随机过程第2章 平稳过程与二阶矩过程

故
−∞
R yy (τ ) =
∞
−∞
* * R ( τ + a ) h ( a ) da = R ( τ ) * h (−τ ) yx ∫ yx
物理 意义?
∞
E (Y (t )) =
−∞
∫ E ( X (t − a))h(a)da
即
η y = η x ∫ h(a ) da = H (0)η x
−∞
∞
2.4.1 平均值和自相关
自相关： （1）确定X (t ) 和Y (t ) 之间的互相关
{
分布处理 讨论
Y (t ) X (t − τ ) =
*
∞
−∞
* X ( t − a ) X (t − τ )h(a )da ∫
2.3 功率谱与时间平均(2)
部 分 解 释
{
定理：（充分条件）若
T →∞
∞
lim E{S T (ω )} = S (ω )
T
−∞
∫ τR(τ ) dτ < ∞ ，则
证明：利用定义可得：
1 S T (ω ) = 2T 1 = 2T
T T −T
∫ X (u )e
− juω
du ∫ X * (v)e jvω dv
R (τ ) ≤ R xx (0) R yy (0)
2 xy
基本 不等式
2 | R xy (τ ) |≤ R xx (0) + R yy (0)
常用证明技巧
算数平均 几何平均
证明 技巧
n n ⎛ ⎞ ⎜ ∑ ai bi ⎟ ≤ ∑ ai2 ∑ bi2 i =1 i =1 ⎝ i =1 ⎠ n
2
重要 性?
R xy (t1 , t 2 ) = E ( X (t1 )Y (t 2 )) = R (t1 , t 2 + a ) − R (t1 , t 2 )
R yy (t1 , t 2 ) = E (Y (t1 )Y (t 2 )) = R xy (t1 + a, t 2 ) − R xy (t1 , t 2 ) = R (t1 + a, t 2 + a ) − R(t1 + a, t 2 ) − R(t1 , t 2 + a ) + R(t1 , t 2 )
则相应的雅可比行列式的值为
∂u J = ∂τ ∂u ∂λ ∂v ∂τ = 1 / 2 − 1 / 2 = 1 / 2 ∂v 1 / 2 1 / 2 ∂λ
坐标转换
2.3 功率谱与时间平均 (4)
于是
1 E{S T (ω )} = 2T
2T
2T
− 2T − 2T +|τ |
2T
∫
2T −|τ |
− jωτ R ( τ ) e dλdτ ∫
R(t1 , t 2 ) = E{(a cos wt1 + b sin wt1 )(a cos wt 2 + b sin wt 2 )} = E (a 2 ) cos wt1 cos wt 2 + E (b 2 ) sin wt1 sin wt 2 = σ 2 cos w(t1 − t 2 ).
注解:
宽平稳过程与严平稳过程的讨论
{
严平稳+二阶矩存在性 可以导出 它是宽 平稳过程. 下面给出一个具体的验证证明.
{
利用数学定义的处理技巧
讨论：
{
当一个严平稳过程的一阶矩、二阶矩存在时，它 一定是宽平稳过程；否则，结论不成立。 一般的宽平稳过程不是严平稳过程，因为“一阶 矩与时间无关”是不能推出它的概率分布也与时 间无关；同样，自相关函数只依赖于时间差，也 不能推出它的二维联合概率分布与采样时间有关。 如果一个过程的所有的高阶矩或高阶相关函数完 全由一阶矩、二阶矩决定，此时，宽平稳与严平 稳是等价的。到目前为止，我们了解到的具有此 类特征的过程只有正态过程（高斯过程）和平稳 马尔科夫链。
Байду номын сангаас
cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
迭代的 初始条件
有许多特殊的应用 利用随机微分方程分析信道的统计特性 07 IEEE T-IT
显然，其自相关 函数是参数 r 和 n 的函数，它表 明序列{Xn} 不 是平稳过程。
当 n 充分大时，此 一阶回归模型可以 看成渐近平稳过程。
2.4 线性系统
{
复习 <信号与系统>
{
对给定一个线性系统，它的脉冲响应记为h(t ) ，相 应的频域响应记为 H (ω ) 。 现设该系统的输入 X (t )是一个过程，则相应的输出 可表示为：
∞
Y (t ) =
{
−∞
∫ X (t − a)h(a)da = ∫ X (a)h(t − a)da
−∞
* *
= R xy (τ ) − η xη * y
2.1 相关函数
简单的性质： (1)若Z (t ) = X (t ) + Y (t ) ，则 Rzz (τ ) = Rxx (τ ) + Ryy (τ ) + Rxy (τ ) + Ryx (τ )
{
(2)若X (t)与 Y(t) 独立，W(t)=X(t)Y(t), 则 RWW (τ ) = Rxx (τ . )Ryy (τ ) (3) R (0) ≥ 0.
2.1 相关函数
(4)若X (t) 为实的，则 E{[ X (t + τ ) ± X (t )]2 } = 2[ R(0) ± R (τ )] ≥ 0 从而得 R (τ )在原点达到极大值。如果 R (τ )关于 τ = 0 处可导，则有 R ′(0) = 0。 (5)对于两个实过程 X (t )与 Y (t ) ，则
2.1 相关函数
{
{
两个联合平稳的过程 X (t),Y (t)，其联合二阶 矩 Rxy (τ ) = E{ X (t + τ )Y * (t )} = R * yx (−τ )是它们的互相 关。 自协方差与互协方差定义为：
C (τ ) = E{[ X (t + τ ) − η ][ X * (t ) − η * ]} = R (τ )− | η | 2 C xy (τ ) = E{[ X (t + τ ) − η x ][Y (t ) − η y ]}
2 −∞
2.2 功率谱
讨论： （1）若过程 X (t )是实的，则 R (τ ) 也是实的， 而且是偶函数，因此S (ω ) 也是偶函数，此 ∞ 时有
{
S (ω ) =
−∞
∫ R(τ ) cos(ωτ )dτ
∞ −∞
1 R (τ ) = 2π
∫ S (ω ) cos(ωτ )dω
（2）功率谱定义为互相关函数的付里叶变 换似乎缺少一定理由。
推广 应用
思考: 0 在平稳分布中的作用
0 点的重要性,
1) 2) 3) 4)
连续性, 周期性, 有界性, 极值特性,
思考: 0 在平稳分布中的作用
0 点的重要性,
1) 2) 3) 4)
连续性, 周期性, 有界性, 极值特性,
基本思想: 局部代表整体
例题
{
应用讨论
例2.2.2 X (t ) 的自相关为 R(t1 , t 2 ) ，a 为常数，求 的自相关函数。 Y (t ) = X (t + a ) − X (t ) 解：分两步求解，
{
{
基本结论总结:
{
{ {
AR(1)是渐近平稳, 渐近性的理由? MA(q)是平稳的. 利用数学定义证明: (严平稳是宽平稳)
2.2 功率谱
定义： 函数
基本 定义
∞
一个随机过程 X (t )的功率谱是它自关 ) 记为 S (ω。即 R (τ 的付里叶变换 )
S (ω ) = ∫ e − jωτ R(τ )dτ
平稳过程与二阶矩过程
第二章 平稳过程与二阶矩过程
授课教师：樊平毅 清华大学电子工程系 2012
内容简介
{ { { { { { { { { { {
2.1 相关函数 2.2 功率谱 2.3 功率谱与时域平均 2.4 线性系统 2.5 随机连续性 2.6 随机微分(均方意义) 2.7 Taylor级数 2.8 随机微分方程 2.9 随机积分 2.10 遍历性讨论 2.11 抽样定理与随机预测
−∞ +∞
1 R (τ ) = 2π
*
∫
+∞
−∞
S (ω )e jωτ dω
τ) 因为 R(−τ ) = R ( ，故 是个实函数 S (ω ) 1 由于 2 π ∫ S (ω ) d ω = R ( 0 ) = E {| X ( t ) | } ≥ 0 ，故 S (ω ) / 2π 的总面积为非负，且等于过程的“平均功 率”。
2.2 功率谱
{
定义：两个过程 X (t ), Y (t )的交叉功率谱是它 们互相关函数的付里叶变换：
S xy (ω ) =
∞ −∞ − jωτ * R ( τ ) e d τ = S yx (ω ) ∫ xy
相应的反演公式为
1 R xy (τ ) = 2π
∞ −∞ jωτ S ( ω ) e dω ∫ xy
−T
T
−T −T
∫
− jω ( u − v ) * X ( u ) X ( v ) e dudv ∫
2.3 功率谱与时间平均 (3)
又 故
E ( X (u ) X * (v)) = R(u − v)
1 E{S T (ω )} = 2T
T T
−T −T
∫
− jω ( u − v ) R ( u − v ) e dudv ∫
E{Y (t ) X * (t − τ )} =
∞
−∞
∫R
xx
(τ − a )h(a )da
此表明X(t)和Y(t)之间的互相关与时间t无关，它 等价
R yx (τ ) = R xx (τ ) ∗ h(τ )
2.4.1 平均值和自相关
Y (t ) 的自相关 （2）
∞
Y (t + τ )Y * (t ) = ∫ Y (t + τ ) X * (t − a ) h * (a ) da
∞
事实上，对于每一个可实现系统，其脉冲响应取实 值，且当t小于零时，其值为零。在这种情况下，
Y (t ) = ∫ x(t − a)h(a)da =
0 ∞
−∞
∫ X (a)h(t − a)da.
t
X(t) h(t)
Y(t)
线性系统 输入/输出: 时域卷积, 频域乘积
2.4.1 平均值和自相关
{
平均值：设输入过程是平稳的，于是我们可得
t1 = t 2 = t 时， 特别，
E{[ X (t + a ) − X (t )]2 } = R(t + a, t + a) − R(t + a, t ) − R(t , t + a) + R(t , t )
例题
例题
{
例2.2.3 设过程X (t ) 由下式给出 X (t ) = a cos wt + b sin wt a , b 是两个独立正态随机变量， 且有 E (a) = E (b) = 0, E (a 2 ) = E (b 2 ) = σ 2 w为常量， 求 X (t )的平均值与自相关？ 解：容易求得 E ( X (t )) = 0.。下面求解相关函数：
1 = ∫ R (τ )e − jωτ dτ − 2T − 2T
− 2T
− jωτ | τ | R ( τ ) e dτ ∫
{
利用已知条件可得：当 T → ∞时，上述第二个积分 的值趋于零，第一个积分趋于 S (ω ) 。证毕 讨论：因为 ST (ω )的值为非负的，故它的期望值也 非负；因此，我们可以判定 S (ω ) ≥ 0. 此定理从另一 个侧面告诉我们直接利用相关函数的傅立叶变换可 得到功率谱是有意义的。
2.3 功率谱与时间平均 (1)
{
假设 X (t ) 为平稳随机过程, 定义(− T , T )区间 内的“平均随机功率” 为
1 S T (ω ) = 2T
∫
T
−T
X (t )e − jωt dt
2
{
问题：在什么条件下，当 T → ∞时，随机 变量ST (ω ) 的期望值应趋于 S (ω ) ，而它的方 差应趋于零。
例题
注解: 讨论此问题时,首先要讨论功率谱的存在性,然后再进行计算.
注意 条件与结论
逆问题: 利用功率谱密度计算自相关函数和 平均功率?
需要注意 什么?
思考
逆向应用
对称性处理
究竟如何求解 此类问题?
面向应用 线谱分量存在
组合应用
值得思考的几个问题
1 功率谱函数是否可以任意选择? 如果一个 函数是某一随机过程的功率谱函数,如何 进行判定? 2自相关函数是否可以任意选择? 如果选择 时应注意什么? 3 它们与传统的Fourier变换对之间有什么 不同?
2.1 相关函数
{
{
{
对于宽平稳过程 X (t )而言，其平均值定义为 η = E { X ( t )} = η x 其中 E ( X )表示对随机变量X取均值。 互相关函数为 R(τ ) = E{X(t +τ )X * (t)}= Rx (τ ) = Rxx(τ ) * 表示取共轭运算。 (τ ) 显然， R(−τ ) = R *。 若X(t) 是实的宽平稳过程，则R(τ)为偶函数。