电磁场有限元分析
《电磁场有限元分析》课件
计算量大
对于大规模问题，有限元分析需要处理大量的 数据和计算，计算成本较高。
对初值和参数敏感
有限元方法对初值和参数的选择比较敏感，可 能会影响求解的稳定性和精度。
数值误差
有限元方法存在一定的数值误差，可能会导致结果的精度损失。
未来发展方向和挑战
高效算法
研究更高效的算法和技术，提高有限 元分析的计算效率和精度。
网格划分的方法
根据实际问题选择合适的网格类型，如四面体网 格、六面体网格等，并确定网格的大小和密度。
数据准备的内容
准备边界条件、初始条件、材料属性等数据，为 后续计算提供必要的数据支持。
有限元方程的求解和后处理
求解方法的选择
根据实际问题选择合适的求解方法，如直接求解法、 迭代求解法等。
求解步骤
将有限元方程组转化为线性方程组，选择合适的求解 器进行求解，得到各节点的数值解。
电磁场有限元分析简介
概述有限元分析的基本原理和方 法，包括离散化、近似函数、变
分原理等。
介绍电磁场有限元分析的基本步 骤，包括前处理、求解和后处理
等。
简要介绍电磁场有限元分析的常 用软件和工具，如ANSYS、 COMSOL Multiphysics等。
02
电磁场理论基础
麦克斯韦方程组
总结词
描述电磁场变化规律的方程组
详细描述
边界条件和初始条件是描述电磁场在边界和初始时刻的状态，对于求解电磁场问 题至关重要。
03
有限元方法基础
有限元方法概述
01
有限元方法是一种数值分析方法，通过将连续的物理域离散化 为有限数量的单元，利用数学近似方法求解复杂的问题。
02
该方法广泛应用于工程领域，如结构分析、流体动力学、电磁
电磁场分析的有限元法
第7章 光波导分析的有限元法
7.1 微分方程边值问题
7.1.3 伽辽金（Galerkin）方法
Galerkin 法选取基函数i为加权函数，效果最好
Ri
S
i
(
2 t
K
2 t
)
dS
0
N
c j j j1
N
Ri
cj
S
i
(
2 t
K
2 t
)
j
dS
0
j1
Kij Sit2jdS S i jdS
7.1 微分方程边值问题 7.2 有限元分析
7.3 光波导模式问题的应用举例
2
第7章 光波导分析的有限元法
分析或设计波导器件时，知道波导模的特性及其场分布 非常重要。光波导精确求解的条件有限，近似分析时精度受 到限制，要高精度求得传播常数和电磁场分布，还要依赖于 数值分析法。
电磁场分析的数值法有很多，如有限元法（FEM)、有限 差分法、模匹配法、横向共振法等，而FEM因其较高的精度 和通用性，是目前使用最广泛、比较公认的精确数值技术方 法之一，并作为各种近似计算的基准。FEM特别适用于复杂 的几何结构和介电特性分布，可以解决几乎任意截面和折射 率分布的介质光波导的模式及场分布问题。
L f
L f 0 为方程的严格解（真解） 设 为方程的近似解，定义余数
r L f 表示近似解接近真解的程度
的最佳近似，应能使余数r在域内所有点有最小值。
余数加权积分
R wrd
其中w为加权函数
满足R=0的解称为微分方程的弱解或近似解。
w的选取方法：点重合, 子域重合, 最小二乘法, 迦辽金法等。
FEM是已发展成熟的数值计算方法。数学理论包括泛函 分析理论和抽象空间理论，应用范围包括土木工程如桥梁、 建筑，机械制造如船舶、飞机设计，计算场分布如应力场、 流体场、电磁场等等。有大量的商品化软件，使用方便。
工程电磁场数值分析(有限元法)解读课件
有限元法在工程电磁场中的应用
在静电场中，电荷分布是确定的，电场强度和电位是求解的目标。有限元法可以将连续的静电场离散化为有限个单元，通过求解离散化的方程组来得到电场强度和电位。
有限元法在静电场问题中能够有效地处理复杂的边界条件和电荷分布，为工程实际中静电场问题的求解提供了有效的数值分析方法。
在静电场问题中，有限元法将连续的求解区域离散化为有限个单元，每个单元内的电荷分布被假设为均匀分布。通过将电场强度和电位表示为单元中心点的插值函数，可以建立离散化的方程组。求解该方程组可以得到每个单元中心点的电场强度和电位，从而得到整个区域的电场分布。
静电场问题
总结词
详细描述
在静磁场中，磁力线是闭合的，磁场强度是确定的。有限元法可以将连续的静磁场离散化为有限个单元，通过求解离散化的方程组来得到磁场强度和磁感应强度。
有限元法在静磁场问题中能够有效地处理复杂的边界条件和磁场分布，为工程实际中静磁场问题的求解提供了有效的数值分析方法。
在静磁场问题中，有限元法将连续的求解区域离散化为有限个单元，每个单元内的磁场分布被假设为均匀分布。通过将磁场强度和磁感应强度表示为单元中心点的插值函数，可以建立离散化的方程组。求解该方程组可以得到每个单元中心点的磁场强度和磁感应强度，从而得到整个区域的磁场分布。
02
诺依曼边界条件
规定电场和磁场在边界处的法向分量，与狄利克雷边界条件一起使用。
STEP 01
STEP 02
ห้องสมุดไป่ตู้
STEP 03
有限元法基础
结构分析
用于分析各种结构的应力、应变、位移等。
流体动力学
用于分析流体流动、传热等问题。
电磁场
用于分析电磁场分布、电磁力、电磁感应等问题。
电磁学有限元分析
电磁学有限元分析
矢量磁势和标量电势：
对于电磁场的计算，为了使问题得到简化，通过定义两个量来把电场和磁场变量分别开来, 分别形成一个独立的电场和磁场的偏微分方程，这样有利于数值求解。
B = N × A E = -VΦ
电磁场中常见的边界条件
狄利克莱边界条件、诺依属边界条件和两者的组合。
狄利克莱边界条件描述的是在狄利克莱边界条件上电势为O或者为某一常数。
狄利克莱边界条件和诺依曼边界条件分别给出了对应边界上的电势。
采用ansys可完成下列电磁场分析
二维和三维静态磁场分析、谐波磁场分析和瞬态磁场分析。
标量位、矢量位、棱边单元法的比较
磁标量位将电流源以基元的方式单独处理，无需为其建立模型和划分有限元网格。
矢量位方法
电磁宏
电磁宏指的就是操作命令。
远场单元及远场单元的使用
使用远场单元可以可以有效地、精确地、敏捷地描述远场耗散问题
二维静态磁场分析。
ac接触器电磁场有限元分析
ac接触器电磁场有限元分析
电磁场有限元分析是一种用于研究电磁场的数值分析方法，它可以用来研究电磁场的分布、强度和特性。
有限元分析可以用来研究各种电磁元件，如电感、电容、变压器、电抗器、接触器等。
本文将介绍接触器的电磁场有限元分析。
接触器是一种电气元件，它的主要功能是控制电路的开关，它可以控制电路的开关，以及
控制电路的电流和电压。
接触器的电磁场有限元分析可以用来研究电磁场的分布、强度和
特性。
首先，需要建立接触器的有限元模型，模型中包括接触器的外形、材料、尺寸等参数。
然后，根据模型，使用有限元分析软件，计算接触器的电磁场分布。
最后，根据计算结果，
可以得到接触器的电磁场强度、分布和特性。
电磁场有限元分析可以用来研究接触器的电磁场，从而更好地了解接触器的工作原理，提高接触器的性能。
此外，有限元分析还可以用来研究其他电磁元件的电磁场，如电感、电容、变压器、电抗器等。
总之，电磁场有限元分析是一种有效的数值分析方法，可以用来研究接触器的电磁场，从而更好地了解接触器的工作原理，提高接触器的性能。
电磁场问题的有限元分析
ANSYS电磁场分析首先求解出电磁场的磁势和电势， 然后经后处理得到其他电磁场物理量，如磁力线分布、磁 通量密度、电场分布、涡流电场、电感、电容以及系统能 量损失等
● 电力发电机 ● 变压器 ● 电动机 ● 天线辐射 ● 等离子体装置
9.1 电磁场基本理论
（4）ANSYS电磁场分析简介 2. ANSYS电磁场分析方法 (2)建立分析模型。 在建立几何模型后，对求解区域用选定的单元进行划分， 并对划分的单元赋予特性和进行编号。 单元划分的疏密程度要根据具体情况来定，即在电磁 场变化大的区域划分较密，而变化不大的区域可划分得稀 疏些。 (3)施加边界条件和载荷。 (4)求解和后处理。
过滤图形用户界面进入电磁场 分析环境。在ANSYS软件的 Multiphysics模块中，执行：Main Menu>Preferences，在弹出的对话 框中选择多选框“Magnetic-Nodal” 后，单击[OK]。
9.2 二维静态磁场分析
（2）二维静态磁场分析实例 (2) 建立模型 ①生成大圆面：Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Area >Circle>By Dimensions弹出如对话框，在对 话框中输入大圆的半径“6”．然后单击 [OK]。 ②生成小圆： MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Ci rcle>Solid Circle，弹出一个对话框，在“WP X”后面 输入“1”，在“Radius”后面输入“2”，单击[OK]， 则生成第第二个圆。 ③布尔操作： MainMenu>Preprocessor>Modeling>Cr eate>Booleans>Overlap>Area，在弹出 对话框后，单击[Pick All]。
电动机的电磁场分析与有限元仿真技术
电动机的电磁场分析与有限元仿真技术电动机是一种将电能转化为机械能的装置，广泛应用于工业生产、交通运输、家用电器等领域。
在电动机的设计与优化过程中，电磁场分析和有限元仿真技术起着重要的作用。
本文将就电动机的电磁场分析和有限元仿真技术展开探讨。
一、电动机的电磁场分析电动机工作的基本原理是由电磁场相互作用产生的力使电动机转动。
因此，电磁场分析是了解电动机性能和优化设计的关键一步。
1. 磁场分布分析电动机中的电磁场主要由磁场和电场组成。
磁场分布分析可以通过磁感应强度或磁场密度进行描述。
通过分析磁场的分布情况，可以了解电动机中磁场的强度和方向，为电动机的设计和优化提供重要依据。
2. 磁场定性分析磁场定性分析是研究磁场的分布规律和特性，包括磁场的形状、大小和方向等。
通过磁场定性分析，可以对电动机的磁场特性进行全面了解，并确定电动机的性能指标。
3. 磁场定量分析磁场定量分析是研究磁场的大小和分布范围等具体数值参数的分析方法。
通过磁场的定量分析，可以对电动机的性能参数进行准确评估，为电动机的设计和选型提供科学依据。
二、有限元仿真技术在电动机设计中的应用有限元仿真技术是一种基于数值计算的方法，可以对电动机的电磁场进行精确模拟和分析。
它通过将电动机划分为许多离散的小元素，利用有限元方法求解电动机的电磁场分布和性能参数。
1. 建模与网格划分在有限元仿真中，首先需要对电动机进行建模，并进行网格划分。
建模是将电动机的几何形状和电性质用数学模型进行描述，网格划分是将模型划分为若干个小单元，用于求解有限元方程。
2. 材料特性指定不同材料的电磁性能不同，对电动机的性能有着重要影响。
在有限元仿真中，需要对电动机各部分所使用的材料进行特性指定，包括磁导率、电导率等参数。
3. 边界条件设置边界条件是指对电动机模型的约束条件和加载条件的定义。
在有限元仿真中，需要设置适当的边界条件，以模拟电动机在实际工作条件下的电磁场分布和性能。
4. 电磁场计算与分析有限元仿真通过求解电动机模型中的电磁场分布方程，得到电磁场的分布情况。
电动机的电磁场分析与有限元仿真
电动机的电磁场分析与有限元仿真电动机是将电能转换为机械能的设备，广泛应用于各个领域。
为了更好地提高电动机的设计性能和工作效率，电磁场分析与有限元仿真技术成为了不可或缺的工具。
本文将介绍电动机的电磁场分析方法，并探讨有限元仿真在电动机设计中的应用。
一、电磁场分析方法1. 理论分析方法理论分析方法是电动机设计的基础，在设计前的理论分析阶段，可以通过数学模型来推导电动机的电磁特性。
例如，可以利用麦克斯韦方程组来建立电动机的电磁场模型，进而分析电磁场的分布情况以及电磁力的大小。
2. 简化模型分析方法在实际设计中，电动机的结构往往非常复杂，不易直接建立精确的数学模型。
因此，可以采用简化模型分析方法。
通过对电动机结构进行合理的简化，可以将其分解为若干个简单的部分，然后进行独立的电磁场分析。
最后将各个部分的电磁场结果进行叠加，得到整个电动机的电磁场分布情况。
3. 实验验证方法在设计完成后，还需要通过实验验证电磁场分析结果的准确性。
可以利用磁场感应传感器等设备进行实际测量，然后与理论分析结果进行对比，以验证电磁场分析和预测的准确性。
二、有限元仿真在电动机设计中的应用1. 有限元建模有限元方法是一种常用的数值计算方法，可以建立电动机的三维模型，并对其进行电磁场分析。
通过将电动机结构离散为若干个小单元，可以对每个小单元进行求解，再将各个小单元的结果进行叠加，得到整个电动机的电磁场分布情况。
2. 网格划分与边界条件在进行有限元仿真前，需要对电动机进行网格划分。
将复杂的电动机结构划分为若干个小单元，通过合理地选择网格数量和精度，可以得到准确的仿真结果。
同时，还需要设置合适的边界条件，包括电流边界条件、电压边界条件等，以模拟电动机的实际工作状态。
3. 结果分析与优化有限元仿真可以得到电动机的电磁场分布情况，可以通过对仿真结果的分析来评估电动机的性能。
例如，可以分析电磁场的强度分布、磁通密度、磁场梯度等参数，以评估电动机的工作效率和性能损耗。
电磁场有限元分析(ANSYS)
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7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月上午 1时25 分20.12. 1401:2 5December 14, 2020
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8、业余生活要有意义，不要越轨。20 20年12 月14日 星期一 1时25 分21秒0 1:25:21 14 December 2020
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9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自 强不息 。上午 1时25 分21秒 上午1时 25分01 :25:212 0.12.14
FEA internally coupled with circuit elements
Coupled with external circuits using Schematic
Three phase power transformer
Rectifier Circuit
Eddy Currents Induced in an Aluminum Plate
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。01:2 5:2101: 25:2101 :2512/ 14/2020 1:25:21 AM
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电磁场有限元分析(数学基础) 共33页PPT资料
函数空间：具有某种共同特性的一类函数所构成的集合。 不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量。
把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子或算符。
2. 基函数
若函数空间D中存在一组函数 {i,i1,2,3, ,n}，使
极端的分域基—d函数
n
pd (x) fidi i0
n
p0 (x) fii i0
线性逼近和样条逼近
n
p1(x) fii i0
n
p2 (x) aii i0
分段线性插值使用的基函数
在区间 (xi, xi+1) 上，使用直线段 p1(x) 插值逼近函数 f(x)，
设法利用已知条件确定系数 a i 。
已知函数若干采样点的 逼近(1) — 插值
若选用多项式基底{ x i } ，构
造逼近函数：
n
p( x) ai xi
i0
令 p(x) 满足：
p (x j) fj (j 1 ,2 , ,7 )
求解方程可以确定系数 a i 。
插值
逼近曲线严格通过采样点。 方程个数与未知数个数相等； 基函数线性无关，保证方程有
得D中任意一个函数都能表示成 { i } 的线性组合，则称{ i } 为函数空间D中的一组基（或基底）； i 称基函数。
若n为有限值，称D为有限维函数空间；否则称无限维函数 空间。n 称为函数空间的维数。
基函数的性质： 完备性：——足够的 线性无关性：——没有多余的 正交性：——彼此不但独立，而且毫无交叠
基函数线性无关。
已知若干采样点的两种 逼近: —插值与拟合
工程电磁场数值分析(有限元法)
04
有限元法在工程电磁场中的应用
静电场问题
总结词
有限元法在静电场问题中应用广泛，能够准确模拟和预测静电场 的分布和特性。
详细描述
静电场问题是指电荷在静止状态下产生的电场，有限元法通过将 连续的静电场离散化为有限个单元，对每个单元进行数学建模和 求解，能够得到精确的解。这种方法在电力设备设计、电磁兼容 性分析等领域具有重要应用。
单元分析
对每个单元进行数学建模，包 括建立单元的平衡方程、边界 条件和连接条件等。
整体分析
将所有单元的平衡方程和连接 条件组合起来，形成整体的代 数方程组。
求解代数方程组
通过求解代数方程组得到离散 点的场量值。
有限元法的优势和局限性
02
01
03
优势 可以处理复杂的几何形状和边界条件。 可以处理非线性问题和时变问题。
传统解析方法难以解决复杂电磁场问题，需要采用数值分析方法 进行求解。
有限元法的概述
有限元法是一种基于离散化的数值分 析方法，它将连续的求解域离散为有 限个小的单元，通过求解这些单元的 近似解来逼近原问题的解。
有限元法具有适应性强、精度高、计 算量小等优点，广泛应用于工程电磁 场问题的数值分析。
02
静磁场问题
总结词
有限元法在静磁场问题中同样适用，能够有效地解决磁场分布、磁力线走向等问题。
详细描述
静磁场问题是指恒定磁场，不随时间变化的磁场问题。有限元法通过将磁场离散化为有限个磁偶极子，对每个磁 偶极子进行数学建模和求解，能够得到静磁场的分布和特性。这种方法在电机设计、磁力泵设计等领域具有重要 应用。
有限元法的基本步骤
01
电磁场的有限元分析与模拟
电磁场的有限元分析与模拟电磁场是现代社会无法避免的元素，它涉及到我们生活中很多领域，比如通讯、能源、交通等等。
漫步在街头巷尾，随处可见的电线杆和变电箱就是它们的实际表现。
为了更好地掌握电磁场对事物的影响，研究人员利用有限元分析与模拟技术，对电磁场的性质进行深入研究。
有限元分析与模拟技术是一种现代化的数值计算方法。
它的核心思想是将计算区域分割成许多小的元素，对局部进行具体计算，并将它们组装成一个完整的物理模型。
在电磁场模拟中，这种方法被广泛应用，因为它既可以针对复杂的结构而进行计算，又可以精确地测量电场、磁场、电荷等物理因素。
在有限元分析过程中，一个研究者通常需要先定义物理模型。
比如他可能要研究一个特定的电磁场，他就需要定义电场、磁场等各种物理元素的数值变量，以及它们在计算区域内的位置、形状以及与其他物理元素的关系等等。
接下来，他通常会将区域分割成许多小的元素，这些元素被称为离散单元。
研究者会对每一个离散单元应用基本的电磁场方程进行求解，并将结果存储在计算机中。
最后，他会通过计算机程序将这些分散的结果组装成一个完整模型。
这个模型可以帮助他分析和预测电磁场的行为，例如电场、磁场的强度、分布、变化等等。
为了更好地理解有限元分析与模拟技术的应用，我们可以以一个实际的例子来解释。
比如一个为了通讯目的而建设的卫星天线，这个天线的结构非常复杂，它包含了许多不同的组件，如喇叭、反射器等等，另外还要考虑材料的导电性等因素。
在这种情况下，有限元分析与模拟技术就可以很好地帮助工程师解决问题。
他可以将整个卫星天线分割成大量的小离散单元，并对每个单元进行电磁场计算。
通过这种方法，工程师可以非常准确地预测电磁场在天线中的传输和变化，并在其基础上做出最优化的设计方案。
当然，有限元分析与模拟技术不仅仅在工程领域中有着广泛的应用，其在其他领域中也起到了非常重要的作用。
比如在生物医学中，人类身体中电磁场的分布和作用也是研究的热点之一。
有限元在电磁场中的应用
的计算，即将无穷维自由度问题转化为有限个自由度的问题。 结点场量计算的思路如下：描述电磁场规律的是些偏微分方程， 首先找出与之相应的泛函，这样偏微分方程的边值问题就成了求泛函 的极值问题。场域被分成有限单元后，整个场域的泛函就是各单元泛 函之和。在引入插值函数并用结点场量表示单元内任一点的场量后， 泛函近似转化为多元函数，变分极值近似转化为多元函数的极值。在 对场量取偏导并令之为零后，得到的方程是代数方程。每个单元建立 一个方程，在整个求解区域中则有一个代数方程组，计及边界条件后 解此方程组就可求出各结点场量。在此过程中，并不要求每个单元中 的插值函数满足整个场域的边界条件，所以可以很容易的确定。由于
•
如平面场域中若用三角形【见图1（a）】，作为基本单元，当单元中每个结点 的自由度为1时，则线性场变量模型为
•
• • •
式中， 代表单元内任意一点的场量， x、y为该点的坐标， 为系数 （x， y） 若用双线性元的矩形单元【见图1（b）】为基本单元，则场变量模型为：
（x，y） =1 x 3 y+4 y （2 2）
2 1 J ( ) (9) dV V 2
•
• 这就是第一、第二类边界条件下的拉普拉斯方程所对应的泛函。将 式（7）代入式（9），然后进行求导运算可得
•
（10）
• 这就是拉普拉斯方程的三角单元矩阵特征式
• （5）集合单元特性得到表示整个解域性质的矩阵方程式。为了求得 全系统模型的特性，就必须“集合”全部单元的特性，然后求泛函的 极值，导出联立代数方程组（又称有限元方程）。“集合”所依据的 原理是：在一些单元相互连接的结点处，要求所有包括此结点的单元 在该结点处的场变量相同。（4）和（5）步可一并由计算机来完成。 • （6）求解有限元方程。这首先要考虑边界条件，然后由计算机解出 未知结点的场变量值，通过这些结点值就能求出场内任一点的场量值 。 • 总之，有限元法是从变分原理出发，通过区域划分和分片插值找出形 状函数，在通过“集合”把变分问题近似转化为多元函数的极值问题 。
基于有限元方法的电磁场分析及其应用研究
基于有限元方法的电磁场分析及其应用研究电磁场分析及其应用研究绪论电磁场是物理学中的一个重要领域，研究电荷和电流在空间中所引起的相互作用。
针对电磁场的研究以及其在不同领域中的应用，有限元方法被广泛采用。
本文将基于有限元方法，对电磁场的分析和应用进行研究。
有限元方法有限元方法是一种数值计算方法，能够对复杂结构进行分析。
它将连续线性问题转化为有限个离散子问题，通过建立模型和求解离散子问题得到结果。
在电磁场分析中，有限元方法可用于求解电磁场分布、电场强度和磁场强度等。
电磁场分析电磁场分析的目标是通过数值计算，获取电磁场的分布情况。
有限元方法在电磁场分析中具有一些优势，如能够处理复杂结构、边界条件的模拟等。
在电磁场分析中，有限元方法可以通过建立合适的网格模型，计算电荷和电流分布，进而求解电磁场的分布。
电磁场分析的应用电磁场分析在众多领域中都有广泛的应用。
以下将介绍其中几个典型的应用领域。
1. 电磁辐射与抗干扰电磁辐射与抗干扰是一项重要的研究领域，用于减小电磁波对周围设备的干扰，提高系统的抗干扰能力。
有限元方法可以模拟并分析电磁辐射场，通过改变电路参数或增加屏蔽措施，提高系统的抗干扰能力。
2. 电磁场感应电磁场感应是指当磁场改变时，产生感应电流。
有限元方法可以通过建立适当的模型，计算电磁感应的情况。
这在电动机、发电机等电磁设备的设计和分析中具有重要作用。
3. 电磁场辐射与传输电磁场辐射与传输是指电磁波在介质中传输和辐射的过程。
有限元方法可以模拟电磁场辐射传输的情况，对无线通信、天线设计等领域起到关键作用。
总结本文基于有限元方法，对电磁场分析及其应用进行了研究。
有限元方法是一种有效的数值计算方法，能够应用于复杂的电磁场分析中。
电磁场分析在电磁辐射与抗干扰、电磁场感应、电磁场辐射与传输等领域具有广泛的应用。
随着科技的发展，有限元方法在电磁场分析中将发挥越来越重要的作用。
基Ansoftmaxwell的电磁场有限元问题分析
基Ansoft maxwell的电磁场有限元问题分析摘要：本文首先介绍了电磁场求解的有限元方法的基本思想并利用示例对求解方法进行了具体的阐述。
随后本文分析了Asoftwell maxwell 在进行电磁场数值分析特别是解决处理边界问题时的巨大优势。
最后本文通过实例详细探讨了Asoftwell的使用方法并利用其强大的作图功能绘出了相应的电场分布图。
1、引言在电磁学的实际应用过程当中，人们往往遇到的问题是给定空间某一区域的电场分布，同时给定区域边界上的电位或者场强，在这种条件下求该区域内的电位函数或电场强度分布。
因此电磁场边界问题的求解在工程电磁场领域当中就具有了尤为特殊的意义。
而有限单元法就是求解电磁场边界问题的方法之一。
它不仅可以处理复杂的边界条件以及形状复杂的结构，而且在此同时还可以通过一系列简单的手段保证精度。
因此有限单元法的应用已经从最开始的固体力学领域推广到了温度场，流体场，声场，电磁场等等。
与此同时计算机技术的高速发展已经使有限元的计算方法渐趋简单，Ansoft maxwell正是工程设计人员和研究工作者在电子产品设计流程当中必不可少的重要工具。
它使得人们不需要高深的数学知识就可以处理很复杂的电磁场数值分析问题。
2、有限元法的基本思想所谓的有限元法，就是将整个区域分割成许多很小的子区域，这些子区域通常称作“单元”或者“有限元”，将求解边界问题的原理应用于这些子区域中，求解每个小区域，通过选取恰当的尝试函数，使得对每一个单元的计算变得十分简单，经过对每个单元进行重复而简单的计算，将其结果总和起来，便可以得到用整体矩阵表达的整个区域的解。
设在一由边界L 界定的二维区域D 内，电位函数ϕ满足拉普拉斯方程且给定第一类边界条件，即有如下静电场边界问题：22220()LD x y f s φφφ ∂∂+= ∂∂ = 在区域内） 应用有限差分法，首先需要确定网格的节点分布方式，为简单起见，如右图所示，我们用分别于x,y 轴平行的两组直线（网格线）把场域D 划分成足够多的正方形网格，两相邻平行网格线的间距成为步距h. 设节点o 的电位是ϕ0 ，相邻四个点的电位分别是ϕ1、ϕ2 、ϕ3 、 ϕ4。
电磁场有限元分析
因此矢量位A是唯一确定的。
2）洛伦兹规范：
gA
t
西安交通大学 M&ISI
School of ME Xi’an Jiaotong
University 5/13/2020
No.8
1.1 电磁场基本理论
对于时变场：
B A
E
B t
E A
t
2
A
A t
2 A t 2
gA
t
J s
2
t
H1)
l1 两条侧边l2的贡献
D D
s t gds t gn0l1l2
=? s J f gds J f gn0l1l2
（a）若假定 D和 有J f 界， t
nr0 nr
当 l1 ，0 l2 时，0
式中的面积分都为零，两条侧边的贡 献也为零。
西安交通大学 M&ISI
School of ME Xi’an Jiaotong
上式描述了磁场的折射性质：
➢ 如果媒质1是非磁性的，而媒质2是铁磁性的
则 2 ? ，1 ，2这 9意0 味着，对于任意一个不接近0的 角度 ，在铁1 磁性媒质中，磁场几乎是与分界面平行；
➢ 如果媒质2是非磁性的，而媒质1是铁磁性的
则
， ，这意味着，如果磁场起源于铁磁性媒
质，则1 ?磁通2 将以近2 似0垂直的角度穿出分界面。
No.19
1.2 运动导体中的电磁场
对于在电磁场中匀速运动的导体， 如图所示，坐标系x1-y1-z固结在 转子上，相对于惯性系x-y-z以角
速度 绕z轴匀速转动，电磁场量
在两个系中的伽利略变换为：
y
y1
x1
O
x
z
工程电磁场数值分析4(有限元法)
变分原理
有限元法的数学基础是变分原理， 即通过求解泛函的极值问题来得 到原问题的近似解。
微分方程
有限元法将微分方程转化为等价 的变分问题，然后通过离散化将 变分问题转化为标准的线性代数 方程组。
插值函数
为了将连续的物理量离散化，有 限元法使用插值函数来近似表示 连续函数，从而得到离散化的数 值解。
有限元法的离散化过程
01
MATLAB/Simulin k
流行的数值计算和仿真软件，提 供丰富的数学函数库和图形界面， 适用于有限元分析。
02
COMSOL Multiphysics
多物理场有限元分析软件，支持 多种编程语言接口，如Python、 Java等。
03
ANSYS Maxwell
专业的电磁场有限元分析软件， 提供强大的前后处理和求解功能。
对初值条件敏感
有限元法的数值解对初值条件较为敏感，可能导致计算结果的不稳 定。
对边界条件的处理复杂
对于某些复杂边界条件，有限元法需要进行特殊处理，增加了计算 的复杂性。
有限元法的改进方向与未来发展
高效算法设计
研究更高效的算法，减少计算量，提高计算 效率。
自适应网格生成技术
发展自适应的网格生成技术，根据求解需求 动态调整离散化参数。
通过选择适当的离散化参数和节点数，有 限元法能够获得高精度的数值解。
灵活性好
可并行计算
有限元法可以灵活地处理复杂的几何形状 和边界条件，方便进行模型修改和扩展。
有限元法可以方便地进行并行计算，提高 计算效率。
有限元法的缺点
计算量大
有限元法需要对整个求解区域进行离散化，导致节点数和自由度 数增加，计算量大。
电磁兼容性分析
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有限元法可以基于变分原理导出，也可以基于加权
余量法导出，本章以加权余量法作为有限元法的基础，
以静电场问题的求解为例介绍有限元法的基本原理与实 施步骤。并介绍有限元法中的一些特殊问题。
第4章 电磁场有限元法（FEM）
1. 有限元基本原理与实施步骤：1D FEM 2. 有限元基本原理与实施步骤：2D FEM 3. 有限元方程组的求解 4. 二维有限元工程应用 5. 三维有限元原理与工程应用 6. 矢量有限元
基函数 Ni 只是一阶可导 的，不能严格满足微分方 程，称为“弱解”。
Ki , j Ni L(N j ) d
（3）方程离散
bi Ni f d
由于基函数 Ni 局域支撑，显见只有 Ki ,i 1 , Ki ,i , Ki ,i 1 不为0。
使用分步积分：
dx d2 N j xj Ni dx 2 xi dx
Ni
d2 N j
2
d
( j i 1)
Ni
dN j dx
xj
xi
xj
xi
dN i dN j dx dx dx
第一项在 xj 处为0，在 xi 处的值 被来自 (i-1) 单元的贡献抵消，故只剩下第二项。
Ki , j Ni L(N j ) d
（3）方程离散
故 Ki , j Ni
强加边界条件：u1 = 0, u6 = 0
1 K 21
0 K 22 K32
K 23 K33 K 43
K34 K 44 K54
K 45 K55 0
u1 0 u b 2 2 u3 b3 u4 b4 K56 u5 b5 1 0 u6
Ki , j Ni L(N j ) d
（3）方程离散
（计算系数阵 [K] 和右端项 [b]）
K i , j N i L(N j ) d
bi Ni f d
Ni (
d2 N j
2
Ni
dx d2 N j dx
2
+N j ) d d N i N j d
bi Ni f d
d2 N j
2
dx x j dN dN j xj i dx Ni N j dx xi dx xi dx
d Ni N j d
( j i 1)
类似，当 j = i 时
Ki ,i
xi1 xi1 xi1 dNi dNi dx Ni Ni dx xi1 dx dx
0 x 1
与有限差分法（FDM）相比，有限差分法是对点的离
散，得到一系列离散点上的解；而有限元（FEM）是
对区域的离散（单元），尽管所求的是节点上的自由 度，但它的解在场域中每一个点上都有定义。 所以，即是有限元节点上的解是精确的，有限元的整 个解仍然是近似的。好的数据处理技术可以从该近似 解中提取更精确的分析结果。 线性单元中，如果所求的自由度是电位，单元中的 电场 E是场量；节点上的 E 取邻近单元的平均。
j 1 j 1
n
n
或 记
j 1
n
j
Ni L(N j ) d Ni f d
(i 1, 2,
, n)
Ki , j Ni L(N j ) d
bi Ni f d
得代数方程组：
K α b
利用有限元法求解一维边值问题：
d 2u L(u ) 2 u x dx u (0) u (1) 0 0 x 1
1. 有限元法基本原理与实施步骤：一维问题
加权余量法回顾：
对算子方程
L(u ) f
n i 1
用 u 作为该方程的近似解（试探解）： u ii
代入方程得余量：
R L(u ) f
在有限元法中，基函数一般用 {Ni , i 1, 2,, Nhomakorabean} 表示。
采用Galerkin方案，取权函数与基函数相同。使与余量正交
u ui N i
i 1
n
（1）单元剖分
如图5个单元，6个节点
（2）选取基函数
x xi 1 x x i i 1 Ni xi 1 x xi 1 xi x ( xi 1 , xi ) x ( xi , xi 1 )
K α b
右端项：
bi Ni f d
xi 1
xi 1
Ni f dx
总体方程
K11 K 21
K12 K 22 K32
K 23 K33 K 43
K34 K 44 K54 K 45 K55 K 65
u1 b1 u b 2 2 u3 b3 u4 b4 K56 u5 b5 K66 u6 b6
（4）求解方程
x 0 0.2
u*
0 0.0361
u
0 0.0360
0.4 0.6 0.8
1.0
0.0628 0.0710 0.0525
0
0.0625 0.0708 0.0523
0
思考：（1）有限元的解跟有限差分法的解有何根本不同？
（2）有限元的系数阵总是对称的吗？
一些补充说明：
关于有限元的解
d 2u L(u ) 2 u x dx u (0) u (1) 0
化：
( Ni , R) Ni [ L(u ) f ] d 0
(i 1, 2,
, n)
加权余量法回顾（续）
( Ni , R) Ni [ L(u ) f ] d 0
设L为线性算子，代入 u i N i ，得
i 1
n
Ni [ L( j N j ) f ] d Ni [ j L(N j ) f ] d 0