北京市人大附中2019届高三高考信息卷(一)理科数学试题

…………○学…………○绝密★启用前北京市人大附中2019届高三高考信息卷(一)理科数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．若集合 ， 或 ，则 A ． 或 B ． 或 C ． D ． 2．已知 ，则( )A ．B ．C ．D ． 3．关于函数 ,下列说法错误的是 A ． 是奇函数 B ． 不是 的极值点C ． 在上有且仅有3个零点D ． 的值域是4．向量 在正方形网格中的位置如图所示.若向量 与 共线,则实数A ．B ．C ．D ．5．已知实数,x y 满足10,0,0,x y x y +-≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[1,)+∞D ．)+∞…………装………………○…………线…………○…※※请※※不※※要※※在※※装题※※…………装………………○…………线…………○…6．已知某算法的程序框图如图所示,则该算法的功能是A ．求首项为1,公比为2的等比数列的前2017项的和B ．求首项为1,公比为2的等比数列的前2018项的和C ．求首项为1,公比为4的等比数列的前1009项的和D ．求首项为1,公比为4的等比数列的前1010项的和7．某公司为了解用户对其产品的满意度,从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图.若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为12,m m ;标准差分别为12,s s ,则下面正确的是A ．1212,m m s s <>B ．1212,m m s s ><C ．1212,m m s s <<D ．1212,m m s s >>8．在直角坐标系xOy 中,对于点(,)x y ,定义变换σ:将点(,)x y 变换为点(,)a b ,使得tan ,tan ,x a y b =⎧⎨=⎩其中ππ,(,22a b ∈-.这样变换σ就将坐标系xOy 内的曲线变换为坐标系…○…………线……____…○…………线……aOb 内的曲线.则四个函数12(0)y x x =>,22(0)y x x =>,3e (0)x y x =>,4ln (1)y x x =>在坐标系xOy 内的图象,变换为坐标系aOb 内的四条曲线（如图）依次是A ．②,③,①,④B ．③,②,④,①C ．②,③,④,①D ．③,②,①,④…………装…………○※请※※不※※要※※在※※装※…………装…………○第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．在三角形ABC中,ABCS!,AB=1AC=,则BC=______.10．若双曲线2221xya-=的渐近线方程为12y x=±，则双曲线的离心率为________.11．曲线为参数)的对称中心到直线的距离为_____.12．能够使得命题“曲线上存在四个点满足四边形是正方形”为真命题的一个实数的值为______.13．若,则_____14．如图,已知四面体.的棱//AB平面α,且AB=,其余的棱长均为1.四面体ABCD以AB所在的直线为轴旋转x弧度,且始终在水平放置的平面α上方.如果将四面体ABCD在平面α内正投影面积看成关于x的函数,记为()S x,则函数()S x的最小值为______;()S x的最小正周期为______.三、解答题15．已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）在中,为角的对边，且满足，且，求的取值范围.16．首项为O的无穷数列{}n a同时满足下面两个条件：①1n na a n+-=；②1nna-≤(1)请直接写出4a 的所有可能值；(2)记2n n b a =，若1n n b b +<对任意*n N ∈成立，求{}n b 的通项公式； (3)对于给定的正整数k ，求12...k a a a +++的最大值． 17．已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．（1）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7:00的概率； （2）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X 为这两人中观看升旗的时刻早于7:00的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ．（3）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7:31化为317）．记表○…………线……○…………线……2中所有升旗时刻对应数据的方差为2s ，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2*s ，判断2s 与2*s 的大小（只需写出结论）18．如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，BE⊥平面ABCD ，DF∥BE，且DF ＝2BE ＝2，EF ＝3.（1）证明：平面ACF⊥平面BEFD.（2）若，求几何体ABCDEF 的体积．19．已知函数 .（Ⅰ）求曲线 在点处的切线方程；（Ⅱ）当 时，求证：函数 有且仅有一个零点；（Ⅲ）当 时，写出函数 的零点的个数.（只需写出结论）20．已知椭圆()222210x y C a b a b+=>>： 离心率等于12，()23P ，、()Q 2,3-是椭圆上的两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.当,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.参考答案1．B【解析】【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【详解】∵，或则A∪B= 或，故选：B．【点睛】本题主要考查集合的并集运算，利用好数轴是解题的关键，比较基础．2．D【解析】分析：取，，利用排除法，逐一排除即可的结果.详解：因为，时，, , ,所以可排除选项，故选D.点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.3．C【解析】分析：利用函数的奇偶性、极值、零点、值域分析每一个选项得解.详解：对于选项A,f(-x)=sin(-x)+xcos(-x)=-sinx+xcosx=-(sinx-xcosx)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数，所以选项A是正确的.对于选项B,，可以得到函数f(x)在是增函数，在也是增函数，所以0不是函数的极值点，所以选项B正确.对于选项C,由于函数在是增函数，在是增函数，且f(0)=0,所以函数在上有且仅有1个零点，所以选项C错误.对于选项D,当x时，当x-时，所以函数的值域为R，所以选项D正确.故选C.点睛：本题主要考查函数的奇偶性、极值、单调性和值域，意在考查函数的基础知识，属于基础题.4．D【解析】【分析】由图中可知，即可得到答案。

【详解】由图中可知，若向量与共线,则.答案为D.【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的共线，属于基础题。

5．D【解析】【分析】先画出可行域，利用目标函数几何意义转化求解即可．【详解】解：实数x，y满足10x yxy+-≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩可知P2 =．，+∞）．故选：D．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于中档题．6．C【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】解：由已知中的程序框图可知：该程序的循环变量n的初值为1，终值为2019，步长为2，故循环共执行了1009次由S中第一次累加的是21﹣1＝1，第二次累加的是23﹣1＝4，……故该算法的功能是求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和，故选：C．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．C【解析】【分析】利用频率分布直方图分别求出甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数和标准差，由此能求出结果．【详解】由频率分布直方图得：甲地区[40,60)的频率为(0.0150.020)100.35+⨯=，[60,70)的频率为0.025100.25⨯=.∴甲地区用户满意度评分的中位数10.50.356010660.25m -=+⨯=，甲地区的平均数1450.01510550.02010650.02510750.02010850.01010950.0101067s =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；乙地区[50,70)的频率为(0.0050.020)100.25+⨯=，[70,80)的频率为0.035100.35⨯=.∴乙地区用户满意评分的中位数20.50.25701077.10.35m -=+⨯≈，乙地区的平均数2550.00510650.02010750.03510850.02510950.0151077.5s =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=∴12m m <，12s s < 故选C. 【点睛】用频率分布直方图估计总体特征数字的方法： ①众数：最高小长方形底边中点的横坐标；②中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标； ③平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和. 8．A 【解析】 【分析】用x ，y 表示出a ，b ，根据反正切函数的单调性得出各自图象的a ，b 的范围及大小关系，从而得出答案． 【详解】解：由x tanay tanb =⎧⎨=⎩可得a arctanx b arctany =⎧⎨=⎩，对于y 3＝e x（x ＞0），显然y 3＞1，∴b ＝arctan y 34π＞，∴y 3对应的图象为①；对于y 4＝lnx （x ＞1），a ＝arctan x ＞arctan14π=，∴y 4对应的图象为④；对于y 1和y 2，当0＜x ＜2时，2x ＞x 2，∴arctan2x ＞arctan x 2， 即当0＜a ＜arctan2时，∴arctan y 1＞arctan y 2， ∴y 1对应的图象为②，y 2对应的图象为③． 故选：A ． 【点睛】本题考查了反正切函数的性质，基本初等函数的性质，属于中档题．9．1【解析】 【分析】由题意可得：112⨯sin A 4=sin A 12=，解得A ，再利用余弦定理即可得出． 【详解】解：由题意可得：112⨯sin A =sin A 12=，解得A 6π=或56π．∴BC 2221=+-A ，可得BC 2＝1或7，解得BC ＝1．故答案为：1． 【点睛】本题考查了三角形面积计算公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10【解析】双曲线2221x y a -=的渐近线方程为12y x =±，1,1,2,2b b ac a ∴==∴==c e a ==11．曲线为参数)表示以为圆心，以1 为半径的圆，圆心即为对称中心，则圆心到直线的距离为即答案为.12．答案不唯一，a＞2或a＜﹣2的任意实数【解析】分析：由题意可设P（m，n），（m＞0，n＞0），由对称性可得Q（﹣m，n），R（﹣m，﹣n），S （m，﹣n），可得m=n，代入曲线方程，由双曲线的范围，解不等式即可得到所求值．详解：曲线上存在四个点P，Q，R，S满足四边形PQRS是正方形，可设P（m，n），（m＞0，n＞0），由对称性可得Q（﹣m，n），R（﹣m，﹣n），S（m，﹣n），则|PQ|=|QR|，即2m=2n，即m=n，由曲线的方程可得，即有解，即有m2=＞4，可得＞0，解得a＞2或a＜﹣2，故答案为：a＞2或a＜﹣2的任意实数．点睛：本题考查双曲线方程和性质，主要是范围的运用，考查对称性和不等式的解法，属于中档题．13．1【解析】即答案为1.14．115【分析】设M 为AB 中点，求出M 到CD 的距离，即可得出()S x 的最小值，根据三棱锥的对称性得出()S x 的周期. 【详解】取AB 中点为M ，连结CM DM ，， 因为DA DB CA CB ==，， 所以AB CM ⊥，AB DM ⊥， 所以AB ⊥平面CDM ， 所以AB CD ⊥，因为AB =，1AC BC CD ===，所以AC BC ⊥，2CM DM ==， 所以CM DM ⊥， 所以M 到CD 的距离为12.所以当CD α⊥时，()S x 取得最小值11224=， 由三棱锥的对称性可知()S x 的最小正周期为π.故答案为4，π【点睛】本题主要考查实际问题中的函数模型，可根据题意将问题进行转化，属于常考题型. 15．（Ⅰ）（ ）（Ⅱ），.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简函数，在根据正弦函数的单调性解不等式（ ），即可得到f(x)的单调递增区间；（Ⅱ）由 ，根据正弦定理可得 ，再根据三角形的性质以及二倍角的余弦公式可得 ，求出.从而可得，进而利用正弦函数的单调性可得 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）由题知.由（ ）， 解得.所以 单调递增区间为（ ）.（Ⅱ）依题意，由正弦定理， . 因为在三角形中 ，所以 即 当 时，；当 时，.由于 ，所以 .则 .则. 又，所以.由，则 的取值范围是，. 16．（1）2,0,6--；（2）2n b n =-；（3）当k 为奇数时,k S 的最大值为0; 当k 为偶数时，k S 的最大值为2k -. 【解析】 【分析】(1)由递推关系得到4a 的所有可能值；(2)由题意可知数列{}n a 的偶数项2462,,,...,...n a a a a 是单调递增数列，先证明数列{}n a 中相邻两项不可能同时为非负数，即可得到结果；(3) 由（2）的证明知，1,n n a a +不能都为非负数，分类讨论即可得到结果. 【详解】（1）4a 的值可以取2,0,6-- .（2）因为2n n b a =，因为1n n b b +<对任意*n N ∈成立，所以{}n b 为单调递增数列， 即数列{}n a 的偶数项2462,,,...,...n a a a a 是单调递增数列， 根据条件21a =-，40a =， 所以当20n a ≥对2n ≥成立 ，下面我们证明“数列{}n a 中相邻两项不可能同时为非负数”， 假设数列{}n a 中存在1,i i a a +同时为非负数， 因为1||i i a a i +-=，若1,i i a a i +-= 则有()i 1112i i a a i i ++-=+≥>，与条件矛盾，若i 1,i a a i +-=-则有112i i i a a i i +-=+≥>， 与条件矛盾 ， 所以假设错误，即数列{}n a 中相邻两项不可能同时为非负数， 此时20n a ≥对2n ≥成立，所以当2n ≥时，21210,0n n a a -+≤≤，即212212,n n n n a a a a -+<<， 所以 22121n n a a n --=-，()212222n n a a n ---=--，所以()()22121221n n n n a a a a ----+-=， 即2221n n a a --=，其中2n ≥ ，即11n n b b --=，其中2n ≥， 又121b a ==-，240b a ==，所以{}n b 是以11b =-，公差为1的等差数列， 所以()112n b n n =-+-=- . （3） 记1231k k k S a a a a a -=+++++，由（2）的证明知，1,n n a a +不能都为非负数， 当0n a ≥，则1a 0n +<，根据1||n n a a n +-=，得到1n n a a n +=-，所以112212n n n n a a a n n +-+=-≤-≤-， 当10n a +≥，则a 0n <，根据1||n n a a n +-=，得到+1n n a a n =-，所以11112202n n n n a a a n n +++-+=-≤-≤， 所以，总有10n n a a ++≤成立 ，当n 为奇数时，1||n n a a n +-=，故1,n n a a -的奇偶性不同，则1n n a a ++ 1≤-， 当n 为偶数时，10n n a a ++≤ ， 当k 为奇数时，()()12310k k k S a a a a a -=+++++≤，考虑数列：01,1,2,2,--，， 12k --，12k -⋯， 可以验证，所给的数列满足条件，且0k S =, 所以k S 的最大值为0，当k 为偶数时，()()1212k k k k S a a a a -=++++≤-，考虑数列：01,1,2,2--，，，-22k -，22k -，2k- ,可以验证，所给的数列满足条件，且2k kS =-，所以k S 的最大值为2k-.【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意归纳总结能力的培养，考查了转化能力和运算能力，属于难题. 17．（1）34；（2）23；（3）22*s s <【解析】 【分析】（1）记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7：00”，在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7：00，由此能求出从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7：00的概率．（2）X 可能的取值为0，1，2，记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7：00”，则()51153P B ==，()()213P B P B =-=，由此能求出X 的分布列和数学期望．（3）由方差性质推导出22*s s ＜．【详解】解：（1）记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7：00”，在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7：00， 所以()153204P A ==． （2）X 可能的取值为0，1，2．记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7：00”， 则()51153P B ==，()()213P B P B =-=． ()()()409P X P B P B ==⋅=，()1211411339P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()()129P X P B P B ==⋅=． 所以X 的分布列为：()44120129993E X =⨯+⨯+⨯=．（3）22*s s ＜．【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布、方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18．（1）见解析;（2）∴ . 【解析】 试题分析：(1)利用题意首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的判断定理证明即可；(2)假设 ，在 中利用余弦定理即可求得边长 的值，然后利用几何体的结构特征求解其体积即可. 试题解析：（1）证明：∵四边形 是菱形，∴ ∵ 平面 ∴ ∴ 平面 ∴平面 ⊥平面（2）设 与 的交点为 ， ， 由（1）得 平面 ， ∵ 平面 ∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ∴ 四边形，∵，∴∴ ，∴ ，∴∴四边形 .点睛：第一问证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．第二问求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．19．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）当时，有一个零点；当且时，有两个零点.【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，进而得出切线的方程；（2）现证明在单调递减，在单调递增，且，故有且仅有一个零点；（3）数形结合判断函数的零点的个数.试题解析：（Ⅰ）因为函数所以故，曲线在处的切线方程为（Ⅱ）当时，令，则故是上的增函数.由，故当时，，当时，.即当时，，当时，.故在单调递减，在单调递增.函数的最小值为由，故有且仅有一个零点.（Ⅲ）当时，有一个零点；当且时，有两个零点.点睛：（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理。