离散数学1-1

p: a能被4整除;
上五命题都可表符号化为p→q
《离散数学》
第一章
命题逻辑基本概念
第一节
命题与联结词
例:
p： 月亮下山 q： 3+3=6 p→q： 若月亮下山,则3+3=6 （并没有实质蕴含关系，仍承认）
注：
1. 在自然语言中，“如果p，则q”中的p与q往往有某种内在的 联系，但在数理逻辑中“p→q”不一定有什么内在的联系。 2. 在数学中，“如果p，则q”往往表示前件p为真，后件q为真 的推理关系，但在数理逻辑中，当前件p为假时，p→q为真。
《离散数学》
绪
言
离散数学的由来与发展:
一、古老 历史: 计数:自然数 发展: 图论:1736年，Konigsberg七桥问题 二、年青 新生: 计算机:二进制运算
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《离散数学》
绪
言
学习离散数学的目的
1. 通过对离散数学中的基本术语，概念，定理，运算技 巧的学习，可以建立良好的逻辑体系，培养良好的数学素 养，提高抽象思维能力，获得解决实际问题能力。 2. 有助于今后学习组合数学学科、计算机高级课程，对阅 读文章有充分的数学准备。 数理逻辑：人工智能，数据库，形式语言及自动机， 高级程序设计语言。 集合论： 图 论： 信息结构与检索，数据结构。 可计算性理论，计算机网络。
《离散数学》
绪
言
离散数学由来已久，近年来，随着计算机重要性的提 高，离散数学得到了快速发展。 数字计算机是一种复杂的，但本质上是有 限的机器，在任意给定的时刻，都可以用一个 很长但有限的0和1的序列来描述它，这个序列对应于其电 子元件的内部状态，它的许多性质可以在有限数学系统的 框架中来理解。 因此，数字计算机软硬件结构决定了它仅适用于处理 离散型信息（离散量）的存储与计算，从而使离散数学成 为计算机科学与技术的基本数学工具。并且，随着计算机 技术的发展，其作用显得更加重要。 <
第一节
命题与联结词
例： (1) 10是一个整数。 (2) 3+3=8。 (4) 请勿随地吐痰！ (5) 吃过饭了吗 ? (6) x+y>5。 (7) 我正在说谎 。 命题，正确的判断,即真命题 命题，错误的判断,即假命题 祈使句,不是命题 疑问句,不是命题 没有确定的真值，不是命题 是悖论（说谎者悖论，公元前4世纪） 复合命题
注：自然语言中常用的联结词“与”、“并且”、“既…又…”、 “不仅…而且…”、“虽然…但…”等，都可以符号化为∧。 < >
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第一章
命题逻辑基本概念
第一节
命题与联结词
例:
p：我们去植树
q：我们去浇水
p∧q：我们去植树并且我们去浇水 p：李平聪明 q：李平不用功
p∧q：李平虽然聪明，但不用功 p：今天下大雨 q：3+3=6 逻辑上允许
p F(0) T(1)
┐p
T(1) F(0)
这些都不是男同学
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《离散数学》
第一章
命题逻辑基本概念
第一节
命题与联结词
2.
合 取 ∧
设定p、q， “p并且q” 生成新命题，记作p∧q，称为 p，q的合取，读作“p与q” 或“p合取q”。 规定： p∧q是真，当且仅当p和q同时为真。
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∧q 0 0 0 1
课程要求
课程要求
课时少，内容多，故要求课前预习，课后复习； 课堂认真听讲，作好重点、知识点和典型例题记录。 认真独立完成作业，作业和出勤作为平时成绩； 听课人多，注意课堂纪律，不要讲话。
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教学内容与课时安排
教学内容
第一部分 第二部分 第五部分 数理逻辑 集合论 图论 （命题逻辑、谓词逻辑） （集合与关系）
p∧q：今天下大雨并且3+3=6
注： ∧是汉语中“与”、“和”、“并”的翻译，但不能一概而论。 例: 小王与小张是兄弟 —— 原子命题 < >
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第一章
命题逻辑基本概念
第一节
命题与联结词
3.
析 取 ∨
设定p，q，则“p或q”也是一种命题，记作p∨q，称为 p，q的析取，读作“p或q” 或“p析取q”。 规定： p∨q 是假，当且仅当p和q都假。 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
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《离散数学》
绪
言
离散数学Discrete Math
• • 研究离散量的关系的一门科学。 研究离散结构的数学分科。（辞海）
离散数学的内容：
数理逻辑（Mathematics Logic) 集合论(Sets) 组合论（Combination) 图论（Graph Theory) 代数结构（Algbra Structure) 线性代数(Linear Algbra ) 概率论（Propobility Theory)…… < >
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第一章
命题逻辑基本概念
第一节
命题与联结词
5.
等价 ↔
“p当且仅当q”也是一个命题，记为p↔q，读作p当且仅当q。 规定： p↔q 是真，当且仅当p和q真值相同。 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p ↔ q 1 0 0 1
注：p↔q所表达的逻辑关系是，p与q互为充分必要条件。 自然语言中的下定义可符号化为p↔q。 < >
(3) 别的星球上有生物。 命题，目前无法断定是真还是假
(8) 如果天气好，那么我去散步。
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第一章
命题逻辑基本概念
第一节
命题与联结词
理发师悖论：
村里一位理发师称：他要给且只给村里所有那些 不给自己理发的人理发。
现问理发师：给不给自己理发？ —— 著名的罗素悖论
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《离散数学》
第一章
课时安排
授课 ：48 学时（1－12周每周二、周四）
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《离散数学》
绪
言
绪
离散数学与计算机
言
蒸汽机的发明开辟了人类体力劳动的机械化和自动化的新时代。 计算机的发明开辟了人类脑力劳动的机械化和自动化的新纪元。
计算机的诞生，人们就要为它进一步发展创建新的理 论，就要寻找合适的数学工具。例：为了描述新开拓的应 用领域中的各种数据的结构，就需要适宜的数学工具。 离散数学是研究离散量的关系的数学分科。离散量即 有限的过程以及元素可以列举的集合。这和微积分相反， 微积分是研究连续量的，是关于无限的过程和实数区间 的，采用的主要方法是极限。 < >
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《离散数学》
第一章
命题逻辑基本概念
第一节
命题与联结词
4.
蕴
涵 →
给定p，q，“若p则q”也是一个命题，记为p→q，读作 “若p则q”，p称为蕴涵式的前件，q称为蕴涵式的后件。 规定：当p为1，q为0时，p→q才是假。 (p→q为假，当且仅当p为真且q为假 ) p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p → q 1 1 0 1
注：自然语言中常用的联结词“或” 可以符号化为∨。 < >
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第一章
命题逻辑基本概念
第一节
命题与联结词
例:
p：灯泡有故障 q：开关有故障 p∨q：灯泡有故障或开关有故障
--- 可兼或
注： ∨是汉语中“或” 的翻译，但不能一概而论。∨是可兼或 小王是江苏人或是江西人。 选小王或小李中的一个当班长。 他昨天做了二十或三十道习题. --- 排斥或 --- 排斥或 --- 原子命题
《离散数学》
第一章
命题逻辑基本概念
第一节
命题与联结词
例:
p： 两个三角形全等 q： 它们的三组对应边相等 p↔q：两个三角形全等当且仅当它们的三组 对应边相等
例:
p： 2+2=4 q： 雪是白的 p ↔ q： 2+2=4 当且仅当雪是白的
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《离散数学》
第一章
命题逻辑基本概念
第一节
命题与联结词
以上介绍的5种常用联结词称逻辑联结词。 在命题逻辑中，可用这些联结词将各种各样的复合命 题符号化，称命题的翻译。 基本步骤： （1）分析出各简单命题，将它们符号化； （2）使用合适的联结词，把简单命题逐个联结起来, 组成复合命题的符号化表示。 例1. 当且仅当明天不下雪且不下雨，我才去学校。 解： p：明天不下雪 q：明天不下雨 r：我去学校 < >
复合命题 定义： 把原子命题通过一些联结词构成的新命题. 例： (1) 10是一个整数。 (2) 如果天气好，那么我去散步。 < >
《离散数学》
第一章
命题逻辑基本概念
第一节
命题与联结词
二、联结词：
1. 否 定 ┐
设p是一个命题，p的否定(非p)是一个新的命题, 记为 ┐p。 规定：┐p为真，当且仅当p为假。 例： p： 今天是一个好天。 ┐p：今天不是一个好天。 例： p：这些都是男同学 。 ┐p：这些不都是男同学 。
则命题可译为：(p∧q) ↔ r
《离散数学》
第一章
命题逻辑基本概念
第一节
命题与联结词
例2. 若不是他生病或出差，我是不会同意他不参加学习。 解： p：他生病 q：他出差 r：我同意他不参加学习
则命题可译为：┐(p∨q)→┐r 例3. 去北京的56次列车在8点开或9点开。 解： p：去北京的56次列车在8点开 q：去北京的56次列车在9点开
《离散数学》
第一章
命题逻辑基本概念
第一节
命题与联结词
第一章 1-1
一、命题
命题逻辑
命题与联结词
定义： 命题是能判断真假的陈述句。 作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值。 真值只取两个值：真或假。 真值为真的命题称为真命题； 真值为假的命题称为假命题。 < >
《离散数学》
第一章
命题逻辑基本概念
主讲：顾 华
教材与参考书
教材
《离散数学》 屈婉玲 耿素云等编 高等教育出版社
参考书
《离散数学》 左孝凌等编 上海科学技术文献出版社 《离散数学第二版》 耿素云等编著 清华大学出版社
《离散数学题解》 耿素云等编著 清华大学出版社 《离散数学》（第五版） John A.Dossey等著 机械工业出版社 《离散数学》（第六版） Richard Johnsonbaugh著 电子工业出版社 < >
命题逻辑基本概念
第一节
命题与联结词
毕达哥拉斯悖论 （希帕索斯悖论）
第一次数学危机
贝克莱悖论
第二次数学危机
罗素悖论
第三次数学危机
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《离散数学》
第一章
命题逻辑基本概念
第一节
命题与联结词
引入概念： 命题标识符 表示命题的符号 例：使用字母p表示“今天下雨” 使用字母q表示“2是素数” 命题真值的取值 用“1”表示真；用“0”表示假。 命题常量 用一个符号p表示某个特定的命题 （真假已定），p称为命题常量。 用一个符号p表示一个任意的命题 （真假未定），p称为命题变量。
P→Q的逻辑关系为Q是P的必要条件。 < >
《离散数学》
第一章
命题逻辑基本概念
第一节
命题与联结词
说明：自然语言中“如果…那么…” 可以符号化为→。还有： 只要p,就q; 因为p,所以q; p仅当q; 只有q才p; 除非q才p; 除非q,否则非p。 例: p：天不下雨 q：草木枯黄 p→q：天不下雨，则草木枯黄 例： 只要a能被4整除，则a一定能被2整除； a能被4整除，仅当a能被2整除； 除非a能被2整除，a才能被4整除； 除非a能被2整除，否则a不能被4整除； 只有a能被2整除，a才能被4整除； q: a能被2整除; < >
代数结构：开关理论，逻辑设计和程序理论，语法分析。 < >
《离散数学》
绪
言
离散数学课程的学习方法: 强调：逻辑性、抽象性； 注重：概念、方法与应用
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《离散数学》
第一部分
数理逻辑
第一部分
数理逻辑
逻辑学：是研究思维形式及思维规律的科学。公元前四 世纪由希腊的亚里斯多德首创。 以辨证法认识论的世界观为基础的逻辑学 1. 辩证逻辑： 对思维的形式结构和规律进行研究的 2. 形式逻辑： 类似于语法的一门工具性学科 思维的形式结构包括了概念、判断和推理之间的结构 和联系。
命题变量
命题变量不是命题！
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《离散数学》
ຫໍສະໝຸດ Baidu
第一章
命题逻辑基本概念
第一节
命题与联结词
原子命题 定义:
—— 命题逻辑中的基本单位 一个命题不能分解成更简单的命题.（命题常项） 同时，称真值可以变化的陈述句为命题变项， 命题变项不是命题！
命题标识符p,q,r,s等既可以表示命题常项，也可以表示命题变项。
分 类
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《离散数学》
第一部分
数理逻辑
概念：
思维的基本单位。
判断：
通过概念对事物是否具有某种 属性进行肯定或否定的回答。
推理：
由一个或几个判断推出 另一判断的思维形式。
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《离散数学》
第一部分
数理逻辑
数理逻辑是用数学方法来研究推理的形式 结构和推理规律的数学学科。
这里的数学方法就是引进一套符号体系的方法，又称 符号逻辑。它是从量的侧面来研究思维规律的。十七世 纪，由德国莱布尼兹给创立为一门独立科学。它与数学的 其他分支、计算机科学、人工智能等学科均有密切联系。 —— 一套符号体系 + 一组规则 最基本的内容：命题逻辑和谓词逻辑(古典数理逻辑) 证明论、公理集合论、递归论和模型论。 (现代数理逻辑) < >