二项分布超几何分布数学期望与方差公式的推导资料讲解
超几何分布和二项分布
超几何分布和二项分布超几何分布和二项分布是概率论中两种重要的离散型概率分布。
它们都在描述了离散型随机变量的分布规律，但在具体的描述和应用上有一定的区别。
本文将分别介绍超几何分布和二项分布的定义、特点、性质和应用，并对两者之间的关系和区别进行详细的比较分析。
一、超几何分布的定义、特点和性质超几何分布是描述了一种从有限个物件中抽出样本不放回地抽取成功次数的概率分布。
具体来说，超几何分布描述了在总体中有M个成功物件和N-M个失败物件时，从总体中抽取n个物件，其中成功物件的个数X的分布概率。
其概率质量函数为：P(X=k) = (M choose k) * (N-M choose n-k) / (N choose n)，其中(M choose k)表示从M个物件中抽取k个物件的组合数。
超几何分布的特点有以下几点：1.超几何分布是离散型概率分布，其取值只能是非负整数。
2.超几何分布的期望值和方差分别为E(X) = n * M/N, Var(X) =n * M/N * (N-M)/N * (N-n)/(N-1)。
3.超几何分布的分布形状随着总体大小和成功物件的比例而改变，当总体很大时，超几何分布近似于二项分布。
超几何分布在实际应用中有着广泛的应用。
例如在质量抽样、抽样调查、生物统计学等领域，常常需要进行不放回地从总体中抽取物件的情况，而超几何分布恰好可以描述这类情况下随机变量的分布规律。
二、二项分布的定义、特点和性质二项分布是描述了n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
具体来说，二项分布描述了n次重复试验中成功的次数X的概率分布。
其概率质量函数为：P(X=k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中(n choose k)表示从n次试验中成功k次的组合数。
二项分布的特点有以下几点：1.二项分布是离散型概率分布，其取值只能是非负整数。
2.二项分布的期望值和方差分别为E(X) = np, Var(X) = np(1-p)。
新高考数学复习考点知识讲解7---二项分布与超几何分布
,
所以(1-p)4=
,故 p= .
答案
9、某市公租房的房源位于 A,B,C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,
且申请其中任一个片区的房源是等可能的.该市的 4 位申请人中恰有 2 人申请 A 片区房
源的概率为
.
解析每位申请人申请房源为一次试验,这是 4 次独立重复试验,设申请 A 片区房源为 A,则
∴D(X)=100×0.2×0.8=16.
D(4X+3)=16D(X)=16×16=256.
答案 B
题型二 二项分布实际应用 例 2 某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是
2 / 11
否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目
投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概 率都为13，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该 节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．
所以 Y 的分布列为
Y
－1
1
3
P
55 91
33 91
3 91
55 33
31
所以 E(Y)＝(－1)×91＋1×91＋3×91＝－7.
11 / 11
4
1 20
E(X)＝0×27＋5×27＋10×27＋15×27＋20×27＝ 3 .
题型三 超几何分布
4 / 11
例 3 某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛， 根据比赛规则，某中学选拔出 8 名同学组成参赛队，其中初中学部选出的 3 名同学有 2 名女生；高中学部选出的 5 名同学有 3 名女生，竞赛组委会将从这 8 名同学中随机选出 4 人参加比赛．
专题49 两点分布、二项分布与超几何分布(学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
专题49两点分布、二项分布与超几何分布【考点预测】知识点一．两点分布1、若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为X01P 1p -p其中01p <<，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布．其中(1)P X =称为成功概率．注意：（1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为1；（2）两点分布又称01-分布、伯努利分布，其应用十分广泛．2、两点分布的均值与方差：若随机变量X 服从参数为p 的两点分布，则()10(1)p p E X =⨯+⨯-=p ，()(1)p D X p =-．知识点二．n 次独立重复试验1、定义一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．2、特点（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的；（2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．知识点三．二项分布1、定义一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，不发生的概率1q p =-，那么事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q-==（0k =，1，2，…，n ）于是得到X 的分布列X01…k …n p 00C n n p q 111C n n p q -…C kk n k n p q -…0C nn n p q由于表中第二行恰好是二项式展开式()001110C C C C n n n k k n k nn n n n n q p p q p q p q p q --+=+++++ 各对应项的值，称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作()X B n p ～，，并称p 为成功概率．注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即1n =时的二高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．2、二项分布的适用范围及本质（1）适用范围：①各次试验中的事件是相互独立的；②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；③随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．（2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．3、二项分布的期望、方差若()X B n p ～,，则()E X np =，)(1)(np p D X =-．知识点四．超几何分布1、定义在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件}{X k =发生的概率为()k n k M N M n NC C P X k C --==，0k =，1，2，…，m ，其中}{min m M n =，，且n N ≤，M N ≤，n ，M ，*N N ∈，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布．X01…m P 00n M N Mn N C C C --11n M N M n N C C C --…m n m M N M n NC C C --2、超几何分布的适用范围件及本质（1）适用范围：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数Y 的概率分布．（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．【方法技巧与总结】超几何分布和二项分布的区别（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.【题型归纳目录】题型一：两点分布题型二：n 次独立重复试验题型三：二项分布题型四：超几何分布题型五：二项分布与超几何分布的综合应用【典例例题】题型一：两点分布例1．（2022·全国·高三专题练习）.若随机变量ξ的分布列为，其中()0,1m ∈，则下列结果中正确的是A ．()()3,E m D nξξ==B ．()()2,E m D n ξξ==C ．()()21,E m D m mξξ=-=-D ．()()21,E m D m ξξ=-=例2．（2022·河北·高三阶段练习）新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease 2019，COVID -19），简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.2019年12月以来，部分医院陆续发现了多例不明原因肺炎病例，证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，为防止该病症的扩散与传染，某检测机构在某地区进行新冠病毒疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病.现有(),2n n n +∈≥N 个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：方案一：逐份检验，需要检验n 次；方案二：混合检验，将n 份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n 个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n 份血液逐份检验，此时共需要检验+1n 次.(1)若10n =，且其中两人患有该疾病，①采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率；②将这10人平均分成两组，则这两患者分在同一组的概率；(2)已知每个人患该疾病的概率为()01p p <<.（i ）采用方案二，记检验次数为X ，求检验次数X 的期望()E X ；（ii ）若5n =，判断方案一与方案二哪种方案检查的次数更少？并说明理由.例3．（2022·全国·高三专题练习）2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k 个人，把这k 个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 个人的血液全为阴性，因而这k 个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这k 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k 个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为0.003P =，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．核酸检测通常有两种分组方式可以选择：方案一：10人一组；方案二：8人一组．(1)分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望；(2)若该社区约有2000人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由．（参考数据：80.9970.976=，100.9970.970=）变式1．（2022·全国·高三专题练习）某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每位职工每年只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金．保险公司把企业的所有岗位分为A 、B 、C 三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图所示，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表所示（并以此估计赔付概率）．工种类别A B C 赔付频率511052104110A 、B 、C 工种职工每人每年的保费分别为a 元，a 元，b 元，出险后获得的赔偿金额分别为100万元，200万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．(1)若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%，试确定保费a ，b 所要满足的条件．(2)现有如下两个方案供企业选择：方案一、企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险公司赔付金额相同的赔偿金付给出险职工；方案二、企业与保险公司合作，企业负责职工保费的60%，职工个人负责保费的40%，出险后赔偿金由保险公司赔付．若企业选择方案二的支出期望（不包括职工支出）低于选择方案一的，求a ，b 所要满足的条件，并判断企业是否与保险公司合作（若企业选择方案二的支出期望低于方案一，且与（1）中保险公司所提条件不矛盾，则企业与保险公司合作）．变式2．（2022·黑龙江实验中学模拟预测（理））为考察本科生基本学术规范和基本学术素养，某大学决定对各学院本科毕业论文进行抽检，初步方案是本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检对象为上一学年度授予学士学位的论文，初评阶段，每篇论文送3位同行专家进行评审，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的毕业论文，将认定为“存在问题毕业论文”.3位专家中有1位专家评议意见为“不合格”，将再送2位同行专家（不同于前3位）进行复评.复评阶段，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”，将认定为“存在问题毕业论文”.每位专家，判定每篇论文“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇毕业论文是否被判定为“不合格”相互独立.(1)若12p =，求每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”的概率是多少；(2)学校拟定每篇论文需要复评的评审费用为180元，不需要复评的评审费用为90元，则每篇论文平均评审费用的最大值是多少？变式3．（2022·安徽·二模（理））某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为p ，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验5件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每k 个()5k ≤一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或1k +次．设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验次数为X ．（1）求X 的分布列及其期望；（2）（i ）试说明，当p 越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；（ii ）当0.1p =时，求使该方案最合理时k 的值及1000件该产品的平均检验次数．题型二：n次独立重复试验例4．（2022·河北衡水·高三阶段练习）进入2021年以来，国家提倡大学生毕业自主创业，根据已知的调查可知，大学生创业成功与失败的概率分别为a，b，且2a b，则某高校四名大学生毕业后自主创业，其中至少有两名大学生创业成功的概率为（）A．881B．89C．724D．523例5．（2022·全国·模拟预测）某同学随机掷一枚骰子4次，则该同学得到1点或5点的次数超过2次的概率为（）A．19B．727C．827D．829例6．（2022·全国·高三专题练习）体育课上进行投篮测试，每人投篮3次，至少投中1次则通过测试．某同学每次投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.064B．0.600C．0.784D．0.936变式4．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）有甲､乙两个盒子，甲盒子中装有2个小球，乙盒子中装有4个小球，每次随机取一个盒子并从中取一个球.(1)求甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球的概率：(2)当其中一个盒子中的球被取完时，记另一个盒子恰剩下ξ个球，则求ξ的分布列与数学期望()Eξ.变式5．（2022·江苏南通·模拟预测）某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为12.(1)在一场比赛中，甲的积分为X，求X的概率分布列；(2)求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率.变式6．（2022·河北衡水·高三阶段练习）我国出现了新冠疫情后，医护人员一直在探索治疗新冠的有效药，并对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，分成,A B两组，A组3人，服用甲种中药，B组3人，服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为45，B组3人康复的概率分别为933,,1044.(1)设事件M表示A组中恰好有1人康复，事件N表示B组中恰好有1人康复，求()P MN；(2)求A组康复人数比B组康复人数多的概率.变式7．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13．比赛采用“三局两胜”制，先胜二局者获胜．商定每局比赛（决胜局第三局除外）胜者得3分，败者得1分；决胜局胜者得2分，败者得0分．已知各局比赛相互独立．(1)求比赛结束，甲得6分的概率；(2)设比赛结束，乙得X分，求随机变量X的概率分布列与数学期望．变式8．（2022·全国·高三专题练习）“民族要复兴，乡村必振兴”，为了加强乡村振兴宣传工作，让更多的人关注乡村发展，某校举办了有关城乡融合发展、人与自然和谐共生的知识竞赛.比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为35，且相互间没有影响.(1)求选手甲被淘汰的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X，试求X的分布列和数学期望.【方法技巧与总结】（1）在解复杂的题目时，可利用“正难则反”的思想，通过考查原事件的对立事件来求其概率．（2）运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n 次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解；在求n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率时，首先要确定好n 和k 的值，再准确利用公式求概率．（3）解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验．题型三：二项分布例7．（2022·全国·高三专题练习）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块（如图所示），并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，于是碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块.如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是（）A ．532B ．516C ．316D ．332例8．（2022·全国·高三专题练习）从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X 为取得红球的次数，则()D X （）A ．157B ．207C ．2521D ．6049例9．（2022·全国·高三专题练习（理））某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：用时/秒[5，10](10，15](15，20](20，25]男性人数1522149女性人数511177以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是()A ．2B ．3C ．4D ．5变式9．（2022·全国·高三专题练习（理））为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则()80P X ≥-=（）A ．27128B ．243256C ．43256D ．83128变式10．（2022·全国·高三专题练习）某工厂产品合格的概率均为p ，各产品合格与否相互独立．设X 为该工厂生产的5件商品中合格的数量，其中() 1.2D X =，(2)(3)P X P X =<=，则p =（）A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3变式11．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）某种植户对一块地上的n （*n ∈N ）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种.（1）当n 取何值时，有3个坑要补种的概率最大？最大概率为多少？（2）当4n =时，用X 表示要补种的坑的个数，求X 的分布列.变式12．（2022·江苏常州·高三阶段练习）金坛区主城区全新投放一批共享电动自行车．本次投放的电动自行车分红、绿两种，投放比例是3∶1．监管部门为了了解这两种颜色电动自行车的性能，决定从中随机抽取4辆电动自行车进行骑行体验，假设每辆电动自行车被抽取的可能性相等．(1)求抽取的4辆电动自行车中至少有3辆是绿色的概率；(2)在骑行体验中，发现红色电动自行车的综合评分较高，监管部门决定从该次投放的这批电动自行车中随机地抽取一辆绿色电动自行车，送技术部门做进一步性能检测，并规定，若抽到的是绿色电动自行车，则抽样结束：若抽取的是红色电动自行车，则将其放回后，继续从中随机地抽取下一辆电动自行车，且规定抽取的次数最多不超过()n n *∈N 次在抽样结束时，设已抽到的红色电动自行车的数量用ξ表示，问：ξ的数学期望能否超过3？变式13．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占12，通过电视收看的约占13，其他为未收看者：(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；(2)从被调查对象中随机选取3人，用X 表示通过电视收看的人数，求X 的分布列和期望．变式14．（2022·江苏·新淮高中三模）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X ，求X 的分布列与数学期望.【方法技巧与总结】1、二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．2、二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：（1）根据题意设出随机变量；（2）分析出随机变量服从二项分布；（3）找到参数n，p；（4）写出二项分布的分布列；（5）将k值代入求解概率．题型四：超几何分布例10．（2022·全国·高三专题练习）一批产品共有20件，其中2件次品，18件合格品，从这批产品中任意抽取2件，则至少有1件是次品的概率是（）A．1190B．1895C．37190D．189190例11．（2022·全国·高三专题练习）从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝()A．2B．1C．3D．4例12．（2022·北京·高三专题练习）为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（1）班 （8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下：（x 轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；(2)若从以上统计的高一（4）班的10名学生中抽出2人，设X 表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X 的分布列及其数学期望；(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“1k ξ=”表示第k 班抽到的这名同学身体素质优秀，“0k ξ=”表示第k 班抽到的这名同学身体素质不是优秀()1,2,,8k =⋅⋅⋅．写出方差()()()()1234,,,D D D D ξξξξ的大小关系（不必写出证明过程）．变式15．（2022·上海·高三开学考试）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）年份2015201620172018201920202021新能源汽车销量占比1.5%2%3%5%8%9%20%(1)从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；(2)从2015年至2021年中随机选取两年，设X 表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X 的分布列和数学期望．变式16．（2022·全国·高三专题练习）为发展业务，某调研组对A ，B 两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内(),0n n n ∈>N 个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为415.(1)求n 的值；(2)若一次抽取4个城市，①假设抽取出的小城市的个数为X ，求X 的可能值及相应的概率；②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.变式17．（2022·全国·高三专题练习）北京某高校有20名志愿者报名参加2022年北京冬奥会服务工作，其中有2名老师，18名学生.若从中随机抽取()*,20n n n ∈≤N 名志愿者，用X表示所抽取的n 名志愿者中老师的人数.(1)若2n =，求X 的分布列与数学期望；(2)当n 为何值时，1X =的概率取得最大值?最大值是多少?变式18．（2022·山西大附中高三阶段练习）北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱.8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.(1)求乙闯关成功的概率；(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.变式19．（2022·全国·高三专题练习）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n（n*∈N）个人数超过1000人的大集团和4个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为1 6 .(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率；(2)若一次抽取3个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望.变式20．（2022·全国·高三专题练习）中国科研团队在研发“新冠疫苗”的过程中，为了测试疫苗的效果，科研人员以小白鼠为实验对象，进行了一些实验．(1)实验一：选取10只健康小白鼠，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中．实验结果发现，除2号、3号和7号小白鼠仍然感染了新冠病毒，其他小白鼠未被感染．现从这10只小白鼠中随机抽取4只进行研究，将仍被感染的小白鼠只数记作X，求X的分布列和数学期望．(2)科研人员在另一个实验中发现，疫苗可多次连续注射，小白鼠多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对小白鼠是否有效互相不影响，相互独立．若将实验一中未感染新冠病毒的小白鼠的频率当做疫苗的有效率，那么一只小白鼠注射两次疫苗能否保证有效率达到96%？若可以请说明理由；若不可以，请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求．。
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导数学期望与方差是概率论和统计学中常见的概念，它们可以帮助我们更准确地测量随机变量，了解概率分布的形状和特性。
本文将分别介绍二项分布和超几何分布的数学期望和方差的推导，并给出其计算公式，以便更深入地理解两个概率分布。
二、二项分布的数学期望二项分布是两个离散随机变量之间的统计分布。
假设有一个二进制试验，其实验结果只有两种情况，即可能出现的次数n有x次成功和(n-x)次失败，而成功的概率为p。
二项分布可以记作$B(n,p)$。
二项分布的数学期望记作$E(x)$，用如下公式表示：$$E(x)=np$$三、二项分布的方差二项分布的方差记作$D(x)$，用如下公式表示：$$D(x)=np(1-p)$$四、超几何分布的数学期望超几何分布是一种概率分布，它是描述一组有限类别，每类之间的不同的观察结果的概率分布，可以用来描述在一组概率分布中样本的数据。
它可以用如下式子来表示：$$P(X=i)=frac{C_i^n}{N^n}*frac{r_i}{N}$$其中，$C_i$表示第i类的总数，$r_i$表示第i类的选择次数，$N$表示总样本数，$n$表示总抽样次数。
超几何分布的数学期望记作$E(x)$，其计算公式为：$$E(x)=frac{sum_{i=1}^nr_iC_i^n}{N^nsum_{i=1}^n{C_i^n}}$$五、超几何分布的方差超几何分布的方差记作$D(x)$，其计算公式为：$$D(x)=frac{sum_{i=1}^nr_iC_i^n(N-r_i)}{N^{n+1}sum_{i=1}^n{ C_i^n}}$$六、结论本文介绍了二项分布和超几何分布的数学期望和方差推导，并给出了计算公式。
从上述内容可以看出，数学期望和方差是概率分布研究的两个重要概念，它们可以帮助我们更好地了解概率分布。
二项分布的数学期望和方差公式
二项分布的数学期望和方差公式二项分布是概率论中重要的离散概率分布之一，常用于描述重复进行相同试验的结果情况。
数学期望和方差是二项分布的重要统计量，本文将详细介绍二项分布的数学期望和方差的公式。
首先，我们来定义二项分布。
设有n次重复独立的试验，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p，试验结果只有成功或者失败两种情况。
则二项分布是描述n次试验中成功次数的概率分布。
1.二项分布的数学期望数学期望是描述随机变量均值的数理统计指标，可以看作是随机变量分布的中心位置。
对于二项分布，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p。
二项分布的数学期望记为E(x)，表示n次试验中成功次数的均值。
根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为q，那么成功次数的期望可以表示为：E(x) = np其中，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。
2.二项分布的方差方差是描述随机变量分散程度的数理统计指标，可以看作是随机变量分布的离散程度。
对于二项分布，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p。
二项分布的方差记为Var(x)，表示n次试验中成功次数的离散程度。
根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为q，那么成功次数的方差可以表示为：Var(x) = npq方差的计算方法是将每次试验成功的概率乘以失败的概率，再乘以试验次数。
另外，二项分布的标准差可以通过方差开方得到，标准差是描述随机变量分布离散程度的一个重要指标。
3.二项分布的性质对于二项分布的数学期望和方差，有以下几个性质：性质1：数学期望的性质-当试验次数n固定时，成功概率p越大，数学期望越大。
-当成功概率p固定时，试验次数n越多，数学期望越大。
性质2：方差的性质-当试验次数n固定时，随着成功概率p的增加，方差先减小后增大，形状类似一个U型曲线。
-方差的计算方法中，成功概率p和失败概率q都会影响方差的大小。
成功概率p越大，失败概率q越小，方差越小。
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
新知识必须尽快掌握，以便继续进行研究，增强自己的知识储备。
本文将从数学概念的角度，讨论二项分布、超几何分布的数学期望和方差的推导。
二项分布是一种独立重复试验的结果，它有两个参数，即试验的次数(n)和每次试验事件发生概率(p)。
二项分布的数学期望和方差是通过下式表示的：
E(X)=n*p
Var(X)=n*p*(1-p)
以上公式表明，试验的次数和事件发生的概率都会影响随机变量数学期望及方差的大小。
超几何分布也是一种独立重复试验的结果，但它有3个参数，即试验的次数(n)、事件会发生概率(p)及试验中一次命中多个特定事件的概率(m)。
超几何分布的数学期望和方差可以用下面的公式来描述： E(X)=n*p*m
Var(X)=n*p*m*(1-p)
以上公式表明，试验的次数、事件发生的概率及多个特定事件的概率都会影响随机变量数学期望及方差的大小。
借助上述推导，通过研究事件发生概率对随机变量数学期望及方差的影响，可以为科学研究和统计预测提供有效的数学模型。
本文介绍了二项分布和超几何分布数学期望和方差的推导方法，分析了事件发生概率对随机变量的影响。
希望本文能对读者有所帮助，
让大家对相关概念获得更深刻的理解。
从数学概念的角度来看，二项分布和超几何分布的数学期望和方差公式都可以推出。
二项分布由两个参数推导出期望和方差，而超几何分布由三个参数推导出期望和方差。
这些数学模型能为统计预测和科学研究提供有效的参考。
二项分布的期望与方差的证明
二项分布的期望与方差的证明第一篇：二项分布的期望与方差的证明二项分布的期望与方差的证明二项分布是概率统计里面常见的分布，是指相互独立事件n次试验发生x次的概率分布，比较常见的例子。
种子萌发试验，有n颗种子，每颗种子萌发的概率是p，发芽了x颗的概率就服从二项分布。
如果还是迷茫，就听我说说故事，在古代，大概明末清初的时候，瑞士有个家族，叫伯努利家族，出了很多数学家，有一位叫詹姆斯·伯努利(James Bernoulli)的，比较喜欢做试验，他的试验有特点，是一系列的试验，没发生就是失败，而且每次的成功概率都是p，若果失败了就是q=(1-p)，只有这两种情况，后来人们给了这除了成功就是失败的性质一个比较抽象的名称，叫相互对立事件。
在这些试验中，每次得出的结果与其他次试验都不发生关系，同样人们也给了这种不发生关系的性质一个比较抽象的名称，叫相互独立事件，同时把这种试验叫做伯努利试验。
在n次伯努利试验中，发生x次的概率满足二项分布。
如果令q=(1-p)，那么很容易得出发生x次的概率为C{x，n}*p^x*q^(n-x)，因为决定该分布的只有n、p，所以为了简单起见，人们把x服从n，p的二项分布记做x～B(n，p)。
现在的目标是计算二项分布的期望和方差，在网上寻找二项分布的期望和方差大都给一个结果，np、npq，很难找到它是怎么来的。
好不容易查到，还是花钱才能看的，就那几步过程，有必要藏着盖着吗？今天我把过程写出来，让大家都了解了解，都是原创，互相学习，希望支持。
首先，不厌其烦地说一下期望与方差的关系，以便清晰思路。
期望用E表示，方差用D表示，一般把自变量记做ξ，如果对于结果为ξ的概率为Pξ那么，其期望为Eξ=∑ξ*Pξ，方差为Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ，另外还有一个常见的量叫做标准差，一般用σ表示，σξ=√Dξ，根据方差的概念，可知：Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ=∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ=∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ)=∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ 因为∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ 所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2 而∑ξ^2*Pξ，表示E(ξ^2)所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2 下面计算数学期望, Eξ=∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ) =∑{ξ =0，n}ξ*n!/ξ!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)=∑{ξ =1，n}n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)=n*p*∑{ξ =1，n}C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)=n*p*(p+q)^(n-1)=n*p如果要计算方差，根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2可得出结果，过程如下，Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2=∑{ξ =0，n}ξ^2*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)－n*p*∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)=n*p*∑{ξ =1，n}ξ*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－n*p*∑{ξ =1，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*(C{ξ-1，n-1}－C{ξ，n}＋C{ξ，n}*q)=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*[C{ξ，n}*q－(C{ξ，n}－C{ξ-1，n-1})]=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ，n}*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ，n-1}]=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-1-ξ)!]=n*p*[∑{ξ =1，n}n*q*C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－∑{ξ =1，n-1}(n-1)*q*C{ξ-1，n-2}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ-1)]=n*p*[n*q*(p+q)^(n-1)－(n-1)*q*(p+q)^(n-2)]=n*p*[n*q－(n-1)*q]=n*p*q以上就是二项分布的期望与方差的证明，过程比较简单，就是一个思路，要想更深入的领悟，就须要自己亲自地证明一遍了，也许你的方法将会更简单……第二篇：二项分布的期望和方差的详细证明二项分布的期望的方差的证明山西大学附属中学韩永权离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是Pn(ξ=k)=Cnkpkqn-k，（k=0,1,2n q=1-p）称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p 为参数，并记Cnkpkqn-k＝b(k；n，p)．求证：服从二项分布的随机变量ξ的期望Eξ=np.kk-1证明如下：预备公式：kcn=ncn-1 00n-10n-220n-2k-1k-1(n-1)-(n-k)n-1n-10(p+q)n-1=(cn+c 1+cn+...+cnq+...+cnq)-1pqn-1pq-1pq-1p-1pkkkkn-k因为p(ξ=k)=cnp(1-p)n-k=cnpq,00n1n-122n-2kkn-kn0n所以Eξ=0⨯cnpq+1⨯c1++2⨯cnpq+...+k⨯cnpq+...+ncnpq npq 00n-110n-220n-2k-1k-1(n-1)-(n-k)n-1n-10=np(cnpq+cpq +cpq+...+cpq+...+cq)-1n-1n-1n-1n-1p=np(p+q)n-1=np所以Eξ=np方法二：证明：若X~B(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X的数学期望。
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导二项分布、超几何分布是统计学中常见的概率分布，它们的期望、方差均具有重要的数学意义。
在本文中，我们将就二项分布、超几何分布的期望与方差分别建立数学模型，并通过推导求出其公式，帮助大家来理解二项分布、超几何分布的期望与方差之间的关系。
一、二项分布的期望二项分布的期望[X]是指在概率观测中，把观测值X的概率求和后，得到的数值。
记二项分布的观测概率为P(X=x)，那么二项分布的期望可以表示为：[X] =xP(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率。
根据二项分布的概率计算公式，可以推导出二项分布的期望公式为：[X] = np其中，n是实验次数，p是实验成功的概率。
二、二项分布的方差二项分布的方差[X]是指在概率观测中，观测值X的方差。
二项分布的方差可以表示为：[X] =(x-[X])2P(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率，[X]是二项分布的期望。
根据二项分布的概率计算公式，可以推导出二项分布的方差公式为：[X] = np(1-p)其中，n是实验次数，p是实验成功的概率。
三、超几何分布的期望超几何分布的期望[X]是指在超几何分布中，把观测值X的概率求和后，得到的数值。
记超几何分布的观测概率为P(X=x)，那么超几何分布的期望可以表示为：[X] =xP(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率。
根据超几何分布的概率计算公式，可以推导出超几何分布的期望公式为：[X] = nq/p其中，n是总的实验次数，q是第一次实验的概率，p是实验成功的概率。
四、超几何分布的方差超几何分布的方差[X]是指在概率观测中，观测值X的方差。
超几何分布的方差可以表示为：[X] =(x-[X])2P(X=x)其中，x是观察值，P(X=x)是观察值x的概率，[X]是超几何分布的期望。
根据超几何分布的概率计算公式，可以推导出超几何分布的方差公式为：[X] = nqp(1-p)其中，n是总的实验次数，q是第一次实验的概率，p是实验成功的概率。
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导在概率论和数理统计中，二项分布和超几何分布是重要的概率分布，它们的数学期望与方差可以用一定的公式来表示，并可以通过推导来算出。
本文从实际问题出发，详细介绍了二项分布和超几何分布数学期望与方差公式的推导过程。
一、二项分布1.1义在概率论中，“二项分布”又称为“伯努利分布”，是指在若干次独立重复实验中，只有两种结果：实验成功和实验失败之间的概率分布。
1.2学期望与方差公式假设在每次实验中，实验成功的概率为$p$，共进行$n$次实验，则二项分布的概率函数为：$$P(X=x)=C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$其中，$x$为实验成功的次数，$C_{n}^{x}$为$n$个不同元素中取$x$个的组合数，即$$C_{n}^{x}=frac{n!}{x!(n-x)!}$$数学期望和方差用如下公式表示：$$E(X)=np$$$$D(X)=np(1-p)$$二、超几何分布2.1义超几何分布也称为超几何试验、超几何抽样或者超几何实验，可用于描述一种只有限数量的可能事件的抽样模型，其中，采用的方法是在一大堆里随机的抽取一定数量的元素。
超几何分布用参数$n$、$N$和$p$来描述，它的概率分布为：$$P(X=x)=C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$ 其中，$x$为抽取到实验成功的次数，$N$为堆里元素的总数量，$p$为实验成功的概率，$n$为抽取的总次数。
2.2学期望与方差公式数学期望和方差用如下公式表示：$$E(X)=np$$$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1}$$三、推导3.1导期望根据定义可得：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xP(X=x) $$二项分布的推导：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=frac{1-(1-p)^{n} }{p}=frac{1-q^{n}}{p}=1$$所以：$$E(X)=np $$超几何分布的推导：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$ $由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}=frac{1-(1-p)^{N}}{p}=frac{1-q^N}{p}=frac{Np-(N-n)p}{p}=N-n+1$$ 所以：$$E(X)=np(N-n+1) $$3.2导方差根据定义可得：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$二项分布的推导：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}-np^2$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}=npsum_{x=0}^{n} xC_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=np^2frac{1-(1-p)^{n}}{p}=np^2f rac{1-q^{n}}{p}=np^2$$所以：$$D(X)=np(1-p) $$超几何分布的推导：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}-n p^2(N-n+1)^2$$由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}=np(N-n +1)sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$$$$=np(N-n+1)^2frac{1-(1-p)^{N}}{p}=np(N-n+1)^2frac{1-q^N}{p }=np(N-n+1)^2frac{Np-(N-n)p}{p}$$$$=np(N-n+1)^2frac{N-n}{p}=np[N(N-n+1)-n(N-n+1)]$$ 所以：$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1} $$四、总结从上文可以看出，二项分布和超几何分布的数学期望与方差公式都有具体的推导过程，数学期望与方差之间也有一定的关系。
二项分布方差公式推导过程
二项分布方差公式推导过程二项分布是统计学中非常重要的概率分布，它可以用来描述独立试验中发生成功次数的分布。
该分布具有两个参数，即成功概率p和试验次数n。
二项分布的方差表达式如下：VAR(X)=np(1-p)现在，让我们来看看二项分布方差公式的推导过程。
首先，我们需要讨论该分布的期望值。
期望值的计算公式如下： E(X) = np从这一式子可以看出，二项分布的期望值等于试验次数乘以成功概率。
其次，我们考虑二项分布的方差。
由于方差的定义：VAR(X)=E[(X-E(X))^2]所以，可以得出：VAR(X)=E[X^2] - [E(X)]^2接下来，我们推导出X的平方期望值。
由于独立试验的假设，我们可以得出：E[X^2] = (E[X])^2 + VAR(X)将期望值E(X)带入上式，即可得到：E[X^2] = np + np(1-p)将平方期望值带入方差定义中，得出：VAR(X)=np + np(1-p) - [np]^2计算结果为：VAR(X)=np(1-p)最后，我们需要检验推导的结果是否正确。
我们将以下参数带入推导的结果中：p=0.5， n=10VAR(X)=10 * 0.5 * (1-0.5)检验结果为：2.5因此我们可以确认推导的结果是正确的，二项分布的方差公式为：VAR(X)=np(1-p)。
通过这一推导，我们可以明确了二项分布的平方期望值、期望值以及方差之间的关系，有助于我们进行更全面深入的研究。
另外，了解二项分布的方差也可以帮助我们更好地分析数据，估算变量之间的相似性和变化情况，从而辅助决策过程。
总之，二项分布的方差公式是非常重要的，它可以用来定量描述随机变量变化情况，从而帮助我们更有效地进行数据分析和决策。
超几何分布的期望和方差 (1)
n 超几何分布列的数学期望和方差（030012 太原五中王志军）一、准备知识:1.组合数性质：(1)C m =C n−m；(2)C m +C m+1 =C m+1 ；(3)C k−1=kC k（即k C k =nC k−1 ）；n n n n n+1 n−1 n n n n−12.二项式定理和二项式系数的性质：(1) (C0 )2 + (C1)2 + (C2 )2 +…+(C n)2 =C nn n n n 2n证明提示：利用二项式定理，比较恒等式(1 +x)n(1 +x)n=(1 +x)2n中“=”号左右两边展开式的x n 的系数，再利用组合数性质（1）可证得.(2) C0 C n+ C1 C n−1 + C2 C n−2 +…+C m C n−m = C nM N−M M N−M M N−M M N−M N证明提示：利用二项式定理，比较恒等式(1 +x)M(1 +x)N−M=(1 +x)N中“=”号左右两边展开式的x n 的系数，再利用组合数性质（1）可证得.3.方差的性质（1）D(aX +b) =a2D X ；（2）D X =E X2−(E X)2；4.二项分布及其数学期望和方差（1）二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在 n 次独立重复试验中这个事件发生的次数X 是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是P(X=k)=C k p k q n−k ，（其中n nk＝0,1,2,…，n，q =1 −p）．于是得到随机变量X 的概率分布如下：X 0 1 …k …nP C0 p0q nn C1 p1q n−1n…C k p k q n−kn…C n p n q0n并记b(k;n, p) = C k p k q n−k ．（2）若X ～Β(n，p)，则E X=np（3）若X ～Β(n，p)，则D X=np(1—p)二、超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{X=k｝发生的概率为C n Cn C C C mk C C C C k C n −k ∗P (X = k ) = M N −M,k = 0,1, 2,⋯,m ,其中m = min{M ,n } ，且n ≤ N , M ≤ N ,n , M , N ∈ N ．N为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布 （ hypergeometriC distribution )，记 X ～ H (n ;M , N ) .C k C n −k可知其满足随机变量的分布列性质：（1）非负性P (X = k ) =M N −MN≥ 0,k = 0,1,2,⋯,mC 0 C nC 1 C n −1 C m C n −m （2）可 加 性 M N −M + M N −M +…+ M N −M =1 n n nN N NmkC kCn −k （3）X 的数学期望EX = ∑M N −M= 1（ 0 ⋅C 0Cnk =0+1⋅C 1Cn −1n N+ 2 ⋅C 2Cn −2+…+ k ⋅C k C n −k+…+ m ⋅C m Cn −m）n M N −MNM N −MM N −MM N −MM N −M= 1（ M ⋅CCn −1 + M ⋅C 1Cn −2+…+ M ⋅C k −1 C n −k+…+ M ⋅Cm −1C n −m ）n M −1NN −MM −1N −MM −1N −MM −1N −M=M（ C 0C n −1+ C 1C n −2 +…+C k −1 C n −k +…+ C m −1C n −m ） nM −1 NN −MM −1N −M M −1 N −M M −1 N −M=MC n −1 nN −1NnM =，因此， NEX =nMN（4） X 的方差D X = E X 2− (E X )22 kn −k＝ ∑ M N −M － (nM )2 k =0 NN=1（ 02 ⋅C 0Cn+12⋅C 1 Cn −1 + 22⋅C 2 Cn −2+…+ k 2 ⋅C k C n −k+…+ m 2 ⋅C m Cn −m）－ (nM)2n M N −MNM N −MM N −MM N −MM N −MN＝ 1（1⋅ MCCn −1 + 2 ⋅M C 1Cn −2+…+ k ⋅ MC k −1 Cn −k+…+ m ⋅M C m −1Cn −m）－ (nM)2n M −1NN −MM −1N −MM −1 N −MM −1 N −MNn C C CC CCCM ＝［ （ C 0C n −1 + C 1 C n −2 + … + C k −1 C n −k + … + C m −1C n −m ） ＋ （ nM −1 NN −M M −1 N −M M −1 N −M M −1 N −M 0 ⋅C 0 C n −1 +1⋅C 1 C n −2 +…+ (k − 1) ⋅C k −1 C n −k +…+(m − 1) ⋅C m −1C n −m ）］－ (nM)2 M −1 N −M M −1 N −M M −1 N −M M −1 N −MN＝ M ［ C n −1 ＋（ M − 1)C n −2 ］－ (nM )2nN −1 NnM n (n − 1)M (M − 1)=N +N (N − 1) N −2 NnM － ( )2 N= nM － (nM )2 N N n (n − 1)M (M − 1) +N (N − 1) ，因此， X 的方差DX = nM N － (nM )2 Nn (n − 1)M (M − 1) + N (N − 1)三、超几何分布的数学期望和方差与二项分布的数学期望和方差的 关系根据极限知识，很容易得到：1. 在超几何分布中，当N → +∞ 时， M→ p （二项分布中的 p ）N2. 当N → +∞ 时，超几何分布的数学期望EX = nM→ np = E X （二项分布的数学期望）N3. 当 N → +∞时 ， 超 几 何 分 布 的 方 差 DX = nM－ N(nM )2 + n (n − 1)M (M − 1) → np − (np )2 + n (n − 1) p 2 = np (1 − p ) = D X （二项分布的方差） N N (N − 1)4. 当N → +∞ 时，超几何分布可近似为二项分布.C C。
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导一维随机变量期望与方差二维随机变量期望与方差协方差1.一维随机变量期望与方差：公式：离散型：E（X）=∑i=1->nXiPiY=g（x）E（Y）=∑i=1->ng（x）Pi连续型：E（X）=∫-∞->+∞xf（x）dxY=g（x）E（Y）=∫-∞->+∞g（x）f（x）dx方差：D（x）=E（x2）-E2（x）标准差：根号下的方差常用分布的数学期望和方差：0~1分布期望p 方差p（1-p）二项分布B（n，p）期望np，方差np（1-p）泊松分布π（λ）期望λ方差λ几何分布期望1/p ,方差（1-p）/p2正态分布期望μ，方差σ2均匀分布，期望a+b/2,方差（b-a）2/12指数分布E（λ）期望1/λ,方差1/λ2卡方分布，x2（n）期望n 方差2n期望E（x）的性质：E（c）=cE（ax+c）=aE（x）+cE（x+-Y）=E（X）+-E（Y）X和Y相互独立：E（XY）=E（X）E（Y）方差D（X）的性质：D（c）=0D（aX+b）=a2D（x）D（X+-Y）=D（X）+D（Y）+-2Cov（X，Y）X和Y相互独立：D（X+-Y）=D（X）+D（Y）2.二维随机变量的期望与方差：3.协方差：Cov（X，Y）：D（X+-Y）=D（X）+D（Y）+-2Cov（X，Y）协方差：Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）相关系数：ρxY=Cov（X，Y）/X的标准差*Y的标准差ρxY=0为X与Y不相关记住：独立一定不相关，不相关不一定独立。
协方差的性质：Cov（X，Y）=Cov（Y，X）Cov（X，C）=0CoV（X，X）=D（X）Cov（ax+b，Y）=aCov（X，Y）。
二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推导
ｃ：ｃ ＋ｃ，ｏｃ，ｏ一 ＋ｃ ｃ 一 ＋·－·＋ｃｋ ｃＯ ：Ｃ：＋ （ｎ，ｍ，ｋ∈
Ｎ ，ｋ≤ｎ，ｋ≤ ｍ），利 用 恒 等 式 （１＋ ）… ＝（１＋ ） （１＋ ） 的二 项 展 开 式 中 的 系数 相 等 可 证 ． 一 、 二 项 分 布 在 独立 重 复 实 验 中 ，某 结 果 发 生 的 概 率 均 为 Ｐ（不 发 生
～ Ｍ
一
Ｍ
一 Ｍ
Ｃ
Ｃ
ｃ
Ｚ— ｌ
ｆ
ｃ ｃⅣ ｎ＋ｌ＾ｆ－ ｃ ｃ 二 一
ｃ
ｃ
）：圭
篆主ｉｃ ｎ－ｉ ＝ １
＝ 毒ｃ ： （利用预备公式３可得）
ｎＭ
—
Байду номын сангаасＮ ’
圭 ＝ ｉ＝ ０
一 （ ）
Ｍ 窆 （ ） ＝ ｃ
ｉ－
ｎ－ｉ
一
…
ｉ＝ １
＝
（ ）ｃ ：： ＋
Ｐ ｎ（ｎ一１ ＋ｎｐ—ｎ２ｐ ＝ ｎｐ —ｐ２ｎ
＝ｎｐ（１一Ｐ）． 二 、超 几何 分布 一 批 产 品共 Ⅳ件 ，其 中 有 Ｍ 件 不 合 格 品 ，随 机 取 出的 ｎ 件 产 品 中 ，不合 格数 的概 率 分 布 为
Ｏ
１
２
３
ｃ ｃ
一
Ｐ
ｃ
Ｃ Ｉ ｎ－ １ ＣＭ ２ ～ ｎ－２ Ｃ３ ｎ －３
窆ｃ Ｍ
： ｃ ｉ＝ １
ｎ－ｉ 一（ ）
＝ 兰（ ）塞ｃ ｎ－ｉ ＋
二项分布与超几何分布-讲义(学生版)
二项分布与超几何分布一、课堂目标1．理解次独立重复试验的概念．2．熟练求解二项分布的分布列、数学期望和方差．3．熟练求解超几何分布的分布列和数学期望．二、知识讲解1. 次独立重复实验与二项分布知识精讲（一）伯努利试验与重伯努利试验（或次独立重复实验）（1）伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.（2）重伯努利试验（或次独立重复实验）：我们将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验（或次独立重复实验）.（3）重伯努利试验具有如下两个特征：①同一个伯努利试验重复做次（“重复”意味着各次试验成功的概率相同）；②各次试验的结果相互独立.（4）独立重复试验中事件发生次的概率①公式：一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率.②明确该公式中各量表示的意义：为重复试验的次数；是在一次试验中事件发生的概率；是一次试验中事件不发生的概率；是在次独立重复试验中事件发生的次数.（二）二项分布（1）二项分布的概念一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率，．此时，称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功的概率.（2）二项分布的分布列…………（3）二项分布的特点①对立性：即一次试验中只有两种结果——“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；②重复性：试验在相同条件下独立重复地进行次，保证每次试验中“成功”的概率和“不成功”的概率都保持不变.（4）二项分布的数学期望与方差①若，则．②若，则．知识点睛独立重复试验与二项分布的判断（1）独立重复试验满足两个条件：①在同样的条件下重复进行；②各次试验之间相互独立.（2）二项分布满足四个条件：①在每次试验中，事件发生的概率是相同的；②各次试验中的事件是相互独立的；③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；④随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数.经典例题A. B. C.D.1.已知，且，，则等于（）．巩固练习2.已知离散型随机变量，随机变量，则的数学期望．3.已知随机变量服从二项分布，若，，则．经典例题4.盒中有大小相同的个红球，个白球，现从盒中任取球，记住颜色后再放回盒中，连续摸取次．设表示连续摸取次中取得红球的次数，则，的数学期望．A.和 B.和C.和D.和5.在三次独立重复试验中，事件在每次试验中发生的概率相同，若事件至少发生一次的概率为，则事件发生次数的期望和方差分别为（）．巩固练习A.B.C.D.6.同时抛掷枚质地均匀的硬币次，设枚硬币均正面向上的次数为，则的数学方差是（ ）．7.一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次记分，没有击中记分，某人每次击中目标的概率为，则此人得分的均值与方差分别为 ， ．经典例题（1）（2）8.年月日起，《北京市垃圾分类管理条例》正式实施，某社区随机对种垃圾辨识度进行了随机调查，经分类整理得到下表：垃圾分类厨余垃圾可回收物有害垃圾其他垃圾垃圾种类辨识率辨识率是指：一类垃圾中辨识准确度高的数量与该类垃圾的种类数的比值．从社区调查的种垃圾中随机选取一种，求这种垃圾辨识度高的概率．从可回收物中有放回的抽取三种垃圾，记为其中辨识度高的垃圾种数，求的分布列和数学期望．巩固练习9.每年月日是国际幸福日，某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取名，用“分制”记录了他们的幸福度指数，结果见如图所示茎叶图，其中以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于分，则称该人的幸福度为“很幸福”．幸福度（1）（2）求从这人中随机选取人，至少有人是“很幸福”的概率．以这人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选人，记表示抽到“很幸福”的人数，求的分布列及．经典例题（1）（2）10.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过分钟）.将统计数据按，，，,分组，制成频率分布直方图：频率组距乘车等待时间（分钟）甲站频率组距（分钟）乘车等待时间乙站假设乘客乘车等待时间相互独立．在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取人，记为；从乙站的乘客中随机抽取人，记为．用频率估计概率，求“乘客，乘车等待时间都小于分钟”的概率．在上班高峰时段，从乙站乘车的乘客中随机抽取人，表示乘车等待时间小于分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望．巩固练习11.某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准，用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为此，政府调查了户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示．（1）（2）频率组距月平均月电量度根据频率分布直方图的数据，求出的值并估计该市每户居民月平均用电量的值．现从该市所有居民中随机抽取户，其中月平均用电量介于的户数为，用频率估计概率，求的分布列及数学期望．2. 超几何分布知识精讲（1）定义一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，若其中恰有件次品，则，即其中，且.如果随机变量的分布列具有上表的形式，那么称随机变量服从超几何分布.（2）超几何分布的判断①若随机变量满足：试验是不放回地抽取次；随机变量表示抽取到的次品件数.则该随机变量服从超几何分布.②一般地，设有件产品，其中次品和正品分别为件，从中任取件产品，用分别表示取出的件产品中次品和正品的件数，则随机变量服从参数为的超几何分布，随机变量服从参数为的超几何分布.（3）超几何分布的数学期望和方差若离散型随机变量服从参数为，，的超几何分布，则；.知识点睛二项分布与超几何分布的区别：①二项分布：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型.②超几何分布：不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型.因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.经典例题A.B.C.D.12.口袋中有相同的黑色小球个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取个小球．表示当时取出黑球的数目，表示当时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（）．，，，，巩固练习13.一袋中装有个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是，则袋中白球的个数为 ；从袋中任意摸出个球，则摸到白球的个数的数学期望为 ．经典例题（1）（2）14.某校组织一次冬令营活动，有名同学参加，其中有名男同学，名女同学，为了活动的需要，要从这名同学中随机抽取名同学去执行一项特殊任务，记其中有名男同学．求的分布列．求去执行任务的同学中有男有女的概率．巩固练习15.安康市某中学在月日举行元旦歌咏比赛，参赛的名选手得分的茎叶图如图所示．（1）（2）写出这名选手得分的众数和中位数．若得分前六名按一等奖一名、二等奖两名、三等奖三名分别发放元、元元的奖品，从该名选手中随机选取人，设这人奖品的钱数之和为，求的分布列与数学期望．经典例题（1）（2）16.随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每月进行训练的天数人数以这人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取个人，求恰好有个人是“平均每月进行训练的天数不少于天”的概率．依据统计表，用分层抽样的方法从这个人中抽取个，再从抽取的个人中随机抽取个，表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于天”的人数，求的分布列及数学期望．巩固练习17.脐橙营养丰富，含有人体所必需的各类营养成份，若规定单个脐橙重量（单位：千克）在的脐橙是“普通果”，重量在的脐橙是“精品果”，重量在的脐橙是“特级果”，有一果农今年种植脐橙，大获丰收．为了了解脐橙的品质，随机摘取个脐橙进行检测，其重量分别在，，，，，中，经统计得到如图所示频率分布直方图．（1）（2）频率/组距重量千克将频率视为概率，用样本估计总体．现有一名消费者从脐橙果园中，随机摘取个脐橙，求恰有个是“精品果”的概率．现从摘取的个脐橙中，采用分层抽样的方式从重量为，的脐橙中随机抽取个，再从这个抽取个，记随机变量表示重量在内的脐橙个数，求的分布列及数学期望．三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！四、出门测A. B. C. D.18.某班有数学成绩优秀的学生数，则等于（）．（1）（2）19.年月日，甘肃省人民政府办公厅发布《甘肃省关于餐饮业质量安全提升工程的实施意见》，卫生部对所大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估．满分者为“安全食堂”，评分分以下的为“待改革食堂”．评分在分以下考虑为“取缔食堂”，大部分大学食堂的评分在分之间，以下表格记录了它们的评分情况：分数段食堂个数现从所大学食堂中随机抽取个，求至多有个评分不低于分的概率．以这所大学食堂评分数据估计大学食堂的经营性质，若从全国的大学食堂任选个，记表示抽到评分不低于分的食堂个数，求的分布列及数学期望．（1）（2）20.为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组．该年级理科班有男生人，女生人；文科班有男生人，女生人．现按男、女用分层抽样从理科生中抽取人，按男、女用分层抽样从文科生中抽取人，组成环境保护兴趣小组，再从这人的兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛．设事件为“选出的这个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件发生的概率．用表示抽取的人中文科女生的人数，求的分布列和数学期望．。
超几何分布的期望和方差
超几何分布的期望和方差在概率论与数理统计的世界里，超几何分布是一个重要的概念。
今天，咱们就来好好聊聊超几何分布的期望和方差。
首先，咱们得弄清楚啥是超几何分布。
想象一下，有一批总数为 N 的产品，其中有 M 件是次品。
现在咱们随机抽取 n 件产品，那么抽到的次品数 X 就服从超几何分布。
那超几何分布的期望是咋算的呢？期望其实就是平均值，也就是咱们通常说的“期望值”。
对于超几何分布来说，它的期望可以用一个公式来表示：E(X) ＝ n×M/N 。
咱们来解释解释这个公式哈。
n 呢，是咱们抽取的产品数量；M 是次品的总数；N 是产品的总数。
这个公式其实很好理解，比如说，产品总数是 100 个，其中有 20 个次品，咱们抽10 个，那期望抽到的次品数就是 10×20/100 ＝ 2 个。
接下来再说说超几何分布的方差。
方差反映的是随机变量取值的分散程度。
超几何分布的方差公式是：Var(X) ＝ n×M/N ×（1 M/N) ×（N n)／（N 1) 。
这个公式看起来有点复杂，别着急，咱们一点点来。
先看 n×M/N 这部分，这其实和期望的式子有点像。
后面的（1M/N) 可以理解为抽到正品的概率。
再后面的（N n)／（N 1) 呢，它主要是用来调整因为抽样是不放回的导致的差异。
为了让大家更清楚地理解，咱们来举个例子。
假设一批产品有 50 个，其中 15 个是次品，咱们抽取 8 个。
先算期望，E(X) ＝ 8×15/50 ＝ 24 ，也就是说平均抽到 24 个次品。
再算方差，Var(X) ＝ 8×15/50 ×（1 15/50) ×（50 8)／（50 1) ，经过一番计算，就能得到方差的值。
那知道超几何分布的期望和方差有啥用呢？用处可大啦！比如说在质量检测中，如果知道了产品的超几何分布的期望和方差，就能判断抽样结果是不是合理，是不是存在异常情况。
二项分布及超几何分布期望与方差
二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推导高中教材中对二项分布和超几何分布数学期望与方差公式没有给出推导公式，现笔者给出一推导过程仅供参考。
预备公式一11--=k n k n nC kC （1≥n ），利用组合数计算公式即可证明。
预备公式二[]22)()()(ξξξE E D -=，证明过程可见教材。
预备公式三22)1()1(---=-k n k n C n n C k k （2,2≥≥k n ），利用组合数计算公式即可证明。
预备公式四),,,,(022110n k m k N k n m C C C C C C C C C k n m m k n k m n k m n k m n ≤≤∈=++++++-- ，利用恒等式m n nm x x x )1()1()1(++=++的二项展开式中k x 的系数相等可证。
一、二项分布在n 次独立重复试验中，每次试验中事件A 发生的概率为p （10<<p ），事件A 发生次数为ξ，则ξ的概率分布列为：np p p np p pC np p p nC p p kC p p kC E n nk k n k k n nk kn k k n nk kn kk nnk kn kkn=+-=-=-=-=-=-=----=---=-=-∑∑∑∑1111111110)1()1()1()1()1()(ξ2.二项分布的方差[])1()1()1()1()1()1()1()()1()1()1()1()1()1()()1()()()(222222n2222222n22222n222n1n122n122n222p np p n np p p p n n p n np p p Cp n n p n np p p C n n p n E p p C k k p n p p kC p p C k k p n p p C k np p p C k E E D n k k n k k n k k n k k n k kn kknk k n kk n k kn kknk k n kk n k kn kkn-=-++--=-+--=-+--=-+--=--+--=--=--=-=-=----=---=-=-=-=-=-∑∑∑∑∑∑∑ξξξξ二、超几何分布一批产品共N 件，其中有M 件不合格品，N -M 件合格品，从中随机取出n 件产品中，X 其中（，）。
二项分布的期望和方差的详细证明
二项分布的期望和方差的详细证明大家好，今天咱们来聊聊那个让人头疼的数学问题——二项分布。
别急，慢慢来，让我用轻松幽默的方式带你走进这个神秘的世界。
咱们得知道什么是二项分布。
想象一下，你参加了一个游戏，有两次机会，每次成功的概率是0.5，失败的概率也是0.5。
这就是二项分布的基本模型。
那么，二项分布的期望和方差是什么呢？别急，咱们一步步来。
先说说期望吧。
简单来说，期望就是所有可能结果加起来的平均数。
在二项分布中，期望就是0.5乘以0.5，也就是0.25。
这就像是玩游戏，你每次都有机会赢，但总有一个机会是输的，所以平均下来，你赢了一半的机会，输了一半的机会。
再来说说方差。
方差嘛，就是每个结果与期望的差距的平方的平均值。
在二项分布中，方差就是0.25的平方再除以2，也就是0.125。
这就像玩游戏，你每次都有机会赢或者输，但总有一些意外情况发生，导致你离期望越来越远。
现在咱们来个小游戏，看看二项分布的期望和方差是怎么计算的。
假设你有两次机会，第一次成功的概率是0.3，失败的概率是0.7；第二次成功的概率是0.4，失败的概率是0.6。
那么，第一次的结果可能是成功或失败，第二次的结果也同理。
这样，我们可以得到一个二项分布的样本。
接下来，我们要计算期望和方差。
计算期望。
假设第一次成功的概率是0.3，失败的概率是0.7；第二次成功的概率是0.4，失败的概率是0.6。
那么，第一次和第二次成功的概率相加为0.3+0.4=0.7，失败的概率相加为0.7+0.6=1.3。
所以，期望就是0.7乘以0.7，也就是0.49。
这就像是玩游戏，你每次都有机会赢，但总有一些意外情况发生，导致你离期望越来越远。
然后，我们来计算方差。
假设第一次成功的概率是0.3，失败的概率是0.7；第二次成功的概率是0.4，失败的概率是0.6。
那么，第一次和第二次成功的概率相加为0.3+0.4=0.7，失败的概率相加为0.7+0.6=1.3。
所以，方差就是0.7乘以0.7再除以2，也就是0.49的平方再除以2，也就是0.125。
二项分布的方差推导
二项分布的方差推导二项分布是概率论中常用的一种离散型概率分布，它描述了n次独立重复试验中成功次数的概率分布，其中每次试验的成功概率为p。
在实际应用中，我们往往需要计算二项分布的期望和方差等统计量，以便进行后续的分析和决策。
本文将重点介绍如何推导二项分布的方差公式。
一、二项分布的定义二项分布的定义如下：设有n次独立重复试验，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p。
令X表示n次试验中成功的次数，则X服从二项分布，记为X~B(n,p)。
其概率函数为：P(X=k)=C(n,k)p^kq^(n-k)其中C(n,k)表示从n个元素中选出k个元素的组合数，即：C(n,k)=n!/k!(n-k)!二、二项分布的期望二项分布的期望可以通过概率函数的定义式求解：E(X)=∑k=0^n kP(X=k)=∑k=0^n kC(n,k)p^kq^(n-k) 根据组合数的性质，我们可以将上式改写为：E(X)=np∑k=1^n C(n-1,k-1)p^(k-1)q^(n-k)再利用二项式定理，我们可以得到：E(X)=np(p+q)^n=np因此，二项分布的期望为np。
三、二项分布的方差二项分布的方差可以通过概率函数的定义式和期望的公式求解： Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2其中，E(X^2)可以表示为：E(X^2)=∑k=0^n k^2P(X=k)=∑k=0^n k^2C(n,k)p^kq^(n-k) 根据组合数的性质，我们可以将上式改写为：E(X^2)=n(n-1)p^2∑k=2^n C(n-2,k-2)p^(k-2)q^(n-k) 再利用二项式定理，我们可以得到：E(X^2)=n(n-1)p^2(p+q)^(n-2)=n(n-1)p^2因此，二项分布的方差为：Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=n(n-1)p^2+np-n^2p^2=(1-p)np四、二项分布的性质二项分布具有以下性质：1. 二项分布的期望为np，方差为(1-p)np。
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i=1
i=1
n
∑ =p2 n(n-1)
Ci-2 n-2
pi-2
qn-i+
i=2
n
∑ np
Ci-1 n-1
pi-1
qn-i-n2p2
i=1
=p2n(n-1)(p+q)n-2 +np(p+q)n-1 -n2 p2
=p2n(n-1)+np-n2p2
=np-p2 n
=np(1 -p). 二 、超几何分布
一批产品共 N件 , 其中有 M件不合格品 , 随机 取出的 n
件产品中 , 不合格数 X的概率分 布为 :
X0
1
2
3 … l-1
l
P
C0MCn N-M C1MCn N--1M C2MCn N--2M C3MCn N--3M
Cn N
Cn N
Cn N
Cn N
…
Cl M-1 Cn N+ -1M-lCl MCnN--lM
Cn N
CnN
其中 l=min(n, M).
ξ0
1
2
3 … n-1
n
P C0nqn C1npqn-1 C2np2 qn-2 C3np3qn-3 … Cn n-1 pn-1 q Cn npn
n
∑ E(ξ)= iCi npiqn-i i=0
∑n
=
iCi npiqn-i
i=1
n
∑ = nCi n--11piqn-i(利用预备公式 1可得 ) i=1
专 题 研 究
10 8 ZHUANTIYANJIU
二项分布 、超几何分布数学期望
与方差公式的推导
●韩晓东 (江苏省淮阴中 学 223002)
高中教材中 对二 项分布 、超 几何 分布数 学期 望与 方差 公式没有给出推 导过 程 , 现 笔者 给出 一推导 过程 仅供 读者 参考 .
∑l
E(x)=
i=0
iCi MCCn Nn N--iM
∑ =CMn N
l i=1
C C i-1 n-i M-1 N-M
=CMn NCn N--11(利用预备公式 3可得 )
=nNM.
∑l
V(x)=
i=0
i2 Ci MCCn Nn N--iM -
Mn2 N
∑ =CMn N
l i=1
iCi M--11
Cn-i N-M
n
∑ =np Ci n--11pi-1 qn-i i=1
=np(p+q)n-1
=np.
V(ξ)=Eξ2 -(Eξ)2
n
∑ =
i2 Ci npiqn-i-n2p2
i=0
n
∑ =
niCi n--11piqn-i-n2 p2
i=1
n
n
∑ ∑ =n (i-1)Ci n--11piqn-1 +n Ci n--11piqn-i-n2p2
预备公式 1 iCi n=nCi n--11 (n≥ 1), 利用组合数计算公式即可证明 . 预备公式 2 Dξ=Eξ2 -(Eξ)2 , 证明见教材 . 预备公式 3 C0nCk m +C1nCk m-1 +C2nCk m-2 +… +Ck nC0m =Ck n+m(n, m, k∈ N＊, k≤n, k≤m), 利用 恒等 式 (1 +x)n+m =(1 +x)n(1 + x)m的二项展开式中 xk的系数相等可证 . 一 、二项分布 在独立重复实验中 , 某结 果发生 的概率 均为 p(不 发生 的概率为 q, 有 p+q=1), 那么在 n次 实验中 该结果 发生的 次数 ξ的概率分布为 :
-
Mn 2 N
∑ =CMn N
l i=1
(i-1)Ci M--11
Cn-i N-M
+
∑ CMn N
l i=1
C C i-1 n-i M -1 N-M
-
Mn2 N
∑ =CMn N(M
-1)
l i=2
C C i-2 n-i M -2 N-M
+
∑ CMn N
l i=1
C C i-1 n-i M -1 N-M
-
Mn2 N
=CMn N(M -1)Cn N--22 +CMn NCn N--11
-
Mn2 N
=nMN 1 -MN 1 -Nn--11 .
数学学习与研究 2010.11