江苏南师附中2021届高三年级联考试题(数学)
【数学】江苏省南京师范大学附属中学2021届高三高考模拟试卷(解析版)
故选：C．
6．若 ，则实数λ的值为（ ）
A．3B． C．2D．4
【答案】D
【解析】由 ，
得 ＝ ＝ ＝ ，
所以 ，
即λsin40°＝2 cos20°﹣2sin20°＝4sin（60°﹣20°）＝4sin40°，
所以λ＝4．
故选：D．
7．已知矩形ABCD，AB＝1，AD＝2，点E为BC边的中点将△ABE沿AE翻折，得到四棱
A．△ABF2的周长为4a
B．若AB的中点为M，则
C．若 ，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若AB的最小值为3c，则椭圆的离心率
【答案】AC
【解析】 ，A正确；
设A（x1，y1），B（x2，y2），M ，
有 ， ，
由 ，，作差得： ，所以 ，
则有 ，B错误；
，
则有a2﹣2c2≤3c2≤a2﹣c2，可得 ，C正确；
f（2020）+f（2021）＝cos（2020π+ ）+cos（2021π+ ）
＝cos +cos ＝0，故D正确，
故选：BCD．
11．已知椭圆C： （a＞b＞0）的左，右两焦点分别是F1，F2，其中F1F2＝2c．直
线l：y＝k（x+c）（k∈R）与椭圆交于A，B两点．则下列说法中正确的有（ ）
有f（﹣x）＝cos（﹣x）ln（ ﹣x）＝﹣cosxln（ +x）＝﹣f（x），
则f（x）为奇函数，排除CD，
在区间（0， ）上，cosx＞0， +x＞1，ln（ +x）＞0，则f（x）＞0，
排除A，
故选：B．
5．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群该塔群随山
2021届江苏省南京师大附中高三上学期12月模拟数学试题(解析版)
2021届江苏省南京师大附中高三上学期12月模拟数学试题一、单选题1．已知集合{}42M x x =-<<，{}2560N x x x =--<，则M N ⋃=（ ） A ．{}42x x -<< B ．{}42x x -<< C ．{}46x x -<< D ．{}26x x <<【答案】C【分析】根据不等式的解法，求得集合{}16N x x =-<<，结合集合并集的运算，即可求解.【详解】由不等式256(6)(1)0x x x x --=-+<，解得16x -<<，即{}16N x x =-<<，又由{}42M x x =-<<，所以M N ⋃={}46x x -<<. 故选：C.2．若2z i =+，则22z z -=（ ）A ．0BCD 【答案】B【分析】计算出22z z -，然后根据复数模的计算方法可得结果. 【详解】由2z i =+，所以2222434z i i i =++=+ 所以()23422122z z i i i +-⨯+=--+=故2212z z i -=-+==故答案为：B3．已知,a b ∈R ，下列四个条件中，使a b <成立的充分不必要的条件是（ ） A ．1a b <- B ．1ab +C ．22a b <D ．33a b <【答案】A【分析】根据充分不必要条件的定义，逐一分析给定四个选项与a b <的关系，可得答案．【详解】解:A 选项: 因为1a b a b <-⇒<,1a ba b <<-所以1a b <-是a b <的充分不必要条件； B 选项:因为1ab a b +<,且1a b ab <+,所以1ab +是a b <的既不充分也不必要条件； C 选项:22a b a ba b <⇒<<，且22a ba b <<，所以22a b <是a b <的既不充分也不必要条件；D 选项33b a a b <⇔<，所以33a b <是a b <的充要条件； 故选:A4．赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为α，则tan2α的值为（ ）A ．34B ．2425C ．127D ．247【答案】D【分析】首先根据题意设三角形较短的直角边为x ，则较长的直角边为1x +，从而得到()22125x x ++=，即可得到3x =，再计算tan α，tan2α即可. 【详解】设三角形较短的直角边为x ，则较长的直角边为1x +， 所以()22125x x ++=，解得3x =或4x =-（舍去）. 所以3tan 4α=，22tan 24tan 21tan 7ααα==-. 故选：D5．函数ln ||()x f x x x=-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】判断函数的定义域和奇偶性，利用对称性和函数值的符号进行排除即可． 【详解】解：函数的定义域为{|0}x x ≠， ||()()ln x f x x f x x-=-+=-，则()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除BC ， 当0x >时，2()lnx x lnxf x x x x-=-=， 当0x >时，令()2g x x lnx =-，()22221212x x x g x x x x x⎛- -⎝⎭⎝⎭'=-==，当22x >时()0g x '>，即()g x 在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，当202x <<时()0g x '<，即()g x 在20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，所以22x =时函数取得极小值，即最小值，()2min22211ln 2022g x g ln ==-=+>⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2x lnx >恒成立； 则此时()0f x >恒成立，排除D ， 故选：A ．6．已知随机变量X 的概率分布如表所示. X -1a1P16 1312当a 在(1,1)-内增大时，方差()D X 的变化为（ ） A ．增大 B ．减小 C ．先增大再減小 D ．先减小再增大【答案】D【分析】求出期望与方差，即可判断方差的单调性．【详解】解：由分布列可得1111()11(1)6323E X a a =-⨯+⨯+⨯=+，所以222111111()[1(1)][(1)][1(1)]363332D X a a a a =--+⨯+-+⨯+-+⨯21(225)9a a =-+， 所以当a 在1(1,)2-内增大时，()D X 减小， 当a 在1(2，1)内增大时，()D X 增大．故选：D ．7．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，连接AC ，MN 交于点P .已知13AP AC =且34AM AB =，若AN AD λ=，则实数λ的值为（ ） A ．12B ．35C ．23D ．34【答案】B【分析】由条件可知43AB AM =，1AD AN λ=，因为13AP AC =，代入AB 和AD ，利用三点共线，系数和为1，可求出λ的值. 【详解】34AM AB =，则43AB AM = AN AD λ=，则1AD AN λ=1141()3393AP AC AB AD AM AN λ==+=+ ∵P ，M ，N 共线，∴41193λ+=，∴35λ= 故选：B.【点睛】思路点睛：（1）点为两直线的交点，可利用向量共线的方法，先利用一条向量共线求出等量关系，再代入另一条向量共线，根据系数和为1，可求出参数值. （2）若,,P B D 三点共线，点A 为线外一点，则有AP AB AD λμ=+，且1λμ+=. 8．三棱锥A BCD -中，60ABC CBD DBA ∠=∠=∠=︒，2BC BD ==，ACD △） A ．16π B ．4πC ．163π D ．323π 【答案】D【分析】利用三角形全等和三角形的面积公式求出高AE ，求解直角三角形得,AC AD ，利用余弦定理得出90ACB ADB ∠=∠=，可得AB 为三棱锥外接球的直径，即可求出外接球体积. 【详解】2BC BD ==，60CBD ∠=︒，2CD ∴=，又,60,AB AB ABC DBA BC BD ====，ABC ABD ∴≅，则AC AD =，取CD 中点E ，连接AE ，又由ACD △的面积为11，可得ACD △的高11AE =， 则可得23AC AD ==，在ABC 中，由余弦定理2222cos60AC AB BC AB BC ⋅⋅-=+，21124222AB AB ∴=+-⨯⨯⨯，解得4AB =，则222AC BC AB +=，可得90ACB ∠=，90ADB ∴∠=，,AC BC AD BD ∴⊥⊥，根据球的性质可得AB 为三棱锥外接球的直径，则半径为2， 故外接球的体积为3432233ππ⨯=. 故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查三棱锥外接球体积的求法，解题的关键是求出AB ，并判断出AB 为三棱锥外接球的直径.二、多选题9．某城市为了解景区游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2020年2月至7月A ，B 两景区旅游人数（单位：万人），得到如下的折线图，则下列说法正确的是（ ）A ．根据A 景区的旅游人数折线图可知，该景区旅游人数的平均值在[34,35]内B ．根据B 景区的旅游人数折线图可知，该景区旅游人数总体呈上升趋势C ．根据A ，B 两景区的旅游人数的折线图，可得A 景区旅游人数极差比B 景区大D ．根据A ，B 两景区的旅游人数的折线图，可得B 景区7月份的旅游人数比A 景区多 【答案】ABD【分析】由折线图计算可得平均值和极差，知AC 正误；根据折线图走势和7月份数值，知BD 正误.【详解】对于A ，A 景区旅游人数平均值为[]14202645643634.234,356+++++≈∈，A 正确；对于B ，由B 景区折线图可知，该景区旅游人数逐月递增，即总体呈上升趋势，B 正确； 对于C ，A 景区极差为641450-=，B 景区极差为63261-=，B 景区极差大，C 错误；对于D ，B 景区7月份旅游人数为63万人，A 景区7月份旅游人数为36万人，可知B 景区7月份旅游人数比A 景区多，D 正确. 故选：ABD.10．已知F 为抛物线()220y px p =>的焦点，过点F 3的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点A 第一象限），交拋物线的准线于点C ，则下列结论正确的是（ ） A ．AF FC = B ．2AF BF =C ．3AB p =D ．以AF 为直径的圆与y 轴相切【答案】AD【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，则10y >，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，求出A 、B 的坐标，利用平面向量的坐标运算可判断A 选项的正误，利用抛物线的焦半径公式可判断BD 选项的正误，利用抛物线的焦点弦长公式可判断C 选项的正误.【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，则10y >，易知点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线l的方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，即2p x y =+，联立2322px y y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x2220py -=，10y >，解得1y =，23y p =-，所以，211322y x p p ==，同理可得216x p =，即点32p A ⎛⎫⎪⎝⎭、1,6B p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 对于A选项，联立322p x y px ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2p x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即点,2p C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以，(),AF p =-，(),FC p =-，则AF FC =，A 选项正确； 对于B 选项，122p AF x p =+=，112623BF p p p =+=，则2AF BF ≠，B 选项错误；对于C 选项，1283AB x x p p =++=，C 选项错误； 对于D 选项，2AF p =，线段AF的中点为,2M p p ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，点M 到y 轴的距离为p ， 所以，以AF 为直径的圆与y 轴相切，D 选项正确. 故选：AD.【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．11．下列命题正确的有（ ）A ．若a b c >>，0ac >，则()0bc a c ->B ．若0x >，0y >，2x y +=，则22x y +的最大值为4C ．若0x >，0y >，x y xy +=，则2x y xy ++的最小值为5+D ．若实数2a ≥，则12log (2)1a a a a +++<+ 【答案】ACD【分析】根据,,a b c 同号，由不等式性质可知A 正确；利用基本不等式可知B 错误；将已知等式变为111x y +=，由()1122323x y xy x y x y x y ⎛⎫++=+=++ ⎪⎝⎭配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可知C 正确； 构造函数()()ln 3xf x x x=≥，利用导数可确定()f x 单调递减，得()()21f a f a +<+，整理可得D 正确.【详解】对于A ，若0ac >，则ac 同号，又a b c >>，,,a b c ∴同号， 0bc ∴>，又0a c ->，()0bc a c ∴->，A 正确；对于B ，224x y +≥==（当且仅当22x y=，即1x y ==时取等号），22x y ∴+的最小值为4，B 错误；对于C ，x y xy +=，111x y∴+=，()11232223235x yx y xy x y x y x y x y x y y x ⎛⎫∴++=+++=+=++=++⎪⎝⎭55≥+=+（当且仅当23x y y x =时取等号），2x y xy ∴++的最小值为5+C 正确；对于D ，令()()ln 3x f x x x=≥，则()21ln 0-'=<xf x x ，()f x ∴在[)3,+∞上单调递减，当2a ≥时，213a a +>+≥，()()21f a f a ∴+<+，即()()ln 2ln 121a a a a ++<++，()()()1ln 22log 2ln 11a a a a a a +++∴+=<++，D 正确. 故选：ACD.【点睛】方法点睛：本题D 选项中涉及到对数式与分式的大小比较，可采用构造函数的方式，将问题转化为函数值大小关系的比较，利用函数的单调性确定大小关系. 12．在数学中，布莱维尔不动点定理是拓补学例一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．()2x f x x =+为不动点函数B ．2()3f x x x =--为不动点函数C ．221,1()2,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩为不动点函数D ．()ln 1f x x =-为不动点函数【答案】BC【分析】根据题中所给定义，只需判断f （x 0）＝x 0是否有解即可． 【详解】对于A ：当002xx +=x 0时，该方程无解，故A 不满足；对于B ：当2003x x --=x 0时，解得x 0＝3或x 0＝﹣1，满足定义，故B 满足； 对于C ：当x 0≤1时，2021x -=x 0时，解得x 0＝1或x 012=-，当x 0＞1时，|2﹣x 0|＝x 0时，无解，故C 满足；对于D ：当0ln 1x -=x 0时，构造函数y ＝lnx ﹣1﹣x ， ∵y ＝lnx ﹣1﹣x 其导函数为y ′1x =-11x x-=， ∴0＜x ＜1时原函数递增，x ＞1时原函数递减； 故函数最大值为：y 1＝ln 1﹣1﹣1＝﹣2＜0， 所以lnx ﹣1﹣x ＜0恒成立，故D 不满足， 综上，BC 均满足， 故选：BC ．三、填空题13．已知数列{}n a ，{}n b 满足2log ,n n b a n N +=∈，其中{}n b 是等差数列且1020112a a =，则122020b b b ++⋅⋅⋅+=______.【答案】1010【分析】依据数列{}n b 是等差数列，可知102011b b +，然后以及等差数列得性质计算可得结果.【详解】由题可知：1020112a a =，所以2102201110201220112110log log log log 21a a b b a a +=+===由数列{}n b 是等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+ 所以120202************...1b b b b b b +=+==+= 所以()12202010201110101010b b b b b ++⋅⋅⋅+=⨯+= 故答案为：101014．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线与圆22:(3)8M x y -+=相交于A 、B两点，||AB =______.【分析】设双曲线的渐近线方程为y kx =，其中bk a=±，利用勾股定理可求得k 的值，即可求得b a，再由双曲线的离心率公式e =. 【详解】设双曲线的渐近线方程为y kx =，其中bk a=±， 圆()2238x y -+=的圆心为()3,0C，半径为r =圆心C 到直线y kx =的距离为d =AB =2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即228+=，解得k =ba∴=，因此，该双曲线的离心率为c e a =====【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.15．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且1==PA AB ，2BC =，则二面角A PC B --的正弦值为______.【答案】63【分析】建立空间直角坐标系，分别计算平面APC 与平面PBC 的法向量，然后利用公式计算即可.【详解】依据题意建立如图所示的空间直角坐标系：(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,0,1)P ，2,0)C设平面APC 的法向量为()1111,,x n y z =1100n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴111020z x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 不妨设11y =，则12x =-1(2,1,0)n =-设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z =2200n BC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴22200y x y =⎧⎨-=⎩ 不妨设21x =，则21z =，20y =，2(1,0,1)n = 设A PB B --为α，则1212122cos cos,3n n n n n n α⋅====⋅ sin 3α=.16．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫-⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为()f x 图象的一条对称轴，且()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为______. 【答案】125【分析】根据函数得对称中心以及对称轴可知2(14)5k ω=+或2(34),5k k Z ω=+∈，然后对k 进行取值并验证函数在所给区间得单调性即可得到结果. 【详解】由题意知131264T kT ππ+=+或133,1264TkT k Z ππ+=+∈ ∴51244k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭或53244k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭∴2(14)5k ω=+或2(34),5k k Z ω=+∈ ∵()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴191312122T ππ-≤ ∴12222ππωω≤⋅⇒≤ ①当2(14)5k ω=+时，取0k =知25ω=此时2()sin 515f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，27,515210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦满足()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴25ω=符合 取1k =时，2ω=，此时()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，572,322x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭满足()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴2ω=符合 当1k ≤-时，0ω<，舍去，当2k ≥时，2ω>也舍去 ②当2(34)5k ω=+时，取0k =知65ω= 此时6()sin 55f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 6321,55210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，舍去 当1k ≤-时，0ω<，舍去，当1k 时，2ω>也舍去综上：25ω=或2，212255S =+=. 故答案为：125【点睛】关键点点睛：解决该问题的关键在于得到2(14)5k ω=+或2(34),5k k Z ω=+∈并对k 进行取值验证.四、解答题17．在①2cos 22cos12BB +=；②2sin tan b A a B =；③()sin sin()sin a c A c A B b B -++=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______. （1）求角B 的大小；（2）若4a c +=，求ABC 周长的最小值. 注：如果选择多个条件分別解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）3π；（2）6. 【分析】（1）选①，由升降幂公式得22cos cos 10B B +-=，进而得1cos 2B =，故3B π=；选②，由切化弦，正弦定理边角互化得2sin sin cos sin sin B A B A B =，进而得1cos 2B =，3B π=；选③，由()sin sin A B C +=得()sin sin sin a c A c C b B -+=，再根据正弦定理边角互化得222a c b ac +-=，进而根据余弦定理得3B π=（2）由正弦定理和三角恒等变化得()sin sin sin 6a c B b A CC +==++ ⎪⎝⎭再根据三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）选① ∵2cos 22cos 12BB +=，∴22cos cos 10B B +-=， ∴ 1cos 2B =或cos 1B =-，∵()0,B π∈，∴1cos 2B =，3B π=.选②由切化弦，正弦定理边角互化得：2sin sin cos sin sin B A B A B =， ∵(),0,A B π∈，∴ sin 0,sin 0A B ≠≠， ∴ 1cos 2B =，3B π=.选③由内角和定理得：()sin sin A B C += ，∴()sin sin sin a c A c C b B -+=， 由正弦定理边角互化得：22()a c a c b -+=，即：222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==，∵()0,B π∈，∴3B π=.（2）由正弦定理得：sin sin sin b a cB AC +=+， 由于4a c +=，3B π=，∴()sin 2sin sin sin sin 36a c B b A CC C C ππ+===+⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵ 20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴5,666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴6C π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭⎝，∴[)2,46b C π=∈⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当3C π=时，取得2b = ∴ABC 周长为[)46,8a b c b ++=+∈， ∴ABC 周长的最小值为6.【点睛】本题考查正弦定理边角互化，正余弦定理解三角形，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于由正弦定理得()sin sin sin 6a c B b A CC +==++ ⎪⎝⎭进而根据三角函数的性质得[)2,4b ∈，进而求解得答案.18．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足22(2)21nn n S a n S =≥-. （1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）设1n n b S =，()211n n n n b c b b ++=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）证明见解析；（2）21n nT n n =++. 【分析】（1）由22(2)21nn n S a n S =≥-，得到21221n n n n S S S S --=-，整理得1112n n S S --=，结合等差数列的定义，即可求解；（2）由（1）求得121n n S =-，可得21n b n =-，化简111122121n c n n ⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，结合裂项求和，即可求解.【详解】（1）由题意，数列{}n a 中，满足22(2)21nn n S a n S =≥-，可得而21221n n n nS S S S --=-，整理得112n n n n S S S S ---=，可得1112n n S S --=， 又由11a =，可得11111S a ==， 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列.（2）由（1）知112(1)21nn n S =+-=-，可得21n b n =-， 则2244111111(21)(21)(21)(21)22121n n n c n n n n n n -+⎛⎫===+- ⎪-+-+-+⎝⎭所以11111111112335212122121n n T n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+-=+-=+ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】关于数列的裂项法求和的基本策略： 1、基本步骤：裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式； 累加：将数列裂项后的各项相加；消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前n 项和. 2、消项的规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.19．如图，在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，2PA PB PC AC ====.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）点M 在棱BC 上，且PC 与平面PAM 3BM . 【答案】（1）证明见解析；（22【分析】（1）取AC 的中点E ，连结PE ，BE ，利用边角关系得到PE AC ⊥，PE BE ⊥，结合线面垂直的判定定理可得PE ⊥平面ABC ，由面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，设(,1,0)M x x -，01x ≤≤，求出直线PC 的方向向量与平面PAM 的法向量，利用线面角的求解公式得到关于x 的等式，求出x 的值，从而得到M 的坐标，利用空间两点间距离公式求解即可． 【详解】（1）证明：取AC 中点E ，连接PE ，BE∵2PA PC AC ===，∴PE AC ⊥且3PE = ∵2AB BC ==∴2224AB BC AC +==，∴ABC 为Rt 且90ABC ∠=︒∴112BE AC ==，∴2224PE BE PB +==，∴PE BE ⊥ ∵AC BE E ⋂=，,AC BE ⊂平面ABC ， ∴PE ⊥平面ABC ∵PE ⊂平面P AC ， ∴平面PAC ⊥平面ABC .（2）如图建立空间直角坐标系，∴3)P ，(1,0,0)B ，(0,1,0)A -，(0,1,0)C 设(,1,0)M x x -，01x ≤≤，∴(0,1,3)PA =-，(,2,0)AM x x =- 设平面P AM 的法向量()000,,n x y z =∴00000003(2)03030(2)01x x n PA y z y n AM x x y x z ⎧-=⎪⎪⎧⎧⋅=-=⎪⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨⎨⋅=+-=⎪⎪⎩⎪⎩=⎪⎪⎩∴3(23,1x n ⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭设PC 与平面P AM 所成角为θ，PC 与n 所成角为ϕ，(0,1,3)PC =-∴222332sin |cos |43||||3(2)24PC nx PC n x xθϕ⋅====⇒=⋅-⋅+∴21,,033M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时22112333BM ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究．20．某校高三年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由1名男生和2名女生组成.比赛中每人投篮n 次()*n N ∈，每人每次投篮及相互之间投篮都是相互独立的.已知女生投篮命中的概率均为13.男生投篮命中的概率均为23.（1）当2n =时，求小组共投中4次的概率；（2）当1n =时，若三人都投中小组获得30分，投中2次小组获得20分，投中1次小组获得10分，三人都不中，小组减去60分，随机变量X 表示小组总分，求随机变量X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）43243；（2）分布列见解析，409. 【分析】（1）分情况①男生投中2次，女生投中2次，②男生投中1次，女生投中3次，③男生投中0次，女生投中4次然后计算即可.（2）得到X 的所有可能取值并得到相应的概率然后列出分布列，最后根据期望公式计算即可.【详解】（1）①男生投中2次，女生投中2次概率为22221221221212433333333C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⋅⨯+⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 32649632729729729243=+== ②男生投中1次，女生投中3次的概率为211222111232233333729C C ⎛⎫⨯⨯⨯⋅⨯⋅⨯= ⎪⎝⎭ ③男生投中0次，女生投中4次的概率为2221111333729⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴共投中4次的锤子数学概率为3232143243729729243P =++=. （2）2212(30)3327P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，2122221211811(20)3333327273P X C C ⎛⎫==⨯⋅⨯+⋅⨯=+= ⎪⎝⎭ 212221124(10)333339P X C ⎛⎫==⨯+⨯⋅⨯= ⎪⎝⎭2124(60)3327P X ⎛⎫=-=⨯=⎪⎝⎭ ∴X 的分布列如下∴214440()302010602739279E X =⨯+⨯+⨯-⨯=. 【点睛】思路点睛：第（1）在于分情况计算，不重不漏；第（2）问基本做法：①得到X 的所有可能取值并计算概率；②列出分布列；③根据期望（或方差）公式计算.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，离A ，B ，斜率存在的直线l 与椭圆交于M ，N 两点（M 在x 轴上方，N 在x 轴下方），记直线MA ，NB 的斜率分别为1k ，2k .（1）求椭圆的标准方程；（2）若213k k =，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析，(1,0). 【分析】（1）先求出a 的值，再结合离心率得出c 的值，进而求出b 的值，从而可得出椭圆C 的方程；（2）设直线MN 的方程为y kx m =+，点1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，将直线MN 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用点差法可得34BM BN k k ⋅=-，结合条件213k k =，利用两点连线的斜率公式并代入韦达定理，通过化简计算得出k 、m 的关系，从而得出直线MN 所过的定点坐标．【详解】解：（1）由题意知22224231a a c b a a b c =⎧⎪=⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎩∴椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）∵14MA MB k k ⋅=-，即114BM k k ⋅=-又∵213k k =，∴2134BM k k ⋅=-，34NB MB k k ⋅=-设直线MN 的锤子数学方程为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，(2,0)B()22222242444y kx mx k x kmx m x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩ ()222148440k xkmx m +++-=0∆>，12221228144414km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∴21113224y y x x ⋅=---∴()()()12121243240kx m kx m x x x x +++-++=⎡⎤⎣⎦()()22121243(46)4120k x x km x x m ++-+++=()2222244843(46)41201414m km k km m k k --+⋅+-⋅++=++ 22230k m km ++=，∴(2)()0k m k m ++=∴2m k =-或m k =-但当2m k =-时，()22y kx m kx k k x =+=-=-，直线MN 恒过(2,0)M ，N 有一点与B 重合了，舍去∴m k =-，∴()1y kx m k x =+=-，直线MN 恒过定点(1,0).【点睛】本题考查直线与椭圆的综合，考查椭圆的方程、点差法以及韦达定理设而不求法在椭圆综合问题中的应用，同时考查了计算能力．22．已知函数()1x f x e =-，()sin g x x =.（1）判断()()()F x f x g x =-在[0,)x ∈+∞上零点的个数；（2）当[0,]x π∈时，()()()f x ag x a R ≥∈恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）一个；（2）(,1]-∞.【分析】（1）由()1sin sin x F x e x x x =--≥-()0x ≥，令()sin x x x ϕ=-，利用的单调性判断出()0F x ≥可得答案；（2）令()1sin x G x e a x =--，()cos x G x e a x '=-，由1sin 0x e a x --≥在[0,]π上恒成立，得出1a ≤可得答案.【详解】（1）由()()10x t x e x x =--≥得()()100xt x e x '=-≥≥，所以()t x 是0x ≥上的单调递增函数，所以()()00t x t ≥=，即()10xe x x -≥≥， 所以()1sin sin x F x e x x x =--≥-()0x ≥，令()sin x x x ϕ=-，∴()1cos 0x x ϕ'=-≥∴()ϕx 在[)0,+∞上单调递增，故()(0)0x ϕϕ≥=，∴()0F x ≥当且仅当0x =时取“=”，∴()()()F x f x g x =-在[0,)x ∈+∞上只有一个零点.（2）1sin 0x e a x --≥在[0,]π上恒成立，令()1sin x G x e a x =--，()cos x G x e a x '=-，注意到(0)0G =，∴()(0)G x G ≥在[0,]π上恒成立，首先有(0)10G a '=-≥得出1a ≤（必要性），当1a ≤时，()1sin 1sin 0x x G x e a x e x =--≥--≥符合题意，当1a >时，()cos x G x e a x '=-，()sin 0xG x e a x ''=+>，所以()G x '在[0,]π上单调递增，又因为(0)10G a '=-<，()0x G e a π'=+>， 所以存在[]00,x π∈，使得0()0G x '=，且00x x <<时0()0G x '<，()G x 单调递减，又因为(0)0G =，所以0()0G x <与已知矛盾，综上：实数a 的取值范围为(,1]-∞.【点睛】本题考查了函数的零点、恒成立求参数的问题，解题的关键点是构造函数利用导数判断函数的单调性，考查了学生分析问题、解决问题的能力.。
江苏省南京师范大学附属中学2021届高三上学期期中考试数学试题(含解析)
南京师范大学附属中学2020-2021学年度第一学期高三期中考试数学试题注意事项∶1.考试时间∶120分钟，试卷满分150分。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置上。
3.请用0.5毫术黑色墨水的签字笔按题号在答题纸上指定区域内作答∶在其它位置作答一律无效；考试结束后，请将答题纸、卡交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1.已知集合(){}{}214,,2,1,0,1,2A x x x B =-<∈=--R ，则A B =（ ）A. {}1,0,1,2-B. {}0,1,2C. {}0,1-D. {}1,22.设2i1iz +=-，则z 的虚部为（ ） A.21 B. 21-C.23 D. 23-3.设,m n ∈R ，则“0mn <”是“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4.设λ为实数，已知向量()()1,2,1,m n λ=-=.若m n ⊥，则向量2m n +与m 之间的夹角为（ ） A.4πB.3π C.23π D.34π 5.春夏时期《管子·地缘篇》记载了著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”；…….依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶.据此可推得（ ） A. “宫、商、羽”的频率成等比数列 B. “宫、徵、商”的频率成等比数列 C. “商、羽、角”的频率成等比数列 D. “宫、商、角”的频率成等比数列6.若函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图像如图所示，则函数()f x 图像的一条对称轴是（ ） A. 56x π=-B. 1112x π=-C. 1112x π=D. 116x π=7.函数()()2e 2x f x x x x =--∈R 的图像大致为（ ）8.设实数k ，已知函数()e ,01,1,1x x f x x x ⎧≤<=⎨-≥⎩若函数()f x k -在区间()0,+∞上有两个零点()1212,x x x x <，则()()211x x f x -的取值范围是（ ）.A. 21,e ⎡⎤⎣⎦B. )21,e ⎡⎣ C. )2e,e ⎡⎣ D. )22,e ⎡⎣二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9.某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为8000元/月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则下面说法正确的是（ ）A. 此人退休前每月储蓄支出2400元B. 此人退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍C. 此人退休工资收入为6000元/月D. 此人退休后的其他支出比退休前的其他支出少10.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点在圆22:20O x y +=上，圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于M 、N 两点，若点()0,3E 满足ME ON ⊥（O 为坐标原点），下列说法正确的有（ ）A. 双曲线C 的虚轴长为4B. 双曲线CC. 双曲线C 的一条渐近线方程为32y x =D. △OMN 的面积为811.在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 、F 分别为1BB 、CD 中点，P 是棱1BC 上的动点，则下列说法正确的有（ ） A. 1A F AE ⊥B. 三棱锥1P AED -的体积与点P 位置有关C. 平面1AED 截正方体1111ABCD A B C D -的截面面积为92D. 点1A 到平面1AED 的距离为212.已知函数()()2cos 4x f x x x ππ=+-∈R ，则下列说法正确的有（ ）A. 直线0y =为曲线()y f x =的一条切线；B. ()f x 的极值点个数为3；C. ()f x 的零点个数为4；D. 若()()()1212f x f x x x =≠，则120x x +=. 三、填空题13.二项式62x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为________. 14.已知α、β均为锐角，且()225sin ,cos 105ααβ=+=，则cos 2β=________. 15.设,a b 为实数，对于任意的2a ≥，关于x 的不等式e ax b x +≤（e 为自然对数的底数）在实数域R 上恒成立，则b 的取值范围为________.16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为____.四、简答题.17.在ABC △中，设内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 4cos ,2b C c B A a +=-=. （1）求角A 的值；（2）若三角形ABC 的面积为3，求ABC △的周长. 18.已知函数()x f x a =（a 为常数，0a >且1a ≠）（1）在下列条件中选择一个条件____（仅填序号），使得依次条件可以推出数列{}n a 为等差数列，并说明理由；①数列(){}n f a 是首项为4，公比为2的等比数列； ①数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；①数列(){}n f a 是首项为4，公比为2的等比数列的前n 项和构成的数列；（2）在（1）的选择下，若()*12,2na b n ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭N ，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .19.如图，在四棱锥1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，111112AA A B AB ===，60ABC ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD ，点E 是棱BC 上一点.（1）若E 时BC 中点，求证：平面1A DE ⊥平面11CC D D ;（2）即二面角1E AD D --的平面角为θ，且1cos 3θ=，求线段CE 的长.20.第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知这种球的质量指标ξ（单位：g ）服从正态分布()2270,5N .比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛（采取5局3胜制），最后靠积分选出最后冠军.积分规则如下：比赛中以3①0或3①1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3①2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为()01p p <<.（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在（260，265]内的排球个数（计算结果取整数）.（2）第10轮比赛中，记中国队3①1取胜的概率为()f p . （①）求出()f p 的最大值点0p ;（①）若以0p 作为p 的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X ，求X 的分布列. 参考数据：()2~,N u ζσ，则()()0.6826,220.9644p X p X μσμσμσμσ-<<+≈-<<+≈. 21.设a 为实数，已知函数()()e e 12x x f x a a x -=++--. （1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）当1a ≥时，若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围.22.在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为 （1）求,a b 的值；（2）当过点()6,0P 的动直线l 与椭圆C 交于不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，使得AP BQ AQ BP ⋅=⋅，问：点Q 是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1.已知集合(){}{}214,,2,1,0,1,2A x x x B =-<∈=--R ，则A B =（ ）A. {}1,0,1,2-B. {}0,1,2C. {}0,1-D. {}1,2【答案】B【考点】集合的交集运算【解析】由题意可知{}31|<<-=x x A ，所以A B ={}210，，，故答案选B. 2.设2i1iz +=-，则z 的虚部为（ ） A.21B. 21-C.23 D. 23-【答案】C【考点】复数的运算【解析】由题意()()()()231111212i i i i i i i z +=+-++=-+=，则z 的虚部为为23，故答案选C. 3.设,m n ∈R ，则“0mn <”是“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【考点】抛物线的方程、逻辑用语【解析】由题意抛物线20mx ny +=可化为y m n x -=2，由焦点在y 轴正半轴上，则0>-mn，即mn <0，所以“0mn <”是“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”的充分必要条件， 故答案选C.4.设λ为实数，已知向量()()1,2,1,m n λ=-=.若m n ⊥，则向量2m n +与m 之间的夹角为（ ） A.4πB.3π C.23π D.34π 【答案】A【考点】平面向量的数量积坐标公式、数量积定义、垂直的坐标计算【解析】由题意由m n ⊥，可得021=+-λ，解得21=λ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛=211，n ，则()312，=+n m，所以()225103211222cos =⋅⨯+⨯-=⋅+⋅+>=+<m n m m n m m n m，，因为[]π，，02>∈+<m n m，所以向量2m n +与m 之间的夹角为4π，故答案选A. 5.春夏时期《管子·地缘篇》记载了著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”；…….依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶.据此可推得（ ） A. “宫、商、羽”的频率成等比数列 B. “宫、徵、商”的频率成等比数列 C. “商、羽、角”的频率成等比数列 D. “宫、商、角”的频率成等比数列 【答案】D【考点】文化题：等比数列的概念【解析】由题意可设“宫”的频率为a ，则经过一次“损”，可得“徵”的频率为23a ；“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为4323⨯a ，即89a ，“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率为2389⨯a ；即1627a ；最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率为431627⨯a ，即6481a ，则a ，89a ，6481a 成公比为89的等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，故答案选D. 6.若函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图像如图所示，则函数()f x 图像的一条对称轴是（ ） E. 56x π=-F. 1112x π=-G. 1112x π=H. 116x π=【答案】B【考点】三角函数的图象与性质应用【解析】由函数()f x 的图象可知一个对称中心为⎪⎭⎫ ⎝⎛03，π，而06=⎪⎭⎫⎝⎛-πf ，即另一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛-06，π，且为相邻的对称中心，故函数()f x 的一条对称轴为12236πππ=+-=x ，则2632πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=T ，即π=T ，所以函数()f x 的对称轴为直线()Z k k x ∈+=212ππ，令2-=k ，解得1211π-=x ，故答案选B. 7.函数()()2e 2x f x x x x =--∈R 的图像大致为（ ）【答案】B【考点】函数的图象与性质【解析】法一：由题意可作出函数x e y =与函数x x y 22+=的图象，得到有3个交点，即函数()x f 有3个零点，则故答案选B.法二：因为()0211<--=e f ，可排除选项A 、D ；且当-∞→x ，()()-∞→+-=2x x e x f x ，排除选项C ，故答案选B.法三：因为()22--='x e x f x ，设()()22--='=x e x f x g x ，则()2-='x e x g ，令()0='x g ，可得2ln =x ，所以当2ln <x 时，()0<'x g ，则()x g ，在()2ln ，∞-上单调递减；当2ln >x 时，()0>'x g ，则()x g ，在()∞+，2ln 上单调递增，又()()02ln 222ln 222ln 2ln <-=--='=f g ，即函数()x f 有两个极值点，排除选项C 、D ；而()0211<--=e f ，所以排除选项A ，故答案选B.8.设实数k ，已知函数()e ,01,1,1x x f x x x ⎧≤<=⎨-≥⎩若函数()f x k -在区间()0,+∞上有两个零点()1212,x x x x <，则()()211x x f x -的取值范围是（ ）.A. 21,e ⎡⎤⎣⎦B. )21,e ⎡⎣ C. )2e,e ⎡⎣ D. )22,e ⎡⎣【答案】D【考点】分段函数的零点、数形结合思想【解析】如图()f x k -有两个零点，12,x x ，则[)1,e k ∈ 则1e x k =，1ln x k =，21x k -=，21x k =+， 解得()()()22111ln ln x x f x k k k k k k k -=+-=+-，令()2ln g k k k k k =+-，()()21ln 12ln g k k k k k '=--+=-， 而()12120k g k k k-''=-=>，所以()g k '在()e ，1上单调递增，则()()120g k g ''>=>， ()g k ∴在()e ，1上单调递增，且()21=g ，()2e e g =，())22,e g k ⎡∴∈⎣，故答案选D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9.某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为8000元/月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则下面说法正确的是（ ）A. 此人退休前每月储蓄支出2400元B. 此人退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍C. 此人退休工资收入为6000元/月D. 此人退休后的其他支出比退休前的其他支出少【答案】ACD【考点】数据的分析与整理【解析】由图可知此人退休前储蓄为8000×0.30=2400（元），故选项A 正确；此人退休前的旅行支出为8000×0.05=400（元），退休后的收入为600015.015002400=-（元），退休后的旅行支出为6000×0.15=900（元），则选项B 错误，选项C 正确；退休后的其他支出为6000×0.25=1500（元），退休前的其他支出为8000×0.2=1600（元），则选项D 正确；所以答案选ACD.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点在圆22:20O x y +=上，圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于M 、N 两点，若点()0,3E 满足ME ON ⊥（O 为坐标原点），下列说法正确的有（ ）A. 双曲线C 的虚轴长为4B. 双曲线CC. 双曲线C 的一条渐近线方程为32y x = D. △OMN 的面积为8 【答案】BD【考点】圆锥曲线的几何性质、双曲线与圆的位置关系【解析】由题意在圆22:20O x y +=，可令y =0，可解得202=x ，即52=c ，由双曲线的渐近线方程为x aby ±=，且222c y x =+，与圆22:20O x y +=联立可得()b a M ，，所以()b a N ，-，又由ME ON ⊥，则()()03=-⋅--=⋅→→b a b a ON ME ，，，即0322=--b b a ，联立20222==+c b a ，解得b =4，a =2，所以双曲线C 的虚轴长为8x y 2±=，△OMN的面积为842221=⨯=⨯⨯=b a S ，所以答案选BD.11.在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 、F 分别为1BB 、CD 中点，P 是棱1BC 上的动点，则下列说法正确的有（ ） A. 1A F AE ⊥B. 三棱锥1P AED -的体积与点P 位置有关C. 平面1AED 截正方体1111ABCD A B C D -的截面面积为92D. 点1A 到平面1AED 的距离为2 【答案】AC【考点】立体几何的位置关系、几何体的体积、表面积、截面面积等【解析】由题意在正方体1111ABCD A B C D -中，可取AB 的中点为点M ，连结A 1M ，可得A 1M ⊥AE ，又因为A 1F 在平面ABB 1A 1的射影为A 1M ，所以A 1F ⊥AE ，故选项A 正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，可得BC 1∥AD 1，则可得到BC 1∥平面AED 1，又因点P 在BC 1上，则点P 到平面AED 1的距离为定值，故选项B 错误；取B 1C 1的中点为点N ，则平面1AED 截正方体1111ABCD A B C D -的截面为梯形AD 1NE ，因为AE =D 1N =5，AD 1=22，NE =2，所以可得等腰梯形AD 1NE 的面积为()()292232321222252222122=⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯+⨯=S ，故选项C 正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，可设点1A 到平面1AED 的距离为h ，且在△AD 1E 中，D 1E =3，AE =5，AD 1=22，由余弦定理可得，()()101052223522cos 2221=⋅⋅-+=∠AE D ，所以31010352221sin 5222111=⨯⨯⨯=∠⨯⨯=∆AE D S AED ，则由1111D AA E AED A V V --=，可得到 23131111⋅=⋅∆∆D AA AED S h S ，即222213⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅=⋅h ，解得h =34，故选项D 错误；综上答案选AC.12.已知函数()()2cos 4x f x x x ππ=+-∈R ，则下列说法正确的有（ ）A. 直线0y =为曲线()y f x =的一条切线；B. ()f x 的极值点个数为3；C. ()f x 的零点个数为4；D. 若()()()1212f x f x x x =≠，则120x x +=. 【答案】ABD【考点】函数的切线方程、导数的几何意义、函数的零点、极值点问题综合 【解析】由题意()2sin xf x x π'=-，则022f f ππ⎛⎫⎛⎫'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即曲线()y f x =的一条切线为y =0，故A 选项正确；令()2sin 00xf x x x π'=-=⇒=，解得x =0、2π、2π-，即为3个极值点，故B 选项正确；由B 选项可作出()f x 图像大致如右图所示，结合图像可知函数图象有3个零点，故C 选项错误；因为()()()()x f x x x x x f =-+=--+-=-4cos 4cos 22ππππ，所以函数()x f 为偶函数，则D 选项正确；综上，答案选ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13.二项式62x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为________. 【答案】240【考点】二项展开式项的系数【解析】由题意展开式通式为()()()2312662666661121212rr rr rr r r r rrrr x C x x C x x C T ------+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，令32312=-r ，解得r =2，则展开式中3x 的系数为()240122426=-C ，故答案为240.14.已知α、β均为锐角，且()sin ααβ=+=cos 2β=________. 【答案】45【考点】三角函数中二倍角公式与变角应用【解析】由题意因为α、β均为锐角，且()0552cos 102sin >=+=βαα，，所以()πβα，0∈+，则()55sin 1027cos =+=βαα，，所以()[]()()=+-+=-+=αβααβααβαβsin cos cos sin sin sin 011050105102552102755==⨯-⨯，则54011021sin 212cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=ββ，故答案为45. 15.设,a b 为实数，对于任意的2a ≥，关于x 的不等式e ax b x +≤（e 为自然对数的底数）在实数域R 上恒成立，则b 的取值范围为________. 【答案】[)1ln 2,--+∞【考点】函数的恒成立问题综合应用【解析】由题意①当0x ≤时，e 0,e ax b ax b x ++≥∴≤恒成立，此时b ∈R ；②当0x ≤时，b ax e x +≤，取对数得，b ax x +≤ln ，即ax x b -≥ln ，因为2a ≥，则可得到ln ln 2x ax x x -≤-，①()max ln 2b x x ≥-，令()x x x f 2ln -=，则()21-='x x f ，可得()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛210，上单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21上单调递减，所以()2ln 121221ln 21max --=⨯-=⎪⎭⎫⎝⎛=f x f ，则b ≥ 2ln 1--，所以b 的取值范围为[)∞+--，2ln 1. 16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为____.【答案】32；1627π【考点】文化题：空间几何体的的体积与表面积、内切球问题【解析】由题意可知，一个正三角形面积为132222⨯⨯⨯，该六面体是由六个边长为2的正三角形构成的，所以该六面体可看成是由两个全等的正四面体组合而成，且全等的正四面体的棱长为2，如图，在棱长为2的正四面体S ABC-中，取BC中点为D，连结SD，AD，可作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，则2261623,,2363AD SD OD AD SO SD OD=====-=，则该正四面体的体积为111323133233ABCV S SO=⋅⋅=⋅⋅=△，所以该六面体的体积为两个正四面体的体积之和21223V V==，当该六面体内有一球，如上图，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD 相切，过球心作OE SD⊥，则OE就是球半径，因为SO OD SD OE⨯=⨯，所以球半径236233696SO ODR OESD⨯⨯====，所以该球表面积的最大值为22316427Sππ⎛⎫=⨯⨯=⎪⎪⎝⎭，所以答案为32；1627π. 四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.在ABC △中，设内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 4cos ,2b C c B A a +=-=. （1）求角A 的值；（2）若三角形ABC 3，求ABC △的周长. 【考点】利用正余弦定理解三角形及面积公式的应用【解析】（1） A B c C b cos 4cos cos -=+，且2=a ，∴A a B c C b cos 2cos cos -=+， 由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==得A A B C C B cos sin 2cos sin cos sin -=+，即A A C B cos sin 2)sin(-=+, 在ABC ∆中，π=++C B A ,∴)sin(sin C B A +=，∴A A A cos sin 2sin -=，在ABC ∆中，),0(π∈A ，∴0sin ≠A ，∴21cos -=A ，则32π=A .（2）334332sin21sin 21====∆bc bc A bc S ABC π，则34=bc ， 由余弦定理得：bcabc c b bc a c b A 22)(2cos 22222--+=-+=，则3422342)(2122⨯-⨯-+=-c b ，∴316)(2=+c b ， 在ABC ∆中，0,0>>c b ，∴334=+c b ，∴周长为3342+=++c b a .18.已知函数()x f x a =（a 为常数，0a >且1a ≠）（1）在下列条件中选择一个条件____（仅填序号），使得依次条件可以推出数列{}n a 为等差数列，并说明理由；①数列(){}n f a 是首项为4，公比为2的等比数列；①数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；①数列(){}n f a 是首项为4，公比为2的等比数列的前n 项和构成的数列；（2）在（1）的选择下，若()*12,2na b n ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭N ，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .【考点】开放性试题：等差数列的证明、错位相减法求和 【解析】（1） 选条件①x a x f =)(，∴n a n a a f =)(， )}({n a f 是首项为4，公比为2的等比数列，则11224+-=⨯=n n a n a ，则2log )1(2log 1a n a n n a +==+；2log 2log )1(2log )2(1a a a n n n n a a =+-+=-+，则}{n a 为等差数列. （2）当2=a 时，12log )1(2+=+=n n a n ，又 n n b )21(=，∴n n n n b a )21)(1(+=⋅∴n n n S )21)(1(...)21(5)21(4)21(3)21(24321+++⨯+⨯+⨯+⨯=----------（*）1432)21)(1()21(...)21(4)21(3)21(221+++++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ----------（**） ∴（*）减去（**）得：1432)21)(1()21(...)21()21()21(121++-+++++=n n n n S 11112)21)(3(23)21)(1()21(211)21)(1(211])21(1[)21(1+++-+-=+--+=+---+=n n n n n n n n∴n n n S 233+-=.19.如图，在四棱锥1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，111112AA A B AB ===，60ABC ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD ，点E 是棱BC 上一点.（1）若E 时BC 中点，求证：平面1A DE ⊥平面11CC D D ;（2）即二面角1E AD D --的平面角为θ，且1cos 3θ=，求线段CE 的长.【考点】立体几何的位置关系证明、利用空间向量表示二面角 【解析】（1）证明：如图建立空间直角坐标系11=AA ，2=AB ，BC AE ⊥∴，3=AE ，111=D A ，()0,0,0A ()1,0,01A ∴，()0,0,3E ，()1,1,01D ，()0,1,3C ，()0,2,0D()1,1,01=AD ,()0,0,3=AE ，()1,1,01-=D D ，()0,1,3-=CD设平面E AD 1的法向量为()1111,,z y x n =，平面11C CDD 的一个法向量为()2222,,z y x n =()1,1,0030001111111-=⇒⎩⎨⎧==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴n x z y AE n AD n ()3,3,1331030022*********=⇒⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎩⎨⎧=+-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅n z y x y x z y CD n D D n 021=⋅n n .∴平面1A DE ⊥平面11CC D D . 由（1）可设()0,,3m E ，11≤≤-m ，()0,,3m AE =∴，()1,1,01=AD设平面1EAD 的一个法向量为()0003,,z y x n =⎩⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴003000000133z y my x AD n AE n令m x =0，30-=∴y ，30=z ，()3,3,3-=∴m n 平面1ADD 的法向量()0,0,1=n ，设3n ，4n 所成角为ϕ23316cos cos 2±=⇒=+==∴m m m ϕθ 而()0,1,3C ，2311±=-=∴m CE .20.第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知这种球的质量指标ξ（单位：g ）服从正态分布()2270,5N .比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛（采取5局3胜制），最后靠积分选出最后冠军.积分规则如下：比赛中以3①0或3①1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3①2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为()01p p <<.（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在（260，265]内的排球个数（计算结果取整数）.（2）第10轮比赛中，记中国队3①1取胜的概率为()f p . （①）求出()f p 的最大值点0p ;（①）若以0p 作为p 的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X ，求X 的分布列. 参考数据：()2~,N u ζσ，则()()0.6826,220.9644p X p X μσμσμσμσ-<<+≈-<<+≈. 【考点】正态分布的应用、随机变量的概率与分布列 【解析】（1）()(]()()2260,280265,2750.96440.6826~270,5,260,2650.135922p p N p ζ--∴===所以质量指标在(]260,265内的排球个数约10000.1359136⨯≈个.（2）前三场赢两场，第四场必赢()()()()()3342313334f p p p p p f p p p ⇒=⨯⨯-=-⇒'=-()304f p p '⇒=⇒=，满足最大值点要求. （3）X 可能取的值为0、1、2、3①3X =⇒前三场全赢，或者前三场赢两场，第四场必赢.()33233311893444256p X C ⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①2X =⇒前四场赢两场，第五场必赢.()32243181244512p X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ①1X =⇒前四场赢两场，第五场必输.()23243127144512p X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①0X =⇒前三场全输，或者前三场赢一场.()3313131130444256p X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ①X 的分布列为：21.设a 为实数，已知函数()()e e 12x x f x a a x -=++--. （1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）当1a ≥时，若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围.【考点】函数的单调性（不含参）的求解、函数零点问题 【解析】（1）当2a =时，()e 2e 2x x f x x -=+--，()()()2e 2e 1e e 2e 2e 1e e x x x x x x x xf x --+--'=--==令()0f x '=是ln 2x =，()f x 的单调递减区间为(),ln 2-∞，单调递增区间为()ln 2,+∞（2）()()()()2e 1e e 1e e e 1e ex x x xx x x xa a a f x a a -+-+--'=-+-== 令()0f x '=得ln x a =且当ln x a <时，()0f x '<，()x f 单调递减；当ln x a >时，()0>'x f ，()x f 单调递增，()()()min ln 1ln 21f x f a a a a ∴==+--要使()f x 有两个不同的零点， 则首先()()()11ln 01ln 01ln 10a a a a a a ⇒--<⇒-+-<<-，e a > 当0x >时，()()()()2e e 12e 1212x x x f x a a x a x x a x -=++-->+-->+-- 此时()()()()21111220f a a a a a +>++-+-=>当0x <时，()()e e 12e 2x x x x f x a a x a --=++-->-，令0e 2ln 2x aa x -≥<--⇒取00x <且02ln x a <-知()00f x >或取02x a=-知22202e 2af a a a a ⎛⎫->->⋅⎝⎭-⎪=故e a >时满足()f x 在()0,ln x a ()ln ,1a a +上各有一个零点， 综上：a 的取值范围为()e,+∞.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为23. （1）求,a b 的值；（2）当过点()6,0P 的动直线l 与椭圆C 交于不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，使得AP BQ AQ BP ⋅=⋅，问：点Q 是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.【考点】圆锥曲线中椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系求定直线【解析】（1）由题意知222323122b c a ab a b ca =⎧⎪⇒⎨=⎪⎧=⎪⎪⎨=⎪⎪=⎩⎩+（2）由P A BQ A P Q B ⋅=⋅得AP AB BP BQ =，设AP ABBP BQλ==，()()()1221,,,,,A x y B x y Q x y AP PBAQ QBλλ⎧=-⎪∴⎨=⎪⎩ 1212611x x x x x λλλλ-⎧=⎪⎪-∴⎨+⎪=⎪+⎩①②且210y y λ-=①×①得22122261x x x λλ-=-由,A B 均在圆上得22122222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①-①22222222121221441x x x x λλλλλ-+-⇒=-⇒=-264,3x x ∴==即Q 在直线23x =上运动.。
南师大附中数学高三卷试卷
一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √2B. πC. -√3D. 0.1010010001…2. 若函数f(x) = 2x + 1在区间[1, 3]上单调递增，则f(x)在区间[-2, 0]上的单调性是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 不单调D. 无法确定3. 已知等差数列{an}的公差d=2，且a1+a3+a5=12，则a2的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 84. 在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=5，b=7，c=8，则△ABC的面积S为（）A. 10B. 20C. 15D. 255. 下列不等式中，恒成立的是（）A. x^2 + 2x + 1 > 0B. x^2 + 2x + 1 < 0C. x^2 - 2x + 1 > 0D. x^2 - 2x + 1 < 0二、填空题（每题5分，共20分）6. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间[1, 3]上的最大值为m，则m=______。
7. 已知等比数列{an}的公比q=2，且a1+a3+a5=24，则a2的值为______。
8. 在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则sinA 的值为______。
9. 若不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解集为A，则A=______。
10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，若f'(x) = 0，则f(x)的极值点为______。
三、解答题（共50分）11. （15分）已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f(x)的导数f'(x)，并求f(x)在区间[-1, 3]上的单调区间。
12. （15分）已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=3，求该数列的前n项和Sn。
13. （15分）在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=5，b=7，c=8，求sinA、cosB、tanC的值。
江苏省2021-2022学年高三数学联考试题(含解析)
高三数学联考试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．．1.已知集合，，，则____．【答案】【解析】【分析】根据并集和补集的定义，直接计算得结果.【详解】由题意得：则本题正确结果：【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题.2.已知复数（i为虚数单位），若为纯虚数，则实数a的值为__．【答案】2【解析】【分析】将化简的形式，为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，由此可求得结果.【详解】为纯虚数本题正确结果：【点睛】本题考查复数的基本运算和纯虚数的定义，属于基础题.3.对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示．根据此图可知这批样本中寿命不低于300 h的电子元件的个数为____．【答案】800【解析】【分析】根据频率分布直方图求出的频率，利用得到不低于的概率，利用得到结果.【详解】使用寿命在的概率为：使用寿命在的概率为：使用寿命在的概率使用寿命不低于的概率使用寿命不低于的电子元件个数为：（个）本题正确结果：【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计总体的问题，属于基础题.4.运行如图所示的流程图，若输入的，则输出的x的值为____．【答案】0【解析】【分析】按照程序框图依次运算，不满足判断框中条件时输出结果即可.【详解】由，得：，循环后：，由，得：，循环后：，由，得：，循环后：，由，得：，输出结果：本题正确结果：【点睛】本题考查程序框图中的条件结构和循环结构，属于基础题.5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和为偶数的概率为____．【答案】【解析】【分析】所有可能的结果共种，通过两次数字之和为偶数说明两次均为奇数或者均为偶数，共种，由此得到概率为.【详解】骰子扔两次所有可能的结果有：种两次数字之和为偶数，说明两次均为奇数或均为偶数，则有：种两次数字之和为偶数的概率本题正确结果：【点睛】本题考查古典概型的应用，可通过排列组合来解决，由于此题基本事件个数较少，也可采用列举法来求解.6.已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为3a，则该双曲线的渐近线方程为____．【答案】【解析】【分析】由标准方程可得渐近线方程，利用点到直线的距离构造方程，求得的值，从而得到渐近线方程.【详解】渐近线方程为：由双曲线对称性可知，两焦点到两渐近线的距离均相等取渐近线，焦点渐近线方程为：本题正确结果：【点睛】本题考查双曲线的几何性质、点到直线距离公式，关键在于利用点到直线距离公式建立的等量关系，求解得到结果.7.已知正四棱柱中，AB=3，AA1=2，P，M分别为BD1，B1C1上的点．若，则三棱锥M PBC的体积为____．【答案】1【解析】【分析】三棱锥体积与三棱锥体积一样，为上动点，可知面积为侧面面积的一半；到面的距离等于到面的距离的，由此可根据三棱锥体积公式求得体积.【详解】由题意可知原图如下：又，即到面的距离等于到面的距离即本题正确结果：【点睛】本题考查三棱锥体积的求解，关键在于能够通过体积桥的方式将原三棱锥进行体积变换，找到易求解的底面积和高.8.已知函数是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m(m为常数)，则的值为____．【答案】【解析】【分析】根据奇函数求得；将变成，代入，求得结果. 【详解】为上的奇函数又本题正确结果：【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数值的问题，属于基础题.9.已知角的终边经过点，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为____．【答案】【解析】【分析】根据对称轴之间距离求出最小正周期，从而求得；利用的终边所过点，得到、；将利用两角和差公式展开求得结果.【详解】角终边经过点，两条相邻对称轴之间距离为即本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角函数图像特点求解解析式、三角函数定义、两角和差公式的应用，关键在于能够通过对称轴之间距离求出解析式，能够利用三角函数定义解出的正余弦值.10.如图，在平面直角坐标系中，点在以原点为圆心的圆上．已知圆O与y轴正半轴的交点为P，延长AP至点B，使得，则____．【答案】2【解析】【分析】根据点求出，从而得到直线；假设点坐标，利用可求得，由此可用坐标求解.【详解】圆半径则所在直线为：，即：设，则，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，关键在于能够利用向量垂直求得点的坐标，从而得到所求向量的坐标，最终求得结果.11.已知函数的单调减区间为，则的值为____．【答案】e【解析】【分析】通过单调递减区间可确定，，利用韦达定理得到关于的方程，求解出结果.【详解】单调递减区间为且为方程的两根由韦达定理可知：当，即时，当，即时，，即此时，，即无解综上所述：本题正确结果：【点睛】本题考查利用单调区间求解参数值的问题，解题关键是要明确此函数单调区间的端点值恰为导函数值为零的点，通过构建方程求得结果.12.已知函数有三个不同的零点，则实数m的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】通过时函数的单调性和值域，可判断出此时有且仅有一个零点，由此可知当时，有两个零点；通过求导运算，得到单调性，通过图像可知要想有两个零点，只需，求解得范围.【详解】当时，且在上单调递增有且仅有一个零点当时，需要有两个零点当时，当时，恒成立，即单调递增，不合题意；当时，令，解得：当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，本题正确结果：【点睛】本题考查利用导数研究函数图像和零点个数的问题，关键在于能够通过导数得到图像情况，然后找到临界情况，从而列出关于的不等关系，求得范围.13.在平面直角坐标系中，已知圆O：和点M(1，0) ．若在圆O上存在点A，在圆C：上存在点B，使得△MAB为等边三角形，则r的最大值为____．【答案】8【解析】【分析】通过分析图像可知：取最大值时，且在圆内部，由此可确定点的坐标，再利用方程组求解得到坐标为，由此可求得.【详解】圆由题意可知：，又且若最大，则需取最大值，且在圆内部可得，又与成角为设，则直线所在直线方程为：又解得：或（舍）时取最大值本题正确结果：【点睛】本题考查点与圆上点连线的最值、圆的最值类问题，关键在于能够通过图像分析出取得最值时点的位置，然后根据等量关系求解出坐标，进而求得结果.14.已知等差数列的前n项和S n>0，且，其中且．若（），则实数t的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】首先根据可得恒成立，通过分析可求得；利用已知条件得到时，，根据等差数列通项公式和求和公式可化为，将右侧看做函数，即，通过的范围求得的范围，再结合变量和，分析求出的取值范围.【详解】设等差数列首项为，公差为由得：且即：对恒成立若，不恒成立，舍去若即，此时满足题意若即时，需时，，满足题意，又，所以由得：两式作商可得：，又整理可得：设，①当时，即当时，当时，此时，即，无法取得②当时，即当时，当时，综上所述：【点睛】本题考查数列的综合应用问题，在求解过程中结合了函数、不等式、恒成立等问题的求解方法和思路，整体难度较大.关键在于能够将范围的求解转化为函数值域的求解，在求解最值过程中，因为变量较多，需要不断进行变量迁移，从而能够在最值集合中找到满足题意的临界值，对学生的综合分析和应用能力要求较高.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱柱中，，．求证：（1）平面；（2）平面平面．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）通过，证得结论；（2）通过四边形为菱形，得到，又，可得到平面，从而证得结论.【详解】（1）在三棱柱中，又平面，平面所以平面（2）在三棱柱中，四边形为平行四边形因为，所以四边形为菱形，所以又，，平面，平面所以平面而平面所以平面平面【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，题目中的位置关系较为简单，属于基础题.16.在中，角所对的边分别为．向量，，且（1）若，求角的值；（2）求角的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量平行得到，再利用正弦定理化简，可求得，从而求得；（2）方法一：利用正弦定理将边都化成角的关系，化简求得，再利用，结合基本不等式求得的最值，从而得到的最大值；方法二：利用余弦定理将角化成边的关系，再利用和基本不等式得到的最小值，从而得到的最大值.【详解】（1）因为，，且所以，即由正弦定理，得……①所以整理，得……②将代入上式得又，所以（2）方法一：由①式，因为，，所以②式两边同时除以，得又当且仅当，即时取等号又，所以的最大值为方法二：由（1）知，由余弦定理代入上式并化简得所以又当且仅当，即时取等号又，所以的最大值为【点睛】本题主要考查解三角形边角关系式的化简，以及通过边角关系式求解角的范围的问题.解决边角关系式的关键是能够通过正余弦定理将边化成角或者将角化成边，然后再进行处理.17.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且左焦点F1到左准线的距离为4．（1）求椭圆的方程；（2）若与原点距离为1的直线l1：与椭圆相交于A，B两点，直线l2与l1平行，且与椭圆相切于点M（O，M位于直线l1的两侧）．记△MAB，△OAB的面积分别为S1，S2，若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质得到关系，求解得到标准方程；（2）设，根据可知，，又与原点距离为，即，可把化简为：，根据与椭圆相切，联立可得，由此代入化简可得的范围，再进一步求解出的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以又椭圆的左焦点到左准线的距离为所以所以，，所以椭圆的方程为（2）因为原点与直线的距离为所以，即设直线由得因为直线与椭圆相切所以整理得因为直线与直线之间的距离所以，所以又因为，所以又位于直线的两侧，所以同号，所以所以故实数的取值范围为【点睛】本题考查椭圆几何性质、直线与椭圆中的参数范围问题求解.求解参数范围问题，关键是构造出满足题意的函数关系式，然后通过函数求值域的方法，求解出函数的范围，从而可以推导出参数的范围.18.某鲜花小镇圈定一块半径为1百米的圆形荒地，准备建成各种不同鲜花景观带．为了便于游客观赏，准备修建三条道路AB，BC，CA，其中A，B，C分别为圆上的三个进出口，且A，B 分别在圆心O的正东方向与正北方向上，C在圆心O南偏西某一方向上．在道路AC与BC之间修建一条直线型水渠MN种植水生观赏植物黄鸢尾（其中点M，N分别在BC和CA上，且M在圆心O的正西方向上，N在圆心O的正南方向上），并在区域MNC内种植柳叶马鞭草．（1）求水渠MN长度的最小值；（2）求种植柳叶马鞭草区域MNC面积的最大值（水渠宽度忽略不计）．【答案】（1）百米；（2）平方米.【解析】【分析】（1）设，可表示出直线的方程，从而求得两点坐标，进而将表示为关于的函数，利用导数求得最值；（2）方法一：将表示为，利用将面积表示出来，利用进行换元，从而化简得：，再根据的范围求得面积最大值；方法二：利用三角形面积公式，直接用表示出，再利用换元，也可得到，从而与方法一采用相同的求最大值方法求值. 【详解】【解】（1）以圆心为原点，建立平面直角坐标系，则圆的方程为设点，直线的方程为，令，得直线的方程为，令，得所以令，即，则令，得当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以当时，所以水渠长度的最小值为百米（2）由（1）可知，，，且则设，因为，所以所以，所以当时，种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米另法：（2）因为，所以由所以设，因为，所以所以，所以当时，种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米【点睛】本题考查函数导数的实际应用问题，属于中档题.解题关键在于能够将所求量表示为某一变量的函数关系，然后利用函数最值的求解方式求得对应的结果.19.已知数列的各项均不为0，其前n项和为．若，，，．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）若数列满足，，求证：数列是等差数列．【答案】（1）81；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）将代入，可求得；（2）由可求得，进而，两式作差可得，进而推得，可得数列及数列均为等差数列，进而求得通项；（3）由与关系可得：，即，两式作差可得：，进而推得，即，则证明结束.【详解】（1）时，由得解得（2）时，由，得则因为，所以……①所以……②②①得所以，两式相减得即数列及数列都成公差为的等差数列由，得，可求得所以数列的通项公式为（3）由，，得所以因为，所以所以两式相减得，即所以两式相减得所以因为，可得所以所以数列是等差数列【点睛】本题考查由数列递推关系式求解通项公式以及证明类问题.关键在于能够适当代入和，从而得到数列前后项之间的关系，灵活运用递推关系式.证明数列为等差数列问题，基本思路为说明或，符合定义式即可证得结论.20.已知函数，，其中且，．（1）若函数f(x)与g(x)有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），求k的值；（2）当m>0，k = 0时，求证：函数有两个不同的零点；（3）若，记函数，若，使，求k的取值范围．【答案】（1）0；（2）详见解析；（3）或．【解析】【分析】（1）分别求得与的极值点，利用极值点相同构造方程，求得；（2）首先求得在上单调递减，在上单调递增；再通过零点存在定理，分别在两段区间找到零点所在大致区间，根据单调性可知仅有这两个不同零点；（3）根据已知关系，将问题变为：，又，则可分别在，，三个范围内去求解最值，从而求解出的范围.【详解】（1）因为，所以令，得当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以为的极值点因为，，所以函数的极值点为因为函数与有相同的极值点，所以所以（2）由题意，所以因为，所以令，得当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以为的极值点因为，，又在上连续且单调所以在上有唯一零点取满足且则因为且，所以所以，又在上连续且单调所以在上有唯一零点综上，函数有两个不同的零点（3）时，由，使，则有由于①当时，，在上单调递减所以即，得②当时，，在上单调递增所以即，得③当时，在上，，在上单调递减；在上，，在上单调递增；所以即（*）易知在上单调递减故，而，所以不等式（*）无解综上，实数的取值范围为或【点睛】本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，包括了单调性的求解、极值和极值点、最值问题，综合性较强.证明零点个数问题重点在于能够通过单调性将零点个数的最大值确定，进而再通过零点存在定理来确定零点个数；而能够将存在性问题转化为恒成立问题，通过最值来求解参数范围，也是解决此题的关键.数学Ⅱ（附加题）第21、22、23题，每小题10分，共计30分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.已知二阶矩阵有特征值，其对应的一个特征向量为，并且矩阵对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵．【答案】【解析】【分析】设二阶矩阵为，根据特征值、特征向量可列出关于的方程组，求解即可得到结果.【详解】设所求二阶矩阵因为有特征值，其对应的一个特征向量为所以，且所以，解得所以【点睛】本题考查二阶矩阵以及特征值与特征向量的计算问题，属于基础题.22.如图，四棱锥P ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，，F为BC的中点，．（1）若，求异面直线PD与EF所成角的余弦值；（2）若，求二面角E AF C的余弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据求得点坐标，从而表示出，通过夹角公式求得结果；（2）通过求得得点坐标，再进一步求出平面法向量，又面的一个法向量为，求出即可求得所求余弦值.【详解】以为原点，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系则，，，，，（1）当时，由得所以，又所以所以异面直线与所成角的余弦值为（2）当时，由，得设平面的一个法向量为，又，则，得又平面的一个法向量为所以所以二面角的余弦值为【点睛】本题考查利用空间向量法求解异面直线所成角和二面角的问题，关键在于能够准确地建立坐标系，并用坐标表示点、求解法向量；需要注意的问题是：平面法向量有无数条，方向不同会造成的符号不同，要判断好所求二面角与法向量夹角是等角关系还是补角关系，从而准确求得结果.23.设整数数列{a n}共有2n（）项，满足，，且（）．（1）当时，写出满足条件的数列的个数；（2）当时，求满足条件的数列的个数．【答案】（1）8；（2）.【解析】【分析】（1）当确定时，可确定，再逆推可知有种取法；再依据可知各有种取法；由于与有关，当确定时，必然随之确定，故根据分步乘法计数原理，可得数列个数为；（2）设，且，可推得：；又，可推得：；用表示中值为的项数可知的取法数为，再任意指定的值，有种，可知数列有个；再化简，可得最终结果.【详解】（1）时，，且则确定时，有唯一确定解又，可知有种取法若，则，则有种取法此时，也有种取法又，当确定时，随之确定故所有满足条件的数列共有：个满足条件的所有的数列的个数为（2）设，则由得①由得，则：即②用表示中值为的项数由②可知也是中值为的项数，其中所以的取法数为确定后，任意指定的值，有种由①式可知，应取，使得为偶数这样的的取法是唯一的，且确定了的值从而数列唯一地对应着一个满足条件的所以满足条件的数列共有个下面化简设两展开式右边乘积中的常数项恰好为因为，又中的系数为所以所以满足条件的数列共有个【点睛】本题考查新定义、排列组合、二项式定理问题，对学生分析解决问题能力要求较高；如何正确理解定义，同时找到定义式的切入点是解决问题的关键；题目对于排列组合、二项式定理知识的应用能力要求比较高，难度较大.。
2021届江苏省南师附中等四校高三联考数学试卷
2．
【解析】
试题分析：由 可得 ，所以答案应填： ．
考点：复数的乘、除法运算法则．时， ，所以答案应填： ．
考点：算法流程图的识读及分析、判断能力．
4．
【解析】
试题分析：由频率分布直方图可以看出在 ～ 之间的频率为 ，故 辆汽车在这段时间内以正常速度通过该处有 辆，所以答案应填： ．
4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为 ～ ，试估计2000辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有__________辆．
5．将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位，得到函数 的图象，若函数 的图象过原点，则 _________．
8．
【解析】
试题分析：由等比数列的性质可知 ，则以 为根的二次方程为 ，解之得 ，注意到公比为整数，所以 ，故 ，所以 ，答案应填： ．
考点：等比数列的通项公式和性质．
9．
【解析】
试题分析：设侧面三角形的高为 ，则 ，解之可得 ，故棱锥的高为 ，所以棱锥的体积为 ，答案应填： ．
考点：正四棱锥的侧面面积和体积公式．
10．
【解析】
试题分析：设圆心为 ，双曲线的一条渐近线方程为 ，则圆心 到渐近线 的距离 ，解之可得 ，故双曲线离心率的取值范围是 ，答案应填： ．
考点：1、点到直线的距离公式；2、圆与直线的位置关系；3、双曲线的渐近线、离心率．
（3）是否存在正整数 ，满足 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
21．如图，已知圆上是弧 =弧 ，过点 的圆的切线 与 的延长线交于点 ．
2021年江苏省南京市师范大学附属实验学校高三数学文测试题含解析
2021年江苏省南京市师范大学附属实验学校高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知i是虚数单位，则(2+i)(3+i)=A、5-5iB、7-5iC、5+5iD、7+5i参考答案：C2. 里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．参考答案：6 ，100003. 已知函数，若，则实数的取值范围为A. B. C. D.参考答案：D略4. 已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(－,0)对称，且满足f(x)＝－f(x＋)，f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)的值为 ( ）A．－2B．－1 C．0D．1参考答案：D 5. （2016?贺州模拟）已知函数f（x）=，则f（0）+f（log232）=（）A．19 B．17 C．15 D．13参考答案：A【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；规律型；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数的解析式，真假求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（0）+f（log232）=log24+1+=2+1+=19．故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．6. 若，则（）A．B．C．D．参考答案：D7. 已知函数f（x）=x2+ln（x+m）与函数g（x）=x2+e x﹣（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点（e为自然对数的底数），则m的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（﹣，）参考答案：A略8. 已知是所在平面内一点，，现将一粒红豆随机撒在内，则红豆落在内的概率是（）A ．B ．C ．D ．参考答案：B 略9. 数列是等差数列，T n 、S n 分别是数列的前n 项和，且 则（ ）A ． B. C. D.参考答案：【知识点】等差数列的性质．D2【答案解析】C 解析：因为等差数列前n 项和中，S 2n+1=（2n+1）a n ，所以S 11=11a 6，T 11=11b 6，所以===，∴=．故选：C ．【思路点拨】直接利用等差数列前n 项和的性质，S 2n+1=（2n+1）a n ，求出的值．10. 若存在过点(1,0)的直线与曲线和都相切,则( )A或B或C或D或参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在长方形中，，为的中点，若，则的长为参考答案：212. 已知，，则的值为 ．13. 已知P 是抛物线y 2=4x 上的动点，过P 作抛物线准线的垂线，垂足为M 、N 是圆（x ﹣2）2+（y ﹣5）2=1上的动点，则|PM|+|PN|的最小值是 ．参考答案：﹣1考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离，进而问题转化为求点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P ，Q ，F 三点共线时P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F 的距离减去圆的半径．解答： 解：抛物线y 2=4x 的焦点为F （1，0），圆（x ﹣2）2+（y ﹣5）2=1的圆心为Q （2，5）， 根据抛物线的定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离，进而推断出当P ，Q ，F 三点共线时P 到点N 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小为：﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．14. 函数的定义域为．参考答案：（﹣∞，0）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由分母中根式内部的代数式大于0求解绝对值的不等式得答案．【解答】解：由|x|﹣x ＞0，得|x|＞x，∴x＜0．∴函数的定义域为（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．15. 某程序框图如图所示，当输出y的值为﹣8时，则输出x的值为参考答案：16【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由程序框图知：第一次循环n=3，x=2，y=﹣2；第二次循环n=5，x=4，y=﹣4；第三次循环n=7，x=8，y=﹣6．第四次循环n=9，x=16，y=﹣8．∵输出y值为﹣8，∴输出的x=16．故答案为：16．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结16. 已知圆的方程为．设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为．参考答案：略17. 已知向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||= _________ ．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021届江苏省南京市高三第一学期期初联考数学试题Word版含解析
2021届江苏省南京市高三第一学期期初联考数学试题一、填空题1．已知集合A ＝{}12x x -<≤，B ＝{}0x x ≤，则A B ＝_______． 【答案】{}10x x -<≤【解析】根据交集定义直接求得结果. 【详解】由交集定义可得：{}10A B x x ⋂=-<≤ 本题正确结果：{}10x x -<≤ 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2．已知复数z 31ii-=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 . 【答案】-2【解析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数z 的虚部可求． 【详解】 ∵z ()()()()31324121112i i i ii i i i ----====-++-， ∴z 的虚部是﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为1600，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为_______．【答案】200.【解析】根据频率分布直方图求得三等品对应频率，根据频数等于频率乘以总数求得结果. 【详解】由题意可知，单间产品质量在[)10,15和[)35,40的为三等品∴三等品对应的频率为：0.0125250.125⨯⨯= ∴三等品件数为：16000.125200⨯=本题正确结果：200 【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算频数的问题，属于基础题.4．现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是_______． 【答案】13. 【解析】计算出三位数个数和其中偶数个数，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】三张卡片随机排序组成一个三位数，共有：336A =个，其中偶数有：222A =个∴该三位数是偶数的概率：2163p == 本题正确结果：13【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题. 5．函数21log y x =+______． 【答案】1[,)2+∞【解析】直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案. 【详解】由201log 0x x >⎧⎨+≥⎩，得12x ≥，∴函数21log y x =+的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题. 6．运行如图所示的伪代码，其结果为 ．【答案】17【解析】试题分析：第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=17 【考点】循环结构流程图7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：222116x y a -=(a ＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为453，则双曲线C 的方程为_______．【答案】2212016x y -=.【解析】由方程得到顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式构造方程求得2a ，从而得到所求方程. 【详解】由双曲线方程知，右顶点为(),0a ，渐近线方程为：4y x a=±，即40x ay ±-= ∴右顶点到双曲线渐近线距离2445316ad a ±=+220a =∴双曲线C 的方程为：2212016x y -=本题正确结果：2212016x y -=【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够利用点到直线距离公式构造方程求得未知量.8．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．【答案】32. 【解析】设球的半径为R ，可知圆柱高为2R ；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果. 【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R∴圆柱的表面积2212226S R R R R πππ=+⋅=；球的表面积224S R π=∴圆柱的表面积与球的表面积之比为21226342S R S R ππ==本题正确结果：32【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用，属于基础题.9．函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示．若函数()y f x =在区间[m ，n ]上的值域为[2-2]，则n ﹣m 的最小值是_______．【答案】3.【解析】根据三角函数图象求得函数解析式()2sin 4f x x π=；利用()2f x =-()2f x =求得x 的取值，可知当12k k =时取最小值，从而得到结果. 【详解】由图象知：()max 2f x = 2A ∴=，又()22628T πω==⨯-= 4πω∴=()22sin 22f πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2k ϕπ∴=，k Z ∈()2sin 22sin 44f x x k x πππ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭当()2f x =-1244x k πππ=-+或15244x k πππ=+，1k Z ∈ 181x k ∴=-或185x k =+，1k Z ∈当()2f x =时，2242x k πππ=+，2k Z ∈ 282x k ∴=+若n m -最小，则12k k = ()min 3n m ∴-= 本题正确结果：3 【点睛】本题考查利用三角函数图象求解函数解析式、根据值域求解定义域的问题；关键是能够通过特殊角三角函数值确定角的取值.10．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和．若121a q =，且527S S =+，则首项1a 的值为_______． 【答案】14. 【解析】首先验证1q =时，不符合题意，可知1q ≠；利用()252317S S a q q-=++=和2311aa q ==可构造方程求得q ，代入求得结果. 【详解】当1q =时，由527S S =+得：11527a a =+，解得：173a = 与11a =矛盾，可知1q ≠()252345317S S a a a a q q -=++=++=，2311a a q ==260q q ∴+-=，又0q >，解得：2q114a ∴=本题正确结果：14【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用，关键是能够利用已知等式构造出关于公比的方程.11．已知()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当x ＜0时，()(1)f x x x =-．已知m 满足不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为_______．【答案】(0，1).【解析】根据二次函数性质和奇偶性可知()f x 在()1,1-上单调递减；将不等式变为()()211f m f m -<-，根据单调性和定义域可得不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】()f x 为定义在()1,1-上的奇函数 ()00f ∴=(]1,0x ∴∈-时，()221124f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ ()f x ∴在(]1,0-上单调递减()f x 为奇函数 ()f x ∴在[)0,1上单调递减 ()f x ∴在()1,1-上单调递减由()()2110f m f m-+-<得：()()()22111f m f m f m-<--=-2211111111m m m m -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪->-⎩，解得：01m <<，即m 的取值范围为：()0,1 本题正确结果：()0,1 【点睛】本题考查利用单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够将问题转化为函数值之间的比较，根据单调性将函数值的比较变为自变量的比较；易错点是忽略定义域的要求，造成求解错误.12．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P(0x ，0y )，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点C(8，0)和点P 满足PO ＝λPC ，则λ的范围是_______． 【答案】1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】根据4PO =可知220016x y +=，利用PO PC λ=构造方程可求得0215x λ=-；根据044x -≤≤且0λ>可解不等式求得结果.【详解】120AOB ∠=，2OA OB == 4cos60AO PO ∴==，即22016x y += 又()22008PC x y =-+且PO PC λ= ()22200816x y λ⎡⎤∴-+=⎣⎦且0λ> 解得：20225115x λλλ-==-220016x y += 044x ∴-≤≤ 21454λ∴-≤-≤，解得：1,13λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦本题正确结果：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到两点间距离公式的应用、点的轨迹方程的求解；关键是能够利用λ表示出动点的横坐标，从而根据横坐标范围构造不等式. 13．如图，已知梯形ABCD ，//AD BC ，23BC AD =，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若2AB AD FA CD ⋅=⋅，则ABAD=_______．【答案】33. 【解析】作//FG AD ，根据三角形相似得到比例关系证得34DF DC =；利用平面向量线性运算可用AD ，AB表示出CD，FA ，根据数量积的运算律可整理得到223122AB AD=，从而得到结果.【详解】作//FG AD，交BD于点GAED FEG∆∆GF EGAD DE∴=，又2FG GD DE EGBC BD DE+==又23BCAD=，可得：2DE EG=3344DF DG EGDC DB EG∴===2133CD CB BA AD DA BA AD AD AB=++=++=-()3313344344FA AD DF AD DC AD AD AB AD AB⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+=-+-+=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22133312234422FA CD AD AB AD AB AB AD AB AD⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅--=+⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又2AB AD FA CD⋅=⋅223122AB AD∴=，即223122AB AD=3ABABAD AD∴==本题正确结果：33【点睛】本题考查平面向量的综合应用问题，涉及到向量的线性运算、向量数量积的运算律等知识；关键是能够用基底准确的表示向量，将数量积运算转化为模长之间的关系，属于较难题.14．已知函数()1ln,111,122x xf xx x+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,若12x x≠，且()()122f x f x+=，则12x x+的取值范围是________.【答案】[32ln2,)-+∞【解析】首先可根据题意得出12x x、不可能同时大于1，然后令121x x，根据122f x f x即可得出122212ln x x x x ，最后通过构造函数12ln 1g xx x x 以及对函数12ln 1g x x x x 的性质进行分析即可得出结果。
江苏省南京师范大学附属中学2021届高三理科数学9月周测卷(9月29日)
南师大附中2021届高三理科数学周测卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，22i z =-+（i 为虚数单位），则复数12z z 的虚部为（）． A ．75 B ．75- C ．7i 5 D ．7i 5- 2．设x ∈R ，则“2x >”是“22x >”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（）．A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺4．某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设有青铜器，瓷器，书画三个场馆．学校将活动时间分为三个时间段，每个时间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同，并且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有( ).A ．6种B ．9种C ．12种D ．18种5．()621x y ++的展开式中，3xy 的系数为（）． A ．120 B ．480 C ．240 D ．3206．已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是（）．A ．14B ．516C ．38D ．127．已知圆22:1O x y +=上恰有两个点到直线:1l y kx =+的距离为12，则直线l 倾斜角取值范围为（）． A ．ππ2π0,,323⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．π2π0,,π33⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．πππ2π,,3223⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．ππ2π,,π323⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．若函数()()224x f x x mx e =-+在区间[]2,3上不是单调函数，则实数m 的取值范围是（）．A ．2017,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2017,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．205,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．205,3⎛⎫ ⎪⎝⎭二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则 A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列10．今年7月，有关部门出台在疫情防控常态化条件下推进电影院恢复开放的通知，规定低风险地区在电影院各项防控措施有效落实到位的前提下，可有序恢复开放营业．一批影院恢复开放后，统计某连续14天的相关数据得到如下的统计表．其中，编号1的日期是周一，票房指影院票销售金额，观影人次相当于门票销售数量．由统计表可以看出，这连续14天内A ．周末日均的票房和观影人次高于非周末B ．影院票房，第二周相对于第一周同期趋于上升C ．观影人次，在第一周的统计中逐日增长量大致相同D ．每天的平均单场门票价格都高于20元11．若0a b c <<<，且1abc =，则A ．224a b +>B ．lg lg 0a b +<C ．22a c +>D ．22a c +>12．已知函数()sin(sin )cos(cos )f x x x =+，下列关于该函数结论正确的是A ．()f x 的图象关于直线x ＝2π对称 B ．()f x 的一个周期是2π C ．()f x 的最大值为2 D ．()f x 是区间(0，2π)上的增函数 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差2s 为_______．14．直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，12AA AB ==，60BAD ∠=︒，M 是1BB 的中点，则异面直线1A M 与1B C 所成角的余弦值为__________．15．2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5％，最初有0N 只，则至少经过______天才能达到最初的16000倍（结果需为整数，参考数据：ln1.050.0488≈，ln1.50.4055≈，ln16007.3778≈，ln160009.6803≈）．16．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，过1F 的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A 、B （B 在右侧），若()220BA BF AF +⋅=，则C 的离心率为_____． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数()()πsin 0,06f x A x A ωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭满足下列条件：①函数()f x 的最大值为2；②函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2． （1）求出()f x 的解析式；（2）求方程()10f x +=在区间[]π,π-上所有解的和．18．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差d ＞0，13=-a ，71221127满足，+++=S S S 求数列{}n a 的通项公式.19．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为4的菱形，PA PC =，BD PA ⊥，E 是BC 上一点，且3EC BE =，设AC BD O ⋂=．（1）证明：PO ⊥平面ABCD ；（2）若60BAD ∠=︒，PA PE ⊥，求二面角A PE C --的余弦值．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线120-+=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设()4,0A -，过点()3,0R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线163x =于M ，N 两点，若直线MR 、NR 的斜率分别为1k 、2k ，试问：21k k 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩．防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[)100,110，[)110,120，[)120,130，[)130,140，[]140,150，得到如下频率分布直方图．（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（2）在2020年“五一”劳动节前，甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加A 店一个订单“秒杀”抢购，同时乙计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加B 店一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均由()2,n n n *≥∈N 个该型号口罩构成．假定甲、乙两人在A ，B 两店订单“秒杀”成功的概率均为()212n +，记甲，乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数量分别为X ，Y ．①求X 的分布列及数学期望()E X ；②当Y 的数学期望()E Y 取最大值时正整数n 的值．22．已知函数()ln g x x x =．（1）求曲线()y g x =在点(e ，(e)g )处的切线方程；（2）设21()()x f x g x +=，证明()f x 恰有两个极值点1x 和2x ，并求12()()f x f x +的值．。
江苏省南京市2021-2022第一学期高三12月联考数学试卷
南京市2021—2022学年第一学期12月六校联合调研试题高三数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．1．若复数z 满足 z －·i ＝2+i,其中i 为虚数单位，则z =A ．1+2iB ．1－2iC ．－1+2iD ．－1－2i2．记A ＝{x |log 2(x －1)<2}，A ∩N ＝B ，则B 的元素个数为A ．2B ．3C ．4D ．53．已知cos θ＝13 ，则sin(2θ＋π2)＝A ．－79B ．79C ．23D ．－234．设a ，b 为非零向量，则“存在负数λ，使得a=λb ”是“a ·b <0”的 A ．充分必要条件 B ．必要而不充分条件 C ． 充分而不必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．将3名教师，3名学生分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和1名学生组成，若教师A 与学生B 要安排在同一地点，则不同的安排方案共有A ．72种B ．36种C ．24种D ．12种6．国务院新闻办公室8月12日发表《全面建成小康社会：中国人权事业发展的光辉篇章》白皮书指出：2020年，全国万元国内生产总值二氧化碳排放较2005年下降48.4%，提前完成比2005年下降40%-45%的碳排放目标.某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%.已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：时）之间的函数关系为P =P 0·e －kt (k 为正常数，P 0为原污染物数量）.该工厂某次过滤废气时，若前3个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要按规定排放废气，至少还需要过滤 A ．6小时B ．3小时C ．1.5小时D ．59小时7．设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是椭圆E 准线上一点，∠F 1MF 2的最大值为60°，则椭圆E 的离心率为A ．2124B ． 32C ． 22D ．2848．已知a ＝sin 13，b ＝13，c ＝1π则A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7在这次射击中，下列说法正确的是 A ．甲成绩的极差比乙成绩的极差大B ．甲成绩的众数比乙成绩的众数大C ．甲的成绩没有乙的成绩稳定D ．甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大10．已知函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，当x [1，＋∞)时，f (x )＝x 3，则 A ．f (0)＝0B ．对任意的正实数a ，都有f (a +4a )≥f (4)C ．f (1＋x )为偶函数D ．不等式f (x+1)<f (3)的解集为(-1,3)11．在平面直角坐标系中，三点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，7)，动点P 满足P A=2PB ，则 A ．点P 的轨迹方程为(x －3)2+y 2=8 B ．△PAB 面积最大时P A=26 C ．∠P AB 最大时，P A=26 D ．P 到直线AC 距离最小值为42512．在底面棱长为2侧棱长为23的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点E 为AC 1的中点，BD →=λBC →(0≤λ≤1),则以下结论正确的是A ．当λ=12时，A 1D →=12AB →+ 12AC →－AA 1→ B ．当λ=12时，AB 1//平面A 1C 1DC ．存在λ使得DE ⊥平面A 1B 1CD ．四面体E －ABC 外接球的半径为153三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．已知(x ＋ay )3的展开式中含x 2y 项的系数为6．则实数a 的值为 ▲ ．14．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为正方形OABC 的边OA ,OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为4，则a = ▲ ．15．若一个等差数列{a n }满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项，写出一个满足条件的数列的通项公式a n ＝ ▲ ． 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3(tanA+tanB)=tanA cosB +tanB cosA ，则a +bc= ▲ ；c =4，D 为AB 的中点且CD =33 ，则△ABC 的面积为 ▲ ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本题满分10分）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的t (t ＞0)倍，得到y ＝g(x )的图象．若π4为函数y ＝g(x )的一个零点，求t 的最大值．Ox y 第17题2π3 5π618．（本题满分12分）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹．某农户计划于2021年初开始种植新型农作物．根据前期各方面调查发现，该农作物的亩产量和市场价格均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表：该农作物亩产量（kg）9001200概率0.50.5该农作物市场价格（元/kg）3040概率0.40.6（1）设2021年该农户种植该农作物一亩的收入为X元，求X的分布列；（2）若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的收入超过30000元的概率．19.（本题满分12分）在①6S n=a n2+3a n－4；①a n=2a n-1－3n+5;两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.已知正项等差数列{a n}和等比数列{b n}，数列{a n}前n项和为S n，满足a2＝2b2－1．a3=b3＋2，_______.（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）数列{a n}和{b n}中的所有项分别构成集合A，B，将A①B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{c n}，求数列{c n}的前70项和.20．（本题满分12分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝2．（1）求证：AB⊥PC；（2）点M在线段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值为33，求三棱锥M﹣ACB体积．21．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝4x，点M(a，0) (a＞0)，直线l过点M且与抛物线C相交于A，B两点．（1）若a＝2，直线l的斜率为2，求AB的长；第20题（2）在x 轴上是否存在异于点M 的点N ，对任意的直线l ，都满足AN BN ＝AMBM ? 若存在，指出点N 的位置并证明，若不存在请说明理由．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x +a +b sin x －1的图象在原点处的切线方程为y =2x ． (1)求函数y ＝f (x )的解析式． (2)证明：f (x )≥2x ．。
江苏省南京市大学附属中学2021年高三数学理联考试卷含解析
江苏省南京市大学附属中学2021年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图所示，在正方体中，、分别为，的中点，为上一动点，记为异面直线与所成的角，则的值为（）．A．B．C．D．参考答案：D如图，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为，则，，，，．∴，，∴，，∴，．故选．2. 已知双曲线的两条渐近线均与圆相切,则该双曲线离心率等于A． B．C．D．参考答案：C略3. 设集合，若，则的范围是（）A． B． C． D．参考答案：B4. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．C．D．参考答案：C【考点】程序框图．【分析】从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的i的值与2的大小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止．【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1．执行，i=0+1=1；判断1≥2不成立，执行，i=1+1=2；判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为．故选C．5. 若直线l：过点(－1,2)，当取最小值时直线l的斜率为（）A. 2B.C.D. 2参考答案：A【分析】将点带入直线可得，利用均值不等式“1”的活用即可求解。
【详解】因直线过点，所以，即，所以当且仅当，即时取等号所以斜率，故选A【点睛】本题考查均值不等式的应用，考查计算化简的能力，属基础题。
6. 已知椭圆，点A，B是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：C7. 设，则不等式的解是A. B． C． D．或[来源:学科网]参考答案：D8. 设集合，，则A．B．C．D．参考答案：B9. 设是二次函数，若f(g(x))的值域是[0,+∞)，则g(x)的值域是（）A(-∞, -1]∪[1, +∞) B(-∞, -1]∪[0, +∞)C[0, +∞)D[1, +∞)参考答案：C10. 由函数的图象，变换得到函数的图象，这个变换可以是（）A ．向左平移B ．向右平移C. 向左平移 D ．向右平移参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正数x ，y ，z 满足x+2y+3z=1，则++的最小值为 ．参考答案：18【考点】二维形式的柯西不等式． 【专题】选作题；不等式．【分析】运用柯西不等式可得（x+2y+2y+3z+3z+x ）（++）≥（1+2+3）2，即可得出结论．【解答】解：由柯西不等式可得（x+2y+2y+3z+3z+x ）（++）≥（1+2+3）2，∵x+2y+3z=1， ∴2（++）≥36，∴++≥18，∴++的最小值为18．故答案为：18．【点评】本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题． 12. 在中，依次成等比数列，则角的取值范围是____________.参考答案：略13. 已知数列是等差数列，，，则过点和点的直线的倾斜角是 （用反三角函数表示结果） 参考答案：14. 已知，则=____________.参考答案：略15. 从某校2015届高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为 ．参考答案：20考点：频率分布直方图． 专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图，求出视力在0.9以上的频率，即可得出该班学生中能报A 专业的人数． 解答： 解：根据频率分布直方图，得：视力在0.9以上的频率为（1.00+0.75+0.25）×0.2=0.4，∴该班学生中能报A专业的人数为50×0.4=20；故答案为：20．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应利用频率分布直方图，会求某一范围内的频率以及频数，是基础题．16. 设分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，若△为直角三角形，则△的面积等于________。
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江苏南师附中2021届高三年级联考试题数 学参考公式：1．随机变量X 的方差()()21ni i i D X x p μ=-∑＝，其中μ为随机变量X 的数学期望． 2．球的体积公式：334R V π=． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M ＝{x |﹣4＜x ＜2}，N ＝{x |x 2﹣5x ﹣6＜0}，则M N = （ ） A ．{x |﹣1＜x ＜2} B ．{x |﹣4＜x ＜2} C ．{x |﹣4＜x ＜6}D ．{x |2＜x ＜6}2．若z=2+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．5C ．2D ．13 3．已知,a b ∈R ，下列四个条件中，使a b <成立的充分不必要的条件是（ ）A ．1a b <-B ．1a b <+C ．22a b <D ．33a b < 4．赵爽是我国古代数学家、天文学家．约公元222年，赵爽为《周髀 算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是 由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如 图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若 直角三角形较小的锐角为α，则tan2α的值为（ ）A ．34B ．2425C ．127D ．2475．函数ln ||()x f x x x=-的图象大致为（ ）6．已知随机变量X －1 a 1 P161312当a 在()11-，内增大时，方差()D X 的变化为（ ） A ．增大 B ．减小 C ．先增大再减小 D ．先减小再增大D7．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，连接AC ，MN 交于点P ．已知→AP ＝13→AC ，且→AM ＝34→AB ，若→AN ＝λ→AD ，则实数λ的值为（ ）A ．12B ．35C ．23D ．348．三棱锥中，，，的面积为11，则此三棱锥外接球的体积为 （ ）A ．π16 B ．π4 C ．π316 D ．π332二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．某城市为了解景区游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2020年2月至7月A ，B 两景区旅游人数（单位：万人），得到如下的折线图，则下列说法正确的是（ ）A ．根据A 景区的旅游人数折线图可知，该景区旅游人数的平均值在[]34,35内；B ．根据B 景区的旅游人数折线图可知，该景区旅游人数总体呈上升趋势；C ．根据A ，B 两景区的旅游人数的折线图，可得A 景区旅游人数极差比B 景区大；D ．根据A ，B 两景区的旅游人数的折线图，可得B 景区7月份的旅游人数比A 景区多． 10．已知F 为抛物线22y px =(0)p >的焦点，过点F 且斜率为3的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点A 在第一象限），交抛物线的准线于点C ．则下列结论正确的是（ ）A ．AF FC =B ．||2||AF BF =C ．||3AB p =D ．以AF 为直径的圆与y 轴相切 11．下列命题正确的有（ ）A ．若，，则；B ．若，，，则的最大值为4C ．若，，，则的最小值为；D ．若实数,则12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L .E . J . Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点.依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点；B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点；C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数；D ．若函数()e x f x x a =+-在区间[0,1]上存在不动点，则实数a 满足1e a ≤≤（e 为自然对数的底数）．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知数列，满足，其中是等差数列且1020112a a =，则122020b b b +++= ___________．14．双曲线()2222C:100x y a b a b-=>>，的一条渐近线与圆22x-3y 8M =：()+相交于A 、B 两点，|AB |22= ，则双曲线的离心率等于___________．15．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，四面体ABC P -为鳖臑，⊥PA 平面ABC ，BC AB ⊥,且2,1===BC AB PA ,则二面角B PC A --的正弦值为___________．16．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|≤π2)，已知(－π6，0)为f (x )图象的一个对称中心，直线x ＝13π12为f (x )图象的一条对称轴，且f (x )在[13π12，19π12]上单调递减，记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S的值为___________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在①cos2B ＋2cos 2B2＝1；②2b sin A ＝a tan B ；③(a －c )sin A ＋c sin(A ＋B )＝b sin B 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若________． （1）求角B 的大小；（2）若a ＋c ＝4，求△ABC 周长的最小值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足222)21(n n n S a n S ≥-＝．（1）求证：数列1{}nS 是等差数列； （2）设1n n b S =，21+1n n n n b c b b +=⋅（），求数列的前n 项和n TMxyO ANB 19．如图，在三棱锥ABC P -中，2==BC AB ，2====AC PC PB PA ．（1）证明：平面⊥PAC平面ABC ； （2）若点M 在棱BC 上，且PC 与平面PAM所成角的正弦值为43，求BM ．20．某校高三年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由1名男生和2名女生组成．比赛中每人投篮n 次（n *∈N ），每人每次投篮及相互之间投篮都是相互独立的．已知女生投篮命中的概率均为13，男生投篮命中的概率均为23．（1）当n ＝2时，求小组共投中4次的概率；（2）当n ＝1时，若三人都投中小组获得30分，投中2次小组获得20分，投中1次小组获得10分，三人都不中，小组减去60分．随机变量X 表示小组总分，求随机变量X 的分布列及数学期望．21． 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的长轴长为4，离心率为23，左右顶点为A ，B ．斜率存在的直线l 与椭圆交于M ，N 两点（M 在x 轴上方，N 在x 轴下方），记直线MA ，NB 的斜率分别为12k k ，． （1）求椭圆的标准方程；（2）若213k k =，证明：直线MN 过 定点，并求出该定点坐标．22．已知函数()1xf x e =-，()sing x x =（1）判断()()()F x f x g x =-在[0,)x ∈+∞上零点的个数；（2）当[0,]x π∈时，()()f x ag x ≥()a R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.数学参考答案一、 单选题CBADADBD 二、 多选题9、ABD 10、AD 11、ACD 12、BCD 三、填空题13、1010 14 15、36 16、512四、解答题17、解：（1）选①，由cos2B ＋2cos 2B2＝1得，2cos 2B ＋cos B －1＝0，解得cos B ＝12或cos B ＝－1（舍），因为()0,πB ∈，所以π3B =. ··················5分 选②，因为2sin tan b A a B =，sin 2sin cos a B b A B =，由正弦定理可得sin 2sin sin sin cos BB A A B =⋅，又因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =，因为()0,πB ∈，故π3B =. ····················5分 选③，因为(a －c )sin A ＋c sin(A ＋B )＝b sin B ，又A ＋B ＋C ＝π，故()()sin sin πsin A B C C +=-=， 所以由正弦定理，得()22a c a cb -+=，即222a c b ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =. ···················5分 （2）因为a ＋c ＝4，由余弦定理得，()22222cos 3163b a c ac B a c ac ac =+-=+-=-， 即2316ac b =-.因此221632a c b +⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，所以16－b 2≤12，解得2b ≥，当且仅当2a c ==时取等号. 所以min 2b =，因此ABC 周长的最小值为6. ···················10分18、(1)证明：当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n 2S n －1.整理，得S n －1－S n ＝2S n S n －1 . ……………………..2分两边同时除以S n S n －1，得1S n －1S n －1＝2.又1S 1＝1a 1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1为首项，以2为公差的等差数列．………..4分 (2)由(1)可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的通项公式为1S n ＝1＋(n －1)×2＝2n -1………..6分22221+14411=(21)(21)41n n n n b n n c b b n n n +-+==⋅-+-（） 111111()(21)(21)22121n n n n =+=+--+-+ ………..10分111111111(1)1()()2323522121n T n n ∴=+-++-++--+11(1)22121nn n n n =+-=+++ ………..12分19、解：（1）取AC 中点O ，因为2===AC PC PA ，所以ACPO ⊥，且3=PO ． 连结O B ，因为2A B B C A C ==，所以A B C △为等腰直角三角形， 且O B A C ⊥，121==AC OB ． 由222O PO B P B+=知P O O B ⊥． 2分 由,O P O B O P A C ⊥⊥知P O ⊥平面ABC ． 4分 又⊂PO 平面PAC ，所以平面⊥PAC 平面ABC ． 6分 （1）如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O x y z -．由已知得)3,0,0(),0,1,0(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(P C A B O -，)3,1,0(=AP ,取平面PAC 的法向量）（0,0,1=OB ．设）10)(0,1,(≤≤-a a a M ，则)0,2,(a a AM -=． 设平面P A M 的法向量为）（z y x n ,,=， 由00=⋅=⋅n AM n AP，得⎩⎨⎧=-+=+0)2(03y a ax z y ，取）（a a a n --=,3),2(3 8分设PC 与平面PAM 所成角为α，又)3,1,0(-=PC ，则433)2(3232|,cos |sin 222=++-=><=a a a an PCα， 10分所以2-=a （舍去）或32=a ,所以)0,31,32(M ，所以32=BM ． 12分20、（1）记“小组共投中4次”为事件A ，则女生中1人两次都不中的概率为()()()22212211C 1333- 1分 男生两次都不中的概率为()()()2222111333- 2分男生1次不中女生有1次不中的概率为()()()211122222111C 1C C 133333-⋅- 3分女生两人各有1次不中的概率为()()2212211C 1333⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 4分 ∴()()()()()()()()()()22222221111222221121122111C 11C 1C C 133333333333P A -+-+-⋅-＝()()2212211C 1333⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦＝12943729243＝． 5分 （2）X 的可能取值为－60，10，20，30 6分 ()()()221460113327P X ---＝＝＝()()()()212212111241011C 133333279P X -+--＝＝＝＝()()()()212211219120C 1133333273P X -+-＝＝＝＝()()2212303327P X ＝＝＝ 10分11分所以()()44121204060102030279327279E X -⨯+⨯+⨯+⨯＝＝＝ 12分21、解（1）由题知24,c a e a ===2,a c ==， 又因为222a b c =+，解得1b =， 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=； ……… 4分（2）设:MN y kx m =+，11(,)M x y ，22(,)N x y 联立22,44y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，化简得222(14)8440k x kmx m +++-=，则2121222844,1414km m x x x x k k --+==++， ………………6分由213k k =得2212219(2)(2)y y x x 2=-+，代入222212121,144x x y y =-=-得：121225()80x x x x -++=，……………… 10分所以2228840801414m kmk k-++=++，即：22450k km m ++=，m k =-，或4m k =-（舍，M ，N 在x 轴同侧）所以MN 过定点(1,0)． ……………………12分22、解：（1）()1sin xF x e x =--，所以'()cos xF x e x =-当(0,)x ∈+∞时，1xe >，cos 1x ≤，所以'()0F x >.所以()F x 在[0,)+∞上单调递增. ……2分又[0,)x ∈+∞，所以()(0)0F x F ≥=故()F x 在[0,)x ∈+∞上零点个数为1个. ………………4分 （2）记()1sin ()xx e a x a R ϕ=--∈.所以'()cos xx e a x ϕ=-，设'()()h x x ϕ=，()sin xh x e a x '=+，当0a ≤时，即0a -≥时，因为[0,]x π∈，sin 0x ≥，所以sin 0a x -≥，而10xe -≥，所以1sin 0xe a x --≥，即()0f x ≥恒成立.………………6分当01a <≤时，()sin 0xh x e a x '=+≥，所以'()x ϕ在[0,]π上递增，而'(0)10a ϕ=-≥，所以''()(0)0x ϕϕ≥=，所以()x ϕ在[0,]π上递增，即()(0)0x ϕϕ≥=成立， ………………8分当1a >时，()sin 0xh x e a x '=+≥，所以'()x ϕ在[0,]π上递增，而'(0)10a ϕ=-<，'202e ππϕ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以存在0[0,]x π∈，有()'00x ϕ=， 当00x x <<时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减，当0x x π<<时，'()0x ϕ>，()x ϕ递增，所以当0x x =时，()x ϕ取得最小值.最小值为()0x ϕ，而()0(0)0x ϕϕ<=，不成立.综上：实数a 的取值范围是(,1]-∞. ………12分。