江苏南师附中2021届高三年级联考试题(数学)

江苏南师附中2021届高三年级联考试题

数 学

参考公式：

1．随机变量X 的方差()()2

1n

i i i D X x p μ=-∑＝，其中μ为随机变量X 的数学期望． 2．球的体积公式：3

3

4R V π=

． 一、单项选择题：本题共8

小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合M ＝{x |﹣4＜x ＜2}，N ＝{x |x 2﹣5x ﹣6＜0}，则M N = （ ） A ．{x |﹣1＜x ＜2} B ．{x |﹣4＜x ＜2} C ．{x |﹣4＜x ＜6}

D ．{x |2＜x ＜6}

2．若z=2+i ，则|z 2–2z |=（ ）

A ．0

B ．5

C ．2

D ．13 3．已知,a b ∈R ，下列四个条件中，使a b <成立的充分不必要的条件是（ ）

A ．1a b <-

B ．1a b <+

C ．22a b <

D ．33a b < 4．赵爽是我国古代数学家、天文学家．约公元222年，赵爽为《周髀 算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是 由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如 图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若 直角三角形较小的锐角为α，则tan2α的值为（ ）

A ．34

B ．2425

C ．127

D ．247

5．函数ln ||

()x f x x x

=-

的图象大致为（ ）

6．已知随机变量X －1 a 1 P

16

13

12

当a 在()11-，

内增大时，方差()D X 的变化为（ ） A ．增大 B ．减小 C ．先增大再减小 D ．先减小再增大

D

7．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，连接AC ，MN 交于点P ．已知→AP ＝13

→

AC ，

且→AM ＝34→AB ，若→AN ＝λ→

AD ，则实数λ的值为（ ）

A ．12

B ．35

C ．23

D ．34

8．三棱锥中，，，

的面积为11，则此

三棱锥外接球的体积为 （ ）

A ．

π16 B ．π4 C ．π316 D ．π332

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．某城市为了解景区游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2020年2月至7月

A ，

B 两景区旅游人数（单位：万人），得到如下的折线图，则下列说法正确的是（ ）

A ．根据A 景区的旅游人数折线图可知，该景区旅游人数的平均值在[]34,35内；

B ．根据B 景区的旅游人数折线图可知，该景区旅游人数总体呈上升趋势；

C ．根据A ，B 两景区的旅游人数的折线图，可得A 景区旅游人数极差比B 景区大；

D ．根据A ，B 两景区的旅游人数的折线图，可得B 景区7月份的旅游人数比A 景区多． 10．已知F 为抛物线2

2y px =(0)p >的焦点，过点F 且斜率为3的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点

A 在第一象限），交抛物线的准线于点C ．则下列结论正确的是（ ）

A ．AF FC =

B ．||2||AF BF =

C ．||3AB p =

D ．以AF 为直径的圆与y 轴相切 11．下列命题正确的有（ ）

A ．若，，则；

B ．若，，，则的最大值为4

C ．若，，，则

的最小值为

；

D ．若实数

,则

12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家

鲁伊兹·布劳威尔（L .E . J . Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点.依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点；

B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点；

C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数；

D ．若函数()e x f x x a =+-在区间[0,1]上存在不动点，则实数a 满足1e a ≤≤（e 为自然对数

的底数）．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知数列

，

满足

，其中

是等差数列且1020112a a =，则

122020b b b +++= ___________．

14．双曲线()2222C:100x y a b a b

-=>>，的一条渐近线与圆22

x-3y 8M =：()+相交于A 、B 两点，

|AB |22= ，则双曲线的离心率等于___________．

15．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比

西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称

为鳖臑．如图，四面体ABC P -为鳖臑，⊥PA 平面ABC ，

BC AB ⊥,且2,1===BC AB PA ,则二面角B PC A --

的正弦值为___________．

16．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|≤π2)，已知(－π6，0)为f (x )图象的一个对称中心，直线x ＝13π

12为f (x )

图象的一条对称轴，且f (x )在[13π12，19π

12

]上单调递减，记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S

的值为___________．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．在①cos2B ＋2cos 2B

2＝1；②2b sin A ＝a tan B ；③(a －c )sin A ＋c sin(A ＋B )＝b sin B 这三个条件中任选

一个，补充在下面的横线上，并加以解答．

已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若________． （1）求角B 的大小；

（2）若a ＋c ＝4，求△ABC 周长的最小值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足2

22)21

(n n n S a n S ≥-＝．

（1）求证：数列1{}n

S 是等差数列； （2）设1n n b S =，2

1

+1n n n n b c b b +=⋅（）

，求数列

的前n 项和n T