八年级上学期数学竞赛试题(含答案)

26.（本题12分）阅读材料：
分解因式：
解：原式＝
＝
＝
＝
＝
此种方法抓住了二次项和一次项的特点,然后加一项,使这三项成为完全平方式,我们把这种分解因式的方法叫配方法.请仔细体会配方法的特点,然后尝试用配方法解决下列问题：
（1）分解因式： ；
（2）无论 取何值,代数式 总有一个最小值,请你尝试用配方法求出它的最小值.
∵ ＝ ,∴ ,………………………………………………7分
,得 ．……………………………………………………………………9分
24．(12分)解:(1)由图可知, , ；…………………………4分
（2）由（1）可知,关于直线 对称的点 ；……………………………………7分
（3）作出点E关于直线 对称点F,连接FD,则QF＝QE,故EQ＋QD＝FQ＋QD＝FD.
∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°,
∴△DEF仍为等腰直角三角形.…………………………………………………11分
26.（本题12分）解：（1） …………1分
………………………………3分
；………………………………6分
（2） …………………………7分
,………………………………8分
∴△DEF为等腰直角三角形 …………………………… 5分
（2）若E,F分别是AB,CA延长线上的点,如图所示．连结AD
∵AB＝AC,∠BAC＝90°, D为BC的中点,∴AD＝BD,AD⊥BC
∴∠DAC＝∠ABD＝45°,∴∠DAF＝∠DBE＝135°,
又AF＝BE,∴△DAF≌△DBE（SAS）,∴FD＝ED,∠FDA＝∠EDB,
3．下列运算错误的是
A． B．
C． D．
4. 一个正多边形的外角与它相邻的内角之比为1：4,那么这个多边形的边数为
A．8B．9C．10D．12
5.计算 的正确结果是
A. B. C. D.
6．下列各式由左边到右边的变形中,是分解因式的为
A． B．
C． D．
7. 若 ,则 的值分别是
A. B. C. D.
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2,（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3,那么
展开式中前四项系数分别为
A．1,5,6,8B．1,5,6,10
C．1,6,15,18D．1,6,15,20
二、填空题：（每题3分,共15分）答案直接填在题中横线上.
15. 计算： .
16. 分解因式： ___________．
A．49B．169C． D．
12.对于任何整数 ,多项式 都能
A.被9整除 B.被 整除
C.被 整除 D.被 整除
13.如图,在直角 中, , , 的垂直平分线交 于点 ,交 于点 ,若 , ,则△DBE的周长为
A． B．
C． D．
14. 如图为杨辉三角系数表,它的作用是指导读者按规律写出形如
（其中 为正整数）展开式的系数,例如：（a＋b）＝a＋b,
∴△ABC≌△DEB,……………………………………………2分
∴∠ACB=∠EBD,…………………………………………………3分
∵∠AFB是△BFC的外角,∴∠AFB=∠ACB+∠EBD,
∴∠AFB=2∠ACB,即∠ACB = ∠AFB.…………………………………………………6分
21.（本题共7分）解：原式＝ ＝ …………………………… 5 分
八年级上学期数学竞赛试题（含答案）
题号
一
二
三
四
五
得分
得分
一、选择题（每题3分,共42分）将唯一正确答案的代号字母填在下面的表格内：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称的图形有
2．已知三角形两边长分别为3和5,则第三边 的取值范围是
A． B． C． D．
∵ ,∴ ,…………………………11分
即代数式 的最小值为 .…………………………………12分
（备注：在解答题中,考生若用其它解法,应参照本评分标准给分）
八年级数学试题参考答案及评分建议
一、选择题：（每题3分,共42分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
A
D
D
C
D
C
B
D
A
A
A
C
D
D
二、填空题：（每题3分,共15分）
15. 16. 17． 18. 18 19.①②④
三、解答题（共63分）
20. （本题共6分）证明：∵AC＝BD,AB＝ED,BC＝BE,
……………………………………………………12分
25. （11分）证明：（1）连结AD,
∵ ,∠BAC＝90°, 为BC的中点,∴AD⊥ BC,BD＝AD,∴∠B＝∠DAC＝45°
又BE＝AF,∴△BDE≌△ADF （SAS）
∴ED＝FD ,∠BDE＝∠ADF
∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90°
五、相信自己,加油呀！（本大题共2小题,共23分）
25. （11分） 已知：△ABC中,∠A＝90°,AB＝AC,D为BC的中点.
（1）如图1,E,F分别是AB,AC上的点,且BE＝AF,求证：△DEF为等腰直角三角形．
（2）如图2,若E,F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE＝AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形？如果是,请写出证明过程；如果不是,请说明理由．
17．若分式 的值为0,则 的值为．
18.如图,在△ABC中,AB＝6,BC＝8,∠B＝60°,将△ABC
沿射线BC的方向平移2个单位后,得到△ ,连
接 ,则△ 的周长为________.
19. 新定义一种运算： ,下面给出关于这种运算的几个结论：
① ；② ；③若 ,则 一定为0；④若 ,那么 .其中正确结论的序号是．
∴∠DEF＝180°－（∠BED＋∠CEF）
＝180°－ ＝ ……………………………4分
又∵ ,∴ ,故∠DEF＝ .………6分
23.（本题共9分）解：能．……………………………………………………………1分
假设存在实数 ,因为 = ,………………3分
将 代入,原式＝ = ,………………………………5分
当 时,原式＝16＋64＝80. ……………………………… 7 分
22．（本题共6分）解：不妨设∠B＝ ,∠C＝ ,则在△BDE中,∵BD＝BE,∴∠BED＝ （180°－ ）,同理在在△CEF中,∵CE＝CF,∴∠CEF＝ （180°－ ）,………………2分
因为∠BED＋∠DEF＋∠CEF＝180°,
、 ；
归纳与发现：
（2）合图形观察以上三组点的坐标,你会发
现：坐标平面内任一点 关于第一、
三象限的角平分线 的对称点 的坐标
为（不必证明）；
运用与拓广：
（3）已知两点D(1,-2)、E(-1,-3),试在直线 上确定一点Q,使点Q到D、E两点的距离之和最小．（要有必要的画图说明,并保留作图痕迹）
24.（本题共9分）设 ,是否存在实数k,使得代数式 能化简为 ？若能,请求出所有满足条件的 的值；若不能,请说明理由．
8.下列分式运算中正确的是
A. B.
C. D.
9．如图,∠1＝∠2,要证明△ABC≌△ADE,还需补充的条件是
A. AB＝AD,AC＝AE
B. AB＝AD,BC＝DE
C. AC＝AE,BC＝DE
D. 以上都不对
10．在平面直角坐标系中,已知点 与点 关于 轴对称,那么 的值为
A． B． C． D．
11.如果 是一个完全平方式,那么常数 的值可以是
三、开动脑筋,你一定能做对！（本大题共3小题,共19分）
20. （本题共6分）如图,在△ABC和△BDE中,点C在边BD上,边AC交边BE于点F,若AC＝BD,AB＝ED,BC＝BE,求证：∠ACB = ∠AFB．
21.（本题共7分）先化简再求值：已知 , ,求代数式 的值,其中 , .
22．（本题共6分）如图所示, 中, ,点D,E,F分别在线段AB、BC、AC上,且BD＝BE,CE＝CF,求 的度数.
四、认真思考,你一定能成功！（本大题共2小题,共21分）
23．(12分)如图,在平面直角坐标系中,直线 是第一、三象限的角平分线．
实验与探究：
（1）由图观察易知A（0,4）关于直线 的对
称点 的坐标为（4,0）,请在图中分别
标明B(5,2) 、C(-2,3) 关于直线 的对称
点 、 的位置,并写出他们的坐标: