第一章习题解答

足Y = 6 X + 22. 讨论X与Y的相关与正交问题.
RXY = E[ XY ] = E[ X (6 X + 22)] = 6 E[ X 2 ] + 22 E[ X ]
σ = E[ X ] (E[ X ])
2 X 2
2
2 2 E[ X 2 ] = σ X + m X = 11
RXY = 6 ×11 + 22 × 3 = 0
∏Φ
i =1
n
Xi
(aiω )
7
1.17 已知高斯随机变量 X的数学期望为零 , 方差为1, 求Y = aX 2 ( a > 0) 的概率密度 .
x2 2
1 解 : f X ( x) = e 2π
Y X 1 = h1 (Y ) = a X = h (Y ) = Y 2 2 a
f Y ( y ) = f X ( h1 ( y )) h1 ' ( y ) + f X ( h2 ( y )) h2 ' ( y ) = =
1 1 2a e + 2π 2 ay y 1 1 2a e 2π 2 ay y
1 e 2πay
y 2a
fY ( y) =
1 e 2a 2πay
y
8
1.20 若X为在[0,1]区间上均匀分布的随机变量, 求X的特征函数及所有原点矩.
1 0 ≤ x ≤ 1 解 : f X ( x) = 0 x为其它 Φ X (ω ) = ∫ f X ( x)e jωx dx
V的概率密度pV (v), V与W的联合概率密度pVW (v, w).
2 SV = E[V 2 ] = E[( X Y ) 2 ] = E[ X 2 2 XY + Y 2 ]
= E[ X 2 ] 2 E[ XY ] + E[Y 2 ]
2 σ X = E[ X 2 ] (E[ X ])2
= 2 + (1) 2(1)3 + 2 + 3
解 : Φ X (ω ) = ∫ f X ( x)e
∞ 0
∞
jωx
1 x jωx dx = ∫ e e dx ∞ 2
∞
∞1 1 (1+ jω ) x ( 1+ jω ) x =∫ e dx + ∫ e dx ∞ 2 0 2 1 1 1 1 1 = + = 2 2 1 + jω 2 1 + jω 1 + ω
0
∞
1 y e dy = 8 2
15
已知随机变量 X与 Y之间的联合概率密度为 1 4 x 2 x 1 2 p XY ( x, y ) = ( e + e ) e ( x ≥ 0, y ≥ 0). 4 3 2 求 Y的方差 D[Y ], X与 Y的相关矩 R XY , X与 Y的 相关系数 ρ XY .
1 pVW (v, w) = pV (v) pW (w) = e 8π
1 [(v+4)2 +(w2)2 ] 8
12
已知随机变量 X与 Y之间的联合概率密度为 1 4 x 2 x 1 2 p XY ( x, y ) = ( e + e ) e ( x ≥ 0, y ≥ 0). 4 3 2 求 X的均值 m X , X的概率分布函数 FX ( x ), Y的方差 D[Y ], X与 Y的相关矩 R XY , X与 Y的相关系数 ρ XY .
2 2σ V
pV (v) =
e
mV = m X mY = 4
2 2 2 σV = σ X + σY = 4
11
已知X , Y是两个独立的高斯随机 变量, 其均值和方差分别为
2 2 m X = 1, mY = 3, σ X = 2, σ Y = 2, 令V = X Y , W = X + Y .
2
2
2 SV = 20
RVW = E[VW ] = E[( X Y )( X + Y )] = E[ X 2 Y 2 ] = E[ X 2 ] E[Y 2 ] = 2 + (1) 2 (2 + 32 ) = 8
10
已知X , Y是两个独立的高斯随机 变量, 其均值和方差分别为
2 2 m X = 1, mY = 3, σ X = 2, σ Y = 2, 令V = X Y , W = X + Y .
3 y
1 pX (x) = e 4
∞
3 x 4
2 x + eBiblioteka Baidu3
10 mX = 9
y
X与 互 独 Y 相 立
1 2 pY ( y ) = ∫ p XY ( x, y )dx = e ∞ 2
∞ ∞
p XY ( x, y ) = p X ( x) pY ( y )
∞
mY = ∫ ypY ( y )dy = ∫
3 y
1 3 x 2 x p X ( x) = ∫ p XY ( x, y )dy = e 4 + e ∞ 4 3
∞
m X = ∫ xp X ( x ) dx = ∫
∞
x x
∞
∞
0
1 x( e 4
3 x 4
2 x 10 + e ) dx = 3 9
3 x 4
1 FX ( x) = ∫ p X (λ )dλ = ∫ ( e ∞ 0 4
0
1 y e dy = 2 2
y 2
14
已知随机变量 X与 Y之间的联合概率密度为 1 4 x 2 x 1 2 p XY ( x, y ) = ( e + e ) e ( x ≥ 0, y ≥ 0). 4 3 2 求 Y的方差 D[Y ], X与 Y的相关矩 R XY , X与 Y的 相关系数 ρ XY .
3 λ 4
2 λ 1 + e ) dλ = 1 e 3 3
2 x e 313
已知随机变量 X与 Y之间的联合概率密度为 1 4 x 2 x 1 2 p XY ( x, y ) = ( e + e ) e ( x ≥ 0, y ≥ 0). 4 3 2 求 Y的方差 D[Y ], X与 Y的相关矩 R XY , X与 Y的 相关系数 ρ XY .
求V与W的相关系数 ρVW , V的概率密度 pV (v ), V与W的联合 概率密度 pVW (v, w).
RVW = 8
ρVW = σVσW
1 2π σ V
2 SV = 20
CXY = RXY mX mY
CVW
CVW = RVW mV mW = 8 (4)(2) = 0
ρVW = 0
( v mV ) 2
2 2
2
RXY = 3σ + m(3m 2) = 3(σ + m ) 2m
1.8 已知二维随机变量( X , Y )的二阶混合原点矩m11 及数学期望m X 和mY , 求随机变量X , Y的二阶混 合中心矩.
解 : 11 = E[( X m X )(Y mY )] = C XY
= RXY m X mY
另一种解法： 另一种解法：
FT[e
α t
2α ]= 2 α +ω2
1 Φ XX((ω ) = FT [ f X ( x)] = Φ ω 2 1+ ω
6
1.15 已知互相独立随机变量X 1 , X 2 , L, X n的特征函数, 求X 1 , X 2 , L , X n线性组合 Y = ∑ (ai X i + c) 的特征
i =1 n
函数. a和c是常数.
解 : 设 X i的特征函数为 Φ X i (ω ), 则 ai X i + c 的特征函数为 e
jω c
Φ X i ( aiω )
当i取不同的值时ai X i + c相互之间是独立的
Φ Y (ω ) = ∏ [e
i =1
n
jωc
Φ X i (aiω )] = e
jnωc
RXY = E[ XY ] = m11
C XY = m11 m X mY 11 = m11 m X mY
3
1.12 求随机变量 X的特征函数 ,已知随机变量 X的概率密度
∞ ∞
f X ( x ) = 2e
j ωx
ax
∞
a > 0, x ≥ 0.
ax
解 : Φ X (ω ) = ∫ f X ( x)e
σ = E[ X ] m
2 2
2
E[ X ] = σ + m
2 2
2
RXY = 3(σ + m ) 2m
2 2
1
1.7 设随机变量 X的数学期望和方差分别 为m和σ ,
2
求随机变量 Y = 3 X 2的数学期望 、 方差及X 和Y的相关矩.
解法二： 解法二：利用相关矩和协方差的关系求解
解 : E[Y ] = 3m 2,
1
π α +x
2
α
2
,
解 : Φ X (ω ) = ∫
∞
1
∞
π α +x
2
α
2
e
jωx
dx
1 ∞ 2α jωx α ω = ∫ e dx 2 2 =e 2π ∞ α + x
FT[F(t)] = 2πf (ω)
FT[e
α t
2α ]= 2 2 α +ω
Φ X (ω ) = e
α ω
5
1 x 1.14 求概率密度为 f X ( x ) = e 的随机变量 X的特征函数 . 2
求 V的概率密度 pV (v ), V与W的联合概率密度 pVW (v, w).
1 pV (v) = e 2 2π
(v+4)2 8
ρVW = 0
V与 不 关 W 相
( w2)2 8
mW = m X + mY = 2
2 2 2 σW = σ X + σ Y = 4
1 pW (w) = e 2 2π
dx = ∫ 2e
0
e
jω x
dx
另一种解法
2 2 ( a jω ) x ∞ = e = 0 a jω a jω
ax
2 FT [ f X ( x)] = FT [2e ] = = Φ X (ω ) jω + a 2 Φ X (ω ) = jω + a 4
1.13 已知随机变量X服从柯西分布f X ( x) = 求它的特征函数.
3 y
mY = 2
2 Y 2
E[Y ] = 8
2
10 mX = 9
X与 互 独 Y 相 立
σ = E[Y ] (E[Y])
RXY
2
D[Y ] = 8 2 2 = 4
10 20 = E[ XY ] = E[ X ]E[Y ] = 2 = 9 9
ρ XY = 0
16
2 设随机变量X , 其m X = 3, σ X = 2; 设随机变量Y满
1.7 设随机变量 X的数学期望和方差分别 为m和σ ,
2
求随机变量 Y = 3 X 2的数学期望 、 方差及X 和Y的相关矩.
解法一: 解法一:利用相关矩的定义求解
解 : E[Y ] = 3m 2,
D[Y ] = D[3 X 2] = 9σ 2
2
RXY = E[ XY ] = E[ X (3 X 2)] = E[3 X 2 X ]
∞ ∞
Φ X (ω ) =
n
∫ 1 e
0
∞
1
jω x
1 jω dx = ( e 1) jω
1 n
1 m n = E [ X ] = ∫ x f X ( x ) dx = ∫ x dx = ∞ 0 n +1
n
9
已知X , Y是两个独立的高斯随机变量, 其均值和方差分别为
2 2 m X = 1, mY = 3, σ X = 2, σ Y = 2, 令V = X Y , W = X + Y . 2 求V的均方值SV , V与W的相关矩RVW , V与W的相关系数ρVW ,
3 y
1 pY ( y) = e 2
2 ∞ ∞
y 2
mY = 2
∞ 2
2 σY = E[Y 2 ] (E[Y])2
E[Y ] = ∫ y pY ( y )dy = ∫
2
0
1 2 y e dy = ∫ y de 0 2
y 2 ∞ y 2 0
y 2
∞
y 2
= y e
2
y ∞ 2 0
+ 2 ∫ ye dy = 4 ∫
D[Y ] = 9σ 2
C XY = E[( X m)(Y mY )] = E[( X m)(3 X 2 + 3m + 2)] = E[( X m)(3)( X m)] = 3E[( X m) 2 ] = 3σ 2
C XY = RXY m X mY
2
RXY = C XY + m X mY
X与 正 Y 交
C XY ≠ 0
CXY = RXY mX mY
X与 相 Y 关
17
mY = E[6 X + 22] = 6 × 3 + 22 = 4