1-7两个重要极限练习题

1-7两个重要极限练习题

教学过程:

弓I 入：考察极

限

si nx

lim ---- x 0

x

当x 取负值趋近于 0时，-X 0, -x>0, sin(-x)>0 .于是

sinx sin( x) lim -- lim —-__-. x 0 X x 0

( x)

综上所述，得

sin X 一.lim 1 . x 0

X

lim 沁1的特点： x 0

X

(1) 它是“0

”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是

(2) 在分式中同时出现三角函数和 X 的幕. 如果lim (x)=0,(a 可以是有限数X 0,或),

x a

sin x

出arcsinx

求 lim ------ .

x 0

x

令 arcsinx=t ，贝U x=sint 且 x

问题1:观察当x

0时函数的变化趋势:

当x 取正值趋近于0时，sin

2L 1,即lim 耳巴仝=1 ； x x 0

x 推广

lim x a sin X x

=lim

x 0

sin X =1 x

lim = lim x 0 x x 0 cosx x lim s ^nx x 0

x COSX

lim sinx

x 0 lim --- x 0

cosx

1 1 1.

求lim 沁.

x 0 x

sin3x 3sin3x lim ------- = lim x 0 x x 0

击，-1 cosx 求 lim -- 2

—

x 0 x 2

3x

(令3x t) 3ltim Sin

t 1 cosx _

X

1叫二叫

2si n 2x _____ 2 x 2 .2 x sin — lim - 2

x 0 x c 2(-)2 x im

.x sin — 2 .x

sin —

2 x 2

limorcs^n^wm 丄 1. X 0 X t 0

si nt

缶 tanx sinx 求lim

X 0

例6 求 lim(1 2)X

.

X

X

所以

lim

tanX sinX

X 0

X 3

sinx Sinx = lim — X 0 X 3

1 COSX sinx ------ lim ----- 3C0SX_ 0 X 3 考察极限

=lim S i nX lim —— X 0 X X 0 COSX lim 1 C 0sx

丄 x 0 X 2

2 1 X

-）e

当X 取正值并无限增大时，（1丄）X

是逐渐增大的，但是不论 X 如何大，（1丄）X

的值

X

X

总不会超过3•实际上如果继续增大 X.即当X +时，可以验证（1丄）X

是趋近于一个确定

X

的无理数e=.

当X -时，函数（1 — ）x

有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于

e.

X

综上所述，得 一 1 x

二. lim （1 -）x

=e .

x

X

丄）x

=e 的特

lim(

1

lim （1+无穷小）无穷大案

(2) “无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数.

推广

(1)若

lim （X ）= ,（a 可以是有

限数

X 0, 或 ），则

lim 1

(X)

(

)=e;

(2)若

lim X a

（x ）=O,（a 可以是有限数 X 0

, ），则

lim

X a

1 X 帀 lim

X 0

（X ）=e. 变形令1

=t,

X

如果在形式上分别对底和幕求极限，得到的是不确定的结果

定型.

时to ，代入后得到

li m

1，因此通常称之为

1不

问题2:观察当x +时函数的变化趋势:

2 2 令一_=t ，贝y x=——

x

t

两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。 见首页 § 2-1导数的概念

教学过程： 引入： 一、两个实例

实例1瞬时速度

考察质点的自由落体运动.真空中，质点在时刻 t=o 到时刻t 这一时间段内下落的路程 s 由公

式s = — gt 2

来确定.现在来求t=1秒这一时刻质点的速度.

2

当t 很小时，从1秒到1+ t 秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间 内的平均速度作为质点在

t=1时速度的近似.

于是

当x 时t 0, 2

t)壬

lim(1 x -)x

= lim(1 x t 0

例7 求 lim (3

x

2 x )x

-

x

解

令 3 x

=1 + u ，则 x=2 — 1

•

2 x

u

当x 时u 0,

于是

lim (3

x 2

:心叩 2

1

u) u

=

[lim(1

u 0

1

u 円

例8 求 lim(1 tanx)

cotx

•

解

设 t=tanx.

1

贝 U — = cotx. t

当x 0 时 t 0,

于是

lim(1 x 0

tan x)

cotx

= lim(1 t)

1

t)q 2

=e -

1

u) u (1 u)2

] u)2

]=e -1・

小结: 作业:

[呵

u 叫［仆

1

1

t

[lim(

1