电磁场有限元分析

基函数 Ni 只是一阶可导 的，不能严格满足微分方 程，称为“弱解”。
Ki , j Ni L(N j ) d

（3）方程离散
bi Ni f d

由于基函数 Ni 局域支撑，显见只有 Ki ,i 1 , Ki ,i , Ki ,i 1 不为0。
使用分步积分：
dx d2 N j xj Ni dx 2 xi dx
u ui N i
i 1
n
（1）单元剖分
如图5个单元，6个节点
（2）选取基函数
x xi 1 x x i i 1 Ni xi 1 x xi 1 xi x ( xi 1 , xi ) x ( xi , xi 1 )
K α b
j 1 j 1
n
n
或 记

j 1
n
j
Ni L(N j ) d Ni f d

(i 1, 2,
, n)
Ki , j Ni L(N j ) d

bi Ni f d

得代数方程组：
K α b
利用有限元法求解一维边值问题：
d 2u L(u ) 2 u x dx u (0) u (1) 0 0 x 1
（4）求解方程
x 0 0.2
u*
0 0.0361
u
0 0.0360
0.4 0.6 0.8
1.0
0.0628 0.0710 0.0525
0
0.0625 0.0708 0.0523
0
思考：（1）有限元的解跟有限差分法的解有何根本不同？
（2）有限元的系数阵总是对称的吗？
一些补充说明：
关于有限元的解
d 2u L(u ) 2 u x dx u (0) u (1) 0
右端项：
bi Ni f d

xi 1
xi 1


Ni f dx
总体方程
K11 K 21
K12 K 22 K32
K 23 K33 K 43
K34 K 44 K54 K 45 K55 K 65
u1 b1 u b 2 2 u3 b3 u4 b4 K56 u5 b5 K66 u6 b6
Ki , j Ni L(N j ) d

（3）方程离散
（计算系数阵 [K] 和右端项 [b]）
K i , j N i L(N j ) d

bi Ni f d

Ni (

d2 N j
2
Ni

dx d2 N j dx
2
+N j ) d d N i N j d
1. 有限元法基本原理与实施步骤：一维问题
加权余量法回顾：
对算子方程
L(u ) f
n i 1
用 u 作为该方程的近似解（试探解）： u ii
代入方程得余量：
R L(u ) f
在有限元法中，基函数一般用 {Ni , i 1, 2,
, n} 表示。
采用Galerkin方案，取权函数与基函数相同。使与余量正交
强加边界条件：u1 = 0, u6 = 0
1 K 21
0 K 22 K32
K 23 K33 K 43
K34 K 44 K54
K 45 K55 0
u1 0 u b 2 2 u3 b3 u4 b4 K56 u5 b5 1 0 u6

bi Ni f d

d2 N j
2
dx x j dN dN j xj i dx Ni N j dx xi dx xi dx
d Ni N j d
( j i 1)
类似，当 j = i 时
Ki ,i
xi1 xi1 xi1 dNi dNi dx Ni Ni dx xi1 dx dx
化：
( Ni , R) Ni [ L(u ) f ] d 0

(i 1, 2,
, n)
加权余量法回顾（续）
( Ni , R) Ni [ L(u ) f ] d 0

设L为线性算子，代入 u i N i ，得
i 1
n

பைடு நூலகம்

Ni [ L( j N j ) f ] d Ni [ j L(N j ) f ] d 0
第4章 电磁场有限元法 （Finite Element Method, FEM）
有限元法可以基于变分原理导出，也可以基于加权
余量法导出，本章以加权余量法作为有限元法的基础，
以静电场问题的求解为例介绍有限元法的基本原理与实 施步骤。并介绍有限元法中的一些特殊问题。
第4章 电磁场有限元法（FEM）
1. 有限元基本原理与实施步骤：1D FEM 2. 有限元基本原理与实施步骤：2D FEM 3. 有限元方程组的求解 4. 二维有限元工程应用 5. 三维有限元原理与工程应用 6. 矢量有限元
0 x 1
与有限差分法（FDM）相比，有限差分法是对点的离
散，得到一系列离散点上的解；而有限元（FEM）是
对区域的离散（单元），尽管所求的是节点上的自由 度，但它的解在场域中每一个点上都有定义。 所以，即是有限元节点上的解是精确的，有限元的整 个解仍然是近似的。好的数据处理技术可以从该近似 解中提取更精确的分析结果。 线性单元中，如果所求的自由度是电位，单元中的 电场 E是场量；节点上的 E 取邻近单元的平均。


Ni
d2 N j
2
d
( j i 1)
Ni
dN j dx
xj
xi

xj
xi
dN i dN j dx dx dx
第一项在 xj 处为0，在 xi 处的值 被来自 (i-1) 单元的贡献抵消，故只剩下第二项。
Ki , j Ni L(N j ) d

（3）方程离散
故 Ki , j Ni