无界函数的广义积分资料
广义积分
(a 0).
x a 为被积函数的无穷间断点。
0
a
dx dx a lim 0 2 2 0 a x a2 x2
a
arcsin x lim 0 a 0
y
y
1 a2 x2
a lim arcsin 0 。 0 a 2
第五章
第四节
广 义 积 分
本节主要内容
一、无限区间上的广义积分 二、无界函数的广义积分
一、无限区间上的广义积分；
（一）无限区间上的广义积分的概念 定义1
设f ( x )在[a,)上连续，取b a, 记
a
f ( x )dx xlim f ( x )dx
a a
例5
1 证明 p dx当p 1时收敛，当p 1时发散。 1 x
证： 当p 1时，
1 1 1 1 p dx 1 p [ p1 ]1 p 1； x 1 x
当p 1时， 1 dx [ln x ]1 ， 故原积分发散； p 1 x 当p 1时， 1 1 ] p dx [ p1 1 ， (1 p) x 1 x
1 a
o
a x
1 例12 证明广义积分 0 q dx 当 q 1时收敛，当 x q 1时，广义积分发散。
1
证：(1) q 1,
0
1
11 1 dx 0 dx ln x 1 , q 0 x x
*
， q 1， 1 1 x ( 2) q 1, q dx 1 ， q 1， 0 x 1 q 0* 1 q
b a a
b
广义积分
b→ +∞
∫
b a
f ( x )d x
此时也称广义积分收敛 此时也称广义积分收敛， 收敛，若上述极限不存在， 若上述极限不存在，则称广义 积分发散 积分发散。 发散。
定义2
设函数 f ( x) 在 ( −∞ , b ] 上连续， 上连续，极限
a → −∞
lim
∫
b a
f ( x )d x
存在， 存在，称此极限为在区间 ( −∞ , b ] 上的广义积分, 记作
−t b 0
b→ +∞
∫
b
b 0
te
−t
dt
lim {[ − te = b → +∞
] + ∫ 0 e − t dt }
= lim ( − be b → +∞
→ +∞
−b
− e −b + 1)
= 1 .
若广义积分收敛可以直接用“ 若广义积分收敛可以直接用“=”.
例2 计算 ∫− ∞ sin xdx.
讨论
∫
1 − 1
1 d x 的收敛性. 2 x
∫
1 −1
dx = 2 x
1 0
∫
0 −1
dx + 2 x
∫
1 0
dx x2
其中 ∫
1 dx 1 dx = lim 2 2 + ∫ε ε → 0 x x
1 1 1 = lim [ − ]ε = lim ( −1 + ) + + ε →0 ε →0 x ε = +∞
a →+∞
∴ ∫ sin xdx = 0.
−∞
∵ ∫ 0 sin xdx 发散 −∞ ∴ ∫− ∞ sin xdx 发散.
广义积分
∫−∞ f ( x )dx = ∫−∞ f ( x )dx + ∫0
= lim
+∞
0
+∞
f ( x )dx
∫a f ( x )dx + blim ∫0 a → −∞ → +∞
0
b
f ( x )dx
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散. 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
例1 计算广义积分 ∫− ∞ 解
1
例7 计算广义积分 解
∫
2
1
dx . x ln x
∫1
2
dx 2 dx = lim ∫1+ε x ln x ε →0+ x ln x
2
= lim ∫1+ε
ε → 0+
ε → 0+
d (ln x ) 2 = lim [ln(ln x )]1+ε ε → 0+ ln x
= lim [ln(ln 2) − ln(ln(1 + ε ))]
b
b
上连续, 设函数 f ( x ) 在区间 ( −∞ ,+∞ ) 上连续 , 如果 广义积分 ∫− ∞ f ( x )dx 和 ∫0
0 +∞
f ( x )dx 都收敛 ， 则 都收敛，
+∞
称上述两广义积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间
( −∞ ,+∞ ) 上的广义积分，记作 ∫− ∞ f ( x )dx . 上的广义积分，
= lim ∫a
ε → +0
c −ε
f ( x )dx
b
f ( x )dx + lim
b
第5节 广义积分1
无界函数的积分—瑕积分.
2
一、无穷限积分
1. 定义 f(x) 的反常积分（即广义积分）
t t a a
f ( x )dx lim f ( x )dx F ( x ) a F ( ) F (a ).
t a
条件：t : f ( x )dx存在.
2
3 1 n 1 n 3 n n 2 4 2 2 , n为正偶数 n 2 0 cos xdx n 1 n 3 4 2 , n为大于1的奇数 n n2 5 3
10
x 例5 计算 dx. 2 1 x
1 0
dx 1 q 1 t 2 dt q x t
x
1 t
1
1 t
2 q
dt
1
2q 1 , 1 1 dt = 2 q t 2 q 1, 2 q 1
, q 1 = 1 . 1 q , q 1
x
dx x e
u x
x
0
0
e x dx
1.
Γ ( 1) x e
0 x 0 0
x e dx
x
0
0
x de
x
e x x 1 dx
0
N
e x x 1 dx Γ ( ) .
x
x 0 t
1 et ,
t
所以
0
lim (1 e t ) 1 . e dx
x
5
例1
广义积分
二、无界函数的广义积分
【例7】
二、无界函数的广义积分
【例8】
下列算式是否正确？
二、无界函数的广义积分
二、无界函数的广义积分
二、无界函数的广义积分
思考
(1)本节学习了几种不同类型的广义积分？它与定积分有何 区别与联系？
(2)为什么要学习广义积分？什么情况下要用广义积分？
谢谢聆听
广义积分
一、无穷区间的广义积分
定义1
设f(x)在区间［a,+∞)内连续，任取b>a，若极限 limb→+∞ 存在，则称此极限为f(x)在区间［a,+∞)上的广义积 分，记作∫+∞af(x ，即
(5-7) 此时称广义积分∫+∞af(x 存在或收敛；否则称广义积分 ∫+∞af(x 没有意义或发散． 类似地，可定义f(x)在区间(－∞,b］上的广义积分
一、无穷区间的广义积分
注意分
【例3】
这个广义积分的几何意义是：当a→－∞，b→+∞时，虽然 图5-8中阴影部分向左、右无限延伸，但其面积却有极限值π．
图 5-8
二、无界函数的广义积分
定义3
此时称广义积分
存在或收敛；否则称广义积分
没有意义或发散．这种广义积分又称为瑕积分，a为瑕点．
类似地，可定义f(x)在区间［a,b)上的广义积分
二、无界函数的广义积分
定义4
否则，称其没有意义或发散．
二、无界函数的广义积分
【例4】
二、无界函数的广义积分
图 5-9
二、无界函数的广义积分
【例5】
注意
该题的结论一般要记住，可作为定理使用．
二、无界函数的广义积分
【例6】
55广义积分
一、无穷区间的广义积分 二、无界函数的广义积分 三、小结 作业
一、无穷区间的广义积分
定义 1 设函数 f ( x) 在区间[a,) 上连续，取
b
a
，如果极限
lim
b
b
a
f
(
x
)dx
存在，则称此极
限为函数 f ( x) 在无穷 区间[a,) 上 的广义 积
分，记作 a
0 1 x2
二、 判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计算
广义积分的值：
1、 e pt cosh tdt 0
( p 1)； 2、 dx
；
x2 2x 2
3、 x ne xdx（ n 为自然数 ）；4、 2 dx ；
0
0 (1 x)2
5、 2 xdx 1 x1
证
e pxdx lim
a
b
be
a
pxdx
blim
e px p
b a
lim e pa e pb
b p
p
e ap
p
,
,
p0 p0
即当 p 0时收敛，当p 0 时发散.
二、无界函数的广义积分
f
( x)dx 都收敛，则定义
b
a
f
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx
c
b
lim f ( x)dx lim f ( x)dx
0 a
0 c
否则，就称广义积分ab f ( x)dx 发散.
无界函数的广义积分
§10.2 无界函数的广义积分一 无界函数广义积分的概念定义1 设()f x 在x b =的临近无界（我们称b 点为()f x 的奇点），但对于任意充分小的正数η，()f x 在[],a b η-上可积，即lim ()b af x dx ηη+-→⎰存在时，称这极限值I 为无界函数()f x 在[,]a b 上的广义积分。
记作()0lim ()bb aaf x dx f x dx ηη+-→=⎰⎰。
如果上述的极限不存在，就称()baf x dx ⎰发散。
类似可定义()baf x dx ⎰（a 为奇点）.如果()f x 在[,]a b 内部有一个奇点c ，a c b <<，当()caf x d x ⎰和()bcf x dx ⎰都收敛时，就称()baf x dx ⎰收敛，并且有()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰。
如果上式右边的任何一个积分发散，就称()f x dx +∞-∞⎰发散。
例1：讨论积分()1bpadx x a -⎰()0p >的收敛性。
例2：讨论积分1⎰的收敛性。
二 无界函数积分的性质性质1 定积分的一些性质包括分部积分法和换元积分法对无界函数的广义积分也成立。
柯西收敛原理()baf x d x ⎰（x a =是奇点）收敛的充分必要条件是：0ε∀>，0δ∃>，当0,'ηηδ<<时，总有 ()'a a f x d x ηηε++<⎰.定义2 若积分()baf x dx ⎰（x a =是奇点）收敛，就称()b af x dx ⎰绝对收敛。
收敛但不绝对收敛的积分成为条件收敛。
定理2 绝对收敛的广义积分必收敛。
但反之不然。
三 无界函数广义积分的收敛性判别法1. 柯西判别法设x a =是()f x 的奇点，如果()f x ()p cx a ≤-()0c >，1p <，那么 ()baf x dx ⎰绝对收敛. 如果()()0()pcf x c x a >>-，1p ≥，那么()baf x d x ⎰发散。
关于无界函数广义积分∫bafxdxa为奇点的两个性质
文献标识码：Ａ
文章编号：１ ６７１—９６９７（２００４）０６—００４０一０２
１．无穷限广义积分收敛的性质。
在【ｌ】、【２】中讨论了无穷限广义积分收敛的必要条件，本文从两类广义积分的关系出发，得出了无界函数的广义积分收 敛的两个性质。为了讨论问题的方便，先给出如下两个引理：
，’●ｏ
引理１：若无穷限广义积分Ｉ ｆ（ｘ）ａｘ收敛
由cauchy收敛准则x寸yeo350当o三万o工一口万a时有l压叫k因为?limf炉佃删上述及6醐啦00从而蝴堋单调性知t三邝渺型xafxa渺型xafx出半m刺?p似忡孚肌十一口掣lim一汀户
第２５卷第６期 ２００４年１１月
Ｊｏｕｒｎａｌ
零陵学院学报
ｏｆ ＬｉｎｇｌｉｎＯＶ．２００４
Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ：Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｉｎｔｅｒｖａｌ；Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ ｕｎｂｏｕｎｄｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ；Ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ·
４１ 万方数据
关于无界函数广义积分∫baf(x)dx(a为奇点)的两个性质
万方数据
命题１：若无界函数广义积分Ｉ。ｆ（ｘ）ｄｘ收敛，函数，（工）当ｘ＿以＋时单调趋向于＋ｏｏ，则ｌｉｍ＋（ｘ—ｄ），（ｘ）＝０，
Ｊｎ
Ｊ—＇ａ
证明：由已知得ｘ：ａ为，（工）奇点。‘．‘ｆ。厂（Ｊ）出收敛＇．．由ｃａｕｃｈｙ收敛准则，Ｘ寸Ｙｅ＞Ｏ，３５＞０，当ｏ＜三≯＜万，ｏ＜工一口＜万
，ａ
‘
时，有ｌ压，（『）叫ⅢＫ因为…ｌｉｍ＋ｆ（炉佃删上述￡及６，醐啦００从而蝴堋单调性知ｔ
，函数，（ｘ）在【ｎ，扣）单调减少，则ｌｉｍ
ｘｆ（工）：０ ｍ引。
5-5 广义积分
解 先计算定积分
e sin x0 0 e x cos xdx
x A A
0
A
e sin xdx 0 sin xd e x
x A A A
0 e
A x
sin xdx
e sin A 0 cos xd e x
A x A
e sin A e cos x0 0 e sin xdx
0 t t
0
f ( x )dx
lim t f ( x )dx lim f ( x )dx . 0 t
两极限均存在称
有一个不存在称 f x dx发散.
上述各广义积分统称为无穷限的广义积分， 简称无穷积分. 2.说明 （1）设 F x f x ，则
B B
这里A与B是相互独立的.
3.例题 例1 解
x e 计算广义积分 dx . 0
e dx e
0 x
x 0
1.
这个广义积分值的几 何意义是,当t 时，图5－7中阴影部 分向左无限延伸，但 其面积却有极限值1 .
y
1
ye
x
t
图5－7
o
x
例2 计算广义积分 sin xdx .
f x dx 收敛，两极限至少
a f x dx lim F t F a F F a ； b f x dx F b lim F t F b F ；
t t
b
F t F b F a ； a f x dx F b lim t a
b
当 x a 为 f x 的瑕点时，
4.4广义积分
0
6 、广义积分 ∫
x
−∞
1− x 的几何意义是______ ______________ f ( t )dt 的几何意义是______________
________ __； = ________；
________________________. ________________________.
b
+∞
∫−a f (x) dx a→+∞
a
v.p.∫ f (x) dx (c为瑕点, a < c < b)
a
c−ε f (x) dx + b f (x) dx = lim ∫ ∫c+ε + a ε →0
注意: 注意 主值意义下广义积分存在不等于一般意义下 广义积分收敛 .
例题 试证
注意到: Γ(1) = ∫
+∞ −x e dx 0
=1
= L= n!Γ(1)
(2) 当s → 0+时, Γ(s) → +∞. 证:
Γ(s +1) Q Γ(s) = , Γ(1) = 1 s 且可证明Γ(s) 在s > 0连续,
∴s → 0 时, Γ(s) → +∞
(3) 余元公式:
+
当s = 1 时, 有 2
4.4 广义积分 广义积分
积分限有限 被积函数有界
常义积分
推广
广义积分
一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分(瑕积分）
一、无穷限的广义积分 无穷限的广义积分 广义
引例. 引例 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
x2 其含义可理解为 b b dx −1 A = lim ∫ 2 = lim 1 x b→+∞ x 1 b→+∞
广 义 积 分
广义积分
前面介绍的定积分有两个限制条件：积分 区间有限和被积函数有界.实际问题中还需要某 些函数在无穷区间上的积分以及某些无界函数在 有限区间上的积分.因此要求将定积分概念加以 推广，这就是广义积分.广义积分包括无穷区间 的广义积分和无界函数的广义积分两类.
一、 无穷区间的广义积分
定义2
二、 无界函数的广义积分
【例35】
二、 无界函数的广义积分
【例36】
二、 无界函数的广义积分
【例37】
二、 无界函数的广义积分
【例38】
பைடு நூலகம்
二、 无界函数的广义积分
二、 无界函数的广义积分
由这个递推公式不难看出该积分收敛.特别地，对任何正整 数n
Γ(n+1)=n!
Γ(n+1)=nΓ(n)=n(n－1)Γ(n－1)=…=n!Γ(1)
以及∫baf(x)dx收敛和发散的概念.
(6-13)
二、 无界函数的广义积分
定义5
设f(x)在区间［a,b］上除点c(a<c<b) limx→cf(x)=∞，如果两个广义积分∫caf(x)dx和∫bcf(x)dx 都收敛，则称广义积分∫baf(x)dx收敛
∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx; (6-14) 否则，称其没有意义或发散.
∫baf(x)dx=limε→0+∫ba+εf(x)dx, (6-12) 此时称广义积分∫baf(x)dx存在或收敛；否则称广义积分 ∫baf(x)dx没有意义或发散.这种广义积分又称为瑕积分，a为瑕点.
类似地，可定义f(x)在区间［a,b) ∫baf(x)dx=limε→0+∫b－εaf(x)dx
无界函数的广义积分
b
a f (x)dx 收敛，并定义
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
否则，就称广义积分ab f ( x)dx 发散.
a dx
例1 计算广义积分 0
a2 x2
解
lim 1 , xa0 a2 x2
(a 0).
x a 为被积函数的无穷间断点.
a dx lim a dx
c
b
lim{ f (x)dx f (x)dx}
0 a
c
称此极限为广义积分的柯西主值,记为
b
c
b
P.V. f (x)dx lim{ f (x)dx f (x)dx}
a
0 a
c
2.无穷积分的柯西主值
设函数 f ( x) 在区间(,)上连续,如果
极限
A
lim
f ( x)dx
A A
c
b
lim f ( x)dx lim f ( x)dx
0 a
0 c
否则，就称广义积分ab f ( x)dx 发散.
定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.
设函数 f ( x)在区间 (a,b) 上连续，而在点
a, b 的邻域内无界.a<c<b,如果两个广义积分
c
a
f
(
x)dx
和
b
c
f
(
x)dx都收敛，则称广义积分
一、无界函数广义积分的概念
定义 2 设函数 f ( x) 在区间(a, b]上连续，而在
点a 的右邻域内无界．取 0 ，如果极限
b
lim
f ( x)dx 存在，则称此极限为函数 f ( x)
第06章02节无界函数的广义积分
第2节 无界函数的反常积分我们知道，在[,]a b 上可积的函数都在[,]a b 上有界。
下面我们考虑如果()f x 在某点[,]c a b ∈的附近无界，该怎么积分()ba f x dx ⎰？如果()f x 在c 的任意邻域内都无界，则c 称为()f x 的瑕点（反常点）。
分别如下3种情况。
（1）设()f x 在[,]a b 上只有唯一的瑕点b ；又设[,)t a b ∀∈，()f x 在[,]a t 上都可积。
考虑极限0()lim ()()[]bb a af x dx f x dx A A f x a b εε+-→⎧⎪⎨=⎪⎩⎰⎰不存在，则称反常积分发散（不存在）；存在，则称为在,上的反常积分，记为()lim ()bb aaf x dx A f x dx εε+-→==⎰⎰此时称()b af x dx ⎰收敛。
（先把积分区间缩小一点点。
） 如果在[,)a b 上()F x 是()f x 的随便一个原函数，则()lim ()()()bba abf x dx F F a F x ττ-→=-=⎰（记住：b 是怎样代进去的？）（2）设()f x 在[,]a b 上只有唯一的瑕点a ；又设(,]t a b ∀∈，()f x 在[,]t b 上都可积。
考虑极限0()lim ()()[]bba a f x dx f x dx A A f x ab εε++→⎧⎪⎨=⎪⎩⎰⎰不存在，则称反常积分发散（不存在）；存在，则称为在,上的反常积分，记为()lim ()bbaa f x dx A f x dx εε++→==⎰⎰此时称()b af x dx ⎰收敛。
（先把积分区间缩小一点点。
） 如果在(,]a b 上()F x 是()f x 的随便一个原函数，则离 散数 学()()lim ()()bba aaf x dx F a F F x ττ+→=-=⎰（记住：a 是怎样代进去的？）（3）设()f x 在[,]a b 上只有全部的瑕点是12m x x x <<< 。
(整理)第06章02节无界函数的广义积分
第2节 无界函数的反常积分我们知道，在[,]a b 上可积的函数都在[,]a b 上有界。
下面我们考虑如果()f x 在某点[,]c a b ∈的附近无界，该怎么积分()ba f x dx ⎰？如果()f x 在c 的任意邻域内都无界，则c 称为()f x 的瑕点（反常点）。
分别如下3种情况。
（1）设()f x 在[,]a b 上只有唯一的瑕点b ；又设[,)t a b ∀∈，()f x 在[,]a t 上都可积。
考虑极限0()lim ()()[]bb a af x dx f x dx A A f x a b εε+-→⎧⎪⎨=⎪⎩⎰⎰不存在，则称反常积分发散（不存在）；存在，则称为在,上的反常积分，记为()lim ()bb aaf x dx A f x dx εε+-→==⎰⎰此时称()b af x dx ⎰收敛。
（先把积分区间缩小一点点。
） 如果在[,)a b 上()F x 是()f x 的随便一个原函数，则()lim ()()()bba abf x dx F F a F x ττ-→=-=⎰（记住：b 是怎样代进去的？）（2）设()f x 在[,]a b 上只有唯一的瑕点a ；又设(,]t a b ∀∈，()f x 在[,]t b 上都可积。
考虑极限0()lim ()()[]bba a f x dx f x dx A A f x ab εε++→⎧⎪⎨=⎪⎩⎰⎰不存在，则称反常积分发散（不存在）；存在，则称为在,上的反常积分，记为()lim ()bbaa f x dx A f x dx εε++→==⎰⎰此时称()b af x dx ⎰收敛。
（先把积分区间缩小一点点。
） 如果在(,]a b 上()F x 是()f x 的随便一个原函数，则()()lim ()()bba aaf x dx F a F F x ττ+→=-=⎰（记住：a 是怎样代进去的？）（3）设()f x 在[,]a b 上只有全部的瑕点是12m x x x <<<。
4-19.无界函数的广义积分
就称
广义积分 b f (x)dx 发散 a
（2）设函数 f(x)在区间[a b)上连续 而在点 b 的左邻域
t
内无界（称点 b 为 f(x)的瑕点），如果极限 lim f (x)dx 存在 则称 tb a
此极限为函数 f(x)在[a b)上的反常积分
仍然记作
b
f (x)dx
即
a
b
t
f (x)dx lim f (x)dx
内无界（称点 a 为 f(x)的瑕点），如果极限 lim b f (x)dx 存在 则称 ta t
此极限为函数 f(x)在[a b)上的广义积分
仍然记作
b
f (x)dx
a
即
b
b
f (x)dx lim f (x)dx
a
ta t
这时也称广义积分 b f (x)dx 收敛 a
如果上述极限不存在
xc
xc
例 1 计算广义积分 a 1 dx 0 a2 x2
（一级）
解 因为 lim 1 所以点 a 为被积函数的瑕点 xa a2 x2
a 0
1 a2 x2
dx
[arcsin
x]a a0
lim arcsin
xa
x a
0
2
例 2
讨论反常积分
1 1
1 x2
dx
的收敛性
（一级）
解
函数 1 x2
2、掌握无界函数的广义积分的计算
能力目标
1、培养学生对知识的延伸推广能力和分析问题的能力 2、培养学生的计算能力
时间分配
25 分钟 编撰 陈亮
校对 方玲玲 审核 王清玲
修订人
张云霞
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
dx ( x 1) 3 dx
2 3
lim 1
0
2 3
3
2 3
0
( x 1)
3(1 3 2 ).
思考题
积分 0
1
ln x dx 的瑕点是哪几点？ x 1
思考题解答
积分 0
1
ln x dx 可能的瑕点是 x 0, x 1
x 1
dx 2 2 a x
x a . lim arcsin lim arcsin 0 0 a 0 0 a 2
a
例2 计算广义积分 解
2
1
dx . x ln x
1
2
dx 2 dx lim 1 x ln x 0 x ln x
a
b
a [f1 ( x ) f 2 ( x )]dx a f1 ( x )dx a f 2 ( x )dx
b
b
b
c (a , b) 为 性质 2 设函数 f 的瑕点为 x a ，
任一常数，则 f ( x )dx 与 a f ( x)dx 同收敛同发
b a
2
lim 1
0
d (ln x ) 2 lim ln(ln x )1 0 ln x
limln(ln 2) ln(ln(1 ))
0
.
故原广义积分发散.
1 例 3 证明广义积分 0 q dx 当 q 1时收敛，当 x q 1时发散.
定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.
设函数 f ( x ) 在区间 (a, b) 上连续，而在点 a , b 的邻域内无界.a<c<b,如果两个广义积分
a f ( x )dx 和 c f ( x )dx 都收敛，则称广义积分 f ( x)dx 收敛，并定义
b a
c
b
a f ( x )dx a f ( x )dx c
b
b
c
b
f ( x )dx
否则，就称广义积分a f ( x )dx 发散.
例1 计算广义积分 0 解
a
dx a2 x2
(a 0).
lim
x a 0
1 , 2 2 a x
x a 为被积函数的无穷间断点.
0
a
a dx lim 0 2 2 0 a x
第2节 无界函数的广义积分
一、无界函数广义积分的概念
定义 2
b
设函数 f ( x ) 在区间(a , b] 上连续，而在
点 a 的 右 邻 域 内 无 界 ． 取 0 ， 如 果 极 限
0
lim a f ( x )dx 存在，则称此极限为函数 f ( x )
b
在区间(a , b]上的广义积分，记作a f ( x )dx .
ln x 1 lim 1, lim x 1 x x 1 x 1 0
1
x 1 不是瑕点,
ln x dx 的瑕点是 x 0. x 1
柯西收敛准质
定理( 柯西准则) 瑕积分 f ( x )dx （瑕点
a b
为 a）收敛的充要条件是：任给 0 ，存在
0 ，只要 u1 , u2 ( a , a ) ，总有
1
11 1 1 证 (1) q 1, 0 q dx 0 dx ln x 0 , x x , q 1 1 q 1 1 1 x ( 2) q 1, q dx 1 0 x ,q1 1 q 0 1 q 1 因此当q 1 时广义积分收敛，其值为 ； 1 q 当q 1 时广义积分发散. 1
u1 f ( x )dx u2 f ( x )dx u1
b
b
u2
f ( x )dx
二、瑕积分的性质
, 性质 1 设函数 f 1 与 f 2 的瑕点同为 x a ，
为任意常数，若 f1 ( x )dx 与 f 2 ( x )dx 都收敛，
a a b b
则 [f1 ( x ) f 2 ( x )]dx 也收敛，且
a f ( x )dx lim 0 a
b
b
f ( x )dx
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
类似地，设函数 f ( x ) 在区间[a , b ) 上连续， 而在点b 的左邻域内无界 . 取 0 ，如果极限
0
lim a
b
a f ( x )dx 和c
b
c
b
f ( x )dx 都收敛，则定义
c b
a f ( x )dx a f ( x )dx c
lim a
0
c
f ( x )dx
b
f ( x )dx lim c f ( x )dx
0
b
否则，就称广义积分a f ( x )dx 发散.
例4 计算广义积分 0
3
dx ( x 1)
3 1
2 3
. dx
x 1瑕点
2 3
解
0
1
3
dx ( x 1) dx
2 3 2 3
( )0源自1( x 1)0 ( x 1) 1
3
lim 0
0
1
dx ( x 1) dx ( x 1)
2 3
3
c
散，且有
a f ( x )dx a f ( x )dx c f ( x )dx
b
c
b
性质 3 设函数 f 瑕点为 x a ， 在任何有限 区间[u, b] 上可积，则当 | f ( x ) | dx 收敛，则
a b
a f ( x )dx 也收敛，且
| a f ( x )dx | a | f ( x ) | dx
f ( x )dx 存在，则称此极限为函数 f ( x )
b
b
在区间[a , b ) 上的广义积分， 记作a f ( x )dx lim a
0
f ( x )dx .
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
设函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上除点c (a c b ) 外连 c 的邻域内无界.如果两个广义积分 续，而在点