《泛函分析》课程标准

《泛函分析》课程标准

英文名称：Functional Analysis 课程编号：407012010

适用专业：数学与应用数学学分数：4

一、课程性质

泛函分析属于数学一级科下的基础数学二级学科，在数学与应用数学专业培养方案中学科专业教育平台中专业方向课程系列的一门限选课程。

二、课程理念

1、培育理性精神，提高数学文化素养

基础数学研究数学本身的内在规律，是整个数学学科的基础，它在数学学科其他领域、物理学、工程及社会科学中都有着广泛的应用。《泛函分析》课程是数学与应用数学本科学生的专业课程之一，是数学分析、高等代数、实变函数等基础课程的后继课程，是研究生学习的基础，。它不仅在数学学科占有十分重要的地位，而且在其他学科领域也有广泛的应用，掌握泛函分析的方法对学生更好地理解基础课程的理论将有很大的益处。该课程培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力，体现知识、能力和素质的统一，符合应用型人才培养的目标要求。

2、良好的学习状态，提高综合解题能力

本课程面对的是数学与应用数学专业四年级的学生。学生刚刚结束教育实习，准备考研的学生进入紧张复习阶段，另一部分学生开始准备找工作。《泛函分析》这门课内容比较抽象，课时又少，所以，如何让学生安保持良好的学习状态，是本门课要面对的一个重要问题，也是学生要面对的一个具体问题。需要师生共同努力去正确面对才能顺利完成本门课的教学任务。为学习研究生课程和现代数学打下必要的基础；进一步提高学生的数学素养。

3、内容由浅入深

本课程的框架结构是根据教学对象和教学任务来安排的：

“度量空间”泛函分析的基本概念之一，十分重要。首先，引入度量空间的概念，并在引入度量的基础上定义了度量空间中的极限、稠密集、可分空间、连续映照、柯西点列、完备度量空间，对于一般的度量空间，给出了度量空间的完备化定理，并证明了压缩映照原理。然后，在度量空间上定义线性运算并引入范数，就得到线性赋范空间以及巴拿赫空间。在赋范空间上定义线性算子及线性泛函，并讨论相关性质。第三步，在线性赋范空间上定义内积，可以得到内积空间和希尔伯特空间的定义，在内积空间上引入正交以及投影的概念，并建立起相应的几何学，还要讨论希尔伯特空间上的算子，特别是自伴算子、酉算子、正常算子的一些初步性质。最后，介绍巴拿赫空间中的四个著名定理：Hahn-Banach泛函延拓定理，一致有界性定理,逆算子定理和闭图像定理，这些定理充分显示了泛函分析的威力及其广泛应用。

4、理论联系实际，拓展学生知识面

在教学过程中，主要把握以下几点：将先进的教学思想和教学理念贯穿到课程的内容和体系；强化数学思想方法、加强学生分析解决问题能力和数学素养的培养，让学生接受现代的、新的观念，以启迪学生的创新思维；准确把握课程定位，培养学生掌握扎实的数学基础知识、严密的逻辑思维能力以及应用数学知识解决实际问题的能力，同时为学生向科研型理论型人才发展留下充足的空间。课堂教学提倡启发式，采用各种现代化的教学手段，有些内容举一些数学分析中的例子使学生容易理解泛函分析的抽象理论等。教师通过应用信息技术手段，可以使得授课内容信息量大，学生更能深入泛函分析的内容。

要求学生做到：将书上的基本知识点吃透，注意咬文嚼字；注意抽象思维能力和逻辑思维能力，要求会做一些理论证明；要求在上课时认真听讲，完成课上训练和课堂作业．课下能够查阅

相关文献，了解相关结论。

5、深化考核方式的改进，确保教学质量

本课程主要采用课内外结合的学习方式，即课堂上以教师讲授为主，课下以学生实践为主，通过学习使学生掌握泛函分析基本思想，加深对数学知识的理解，达到学生能力培养的目标，同时为今后学习提供必要的理论基础。

通过本课程的考核，使学生比较系统地了解与掌握度量空间和线性赋范空间、有界线性算子和线性连续泛函、内积空间和巴拿赫空间、巴拿赫空间中的基本定理的基本概念、基本性质，提高抽象思维能力，为今后学习打下必要的基础，并能在较高的理论水平的基础上处理数学分析等课程的有关内容。

在教学过程中应要求学注意联系数学与应用数学专业的基础课程；要充分利用泛函分析的方法进行证明；注意培养学生应用泛函分析能力，提高证明的能力。

三、课程目标

本课程既要注重讲授基本的理论和知识，更要重视对学生的逻辑思维能力的培养和提高。

1、总目标

通过介绍本课程，使学生了解本课程的性质、地位及研究的主要范围、研究方法与该学科的进展；引导学生自觉、主动学习，改变被动式学校的方式，使学生掌握泛函分析的基本知识和基本理论；通过训练学生对一些结论的证明，使学生具备较强的抽象思维能力、逻辑推理能力，从而形成严格而精确的数学素养。

2、分目标

四、课程内容

根据课程特点，本课程内容划分为四个教学单元，每一单元的内容进一步划分为基础性内容、提高性内容、拓展性内容三部分。

第一单元度量空间和线性赋范空间

1、基础性内容

度量空间的概念和常见例子、度量空间中的极限、稠密集、可分空间、连续映照、柯西点列、完备度量空间、度量空间的完备化定理、压缩映照原理、线性空间、线性赋范空间和巴拿赫空间的基本概念。

2、提高性内容

在具体空间上定义度量，应用压缩映照原理解决具体问题。

3、拓展性内容

文化素质拓展：泛函分析发展简史。

知识拓展：把具体度量空间完备化。

第二单元有界线性算子和线性连续泛函

1、基础性内容

有界线性算子、线性连续泛函、线性算子空间、共轭空间。

2、提高性内容

广义函数大意。

3、拓展性内容

文化素质拓展：巴拿赫代数简单知识。

知识拓展：简单度量空间的共轭空间。

第三单元内积空间和巴拿赫空间

1、基础性内容

内积空间的基本概念、投影定理、Bessel不等式及相关定理、Riesz定理、自伴算子、酉算子、正常算子。

2、提高性内容

重要定理的证明方法。

3、拓展性内容

文化素质拓展：泛函分析中著名数学家简介。

知识拓展：应用本章定理证明一些相关结论。

第四单元巴拿赫空间中的基本定理

1、基础性内容

Hahn-Banach泛函延拓定理、C[a,b]的共轭空间、共轭算子、纲定理、一致有界性定理、强收敛、弱收敛、一致收敛、逆算子定理和闭图像定理

2、提高性内容

四个著名定理的证明方法。

3、拓展性内容

文化素质拓展：专业方向最新动态介绍。

知识拓展：四个著名定理的具体应用。

五、课程实施

1、学时安排

泛函分析是数学与应用数学专业课。每周安排4课时，共11周44课时，一个学期完成，根据教学要求，安排4-6节课时的讨论教学及习题课，其他以集中讲授为主。为使教学效果达到比