结构的超静定次数.
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第七章 :力
§7-1
§7-2
法
结构的超静定次数
力法基本概念
§7-3
§7-4
力法典型方程
力法计算示例
§7-5
§7-6
超静定结构的位移和力法结果校核
力法的对称性利用
§7-1
结构的超静定次数
结构的超静定次数＝结构的多余约束数
结构超静定次数的判定方法（拆除约束法）
一般从约束数少的约束开始拆（截断），直到使结构成为一个无多 余约束的几何不变体系（静定结构）为止。
§7- 4
力法计算示例
例7-4-1 用力法计算图示刚架，并作M图。
基本体系 解：１）确定力法基本未知量和基本体系 力法方程： d11x1+ d12x2+ D1P=0 d21x1+ d22x2+ D2P=0 ２）作M1、M2、MP图
M1
基本体系
MP
３）计算系数、自由项 d11=5l/12EI d22=3l/4EI d12=d21 =0 D1P= FPl2/32EI D2P = 0 ４）代入力法方程，求多余力x1、x2 （5l/12EI）x1 + FPl2/32EI =0 x1 = -3FPl/40 ( 3l/4EI )x2= 0 x2= 0 ５）叠加作M图 MAC=x1M1+x2M2+MP= (-3FPl/40)/2= -3FPl/80 (右侧受拉）
例7-1-1 用力法计算图示梁，并作M图。 解：１）确定力法基本未知量、基本体系 ２）力法方程 d11x1+ D1P =0
３）作M1、MP图，计算d11、 D1P d11= l/3EI D1P =ql3/24EI ４）代入力法方程，求x1 x1 = - D1P /d11 = -ql2/8 ５）作M图 x1
１）去掉一根支座链杆或截断一根桁架杆，相当拆除１个约束；
２）去掉一个固定铰支座或切开一个单铰，相当拆除２个约束； ３）去掉一个固定支座或切开一根梁式杆，相当拆除３个约束；
４）在一根梁式杆上加一个单铰，相当拆除１个约束。
x3
x1 x1
x2
x2
例7-1-1 判断图示结构的超静定次数。
x7
x7 x1
M1图
MP图
§7- 3
力法典型方程
力法典型方程，指可用于多次（有限ｎ次）超静定结构的力法一般方程。 一、两次超静定结构的力法方程 两次超静定刚架在荷载及支座移动作用下原结构和力法基本体系。
基本体系与原结构位移一致条件： D1= 0 D2= -DB
D1= 0 D11+D12+D1P+D1D=0 D2= -DB D21+D22+D2P+D2D= - DB 因为： Dij=dij xj 所以： d11x1+ d12x2+ D1P + D1D =0 d21x1+ d22x2+ D2P + D2D = - DB
x2
x3
x4
x3
x1 x2
x5
x6
x4
x5 x7
x6
§7-2
力法基本概念
一、力法基本思路 有多余约束是超静定与静定的根本区别，因此，解决多余约束中的 多余约束力是解超静定的关键。
D1=0 D11=d11x1
D11 + D1P =0 d11x1+ D1P =0
1、力法基本未知量 结构的多余约束中产生的多余未知力（简称多余力）。 2、力法基本体系 力法基本结构，是原结构拆除多余约束后得到的静定结构；力法基 本体系，是原结构拆除多余约束后得到的基本结构在荷载（原有各种 因素）和多余力共同作用的体系。 3、力法基本方程 力法基本体系在多余力位置及方向与原结构位移一致的条件。 方程中的系数和自由项均是静定结构的位移计算问题，显然，超静 定转化为静定问题。
(a)
d11x1+ d12x2+ D1P + D1D =0
d21x1+ d22x2+ D2P + D2D = - DB
Βιβλιοθήκη Baidu有支座移动因素时，力法方程的右边项可能不为零。
(a)
该式为两次超静定结构在荷载和支座位移共同作用下的力法方程。
根据位移互等定理，有：d12=d21
二、力法典型方程 n次超静定结构的力法方程： d11x1+ d12x2+…d1ixi+ d1jxj+… d1nxn+ D1P + D1D= D1 d21x1+ d22x2+…d2ixi+ d2jxj+… d2nxn+ D2P + D2D= D2 … … di1x1+ di2x2 +…diixi + dijxj+ …dinxn + DiP + DiD = Di dj1x1+ dj2x2 +…djixi + djjxj+… djnxn + DjP + DjD = Dj … … dn1x1+dn2x2+…dnixi+ dnjxj+… dnnxn+ DnP + DnD= Dn 系数、自由项的物理意义： dii —基本结构在xi= 1作用下，沿xi 方向的位移； dij —基本结构在xj= 1作用下，沿xi 方向的位移； DiP —基本结构在荷载作用下，沿xi 方向的位移； DiD —基本结构在支座移动下，沿xi 方向的位移； Di —基本结构沿xi 方向的总位移＝原结构在xi 方向上的实际位 移。
F=
d11 d12 …d1i d1j …d1n d21 d22…d2i d2j …d2n … … di1 di2 …dii dij …din dj1 dj2 …dji djj …djn … … dn1 dn2 …dni dnj …dnn
力法方程的系数矩阵是一个对称方阵。由其物理意义可知： 主系数 dii恒大于零，位于方阵左上角到右下角的主对角线上； 副系数 dij 可大于、等于、小于零，位于主对角线两侧对称位 置上； 由于dii = dij ，独立的系数为 [n+(n2-n)/2] 个。
说明：力法计算刚架时，力法方程中 系数和自由 项只考虑弯曲变形的影 响： dii = ∑∫l (Mi2 /EI)ds dij = ∑∫l (MiM j /EI)ds DiP= ∑∫l (Mi MP /EI)ds
例7-4-2
计算图示桁架的内力，各杆EＡ=常数。
解：１）力法基本体系，基本方程：d11x1+ D1P
=0 ２）计算Fni、FNP及d11、D1P d11 = ∑FN12 l/EA =4a(1+√2)/EA D1P = ∑FN1 FNPl/EA =2FPa(1+√2)/EA
3)代入力法方程中，求解x1 x1 = - D1P /d11 = -FP/2 4) 叠加计算个杆轴力 FN21=FN1x1+FNP=-√2FP/2 FN02=FP/2
§7-1
§7-2
法
结构的超静定次数
力法基本概念
§7-3
§7-4
力法典型方程
力法计算示例
§7-5
§7-6
超静定结构的位移和力法结果校核
力法的对称性利用
§7-1
结构的超静定次数
结构的超静定次数＝结构的多余约束数
结构超静定次数的判定方法（拆除约束法）
一般从约束数少的约束开始拆（截断），直到使结构成为一个无多 余约束的几何不变体系（静定结构）为止。
§7- 4
力法计算示例
例7-4-1 用力法计算图示刚架，并作M图。
基本体系 解：１）确定力法基本未知量和基本体系 力法方程： d11x1+ d12x2+ D1P=0 d21x1+ d22x2+ D2P=0 ２）作M1、M2、MP图
M1
基本体系
MP
３）计算系数、自由项 d11=5l/12EI d22=3l/4EI d12=d21 =0 D1P= FPl2/32EI D2P = 0 ４）代入力法方程，求多余力x1、x2 （5l/12EI）x1 + FPl2/32EI =0 x1 = -3FPl/40 ( 3l/4EI )x2= 0 x2= 0 ５）叠加作M图 MAC=x1M1+x2M2+MP= (-3FPl/40)/2= -3FPl/80 (右侧受拉）
例7-1-1 用力法计算图示梁，并作M图。 解：１）确定力法基本未知量、基本体系 ２）力法方程 d11x1+ D1P =0
３）作M1、MP图，计算d11、 D1P d11= l/3EI D1P =ql3/24EI ４）代入力法方程，求x1 x1 = - D1P /d11 = -ql2/8 ５）作M图 x1
１）去掉一根支座链杆或截断一根桁架杆，相当拆除１个约束；
２）去掉一个固定铰支座或切开一个单铰，相当拆除２个约束； ３）去掉一个固定支座或切开一根梁式杆，相当拆除３个约束；
４）在一根梁式杆上加一个单铰，相当拆除１个约束。
x3
x1 x1
x2
x2
例7-1-1 判断图示结构的超静定次数。
x7
x7 x1
M1图
MP图
§7- 3
力法典型方程
力法典型方程，指可用于多次（有限ｎ次）超静定结构的力法一般方程。 一、两次超静定结构的力法方程 两次超静定刚架在荷载及支座移动作用下原结构和力法基本体系。
基本体系与原结构位移一致条件： D1= 0 D2= -DB
D1= 0 D11+D12+D1P+D1D=0 D2= -DB D21+D22+D2P+D2D= - DB 因为： Dij=dij xj 所以： d11x1+ d12x2+ D1P + D1D =0 d21x1+ d22x2+ D2P + D2D = - DB
x2
x3
x4
x3
x1 x2
x5
x6
x4
x5 x7
x6
§7-2
力法基本概念
一、力法基本思路 有多余约束是超静定与静定的根本区别，因此，解决多余约束中的 多余约束力是解超静定的关键。
D1=0 D11=d11x1
D11 + D1P =0 d11x1+ D1P =0
1、力法基本未知量 结构的多余约束中产生的多余未知力（简称多余力）。 2、力法基本体系 力法基本结构，是原结构拆除多余约束后得到的静定结构；力法基 本体系，是原结构拆除多余约束后得到的基本结构在荷载（原有各种 因素）和多余力共同作用的体系。 3、力法基本方程 力法基本体系在多余力位置及方向与原结构位移一致的条件。 方程中的系数和自由项均是静定结构的位移计算问题，显然，超静 定转化为静定问题。
(a)
d11x1+ d12x2+ D1P + D1D =0
d21x1+ d22x2+ D2P + D2D = - DB
Βιβλιοθήκη Baidu有支座移动因素时，力法方程的右边项可能不为零。
(a)
该式为两次超静定结构在荷载和支座位移共同作用下的力法方程。
根据位移互等定理，有：d12=d21
二、力法典型方程 n次超静定结构的力法方程： d11x1+ d12x2+…d1ixi+ d1jxj+… d1nxn+ D1P + D1D= D1 d21x1+ d22x2+…d2ixi+ d2jxj+… d2nxn+ D2P + D2D= D2 … … di1x1+ di2x2 +…diixi + dijxj+ …dinxn + DiP + DiD = Di dj1x1+ dj2x2 +…djixi + djjxj+… djnxn + DjP + DjD = Dj … … dn1x1+dn2x2+…dnixi+ dnjxj+… dnnxn+ DnP + DnD= Dn 系数、自由项的物理意义： dii —基本结构在xi= 1作用下，沿xi 方向的位移； dij —基本结构在xj= 1作用下，沿xi 方向的位移； DiP —基本结构在荷载作用下，沿xi 方向的位移； DiD —基本结构在支座移动下，沿xi 方向的位移； Di —基本结构沿xi 方向的总位移＝原结构在xi 方向上的实际位 移。
F=
d11 d12 …d1i d1j …d1n d21 d22…d2i d2j …d2n … … di1 di2 …dii dij …din dj1 dj2 …dji djj …djn … … dn1 dn2 …dni dnj …dnn
力法方程的系数矩阵是一个对称方阵。由其物理意义可知： 主系数 dii恒大于零，位于方阵左上角到右下角的主对角线上； 副系数 dij 可大于、等于、小于零，位于主对角线两侧对称位 置上； 由于dii = dij ，独立的系数为 [n+(n2-n)/2] 个。
说明：力法计算刚架时，力法方程中 系数和自由 项只考虑弯曲变形的影 响： dii = ∑∫l (Mi2 /EI)ds dij = ∑∫l (MiM j /EI)ds DiP= ∑∫l (Mi MP /EI)ds
例7-4-2
计算图示桁架的内力，各杆EＡ=常数。
解：１）力法基本体系，基本方程：d11x1+ D1P
=0 ２）计算Fni、FNP及d11、D1P d11 = ∑FN12 l/EA =4a(1+√2)/EA D1P = ∑FN1 FNPl/EA =2FPa(1+√2)/EA
3)代入力法方程中，求解x1 x1 = - D1P /d11 = -FP/2 4) 叠加计算个杆轴力 FN21=FN1x1+FNP=-√2FP/2 FN02=FP/2