4.数字高程模型GRD建模与内插

3、分块内插
分块内插：将地形区域按一定的方法进行分块,对每一个 分块根据地形曲面特征单独进行曲面拟合和高程内插。
分块内插原理
分而治之－－把需要建立数字高程模型的地形区域按一 定的方法进行分块（切割成有一定尺寸的规则分块,形状通 常为正方形；它的尺寸根据地区地貌复杂程度和数据源的比 例尺选定）,对每一个分块根据地形曲面特征单独进行曲面 拟合和高程内插。 重点在于如何分块并保证各分块的连续性。
是数字高程模型中最简单的数据组织形式。
只使用多项式的零次项来建立DEM表面。
对每一数据点都可建立一水平平面。 通过测量直接获取地球表面的原始或没有被整理过的数据。 采用点往往是非规则网离散分布的地形特征点。 特征点之间相互独立，彼此没有任何联系。 所建立表面的不连续性，因而并不是一种真正实用的方法。
多面函数内插的核函数
为了计算方便,多层叠加面中的n个核函数一般选用同 一类型的简单函数,通常是围绕竖向轴旋转的曲面,这条竖 轴正好通过某一参考点, 锥面： Q1(x,y,xi,yi)=C + [(x-xi) 2 + (y-yi)2] 1/2
双曲面： Q2(x,y,xi,yi)=[(x-xi) 2 + (y-yi)2 + 6] 1/2
利用局部范围内的已知采样点的数据内插 出未知点的数据。
具体方式： 1、线性内插； 2、双线性多项式内插； 3、双三次多项式(样 条函数)内插。 4、多面函数内插
3.1、线性内插
基本思路：
使用最靠近插值点的三个已知数据点，确定一个 平面，继而求出内插点的高程值。基于TIN的内插广 泛采用这种简便的方法。
基本思路 ：
常用内插方法：
不同的分块单元可采用不同的内插函数，常用的内插方 法有线性内插、双线性内插、多项式内插、样条函数内插、 多层曲面叠加内插等。
主要优点：
采用局部函数内插 ，在陆地表面随机划出一个范围,范 围的面积愈小,内部的起伏变化会愈简单，可用简单曲面函 数较好描述地形曲面。
分块内插原理
函数形式 ：
Z=f(x,y)=a0+a1x+a2y+a3xy
a0,a1,a2,a3, 可 以 通 过 四 边 形 的 4 个 顶 点 P1(x1 ， y1,z1), P2(x2,y2,z2),P3(x3,y3,z3)，P4(x4,y4,z4) 的抽样数值代入上式即可。
双线性多项式曲面插值
xP yP y P xP xP y P xP y P Z P Z 4 (1 )(1 ) Z 3 (1 )( ) Z 2 ( )( ) Z1 (1 )( ) L L L L L L L L
函数形式： H ＝ f (x，y)
但单值光滑连续的函数难以表征各种不满足单值光滑连续函数条件的 特征地貌如断裂线、绝壁、尖峰等。
局部化： 借助二维平面的镶嵌数据模型将复杂的地形曲面按某种法则分割 划分成满足单值、连续的局部地形表面。
数字高程模型实质就是一个分片的曲面（平面）模型， 数学特征有两点： 单值性（2.5维）、表面连续但不一定 光滑。
对每三个数据点建立一平面三角形。 整个DEM表面可由一系列相互连接的相邻三角形组成。 能容易地融合断裂线、生成线或其他任何数据。
回顾：格网DEM生产流程
内插和外推
内插:在已观测点的区域内估算未观测点的数据的过程； 外推:在已观测点的区域外估算未观测点的数据的过程——预测。
内插
外推
空间插值的理论假设
基于格网的表面建模
使用多项式中的前三项与a3XY项，4点确定一个双线性
表面。
正方形格网为最佳的选择。 常用于处理覆盖平缓地区的全局数据。 不适合有陡峭斜坡和大量断裂线等地形形态的地区。 建模所需要的最少高程点的数目由多项式的项数决定。
基于三角形的表面建模
是数字高程模型表面建模的主要方法之一。
使用通用多项式的前三项来建立DEM表面。
二维平面的不规则镶嵌数据模型：
用相互关联的不规则形状与边界的小面块集合来逼近不规则 分布的地形表面。
一、DEM地形表面重建的数学机理
DEM实现地形起伏的数字化表示，其对地形的模拟程度取决于地形 采样点的分布、地形的空间分布特征以及模拟方法。
三维空间分布的地形常借助二维空间建模来描述（如等高线地形图），
C1 C 2 C 3 C c4 C 5 c6
xi 2wi xi wi xi yi wi
2
xi 3 yi wi xi w2i xi yi wi
yi wi xi 2yi wi yi wi
2
xi 2yi wi xi 3 yi wi yi wi
16个点
3.4、多面函数内插
基本思路：
任何一个规则的或不规则的连续曲面均可以由若 干个简单面(或称单值数学面)来叠加逼近。 在每个数据点上建立一个曲面,然后在Z方向上将 各个曲面按一定比例叠加成一张整体的连续曲面,使 之严格地通过各个数据点。
函数表达 ：
Q(x,y,xi,yi)为参加插值计算的简单数学面,又称多面函数的核函数; n为简单数学面的张数,或多层叠加面的层数,它的值与分块扩充范围内参考点 的个数相等; Ki(i=1,2,3,..,n)为待定参数,它代表了第i个核函数对多层叠加面的贡献。
函数形式 ：
Z = a0 + a1X + a2Y
a0，a1，a2可以根据三个已知参考点如P1(x1，y1，z1)， P2(x2， y2，z2)， P3(x3，y3，z3)计算求得。这三个参数可以根据下面的式
子进行严密计算：
3.2、双线性内插
基本思路：
使用最靠近插值点的四个已知数据点组成一个四 边形,确定一个双线性多项式来内插待插点的高程。 基于格网的内插广泛采用这种方法。
空间插值的理论假设是：空间位置上越靠近的点，越可
能具有相似的特征值，而距离越远的点，其特征值相似的
可能性越小。空间插值方法正是依据该假设设计的，分为 整体插值方法和部分插值方法两类。 ●整体插值：用研究区域所有采样点的数据进行全区域 特征拟合，如边界内插法、趋势面分析等。 ●部分插值：仅仅用邻近的数据点来估计未知点的值， 如最邻近点法(泰森多边形方法)、移动平均插值方法(距离 倒数插值法)、样条函数插值方法、空间自协方差最佳插值
主要用途：
在使用某种局部内插方法对区域进行内插前，从数据中去 除一些不符合总体趋势的宏观地物特征或用于粗差检测。
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整体内插的缺点
DEM通常不采用整体内插法,原因在于： 整体内插保凸性较差：大范围内的地形很复杂， 用整体内插法若选取参考点个数较少时，不足以 描述整个地形；而若选用较多的参考点则多项式 易出现振荡现象，导致保凸性较差。 很难获得稳定的数值解: 高阶线性方程组结算时 的计算舍入误差和采样误差会引起高阶多项式系 数的极大变化。 高阶多项式系数无明显物理意义。 不能提供区域的局部地形特征。
DEM内插方法分类
数据分布
规则分布内插法 不规则分布内插法 等高线数据内插法 整体内插法 局部内插法 逐点内插法 纯二维内插 曲面拟合内插 多项式内插（线性插值、双线性插值、 高次多项式插值）
内插范围
DEM 内插曲面与采 样点关系
内 插
内插函数性质
样条内插法 有限元内插法 最小二乘配置内插法 Kriging法、多层曲面叠加内插法、 加权平均值内插、分形内插、 傅立叶级数内插法
3.3、样条函数内插
算法来源：
为保证各分块曲面间的光滑性,按照弹性力学条 件使所确定的n次多项式曲面与其相邻分块的边界上 所有n-1次导数都连续。
方格网数据点条 件下 ：
样条函数内插
双三次多项式函数形式：
z 1, x, x , x
2

3

是一种分段函数,每次只用少量的数据点，故内 插速度很快；样条函数通过所有的数据点，故可 用于精确的内插；可用于平滑处理。
将内插点周围的16个点的数据带入多项式，可计算出所有的系数。
C 00 C 10 C 20 C 30
C 01 C11 C 21 C 31
C 02 C 12 C 22 C 32
C 03 C13 C 23 C 33
1 y y2 3 y
地形特征理解
2、模型整体内插
整体内插：在整个研究区域用一个数学曲面函数来逼近地形表面
模型整体内插原理
特点：
就是在整个研究区域用一个数学曲面函数来逼近地形表 面，整体内插函数通常采用高次多项式。不能提供内插区域 的局部特性，因此常被用于模拟大范围内的宏观变化趋势。
主体函数：
要求地形采样点的数目等于或大于多项式的系数个数，分 别对应纯二维插值和曲面拟合插值。
1
2 3 4
线性
二次抛物面 三次曲面 四次曲面
2
3 4 5
5
五次曲面
6
某一特定建模程序在建立实际表面时，一般只使用函数中的其 中几项，并不一定需要这个函数中的所有各项，而某一项的选择由 系统设计者或实现者决定。只有在极少数情况下，才有可能由用户 决定使用哪几项来建立某一特定地形的模型。
基于点的表面建模
方法(克里金插值)等。
模型内插概述（1）
为何需要对模型进行内插?
1. 地球表面起伏不平，崎岖曲折，很难用一定数学规律 （曲面函数）来描述，只得借助于原始高程采样数据。 2. 数字高程模型原始样点(参考点)的位置和密度不一定能 满足专题应用的要求。
模型内插的数学基础：
数学基础是二元函数逼近，即利用已知离散点集的 三维空间坐标数据，展铺一张连续数学曲面，将任 一待求点的平面坐标代入曲面方程，可算得该点的 高程数值；实际是利用地形局部的光滑起伏，即邻 近采样点间的空间相关性。
模型内插概述（2）
模型内插的两个应用需求：
① 将离散型分布的数据点转化成规则格网分布的数值，即 离散数据的网格化； ② 使原始数据更加满足应用的要求，需要加密数据。
模型内插的特点：
要求保形甚于光滑(保凸性)
模型内插的实质：
实施插值运算，也就是以取样点为已知数据，用一定的数学 方法进行插值加密，也就是插值逼近或曲面拟合；内插的中 心问题是邻域的确定和选择适当的插值函数。
已知数据的点（Davis1986，Bailey等1995）。利用已
知数据建立的拟合方程叫趋势面模型，能够用来估算 其它点的数值。
3.5、最小二乘拟合法
根据一系列离散的已知数据点{xi，yi，zi}，采用按距离 加权的最小二乘法，为局部内插拟合一个曲面。如二次 多项式趋势拟合
f ( x, y) c00 c10 x c01 y c20 x 2 c11 xy c02 y 2
z值的误差方程为：
在最小二乘的意义下：
N i 1
Q wi f xi , yi z i wi vi wvv min
2 i 1
2
n
最小二乘拟合法
wi xi wi y w i i A xi yi wi x 2w i 2 i yi wi
DEM表面重建通用多项式
独立项 Z = a0 项次 0 表面性质 平面 项数 1
+ a 1 X + a2 Y
+ a3XY + a4X2 + a5Y2 + a6X3 + a7Y3 + a8X Y2 + a9X2 Y
+ a10X4 + a11Y4 + a12X3Y + a13X2Y2+ a14XY3 + a15X5 + a16Y5 + …
第五讲、 DEM表面内插方法
DEM地形表面重建的数学机理 模型内插概述 模型整体内插方法 模型分快内插方法 模型逐点移面内插方法 模型内插的效率问题 基于内插的GRD模型生成
一、DEM地形表面重建的数学机理
（----回顾：二维平面的镶嵌数据模型）
二维平面的规则镶嵌数据模型：
用规则的小面块集合来逼近不规则分布的地形表面。
三次曲面： Q3(x,y,xi,yi)=C+[(x-xi) 2 + (y-yi)2] 3/2 旋转面： Q4(x,y,xi,yi)=1－Di2/a2 多面叠加一个重要的优点是如果希望对地形增加各种 约束和限制,则可以设计某一函数将其增加到多面叠加的函 数体内。
3.5、最小二乘拟合法
也即趋势面分析法 趋势面分析法是用一定的函数对空间现象的空间分布 特征进行分析，用函数所代表的数学表面来逼近(或拟 合)现象的实际表面——这种数学表面叫趋势面。 总之，趋势面分析就是用多项式方程来近似的拟合