数学-高一浙江省杭州学军中学2010至2011学年高一下学期期中考试(数学)

A B

C

D

E

F G 杭州学军中学2010/2011学年下学期期中考试

高一年级数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的，请将正确答案的代号填在题后的括号内）

1．已知3sin ,(,),tan 52π

ααπα=∈且则等于 （ ▲ ）

A ．43

B ．34

C ．—43

D ．—34

2．设a 3(,sin )2

α=，b 1cos ,3α⎛⎫= ⎪⎝

⎭

, 且a ∥b ，则锐角α为 （ ▲ ）

A 、30︒

B 、60︒

C 、45︒

D 、75︒ 3．若将函数)0)(4

tan(>+

=ωπ

ωx y 的图像向右平移

6

π

个单位长度后， 与函数)6

tan(π

ω+=x y 的图像重合，则ω的最小值为 （ ▲ ）

A 、

61 B 、41 C 、3

1

D 、21

4．平面向量,的夹角为0

60，,1||),0.2(== 则=+2|b （ ▲ ）

A 3

B ．23

C ．4

D ．12

5．如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是各边的中点，AD 交EF 于点G ，则下列各式能表示向量DG 的有 （ ▲ ） ①

1()2DE DF +， ②1

()2CF BE +，

③1()2BF CE +， ④1

()4

AB AC -+

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 6．已知22

π

π

θ-

<<

，且sin cos ,a θθ+=其中()0,1a ∈，则关于tan θ的值， 在以下四个答案中，可能正确的是

（ ▲ ）

A ．－3

B ．3 或13

C ．13

- D ．－3或1

3

-

7．如图为一半径是3米的水轮，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水

轮上的点P 到水面的距离y （米）与时间x （秒）满足函数关系

2)sin(++=ϕωx A y ，则有 （ ▲ ）

A 、3,125==A π

ω B 、2,315

A πω== C 、5,125==A π

ω D 、2,515

A πω==

y

2m

O

P

8．已知函数a x x x f -++-=1cos 4sin 4)(2，若关于x 的方程在区间]3

2,4

[ππ-

上有解， 则a 的取值范围是 （ ▲ ） A ．[－8，0] B ．[－3，5] C ．[－4，5] D ．[3,21]-

9．已知||2||0a b =≠,且关于x 的方程2

||0x a x a b ++⋅=有实根,

则a 与b 的夹角的取值范围是 （ ▲ ） A.[0,

6π] B.[,]3ππ C.2[,]33ππ D.[,]6

π

π 10．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为切点，

那么PA PB •的最小值为 （ ▲ ） A ．322-+ B ．32- C ．422-+ D ． 42- 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共24分把答案填在答卷题中横线上） 11．已知3

1

)22sin(

=+θπ

，则=θcos 12．定义：|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角， 若| a |＝2，| b |＝5，a ·b ＝－6，则| a ×b |等于 . 13.lg(2sin 1)12cos y x x =-+-的定义域是________________.

14．设))(1,(Z t t ∈=，)4,2(=，3≤OA ，则当OAB ∆是直角三角形时t 的值为 ；

15．如图（15），图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭

曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半 径相等. 设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，

则23

23

1

1

cos

cos

sin

sin

3

333αααααα++-=____________ .

16，对于函数()sin ,sin cos cos ,sin cos x x x

f x x x x ≤⎧=⎨>⎩

，给出下列四个命题：

①该函数是以π为最小正周期的周期函数；

②当且仅当()x k k Z ππ=+∈时，该函数取得最小值1-； ③该函数的图像关于52()4

x k k Z π

π=

+∈对称； ④当且仅当22()2

k x k k Z π

ππ<<

+∈时，()202

f x <≤

其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）.

三、解答题（本大题共5小题，8+8+10+10+10共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知向量33(cos ,sin )22x x a =，(cos ,sin )22x x b =-，[,]32

x ππ∈-， （1）求证：()a b -⊥()a b +； （2）1

3

a b +=，求cos x 的值.

18．已知10

2)cos(,212

tan

,2

0=-=

<<<

<βαα

πβπ

α， （1）求αsin 的值；

（2）求β的值

19. 如图，在OAB ∆中，11,,32

OC OA OD OB ==AD 与BC 交于点M ，

设,OA a OB b ==， （1）试用向量a 和b 表示OM ；

（2）在线段AC 上取一点E ，线段BD 上取一点F ，

使EF 过M 点，,OE OA OF OB λμ==，求证：125λμ

+=.

20. 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC ∆的外面种草，ABC ∆

的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若θ=∠=ABC a BC ,，设ABC ∆的面积为1S ，正方形的面积为2S ． （1）用θ,a 表示1S 和2S ； （2）当a 固定，θ变化时，求

2

1

S S 取最小值时的角θ．

21．向量m ＝(sin ωx ＋cos ωx ，3cos ωx )(ω>0)，n ＝(cos ωx －sin ωx,2sin ωx )，

函数f (x )＝m ·n ＋t ，若f (x )图象上相邻两个对称轴间的距离为3π

2，且当x ∈[0，π]时，

函数f (x )的最小值为0.

(1)求函数f (x )的表达式，并求f (x )的增区间；

(2)在△ABC 中，若f (C )＝1，且2sin 2

B ＝cos B ＋cos(A －

C )，求sin A 的值．

A

B C

P

Q R S