椭圆的焦点弦长公式

在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题。

结论：若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ

2222

21cos 2c a ab F F -=。 例1.已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，

设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？

解：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，由焦点弦长公式

θ2222

21cos 2c a ab F F -=及题设可得：24cos 816)22(4222=-⨯⨯α，解得αcos ±=22-，即

α=arc 22cos -或arc -π22cos -。

例2.在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为3

π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的方程。 解：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(22

22=-+--b

y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32

+=c c a ；由焦点弦长公式有3cos 22222π

c a ab -=5

16；又 222c b a +=；解得：42=a ，32=b ，1=c ，从而所求椭圆E 的方程为13

)1(4)4(2

2=-+-y x 。 例3.已知椭圆C ：12222=+b

y a x （0>>b a ），直线1l ：1=-b y a x 被椭圆C 截得的弦长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截得的弦长是它的长轴长的5

2，求椭圆C 的方程。 解：由题意可知直线1l 过椭圆C 的长、短轴的两个端点，故有822=+b a ，又由焦点弦长公式得

θ2222cos 2c a ab -=54a ， 因tan θ=3，得3

πθ=，又 222c b a += ，解得：62=a ，22=b ，从而所求椭圆E 的方程为1262

2=+y x 。