高二数学椭圆测试题(一)电子版本
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高二数学椭圆测试题（一）一.选择题（每小题5分,满分30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.若直线1y kx =+和椭圆2241x y +=相切, 则2k 的值是………………………[ C ]A.1 / 2B.2 / 3C.3 / 4D.4 / 52.椭圆221mx ny +=与直线x ＋y －1＝0交于M 、N 两点，过原点与线段MN 中点的直线斜率为,则 的值是…………………………………………………………………[ B ]A ．B． C D ．3．椭圆22221x y a b+=上对两焦点张角为90o的点可能有………………………………[ C ]4．12,B B 是椭圆短轴的两端点,过左焦点1F 作长轴的垂线,交椭圆于P,若12|F F |是1|OF |和12|B B |的比例中项,则1|PF |:2|OB |的值是……………………………………………[ B ]5．椭圆221123x y +=的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是…………………………………………………………………………[ A ]A ．B ．C ．D ． 6．设A(－2)，F 为椭圆221612x y＋＝1的右焦点，点M 在椭圆上移动，当|AM|＋2|MF|取最小值时，点M 的坐标为…………………………………………………………………[ C ] A ．(0， B ．(0，－ C ．) D ．(－ 二.填空题（每题5分,满分20分,把答案填在题中横线上）7．椭圆22259x y +＝1上有一点P 到左准线的距离为2.5，则P 到右焦点的距离为 ． 8．A.4B.24C.02,4D.个个或个个或个个还有其它情况B C D 若椭圆的一个焦点到相应准线的距离为离心率为则椭圆的半短轴长为用分数表示5, 2, 5. ()43±±±34±n m 29． 10.P 是椭圆2243x y ＋＝1上的点，F 1和F 2是焦点，则k ＝|PF 1|·|PF 2|的最大值和最小值分别是________1．8 2．1/2 3．33(6,)2±4．k max ＝4，k mix ＝3 三.解答题（11,12题每题15分,13题20分,满分50分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）11. 已知椭圆的焦点在坐标轴上，短轴的一个端点与两焦点构成正三角形，若焦点到椭圆的最短距离为3，求椭圆的标准方程．解:如图所示，设点P (0x ，0y )为椭圆上位于第一象限的任一点，其到焦点距离20||PF a ex ＝－，显然0x a ＝时，2||PF 最小，故有3a c －＝，由短轴端点与两焦点构成正三角形得3b c ＝，a ＝2c ，解之得23a ＝，b ＝3．故221129x y ＋＝与221912x y ＋＝为所求椭圆方程． 12． 设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的离心率为32，并且椭圆与圆x 2+y 2-4x-2y+52=0交于A 、B 两点，若线段AB 的长等于圆的直径． (1)求直线AB 的方程； (2)求椭圆的方程．解：（1）设椭圆的方程为22221x y a b+=,由3c e a ==及222a b c =+得224a b =,设()()1122,,,A B x y x y ,由于线段AB 的长等于圆的直径,所以线段AB 的中点为圆心（2,1）,且10AB =,则22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,两式相减得2212(4,)(8,):1,1449,________.x y A y B C y B +=若点、、是椭圆上的三点它们关于右焦点的三条焦点半径长成等差数列那么点的坐标是()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=-,()()2121221212b x x y y x x a y y -+-=-+,又12122212x x y y+⎧=⎪⎨+⎪=⎩,所以()()222122221222142b x x b b a a b y y -+--===-+,121212y y x x -=--,直线AB 的方程为y=-12x+2； （2）由222212214y x x y b b⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩,消去x 得222440y y b -+-=,12212242y y b y y +=⎧⎪∴-⎨=⎪⎩,()221224b y y ∴=--,又()12122x x y y -=--,所以()()2212124x x y y =--,AB ∴==又AB =()251024b ∴=-,223,12b a ∴==,所求椭圆的方程为212x +23y =1.13．设椭圆22x a +22y b=1的两焦点为F 1、F 2，长轴两端点为A 1、A 2．(1)P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2=600，求ΔF 1PF 2的面积；(2)若椭圆上存在一点Q ，使∠A 1QA 2=1200，求椭圆离心率e 的取值范围．解：（1）设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，则S 12PF F ∆=12r 1r 2sin ∠F 1PF 2，由r 1+r 2=2a ， 4c 2=r 12+r 22-2cos ∠F 1PF 2，得r 1r 2=21221cos b F PF +∠．代入面积公式，得S 12PF F ∆=1212sin 1cos F PF F PF ∠+∠b 2=b 2tan ∠122F PF =3b 2．（2）设∠A 1QB=α，∠A 2QB=β，点Q(x 0，y 0)(0<y 0<b)．tan θ=tan(α+β)=tan α+tanβ1-tan αtanβ=00002221a x a x y y a x y -++--=0222002ay x y a +-．∵202x a +202y b =1，∴x 02=a 2-22a b y 02．∴tan θ=0222022ay a b y b-- =2202ab c y -=-3．∴2ab 2=3c 2y 0≤3c 2b ， 即3c 4+4a 2c 2-4a 4≥0， ∴3e 4+4e 2-4≥0，解之得e 2≥23，∴6≤e<1为所求．。
高二数学椭圆测试题一答案
1.若直线ykx 1和椭圆x 2 4y 21相切，则k 2的值是A.1 / 2B.2 / 3C.3 / 4D.4 / 52.椭圆mx 2上2,则二的值是2ny 2 1与直线x + y — 1 = 0交于M N 两点，过原点与线段MN 中点的直线斜率为 n — 3.椭圆m2 B .2 c .2x 2y 2、 、221上对两焦点张角为a b 90°的点可能有 A.4个B.2个或4个C.0个或2个,4个D.还有其它情况4. B I ,B 2是椭圆短轴的两端点，过左焦点F i 作长轴的垂线,交椭圆于P,若|FE|是|OFJ 和IB 1B 2I 的比例中项,则|PF|:|OB 2|的值是B 还。
遁52A. .. 22 25.椭圆X 匚 1的一个焦点为 R ，点P 在椭圆上，如果线段 PR 的中点M 在y 轴上，那12 3么点M 的纵坐标是A .3B. -C. - D .34244_ 2 26 .设A （ — 2, 、、3） , F 为椭圆 —+ y = 1的右焦点，点M 在椭圆上移动，当|AM| + 2|MF|16 12取最小值时，点M 勺坐标为A . （0, 2、3）B . （0, - 2 3）C . （2 3 ,■ 3 ） D . （-2 . 3 , 、、3 ）二.填空题（每题5分,满分20分,把答案填在题中横线上）X 27.椭圆—— 25 —=1上有一点P 到左准线的距离为 2.5 ,则P 到右焦点的距离为9&若椭圆52的一个焦点到相应准线的距离为一，离心率为一, 厂435.（用分数表示）的半短轴长为涟西南中学高二数学椭圆测试题（一）一.选择题（每小题 5分,满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的）2 2x y9若点A(4, y) B 、C(8, y 2)是椭圆：1上的三点，它们关于右焦点144 9的三条焦点半径长成等差数列，那么点B 的坐标是 _________ .2 2x y10. P 是椭圆才+ = 1上的点，F ［和F 2是焦点，贝y k = |PF 1| • |PF 2|的最大值和最小值分别是2 乞 且AB l 00,则 a；x 22a1. 8 2 . 1/2 3. (6,4. k max = 4,k mix = 3三•解答题(11,12题每题15分,13题20分，满分50分,解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤)11.已知椭圆的焦点在坐标轴上，短轴的一个端点与两焦点构成正三角形，若焦点到椭圆 的最短距离为 3，求椭圆的标准方程. 解：如图所示，设点 P( X o , y o )为椭圆上位于第一象限的任一点，其到焦点距离| PF 2 | = a — ex 0，显然 x 0= a 时，| PF 2 |最小，故有a — c = . 3，由短轴端点与两焦点构 成正三角形得b = . 3c , a = 2c ,解之得 a = 2,3 , 2 2 故—+ — =1与—+ — =1为所求椭圆方程.12 9 9 12 12.设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的离心率为 —3，并且椭圆与圆x 2+y 2-4x-2y+ — =02 2交于A 、B 两点，若线段 AB 的长等于圆的直径. ⑴求直线AB 的方程； (2)求椭圆的方程. 解：(1)设椭圆的方程为 2 X 2a仝及a 2 b 222 2 2c 得 a 4b ,设 A x i ,y i ,B X 2,y 2 ,由于线段AB 的长等于圆的直径，所以线段 AB 的中点为圆心(2,1),2 1 2b2，两式相减得址12x i x 2 x i x 22 ay i Y 2 y iY 2Y I y 2b 2X 2b 2 xx 2~2aY i Y 2x i x 22 Y i Y 22,所以 1 b 2x X 2 2b 2 2b 2 Y i 4b 2y i y 21,直线 2AB 的方程为 y=- - x+2;2(2) Y 2 x 4b" 1x 22Y b 22,消去X 得2y 21 4y 4b 2 0,4 b 2 ,Yi2Y 22b 24,又 X i X 22 Y iY 2 ,所以X i2X224 Y i Y 2 ,AB 22X i X 2 Y i Y 2,5 2b 24 ,又 AB5 2b 2 4 io ,b 2 3, a 2 i2,所求椭圆的方程为2 2 x_+y-=i.i2 3 2 2 i 3.设椭圆 笃+丫7= i 的两焦点为F i 、F 2,长轴两端点为A 、 a 2 b 2A.(1)P 是椭圆上一点，且/ F i PF 2=60°,求厶F i PH 的面积； ⑵ 若椭圆上存在一点 Q 使/ A i QA=120°,求椭圆离心率e 的取值范围.1解：(i )设 |PF i |=r i , |PF 2|=r 2，则 S PF F = rzsin / F i PH ，由 r i +r 2=2a , i 22 2b 24c 2=r i 2+r 22-2cos / F i PF 2,得 r i r 2=.代入面积公式，得cos F ,PF 2PF i F 2 sin FiP F 2b 2=b 2tan Z ^2 =b 2.2 3i cos R PF 2(2)设/ AQB=x ,Z A 2QB 邛， 占 八、、Q(x o , y o )(O<y o <b).tan a +tan J3 tan 0=tan( a + 3 )=-tan a tan 3a X 。
高二数学椭圆训练试卷[含答案及解析]
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高二数学椭圆一．选择题1．椭圆ax2+by2=1与直线y=1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．2．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．B．（1，+∞）C．（1，2）D．3．椭圆x2+4y2=1的离心率为（）A．B．C．D．4．椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是（）A．B．C．1D．5．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P（，﹣4）和Q（﹣，3），则此椭圆的方程是（）A．+y2=1 B．x2+=1C．+y2=1或x2+=1D．以上均不对6．已知P为椭圆+=1上的点，F1、F2为其两焦点，则使∠F1PF2=90°的点P有（）A．4个B．2个C．1个D．0个7．椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是（）A．（±，0）B．（0，±）C．（±，0）D．（±，0）8．若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点坐标是（0，4），则实数k的值为（）A．B．﹣C．D．﹣9．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（）A．9B．7C．5D．3二．填空题（共6小题）10．（2009•湖北模拟）如图Rt△ABC中，AB=AC=1，以点C为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB边上，且这个椭圆过A、B两点，则这个椭圆的焦距长为_________．11．若P是椭圆+=1上任意一点，F1、F2是焦点，则∠F1PF2的最大值为_________．12．F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，则|PF1|•|PF2|有最_________值为_________．13．经过两点P1（），P2（0，）的椭圆的标准方程_________．14．已知焦距为8，离心率为0.8，则椭圆的标准方程为_________．15．点P在椭圆+=1上，F1，F2是椭圆的焦点，若PF1⊥PF2，则点P的坐标是_________．三．解答题（共5小题）16．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点（1，2），求椭圆的标准方程．17．已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两焦点间的距离为，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标为﹣，求椭圆的方程．18．已知椭圆的焦点在x轴上，离心率为，且过点P（1，），求该椭圆的方程．19．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上，a=6，e=；（2）焦点在y轴上，c=3，e=．20．已知椭圆两焦点的坐标分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（2，），求椭圆方程．21.已知：△ABC的一边长BC=6，周长为16，求顶点A的轨迹方程．参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2015•兴国县一模）椭圆ax2+by2=1与直线y=1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题．分析：联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1﹣x）2=1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得AB中点坐标：（），AB中点与原点连线的斜率k===．解答：解：联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1﹣x）2=1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，A（x1，y1），B（x2，y2），，y1+y2=1﹣x1+1﹣x2=2﹣=，AB中点坐标：（），AB中点与原点连线的斜率k===．故选A．点评：本题考查直线和圆锥曲线的经综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．（2012•香洲区模拟）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．B．（1，+∞）C．（1，2）D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的标准方程，得焦点在y轴上的椭圆方程中，x2、y2的分母均为正数，且y2的分母较大，由此建立关于k的不等式组，解之即得实数k的取值范围．解答：解：∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，∴，解之得1＜k＜2实数k的取值范围是（1，2）故选：C点评：本题给出标准方程表示焦点在y轴上的椭圆，求参数k的取值范围，着重考查了椭圆的标准方程的概念，属于基础题．3．（2007•安徽）椭圆x2+4y2=1的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题．分析：把椭圆的方程化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2求出c的值，利用离心率公式e=，把a与c的值代入即可求出值．解答：解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，得到a=1，b=，则c==，所以椭圆的离心率e==．故选A点评：此题考查学生掌握椭圆的离心率的求法，灵活运用椭圆的简单性质化简求值，是一道综合题．4．（2006•东城区二模）椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是（）A．B．C．1D．考点：椭圆的简单性质；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：根据题意，可得右焦点F（1，0），由点到直线的距离公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，可得右焦点F（1，0），y=x可化为y﹣x=0，则d==，故选B．点评：本题考查椭圆的性质以及点到直线的距离的计算，注意公式的准确记忆．5．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P（，﹣4）和Q（﹣，3），则此椭圆的方程是（）A．+y2=1 B．x2+=1C．+y2=1或x2+=1D．以上均不对考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设经过两点P（，﹣4）和Q（﹣，3），的椭圆标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n ＞0，m≠n），利用待定系数法能求出椭圆方程．解答：解：设经过两点P（，﹣4）和Q（﹣，3），的椭圆标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），代入A、B得，，解得m=1，n=，∴所求椭圆方程为x2+=1．故选：B．点评：本题考查椭圆标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆简单性质的合理运用．6．已知P为椭圆+=1上的点，F1、F2为其两焦点，则使∠F1PF2=90°的点P有（）A．4个B．2个C．1个D．0个考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的标准方程，得出a、b、c的值，由∠F1PF2=90°得出点P在以F1F2为直径的圆（除F1、F2），且r＜b，得出圆在椭圆内，点P不存在．解答：解：∵椭圆+=1中，a=4，b=2，∴c==2；∴焦点F1（﹣2，0），F2（2，0）；又∵∠F1PF2=90°，∴点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=4上（除F1、F2），又∵r=2＜2=b，∴圆被椭圆内含，点P不存在．点评：本题考查了椭圆的标准方程与圆的标准方程的应用问题，解题时应灵活利用∠F1PF2=90°，是基础题．7．椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是（）A．（±，0）B．（0，±）C．（±，0）D．（±，0）考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把椭圆方程化为标准方程，再利用c=即可得出．解答：解：椭圆4x2+9y2=1化为，∴a2=，b2=，∴c==∴椭圆的焦点坐标为（±，0）．故选：C．点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质是解题的关键．8．若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点坐标是（0，4），则实数k的值为（）A．B．﹣C．D．﹣考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆的焦点坐标为（0，4）可得k＞0，化椭圆方程为标准式，求出c，再由c=4得答案．解答：解：由2kx2+ky2=1，得，∵椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点坐标是（0，4），∴，，则，．∴，解得．故选：C．点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了椭圆的标准方程，是基础题．9．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（）A．9B．7C．5D．3考点：椭圆的简单性质；椭圆的定义．专题：综合题．分析：由椭圆方程找出a的值，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，把a的值代入即可求出常数的值得到P到两焦点的距离之和，由P到一个焦点的距离为3，求出P到另一焦点的距离即可．解答：解：由椭圆，得a=5，则2a=10，且点P到椭圆一焦点的距离为3，由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣3=10﹣3=7．故选B点评：此题考查学生掌握椭圆的定义及简单的性质，是一道中档题．二．填空题（共6小题）10．（2009•湖北模拟）如图Rt△ABC中，AB=AC=1，以点C为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB边上，且这个椭圆过A、B两点，则这个椭圆的焦距长为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：设另一焦点为D，则可再Rt△ABC中，根据勾股定理求得BC，进而根据椭圆的定义知AC+AB+BC=4a求得a．再利用AC+AD=2a求得AD最后在Rt△ACD中根据勾股定理求得CD，得到答案．解答：解析：设另一焦点为D，∵Rt△ABC中，AB=AC=1，∴BC=∵AC+AD=2a，AC+AB+BC=1+1+=4a，∴a=又∵AC=1，∴AD=．在Rt△ACD中焦距CD==．故答案为：．点评：本题主要考查了椭圆的简单性质和解三角形的应用．要理解好椭圆的定义和椭圆中短轴，长轴和焦距的关系．11．若P是椭圆+=1上任意一点，F1、F2是焦点，则∠F1PF2的最大值为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据椭圆方程求得a和b的大小，进而利用椭圆的基本性质，确定最大角的位置，求出∠F1PF2的最大值．解答：解：根据椭圆的方程可知：+=1，∴a=2，b=，c=1，由椭圆的对称性可知，∠F1PF2的最大时，P在短轴端点，此时△F1PF2是正三角形，∴∠F1PF2的最大值为．故答案为：．点评：本题主要考查了椭圆的应用．当P点在短轴的端点时∠F1PF2值最大，这个结论可以记住它．在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题．12．F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，则|PF1|•|PF2|有最大值为16．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用椭圆的定义，可得|PF1|+|PF2|=2a=8，再由基本不等式，即可求得|PF1|•|PF2|的最大值．解答：解：椭圆+=1的a=4，则|PF1|+|PF2|=2a=8，则|PF1|•|PF2|≤（）2=16，当且仅当|PF1|=|PF2|=4，则|PF1|•|PF2|有最大值，且为16．故答案为：大，16点评：本题考查椭圆的定义和性质，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．13．经过两点P1（），P2（0，）的椭圆的标准方程=1．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），把两点P1（），P2（0，）代入，能求出结果．解答：解L：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）把两点P1（），P2（0，）代入，得：，解得m=5，n=4，∴椭圆方程为5x2+4y2=1，即=1．故答案为：=1．点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．14．已知焦距为8，离心率为0.8，则椭圆的标准方程为，或．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆的焦距是8，离心率0.8，先求出a=5，c=4，b，由此能求出椭圆的标准方程．解答：解：∵椭圆的焦距是8，离心率0.6，∴，解得a=5，c=4，b2=25﹣16=9，∴椭圆的标准方程为，或．故答案为：，或．点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，是基础题，解题时要避免丢解．15．点P在椭圆+=1上，F1，F2是椭圆的焦点，若PF1⊥PF2，则点P的坐标是（3，4），（3，﹣4），（﹣3，4），（﹣3，﹣4）．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，根据PF1⊥PF2得=0，与椭圆方程联立解得即可．解答：解：由椭圆+=1，得F1（﹣5，0），F2（5，0）设P（x，y），=0，①即（x+5）（x﹣5）+y2=0因为P在椭圆上，所以+=1，②两式联立可得x=±3，∴P（3，4），P（3，﹣4），P（﹣3，4），P（﹣3，﹣4）故答案为：P（3，4），P（3，﹣4），P（﹣3，4），P（﹣3，﹣4）．点评：本题主要考查了椭圆的几何性质，向量的应用．三．解答题（共5小题）16．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点（1，2），求椭圆的标准方程．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先假设椭圆的方程，再利用的椭圆C的离心率为，且过点（1，2），即可求得椭圆C的方程．解答：解：设椭圆方程为，椭圆的半焦距为c，∵椭圆C的离心率为，∴，∴，①∵椭圆过点（1，2），∴②由①②解得：b2=，a2=49∴椭圆C的方程为．点评：本题重点考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，解题的关键是待定系数法．17．已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两焦点间的距离为，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标为﹣，求椭圆的方程．考点：椭圆的标准方程．分析：首先，设椭圆的标准方程为：=1 （a＞b＞0），然后，设出直线与椭圆的两个交点坐标，然后，将这两个交点坐标代入椭圆方程，两个方程相减，得到关于a，b 的一个方程，再结合给定的a，c的关系式，求解即可．解答：解：设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0），∵椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是﹣，∴弦的中点的纵坐标是﹣，设椭圆与直线x+y+1=0的两个交点为P（x1，y1），Q（x2，y2）．则有+=1 ①+=1 ②①﹣②，化简得+=0 ③x1+x2=2×（﹣）=﹣，y1+y2=2×（）=﹣，且=﹣1，∴由③得a2=2b2，又由题意2c=，有c=，则可求得c2==b2，a2=，∴椭圆的标准方程为：+=1．点评：本题重点考查了椭圆的几何性质、标准方程、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题，涉及到弦的中点问题，处理思路是“设而不求”的思想．18．已知椭圆的焦点在x轴上，离心率为，且过点P（1，），求该椭圆的方程．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆方程为（a＞b＞0），由已知得，由此能求出椭圆方程．解答：解：设椭圆方程为（a＞b＞0），由已知得，解得，b2=1，∴椭圆方程为．点评：本题考查椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．19．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上，a=6，e=；（2）焦点在y轴上，c=3，e=．考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由离心率公式，求得c，再由a，b，c的关系，求得b，即可得到椭圆方程；（2）由离心率公式，求得a，再由a，b，c的关系，求得b，即可得到椭圆方程．解答：解：（1）a=6，e=，即，解得c=2，b2=a2﹣c2=32，则椭圆的标准方程为：=1；（2）c=3，e=，即，解得，a=5，b2=a2﹣c2=25﹣9=16．则椭圆的标准方程为：=1．点评：本题考查椭圆的性质和方程，考查运算能力，属于基础题．20．已知椭圆两焦点的坐标分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（2，），求椭圆方程．考点：椭圆的标准方程． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：直接根据焦点的坐标设出椭圆的方程，再根据点的坐标求出结果． 解答： 解：椭圆两焦点的坐标分别是（﹣2，0），（2，0），所以：设椭圆的方程为：由于：椭圆经过点（2，）， 则：， 且a 2=b 2+4， 则：，解得：．椭圆方程为：．点评：本题考查的知识要点：椭圆方程的求法，属于基础题型．21. 以BC 边为x 轴，BC 线段的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A 点的轨迹是椭圆，其方程为：116y 25x 22=+。
完整word版,高二数学椭圆双曲线同步测试题
高二数学椭圆双曲线同步测试题命题： 审核： 使用时间： 2015年 月 日一、选择题：1、椭圆1162522=+y x 上一点M 到一个焦点1F 的距离是2，则点M 到另一个焦点2F 的距离是（ ）A. 10B. 8C. 6D. 12、已知椭圆12222=+y ax 的一个焦点为()0,2，则椭圆的方程是（ ） A. 12422=+y x B. 12322=+y x C. 1222=+y x D. 12622=+y x3、椭圆19422=+y x 的焦点坐标是（ ）A. ()0,5±B. ()5,0± C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±0,65 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛±0,365 4、焦点分别为（-2，0）、（2，0）且经过点（2，3）的双曲线标准方程为（ ）A 、1322=-y x B 、1322=-y x C 、1322=-x y D 、12222=-y x 5、设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或236、椭圆134222=+n y x 和双曲线116222=-y nx 有相同的焦点，则实数n 的值是 （ ） A 5± B 3± C 5 D 97、已知直线y=x+1与椭圆12422=+y x 交于A 、B 两点，则 |AB| =（ ） A 、 54 B 、52 C 、352 D 、354 8、下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是12)(12)(1164)(1416)(22222222=-=-=-=-y x D y x C y x B y x A 9、椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的取值是（ ） A.21 B. 2 C.41 D. 410、矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为( )A ．2 3B ．26C ．4 2D ．4 3二、填空题：11、 已知椭圆方程14822=+y x ，离心率为 。
高二数学椭圆试题
高二数学椭圆试题1.已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为和，且||=2，点（1，）在该椭圆上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过的直线与椭圆C相交于A，B两点，若A B的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆方程.【答案】（1）（2）【解析】解：（Ⅰ）根据题意，由于椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为和，且||=2，点（1，）在该椭圆上，2c=2,利用定义可知椭圆C的方程为（Ⅱ）①当直线⊥x轴时，可得A（-1，-），B（-1，），A B的面积为3，不符合题意.②当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为y=k(x+1).代入椭圆方程得：，显然＞0成立，设A，B，则，，可得|AB|=又圆的半径r=，∴A B的面积=|AB| r==，化简得：17+-18=0，得k=±1，∴r =，圆的方程为【考点】直线与椭圆的位置关系点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题。
2.已知椭圆,对于任意实数，下列直线被椭圆截得的弦长与被椭圆截得的弦长不可能相等的是A．B．C．D．【答案】D【解析】解：由数形结合可知，当l过点（-1，0）时，直线l和选项A中的直线重合，故不能选A．当l过点（1，0）时，直线l和选项D中的直线关于y轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，故不能选C．当k=0时，直线l和选项B中的直线关于x轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，故不能选B．直线l斜率为k，在y轴上的截距为1；选项D中的直线kx+y-2="0" 斜率为-k，在y 轴上的截距为2，这两直线不关于x轴、y轴、原点对称，故被椭圆E所截得的弦长不可能相等．故选D【考点】直线和椭圆的位置关系点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法3.若是椭圆与轴的两个交点，是该椭圆的两个焦点，则以为顶点的四边形的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】椭圆16x2+25y2=400可变为=1，故a=5，b=4，由a2=b2+c2，可解得c=3，故焦距为6，短轴长为8又以A，B，C，D为顶点的四边形是一个菱形，且两对角线CD=6，AB=8故它的面积为×6×8=24，故选D。
高二数学选修1-1椭圆练习卷
高二数学选修1-1椭圆练习卷一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的)1．－12的绝对值是()3．如图M1－1所示几何体的主视图是()4．如图M1－2，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′.若∠A＝40°，∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是()5．将二次函数y＝x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为() A．y＝x2－1 B．y＝x2＋1C．y＝(x－1)2 D．y＝(x＋1)26．已知点P(a＋1,2a－3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是()A．a<－1 B．－1<a<32C．－32<a<1 D．a>327．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()8．如图M1－3，已知D，E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B＝60°，∠AED＝40°，则∠A的度数为()9．依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形(可认为是一般四边形的性质)，则这个图形一定是()A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形10．如图M1－4，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD＝5，DC＝4，DE∥AB交BC于点E，且EC＝3，则梯形ABCD的周长是()二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)11．使式子m－2有意义的最小整数m是________________________________________________________________________．12．若代数式－4x6y与x2ny是同类项，则常数n的值为__________．13．如图M1－5，在等边三角形ABC中，AB＝6，D是BC上一点，且BC＝3BD，△ABD 绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为__________．14．若A(x1，y1)和B(x2，y2)在反比例函数y＝2x的图象上，且0＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系是y1________y2.15．如图M1－6，双曲线y＝kx(k>0)与⊙O在第一象限内交于P，Q两点，分别过P，Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为(1,3)，则图中阴影部分的面积为____________．16．如图M1－7，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝1，则EF＝__________.三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题5分，共15分)17．计算：2－2sin45°－(1＋8)0＋2－1.18．如图M1－8，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°.(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．19．观察下列等式：第1个等式：a1＝11×3＝12×；第2个等式：a2＝13×5＝12×；第3个等式：a3＝15×7＝12×；第4个等式：a4＝17×9＝12×；……请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a5＝____＝____；(2)用含有n的代数式表示第n个等式：an＝____＝____(n为正整数)；(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)20．如图M1－9，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A(3,2)，B(1,3)．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1.(直接填写答案)(1)点A关于点O中心对称的点的坐标为________________________________________________________________________；(2)点A1的坐标为________；(3)在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为________．21．如图M1－10，直线y＝2x－6与反比例函数y＝kxx>0的图象交于点A(4,2)，与x轴交于点B.(1)求k的值及点B的坐标；(2)在x轴上是否存在点C，使得AC＝AB？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图M1－11，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα＝34，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB(结果取整数。
(完整)高二数学椭圆试题(有答案)
高二数学椭圆试题一：选择题1.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．m＞2或m＜﹣1 B．m＞﹣2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞2或﹣2＜m＜﹣1 解：椭圆的焦点在x轴上∴m2＞2+m，即m2﹣2﹣m＞0解得m＞2或m＜﹣1又∵2+m＞0∴m＞﹣2∴m的取值范围：m＞2或﹣2＜m＜﹣1故选D2.已知椭圆，长轴在y轴上、若焦距为4，则m等于（）A．4B．5C．7D．8解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m=8故选D3．椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1的长轴长是（）A．B．C．D．解：由椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1，化成标准方程：由于，∴椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1的长轴长是2a=2=．故选B．4．已知点F1、F2分别是椭圆+=1（k＞﹣1）的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解：由椭圆定义有4a=8∴a=2，所以k+2=a2=4∴k=2．从而b2=k+1=3，c2=a2﹣b2=1，所以，故选A5．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A．（x≠0）B．（x≠0）C．（x≠0）D．（x≠0）解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12，∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a=6，c=4∴b2=20，∴椭圆的方程是故选B．6．方程=10，化简的结果是（）A．B．C．D．解：根据两点间的距离公式可得：表示点P（x，y）与点F1（2，0）的距离，表示点P（x，y）与点F2（﹣2，0）的距离，所以原等式化简为|PF1|+|PF2|=10，因为|F1F2|=2＜10，所以由椭圆的定义可得：点P的轨迹是椭圆，并且a=5，c=2，所以b2=21．所以椭圆的方程为：．故选D．7．设θ是三角形的一个内角，且，则方程x2sinθ﹣y2cosθ=1表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在x轴上的椭圆C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在y轴上的椭圆解：因为θ∈（0，π），且sinθ+cosθ=，所以，θ∈（，π），且|sinθ|＞|cosθ|，所以θ∈（，），从而cosθ＜0，从而x2sinθ﹣y2cosθ=1表示焦点在y轴上的椭圆．故选D．8.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．解：设点P在x轴上方，坐标为，∵△F1PF2为等腰直角三角形∴|PF2|=|F1F2|，即，即故椭圆的离心率e=故选D9.从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．解：依题意，设P（﹣c，y0）（y0＞0），则+=1，∴y0=，∴P（﹣c，），又A（a，0），B（0，b），AB∥OP，∴k AB=k OP，即==，∴b=c．设该椭圆的离心率为e，则e2====，∴椭圆的离心率e=．故选C．10.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2B．3C．6D．8解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以==，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，故选C．11.如图，点F为椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解：设线段PF的中点为M，另一个焦点F′，由题意知，OM=b，又OM是△FPF′的中位线，∴OM=PF′=b，PF′=2b，由椭圆的定义知PF=2a﹣PF′=2a﹣2b，又MF=PF=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF=c，直角三角形OMF中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可求得离心率e==，故答案选B．12．椭圆顶点A（a，0），B（0，b），若右焦点F到直线AB的距离等于，则椭圆的离心率e=（）A．B．C．D．解：由题意可得直线AB的方程为即bx+ay﹣ab=0，F（c，0）∴F（c，0）到直线AB的距离d==，|AF|=a﹣c则∴a2=3b2∴a2=3a2﹣3c2即3c2=2a2∴=故选B13．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，且|PF1||PF2|的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中c=．则椭圆的离心率的取值范围为（）A．[，]B．[，1）C．[，1）D．[，]解：∵|PF1|•|PF2|的最大值=a2，∴由题意知2c2≤a2≤3c2，∴，∴．故椭圆m的离心率e的取值范围．故选A．14．在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解：根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，将设|PF1|=2|PF2|代入得，根据椭圆的几何性质，|PF2|≥a﹣c，故，即a≤3c，故，即，又e＜1，故该椭圆离心率的取值范围是．故选B．二：填空题15.已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=3．解：由题意知△PF1F2的面积=，∴b=3，故答案为3．16．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是4＜k＜7．解：∵+=1表示焦点在y轴上的椭圆，∴k﹣1＞7﹣k＞0．∴4＜k＜7．故k的取值范围是4＜k＜7．故答案为：4＜k＜7．17.已知椭圆的焦距为2，则实数t=2，3，6．解：当t2＞5t＞0即t＞5时，a2=t2，b2=5t此时c2=t2﹣5t=6解可得，t=6或t=﹣1（舍）当0＜t2＜5t即0＜t＜5时，a2=5t，b2=t2此时c2=a2﹣b2=5t﹣t2=6解可得，t=2或t=3综上可得，t=2或t=3或t=6故答案为：2，3，618.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（﹣4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=．解：利用椭圆定义得a+c=2×5=10b=2×4=8由正弦定理得=故答案为19.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，a 为半径作圆M，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为．解：设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故，解得，故答案为．20.若椭圆的焦点在x轴上，过点（1，）做圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是．解：设切点坐标为（m，n）则即∵m2+n2=1∴m即AB的直线方程为2x+y﹣2=0∵线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点∴2c﹣2=0；b﹣2=0解得c=1，b=2所以a2=5故椭圆方程为故答案为三：解答题21.已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点．（1）求|PF1|•|PF2|的最大值；（2）若∠F1PF2=60°且△F1PF2的面积为，求b的值．解：（1）∵P点在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=|2a=20，∵|PF1|＞0，|PF2|＞0，∴|PF1|•|PF2|≤=100，∴|PF1|•|PF2|有最大值100．（2）∵a=10，|F1F2|=2c．设|PF1|=t1，|PF2|=t2，则根据椭圆的定义可得：t1+t2=20①，在△F1PF2中，∠F1PF2=60°，所以根据余弦定理可得：t12+t22﹣2t1t2•cos60°=4c2②，由①2﹣②得3t1•t2=400﹣4c2，所以由正弦定理可得：=．所以c=6，∴b=8．22.如图，F1、F2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）已知△AF1B的面积为40，求a，b 的值．解：（Ⅰ）∠F1AF2=60°⇔a=2c⇔e==．（Ⅱ）设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m，在三角形BF1F2中，|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2﹣2|BF2||F1F2|cos120°⇔（2a﹣m）2=m2+a2+am．⇔m=．△AF1B面积S=|BA||F1F2|sin60°⇔=40⇔a=10，∴c=5，b=5．23.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解：（1）依题意，可设椭圆C的方程为（a＞0，b＞0），且可知左焦点为F（﹣2，0），从而有，解得c=2，a=4，又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为．（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=x+t，由得3x2+3tx+t2﹣12=0，因为直线l与椭圆有公共点，所以有△=（3t）2﹣4×3（t2﹣12）≥0，解得﹣4≤t≤4，另一方面，由直线OA与l的距离4=，从而t=±2，由于±2∉[﹣4，4]，所以符合题意的直线l不存在．24.设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得l的方程为y=x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0则因为直线AB斜率为1，得，故a2=2b2所以E的离心率（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知，．由|PA|=|PB|，得k PN=﹣1，即得c=3，从而故椭圆E的方程为．25.设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若，求k的值．解：（I）根据椭圆方程为．∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴=，∵离心率为，∴=，解得b=，c=1，a=．∴椭圆的方程为；（II）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6kx+3k2﹣6=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，又A（﹣，0），B（，0），∴=（x1﹣，y1）•（﹣x2．﹣y2）+（x2+，y2）•（﹣x1．﹣y1）=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，=6+=8，解得k=．26.设椭圆E：，O为坐标原点（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A，B且若存在，写出该圆的方程，关求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．解：（1）因为椭圆E：（a，b＞0）过M（2，），N（，1）两点，所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线方程为y=kx+m解方程组得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，则△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，即8k2﹣m2+4＞0，要使，需使x1x2+y1y2=0，即，所以3m2﹣8k2﹣8=0，所以又8k2﹣m2+4＞0，所以，所以，即或，因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，，，所求的圆为，此时圆的切线y=kx+m都满足或，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且．因为，所以，①当k≠0时因为所以，所以，所以当且仅当时取”=”．2当k=0时，27.已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（﹣2，0），上顶点为D（0，1），∴a=2，b=1故椭圆C的方程为（4分）（2）依题意，直线AS的斜率k存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而，由得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0设S（x1，y1），则得，从而即，（6分）又B（2，0）由得，∴，（8分）故又k＞0，∴当且仅当，即时等号成立．∴时，线段MN的长度取最小值（10分）（2）另解：设S（x s，y S），依题意，A，S，M三点共线，且所在直线斜率存在，由k AM=k AS，可得同理可得：又所以，=不仿设y M＞0，y N＜0当且仅当y M=﹣y N时取等号，即时，线段MN的长度取最小值．（3）由（2）可知，当MN取最小值时，此时BS的方程为，∴（11分）要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只须T到直线BS的距离等于，所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l'上．设直线l'：x+y+t=0，则由，解得或．又因为T为直线l'与椭圆C的交点，所以经检验得，此时点T有两个满足条件．（14分）。
高二数学椭圆的简单几何性质测试卷
典型例题一例1 椭圆的一个顶点为()02，A ：其长轴长是短轴长的2倍 ：求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置 ：要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时 ：2=a ：1=b ：椭圆的标准方程为：11422=+y x ： （2）当()02，A 为短轴端点时 ：2=b ：4=a ：椭圆的标准方程为：116422=+y x ： 说明：椭圆的标准方程有两个 ：给出一个顶点的坐标和对称轴的位置 ：是不能确定椭圆的横竖的 ：因而要考虑两种情况．典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分 ：求椭圆的离心率．解：31222⨯⨯=c a c ∴223a c = ： ∴3331-=e ． 说明：求椭圆的离心率问题 ：通常有两种处理方法 ：一是求a ：求c ：再求比．二是列含a 和c 的齐次方程 ：再化含e 的方程 ：解方程即可．典型例题三例3 已知中心在原点 ：焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点 ：M 为AB 中点 ：OM 的斜率为0.25 ：椭圆的短轴长为2 ：求椭圆的方程．解：由题意 ：设椭圆方程为1222=+y ax ：由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ：得()021222=-+x a x a ： ∴222112aa x x x M +=+= ：2111a x y M M +=-= ： 4112===a x y k M M OM ：∴42=a ： ∴1422=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法 ：（2）直线与曲线的综合问题 ：经常要借用根与系数的关系 ：来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ， ：⎪⎭⎫⎝⎛594，B ：()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．（1）求证821=+x x ：（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ：求直线BT 的斜率k ．证明：（1）由椭圆方程知5=a ：3=b ：4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：ac x ca AF =-12： ∴ 11545x ex a AF -=-=． 同理 2545x CF -=． ∵ BF CF AF 2=+ ：且59=BF ： ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ： 即 821=+x x ．（2）因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ， ：所以它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上 ：设其坐标为()00，x ：代入上式 ：得()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ， ：()22y x B ，都在椭圆上 ：∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-． 将此式代入① ：并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT．典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ：1F 、2F 为两焦点 ：问能否在椭圆上找一点M ：使M到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在 ：则求出点M 的坐标 ：若不存在 ：请说明理由．解：假设M 存在 ：设()11y x M ， ：由已知条件得2=a ：3=b ：∴1=c ：21=e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ： ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-= ： 112212x ex a MF +=+=．∵212MF MF MN⋅= ：∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ． 整理得048325121=++x x ．解之得41-=x 或5121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ②则①与②矛盾 ：所以满足条件的点M 不存在． 说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题 ：解决存在性问题 ：一般用分析法 ：即假设存在 ：根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果 ：再作判断．（3）本例也可设()θθsin 3cos 2，M 存在 ：推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ：求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 分析一：已知一点求直线 ：关键是求斜率 ：故设斜率为k ：利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ：则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程 ：并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122kkk x x +-=+． ∵P 是弦中点 ：∴121=+x x ．故得21-=k ． 所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ， ：列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组 ：从而求斜率：2121x x y y --．解法二：设过⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ， ：则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ：即直线的斜率为21-．所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题 ：主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦 ：平行弦的中点轨迹 ：过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法” ：解决有关弦中点问题的题较方便 ：要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍 ：且过点()62-，： （2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直 ：且焦距为6．分析：当方程有两种形式时 ：应分别求解 ：如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482=a ：372=b ：在得方程13714822=+y x 后 ：不能依此写出另一方程13714822=+x y ．解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．由已知b a 2=． ① 又过点()62-， ：因此有()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba ． ② 由①、② ：得1482=a ：372=b 或522=a ：132=b ．故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y ． （2）设方程为12222=+b y a x ．由已知 ：3=c ：3==c b ：所以182=a ．故所求方程为191822=+y x ． 说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准 ：定参数”．关键在于焦点的位置是否确定 ：若不能确定 ：应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ：过点()31，A ：点M 在椭圆上 ：当MF AM 2+为最小值时 ：求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ：把MF 2转化为M 到右准线的距离 ：从而得最小值．一般地 ：求MF eAM 1+均可用此法． 解：由已知：4=a ：2=c ．所以21=e ：右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥ ：垂足为Q ：交椭圆于M ：故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ：即M 为所求点 ：因此3=M y ：且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上 ：如图 ：21=e ：即MF 是M 到右准线的距离的一半 ：即图中的MQ ：问题转化为求椭圆上一点M ：使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 分析：先写出椭圆的参数方程 ：由点到直线的距离建立三角函数关系式 ：求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3， ：则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=θπθθd ． 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时 ：22=最小值d ． 说明：当直接设点的坐标不易解决问题时 ：可建立曲线的参数方程．典型例题十例10 设椭圆的中心是坐标原点 ：长轴在x 轴上 ：离心率23=e ：已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7 ：求这个椭圆的方程 ：并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力 ：在求d 的最大值时 ：要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程 ：也可用椭圆的参数方程 ：要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题 ：从而加强等价转换、形数结合的思想 ：提高逻辑推理能力．解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ：其中0>>b a 待定．由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ：即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ：则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-． 如果21<b ：则当b y -=时 ：2d （从而d ）有最大值． 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ：由此得21237>-=b ：与21<b 矛盾．因此必有21≥b 成立 ：于是当21-=y 时 ：2d （从而d ）有最大值． 由题设得()34722+=b ：可得1=b ：2=a ．∴所求椭圆方程是11422=+y x ． 由21-=y 及求得的椭圆方程可得 ：椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213， ：点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离是7． 解法二：根据题设条件 ：可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ：其中0>>b a ：待定 ：πθ20≤≤ ：θ为参数．由22222221⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ：即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点⎪⎭⎫ ⎝⎛230，P 的距离为d ：则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49sin 3sin 34222+--=θθb b b 3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ：即21<b ：则当1sin -=θ时 ：2d （从而d ）有最大值． 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ：由此得21237>-=b ：与21<b 矛盾 ：因此必有121≤b成立． 于是当b21sin -=θ时2d （从而d ）有最大值． 由题设知()34722+=b ：∴1=b ：2=a ．∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ．由21sin -=θ ：23cos ±=θ ：可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213， ：⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，．典型例题十一例11 设x ：R ∈y ：x y x 63222=+ ：求x y x 222++的最大值和最小值． 分析：本题的关键是利用形数结合 ：观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++222：显然它表示一个圆 ：由此可以画出图形 ：考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由x y x 63222=+ ：得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆 ：其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023，点 ：焦点在x 轴上 ：且过（0 ：0）点和（3 ：0）点．设m x y x =++222 ：则 ()1122+=++m y x它表示一个圆 ：其圆心为（－1 ：0）半径为()11->+m m ．在同一坐标系中作出椭圆及圆 ：如图所示．观察图形可知 ：当圆过（0 ：0）点时 ：半径最小 ：即11=+m ：此时0=m ：当圆过（3 ：0）点时 ：半径最大 ：即41=+m ：∴15=m ．∴x y x 222++的最小值为0 ：最大值为15．典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ： ：A 、B 是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P ' ：求证：不论a 、b 如何变化 ：120≠∠APB ．（2）如果椭圆上存在一个点Q ：使 120=∠AQB ：求C 的离心率e 的取值范围． 分析：本题从已知条件出发 ：两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计 ：因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中 ：其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式 ：只能是椭圆的固有性质：a x ≤ ：b y ≤ ：根据 120=∠AQB 得到32222-=-+ay x ay ：将22222y b a a x -=代入 ：消去x ：用a 、b 、c 表示y ：以便利用b y ≤列出不等式．这里要求思路清楚 ：计算准确 ：一气呵成．解：（1）设()0，c F ：()0，a A - ：()0，a B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P ba y a xbc x 2222222， 于是()a c a b k AP+=2 ：()a c ab k BP -=2． ∵APB ∠是AP 到BP 的角．∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴120≠∠APB ． （2）设()y x Q ， ：则a x y k QA +=：ax y k QB -=． 由于对称性 ：不妨设0>y ：于是AQB ∠是QA 到QB 的角．∴22222221tan a y x ay a x y a x y a x y AQB -+=-++--=∠∵120=∠AQB ： ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y ： ∴2232c ab y = ∵b y ≤ ： ∴b cab ≤2232 232c ab ≤ ：()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ：044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e （舍） ：∴136<≤e ． 典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ：求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时 ：82+=k a ：92=b ：得12-=k c ．由21=e ：得4=k ．当椭圆的焦点在y 轴上时 ：92=a ：82+=k b ：得k c -=12．由21=e ：得4191=-k ：即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定 ：所以椭圆的焦点可能在x 轴上 ：也可能在y 轴上．故必须进行讨论．典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ：求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义 ：或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ：得b a 2= ：b c 3= ：23=e ．由椭圆定义 ：b a PF PF 4221==+ ：得b b b PF b PF 34421=-=-=．由椭圆第二定义 ：e d PF =11 ：1d 为P 到左准线的距离 ：∴b ePF d 3211==：即P 到左准线的距离为b 32．解法二：∵e d PF =22 ：2d 为P 到右准线的距离 ：23==a c e ： ∴b ePF d 33222==． 又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅．∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时 ：要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义 ：是从不同的角度反映椭圆的特征 ：解题时要灵活选择 ：运用自如．一般地 ：如遇到动点到两个定点的问题 ：用椭圆第一定义 ：如果遇到动点到定直线的距离问题 ：则用椭圆的第二定义．典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ：求P 点坐标．分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．解：设)sin 32,cos 4(ααP ：由P 与x 轴正向所成角为3π：∴ααπcos 4sin 323tan=：即2tan =α．而0sin >α ：0cos >α ：由此得到55cos =α ：552sin =α ： ∴P 点坐标为)5154,554(． 典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点 ：P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ：求证：01ex a r += ：02ex a r -=．分析：本题考查椭圆的两个定义 ：利用椭圆第二定义 ：可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．解：P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=：的距离 ：ca x PQ 20+= ：由椭圆第二定义 ：e PQPF =1 ：∴01ex a PQ e r +== ：由椭圆第一定义 ：0122ex a ra r -=-=． 说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式 ：在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时 ：有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ：1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点 ：点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标 ： (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题 ：通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当 ：即代数方法．二是数形结合 ：即几何方法．本题若按先建立目标函数 ：再求最值 ：则不易解决 ：若抓住椭圆的定义 ：转化目标 ：运用数形结合 ：就能简捷求解．解：(1)如上图 ：62=a ：)0,2(2F ：22=AF ：设P 是椭圆上任一点 ：由6221==+a PF PF ：22AF PF PA -≥：∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ：等号仅当22AF PFPA -=时成立 ：此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤ ：∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ：等号仅当22AF PF PA +=时成立 ：此时P 、A 、2F 共线． 建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ：解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点)2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ． 综上所述 ：P 点与1P 重合时 ：1PF PA +取最小值26- ：P 点与2P 重合时 ：2PF PA +取最大值26+．(2)如下图 ：设P 是椭圆上任一点 ：作PQ 垂直椭圆右准线 ：Q 为垂足 ：由3=a ：2=c ：∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQ PF ：∴223PF PQ = ：∴PQ PA PF PA +=+223：要使其和最小需有A 、P 、Q 共线 ：即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1 ：代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(． 说明：求21PF ePA +的最小值 ：就是用第二定义转化后 ：过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程 ： (2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数 ：常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标 ：所求问题便化归为三角问题．解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ：由对称性知 ：矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴 ：设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点 ：)20(π<θ< ：则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程 ：转化为三角函数的最值问题 ：一般地 ：与圆锥曲线有关的最值问题 ：用参数方程形式较简便．典型例题十九例19 已知1F ：2F 是椭圆的两个焦点 ：P 是椭圆上一点 ：且︒=∠6021PF F ． (1)求椭圆离心率的取值范围 ：(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性 ：可以设椭圆方程为12222=+b y a x （0>>b a ） ：),(11y x P （01>y ）． 思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式 ：即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ：设),(11y x P ：)0,(1c F - ：)0,(2c F ：化简可得03233212121=--+c cy y x ．又1221221=+by a x ：两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ：由],0(1b y ∈ ：可以确定离心率的取值范围 ：解出1y 可以求出21F PF ∆的面积 ：但这一过程很繁．思路二：利用焦半径公式11ex a PF += ：12ex a PF -= ：在21F PF ∆中运用余弦定理 ：求1x ：再利用],[1a a x -∈ ：可以确定离心率e 的取值范围 ：将1x 代入椭圆方程中求1y ：便可求出21F PF ∆的面积．思路三：利用正弦定理、余弦定理 ：结合a PF PF 221=+求解．解：(法1)设椭圆方程为12222=+by a x （0>>b a ） ：),(11y x P ：)0,(1c F - ：)0,(2c F ：0>c ：则11ex a PF += ：12ex a PF -=． 在21F PF ∆中 ：由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒ ： 解得2222134e a c x -=．(1)∵],0(221a x ∈ ：∴2222340a ea c <-≤ ：即0422≥-a c ． ∴21≥=a c e ． 故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e ．(2)将2222134e a c x -=代入12222=+by a x 得24213c b y = ：即cb y 321=．∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆． 即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关．(法2)设m PF =1 ：n PF =2 ：α=∠12F PF：β=∠21F PF ： 则︒=+120βα．(1)在21F PF ∆中 ：由正弦定理得︒==60sin 2sin sin c n m βα． ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+ ： ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα ：∴2cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e 212cos21≥-=βα．当且仅当βα=时等号成立．故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e ．(2)在21F PF ∆中 ：由余弦定理得：︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+ ：∴mn a c 34422-= ：即22234)(34b c a mn =-=． ∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆． 即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ：2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形 ：涉及有关焦点三角形问题 ：通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形 ：使之出现21PF PF +的结构 ：这样就可以应用椭圆的定义 ：从而可得到有关a ：c 的关系式 ：使问题找到解决思路．典型例题二十例20 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ：若这个椭圆上总存在点P ：使AP OP ⊥(O 为坐标原点) ：求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点 ：P 为动点 ：可以P 点坐标作为参数 ：把AP OP ⊥ ：转化为P 点坐标的一个等量关系 ：再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式 ：转化为关于e 的不等式．为减少参数 ：易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ： 则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ：)0,(a A ： ∵AP OP ⊥ ：∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ ：即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ ：解得1cos =θ或222cos b a b -=θ ：∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去） ：11222<-<-b a b ：又222c a b -= ∴2022<<ca ：∴22>e ：又10<<e ：∴122<<e ． 说明：若已知椭圆离心率范围)1,22( ：求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？。
高二数学椭圆的几何性质同步练习测试(含答案)
高二数学椭圆的几何性质同步练习测试(含答案)椭圆的几何性质是圆锥曲线的重点知识点，以下是椭圆的几何性质同步练习测试，请大家仔细练习。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设定点，，动点满足条件，则动点的轨迹是( )A. 椭圆B. 线段C. 椭圆或线段或不存在D. 不存在2. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为A. 或B. ( )C. 或D. 或2.过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，则、与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是A. B. 2 C. D. 1 ( )3.若椭圆的短轴为，它的一个焦点为，则满足为等边三角形的椭圆的离心率是 A. B. C. D. ( )4.若椭圆上有一点，它到左准线的距离为，那么点到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是( )A. 4∶1B. 9∶1C. 12∶1D. 5 ∶16. ，方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是A. B.C. D. ( )7. 参数方程( 为参数)表示的曲线是( )A. 以为焦点的椭圆B. 以为焦点的椭圆C. 离心率为的椭圆D. 离心率为的椭圆8. 已知4，则曲线和有( )A. 相同的准线B. 相同的焦点C. 相同的离心率D. 相同的长轴9. 点在椭圆的内部，则的取值范围是( )A. B. 或C. D.10. 若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是 A. 2 B. 1 C. D. ( )11. 椭圆的一个焦点为，点在椭圆上。
如果线段的中点在轴上，那么点的纵坐标是( )A. B. C. D.12. 椭圆内有两点，，为椭圆上一点，若使最小，则最小值为 A. B. C. 4 D. ( )二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13. 已知椭圆的离心率为，则此椭圆的长轴长为。
14. 是椭圆上的点，则到直线：的距离的最小值为。
15. 若点是椭圆上的点，则它到左焦点的距离为。
高二数学椭圆试题(有答案)
高二数学椭圆试题(有答案)一：选择题1.已知方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．m＞2或m＜﹣1B．m＞﹣2C．﹣1＜m＜2D．m＞2或﹣2＜m＜﹣1解：椭圆的焦点在x轴上，所以 $a^2>b^2$，即$\frac{b^2}{a^2}<1$。
根据焦点公式可得 $c=\sqrt{a^2-b^2}$，又因为焦点在x 轴上，所以 $c=a$。
所以 $a=b$，代入椭圆方程可得$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$。
解得 $m^2-2m>0$，即 $m2$。
所以 m 的取值范围为 $m>2$ 或 $-2<m<-1$，故选D。
2.已知椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m-2}=1$，长轴在y 轴上、若焦距为4，则m等于（）A．4B．5C．7D．8解：因为椭圆的长轴在y轴上，所以 $a^2=4$。
又因为焦距为4，所以 $c=2$。
根据焦点公式可得 $b^2=a^2(c^2-a^2)=12$。
代入椭圆方程可得 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，解得 $m=8$，故选D。
3.椭圆 $(1-m)x^2-my^2=1$ 的长轴长是（）A．$\sqrt{2}$B．$\sqrt{3}$C．$\sqrt{5}$D．$\sqrt{6}$解：将椭圆的方程化为标准形式 $\frac{x^2}{\frac{1}{1-m}}+\frac{y^2}{\frac{1}{m}}=1$。
因为长轴长为 $2a$，所以 $2a=2$，解得长轴长为$\sqrt{2}$，故选A。
4.已知点 $F_1$、$F_2$ 分别是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$k＞﹣1$）的左、右焦点，弦AB过点 $F_1$，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为（）A．$\frac{1}{2}$B．$\frac{\sqrt{2}}{2}$C．$\frac{\sqrt{3}}{2}$D．$\frac{\sqrt{5}}{2}$解：因为弦AB过点 $F_1$，所以 $AB=2a$。
高二数学椭圆测试题带答案
高二数学圆锥曲线椭圆测试题带答案一、选择题(每小题5分,共12小题60分)1、在平面直角坐标xoy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，离心率为22，过1F 的直线l交C 于A ,B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为（）A.181622=+y x B.12422=+y x C. 1182422=+y x D. 191622=+y x 2、已知椭圆C :)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点为1F ,2F ,离心率为33，过2F 的直线l 交C 与A ，B 两点，若B AF 1∆的周长为34，则C 的方程为( )A.12322=+y x B.1322=+y xC.181222=+y x D.141222=+y x 3、曲线192522=+y x 与曲线)9(192522<=-+-k ky k x 的 （ ） A.长轴长相等B.短轴长相等C.焦距相等D.离心率相等4、图，1F ，2F 是椭圆1C :1422=+y x 与双曲线2C 的公共焦点，A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点，若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是( )A.2B.3C.23D.265、已知椭圆110222=-+-m y m x 的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于（ ） A.8B.7C.6D.56、已知()2,4是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的方程是( ) A.02=-y xB.042=-+y xC.0432=++y xD.082=-+y x7、设1F ,2F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，与直线b y =相切的⊙2F 交椭圆于点E ，E 恰好是直线1EF 与⊙2F 的切点，则椭圆的离心率为（ ）A.23B .33 C.35D.458、已知椭圆191622=+y x 及以下3个函数：①x x f =)(；②x x f sin )(=；③x x x f sin )(=，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（ ） A.0个 B.1个C.2个D.3个9、椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点为1F ,2F ，过1F 作直线l 交C 于A ,B 两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，且︒=∠902B AF ，则椭圆C 的离心率为（ ） B.221-C.12-D.2210、设椭圆C :)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为1F ,2F ，P 是C 上的点,212F F PF ⊥,︒=∠3021F PF ,则C 的离心率为( ) A.63B.31C.21D.3311、椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点为1F ，若椭圆上存在一个点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段1PF 相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为( )A.22 B.32C.95D.3512、已知1A ,2A 分别为椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，椭圆C 上异于1A ,2A 的点P 恒满足9421-=⋅PA PA k k ，则椭圆C 的离心率为（ ）A.94B.32C.95D.35二、填空题(每小题5分,共4小题20分)13、已知1F ,2F 是椭圆11222=+++k y k x 的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于A ,B 两点，若2ABF ∆的周长为8，则k 的值为__________ 14、短轴长为52，离心率32=e 的椭圆两焦点为1F ,2F ，过1F 作直线交椭圆于A ,B 两点，则2ABF ∆的周长为__________15、直线01=-+y x 交椭圆122=+ny mx 于A ,B 两点，过原点与线段,AB 中点直线的斜率为22，则=n m__________16、在平面直角坐标系xOy 中，经过点()2,0且斜率为的直线l 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点P 和Q .则k 的取值范围为__________．三、解答题(每小题10分,共2小题20分) 17、已知椭圆1422=+y x 与直线l :0=+-λy x 相切．（1）求λ的值；（2）设直线:m 054=+-y x ，求椭圆上的点到直线m 的最短距离．18、已知椭圆4422=+y x 与斜率为1的直线l 交椭圆于A ,B 两点．(1)求弦AB 长的最大值；(2)求ABO ∆面积的最大值及此时直线l 的方程(O 为坐标原点)高二数学椭圆测试题答案解析第4题答案D第4题解析解答：第5题答案A第6题答案D第6题解析第7题答案C第7题解析第8题答案C第8题解析第9题答案C第10题答案D第10题解析第11题答案D第11题解析第12题答案D第12题解析第13题答案2第13题解析第14题答案12第14题解析第15题答案22第17题答案第18题答案。
（完整）高二数学椭圆试题（有答案）
（完整）⾼⼆数学椭圆试题（有答案）⾼⼆数学椭圆试题⼀：选择题1.已知⽅程表⽰焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．m＞2或m＜﹣1 B．m＞﹣2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞2或﹣2＜m＜﹣1 解：椭圆的焦点在x轴上∴m2＞2+m，即m2﹣2﹣m＞0解得m＞2或m＜﹣1⼜∵2+m＞0∴m＞﹣2∴m的取值范围：m＞2或﹣2＜m＜﹣1故选D2.已知椭圆，长轴在y轴上、若焦距为4，则m等于（）A．4B．5C．7D．8解：将椭圆的⽅程转化为标准形式为，显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m=8故选D3．椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1的长轴长是（）A．B．C．D．解：由椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1，化成标准⽅程：由于，∴椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1的长轴长是2a=2=．故选B．4．已知点F1、F2分别是椭圆+=1（k＞﹣1）的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离⼼率为（）A．B．C．D．解：由椭圆定义有4a=8∴a=2，所以k+2=a2=4∴k=2．从⽽b2=k+1=3，c2=a2﹣b2=1，所以，故选A5．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹⽅程是（）A．（x≠0）B．（x≠0）C．（x≠0）D．（x≠0）解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12，∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a=6，c=4∴b2=20，∴椭圆的⽅程是故选B．6．⽅程=10，化简的结果是（）A．B．C．D．解：根据两点间的距离公式可得：表⽰点P（x，y）与点F1（2，0）的距离，表⽰点P（x，y）与点F2（﹣2，0）的距离，所以原等式化简为|PF1|+|PF2|=10，因为|F1F2|=2＜10，所以由椭圆的定义可得：点P的轨迹是椭圆，并且a=5，c=2，所以b2=21．所以椭圆的⽅程为：．故选D．7．设θ是三⾓形的⼀个内⾓，且，则⽅程x2sinθ﹣y2cosθ=1表⽰的曲线是（）A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在x轴上的椭圆C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在y轴上的椭圆解：因为θ∈（0，π），且sinθ+cosθ=，所以，θ∈（，π），且|sinθ|＞|cosθ|，所以θ∈（，），从⽽cosθ＜0，从⽽x2sinθ﹣y2cosθ=1表⽰焦点在y轴上的椭圆．故选D．8.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直⾓三⾓形，则椭圆的离⼼率是（）A．B．C．D．解：设点P在x轴上⽅，坐标为，∵△F1PF2为等腰直⾓三⾓形∴|PF2|=|F1F2|，即，即故椭圆的离⼼率e=故选D9.从椭圆上⼀点P向x轴作垂线，垂⾜恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离⼼率是（）A．B．C．D．解：依题意，设P（﹣c，y0）（y0＞0），则+=1，∴y0=，∴P（﹣c，），⼜A（a，0），B（0，b），AB∥OP，∴k AB=k OP，即==，∴b=c．设该椭圆的离⼼率为e，则e2====，∴椭圆的离⼼率e=．故选C．10.若点O和点F分别为椭圆的中⼼和左焦点，点P为椭圆上的任意⼀点，则的最⼤值为（）A．2B．3C．6D．8解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以==，此⼆次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最⼤值，故选C．11.如图，点F为椭圆=1（a＞b＞0）的⼀个焦点，若椭圆上存在⼀点P，满⾜以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离⼼率为（）A．B．C．D．解：设线段PF的中点为M，另⼀个焦点F′，由题意知，OM=b，⼜OM是△FPF′的中位线，∴OM=PF′=b，PF′=2b，由椭圆的定义知PF=2a﹣PF′=2a﹣2b，⼜MF=PF=（2a﹣2b）=a﹣b，⼜OF=c，直⾓三⾓形OMF中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，⼜a2﹣b2=c2，可求得离⼼率e==，故答案选B．12．椭圆顶点A（a，0），B（0，b），若右焦点F到直线AB的距离等于，则椭圆的离⼼率e=（）A．B．C．D．解：由题意可得直线AB的⽅程为即bx+ay﹣ab=0，F（c，0）∴F（c，0）到直线AB的距离d==，|AF|=a﹣c则∴a2=3b2∴a2=3a2﹣3c2即3c2=2a2∴=故选B13．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，P为椭圆上的⼀点，且|PF1||PF2|的最⼤值的取值范围是[2c2，3c2]，其中c=．则椭圆的离⼼率的取值范围为（）A．[，]B．[，1）C．[，1）D．[，]解：∵|PF1|?|PF2|的最⼤值=a2，∴由题意知2c2≤a2≤3c2，∴，∴．故椭圆m的离⼼率e的取值范围．故选A．14．在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离⼼率的取值范围是（）A．B．C．D．解：根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，将设|PF1|=2|PF2|代⼊得，根据椭圆的⼏何性质，|PF2|≥a﹣c，故，即a≤3c，故，即，⼜e＜1，故该椭圆离⼼率的取值范围是．故选B．⼆：填空题15.已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上⼀点，且．若△PF1F2的⾯积为9，则b=3．解：由题意知△PF1F2的⾯积=，∴b=3，故答案为3．16．若⽅程表⽰焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是4＜k＜7．解：∵+=1表⽰焦点在y轴上的椭圆，∴k﹣1＞7﹣k＞0．∴4＜k＜7．故k的取值范围是4＜k＜7．故答案为：4＜k＜7．17.已知椭圆的焦距为2，则实数t=2，3，6．解：当t2＞5t＞0即t＞5时，a2=t2，b2=5t此时c2=t2﹣5t=6解可得，t=6或t=﹣1（舍）当0＜t2＜5t即0＜t＜5时，a2=5t，b2=t2此时c2=a2﹣b2=5t﹣t2=6解可得，t=2或t=3综上可得，t=2或t=3或t=6故答案为：2，3，618.在平⾯直⾓坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（﹣4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=．解：利⽤椭圆定义得a+c=2×5=10b=2×4=8由正弦定理得=故答案为19.在平⾯直⾓坐标系xOy中，椭圆的焦距为2c，以O为圆⼼，a 为半径作圆M，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离⼼率为．解：设切线PA、PB互相垂直，⼜半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直⾓三⾓形，故，解得，故答案为．20.若椭圆的焦点在x轴上，过点（1，）做圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的⽅程是．解：设切点坐标为（m，n）则即∵m2+n2=1∴m即AB的直线⽅程为2x+y﹣2=0∵线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点∴2c﹣2=0；b﹣2=0解得c=1，b=2所以a2=5故椭圆⽅程为故答案为三：解答题21.已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上⼀点．（1）求|PF1|?|PF2|的最⼤值；（2）若∠F1PF2=60°且△F1PF2的⾯积为，求b的值．解：（1）∵P点在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=|2a=20，∵|PF1|＞0，|PF2|＞0，∴|PF1|?|PF2|≤=100，∴|PF1|?|PF2|有最⼤值100．（2）∵a=10，|F1F2|=2c．设|PF1|=t1，|PF2|=t2，则根据椭圆的定义可得：t1+t2=20①，在△F1PF2中，∠F1PF2=60°，所以根据余弦定理可得：t12+t22﹣2t1t2?cos60°=4c2②，由①2﹣②得3t1?t2=400﹣4c2，所以由正弦定理可得：=．所以c=6，∴b=8．22.如图，F1、F2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另⼀个交点，∠F1AF2=60°．（Ⅰ）求椭圆C的离⼼率；（Ⅱ）已知△AF1B的⾯积为40，求a，b 的值．解：（Ⅰ）∠F1AF2=60°?a=2c?e==．（Ⅱ）设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m，在三⾓形BF1F2中，|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2﹣2|BF2||F1F2|cos120°（2a﹣m）2=m2+a2+am．?m=．△AF1B⾯积S=|BA||F1F2|sin60°=40a=10，∴c=5，b=5．23.已知中⼼在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点．（1）求椭圆C的⽅程；（2）是否存在平⾏于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的⽅程；若不存在，说明理由．解：（1）依题意，可设椭圆C的⽅程为（a＞0，b＞0），且可知左焦点为F（﹣2，0），从⽽有，解得c=2，a=4，⼜a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的⽅程为．（2）假设存在符合题意的直线l，其⽅程为y=x+t，由得3x2+3tx+t2﹣12=0，因为直线l与椭圆有公共点，所以有△=（3t）2﹣4×3（t2﹣12）≥0，解得﹣4≤t≤4，另⼀⽅⾯，由直线OA与l的距离4=，从⽽t=±2，由于±2?[﹣4，4]，所以符合题意的直线l不存在．24.设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离⼼率；（2）设点P（0，﹣1）满⾜|PA|=|PB|，求E的⽅程解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，⼜2|AB|=|AF2|+|BF2|，得l的⽅程为y=x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满⾜⽅程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0则因为直线AB斜率为1，得，故a2=2b2所以E的离⼼率（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知，．由|PA|=|PB|，得k PN=﹣1，即得c=3，从⽽故椭圆E的⽅程为．25.设椭圆的左焦点为F，离⼼率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的⽅程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若，求k的值．解：（I）根据椭圆⽅程为．∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴=，∵离⼼率为，∴=，解得b=，c=1，a=．∴椭圆的⽅程为；（II）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6kx+3k2﹣6=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，⼜A（﹣，0），B（，0），∴=（x1﹣，y1）?（﹣x2．﹣y2）+（x2+，y2）?（﹣x1．﹣y1）=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，=6+=8，解得k=．26.设椭圆E：，O为坐标原点（Ⅰ）求椭圆E的⽅程；（Ⅱ）是否存在圆⼼在原点的圆，使得该圆的任意⼀条切线与椭圆E恒在两个交点A，B且？若存在，写出该圆的⽅程，关求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．解：（1）因为椭圆E：（a，b＞0）过M（2，），N（，1）两点，所以解得所以椭圆E的⽅程为（2）假设存在圆⼼在原点的圆，使得该圆的任意⼀条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线⽅程为y=kx+m解⽅程组得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，则△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，即8k2﹣m2+4＞0，要使，需使x1x2+y1y2=0，即，所以3m2﹣8k2﹣8=0，所以⼜8k2﹣m2+4＞0，所以，所以，即或，因为直线y=kx+m为圆⼼在原点的圆的⼀条切线，所以圆的半径为，，，所求的圆为，此时圆的切线y=kx+m都满⾜或，⽽当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或存在圆⼼在原点的圆，使得该圆的任意⼀条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且．因为，所以，①当k≠0时因为所以，所以，所以当且仅当时取”=”．2当k=0时，27.已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上⽅的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的⽅程；（2）求线段MN的长度的最⼩值；（3）当线段MN的长度最⼩时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的⾯积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（﹣2，0），上顶点为D（0，1），∴a=2，b=1故椭圆C的⽅程为（4分）（2）依题意，直线AS的斜率k存在，且k＞0，故可设直线AS的⽅程为y=k（x+2），从⽽，由得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0设S（x1，y1），则得，从⽽即，（6分）⼜B（2，0）由得，∴，（8分）故⼜k＞0，∴当且仅当，即时等号成⽴．∴时，线段MN的长度取最⼩值（10分）（2）另解：设S（x s，y S），依题意，A，S，M三点共线，且所在直线斜率存在，由k AM=k AS，可得同理可得：⼜所以，=不仿设y M＞0，y N＜0当且仅当y M=﹣y N时取等号，即时，线段MN的长度取最⼩值．（3）由（2）可知，当MN取最⼩值时，此时BS的⽅程为，∴（11分）要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的⾯积等于，只须T到直线BS的距离等于，所以T在平⾏于BS且与BS距离等于的直线l'上．设直线l'：x+y+t=0，则由，解得或．⼜因为T为直线l'与椭圆C的交点，所以经检验得，此时点T有两个满⾜条件．（14分）。
高二数学椭圆试题
高二数学椭圆试题1.过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ,∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B，若M是线段AB的中点，∴两式相减可得 , .故选A.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题2.已知椭圆的顶点与双曲线的焦点重合，它们的离心率之和为，若椭圆的焦点在y轴上．（1）求双曲线的离心率，并写出其渐近线方程；（2）求椭圆的标准方程．【答案】（1）e1=2，渐近线方程为y=±；（2）．【解析】（1）首先由已知双曲线的标准方程求出双曲线的几何量，就可得焦点及离心率，渐近线方程；（2）根据已知条件求出椭圆的离心率及焦距，利用椭圆的三个参数的关系，求出椭圆中的三个参数，从而就可求出椭圆的方程．试题解析：（1）设双曲线的焦距为2c1，离心率为e1，（2分）则有：c12=4+12=16，c1=4 （4分）∴e1=2，渐近线方程为y=±；（6分）（2）椭圆的离心率为，∴．又a=4，∴c=；∵a2=b2+c2，（10分）∴b2=；∴所求椭圆方程为（12分）【考点】1.双曲线的简单性质；2.椭圆的标准方程．3.已知椭圆：的左焦点，离心率为，函数，（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设，，过的直线交椭圆于两点，求的最小值，并求此时的的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的最小值为,此时.【解析】（Ⅰ）利用左焦点F（-1，0），离心率为，及求出几何量，即可求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）分类讨论，设直线l的方程来：y=k（x-t）代入抛物线方程，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可求的最小值，并求此时的t的值．试题解析：（Ⅰ）,由得,椭圆方程为（Ⅱ）若直线斜率不存在,则=若直线斜率存在,设直线,由得所以故故的最小值为,此时.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．4.(本小题满分12分)如图，椭圆上的点M与椭圆右焦点的连线与x轴垂直，且OM（O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．（1）求椭圆的离心率；（2）过且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q，若的面积是，求此时椭圆的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）点M与椭圆右焦点的连线与x轴垂直，可得，又，椭圆中,可得；（2）设直线PQ的方程为，代入椭圆方程整理得又，可得从而解得，可得椭圆的标准方程.解：（1）易得（2）令，设直线PQ的方程为．代入椭圆方程消去x得：，整理得：∴因此a2＝50，b2＝25，所以椭圆方程为【考点】椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，设而不求.5.若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,、分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若,则（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】由题设中的条件，设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到结论，【考点】椭圆与双曲线的几何性质.6.椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由椭圆可知其左顶点A1（-2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x，y）（x≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．【考点】椭圆的性质.7.已知椭圆上一点到右焦点的距离是1，则点到左焦点的距离是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据椭圆的定义，点P到两个焦点距离和等于2a=即可.【考点】椭圆的定义.8.已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．【答案】D【解析】因为焦点相同所以有，解得，即。
高二数学椭圆训练题一 试题
卜人入州八九几市潮王学校高二数学椭圆训练题一一．选择题： 〕〔A 〕．到两定点间隔之和为常数的点的轨迹是椭圆〔B 〕．到定直线c a x 2=和定点F(c ，0)的间隔之比为ac 的点的轨迹是椭圆〔C 〕．到定点F(-c ，0)和定直线c a x 2-=的间隔之比为a c (a >c>0)的点的轨迹是左半个椭圆〔D 〕．到定直线c a x 2=和定点F(c ，0)的间隔之比为ca (a >c>0)的点的轨迹是椭圆2．设定点F 1〔0，－3〕、F 2〔0，3〕，动点P 满足条件129(0)PF PF aa a，那么点P 的轨迹是〔〕〔A 〕．椭圆〔B 〕．线段〔C 〕．不存在〔D 〕．椭圆或者线段3．椭圆的一个顶点是(0,2),离心率是21，坐标轴为对称轴的椭圆方程是〔〕。
〔A 〕1416322=+y x 〔B 〕14322=+y x 〔C 〕1416322=+y x 或者14322=+y x 〔D 〕14822=+y x 或者14322=+y x 4．椭圆的长轴和短轴之和为30，一个焦点与短轴两端点的连线构成60角，那么满足上述条件的椭圆方程是〔〕。
〔A 〕110040022=+y x 或者140010022=+y x 〔B 〕122567522=+y x 或者167522522=+y x 〔C 〕12510022=+y x 或者11002522=+y x 〔D 〕132414422=+y x 或者114432422=+y x5．椭圆的焦点，，是椭圆上一点，且是，等差中项，那么椭圆的方程是〔〕〔A 〕． (B)．(C)． (D)．6.与椭圆9x 2+4y 2=36有一样焦点，且短轴长为45的椭圆方程是()22222222()1()1()1()2520202520458085x y x y x y x y A B C D +=+=+=+=7．△ABC 中，两顶点坐标分别是A (－1,0),C (1,0),顶点A 、B 、C 所对的三边长分别是a ,b ,c ,且a >b >c ,a＋c ＝2b ,那么顶点B 的轨迹方程是〔〕。
高二数学椭圆专项练习题及参考答案[001]
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高二数学椭圆专项练习题及参考答案训练指要熟练掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质；会用待定系数法求椭圆方程.一、选择题1.椭圆中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，离心率为0.6，长、短轴之和为36，则椭圆方程为 A.16410022=+y x B.11006422=+y x C.1100641641002222=+=+y x y x 或 D.110818102222=+=+y x y x 或 2.若方程x2＋ky2＝2，表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是A.(0，＋∞)B.(0，2)C.(1，＋∞)D.(0，1)3.已知圆x2＋y2＝4，又Q(3，0)，P 为圆上任一点，则PQ 的中垂线与OP 之交点M 轨迹为(O 为原点)A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线二、填空题4.设椭圆1204522=+y x 的两个焦点为F1、F2，P 为椭圆上一点，且PF1⊥PF2，则||PF1|－|PF2||＝_________.5.(20XX 年全国高考题)椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0，2)，那么k=_________.三、解答题6.椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),B(0,b)、B′(0,-b),A(a,0),F 为椭圆的右焦点，若直线AB ⊥B′F,求椭圆的离心率.7.在面积为1的△PMN 中，tanM=21,tanN=-2，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点且过点P 的椭圆方程.8.如图，从椭圆2222by a x +＝1(a ＞b ＞0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴端点A 及短轴的端点B 的连线AB ∥OM.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上任意一点，F2是右焦点，求∠F1QF2的取值范围；(3)设Q 是椭圆上一点，当QF2⊥AB 时，延长QF2与椭圆交于另一点P ，若△F1PQ 的面积为203，求此时椭圆的方程.参考答案一、1.C 2.D 3.C二、4.25,40||||100)2(||||562|||:|212222121=⋅⇒⎪⎭⎪⎬⎫==+==+PF PF c PF PF a PF PF 提示 ∴(|PF1|－|PF2|)2=100－2×40=20.||PF1|－|PF2||=25.5.1三、6.215- 7.以MN 所在直线为x 轴，线段MN 的中垂线为y 轴建立坐标系，可得椭圆方程为 .1315422=+y x 8.(1)22 (2)［0,2π］ (3)1255022=+y x 提示：(1)∵MF1⊥x 轴，∴xM=－c,代入椭圆方程求得yM=ab 2, ∴kOM=－,,2ab k ac b AB -= ∵OM ∥AB, ∴－c b ab ac b =⇒-=2 从而e=22. (2)设|QF1|=r1,|QF2|=r2,∠F1QF2=θ,则r1+r2=2a,|F1F2|=2c.由余弦定理,得cosθ=212222124r r c r r -+ 1242)(21221221221-=--+=r r a r r c r r r r≥,01)2(2212=-+r r a 当且仅当r1=r2时，上式取等号.∴0≤cosθ≤1,θ∈［0,2π］. (3)椭圆方程可化为122222=+cy c x ,又PQ ⊥AB ， ∴kPQ=－.21==ba k AB PQ:y=2(x －c)代入椭圆方程，得5x2－8cx+2c2=0.求得|PQ|=,526c F1到PQ 的距离为d=,362c ∴.25320||2121=⇒=⋅=∆c d PQ S PQ F ∴椭圆方程为.1255022=+y x 椭圆训练题： 椭圆19822=++y m x 的离心率21=e ，则m=__________ 椭圆4x2+2y2=1的准线方程是_______________已知F1、F2为椭圆192522=+y x 的两个焦点，A 、B 为过F1的直线与椭圆的两个交点，则△ABF2的周长是____________椭圆12222=+by a x ()0>>b a 上有一点P 到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项，则P 点的坐标是_______________椭圆12222=+by a x 焦点为F1、F2，P 是椭圆上的任一点，M 为P F1的中点，若P F1的长为s ，那么OM 的长等于____________过椭圆1273622=+y x 的一个焦点F 作与椭圆轴不垂直的弦AB ，AB 的垂直平分线交AB 于M ，交x 轴于N ，则FN ：AB =___________已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率32=e ，长轴长是6，则椭圆的方程是____________ 方程1162522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的值是______________ 椭圆的两焦点把准线间的距离三等分，则这椭圆的离心率是______________ 椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点F2的距离为b ，则P 点到左准线的距离是_______ 椭圆⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=+2,4,1csc sec 2222ππt t y t x ，这个椭圆的焦点坐标是__________ 曲线()023122=+--+m my y m x 表示椭圆，那么m 的取值是______________ 椭圆13422=+y x 上的一点()11,y x A ，A 点到左焦点的距离为25，则x1=___________ 椭圆()()19216122=-+-y x 的两个焦点坐标是______________椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，两准线的距离是5518，焦距为52，其方程为______ 椭圆上一点P 与两个焦点F1、F2所成的中，βα=∠=∠1221,F PF F PF ，则它的离心率e=__________ 方程142sin 322=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-παy x 表示椭圆，则的取值是______________若()()065562222=--+-λλλλy x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则的值是________ 椭圆192522=+y x 上不同的三点()()2211,,59,4,,y x C B y x A ⎪⎭⎫ ⎝⎛与焦点()0,4F 的距离成等差数列，则=+21x x ____________P 是椭圆192522=+y x 上一点，它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的4倍，则P 点的坐标是_______________中心在原点，对称轴在坐标轴上，长轴为短轴的2倍，且过()6,2-的椭圆方程是______ 在面积为1的△PMN 中，2tan ,21tan -==N M ，那么以M 、N 为焦点且过P 的椭圆方程是_____________已知△ABC ，()()0,3,0,3-B A 且三边AC 、AB 、BC 的长成等差数列，则顶点C 的轨迹方程是_________ 椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值是__________ 椭圆14922=+y x 的焦点到准线的距离是____________ 椭圆()112222=-+m y m x 的准线平行于x 轴，则m 的值是__________ 中心在原点，准线方程为4±=x ，离心率为21的椭圆方程是_______ 椭圆的焦距等于长轴长与短轴长的比例中顶，则离心率等于___________ 中心在原点，一焦点为()50,01F 的椭圆被直线23-=x y 截得的弦的中点横坐标为21，则此椭圆方程是_________椭圆的中心为()0,0，对称轴是坐标轴，短轴的一个端点与两个焦点构成面积为12的三角形，两准线间的距离是225，则此椭圆方程是_____________过点()2,3-且与椭圆369422=+y x 有相同焦点的椭圆方程是____________ 将椭圆192522=+y x 绕其左焦点逆时针方向旋转，所得椭圆方程是_______ 椭圆192522=+y x 上一点M 到右准线的距离是7.5，那么M 点右焦半径是______ AB 是椭圆14322=+y x 的长轴，F1是一个焦点，过AB 的每一个十等分点作AB 的垂线，交椭圆同一侧于点P1，P2，P3，，P9，则11912111BF F P F P F P AF ++⋅⋅⋅+++的值是________中心在原点，一焦点为F （0，1），长短轴长度比为t ，则此椭圆方程是__________ 若方程222x ky +=表示焦点在y 轴的椭圆，则k 的取值是__________椭圆221123x y +=的焦点为F1、F2，点P 为椭圆上一点，若线段PF1的中点在y 轴上，那么1PF ：2PF =___________经过)()122,M M --两点的椭圆方程是_____________ 以椭圆的右焦点F2（F1为左焦点）为圆心作一圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于M 、N ，若直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率是___________椭圆的两个焦点F1、F2及中心O 将两准线间的距离四等分，则一焦点与短轴两个端点连线的夹角是__________点A (),0a 到椭圆2212x y +=上的点之间的最短距离是___________ 椭圆2214x y +=与圆()2221x y r -+=有公共点，则r 的取值是________ 若k R ∈，直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=总有公共点，则m 的值是___________ 设P 是椭圆上一点，两个焦点F1、F2，如果00211275,15PF F PF F ∠=∠=，则离心率等于__________P 是椭圆22143x y +=上任一点，两个焦点F1、F2，那么12F PF ∠的最大值是_______ 椭圆2244x y +=长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则此直角三角形的面积是__________椭圆长轴长为6，焦距过焦点F1作一倾角为的直线交椭圆于M 、N 两点，当MN 等于短轴长时，的值是_______设椭圆22143x y +=的长轴两端点A 、B ，点P 在椭圆上，那么直线PA 与PB 的斜率之积是__________ 倾斜角为4π的直线与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是______________已知点A （0，1）是椭圆上的一点，P 是椭圆上任一点，当弦长AP 取最大值时，点P 的坐标是_____________椭圆训练题答案。
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4． B1 , B2 是椭圆短轴的两端点 , 过左焦点 F1 作长轴的垂线 , 交椭圆于 P, 若 |F1F2| 是 |OF1| 和
|B1B2| 的比例中项 , 则 |PF1| : |OB2| 的值是……………………………………………
[B]
A. 2
5．椭圆 x 2 12
B. 2 5 5
C. 5 2
D. ห้องสมุดไป่ตู้ 3
1
x1 x2 x1 x2 a2
y1
y2 y1 b2
y2 , y1 x1
y2 x2
b 2 x1 a 2 y1
x2 , 又 y2
x1 x2 2
y1 y2 2
2
, 所以
1
b2 x1 x2 a 2 y1 y 2
2b2
2b 2
a2
4b2
1
,
y1
y2
2 x1 x2
1 , 直线 AB的方程为 y=- 1 x+2；
．
25 9
8．若 椭 圆 的 一 个 焦 点 到 相 应 准 线 的 距 离 为
5 , 离 心率为
2 ,
4
3
则 椭圆的半 短轴长 为
5. ( 用 分 数 表 示 )
9．
若点 A(4, y1 )、 B、 C (8, y2 )是椭圆
x2 : 144
y2 9
1上的三点 ,它们关于右焦点
的三条焦点半径长成等差数列 , 那么点 B的坐标是 ________.
y2 3 1 的一个焦点为 F1 ，点 P在椭圆上，如果线段
PF1 的中点 M在y轴上，那
么点 M 的纵坐标是…………………………………………………………………………
[A]
A． 3 4
6．设 A( － 2，
B． 3 2
3 ) ， F为椭圆
C． 2 4
3
D．
4
x2 ＋ y2 ＝ 1的右焦点，点
16 12
M在椭圆上移动，当
|AM| ＋ 2|MF|
取最小值时，点 M的坐标为…………………………………………………………………
[C]
A ． (0， 2 3 ) B ． (0，－ 2 3 ) C． (2 3 ， 3 ) D． (－ 2 3 ， 3 )
2
2
7．椭圆 x
y
＝ 1 上有一点 P 到左准线的距离为 2.5 ，则 P 到右焦点的距离为
故 x2 ＋ y2 ＝1与 x2 ＋ y2 ＝1 为所求椭圆方程．
12 9
9 12
12． 设中心在原点， 焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为
交于 A、 B 两点，若线段 AB的长等于圆的直径． (1) 求直线 AB的方程； (2) 求椭圆的方程．
3 ，并且椭圆与圆
x2+y2-4x-2y+
5
=0
2
2
解：（ 1）设椭圆的方程为
2
2
1
y
x2
（ 2）由
x2
2 y2
, 消去 x 得 2y2 4 y 4 b2 0 ,
4b2 b2 1
y1
2
y2
2b 2 4 , 又 x1 x2
2 y1 y2 , 所以 x1
y1 y2 2
4 b2 ,
y1 y2
2
2
2
x2
4 y1 y2 ,
AB
2
x1 x2
2
y1 y2
5 2b2 4 , 又 AB 10 , 5 2b2 4 10 ,
2
n
, 则 的值是…………………………………………………………………
[ B]
2
m
A． 2 2
B． 2
C． 3 2
2 D． 3
3
x2 y2 3．椭圆 2 2 1 上对两焦点张角为 90 的点可能有……………………………… [ C ]
ab
A.4 个
B.2 个或 4个 C.0 个或 2个 ,4个 D. 还有其它情况
x2 a2
y2 b2
1, 由 e
c a
3 及 a 2 b 2 c2 得 a 2 4b2 , 2
设 A x1, y1 , B x2 , y2 , 由于线段 AB的长等于圆的直径 , 所以线段 AB的中点为圆心 （ 2,1 ）,
且 AB
x12
10 , 则
a2 x2 2
a2
y12 b2 y2 2 b2
1
, 两式相减得
b2
3,a2
12 , 所求椭圆的方程为
x2 y 2
+ =1.
12 3
x2 y2 13．设椭圆 a2 + b 2 =1的两焦点为 F1、 F2，长轴两端点为 A1、 A2．
(1)P 是椭圆上一点，且∠ F1PF2=600，求 Δ F1PF2的面积；
0
(2) 若椭圆上存在一点 Q，使∠ A1QA2=120 ，求椭圆离心率 e 的取值范围．
的最短距离为 3 ，求椭圆的标准方程．
解 : 如图所示，设点 P( x0 ， y0 )为椭圆上位于第一象限的任一点，其到焦点距离
| PF2 |＝a－ex0 ，显然 x0＝ a 时， | PF2 |最小，故有 a－c＝ 3 ，由短轴端点与两焦点构
成正三角形得 b＝ 3c ， a＝ 2c，解之得 a＝2 3 ，b＝ 3．
b2=b2tan ∠ F1 PF2 = 2
3 b2． 3
（ 2）设∠ A1QB=α ，∠ A2QB=β ，点 Q(x0， y 0)(0<y 0<b) ． tan θ=tan( α +β )= tanα +tan β= 1-tanα tan β
a x0 a x0
y0
y0
1
a2 x02 y02
=
x02
2ay0 y02
10. P 是椭圆
x2 ＋ 4
y2 3
＝ 1 上的点，
F1
和
F2
是焦点，则
k＝ |PF1|· |PF2|的最大值和最小值
分别是 ________
1． 8 2 ． 1/2 3
． (6, 3 3) 2
4 ． kmax＝ 4， kmix ＝ 3
11. 已知椭圆的焦点在坐标轴上，短轴的一个端点与两焦点构成正三角形，若焦点到椭圆
1 高二数学椭圆测试题（一）
1. 若直线 y kx 1和椭圆 x2 4y2 1相切 , 则 k2 的值是……………………… [ C ]
A.1 / 2 B.2 / 3 C.3 / 4
D.4 / 5
2. 椭圆 mx2 ny2 1与直线 x＋ y－1＝ 0交于 M、N两点， 过原点与线段 MN中点的直线斜率为
1
解：（ 1）设 |PF 1|=r 1， |PF 2|=r 2，则 S
= r 1r 2sin ∠ F1PF2，由 r 1+r 2=2a，
2 PF1 F2
4c2=r 12+r 22-2cos ∠ F1PF2，得 r 1r 2=
2b2
．代入面积公式，得
1 cos F1PF2
S
1 = PF1F 2
sin F1PF2 cos F1PF2
．∵
a2
x02 a2
+
y02 b2
=1，∴ x 02=a2-
a2 b2
y 02．
∴ tan θ=
2 ay0 a2 b2
2
y02
=
b
2ab2
=-
c2 y0
3 ．∴ 2ab2= 3 c 2y 0≤
3 c 2b， 即 3c 4+4a2c2-4a 4 ≥0，