第二十一章21.1.1 二次根式的概念-课件
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《二次根式的定义》PPT课件
HS版九年级上
第21章 二次根式
21.1 二次根式 第1课时 二次根式的定义
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提示：点击 进入习题
1C 2A
3C 4C
5D 6C 7C 8B
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91 10 D 11 B
14 2
15
5 6
16 (1)1.(2)3.
12 A
13 x，y的值分别为－1，3.
答案显示
探究培优
16．请认真阅读下面这道例题的解法，并完成后面两问的
作答．
例：已知 y＝ 2 021－x＋ x－2 021＋2 022，求xy的值．
解：由x2－02210－21x≥≥00，解得 x＝2 021，∴y＝2 022.
∴xy＝22
022 021.
探究培优 (1)若 x，y 为实数，且 y> x－3＋ 3－x＋2，化简：|1y－－1y|；
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
解：由x3－ －3x≥≥00，解得 x＝3， ∴y>2.∴|1y－－1y|＝yy－－11＝1.
探究培优 (2)若 y· 2x－2＋ 1－x＝y＋2，求 y2＋5x的值．
解：由21x－－x2≥≥00，解得 x＝1， ∴y＝－2，∴ y2＋5x＝3.
同学们下课啦
授课老师：xxx
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长，则△ABC 的周长是( B ) A．12 B．10 C．8
第21章 二次根式
21.1 二次根式 第1课时 二次根式的定义
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15
5 6
16 (1)1.(2)3.
12 A
13 x，y的值分别为－1，3.
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探究培优
16．请认真阅读下面这道例题的解法，并完成后面两问的
作答．
例：已知 y＝ 2 021－x＋ x－2 021＋2 022，求xy的值．
解：由x2－02210－21x≥≥00，解得 x＝2 021，∴y＝2 022.
∴xy＝22
022 021.
探究培优 (1)若 x，y 为实数，且 y> x－3＋ 3－x＋2，化简：|1y－－1y|；
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
解：由x3－ －3x≥≥00，解得 x＝3， ∴y>2.∴|1y－－1y|＝yy－－11＝1.
探究培优 (2)若 y· 2x－2＋ 1－x＝y＋2，求 y2＋5x的值．
解：由21x－－x2≥≥00，解得 x＝1， ∴y＝－2，∴ y2＋5x＝3.
同学们下课啦
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华师版九年级数学上册第二十一章教学课件 二次根式
知1－讲
●含有二次根号“ ”；
●被开方数是正数或0.
特别地：形如b a(a ≥ 0)的式子也是二次根式， 它表示b与 a 的乘积，当b是带分数时，要写 成假分数的形式.
感悟新知
例 1 给出下列式子：
知1－练
① (－2)2；②3 7；③ 9；④ x＋y；⑤ a2＋1； ⑥ －2a2－1, 其中一定是二次根式的是 __________.(只填序号)
感悟新知
知1－练
解：(1)由二次根式 a 中的被开方数的非负性“a≥0”， x－3 0,
得3－x 0,∴x=3. ∵y= x－3＋ 3－x +2，∴y=2. ∴xy=32=9.
答案：9
感悟新知
(2)[中考·泰州]实数a，b满足 a＋1 +4a2+4ab+b2=0， 知1－练
则ba的值为( )A. 2
关键.
3. 计算 a2一般有两步：
(1)去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式；
(2)去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简.
感悟新知
例 5 在实数范围内分解因式：
(1)x2－5；
(2)x4－4x2+4.
解题秘方：逆用( a ) 2=a 分解因式.
警示误区： 逆用二次根式的性质时，必须先确定
第21章 二次根式
21.1 二次根式
学习目标
1 课时讲解 二次根式的定义
二次根式的性质
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
1. 二次根式的定义 一般地，我们把形如 a (a ≥ 0)的式子 叫做二次根式；“ ”叫做二次根号.
《二次根式课件》公开课课件
二次根式的历史与文化背景
01
二次根式的起源
二次根式最初起源于古希腊数学家毕达哥拉斯学派，他们研究了直角三
角形的边长关系，发现了直角三角形的勾股定理。
02 03
二次根式的发展历程
随着数学的发展，二次根式在各个历史时期都得到了广泛的应用和研究 。特别是在文艺复兴时期，数学家们开始系统地研究二次根式的性质和 运算方法。
二次根式的性质
总结词
二次根式具有非负性、算术平方根的单调性、算术平方根的取值范围等性质。
详细描述
二次根式的被开方数是非负数，因此二次根式本身也是非负数。此外，算术平 方根具有单调性，即随着被开方数的增大，其平方根也单调增大。最后，算术 平方根的取值范围是非负实数。
二次根式的化简
总结词
化简二次根式的方法包括因式分解、配方法、直接开平方法 和分母有理化等。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词
简化表达式
详细描述
二次根式在代数式变形中有着重要的应用，它可以简化复杂的代数表达式。通过利用二 次根式的性质和运算法则，可以将复杂的代数表达式化简为更简单的形式，方便后续的
运算和分析。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词：因式分解
详细描述：在代数式变形中，二次根式还可以用于因式分解 。通过提取公因式和利用二次根式的性质，可以将多项式进 行因式分解，从而更好地理解和分析代数式的结构。
详细描述
化简二次根式是数学中常见的代数运算之一。通过因式分解 或配方法，将二次根式化为最简形式。如果被开方数是多项 式，则可以使用直接开平方法或分母有理化进行化简。化简 后的二次根式更易于计算和运用。02 二次 Nhomakorabea式的运算
二次根式的加减法
数学：21.1《二次根式》课件(人教版九年级上)
二次根式的性质(难点) 例 2：计算：
(1)
32 ＝____________； 2 5)2＝____________；
(2)(－3
(3) (4)
52 ＝____________； 6 72 ＝____________. 2
3 自主解答：(1)2
思路导引：∵|a|≥0，∴ a2＝ |a|2＝|a|，∴由绝对值的定义 知道，a≥0 时， a2＝|a|＝a；a≤0 时， a2＝|a|＝－a.对(1)，有 a2＝|a|＝a，故 a≥0.对(2)(3)可用类似的方法回答．
自主解答：(1)因为 a2＝a，所以 a≥0. (2)因为 a2＝－a，所以 a≤0. (3)因为当 a≥0 时 a2＝a，要使 a2>a，即使 a＞a，所以 a 不存在；当 a＜0 时， a2＝－a，要使 a2>a，即使－a＞a，即 a＜0；综上，a＜0.
1．下列式子中，不是二次根式的是( D )
A. 4 B. 16 C. 8 1 D.x
2．下列式子无意义的是( D )
A. －22 B．－ 2 C. |－2| D. －4
≥2 3．当 x_ ； －22＝________ － 16＝________ ； 2 (－ 2)2＝________.
5．下列各式中，正确的是( B )
A. 0.82＝± 0.8 C．－ －0.52＝0.5 B. －0.62＝0.6 D. 0.9＝0.3
6．已知 a＜3，则 a2－6a＋9化简的结果为( D )
A．a－3
C．－a－3
B．a＋3 D．3－a
； https:///u/5044679351 开口发话救咯秦顺儿の急。听到王爷底气十足の发话，三各人这才发现爷居然站在帐子门口！这是啥啊情况？众人先是被秦 顺儿打咯壹各措手不及，现在又被突然出现の王爷搞得丈二和尚摸不着头脑。可是不管这是啥啊情况，见到爷之后，第壹件 事情是请安，这是雷打不动の规矩。于是水清和玉盈两各人赶快下咯炕，快步走上前来，和吟雪壹起向王爷请咯安。因为他 要撇清与水清の关系，因为他不想让玉盈误会他和水清有啥啊不清不楚，因此他从来不曾进过她の帐子，但现在已经误闯误 撞地进来咯，只好故作镇定地坐到咯主位。吟雪赶快去奉茶，秦顺儿早就退到咯帐外，水清和玉盈两人老老实实地侧立壹旁。 望着眼前并排而立の两姐妹，他真不知道该说些啥啊才好。两各人全都是披头散发，衣衫不整の样子，这是极为失礼の行为， 理应受到他の严厉训斥。可是他现在根本顾不上责备她们の失礼，因为她们岂止是衣衫不整，两人穿の全都是中衣！第壹次 见到除自己女眷以外の两各诸人穿成这各样子站在他の面前，令他不由得窘迫和局促起来。可是壹想到玉盈，他又对她恨得 牙根痒痒。他这么误打误撞地进到水清の帐子里来，还不是为咯急于知道她去咯哪里？他被玉盈吓怕咯！刚才秦顺儿禀报年 仆役不在の时候，他以为她这壹次又是不辞而别！他当即就急咯壹身の汗！这茫茫の大草原她能去哪里？迷咯路怎么办？遇 到野兽豺狼怎么办？况且这手还伤着！难道是因为昨天爷没有来得及关心她の伤情而生咯爷の气吗？当他刚刚在帐外听到里 面有诸人の尖叫声，他不但没有惊慌，反而心中分外地踏实，屋里有人，玉盈还在！这就足够咯，只要玉盈没有走，啥啊都 好说。见到玉盈毫发无损の样子，他更是放咯壹百各心。不过，下壹各问题又急急地出现在他の脑海，他要尽快解释壹下为 啥啊会发生误闯香闺の事情。香闺？也不算用错咯词，三各大姑娘家住の帐子，不是香闺是啥啊！在他壹会儿尴尬窘迫，壹 会儿气急败坏の心情交替支配下，沉寂咯半响，才终于稳定下情绪，用他那壹贯沉着冷静、波澜不惊の低沉嗓音开口说道： “爷刚刚是让秦顺儿来看看年仆役の伤势如何，没有别の意思。”玉盈壹听爷是因为她而来の，赶快回咯话：“回爷，玉盈 の伤已经好得差不多咯，没有大碍。”“没有大碍就好。”其实他还想亲自查看壹下她の手，看看她说の是不是真话，她总 是避重就轻，前天看到那三各硕大の水泡，他就知道伤势有多么の严重。可是，现在当着水清の面，他怎么可能拉起她の 手？虽然他只是想看看玉盈の伤势恢复得如何，将来是否会落下疤痕而已。第壹卷 第278章 烂肉直到这各时候，王爷才充 分意识到咯水清の存在：这各年氏怎么这么碍眼！她难道不会像秦顺儿那样有点儿眼力劲儿躲到壹边去吗？咦？不对呀，她 怎么会站在这里？这各时间她不是应该在额娘那里立规矩吗？“你不好好地侍奉额娘，竟敢偷偷跑回来躲清闲来咯？”“回 爷，没有，妾身没有偷偷躲回来，是额娘特意发话，允许妾身回来の。”“啥啊？是额娘要你回来？为啥啊？额娘那里正缺 人手，你怎么好意思在这里躲清闲？”水清壹听这话，心里很是愤愤不平：连德妃娘娘都同意她回来，怎么爷还有意见？看 来在爷の眼中，自己可真就是壹各白使唤の宫女呢。但是跟爷是没有任何道理可讲，水清深知这各道理，于是也没有继续纠 缠，只是据实回复道：“回爷，是这样，今天，今天，二十三小弟妹，小弟妹向额娘说起爷の，爷の侍妾の事情„„”水清 嘁嘁哎哎地起咯壹各头。“啥啊侍妾！”王爷壹听就恼咯！玉盈是她の姐姐，怎么能是侍妾！“就是玉盈姐姐，啊不，就是， 二十三小弟妹误以为玉盈姐姐是爷の侍妾，然后就跟额娘说起来。”水清也不知道怎么说清楚这各名词，慌不择言。“额娘 怎么说？”王爷倒不怕额娘啥啊，他是担心玉盈の名声和名节，万壹这件事情闹大咯，他最对不起の就是玉盈。他爱她，他 也会娶她，但是他要玉盈光明正大、明媒正娶地成为他の福晋，嫡福晋现在是不可能咯，但最少必须是侧福晋！壹听爷有些 生气，水清也对于自己将姐姐说成是侍妾很内疚，情急之下，随口答道：“额娘说，说，反正肉是烂在自家锅里，总比便宜 咯外人强。”水清当时脑子在走神儿，根本没有仔细听德妃の那壹套苦口婆心の长篇大论，只是到最后の时候才听咯这壹耳 朵，正好也就是这句话，她还稍微有那么点儿印象。王爷壹听这话，当时差点儿没把鼻子给气歪咯！这叫啥啊话！额娘分明 是在奚落她，笑话她，对她冷嘲热讽，她可倒好，怎么连好赖话都听不出来？哪句话都没有记清楚，怎么就这句记得这么牢 靠？这各年氏，心机、手段那么多の壹各人，怎么这各时候又愚蠢成这各样子！不过，现在不是讨论她の愚蠢问题，而是要 解决这各消息如何迅速散播出去の问题。这各情况确实打咯王爷壹各措手不及，才刚刚请咯胡太医，他这各“侍妾”の消息 居然就像长咯腿似地，连二十三小弟妹都知道，还告诉咯额娘！这到底是啥啊回事儿？塔娜当然是从二十三小格那里知道の， 而二十三小格是八小格の左膀右臂。年家与八小格の交情和渊源极深，壹定是水清将消息泄露给咯八小格。再狡猾の狐狸也 会露出尾巴，这壹次终于让他抓住咯年家与八小格壹党串通壹气、私传情报の证据！面对这各令他万分寒心の诸人，王爷连 愤怒の心情都懒得再有，沉思良久，才终于又开口
21.1二次根式 课件1(人教版九年级上册)
代数式 我们称这样的式子为 .
化简下列各式:
(1)(3 2 ) (2 3 )
2
2
(2) (5) ( 5 )
2 2
2
(3) m 16m 64(m 8) (4) a b (a 0, b 0)
2 2
若a.b为实数,且
2 2
2 a b2 0
求 a b 2b 1 的值
( 5) x 2 2 x 1
(
4 )2 4
( 0 )2
0
( 0.01) 2 0.01
a a
2
1 1 2 ( ) 3 3
(a≥0)
例题讲解
计算：
(1)( 1.5 )
解：(1)(
2
2
(2)(2 5 )
2 2 2
2
1.5 ) 1.5
( 2)(2 5 ) 2 ( 5 )
21.1二次根式（2）
复习回忆
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a 0, a 0 （双重非负性 .
1.要使下列式子有意义，x需要满足什么 条件？
(1) 3 x
1 (3) 2x 5
( 2) x 3 8 x ( 4) x 2 2 x
2
练习： 1.计算 : 1 2. 7
2 2
1.
0 .3
2
3.
4.
10
2
练习2:
1
1 2
2
2
2 1
2 x 1
(x>0 )
x 1
2
2
二次根式ppt课件
(1) 2 x 6 ；
解：由 -2x - 6 ≥ 0，得
(2)
1
；
3x 7
解：由 1
0
3x 7
3 x 7 0
7
x > 3.
x ≤ -3
当 x ≤ -3 时， 2 x 6 有意义.
当x >
，得
7
1
3 时， 3 x 7
有意义.
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
当a是负数时， a 没有意义.
a ( a≥0)表示非负数a的算术平方根，也就是说， a
(a ≥0)是一个
非负数，它的平方等于a，即有:
(1) a ≥0 ( a≥0);
(2)(
a
)2 =a(a ≥0).
新知讲解
二次根式的定义：
形如 a (a≥0) 的式子叫做二次根式. “
”称为二次根号.
注意：
2.二次根式实质上是非负数的算术平方根.
公式是：v gR ，
其中 g 为重力加速度，R 为地球半径．
本章我们就来学习带有”“的式子.
新知讲解
在第 11 章我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个
记号
a .
当a是正数时， a 表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.
a
当a是0时， a 等于0，表示0的平方根，也叫做0的算术平方根.
作业布置
【综合拓展类作业】
3.已知|3x - y - 1|和 2 x y 4 互为相反数，求 x + 4y 的平方根．
解：由题意得
3x - y - 1 = 0
2x + y - 4 = 0．
《二次根式》PPT课件(第一课时)
取值范围是__3___x___0
2x+6≥0 ∵
-2x＞0
x≥-3 ∴
x＜0
已知 a1有意义,那么A(a, a) 在第 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
12 n为一个整数 , 求自然数 n的值.
n为3，8，11，12
思考题
已知 2x 1 1 2x y 3,
再 见
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果
例1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 9,
(4) 12 , (5) m m 0 ,
(6) xy x, y异号 , (7) a2 ,(8) 3 5.
求代数式 xy的值.
解：依题意得，
2x 1 0 1- 2x 0
解得，x 1 2
y 3
xy 1 3 3 22
课堂练习
一艘轮船先向东北方向航行2小时,再向西 北方向航行t小时.船的航速是每小时25千米. 1)用关于t的代数式表示船离开出发地的距离; 2)求当t=3时,船离开出发地多少千米？(精确
第二十一章二次根式
21.1 二次根式(1)
知识回顾
什么叫做平方根? 一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个
数叫做a的平方根.
什么叫算术平方根? 正数的正平方根和零的平方根,统称算术平
方根.
用 a (a 0)表示.
塔座
50米 ?米 a米
塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为 ____a_2___2_5_0_0___米.
②分母中有字母时,要保证分母不为零.
2x+6≥0 ∵
-2x＞0
x≥-3 ∴
x＜0
已知 a1有意义,那么A(a, a) 在第 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
12 n为一个整数 , 求自然数 n的值.
n为3，8，11，12
思考题
已知 2x 1 1 2x y 3,
再 见
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果
例1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 9,
(4) 12 , (5) m m 0 ,
(6) xy x, y异号 , (7) a2 ,(8) 3 5.
求代数式 xy的值.
解：依题意得，
2x 1 0 1- 2x 0
解得，x 1 2
y 3
xy 1 3 3 22
课堂练习
一艘轮船先向东北方向航行2小时,再向西 北方向航行t小时.船的航速是每小时25千米. 1)用关于t的代数式表示船离开出发地的距离; 2)求当t=3时,船离开出发地多少千米？(精确
第二十一章二次根式
21.1 二次根式(1)
知识回顾
什么叫做平方根? 一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个
数叫做a的平方根.
什么叫算术平方根? 正数的正平方根和零的平方根,统称算术平
方根.
用 a (a 0)表示.
塔座
50米 ?米 a米
塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为 ____a_2___2_5_0_0___米.
②分母中有字母时,要保证分母不为零.
人教版九年级上册 第二十一章 21.1 一元二次方程 课件(共25张PPT)
m_≠__±__1__时，它是一元二次方程;当m_=_1____时，它是 一元一次方程。
例题讲解
3、已知m, n都是方程x2 2006x 2008 0 的根,试求(m2 2006m 2007)(n2 2006n 2007)的值.
解 :∵m, n是方程x2 2006x 2008 0 的根,由根的定义知: m2 2006m 2008 0 n2 2006n 2008 0 即: m2 2006m 2008 n2 2006n 2008
解：设应邀请x 个队参赛，每个队要与其它（x－1）个队各赛1场，
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以
1
列全方部程比赛12共x(2x
x(x
1)
1) 场． 28 整理，得
1 x2 2
1 2
x
28
化简，得 x2 x 56 ③ 由方程③可以得出参赛队数．
同学们认真看问题1、2、3，整理得方程：
x2 － 75x ＋ 350＝0
（1）
x2 +2x-4＝0
（2）
x2 x 56
（3）
特征：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
2、新课讲授 （1）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式方程叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
（3）条件：①当a≠0时，是一元二次方程。
②当a=0并且b≠0 时 ，是一元一次方程。
注意：其中c是常数项。一般方程的左边按x的降幂排列， 右边＝0，当然也可以没有一次项、常数项。
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
一次项 系数
例题讲解
3、已知m, n都是方程x2 2006x 2008 0 的根,试求(m2 2006m 2007)(n2 2006n 2007)的值.
解 :∵m, n是方程x2 2006x 2008 0 的根,由根的定义知: m2 2006m 2008 0 n2 2006n 2008 0 即: m2 2006m 2008 n2 2006n 2008
解：设应邀请x 个队参赛，每个队要与其它（x－1）个队各赛1场，
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以
1
列全方部程比赛12共x(2x
x(x
1)
1) 场． 28 整理，得
1 x2 2
1 2
x
28
化简，得 x2 x 56 ③ 由方程③可以得出参赛队数．
同学们认真看问题1、2、3，整理得方程：
x2 － 75x ＋ 350＝0
（1）
x2 +2x-4＝0
（2）
x2 x 56
（3）
特征：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
2、新课讲授 （1）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式方程叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
（3）条件：①当a≠0时，是一元二次方程。
②当a=0并且b≠0 时 ，是一元一次方程。
注意：其中c是常数项。一般方程的左边按x的降幂排列， 右边＝0，当然也可以没有一次项、常数项。
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
一次项 系数
《二次根式的概念》课件
2023-2026
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《二次根式的概念》 ppt课件
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目 录
• 二次根式的定义 • 二次根式的简化 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用 • 总结与回顾
PART 01
二次根式的定义
平方根的定义
总结词
理解平方根是二次根式的基础
详细描述
平方根的定义是，对于非负实数a，若某数的平方等于a，则这个数称为a的平方 根。例如，4的平方根是±2，因为2^2=4和(-2)^2=4。
详细描述
在进行二次根式简化时，首先观察根号内的表达式是否 可以提取平方因子或进行因式分解，以消去根号。如果 无法直接提取平方因子或进行因式分解，可以尝试使用 配方法，将表达式转化为完全平方形式，从而消去根号 。接下来观察各项是否为同类项，如果是，则合并同类 项。最后化简各项的系数和根指数，使二次根式达到最 简形式。通过综合运用这些方法，可以逐步化简二次根 式，使其达到最简形式。
PART 04
二次根式的应用
二次根式在几何学中的应用
二次根式在勾股定理中的 应用
勾股定理是几何学中的重要定理，而二次根 式是解决勾股定理问题的重要工具。通过使 用二次根式，我们可以计算直角三角形的斜 边长度。
二次根式在面积和周长计 算中的应用
在几何学中，许多形状（如矩形、圆形、椭 圆形等）的面积和周长可以通过使用二次根
PART 02
二次根式的简化
根号的简化
总结词
根号的简化主要是通过因式分解、配方法等手段，将根号内的表达式化简为最简二次根式。
详细描述
在进行二次根式简化时，首先观察根号内的表达式是否可以提取平方因子或进行因式分解，以消去根号。如果无 法直接提取平方因子或进行因式分解，可以尝试使用配方法，将表达式转化为完全平方形式，从而消去根号。
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• 二次根式的定义 • 二次根式的简化 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用 • 总结与回顾
PART 01
二次根式的定义
平方根的定义
总结词
理解平方根是二次根式的基础
详细描述
平方根的定义是，对于非负实数a，若某数的平方等于a，则这个数称为a的平方 根。例如，4的平方根是±2，因为2^2=4和(-2)^2=4。
详细描述
在进行二次根式简化时，首先观察根号内的表达式是否 可以提取平方因子或进行因式分解，以消去根号。如果 无法直接提取平方因子或进行因式分解，可以尝试使用 配方法，将表达式转化为完全平方形式，从而消去根号 。接下来观察各项是否为同类项，如果是，则合并同类 项。最后化简各项的系数和根指数，使二次根式达到最 简形式。通过综合运用这些方法，可以逐步化简二次根 式，使其达到最简形式。
PART 04
二次根式的应用
二次根式在几何学中的应用
二次根式在勾股定理中的 应用
勾股定理是几何学中的重要定理，而二次根 式是解决勾股定理问题的重要工具。通过使 用二次根式，我们可以计算直角三角形的斜 边长度。
二次根式在面积和周长计 算中的应用
在几何学中，许多形状（如矩形、圆形、椭 圆形等）的面积和周长可以通过使用二次根
PART 02
二次根式的简化
根号的简化
总结词
根号的简化主要是通过因式分解、配方法等手段，将根号内的表达式化简为最简二次根式。
详细描述
在进行二次根式简化时，首先观察根号内的表达式是否可以提取平方因子或进行因式分解，以消去根号。如果无 法直接提取平方因子或进行因式分解，可以尝试使用配方法，将表达式转化为完全平方形式，从而消去根号。
《二次根式的概念》PPT教学课文课件
解：
解：由题意得 m - 2≥0 且 m2 - 4 ≠ 0，解得 m≥2 且 m ≠ -2，m ≠ 2，∴ m＞2．
巩固练习
3. (1) 已知 ＝0，求x，y 的值．
因为 ≥0， ≥0，且其和为0，所以x＋1＝0，x＋y－2＝0，解得x＝－1，y＝3.所以x，y 的值分别为－1，3.
由题意得
由题意得
x 2& ) 2
∴ x 为任何实数.
-x2-2x-3
=-(x+1)2-2，
∵ 无论 x 为任何实数(x+1 ) 2≥0
∵ 无论 x 为任何实数-(x+1)2-2≤ 0
∴ x 无解.
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
原式 >0
二次根式的双重非负性
二次根式的概念
认识二次根式的定义并会判断
理解并应用二次根式的双重非负性
知道二次根式有意义的条件，根据已知条件求二次根式的值
01
02
03
学习目标
问题1 什么叫做平方根?
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根?
如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示.
由题意知解得a＝2，∴b＝4，当三边长分别为2，2，4时不能构成三角形，当三边长分别为4，4，2时能构成三角形，∴ 此等腰三角形的周长为10.
解：
巩固练习
3（3） 当x 取什么实数时，式子 ＋2的取值最小？并求出这个最小值．
≥0且由二次根式有意义的条件得3x－1≥0，即x≥ ，所以当x＝ 时，式子 ＋2的取值最小，最小值为2.
， ， ， ；它们表示一些正数的算术平方根．
解：由题意得 m - 2≥0 且 m2 - 4 ≠ 0，解得 m≥2 且 m ≠ -2，m ≠ 2，∴ m＞2．
巩固练习
3. (1) 已知 ＝0，求x，y 的值．
因为 ≥0， ≥0，且其和为0，所以x＋1＝0，x＋y－2＝0，解得x＝－1，y＝3.所以x，y 的值分别为－1，3.
由题意得
由题意得
x 2& ) 2
∴ x 为任何实数.
-x2-2x-3
=-(x+1)2-2，
∵ 无论 x 为任何实数(x+1 ) 2≥0
∵ 无论 x 为任何实数-(x+1)2-2≤ 0
∴ x 无解.
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
原式 >0
二次根式的双重非负性
二次根式的概念
认识二次根式的定义并会判断
理解并应用二次根式的双重非负性
知道二次根式有意义的条件，根据已知条件求二次根式的值
01
02
03
学习目标
问题1 什么叫做平方根?
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根?
如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示.
由题意知解得a＝2，∴b＝4，当三边长分别为2，2，4时不能构成三角形，当三边长分别为4，4，2时能构成三角形，∴ 此等腰三角形的周长为10.
解：
巩固练习
3（3） 当x 取什么实数时，式子 ＋2的取值最小？并求出这个最小值．
≥0且由二次根式有意义的条件得3x－1≥0，即x≥ ，所以当x＝ 时，式子 ＋2的取值最小，最小值为2.
， ， ， ；它们表示一些正数的算术平方根．