
Q r
2Q r3
2[1 rr
Q r
Q r2]
1 r
2Q r 2
Q Q 1 Q r r c
2Q r 2
1
c
(Q ) r
1 c2
2Q
2
都代入(2.4)式的左边
一、推测求解
1
4 0
[2
(Q r
)
1 c 2r
2Q t 2
]
11
4
0
[ rc
2
2Q
2
1 c 2r
2Q
2
]
0
2、在r＝0的区域 在r＝0的区域中，r＝0的点为(2.9)式的奇点。
一、推测求解
(2
1 c2
2 t 2
)
Q (t
4
r c
0r
)
1
0
Q(t) (x)
（2.11）
如果两边的积分相等，说明上式确实相等，从 而说明（2.9）式在r＝0处也是（2.2）式的解。
一、推测求解
势 ，不是所有电荷在同一时刻的电荷密度激发的，
而是在不同的时刻的电荷激发的。
1
4 0
(x , t
r
r c
)
dV
二、讨论
4、推迟时间
电荷产生的物理作用不能立刻传到观察点，而 是在较晚的时刻才能传到观察点，所推迟的时间 r
c
正是电磁作用从电荷所在点x′传到观察点x所用的时 间，也叫做推迟时间。
二、讨论
2u r 2
1 c2
2u t 2
0
（2.6）
一、推测求解
这是一维空间的齐次波动方程。它的通解为
u(r ,t) f (t r ) g(t r )
c
c
其中f和g是两个任意的函数。
（2.7）
f (t r ) g(t r )
(r ,t)
c
c
r
r
（2.8）
一、推测求解
(2.8)式中的第一项，是沿r方向传播的球面波，即 向外发射的波；第二项是沿-r方向传播的球面波， 即向内收敛的波。
第五章 电磁波的辐射
§2 推迟势
一、推测求解 二、讨论
达朗贝尔方程为
2A
1 c2
2A t 2
0J
2
1 c2
2
t 2
0
式中ρ＝ρ(x,t)是空间的电荷密度，J是电流密度。
而且A和 还应该满足洛仑兹规范条件
A
1 c2
t
0
一、推测求解
设想在坐标原点处有一个假想的变化的点电荷 Q(t)，其电荷密度
一、推测求解
u(r ,t)
r
只要求出相因子u，即可得到 。
r
r
(u ) r
1 r2
[r
u r
u]
r 2 r u u
r r
（2.5）
一、推测求解
1 r2
r
[r
2
]
r
1 r2
r
[r
u r
u]
1 r2
( u r
r
2u r 2
u ) r
1 r
2u r 2
2
t 2
1 r
2u t 2
E A
t
B A
0 4
[
1 r
J
1 J r
]dV
0 4
J r
dV
0 1J dS
4 S r
一、推测求解
对整个空间积分，J与dS′垂直，因而积分为0。
A
1 c2
t
0
二、讨论
研究我们得到的结果
Q(t r )
(r ,t)
c
4 0r
(2.9)
二、讨论
(x,t)
1
4 0
(x , t
r
r c
)
dV
A(x ,t )
例1、坐标原点的电荷在t 时刻 有一个扰动。
例2、太阳到我们地球的平均距 离是1.49×1011 m.光的传播速 度为 c＝3.0×108m/s从太阳 发出的光到达地球所用的时间为
1.49 1011 3.0 108
498
秒≈8.3分
二、讨论
场点的状态比源的状态推迟了。这种现象叫做 推迟现象，这样的势叫做推迟势。