离散数学1-1
精品文档-离散数学(方世昌)-第1章
第1章 数理逻辑
例 1.1 - 1 下述都是命题: (1) 今天下雪; (2) 3+3=6; (3) 2 是偶数而 3 是奇数; (4) 陈涉起义那天，杭州下雨; (5) 较大的偶数都可表为两个质数之和。
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第1章 数理逻辑
以上命题中，(1)的真值取决于今天的天气; (2)和(3)是真; (4)已无法查明它的真值，但它是或真或假的， 故将它归属于 命题; (5)目前尚未确定其真假，但它是有真值的，应归属于 命题。
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第1章 数理逻辑
从以上分析，我们得出他必须既非说谎也不是讲真话。 这 样，断言“我正在说谎”事实上不能指定它的真假，所以不是命 题。 这种断言叫悖论。
若一个命题已不能分解成更简单的命题，则这个命题叫原子 命题或本原命题。 例1.1 - 1中(1)、(2)、(4)、(5)都是本原命 题，但(3)不是，因为它可写成“2 是偶数”和“3 是奇数”两 个命题。
译为P∧Q，但“林芬和林芳是姐妹”就不能翻释成两个命题的合
取，它是一个原子命题。
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第1章 数理逻辑
1.1.3 命题变元和命题公式 通常，如果P代表真值未指定的任意命题，我们就称P为命题
变元; 如果P代表一个真值已指定的命题，我们就称P为命题常元。 但由于在命题演算中并不关心具体命题的涵义，只关心其真假值， 因此，我们可以形式地定义它们。
以“真”、“假”为其变域的变元，称为命题变元; T和F称 为命题常元。
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第1章 数理逻辑
习惯上把含有命题变元的断言称为命题公式。 但这样描述 过于表面，它没能指出命题公式的结构。 因为不是由命题变元、 联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式，因此在计算 机科学中常用以下定义。
单个命题变元和命题常元叫原子公式。 由以下形成规则生 成的公式叫命题公式(简称公式):
离散数学.第1章
例4
设P：我们去看电影。Q：房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
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3. 析取“∨”（相容或）[讲解教材P3-5关于或]
4. 定义1.3
由命题P和Q利用“∨”组成的复合命题，称 为析取式复合命题，记作“P∨Q”（读作“P或Q”）。 当且仅当P和Q至少有一个取值为真时，P∨Q取值为真。
练习1-1
1. 判断下列语句哪些是命题，若是命题，则指出其真值。
（1） （2） 只有小孩才爱哭。 X+6=Y ( 是 假 ) ( 不是 ) (是 真) ( 不是 )
（3）
银是白的。
（4） 起来吧，我的朋友。 2． 将下列命题符号化
（1） 我看见的既不是小张也不是老李。 解 令P：我看见的是小张；Q：我看见的是老李。 则该命题可表示为¬ P∧¬ Q （2） 如果晚上做完了作业并且没有其它的事，他就会 看电视或听音乐。 解 令 P：他晚上做完了作业；Q：他晚上有其它的事； R：他看电视； S：他听音乐。 则该命题可表示为（P∧¬ Q）→（R∨S）
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1.3 等值演算
• 定义1.10 设A和B是两个命题公式, 若等价式A↔B 是重言式，则称公式A 和B等值，记为A B,称 AB为等 值式。
• 注意： （1）符号“”与“↔”的区别与联系 “”不是联结词，AB不表示一个公式， 它表示两个公式间的一种关系，即等值关系。 “↔”是联结词，A↔B是一个公式。 AB 当且仅当 A↔B 是永真公式。
1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1
1 1 0 1 0 0 0 1
离散数学第一章
离散数学第一章1.1命题及其表示法1.1.1 命题的概念数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。
1.1.2 命题的表示命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如A i，[10]，R等，例如A1：我是一名大学生。
A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大学生。
R：我是一名大学生。
1.2命题联结词1.2.1 否定联结词﹁PP P0 11 01.2.2 合取联结词∧P∧P Q Q0 0 00 1 01 0 01 1 11.2.3 析取联结词∨P∨P Q Q0 0 00 1 11 0 11 1 11.2.4 条件联结词→P Q Q0 0 10 1 11 0 01 1 11.2.5 双条件联结词?P?P Q Q0 0 10 1 01 0 01 1 11.2.6 与非联结词↑P↑P Q Q0 0 10 1 11 0 11 1 0性质：（1）P↑P?﹁（P∧P）?﹁P；（2）（P↑Q）↑（P↑Q）?﹁（P↑Q）? P∧Q；（3）（P↑P）↑（Q↑Q）?﹁P↑﹁Q? P∨Q。
1.2.7 或非联结词↓P↓P Q Q0 0 10 1 01 0 0性质：（1）P↓P?﹁（P∨Q）?﹁P；（2）（P↓Q）↓（P↓Q）?﹁（P↓Q）?P∨Q；（3）（P↓P）↓（Q↓Q）?﹁P↓﹁Q?﹁（﹁P∨﹁Q）?P∧Q。
1.3 命题公式、翻译与解释1.3.1 命题公式定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、P?Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。
例如，下面的符号串都是公式：（（（（﹁P）∧Q）→R）∨S）（（P→﹁Q）?（﹁R∧S））（﹁P∨Q）∧R以下符号串都不是公式：（（P∨Q）?（∧Q））（∧Q）1.3.2 命题的翻译可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的翻译。
离散数学第一章知识点
命题逻辑的基本概念命题与联结词命题：非真即假的陈述句。
真值：命题的陈述句所表达的判断结果，真值只取真或假两种情况。
假命题：真值为假的命题。
真命题：真值为真的命题。
简单命题（原子命题）：无法继续拆分的命题。
复合命题：多个原子命题通过联结词联结而成的命题。
悖论：自相矛盾的陈述句。
否定联结词：符号﹁（复合命题非p称作p的否定式，记作﹁p）合取联结词：符号∧（复合命题p且q称作p与q的合取式记作p∧q）析取联结词：符号∨（复合命题p或q称作p与q的析取式记作p∨q）蕴涵联结词：符号→（复合命题如果p，则q称为p与q的蕴涵式记作p→q，p为蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件）蕴涵联结词的使用及判定方法：使用：1：因为p所以q这类直抒胸臆的表达时可以直接看作：p→q2：只有p才q这类具有转折性的表达时可以直接看作：q→p判定：1：同假时为真2：后件为真前件为假时为真3：后件为真前件为真时为真其他情况皆为假等价联结词：符号↔（复合命题p当且仅当q称为p与q的等价式）等价联结词的判定：1：当p与q同时为真时为真2：当p与q同时为假时为假命题公式及其赋值命题常项（命题常元）：可以直接理解为原子命题或简单命题命题变项（命题变元）：真值可以变化的陈述句，因此命题变项不是命题合式公式：命题变项使用联结词组合成的符号串（可以当作命题用联结词组合成的复合命题）合式公式层数的判定：下面p和q都是公式或者命题常项1：当个命题变项为0层公式。
2：﹁p为1层公式3：p∧q为n+1层公式，n=max（p的层数，q的层数）4：p∨q为n+1层公式，n=max（p的层数，q的层数）5：p→q为n+1层公式，n=max（p的层数，q的层数）6：p↔q为n+1层公式，n=max（p的层数，q的层数）赋值（解释）：对公式中的命题变项指定一个真值，真值为1即该命题变项为成真赋值，真值为0即该命题变项为成假赋值。
重言式（永真式）：即该合式公式在任意赋值下取值都是真矛盾式（永假式）：即该合式公式在任意赋值下取值都是假可满足式：即至少存在一种赋值下取值为真故重言式必是可满足式，可满足式不一定是重言式，可满足式必不是矛盾式，矛盾式必不是可满足式。
离散数学文档1
（2）关系的性质和运算
（3）等价关系和集合的划分
（4）偏序关系
第1章关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.2二元关系及其表示
1.3关系的运算
1.4关系的性质
1.5关系的闭包
1.6等价关系与集合的划分
1.7相容关系
1.8偏序关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.1.1有序n元组
定义1.1由两个固定次序的个体x，y组成的序列称为序偶，
R◦S={<2，2>，<4，3>}。
如图所示：
1.3关系的运算
1.3.2关系的复合运算
（2）设R，S都是A上的关系，A={1，2，3，4}。
R={<1，2>，<1，3>，<3，4>}，S={<1，1>，<2，2>，<3，3>，
<4，4>}，即S为A上的恒等关系，则R◦S=S◦R=R。
如图所示：
定理1.3设A，B，C，D为四个非空集合，则A×BC×D的充
1.2.1二元关系的概念
定义1.6设IA为集合A上的二元关系，且满足IA={<x，x>xA}
，则称IA为集合A上的恒等关系。
1.2二元关系及其表示
1.2.2二元关系的表示
1．关系矩阵表示法
设给定集合A={a1，a2，…，an}，集合B={b1，b2，…，bm}，R为
从A到B的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。用集合A的元素标
A∪~B。
1.3集合的运算
1.3.4集合的对称差文氏图
定义1.10设A、B是两个集合，集合A和B的对称差记作A♁B，
它是一个集合，其元素或属于A，或属于B，但不能既属于A又
离散数学第一章
例2： “派小王或小李中的一人去开会” 不能符号化为形式P∨Q ，因为这里的“或”表示 的是排斥或。它表示非此即彼，不可兼得。 运算符 ∨表示可兼或，排斥或以后用另一符号表达。也可
以借助于联结词
或。
┒、∧ 、∨共同来表达这种排斥
课堂练习： 将下列命题符号化: (1) 王东梅学过日语或俄语。 (2) 张小燕生于1977年或1978年。 (3) 小元元只能拿一个苹果或一个梨。
常称为“非”运算，所有可能的运算结果可用下表
（真值表）表示。
P
┒P
T F
F T
例: (a) P: 3是偶数。
则┑P： 3不是偶数。
(b)
的”。 (c) (d)
Q: 4 是质数。
则┑Q： 4 不是质数。或 “说4 是质数是不对 R: 我们都是汉族人。 则┒R: 我们不都是汉族人。 S: 今天下雨并且今天下雪。 则 ┒S:今天不下雨或者今天不下雪。
Q：明天下雨
是两个命题，利用联结词“不”、“并且”、 “或” 等可分别构成新命题： “明天不下雪”； “明天下雪并且明天下雨”； “明天下雪或者明天下雨”等。
即 ： “非P”；
“P并且Q”；
“P或Q”等。 在代数式x+3 中， x 、 3 叫运算对象， +叫运 算符，x+3 表示运算结果。在命题演算中， 也用同样术语。 联结词就是命题演算中的运算符，叫逻辑运算符或叫命题联 结词。常用的命题联结主要有 5 个。
2.常用命题联结词 1）. 否定词┑ 定义：设P为任一命题。复合命题“非P”(或“P的 否定”)称为P的否定，记作 ┑P，读作“非P”。┒ 为否定联结词。┑P为真当且仅当P为假。 由定义可知， ┑P 的逻辑关系为P不成立，因而P
离散数学题型梳理-第1章
离散数学常考题型梳理第1章 集合及其运算一、题型分析本章主要介绍集合论的基本概念和结论，集合的运算及其性质，以及利用运算性质进行集合表达式的化简和集合恒等式的证明等内容．经常涉及到的题型有：1-1集合与集合之间的包含、元素与集合之间的属于关系1-2幂集的计算1-3集合之间的运算1-4利用集合运算性质证明集合恒等式因此，在本章学习过程中希望大家要清楚地知道：1．集合与集合之间存在一种包含关系，当两个集合A 和B 存在关系A 包含B ，用A ⊇B 表示，或存在关系B 被A 包含，用B ⊆A 表示，这时称B 为A 的子集．注意空集∅是任意一个集合的子集，集合A 也是自己的子集．当B ⊆A 且B ≠A ，也就是说，只有B ⊂A 或A ⊃B 成立，则称B 为A 的真子集．若B 不是A 的子集，即B ⊆A 不成立时，则称A 不包含B ，记作B ⊆A ．然而，元素与集合之间存在一种从属关系，当a 是集合A 中的元素，则称a 属于A ，记作a∈A ；若a 不是集合A 中的元素，则称a 不属于A ，记作a ∉A ．因此，这两种关系一定不要混淆．2．由集合A 的所有子集组成的集合，称为A 的幂集，记作P (A )或2A ．若集合A 是由n 个元素所组成的集合，则A 的幂集由2n 元素组成．当n =3时，A 的幂集由23=8个元素组成．例如，设集合A = {0, 1, 2 }，则A 的全部子集由以下子集组成：0元子集（即空集）：∅；1元子集：{0}，{1}，{2}；2元子集：{0, 1}，{0, 2}，{1, 2}；3元子集（即集合A ）：{0, 1, 2}．因此，计算集合A 的幂集时，首先要按照上述方法写出集合A 的全部子集，然后检验写出的子集个数是否等于2n 个，其中n 是集合A 的元素个数．3．集合之间的运算有并（⋃）、交（⋂）、差（-）、补（~）和对称差（⊕）等五种运算，在做集合运算的题目时，一定要按照它们的定义进行计算．(1) 集合A 和B 的并集A B x x A ⋃=∈{或 x B ∈} 特点：由集合A 和B 的所有元素组成的集合．见图1 图1 图2(2) 集合A 和B 的交集A B x x A ⋂=∈{ 且 x B ∈}特点：由集合A 和B 的公共元素组成的集合．见图2(3) 集合A 与B 的差集A B -=∈∉{}x x A x B 且 特点：由属于A ，而不属于B 的所有元素组成的集合．见图3(4) 集合A 的补集~A ={}x x E x A ∈∉且特点：由属于全集E 但不属于集合A 的元素组成的集合．见图4补集总相对于一个全集而言，可以看作是全集E 与集合A 的差集．(5) 集合A 与B 的对称差A ⊕B ＝(A －B )⋃(B －A )或 A ⊕B ＝(A ⋃B )－(A ⋂B )特点：由分别属于集合A 与B 的元素但不属于它们公共元素组成的集合．见图5(6) 把集合A ，B 合成集合A ×B 叫做笛卡儿积，规定A ×B ＝{<x , y >∣x ∈A 且y ∈B }注意：由于有序对<x , y >中x ，y 的位置是确定的，因此A ×B 的记法也是确定的，不能写成B ×A.．笛卡儿积的运算一般不能交换.．虽然，笛卡儿积的内容是第2章2.1.1目的内容，是二元关系的预备知识，但我们认为把它作为集合的一种运算考虑更好些。
离散数学课后习题答案(第一章)
1-1，1-2（1）指出下列哪些语句是命题，那些不是命题，如果是命题，指出它的真值。
a)离散数学是计算机科学系的一门必修课。
是命题，真值为T。
b)计算机有空吗？不是命题。
c)明天我去看电影。
是命题，真值要根据具体情况确定。
d)请勿随地吐痰。
不是命题。
e)不存在最大的质数。
是命题，真值为T。
f)如果我掌握了英语，法语，那么学习其他欧洲语言就容易多了。
是命题，真值为T。
g)9+5≤12.是命题，真值为F。
h)X=3.不是命题。
i)我们要努力学习。
不是命题。
（2）举例说明原子命题和复合命题。
原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）设P 表示命题“天下雪。
”Q 表示“我将去镇上。
”R 表示命题“我有时间。
”以符号形式写出下列命题a)如果天不下雪和我有时间，那么我将去镇上。
(┓P ∧R)→Q b)我将去镇上，仅当我有时间时。
Q→R c)天不下雪。
┓P d)天下雪，那么我不去镇上。
P→┓Q（4）用汉语写出一些句子，对应下列每一个命题。
a)()Q R P ∧¬�Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q ↔(R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)R Q∧R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c)()()Q R R Q →∧→Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5)将下列命题符号化。
a)王强身体很好，成绩也很好。
设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)小李一边看书，一边听音乐。
设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)气候很好或很热。
设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)如果a 和b 是偶数，则a b +是偶数。
设P：a 和b 是偶数。
Q：a+b 是偶数。
P→Qe)四边形ABCD 是平行四边形，当且仅当它的对边平行。
第一章 离散数学
定义1-9 设有集合A、B，所有属于B而不属于
A的元素组成的集合，称为A相对于B的补集， 记作B-A。即
B A u | u B但u A
用文氏图表示为：(图中斜线部分即是)
B
B-A
例：A＝{2,5,6} B={3,4,2} B－A＝{3,4} 则 A－B={5,6}
A
定义1-10 集合A相对于全集合U的补集称为A的
{ }
定理1－2：设A是具有基数＃A的有限集，则＃(2A ) 2# A
分析：前面介绍了，A的子集是A的一部分，那么由 i A中i个元素组成的子集有C n个，若A有n个元素，于 是有：
C n 0 C n1 ... C n n 1 C n n 2n
(证明略）
例3、确定集合A={a,{a}}的幂集
A不够成一个集合，因为没有确定老的标准，50岁 以上的老，还是60岁以上的老呢？这需要一个确定的标 准，根据这个标准来判断一个55岁的中国人是否属于这 个集。
总之，任一个个体，对某一个集合而言， 或属于该集合，或不属于该集合。两者 必 居其一，不可兼得。
又如：
A＝{b,c} 是一个集合，但它是集合B 的元素，其中B={a,{b,c}}; A={b,c}是以一个整体作为B的元素。 另外，要将b，与{b} 区分开来,b∈{b}； b是一个个体，{b}是一个单元素的集合。
故 A C（由定义1－2）
综合（1）、（2）即知原结论成立。
1.3
一、幂集的定义
幂集
定义1－5：任给集合A，由A的所有子集组成的集合， 称为A的幂集。记作2A，即2A＝{s|s A}。 例1 A={1,2,3}
则 2A {,{1},{2},{3},{1, 2},{1,3},{2,3},{1, 2,3}} 例2 （1） A={a}
离散数学命题逻辑 第一章(1)
我现在年纪大了，搞了这么多年软件，错误 不知犯了多少，现在觉悟了。我想，假如我早在 数理逻辑上好好下点功夫的话，我就不会犯这么 多错误。不少东西逻辑学家早就说过了，可是我 不知道。要是我能年轻20岁的话，我就会回去学 逻辑。
E.W.Dijkstra
先看著名物理学家爱因斯坦出过的一道题： 一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两人 前来应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把两个人带进一间 漆黑的屋子里，他打开灯后说：“这张桌子上有五顶帽子，两顶是 红色的，三顶是黑色的，现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位置 弄乱，然后我们三个人每人摸一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后， 请你们尽快说出自己头上戴的帽子是什么颜色的。”说完后，商人 将电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下 的两顶帽子藏了起来，接着把灯打开。这时，那两个应试者看到商 人头上戴的是一顶红帽子，其中一个人便喊道：“我戴的是黑帽 子。” 请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？
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2、命题满足的条件
命题的语句形式：陈述句 非命题语句：疑问句、命令句、感叹句、非命题陈述句 (悖论语句) 命题所表述的内容可决定是真还是假，不能不真又不假， 也不能又真又假。
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3、举例
• • • • • • • • • 北京是中国的首都。 土星上有生物。 ３＋２≥9。 1+101=110 请关门！ 你要出去吗？ 如果天气好，那么我去散步。 x＝ 2。 我正在撒谎。
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第一章 命题逻辑
研究以命题为基本单位构成的前提和结论之间的 可推导关系。
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第一章 命题逻辑
1
命题及其表示方法 联结词
离散数学要点
1.1 命题1-1-1 命题命题是一个能表达判断并具有确定真值的陈述句。
1-1-2 真值作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值。
真值只有真和假两种，通常记为T和F。
真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。
真命题表达的判断正确，假命题表达的判断错误。
任何命题的真值都是唯一的。
1-1-3 命题变项用命题标识符（大写字母）来表示任意命题时，该命题标识符称为命题变项。
1-1-4 简单命题无法继续分解的简单陈述句称为简单命题或原子命题。
(不包含任何与、或、非一类联结词的命题)1-1-5 复合命题由一个或几个简单命题通过联结词复合所构成的新的命题，称为复合命题，也称分子命题。
1.2 命题联结词及真值表1-2-1 命题联结词命题联结词可将命题联结起来构成复杂的命题，是由已有命题定义新命题的基本方法。
命题联结词又可分为一元命题联结词、二元命题联结词和多元命题联结词。
常用的命题联结词包括否定词、合取词、析取词、蕴涵词和双条件词。
其它联结词还包括异或（不可兼或）、与非和或非等。
1-2-2 否定词否定词是一元命题联结词。
设P为一命题，P的否定是一个新的命题，记作P，读作非P。
若P为T，P为T；若P为F，P为T。
1-2-3 合取词合取词是二元命题联结词。
两个命题P和Q的合取构成一个新的命题，记作P∧Q。
读作P、Q的合取（或读作P与Q，P且Q）。
当且仅当P、Q 同时为T时，P∧Q为T。
否则，P∧Q的真值为F。
1-2-4 析取词析取词是二元命题联结词。
两个命题P和Q的析取构成一个新的命题，记作P∨Q。
读作P、Q的析取（也读作P或Q）。
当且仅当P、Q同时为F 时，P∨Q的真值为F。
否则，P∨Q的真值为T。
1-2-5 蕴涵词蕴涵词是二元命题联结词。
两个命题P和Q用蕴涵词“→”联结起来，构成一个新的命题，记作P→Q。
读作如果P则Q，或读作P蕴涵Q。
当且仅当P 的真值为T，Q的真值为F时，P→Q的真值为F，否则P∨Q的真值为T。
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第1 章命题逻辑逻辑是研究人的思维的科学，包括辩证逻辑和形式逻辑。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思维的形态的。
形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概念、判断和推理及其正确联系的规律。
数理逻辑是用数学方法研究推理的形式结构和推理的规律的数学学科。
所谓的数学方法也就是用一套有严格定义的符号，即建立一套形式语言来研究。
因此数理逻辑也称为符号逻辑。
数理逻辑的基础部分是命题逻辑和谓词逻辑。
本章主要讲述命题逻辑，谓词逻辑将在第2 章进行讨论。
1.1命题及其表示1.1.1命题的基本概念数理逻辑研究的中心问题是推理（Inference)，而推理就必然包含前提和结论，前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达判断的陈述句就成为推理的基本要素。
在数理逻辑中，将能够判断真假的陈述句称为命题。
因此命题就成为推理的基本单位。
在命题逻辑中，对命题的组成部分不再进一步细分。
定义1.1.1 能够判断真假的陈述句称为命题（Proposition）。
命题的判断结果称为命题的真值，常用T(True)（或1）表示真，F(False)（或0）表示假。
真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。
从上述的定义可知，判定一个句子是否为命题要分为两步：一是判定是否为陈述句，二是能否判定真假，二者缺一不可。
例1.1.1 判断下列句子是否为命题（1）北京是中国的首都。
（2）请勿吸烟！（3）雪是黑的。
（4）明天开会吗？（5）x+y=5。
（6）我正在说谎。
（7）9+5≤12 。
（8）1+101=110 。
（9）今天天气多好啊！（10）别的星球上有生物。
解在上述的十个句子中，（2）、（9）为祈使句，（4）为疑问句，（5）、（6）虽然是陈述句，但（5）没有确定的真值，其真假随x、y 取值的不同而有改变，（6）是悖论(Paradox)（即由真能推出假，由假也能推出真），因而（2）、（4）、（5）、（6）、（9）均不是命题。
离散数学(第二版) (1)
所示。
表1.1.4
第1章 命题逻辑
第1章 命题逻辑 5. 双条件联结词
定义1.1.6 如果 P和Q是命题， 那么“P当且仅当 Q” 是一个复合命题， 记做 P Q， 称为P和Q的双条件命题
表1.1.1
第1章 命题逻辑
第1章 命题逻辑
2. 合取联结词
定义1.1.3 如果 P和Q是命题， 那么“P并且Q”是一个 复合命题， 记做P∧Q， 称为P和Q 的合取(conjunction)。 符号∧用于表示合取联结词。 P∧Q 为T， 当且仅当P、 Q
均为T。 “∧”是一个二元运算符。 合取联结词∧的定义如表
第1章 命题逻辑
定义1.1.1 一个具有真或假但不能两者都是的断言称为 命题。
如果一个命题所表达的判断为真， 则称其真值(truth value)为“真”， 用大写字母T或数字1表示； 如果一个命题 所表达的判断为假， 则称其真值为“假”， 用大写字母F或 数字0表示。 为简便起见， 本书在构建真值表时一般用0表示 “假”， 用1表示“真”。
(biconditional proposition)。
词。 P Q为T， 当且仅当 P和Q 的真值相同。
1.1.5所示。
表1.1.5
第1章 命题逻辑
第1章 命题逻辑
1.2 命 题 公 式
1.2.1 命题公式及其符号化
定义1.2.1 用于代表取值为真(T、 1)或假(F、 0)之一 的变量， 称为命题变元， 通常用大写字母或带下标或上标的
大写字母表示， 如 P、 Q、 R、 P1、 P2等。 将T和F称为命
离散数学习题一 二参考答案
离散数学习题一二参考答案----a3039d74-7162-11ec-90d9-7cb59b590d7d离散数学习题一二参考答案离散数学练习1的参考答案第一节集合的基数1.证明两个可数集的并是可数的。
证明：设a，b是两可数集，a={a1,a2,a3,,an,}，b={b1,b2,b3,,bn,}⎧ab→n⎧f:⎧ai2i-1，f是一一对应关系，所以|a∪b|=|n|=ℵ0。
⎧b2jj⎧2．证明有限可数集的并是可数集证明：设A1，A2和a3ak是有限可数集，AI=（Ai1，AI2，ai3，ain，），I=1，2，3，Kk⎧k⎧a=ai→n，f是一一对应关系，所以|a|=|ai|=|n|=ℵ0。
f:⎧i=1i=1⎧aijj（k-1）+i⎧3.证明可数个可数集的并是可数集。
证明：设A1，A2和a3ak为无限可数集，AI=（Ai1，AI2，ai3，ain，），I=1,2,3，∞⎧a=ai→n⎧⎧i=1f:⎧，1⎧aij(i+j-1)(i+j-2)+i⎧2⎧所以f是一对一的对应，所以|a |=|a |=|n |=ℵ. 我∞04.证明整系数多项式所构成的集合是可数集。
证明了具有整系数的n次多项式之和可以写成an={a0xn+a1xn-1++an-1x+an|ai∈z}那么整系数为a=an的多项式集；由于xk的系数ak是整数，那么所有xk的系数的全体所构成的集合是可数集，由习题2“有限个可数集的并是可数集”可得an是可数集，再又习题4“可数个可数集的并是可数集”得出整系数多项式所构成的集合a=an也是可数集。
5.证明不存在等于其真子集的有限集证明：设集合a是有限集，则|a|=n，若b是a的真子集，则|b|≤|a|=n，a-b≠φ，即|a-b|=|a|-|ab|＞0；又a=（a-b）∪b，（a-b）b=φ，所以，，就是|a|＞|b|，即得结论。
6.证明正有理数集是可数的，从而证明有理数集是可数的。
m证明：因为q+={|m,n∈n}，是正分数集，n∞ n+让AI={|n∈ n} ，I=1,2,3,4,m}，AI是可数集，q=AIII=1由可数集性质4“可数个可数集的并仍然是可数集”，所以正有理数集合是可数集。
离散数学第1章2019.2.17(终极版)
P：今天下雨， ¬P：今天不下雨。 Q：每一种生物均是动物。——F
¬Ｑ：有一些生物不是动物。——T 注：这里¬Ｑ不能讲成“每一种生物都不是动物” ——F. 即对量化命题的否定，除对动词进行否定外，同 时对量化词也要加以否定。
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2、合取词( ∧ )
定义：给定两个命题P、Q，则 P∧Q 称为 P 与 Q
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７、命题联结词小结：
(1)五个联结词的含义与日常生活中的联结词的含义大致
相同。 (2)“或”可分为可兼或（∨）和异或（▽）即不可兼或 (3) 除“”为一元运算外，其余四个均为二元运算。 (4) “→”分为形式条件和实质条件命题，当前件为“Ｆ”
时，不论后件怎样，则单条件命题的真值均为“Ｔ”。
12
二、命题联结词 在命题逻辑中有以下几种基本的联结词： ¬ 1、否定词( ¬ ) 定义：给定命题 P，则在Ｐ的前面加否定词 ¬， 变为命题 ¬P，称其为 P 的否定或非 P，记为： ¬P。 ¬P P 其定义可用如下真值表表示: 0 1
1
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0
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例如
（4）老王或小李中有一个去上海出差。 （5）只有一个角是直角的三角形才是直角三角形。
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解： （1）首先用字母表示简单命题。 P：李明是计算机系的学生。 Q：李明住在312室。 R：李明住在313室。 该命题符号化为：P （Q▽R） （2）张三和李四是朋友。是一个简单句 该命题符号化为：P
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（3）首先用字母表示简单命题。
离散数学第一章
第一部分数理逻辑先看著名物理学家爱因斯坦出过的一道题：一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两人前来应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把两个人带进一间漆黑的屋子里，他打开灯后说：“这张桌子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的，现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位置弄乱，然后我们三个人每人摸一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后，请你们尽快说出自己头上戴的帽子是什么颜色的。
”说完后，商人将电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下的两顶帽子藏了起来，接着把灯打开。
这时，那两个应试者看到商人头上戴的是一顶红帽子，其中一个人便喊道：“我戴的是黑帽子。
”请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？要回答这样的问题，实际上就是看由一些诸如“商人戴的是红帽子”这样的前提能否推出“猜出答案的应试者戴的是黑帽子”这样的结论来。
这又需要经历如下过程：(1) 什么是前提？有哪些前提？(2) 结论是什么？(3) 根据什么进行推理？(4) 怎么进行推理？下面的第一章，第二章回答第一个问题。
第三章回答第二、三个问题。
下图给出了逻辑部分的知识体系。
1.1 命题与联结词一、命题的概念引言中的例子就是要对“我戴的是黑帽子”进行判断。
这样的陈述句称为命题。
作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值，真值只取两个值：真或假。
真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。
真命题表达的判断正确，假命题表达的判断错误。
任何命题的真值都是唯一的。
判断给定句子是否为命题，应该分两步：首先判定它是否为陈述句，其次判断它是否有唯一的真值。
例1.1 判断下列句子是否为命题。
(1) 4是素数。
(2) 是无理数。
(3) x大于y。
(4) 月球上有冰。
(5) 2100年元旦是晴天。
(6) π大于吗？ (7) 请不要吸烟！ (8)这朵花真美丽啊！ (9) 我正在说假话。
解:本题的(9)个句子中，(6)是疑问句，(7)是祈使句，(8)是感叹句，因而这3个句子都不是命题。
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《离散数学》
第一章
命题逻辑基本概念
第一节
命题与联结词
4.
蕴
涵 →
给定p，q，“若p则q”也是一个命题，记为p→q，读作 “若p则q”，p称为蕴涵式的前件，q称为蕴涵式的后件。 规定：当p为1，q为0时，p→q才是假。 (p→q为假，当且仅当p为真且q为假 ) p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p → q 1 1 0 1
课时安排
授课 ：48 学时（1－12周每周二、周四）
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绪
言
绪
离散数学与计算机
言
蒸汽机的发明开辟了人类体力劳动的机械化和自动化的新时代。 计算机的发明开辟了人类脑力劳动的机械化和自动化的新纪元。
计算机的诞生，人们就要为它进一步发展创建新的理 论，就要寻找合适的数学工具。例：为了描述新开拓的应 用领域中的各种数据的结构，就需要适宜的数学工具。 离散数学是研究离散量的关系的数学分科。离散量即 有限的过程以及元素可以列举的集合。这和微积分相反， 微积分是研究连续量的，是关于无限的过程和实数区间 的，采用的主要方法是极限。 < >
注：自然语言中常用的联结词“或” 可以符号化为∨。 < >
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命题逻辑基本概念
第一节
命题与联结词
例:
p：灯泡有故障 q：开关有故障 p∨q：灯泡有故障或开关有故障
--- 可兼或
注： ∨是汉语中“或” 的翻译，但不能一概而论。∨是可兼或 小王是江苏人或是江西人。 选小王或小李中的一个当班长。 他昨天做了二十或三十道习题. --- 排斥或 --- 排斥或 --- 原子命题
P→Q的逻辑关系为Q是P的必要条件。 < >
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命题逻辑基本概念
第一节
命题与联结词
说明：自然语言中“如果…那么…” 可以符号化为→。还有： 只要p,就q; 因为p,所以q; p仅当q; 只有q才p; 除非q才p; 除非q,否则非p。 例: p：天不下雨 q：草木枯黄 p→q：天不下雨，则草木枯黄 例： 只要a能被4整除，则a一定能被2整除； a能被4整除，仅当a能被2整除； 除非a能被2整除，a才能被4整除； 除非a能被2整除，否则a不能被4整除； 只有a能被2整除，a才能被4整除； q: a能被2整除; < >
复合命题 定义： 把原子命题通过一些联结词构成的新命题. 例： (1) 10是一个整数。 (2) 如果天气好，那么我去散步。 < >
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命题逻辑基本概念
第一节
命题与联结词
二、联结词：
1. 否 定 ┐
设p是一个命题，p的否定(非p)是一个新的命题, 记为 ┐p。 规定：┐p为真，当且仅当p为假。 例： p： 今天是一个好天。 ┐p：今天不是一个好天。 例： p：这些都是男同学 。 ┐p：这些不都是男同学 。
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绪
言
离散数学由来已久，近年来，随着计算机重要性的提 高，离散数学得到了快速发展。 数字计算机是一种复杂的，但本质上是有 限的机器，在任意给定的时刻，都可以用一个 很长但有限的0和1的序列来描述它，这个序列对应于其电 子元件的内部状态，它的许多性质可以在有限数学系统的 框架中来理解。 因此，数字计算机软硬件结构决定了它仅适用于处理 离散型信息（离散量）的存储与计算，从而使离散数学成 为计算机科学与技术的基本数学工具。并且，随着计算机 技术的发展，其作用显得更加重要。 <
p: a能被4整除;
上五命题都可表符号化为p→q
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命题逻辑基本概念
第一节
命题与联结词
例:
p： 月亮下山 q： 3+3=6 p→q： 若月亮下山,则3+3=6 （并没有实质蕴含关系，仍承认）
注：
1. 在自然语言中，“如果p，则q”中的p与q往往有某种内在的 联系，但在数理逻辑中“p→q”不一定有什么内在的联系。 2. 在数学中，“如果p，则q”往往表示前件p为真，后件q为真 的推理关系，但在数理逻辑中，当前件p为假时，p→q为真。
命题变量
命题变量不是命题！
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命题逻辑基本概念
第一节
命题与联结词
原子命题 定义:
—— 命题逻辑中的基本单位 一个命题不能分解成更简单的命题.（命题常项） 同时，称真值可以变化的陈述句为命题变项， 命题变项不是命题！
命题标识符p,q,r,s等既可以表示命题常项，也可以表示命题变项。
第一节
命题与联结词
例： (1) 10是一个整数。 (2) 3+3=8。 (4) 请勿随地吐痰！ (5) 吃过饭了吗 ? (6) x+y>5。 (7) 我正在说谎 。 命题，正确的判断,即真命题 命题，错误的判断,即假命题 祈使句,不是命题 疑问句,不是命题 没有确定的真值，不是命题 是悖论（说谎者悖论，公元前4世纪） 复合命题
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命题与联结词
第一章 1-1
一、命题
命题逻辑
命题与联结词
定义： 命题是能判断真假的陈述句。 作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值。 真值只取两个值：真或假。 真值为真的命题称为真命题； 真值为假的命题称为假命题。 < >
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命题逻辑基本概念
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绪
言
离散数学Discrete Math
• • 研究离散量的关系的一门科学。 研究离散结构的数学分科。（辞海）
离散数学的内容：
数理逻辑（Mathematics Logic) 集合论(Sets) 组合论（Combination) 图论（Graph Theory) 代数结构（Algbra Structure) 线性代数(Linear Algbra ) 概率论（Propobility Theory)…… < >
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第一节
命题与联结词
5.
等价 ↔
“p当且仅当q”也是一个命题，记为p↔q，读作p当且仅当q。 规定： p↔q 是真，当且仅当p和q真值相同。 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p ↔ q 1 0 0 1
注：p↔q所表达的逻辑关系是，p与q互为充分必要条件。 自然语言中的下定义可符号化为p↔q。 < >
则命题可译为：(p∧q) ↔ r
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命题与联结词
例2. 若不是他生病或出差，我是不会同意他不我同意他不参加学习
则命题可译为：┐(p∨q)→┐r 例3. 去北京的56次列车在8点开或9点开。 解： p：去北京的56次列车在8点开 q：去北京的56次列车在9点开
p∧q：今天下大雨并且3+3=6
注： ∧是汉语中“与”、“和”、“并”的翻译，但不能一概而论。 例: 小王与小张是兄弟 —— 原子命题 < >
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命题与联结词
3.
析 取 ∨
设定p，q，则“p或q”也是一种命题，记作p∨q，称为 p，q的析取，读作“p或q” 或“p析取q”。 规定： p∨q 是假，当且仅当p和q都假。 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
p F(0) T(1)
┐p
T(1) F(0)
这些都不是男同学
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命题逻辑基本概念
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命题与联结词
2.
合 取 ∧
设定p、q， “p并且q” 生成新命题，记作p∧q，称为 p，q的合取，读作“p与q” 或“p合取q”。 规定： p∧q是真，当且仅当p和q同时为真。
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∧q 0 0 0 1
主讲：顾 华
教材与参考书
教材
《离散数学》 屈婉玲 耿素云等编 高等教育出版社
参考书
《离散数学》 左孝凌等编 上海科学技术文献出版社 《离散数学第二版》 耿素云等编著 清华大学出版社
《离散数学题解》 耿素云等编著 清华大学出版社 《离散数学》（第五版） John A.Dossey等著 机械工业出版社 《离散数学》（第六版） Richard Johnsonbaugh著 电子工业出版社 < >
课程要求
课程要求
课时少，内容多，故要求课前预习，课后复习； 课堂认真听讲，作好重点、知识点和典型例题记录。 认真独立完成作业，作业和出勤作为平时成绩； 听课人多，注意课堂纪律，不要讲话。
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教学内容与课时安排
教学内容
第一部分 第二部分 第五部分 数理逻辑 集合论 图论 （命题逻辑、谓词逻辑） （集合与关系）
注：自然语言中常用的联结词“与”、“并且”、“既…又…”、 “不仅…而且…”、“虽然…但…”等，都可以符号化为∧。 < >
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命题逻辑基本概念
第一节
命题与联结词
例:
p：我们去植树
q：我们去浇水
p∧q：我们去植树并且我们去浇水 p：李平聪明 q：李平不用功
p∧q：李平虽然聪明，但不用功 p：今天下大雨 q：3+3=6 逻辑上允许
命题逻辑基本概念
第一节
命题与联结词
毕达哥拉斯悖论 （希帕索斯悖论）
第一次数学危机
贝克莱悖论
第二次数学危机
罗素悖论
第三次数学危机