25-26-离散傅里叶变换-运用举例解析
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- 离散傅里叶级数
- 离散傅里叶变换的推导与定义 - 离散傅里叶变换的基本性质
- 频率域采样 - 离散傅里叶变换的应用举例
DFT 的 快 速 算 法 ----FFT 的 出 现， 使DFT在数字通信、 信号处 理、 数值分析等各个领域都得到广 泛应用。
1 用DFT计算线性卷积
如果
y(n) 0≤k≤L-1
h ( n ) xk ( n ) 该式说明，计算h(n) k 0 与x(n)的线性卷积时， 可先进行分段线性 h ( n ) xk ( n ) k 0 卷积yk(n) ，然后把 分段卷积结果叠加 yk ( n ) 起来即可。
k 0
其中：
h (n ) 0 n
L点 IDFT x(n ) 补 L－ M 个 零 点 L 点 DFT
用DFT计算线性卷积框图
实际上，如果两个序列的长度相差很大，例如 M>>N。如选取L=M+N-1，以L为运算区间进行快速 卷积，则要求对短序列补充很多零点，序列必须全部 输入后才能进行快速计算。因此要求存贮容量大，运 算时间长，并使处理延时很大，很难实时处理。 而且，在某些应用场合，序列长度不定或者认为是 无限长（如语音信号和地震信号等），在要求实时处 理时，不能直接套用上述方法。 解决问题的方法：是将长序列分段计算，这种分段 处理法有重叠相加法和重叠保留法两种。 这里介绍重叠相加法。
ˆ (k )] ，n = ˆi (n) yk (n kM )RL (n) IDFT[Y y i L
0,1,2,…,L－1；
(5) 计算：
ˆi 1 ( M n) y ˆ i ( n) ,0 n N 2 (重叠区相加) y y(iM n) ˆ i ( n) y , N 1 n M 1 (非重叠区不加)
此时取其主值序列显然满足yc(n)＝ yl(n) 。 由此：循环卷积等于线性卷积的条件是-----L N+M-1
线性卷积与循环卷积
如果取L＝N+M-1，则可用DFT(FFT)计算线性卷积，计算 框图如下图。其中DFT和IDFT通常用快速算法(FFT)来实现， 故常称其为快速卷积。
h (n ) 补 L－ N 个 零 点 L 点 DFT y(n )
其中：L≥max［N, M］
yc ( n ) h( m ) x ( n m qL) RL (n )
m 0 q
N 1
x((n)) L
源自文库q
x(n qL),
q
m 0
N 1
h( m ) x ( n m qL) RL (n )
用DFT计算循环卷积
X 1 (k ) DFT [ x1 (n)] X 2 (k ) DFT [ x2 (n)]
则由时域循环卷积定理有：
Y(k)=DFT［y(n)］=X1(k)X2(k),
0≤k≤L-1
由此可见，循环卷积既可在时域直接计算，也可以 按照上图所示的计算框图在频域计算。 由于DFT具有快速算法（FFT），当N很大时，在频 域计算的速度快得多，因而常用DFT(FFT)计算循环卷积。
N x0 (n ) M y0 (n ) N ＋ M－ 1
N－ 1
每一分段卷积yk(n)的长度 为N+M-1，因此yk(n)与yk+1(n) 有 N-1个点重叠，必须把重叠的部 分相加，才能得到完整的卷积序 列y(n)。 由图可以看出，当第二个分段卷 积y1(n)计算完后，叠加重叠点便 可得输出序列y(n)的前2M个值， 同样，分段卷积yi(n) 计算完后， 就可得到y(n)第 i 段的M个序列值。
0
x1 (n ) M
x2 (n ) M
n
n
y1 (n ) N ＋ M－ 1 y2 (n ) N ＋ M－ 1 y(n )＝ y0 (n )＋y1 (n )＋y2 (n )＋ … 2M 3M＋ N－ 1 M
n
n
n
重叠相加法卷积示意图
用DFT计算分段卷积yk(n)的方法如下：
(1) i=0；L=N＋M－1；计算并保存H(k)=DFT［h(n)］L;
yc(n)等于yl(n)以L 为周期的周期延 拓的主值序列。
对照式(1)可以看出， 上式中:
m 0
N 1
h(m) x(n qL M ) yl (n qL) yc ( n )
q
yl (n qL) RL (n )
yl(n)的长度为N+M-1，因此只有当循环卷积长度L N+M-1时， yl(n) 以L为周期进行周期延拓时才无混叠现象。
(6) i =i＋1，返回(2)。
应当说明，一般x(n)是因果序列，假设初始 条件y－1(n)=0。
2 用DFT对信号进行谱分析
信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。 DFT 是一种时域和频域均离散化的变换，适 合数值运算，是分析离散信号和系统的有力工具。
1. 用DFT对连续信号进行谱分析
连续信号xa(t)，其频谱函数Xa(jΩ)也是连续函数。
(2) 读入xk(n)=x(n)RM(n－kM)，构造变换区间［0，L－1］
ˆk (n) xk (n kM )RM (n) ，实际中就是将x (n)的 上的序列 x i
ˆ (k ) DFT[ x ˆi (n)]L ; M个值存放在长度为M的数组中, 并计算 X i
(3) (4)
ˆ (k ) H (k ) X ˆ (k ) Y i i
设序列h(n)长度为N， x(n)为无限长序列。 将x(n)均 匀分段， 每段长度取M， 则：
x(n ) xk (n )
i 0
xk (n ) x(n ) RM (n kM )
于是， h(n)与x(n)的线性卷积可表示为： yk ( n ) h ( n ) x ( n )
在实际应用中，需要计算两个序列的线性卷积，为了 提高运算速度，希望用DFT(FFT)计算线性卷积。 而DFT只能直接用来计算循环卷积，为此须知线性卷 积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的 条件。 设 h(n) 和 x(n) 都是有限长序列，长度分别是 N 和 M 。 它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：
- 离散傅里叶变换的推导与定义 - 离散傅里叶变换的基本性质
- 频率域采样 - 离散傅里叶变换的应用举例
DFT 的 快 速 算 法 ----FFT 的 出 现， 使DFT在数字通信、 信号处 理、 数值分析等各个领域都得到广 泛应用。
1 用DFT计算线性卷积
如果
y(n) 0≤k≤L-1
h ( n ) xk ( n ) 该式说明，计算h(n) k 0 与x(n)的线性卷积时， 可先进行分段线性 h ( n ) xk ( n ) k 0 卷积yk(n) ，然后把 分段卷积结果叠加 yk ( n ) 起来即可。
k 0
其中：
h (n ) 0 n
L点 IDFT x(n ) 补 L－ M 个 零 点 L 点 DFT
用DFT计算线性卷积框图
实际上，如果两个序列的长度相差很大，例如 M>>N。如选取L=M+N-1，以L为运算区间进行快速 卷积，则要求对短序列补充很多零点，序列必须全部 输入后才能进行快速计算。因此要求存贮容量大，运 算时间长，并使处理延时很大，很难实时处理。 而且，在某些应用场合，序列长度不定或者认为是 无限长（如语音信号和地震信号等），在要求实时处 理时，不能直接套用上述方法。 解决问题的方法：是将长序列分段计算，这种分段 处理法有重叠相加法和重叠保留法两种。 这里介绍重叠相加法。
ˆ (k )] ，n = ˆi (n) yk (n kM )RL (n) IDFT[Y y i L
0,1,2,…,L－1；
(5) 计算：
ˆi 1 ( M n) y ˆ i ( n) ,0 n N 2 (重叠区相加) y y(iM n) ˆ i ( n) y , N 1 n M 1 (非重叠区不加)
此时取其主值序列显然满足yc(n)＝ yl(n) 。 由此：循环卷积等于线性卷积的条件是-----L N+M-1
线性卷积与循环卷积
如果取L＝N+M-1，则可用DFT(FFT)计算线性卷积，计算 框图如下图。其中DFT和IDFT通常用快速算法(FFT)来实现， 故常称其为快速卷积。
h (n ) 补 L－ N 个 零 点 L 点 DFT y(n )
其中：L≥max［N, M］
yc ( n ) h( m ) x ( n m qL) RL (n )
m 0 q
N 1
x((n)) L
源自文库q
x(n qL),
q
m 0
N 1
h( m ) x ( n m qL) RL (n )
用DFT计算循环卷积
X 1 (k ) DFT [ x1 (n)] X 2 (k ) DFT [ x2 (n)]
则由时域循环卷积定理有：
Y(k)=DFT［y(n)］=X1(k)X2(k),
0≤k≤L-1
由此可见，循环卷积既可在时域直接计算，也可以 按照上图所示的计算框图在频域计算。 由于DFT具有快速算法（FFT），当N很大时，在频 域计算的速度快得多，因而常用DFT(FFT)计算循环卷积。
N x0 (n ) M y0 (n ) N ＋ M－ 1
N－ 1
每一分段卷积yk(n)的长度 为N+M-1，因此yk(n)与yk+1(n) 有 N-1个点重叠，必须把重叠的部 分相加，才能得到完整的卷积序 列y(n)。 由图可以看出，当第二个分段卷 积y1(n)计算完后，叠加重叠点便 可得输出序列y(n)的前2M个值， 同样，分段卷积yi(n) 计算完后， 就可得到y(n)第 i 段的M个序列值。
0
x1 (n ) M
x2 (n ) M
n
n
y1 (n ) N ＋ M－ 1 y2 (n ) N ＋ M－ 1 y(n )＝ y0 (n )＋y1 (n )＋y2 (n )＋ … 2M 3M＋ N－ 1 M
n
n
n
重叠相加法卷积示意图
用DFT计算分段卷积yk(n)的方法如下：
(1) i=0；L=N＋M－1；计算并保存H(k)=DFT［h(n)］L;
yc(n)等于yl(n)以L 为周期的周期延 拓的主值序列。
对照式(1)可以看出， 上式中:
m 0
N 1
h(m) x(n qL M ) yl (n qL) yc ( n )
q
yl (n qL) RL (n )
yl(n)的长度为N+M-1，因此只有当循环卷积长度L N+M-1时， yl(n) 以L为周期进行周期延拓时才无混叠现象。
(6) i =i＋1，返回(2)。
应当说明，一般x(n)是因果序列，假设初始 条件y－1(n)=0。
2 用DFT对信号进行谱分析
信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。 DFT 是一种时域和频域均离散化的变换，适 合数值运算，是分析离散信号和系统的有力工具。
1. 用DFT对连续信号进行谱分析
连续信号xa(t)，其频谱函数Xa(jΩ)也是连续函数。
(2) 读入xk(n)=x(n)RM(n－kM)，构造变换区间［0，L－1］
ˆk (n) xk (n kM )RM (n) ，实际中就是将x (n)的 上的序列 x i
ˆ (k ) DFT[ x ˆi (n)]L ; M个值存放在长度为M的数组中, 并计算 X i
(3) (4)
ˆ (k ) H (k ) X ˆ (k ) Y i i
设序列h(n)长度为N， x(n)为无限长序列。 将x(n)均 匀分段， 每段长度取M， 则：
x(n ) xk (n )
i 0
xk (n ) x(n ) RM (n kM )
于是， h(n)与x(n)的线性卷积可表示为： yk ( n ) h ( n ) x ( n )
在实际应用中，需要计算两个序列的线性卷积，为了 提高运算速度，希望用DFT(FFT)计算线性卷积。 而DFT只能直接用来计算循环卷积，为此须知线性卷 积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的 条件。 设 h(n) 和 x(n) 都是有限长序列，长度分别是 N 和 M 。 它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：