知识点20 二次函数在实际生活中应用

知识点20 二次函数在实际生活中应用

一、选择题 9．（2019·山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B 两点,拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米),跨径为90米,(即AB ＝90米),以最高点O 为坐标原点,以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系,则次抛物线型钢拱的函数表达式为( )

A.y ＝

26

675

x 2 B.y ＝26675

-

x 2 C.y ＝

13

1350

x 2 D.y ＝13

1350

-

x 2

第9题图 【答案】B

【解析】设二次函数表达式为y ＝ax 2,由题可知,点A 坐标为(－45,－78),代入表达式可得:－78＝a(－45)2,解得a ＝26675-

,∴二次函数表达式为y ＝26675

-x 2

,故选B.

三、解答题 22．（2019年浙江省绍兴市，第22题，12分 ）.有一块形状如图的五边形余料ABCDE ，AB=AE=6，BC=5，∠A=∠B=90°，∠C=135°，∠E ＞90°.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在AE 上，并使所截矩形的面积尽可能大.

（1）若所截矩形材料的一条边是BC 或AE ，求矩形材料的面积；

（2）能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不能，请说明理由.

【解题过程】

24．（2019·嘉兴）某农作物的生长率p 与温度t （℃）有如下关系：如图1，当10≤t ≤25时可近似用函数p ＝

t ﹣刻画；当25≤t ≤37时可近似用函数p ＝﹣

（t ﹣h ）2

+0.4刻画．

（1）求h 的值．

（2）按照经验，该作物提前上市的天数m （天）与生长率p 满足函数关系：

生长率p

0.2 0.25 0.3 0.35 提前上市的天数m （天）

5

10

15

①请运用已学的知识，求m 关于p 的函数表达式； ②请用含t 的代数式表示m ．

（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w （元）与大棚温度t （℃）之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．

【解题过程】（1）把（25,0.3）的坐标代入21

()0.4160

p t h =-

-+，得h =29或h =21. ∵h >25，∴h =29.

（2）①由表格可知m 是p 的一次函数，∴m=100p-20.

②当1025t ≤≤时，p=

11505t -，∴m=11

100()20505t --=2t-40. 当2537t ≤≤时，21

(29)0.4160

p t =--+.

∴m=21100[(29)0.4)]20160t --+-=25

(29)208

t --+

（3）（I ）当2025t ≤≤时，由（20，200），（25，300），得20200w t =-

∴增加利润为600m+[200×30-w （30-m ）]= 2406004000t t --. ∴当t=25时，增加利润的最大值为6000元. （II ）当2537t ≤≤时，300w =. 增加利润为

600m+[200×30-w （30-m ）]= 25900()(29)150008t ⨯-⨯-+=21125

(29)150002

t -

-+ ∴当t=29时，增加利润的最大值为15000元.

综上所述，当t=29时，提前上市20天，增加利润的最大值为15000元. 22．（2019山东省青岛市，22，10分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求该商品每天的销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；

（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利

润w （元）最大？最大利润是多少？

（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【解题过程】解：（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y kx b =+， 将点(30,100)、(45,70)代入一次函数表达式得：100307045k b k b =+⎧⎨=+⎩，

解得：2

160k b =-⎧⎨=⎩

，

故函数的表达式为：2160y x =-+；

（2）由题意得：2(30)(2160)2(55)1250w x x x =--+=--+，

20-

， ∴当50x =时，w 由最大值，此时，1200w =，

故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元； （3）由题意得：(30)(2160)800x x --+…，

解得：70x „，

∴每天的销售量216020y x =-+…，