4.数字高程模型GRD建模与内插

1
2 3 4
线性
二次抛物面 三次曲面 四次曲面
2
3 4 5
5
五次曲面
6
某一特定建模程序在建立实际表面时，一般只使用函数中的其 中几项，并不一定需要这个函数中的所有各项，而某一项的选择由 系统设计者或实现者决定。只有在极少数情况下，才有可能由用户 决定使用哪几项来建立某一特定地形的模型。
基于点的表面建模
模型内插概述（2）
模型内插的两个应用需求：
① 将离散型分布的数据点转化成规则格网分布的数值，即 离散数据的网格化； ② 使原始数据更加满足应用的要求，需要加密数据。
模型内插的特点：
要求保形甚于光滑(保凸性)
模型内插的实质：
实施插值运算，也就是以取样点为已知数据，用一定的数学 方法进行插值加密，也就是插值逼近或曲面拟合；内插的中 心问题是邻域的确定和选择适当的插值函数。
函数形式 ：
Z = a0 + a1X + a2Y
a0，a1，a2可以根据三个已知参考点如P1(x1，y1，z1)， P2(x2， y2，z2)， P3(x3，y3，z3)计算求得。这三个参数可以根据下面的式
子进行严密计算：
3.2、双线性内插
基本思路：
使用最靠近插值点的四个已知数据点组成一个四 边形,确定一个双线性多项式来内插待插点的高程。 基于格网的内插广泛采用这种方法。
三次曲面： Q3(x,y,xi,yi)=C+[(x-xi) 2 + (y-yi)2] 3/2 旋转面： Q4(x,y,xi,yi)=1－Di2/a2 多面叠加一个重要的优点是如果希望对地形增加各种 约束和限制,则可以设计某一函数将其增加到多面叠加的函 数体内。
3.5、最小二乘拟合法
也即趋势面分析法 趋势面分析法是用一定的函数对空间现象的空间分布 特征进行分析，用函数所代表的数学表面来逼近(或拟 合)现象的实际表面——这种数学表面叫趋势面。 总之，趋势面分析就是用多项式方程来近似的拟合
函数形式 ：
Z=f(x,y)=a0+a1x+a2y+a3xy
a0,a1,a2,a3, 可 以 通 过 四 边 形 的 4 个 顶 点 P1(x1 ， y1,z1), P2(x2,y2,z2),P3(x3,y3,z3)，P4(x4,y4,z4) 的抽样数值代入上式即可。
双线性多项式曲面插值
xP yP y P xP xP y P xP y P Z P Z 4 (1 )(1 ) Z 3 (1 )( ) Z 2 ( )( ) Z1 (1 )( ) L L L L L L L L
二维平面的不规则镶嵌数据模型：
用相互关联的不规则形状与边界的小面块集合来逼近不规则 分布的地形表面。
一、DEM地形表面重建的数学机理
DEM实现地形起伏的数字化表示，其对地形的模拟程度取决于地形 采样点的分布、地形的空间分布特征以及模拟方法。
三维空间分布的地形常借助二维空间建模来描述（如等高线地形图），
地形特征理解
2、模型整体内插
整体内插：在整个研究区域用一个数学曲面函数来逼近地形表面
模型整体内插原理
特点：
就是在整个研究区域用一个数学曲面函数来逼近区域 的局部特性，因此常被用于模拟大范围内的宏观变化趋势。
主体函数：
要求地形采样点的数目等于或大于多项式的系数个数，分 别对应纯二维插值和曲面拟合插值。
基本思路 ：
常用内插方法：
不同的分块单元可采用不同的内插函数，常用的内插方 法有线性内插、双线性内插、多项式内插、样条函数内插、 多层曲面叠加内插等。
主要优点：
采用局部函数内插 ，在陆地表面随机划出一个范围,范 围的面积愈小,内部的起伏变化会愈简单，可用简单曲面函 数较好描述地形曲面。
分块内插原理
对每三个数据点建立一平面三角形。 整个DEM表面可由一系列相互连接的相邻三角形组成。 能容易地融合断裂线、生成线或其他任何数据。
回顾：格网DEM生产流程
内插和外推
内插:在已观测点的区域内估算未观测点的数据的过程； 外推:在已观测点的区域外估算未观测点的数据的过程——预测。
内插
外推
空间插值的理论假设
主要用途：
在使用某种局部内插方法对区域进行内插前，从数据中去 除一些不符合总体趋势的宏观地物特征或用于粗差检测。
整体内插的缺点
DEM通常不采用整体内插法,原因在于： 整体内插保凸性较差：大范围内的地形很复杂， 用整体内插法若选取参考点个数较少时，不足以 描述整个地形；而若选用较多的参考点则多项式 易出现振荡现象，导致保凸性较差。 很难获得稳定的数值解: 高阶线性方程组结算时 的计算舍入误差和采样误差会引起高阶多项式系 数的极大变化。 高阶多项式系数无明显物理意义。 不能提供区域的局部地形特征。
第五讲、 DEM表面内插方法
DEM地形表面重建的数学机理 模型内插概述 模型整体内插方法 模型分快内插方法 模型逐点移面内插方法 模型内插的效率问题 基于内插的GRD模型生成
一、DEM地形表面重建的数学机理
（----回顾：二维平面的镶嵌数据模型）
二维平面的规则镶嵌数据模型：
用规则的小面块集合来逼近不规则分布的地形表面。
空间插值的理论假设是：空间位置上越靠近的点，越可
能具有相似的特征值，而距离越远的点，其特征值相似的
可能性越小。空间插值方法正是依据该假设设计的，分为 整体插值方法和部分插值方法两类。 ●整体插值：用研究区域所有采样点的数据进行全区域 特征拟合，如边界内插法、趋势面分析等。 ●部分插值：仅仅用邻近的数据点来估计未知点的值， 如最邻近点法(泰森多边形方法)、移动平均插值方法(距离 倒数插值法)、样条函数插值方法、空间自协方差最佳插值
基于格网的表面建模
使用多项式中的前三项与a3XY项，4点确定一个双线性
表面。
正方形格网为最佳的选择。 常用于处理覆盖平缓地区的全局数据。 不适合有陡峭斜坡和大量断裂线等地形形态的地区。 建模所需要的最少高程点的数目由多项式的项数决定。
基于三角形的表面建模
是数字高程模型表面建模的主要方法之一。
使用通用多项式的前三项来建立DEM表面。
3、分块内插
分块内插：将地形区域按一定的方法进行分块,对每一个 分块根据地形曲面特征单独进行曲面拟合和高程内插。
分块内插原理
分而治之－－把需要建立数字高程模型的地形区域按一 定的方法进行分块（切割成有一定尺寸的规则分块,形状通 常为正方形；它的尺寸根据地区地貌复杂程度和数据源的比 例尺选定）,对每一个分块根据地形曲面特征单独进行曲面 拟合和高程内插。 重点在于如何分块并保证各分块的连续性。
C1 C 2 C 3 C c4 C 5 c6
xi 2wi xi wi xi yi wi
2
xi 3 yi wi xi w2i xi yi wi
yi wi xi 2yi wi yi wi
2
xi 2yi wi xi 3 yi wi yi wi
16个点
3.4、多面函数内插
基本思路：
任何一个规则的或不规则的连续曲面均可以由若 干个简单面(或称单值数学面)来叠加逼近。 在每个数据点上建立一个曲面,然后在Z方向上将 各个曲面按一定比例叠加成一张整体的连续曲面,使 之严格地通过各个数据点。
函数表达 ：
Q(x,y,xi,yi)为参加插值计算的简单数学面,又称多面函数的核函数; n为简单数学面的张数,或多层叠加面的层数,它的值与分块扩充范围内参考点 的个数相等; Ki(i=1,2,3,..,n)为待定参数,它代表了第i个核函数对多层叠加面的贡献。
DEM表面重建通用多项式
独立项 Z = a0 项次 0 表面性质 平面 项数 1
+ a 1 X + a2 Y
+ a3XY + a4X2 + a5Y2 + a6X3 + a7Y3 + a8X Y2 + a9X2 Y
+ a10X4 + a11Y4 + a12X3Y + a13X2Y2+ a14XY3 + a15X5 + a16Y5 + …
是数字高程模型中最简单的数据组织形式。
只使用多项式的零次项来建立DEM表面。
对每一数据点都可建立一水平平面。 通过测量直接获取地球表面的原始或没有被整理过的数据。 采用点往往是非规则网离散分布的地形特征点。 特征点之间相互独立，彼此没有任何联系。 所建立表面的不连续性，因而并不是一种真正实用的方法。
将内插点周围的16个点的数据带入多项式，可计算出所有的系数。
C 00 C 10 C 20 C 30
C 01 C11 C 21 C 31
C 02 C 12 C 22 C 32
C 03 C13 C 23 C 33
1 y y2 3 y
利用局部范围内的已知采样点的数据内插 出未知点的数据。
具体方式： 1、线性内插； 2、双线性多项式内插； 3、双三次多项式(样 条函数)内插。 4、多面函数内插
3.1、线性内插
基本思路：
使用最靠近插值点的三个已知数据点，确定一个 平面，继而求出内插点的高程值。基于TIN的内插广 泛采用这种简便的方法。
3.3、样条函数内插
算法来源：
为保证各分块曲面间的光滑性,按照弹性力学条 件使所确定的n次多项式曲面与其相邻分块的边界上 所有n-1次导数都连续。
方格网数据点条 件下 ：
样条函数内插
双三次多项式函数形式：
z 1, x, x , x
2

3

是一种分段函数,每次只用少量的数据点，故内 插速度很快；样条函数通过所有的数据点，故可 用于精确的内插；可用于平滑处理。