第五章概率论

1 n lim P(| ∑Xi − µ |< ε ) =1 n→∞ n i=1
5.2
在客观实际中有许多随机变量, 在客观实际中有许多随机变量, 它们是由 大量的相互独立的随机因素的综合影响所形 成的. 成的. 而其中每一个别因素在总的影响中所 起的作用都是微小的. 起的作用都是微小的. 这种随机变量往往近 似地服从正态分布. 似地服从正态分布. 这种现象就是中心极限 定理的客观背景. 定理的客观背景.
, 则称 随机变量序列 Y ,Y2 ,⋯ Yn ,⋯ 依概率 1
收敛于常数 a , 记作 P Yn a →
n→ ∞
切比雪夫大数定律 切比雪夫
设随机变量 序列X1, X2 ,⋯, Xn ,⋯相互独立， (指任意给定 n > 1, X1, X2 ,⋯, Xn 相互独立) 且具有相同的数学期望和方差
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例 一加法器同时收到20个噪声电压 一加法器同时收到20个噪声电压 Vk(k=1,2,...,20), 设它们是相互独立的随机变 量, 且都在区间(0,10)上服从均匀分布, 记 且都在区间(0,10)上服从均匀分布, V=V1+V2+...+V20, 求P(V>105)的近似值. +...+V >105)的近似值. 解 易知E(Vk)=5, D(Vk)=100/12(k=1,2,...,20). 则 E(V)=E(V1+...+V20)=E(V1)+...+E(V20)=100, D(V)=D(V1+...+V20)=D(V1)+...+D(V20)=1000/6, 根据中心极限定理, 近似有 V~N(100, 1000/6).
例 对于一个学生而言, 对于一个学生而言, 来参加家长会的家长人 数是一个随机变量, 设一个学生无家长, 1名家长, 数是一个随机变量, 设一个学生无家长, 1名家长, 2名家长来参加会议的概率分别为0.05, 0.8, 0.15. 名家长来参加会议的概率分别为0.05, 若学校共有400名学生, 若学校共有400名学生, 设各学生参加会议的家 长数相互独立, 且服从同一分布. 长数相互独立, 且服从同一分布. (1)求参加会议的家长数X超过450的概率; (1)求参加会议的家长数 超过450的概率; (2) 求有一名家长来参加会议的学生数不多于 340的概率. 340的概率.
0
60
120 x
独立同分布中心极限定理 独立同分布， 设 X1,X2, …,Xn, …独立同分布，具有有限 独立同分布 数学期望和方差： 数学期望和方差：E(Xi) =µ,D(Xi) =σ2， i=1,2, …，则有 ，
∑X − nµ
lim P{
n→∞ i=1 i
n
σ n
≤ x} = ∫
x
-∞
1 -t2 2 e dt = Φ(x) 2π
二项分布的随机变量可看作许多相互独立的0 二项分布的随机变量可看作许多相互独立的0-1分 布的随机变量之和, 下面是当x (20,0.5)时 布的随机变量之和, 下面是当x~B(20,0.5)时, x的概 率分布图
P
0.2 0.15 0.1 0.05 0
泊松分布相当于二项分布中p很小n很大的分布, 泊松分布相当于二项分布中p很小n很大的分布, 因 此, 参数l=np当很大时也相当于n特别大, 这个时候 参数l np当很大时也相当于n特别大, 泊松分布也近似服从正态分布, 下面是l=30时的泊 泊松分布也近似服从正态分布, 下面是l=30时的泊 松概率分布图. 松概率分布图.
D( X )
ε2
σ2 = 2 ε
为随机变量,已知 例 设X为随机变量 已知 为随机变量 已知E(X)=µ, D(X)=σ2 ,试用切比雪夫不等式估计 试用切比雪夫不等式估计 试用 P(|X-µ|≥3σ). 解:
D( X ) σ 2 1 P( X − µ ≥ 3σ ) ≤ = 2 = ≈ 0.111 2 (3σ ) 9σ 9
V~N(100, 1000/6). 于是
105 −100 V −100 P{V > 105} = P > 1000 / 6 1000 / 6 V −100 = P > 0.387 1000 / 6 V − 100 = 1− P ≤ 0.387 1000 / 6 ≈ 1−Φ(0.387) = 0.348
不一定有相同的数学
2 k 2
期望与方差，可设
E( Xk ) = µk , D( Xk ) = σ ≤ σ , k =1,2,⋯
1n 1n 有 limP ∑Xk − ∑µk ≥ ε = 0 n→∞ n k=1 n k=1
贝努利大数定律 次独立试验中事件A发生的 次数,p 设nA是n次独立试验中事件 发生的 次数 次独立试验中事件 是事件A在每次试验中发生的概率 则对任 是事件 在每次试验中发生的概率,则对任 在每次试验中发生的概率 给的ε> 0,有 有
σ2 P{| X − µ |≥ ε} ≤ 2 ε 证:
P( X − µ ≥ ε ) = ≤
x− ≥
σ2 即 P{| X − µ |< ε} ≥1− 2 ε
(x − µ)2
x− ≥
∫ ε f (x)dx ≤ ∫ ε µ µ
ε
2
f (x)dx
ε 2 ∫−∞
1
∞
(x − E( X ))2 f (x)dx =
nA n “ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生
的概率是指：
nA nA 频率 与 p 有较大偏差 − p ≥ ε 是 n n
小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频 率近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定.
辛钦大数定律 独立同分布， 设 X1,X2, …,Xn, …独立同分布，具有有限 独立同分布 数学期望和方差： 数学期望和方差：E(Xi) =µ,D(Xi) =σ2， i=1,2, …，则对任意的 ，有 ，则对任意的ε>0，
nA lim P{| − p |< ε} =1 n→∞ n
证: 因为nA~B(n,p), 有 因为n nA=X1+X2+...+Xn +...+X 其中X 其中X1,X2,...,Xn相互独立, 且都服从以p为参数的(0-1) ,...,X 相互独立, 且都服从以p为参数的(0分布因而E )=p 分布因而E(Xk)=p, D(Xk)=p(1-p) (k=1,2,...,n) 得 )=p(1- (k=1,2,...,n
ε 证 仅证连续型随机变量的情形
P( X ≥ ε ) = ∫ε f (x)dx ≤ ∫
≤
+∞
+∞
P( X ≥ ε ) ≤
E( X )
x
ε
ε ∫0
1
+∞
ε
f (x)dx
ε
xf (x)dx =
E(X )
切比雪夫不等式 设随机变量X有数学期望 和方差σ 设随机变量 有数学期望μ和方差 2，则对 于任给ε>0,有 于任给 有
x nA − np 1 lim P{ ≤ x} = ∫ e dt = Φ(x) −∞ n→∞ np(1− p) 2π t2 − 2
例 一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次波浪的 一船舶在某海区航行, 冲击, 纵摇角大于3 的概率为p 冲击, 纵摇角大于3º的概率为p=1/3, 若船舶遭受了 90000次波浪冲击, 问其中有29500~30500次纵摇角 90000次波浪冲击, 问其中有29500~30500次纵摇角 大于3 的概率是多少? 大于3º的概率是多少? 解: 将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次试 验, 并假定各次试验是独立的. 在90000次波浪 冲击中纵摇角度大于3º的次数记为X, 则X是一 个随机变量, 且有X~B(90000, 1/3). 则 E(X)=np=90000×(1/3)=30000, D(X)=np(1−p)=90000×(1/3)×(2/3)=20000.
0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 P
在χ2(n)分布中, 如果自由度n很大, 也可以认为是多 (n)分布中, 如果自由度n很大, 个自由度为1 个自由度为1的相互独立的χ2(1)分布的随机变量的 (1)分布的随机变量的 (60)的概率 和, 因此也近似服从正态分布. 下面是χ2(60)的概率 因此也近似服从正态分布. 密度曲线. 密度曲线.
E( Xk ) = µ, D( Xk ) = σ , k =1,2,⋯ 则 ∀ε > 0 有
2
或
1n limP ∑Xk − µ ≥ ε = 0 n→∞ n k=1 1 n limP ∑Xk − µ < ε =1 n→∞ n k=1
证 由于
1 n 1 n 1 E ∑Xk = ∑E( Xk ) = ⋅ nµ = µ, n n k=1 n k=1 1 n 1 n 1 σ2 D ∑Xk = 2 ∑D( Xk ) = 2 ⋅ nσ 2 = , n n n k=1 n k=1
即有 P{V>105}≈0.348. >105}≈
二项分布中心极限定理 设随机变量n 次贝努利试验中事件A出 设随机变量 A为n次贝努利试验中事件 出 次贝努利试验中事件 现的次数,p是每次试验中事件 发生的概率 现的次数 是每次试验中事件A发生的概率 是每次试验中事件 发生的概率, 即nA~B(n, p)(0<p<1)，则对任意 ，有 ( ) 则对任意x，
1 n lim P ∑Xk − µ < ε = 1. n→∞ n k=1
定理的意义
具有相同数学期望和方差的独立 随机变量 序列的算术平均值依概率收敛于数学期望. 当 n 足够大时, 算术平均值几乎是一常数.
数学 算术 可被 近似代替 期望 均值
注
X1, X2 ,⋯ Xn ,⋯ ,
第五章 大数定律与中心极限定理
本章要解决的问题 1. 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？ 2. 为何能以样本均值作为总体 期望的估计？ 3. 为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？ 4. 大样本统计推断的理论基础 是什么？ 答复 大数 定律
中心极 限定理
重要不等式 设非负随机变量 X 的期望 E( X )存在， 则对于任意实数 ε > 0,
7002 8 σ2 P{| X − 7300|< 2100} ≥1− 2 =1− = 2 ε 2100 9
5.1
定义 设 Y1,Y2 ,⋯,Yn ,⋯ 是一系列随机变量， 若 a 是一常数， ∀ε > 0 有
(或
limP(Yn − a < ε ) =1 )
n→∞
n→∞
lim P( Yn − a ≥ ε ) = 0
由契比雪夫不等式可得
2 1 n σ /n P ∑Xk − µ < ε ≥ 1− n k=1 ε2
1 σ /n P ∑Xk − µ < ε ≥ 1− 2 n k=1 ε
n 2
在上式中令n→∞, 并注意到概率不能大于1, 在上式中令n→∞, 并注意到概率不能大于1, 即得
1 lim P ( X1 + X2 +⋯+ Xn ) − p < ε = 1, n→∞ n nA 即 lim P − p < ε = 1. n→∞ n
贝努利 Bernoulli)大数定律的意义 贝努利(Bernoulli)大数定律的意义
在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率
E(X)=30000, D(X)=20000,
因此, 根据中心极限定理, 因此, 根据中心极限定理, 近似有 X~N(30000, 20000), 则
P{29500 ≤ X ≤ 30500} 29500 − 30000 X − 30000 = P ≤ 20000 20000 30500 − 30000 ≤ 20000 ≈Φ(5 2 / 2) −Φ(−5 2 / 2) = 0.9995
已知正常男性成人血液中， 例 已知正常男性成人血液中，每一毫升 白细胞数平均是7300，均方差是 白细胞数平均是 ，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细 胞数在5200~9400之间的概率 . 胞数在 之间的概率 解:
µ=7300，D( X )=σ =700， ε =9400-7300=7300-5200=2100