河北衡水中学衡水金卷数学三答案及解析
河北衡水金卷—高三第三次联合质量测评数学(文)试题(含答案)
河北衡水金卷—高三第三次联合质量测评数学（文科）本试卷共6页 满分150分 考试用时120分钟 注意事项：l ．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2．第I 卷每小题选出答案后．用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足()12z i i +=-，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集U R =，集合(){}{}()22log 21,340U A x x B x x x C A =-<=--<，则B ⋂为A ．∅B ．{}12x x -<≤C ．{}4x x -<<3D ．{}42x x -<≤3．若命题p 为：[)1,,sin cos 2x x x p ∀∈+∞+≤⌝，则为A ．[)1,,sin cos 2x x x ∀∈+∞+>B ．[)00,1,sin cos 2x x x ∃∈-∞+>C ．[)0001,,sin cos 2x x x ∃∈+∞+>D ．(),1,sin cos 2x x x ∀∈-∞+≤4．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位需要的天数为 A ．14B ．16C ．18D ．205．若线段AB 的长为3，在AB 上任意取一点C ，则以AC 为直径的圆的面积不超过34π的概率为 A ．34B ．436C ．33D ．4336．已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1) ()()12,f x f x +=-(2)当[)()20,2,1x f x x x ∈=-+，则有A ．()()3112f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭ B ．()()3112f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．()()3112f f f ⎛⎫-<<-⎪⎝⎭ D ．()()3112f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭7．某几何体111ABP A B P -的三视图如图所示，其中点1,P P 分别是几何体111ABP A B P -上下底面的一组对应顶点，打点器从P 点开始到1P 点结束绕侧面打一条轨迹线，则留下的所有轨迹中最短轨迹长度为 A ．625+ B ．()2153+C ．425+D ．153+8．已知向量()11,3,,2a b x a b ⎛⎫==-⎪⎝⎭，若与的夹角为60 ，则x 的值为A ．0B ．33C ．32D ．302或9．已知双曲线()222210,0x y E a b a b -=>>：的左，右焦点分别为12,F F 过右焦点的直线:l x y c +=在第一象限内与双曲线E 的渐近线交于点P ，与y 轴正半轴交于点Q ，且点P 为2QF 的中点，12QF F ∆的面积为4，则双曲线E 的方程为A ．22122x y -= B ．2212x y -= C ．22144x y -= D ．22143x y -= 10．在长方体11111122,ABCD A BC D AA AD A B -==中，与平面11ABC D 所成的角为α，则α的取值区间为A ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭11．椭圆()222210x y C a b a b+=>>：与抛物线2:4E y x =相交于点M ，N ，过点()1,0P -的直线与抛物线E 相切于M ，N 点，设椭圆的右顶点为A ，若四边形PMAN 为平行四边形，则椭圆的离心率为 A ．33B ．22C ．23D ．3412．已知函数()()sin 03,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<≤<<⎪⎝⎭对(),6x R f x f π⎛⎫∈≤⎪⎝⎭恒成立，且12x π=-为函数()f x 的一个零点，将函数()f x 的图象向右平移3π个单位得函数()g x 的图象，则方程()()10,4,4xe g x x +=∈-的解的个数为 A ．4B ．5C ．6D ．7第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2022-2023学年河北省衡水中学高三(下)第三次月考数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年河北省衡水中学高三（下）第三次月考数学试卷1.设复数，则在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合，，则有个真子集.( )A. 3B. 16C. 15D. 43.已知且，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有( )A. 48B. 54C. 60D. 725.公差不为0的等差数列的前n项和为，且，若，，，，依次成等比数列，则( )A. 81B. 63C. 41D. 326.在中，，，，则直线AD通过的( )A. 垂心B. 外心C. 重心D. 内心7.如图，平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且，，若G是线段EF上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值是( )A.B.C.D.8.已知向量，是夹角为的单位向量，若对任意的，，且，，则m的取值范围是( )A. B. C. D.9.以下四个命题中，真命题的有( )A. 在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好B. 回归模型中残差是实际值与估计值的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高C. 对分类变量x与y的统计量来说，值越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大D. 已知随机变量X服从二项分布，若，则10.2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图像近似函数的图像，而破碎的涌潮的图像近似是函数的导函数的图像.已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为，则( )A. B.C. 的图像关于原点对称D. 在区间上单调11.在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )A. 异面直线与所成角的余弦值为B. 点P为正方形内一点，当平面时，DP的最小值为C. 过点，E，F的平面截正方体所得的截面周长为D. 当三棱锥的所有顶点都在球O的表面上时，球O的表面积为12.已知F是抛物线W：的焦点，点在抛物线W上，过点F的两条互相垂直的直线，分别与抛物线W交于B，C和D，E，过点A分别作，的垂线，垂足分别为M，N，则( ) A. 四边形AMFN面积的最大值为2 B. 四边形AMFN周长的最大值为C. 为定值D. 四边形BDCE面积的最小值为3213.的展开式的常数项是______ .14.已知点，，若线段AB与圆C：存在公共点，则m的取值范围为______ .15.已知实数，满足，则的最小值是______ .16.若正实数a，b满足，则的最小值为______ .17.已知为等差数列，求的通项公式；若为的前n项和，求18.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且求证：；求的取值范围.19.2020年席卷全球的新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难，面对新冠肺炎，早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一.某社区对55位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，先到社区医务室进行口拭子核酸检测，检测结果成阳性者，再到医院做进一步检查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.假设该疾病患病的概率是，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为，设这55位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将55位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：方案一：将55位居民分成11组，每组5人；方案二：将55位居民分成5组，每组11人；试分析哪一个方案的工作量更少？参考数据：，20.图①是直角梯形ABCD，，，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且，以BE为折痕将折起，使点C到达的位置，且求证：平面平面ABED；在棱上是否存在点P，使得点P到平面的距离为？若存在，求出直线EP与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.21.已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，求双曲线的方程；过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点在A、Q之间，若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求与面积之比的取值范围．22.已知为正实数，函数若恒成立，求A的取值范围；求证：…答案和解析1.【答案】D【解析】解：复数，对应点的坐标为，即在复平面内对应的点位于第四象限．故选：化简复数为代数形式，即可判断对应点所在象限．本题考查复数的运算，复数的几何意义，是基础题．2.【答案】A【解析】解：，，则，真子集个数为故选：计算，得到真子集个数．本题主要考查集合交集运算及集合真子集个数的判断，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：因为且，若函数为增函数，则，若函数在上单调递增，则，即，故，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的充要条件．故选：由已知结合指数函数与幂函数单调性分别求出相应的a的范围，即可判断．本题主要考查了指数函数与幂函数单调性的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：将5名大学生分为1，2，2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由种方法；按照分步乘法原理，共有种方法．故选：先分组，再考虑甲的特殊情况．本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：因为，所以，，故，设等差数列的公差为d，则，所以，因为，，，，依次成等比数列，，所以，所以，所以，故选：由条件求出数列的通项公式，再结合等比数列定义求本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：，设，，则，由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF为菱形．为菱形的对角线，平分直线AD通过的内心．故选：首先根据已知条件可知，又因为，设，，由向量加法的平行四边形法则可知四边形AEDF为菱形，从而可确定直线AD通过的内心．本题考查向量加法的平行四边形法则及其几何意义，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：设的外接圆的半径为r，则，当，即时，r由最小值为2，此时的外心为AB的中点，三棱锥的外接球的半径R满足三棱锥的外接球的面积的最小值为故选：设的外接圆的半径为r，在中，由正弦定理可得，求出r的最小值，进一步得到三棱锥的外接球的半径的最小值，则答案可求．本题考查多面体的外接球，求出外接圆半径的最小值是关键，是中档题．8.【答案】D【解析】解：已知向量，是夹角为的单位向量，则，即，即，即，设，，则函数为减函数，即，恒成立，即，即，故选：由题意可得，设，，则函数为减函数，即，恒成立，然后求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了导数的综合应用，属中档题．9.【答案】AB【解析】解：对于A，由相关指数的定义知：越大，模型的拟合效果越好，A正确；对于B，残差点所在的带状区域宽度越窄，则残差平方和越小，模型拟合精度越高，B正确；对于C，由独立性检验的思想知：值越大，“x与y有关系”的把握程度越大，C错误．对于D，，，又，，解得：，D错误．故选：根据相关指数的定义确定A；根据残差的性质确定B；根据独立性检验确定C；根据二项分布与均值的运算确定本题主要考查独立性检验，残差和独立性的定义，以及二项分布的期望公式，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：，则，由题意得，即，故，因为，所以由，可得，故选项A错误；因为破碎的涌潮的波谷为，所以的最小值为，即，得，所以，则，故选项B正确；因为，所以，所以为奇函数，则选项C正确；根据，由，得，因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上不单调，则选项D错误．故选：对于A，由题意，求导建立方程，根据正切函数的性质，可得答案；对于B，整理其函数解析式，代入值，利用和角公式，可得答案；对于C，整理函数解析式，利用诱导公式，结合奇函数的性质，可得答案；对于D，利用整体思想，整体换元，结合余弦函数的性质，可得答案．本题主要考查三角恒等变换，求三角函数的导数，函数的图像变换规律，正弦函数的图像和性质，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：对于A：因为，所以为直线与直线所成的角，所以，故A错误；对于B：取的中点M，取的中点N，取AD的中点S，连接MN，DM，DN，所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以，所以面，同理可得，所以面，又面，平面，所以点P的轨迹为线段MN，在中，过点D作，此时DP取得最小值，由题可得，，，所以，故B正确；对于C：由平面面得，过点，E，F的平面必与和有交点，设过点，E，F的平面与平面和平面分别交于与FN，所以，同理可得，过点，E，F的平面截正方体所得的截面图形为五边形，所以D为坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，，则，，，，，所以，，，，因为，，所以，，解得，，所以，，所以，，由题可知，，，，，所以，过点，E，F的平面截面正方体所得截面周长为，故C正确；对于D：取EF的中点，连接，则，过点作，且，所以O为三棱锥的外接球的球心，所以OE为外接球得半径，在中，，所以，所以，故选：对于A：根据异面直线所成角的定义可得为直线与直线所成的角，再计算，即可判断A是否正确；对于B：取的中点M，取的中点N，取AD的中点S，连接MN，DM，DN由面，找到点P的轨迹为线段MN，再计算DP的最小值，即可判断B是否正确；对于C：找到过点，E，F的平面截正方体所得的截面图形为五边形，再计算截面周长，即可判断C是否正确；对于D：取EF的中点，连接，则，求出三棱锥的外接球的半径，再计算球的表面积，即可判断D是否正确．本题考查直线与平面的位置关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：因为点在抛物线W：上，所以，，，故抛物线W的方程为：，焦点坐标为，由，得，所以，当且仅当时，等号成立，所以四边形AMFN面积的最大值为2，故A正确．由，得，即，所以四边形AMFN周长的最大值为，故B正确．设直线BC的方程为，，，联立，消x得，，判别式，，，则，同理得，，故C错误．，所以，当且仅当时，等号成立，此时，故D正确．故选：根据给定条件，求出抛物线W的方程，确定四边形AMFN形状，利用勾股定理及均值不等式计算判断A，B ；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出弦BC，DE长即可计算推理判断C，D作答．本题考查了抛物线的方程和性质以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．13.【答案】70【解析】解：，则常数项为，故答案为：先将多项式进行化简，然后利用多项式特点进行求解即可．本题主要考查二项式定理的应用，根据多项式的性质先进行化简，然后利用常数项特点进行求解是解决本题的关键，是基础题．14.【答案】【解析】解：如图，当圆和线段AB相切时，圆的半径最小，当圆过B点时，圆的半径最大．又圆C方程为：，圆心为，半径为，，当圆和线段AB相切时，，即，，解得，当圆过B点时，可得，，的取值范围为故答案为：通过图像可得当圆和线段AB相切时，圆的半径最小，当圆过B点时，圆的半径最大，据此可得m的取值范围．本题考查直线与圆的位置关系，运动变化思想，方程思想，化归转化思想，属中档题．15.【答案】9【解析】解：由已知条件得，，，又，，，，当且仅当，即时等号成立．故答案为：将已知条件通过恒等变形，再利用基本不等式即可求解．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：因为，所以，所以，即令，则有，设，只需证明，，令得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即，又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以设，所以，由得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以的最小值为故答案为：由不等式变形为，通过换元，根据不等式恒成立得出a与b的关系，从而把表示为关于a的表达式，再通过构造函数求最值即可．本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．17.【答案】解：，，，⋯，，，；当时，满足上式，所以；由可得，【解析】本题考查运用累乘法求数列的通项公式，裂项相消法求数列的前n项和，属中档题．利用累乘法可求的通项公式；由可得，利用裂项相消法求出18.【答案】证明：在中，由及正弦定理得：，又，，即，，即，，，，，；解：由得，，，由题意，及正弦定理得：，，，即，故的取值范围为【解析】结合正弦定理及正弦和角公式得，结合角度范围即可证明；结合正弦定理及三角恒等变换，结合B角范围即可求解．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．19.【答案】解：设事件A为“核酸检测呈阳性“，事件B 为“患疾病”由题意可得，，，由条件概率公式得：，即，故该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率为设方案一中每组的检测次数为X，则X 的取值为1，6，，，所以X 的分布列为X16P所以，即方案一检测的总次数的期望为，设方案二中每组的检测次数为Y，则Y 的取值为1，12，；，所以Y 的分布列为Y112P所以，即方案二检测的总次数的期望为，由，则方案二的工作量更少．【解析】设事件A为“核酸检测呈阳性“，事件 B 为“患疾病“，利用条件概率公式求解即可；设方案一和方案二中每组的检测次数为X，Y，分别求出两种方案检测次数的分布列，进而得出期望，通过比较期望的大小即可得出结论．本题主要考查了条件概率公式的应用以及均值的实际应用，属于中档题．20.【答案】解：证明：如图所示，在图①中，连接AC，交BE于O，因为四边形ABCE是边长为2的菱形，且，所以，且，在图②中，相交直线OA，均与BE垂直，所以是二面角的平面角，因为，所以，所以，所以平面平面由知，分别以直线OA，OB，为x，y，z轴建立如图②所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，，设，，则，设平面的一个法向量，则，令，则，，所以因为P到平面的距离为，所以，解得，由，得，所以，，，所以，所以设直线EP与平面所成的角为，所以【解析】在图①中，连接AC，交BE于O，可推出，且，在图②中，相交直线OA，均与BE垂直，则是二面角的平面角，由勾股定理可得，进而可得答案．由知，分别以直线OA，OB，为x，y，z轴建立如图②所示的空间直角坐标系，设，，可得的坐标，求出平面的一个法向量，由于P到平面的距离为，则，解得，设直线EP与平面所成的角为，进而可得答案．本题考查直线与平面的位置关系，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．21.【答案】解：由已知，，，，，则，，解得，，双曲线的方程为直线l的斜率存在且不为0，设直线l：，设，，由，得，则，解得①点在以线段AB为直径的圆的外部，则，②由①、②得实数k的范围是，由已知，在A、Q之间，则，且，，则，，则，，，解得，又，故的取值范围是【解析】考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．由已知，，，，由，知，故，，由此能求出双曲线的方程．直线l的斜率存在且不为0，设直线l：，设，，由，得，由此入手，能够求出的取值范围．22.【答案】解：，①若，即，，函数在区间单调递增，故，满足条件；②若，即，当时，，函数单调递减，故，矛盾，不符合题意；综上：先证右侧不等式，如下：由可得：当时，有，则，即，即则有，即，右侧不等式得证．下面证左侧不等式，如下：易知，可得，即，则有，即，，则故，综上：…【解析】求导得，分，两种情况讨论可得的取值范围；当时，有，则，可得可证右侧不等式，可得，，可证左侧不等式．本题考查导数的综合应用，考查不等式的证明，属难题．。
2021届河北衡水金卷新高考仿真考试(三)数学(理)试题
2021届河北衡水金卷新高考仿真考试（三）理科数学试卷★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数()12a ia R i+∈-在复平面内对应的点在直线y x =上，则a =（ ） A. 1 B. 3-C. 1-D.13【答案】B 【解析】 【分析】化简复数为代数形式，利用复数的几何意义得出对应点坐标，代入直线方程可得a 。
详解】()()1222112555a i i a i a a i i +++-+==+-， 因为()12a i a R i +∈-在复平面内对应的点221(,)55a a -+， 该点在直线y x =上，所以22155a a -+=，所以3a =-， 故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义，掌握复数的除法运算是解题关键.2.已知集合{}2230A x Z x x =∈--≤，21122y B y -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则A B 中的元素个数是（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个【答案】D 【解析】 【分析】求出集合,,A B A B ⋂即得答案.【详解】解不等式2230,x x x Z --≤∈，可得{1,0,1,2,3}A =-. 解不等式21122y -≥，可得[)0,B =+∞. {0,1,2,3}A B ∴⋂=，含有4个元素．故选：D .【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.3.若k ∈R ，则3k >-是方程22133x y k k +=-+表示双曲线的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线3k -和3k +异号，进而求得k 的范围即可判断是什么条件．【详解】解：因为方程22133x y k k +=-+表示双曲线，所以()()330k k -+<，解得33k -<<，因为()3,3- ()3,-+∞，所以3k >-是方程22133x y k k +=-+表示双曲线的必要不充分条件，故选：B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据双曲线的定义是解决本题的关键，属于基础题． 4.《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A.43钱 B.73钱 C.83钱 D.103钱【答案】C 【解析】 【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ，由题意求得a ＝﹣6d ，结合a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝10求得a ＝2，则答案可求．【详解】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ， 则由题意可知，a ﹣2d +a ﹣d ＝a +a +d +a +2d ，即a ＝﹣6d ， 又a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝10，∴a ＝2， 则a ﹣2d ＝a 48333a a +==． 故选C ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查实际应用，正确设出等差数列是计算关键，是基础的计算题． 5.在ABC ∆中，23BD BC =，E 为AD 的中点，则CE =（ ） A.1263AB AC - B. 2136AB AC - C. 1536AB AC -D.5163AB AC - 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】如图：1122CE CA CD =+1126CA CB =+ 11()26CA AB AC =+- 1263AB AC =-, 故选：A【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于容易题.6.以下说法：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②设有一个回归方程ˆ35yx =-，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位③在某项测里中，测量结果ξ服从正态分布()()22,0N σσ>，若ξ在(),1-∞内取值的概率为0.1，则ξ在()2,3内取值的概率为0.4；④随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值.其中错误的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据各命题对应的知识即可判断各命题的真假.【详解】解：对于①，方差是衡量一组数据的离散程度，当一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，这组数据的离散程度不变，所以方差不变，所以①正确； 对于②，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位，所以②错误； 对于③，由ξ服从正态分布()()22,0N σσ>，ξ在(),1-∞内取值的概率为0.1，所以ξ在()3,+∞内取值的概率也为0.1，所以ξ在()2,3内取值的概率为0.4，所以③正确；对于④，随机事件A 的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值是正确的，所以④正确， 所以错误的命题有1个 故选：B【点睛】此题考查了统计中的有关概念，性质，方法的理解和应用，属于基础题.7.某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线xy e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）A.NM N-B.MM N-C.M NN- D.M N【答案】D 【解析】 【分析】利用定积分计算出矩形OABC 中位于曲线xy e =上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于e 的等式，解出e 的表达式即可.【详解】在函数xy e =的解析式中，令1x =，可得y e =，则点()1,B e ，直线BC 的方程为y e =，矩形OABC 中位于曲线xy e =上方区域的面积为()()1101xxS e e dx ex e =-=-=⎰，矩形OABC 的面积为1e e ⨯=， 由几何概型的概率公式得1N M e =，所以，M e N=. 故选：D.【点睛】本题考查利用随机模拟的思想估算e 的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.8.执行如图的程序框图，最后输出结果为8.若判断框填入的条件是s a ≥，则实数a 的取值范围是( )A. (]21,28B. [)21,28C. (]28,36D. [)28,36【答案】A 【解析】 【分析】根据循环结构程序框图的运算，求得k =7及k =8时s 的值，判断框填入的条件是s a ≥，即可得a 的取值范围.【详解】1k =，0s =，①条件不满足，1s =，2k =；②条件不满足，3s =，3k =； ③条件不满足，6s =，4k =；④条件不满足，10s =，5k =； ⑤条件不满足，15s =，6k =；⑥条件不满足，21s =，7k =； ⑦条件不满足，28s =，8k；满足条件，退出循环.2128a ∴<≤.故选：A .【点睛】本题考查程序框图计算，此类问题需要分析程序框图中各个变量、语句的作用，根据流程图的顺序依次计算即可，属于基础题. 9.已知定义在R 上的偶函数()2x kf x ex -=+（其中e 为自然对数的底数），记()20.3a f =，()0.32b f =，()3log 2c f k =+，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. b c a <<B. c a b <<C. a c b <<D. b a c <<【答案】C 【解析】 【分析】根据定义在R 上的偶函数()2x kf x ex -=+，则()()f x f x -=，解得0k =，得到()2x f x e x =+在[0,)+∞上的单调性，再根据20.330.3,log 2,2的大小关系，利用单调性定义求解.【详解】由定义在R 上的偶函数()2x kf x e x -=+，得：()()f x f x -=， 即()22---+-=+x kx kex ex ，所以+-=x k x k e e ， 解得0k =，所以()2xf x e x =+，因为[0,)x ∈+∞时，xy e =，2yx 单调递增，所以()2xf x e x =+在[0,)+∞上单调递增， 因为20.300.31,21<<>，122331log 2log 30.50.090.3>>=>=，所以20.330.3log 22<<，所以()20.3<f ()3log 2+f k ()0.32<f ，即a c b <<. 故选：C【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性，单调性比较函数值的大小，还考查了转化问题求解的能力，属于中档题.10.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b==>>的左右焦点分别为1F 、2F ，且抛物线E ：()220y px p =>的焦点与双曲线C 的右焦点2F 重合，点P 为C 与E 的一个交点，且直线1PF 的倾斜角为45°则双曲线的离心率为（ ）A.12B.1C.D.【答案】B 【解析】 【分析】设双曲线焦点2(,0)F c ，可得抛物线的焦点坐标为(,0)c ，准线l 方程为x c =-，过点P 做PM l ⊥，垂足为M ，根据题意有21||||||PF PM MF ==，可得2PF x ⊥轴，进而将12||,||PF PF 用c 表示，结合双曲线定义，即可求解.【详解】设双曲线焦点2(,0)F c ，则抛物线E 的准线l 方程为x c =-， 过P 做PM l ⊥，垂足为M ，则2||||PM PF =，121211,45,45,|||PMF F PF F MPF MP MF ∠=︒∴∠=︒=，12212211||||,,||||2,||MF PF PF F F PF F F c PF ∴=⊥∴===，又点P 在双曲线上，12||||22(21)PF PF a c ∴-==-，12121ce a ===+-. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线和抛物线的性质，应用曲线的定义是解题关键，注意几何方法的合理运用，属于中档题.11.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD DD ==，3AB =，E ，F ，G 分别为AB ，BC ，11C D 的中点，点P 在平面ABCD 内，若直线1//D P 平面EFG ，则线段1D P 长度的最小值是（ ）A.223B.62C.5 D.72【答案】D 【解析】 【分析】首先找出过1D 点且与平面EFG 平行的平面，然后在三角形内找线段1D P 长度的最小值即可. 【详解】如图，连接1D A ，AC ，1D C ，因为E ，F ，G 分别为AB ，BC ，11C D 的中点， 所以//,AC EF EF ⊄平面1ACD ，则//EF 平面1ACD ， 因为1//EG AD ，所以同理得//EG 平面1ACD ，又EFEG E =，得平面1//ACD 平面EFG ，因为直线1//D P 平面EFG ，所以点P 在直线AC 上,在1ACD ∆中，有1AD =2AC =，12CD =，所以112AD CS ∆==， 故当1D P AC ⊥时，线段1D P 的长度最小，有11112AD CS AC D P D P ∆=⨯⨯⇒=2122=⨯. 故选：D.【点睛】本题考查了空间中两平面平行的证明，等面积法求点到直线距离，属于一般题.12.已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t 的取值范围是（ ） A. (,2ln 2)-∞- B. (],2ln 2-∞- C. (,112ln 2)-∞-+ D. (],112ln 2-∞-+【答案】C 【解析】 【分析】先求导得221()ax x f x x-+='（0x >），由于函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，转化为方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，根据∆，12x x +，12x x ⋅，求出a 的取值范围，而()()()12122f x f x x x t +>++有解，通过分裂参数法和构造新函数51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭，通过利用导数研究()h a 单调性、最值，即可得出t 的取值范围.【详解】由题可得：221()ax x f x x-+='（0x >），因为函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ， 所以方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有1212180,10,210,2a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩解得108a <<. 若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解， 所以()()()1212max 2t f x f x x x <+-+⎡⎤⎣⎦因为()()()12122f x f x x x +-+()2211122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+()()()21212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦51ln(2)4a a=---.设51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 254()04a h a a -'=>，故()h a 在10,8⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 故1()112ln 28h a h ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭， 所以112ln 2t <-+，所以t 的取值范围是(,112ln 2)-∞-+. 故选：C.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：13.61(2)x x-的展开式中常数项是___________. 【答案】-160 【解析】试题分析：常数项为333461(2)()160T C x x=-=-. 考点：二项展开式系数问题.14.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x ，()()11f x f x +=-，且当(1,0)x ∈-时，41()log ()2f x x =--，则17()2f =______. 【答案】1- 【解析】 【分析】 由()()0f x f x ，知函数()f x 奇函数，结合(1)(1)f x f x +=-得函数周期4，化简171()()22f f =由已知条件得解. 【详解】由()()0f x f x 知函数()f x 为奇函数，()()f x f x ∴=--()()11f x f x +=-，()()()2f x f x f x +=-=-()()()()42f x f x f x f x ⎡⎤∴+=-+=--=⎣⎦，所以函数的周期为4， 17171()(24)()222f f f =-⨯=，11()()22f f =-- 又(1,0)x ∈-时，41()log ()2f x x =--，4111()log ()1222f ∴-=-=1711()()()1222f f f ==--=- 故答案：1-【点睛】本题考查奇偶性与周期性综合问题.其解题思路：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．15.已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，22n n n S a a =+，n *∈N ，()()112122n n n n n n b a a +++=++，对任意的n *∈N ，n k T >恒成立，则k 的取值范围是______. 【答案】13k ≥ 【解析】 【分析】由22n n n S a a =+可得21112n n n S a a ---=+，两式相减整理后可知11n n a a --=，则{}n a 首项为1，公差为1的等差数列，从而可得n a n =，进而可以确定111221n n n b n n +=-+++，则可求出121111 (3213)n n n T b b b n +=+++=-<++，进而可求出k 的取值范围. 【详解】因为22n n n S a a =+，所以当2,n n N *≥∈时，21112n n n S a a ---=+，两式相减得:22112n n n n n a a a a a --=+-- ， 整理得，()()1101n n n n a a a a --+--=， 由0n a > 知，10n n a a -+≠， 从而110n n a a ---=，即当2,n n N *≥∈时，11n n a a --=，当1n =时，21112a a a =+，解得11a =或0（舍），则{}n a 首项为1，公差为1的等差数列， 则()111n a n n =+-⨯=.所以112111(2)(21)221n n n n n n b n n n n +++==-++++++，则121111111 (36611221)n n n n T b b b n n +=+++=-+-++-+++ 11311213n n +=<++- 所以13k ≥.故答案为：13k ≥.【点睛】本题考查了由递推数列求数列通项公式，考查了等差数列的定义，考查了裂项相消法求数列的和.一般如果已知了,n n S a 的关系式，一般地代入11,1,2,n nn S n a S S n n N *-=⎧=⎨-≥∈⎩ 进行整理运算.求数列的和常见的方法有，公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等.16.已知三棱锥S ABC -的顶点都在球O 的球面上，且该三棱锥的体积为SA ⊥平面ABC ，4SA =，120ABC ∠=︒，则球O 的体积的最小值为______.【答案】3【解析】 【分析】根据体积公式得到6BA BC ⋅=，根据余弦定理得到AC ≥，根据正弦定理得到r ≥，根据2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得到R ≥.【详解】11143322S C C AB AB V S SA BA BC -∆=⋅=⨯⨯⋅⨯=，故6BA BC ⋅=. 根据余弦定理：222222cos 3AC BA BC BA BC B BA BC BA BC BA BC =+-⋅=++⋅≥⋅，即AC ≥BA BC =时等号成立.设外接圆半径为r ，故2sin br B=≥，即r ≥设球O 的半径为R ，球心O 在平面ABC 的投影1O 为ABC ∆外心，则22264102SA R r ⎛⎫=+≥+= ⎪⎝⎭，R ≥343V R π=≥.故答案为：3.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，点13,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ，点A 是单位圆与x 轴的正半轴的交点.（1）若AOB α∠=，求sin 2α；（2）设点P 为单位圆上的动点，点Q 满足OQ OQ OP =+，ππ262AOP θθ⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭，()f OB OQ θ=⋅，求()fθ的取值范围.当OQ OQ ⊥时，求四边形OAQP 的面积.【答案】（1）3；（2）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，32. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义，结合题的条件，可知3sin α=，1cos 2α=-，之后应用正弦倍角公式求得结果；（2）根据三角函数的定义，写出()cos2,sin 2P θθ，利用向量加法运算法则求得()1cos2,2sin 2OQ θθ=+，应用向量数量积的坐标运算式以及辅助角公式求得()π1sin 262f θθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，结合θ角的范围，求得()f θ的取值范围，令()0f OB OQ θ=⋅=，解得π23θ=，利用面积公式求得结果.【详解】（1）由三角函数定义，可知sin α=，1cos 2α=-，所以1sin 22sin cos 2222ααα⎛⎫==⨯-=-⎪⎝⎭. （2）由三角函数定义，知()cos2,sin 2P θθ， 所以()1cos2,2sin 2OQ OA OP θθ=+=+，所以()()1π11cos 22sin 2262fOB OQ θθθθ⎛⎫=⋅=-+=-- ⎪⎝⎭， 因为ππ62θ≤≤，所以ππ5π2666θ≤-≤，即1πsin 2126θ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，于是()102f θ≤≤，所以()f θ的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.当OB OQ ⊥时，()0f OB OQ θ=⋅=，即π12062sin θ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得π23θ=，易知四边形OAQP 为菱形，此时菱形OAQP 的面积为1π211sin 232⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】该题考查的是有关三角函数和向量的综合题，涉及到的知识点有三角函数的定义，正弦倍角公式，正弦型函数在给定区间上的值域，菱形的面积公式，属于中档题目.18.《中华人民共和国民法总则》（以下简称《民法总则》）自2017年10月1日起施行.作为民法典的开篇之作，《民法总则》与每个人的一生息息相关.某地区为了调研本地区人们对该法律的了解情况，随机抽取50人，他们的年龄都在区间[25,85]上，年龄的频率分布及了解《民法总则》的入数如下表：（1）填写下面22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为以45岁为分界点对了解《民法总则》政策有差异；（2）若对年龄在[45,55)，[65,75)的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解《民法总则》的人数为X ，求随机变量的分布列和数学期望.参考公式和数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】(1)2×2 列联表没有 99% 的把握认为以 45 岁为分界点对了解 《 民法总则 》 政策有差异． ( 2 ) X 的分布列是45EX =;【解析】 【分析】(1 ) 利用表格数据，根据联列表利用公式求解即可．( 2 ) 通过 X 的取值，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可． 【详解】(1)2×2 列联表222()50(311729) 6.27 6.635()()()()10403218n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯,所以没有 99% 的把握认为以 45 岁为分界点对了解 《 民法总则 》 政策有差异． ( 2 )X 所有可能取值有 0 ， 1 ， 2 ， 3 ，22842210584(0)225C C P X C C ===;111428228422105104(1)22+5C C P X C C C C C ===; 111222248422105(2)+32255C C P X C C C C C ===;1242210522(3)225C C P X C C ===; 所以 X 的分布列是 X 0123P 84225 104225 35225 2225所以 X 的期望值是 1047064022********EX =+++=. 【点睛】本题考查概率统计中的独立性检验和随机变量的分布列和期望的计算，属于中档题. 19.如图，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，1π3B BA ∠=.（1）证明：11B C AC ⊥；（2）若平面11ABB A ⊥平面ABC ，M 为11A C 的中点，求1B C 与平面1AB M 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（265. 【解析】 【分析】（1）取AB 中点D ，连接1B D ，CD ，1BC ，则由已知可得，1B D AB ⊥，CD AB ⊥，从而可得AB ⊥平面1B CD ，1AB B C ⊥，所以有1B C ⊥平面1ABC ，可得11B C AC ⊥，（2）由于DB ，1DB ，DC 两两垂直，所以以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，1DB 为z 轴，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解1B C 与平面1AB M 所成角的余弦值. 【详解】证明：（1）取AB 中点D ，连接1B D ，CD ，1BC .如图，∵三棱柱的所有棱长均为2，1π3B BA ∠=， ∴ABC 和1ABB △是边长为2的等边三角形，且11B C BC ⊥. ∴1B D AB ⊥，CD AB ⊥.∵1B D ，CD ⊂平面1B CD ，1⋂=B D CD D ，∴AB ⊥平面1B CD . ∵1B C ⊂平面1B CD ，∴1AB B C ⊥. ∵AB ，1BC ⊂平面1ABC ，1ABBC B =，∴1B C ⊥平面1ABC ，∴11B C AC ⊥.（2）∵平面11ABB A ⊥平面ABC ，且交线为AB ， 由（1）知1B D AB ⊥，∴1B D ⊥平面ABC .则DB ，1DB ，DC 两两垂直，则以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，1DB 为z 轴， 建立空间直角坐标系.则()0,0,0D ，()1,0,0A -，(13B ，()3,0C ，(13,3C -，(13A -∵M 为11A C 的中点，∴33,322M ⎛- ⎝，∴(10,3,3B C =-，(13AB =，1332AM ⎛=- ⎝， 设平面1AB M 的法向量为(),,n x y z =，则13013302AB n x z AM n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1z =，得()3,3,1n =--. 设1B C 与平面1AB M 所成的角为α，则1143226sin 13613B C n B C nα⋅===⋅⋅.∴1B C 与平面1AB M 所成角的余弦为6513. 【点睛】此题考查由线面垂直证线线垂直，考查求线面角，考查了推理能力和计算能力，属于中档题. 20.已知动点P 到点(1,0)F 的距离与它到直线:4l x =的距离d 的比值为12，设动点P 形成的轨迹为曲线C .（1）求曲统C 的方程；（2）过点3)Q 的直线l 与C 交于E ，F 两点，已知点(2,0)D ，直线0x x =分别与直线DE ，DF 交于S ，T 两点，线段ST 的中点M 是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（232230x y +-=. 【解析】【分析】（1）由题意12PFd ==化简可得; （2）直线l 的方程为(2)x ty =+,与椭圆方程联解，设点()11,E x y ，()22,F x y ，()00,M x y ，利用线段ST 的中点M ，表示出12000122(2))(2)12s T y y y y y x x x x =+=-+---，0022y x =-利用根与系数关系代入化简可得解. 【详解】（1）设(,)P x y，由题意得12PFd ==， 整理化简得22143x y +=，曲线方程为22143x y +=. （2）设直线的方程为(2)x ty =+，设()11,E x y ，()22,F x y ，()00,M x y ，直线DE 的方程为11(2)2y y x x =--，101(2)2s y y x x =--， 同理202(2)2T y y x x =--， 所以12000122(2))(2)12s T y y y y y x x x x =+=-+---，即0120122222y y y x x x =+=---， 联立22(2)34120x ty x y ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩，∴2222(34)(12)90t y t y t ++-+-=， 所以12y y=，12y y +=，代入得00222y x ==-0020y +-=，所以点M20y +-=上.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线的取值范围等基本知识与基本技能，以及数形结合、转化与化归的数学思想.意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力以及分析问题、解决问题的能力.21.已知函数()1ln 1f x a x x=+-，其中a R ∈，e 为自然对数的底数. （1）若1a =，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在定义域上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围；（3）设函数()()1x g x e f x x=+-在区间()0,a e -)上存在极值，求证：11a a e a --+>+. 【答案】（1）0y =（2）01a <<或1a >（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）对a 分00a a ≤>，两种情况讨论，当0a >时，再分三种情况结合导数分类讨论；（3）先求出()x xe a g x x-'=，要使得()g x 在()0,a e -上存在极值，则须满足()()00,0,a t t e -⎧<⎪⎨>⎪⎩即0,0,a a e a e e a -->⎧⎪⎨⋅->⎪⎩分析推理即可得到11a a e a --+>+. 【详解】（1）当1a =时，()1ln 1f x x x =+-，()10f =，()211f x x x -'=，()10f '=， 所以函数()f x 在1x =处得切线方程为0y =．（2）因为()1ln 1f x a x x =+-，0x >，()10f =， 所以()2211a ax f x x x x-'=-=． ①若0a ≤，则()0f x '<，()f x 在()0,∞+上是单调增函数，所以()f x 在()0,∞+上至多一个零点，与题意不符合．②若0a >，令()0f x '=，得1x a=．（ⅰ）若11a=，即1a =时，()f x 有且仅有一个零点1x =，与题意不符． （ⅱ）若11a >，即01a <<时，11a e >，()110f f a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， 又11111ln 10a a a af e a e e e ⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭，且()f x 的图像在()0,∞+上不间断， 所以存在101,a x e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f x =．此时，()f x 在()0,∞+恰有两个不同得零点1x =和101,a x x e a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭．所以01a <<符合题意．（ⅲ）若101a<<，即1a >时，()110f f a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭． 令()()21a a a f e e a ϕ-==--，()2a a e a ϕ'=-，()20a a e ϕ''=->，所以()a ϕ'在()1,+∞上是单调增函数，()()20a a e ϕϕ'>=->，所以()a ϕ在()1,+∞上是单调增函数，()()120a e ϕϕ>=->．所以()0a f e ->，且01a e -<<，()f x 的图像在()0,∞+上不间断， 所以存在01,a x e a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f x =． 此时，()f x 在()0,∞+恰有两个不同得零点1x =和01,a x x e a -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭． 所以1a >符合题意．综上所述，实数a 的取值范围是01a <<或1a >．（3）依题意()11ln 1ln 1x x g x e a x e a x x x ⎛⎫=+-+-=-+ ⎪⎝⎭，0a x e -<<． 则()x xa xe a g x e x x -'=-=，令()x t x xe a =-，()0,a x e -∈，()(1)0x t x e x '=+>， 所以()t x 在()0,a e -上是单调增函数．要使得()g x 在()0,a e -上存在极值，则须满足()()00,0,a t t e -⎧<⎪⎨>⎪⎩即0,0,a a e a e e a -->⎧⎪⎨⋅->⎪⎩ 所以0a a e e a -->>，ln e e a a -->，即ln a e a a ->+．由（2）可知，当0x >时，()1ln 10f x x x =+-≥， 所以0a >，1ln 10a a +-≥． 所以1111ln 1ln 10a e a a a a a a a a --+-->++--=+-≥，即110a e a a --+-->， 所以11a e a a --+>+．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的零点问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点.x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的参数方程为,2132x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），曲线2C的参数方程为1,cos x y ϕϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩（ϕ为参数），曲线1C 、2C 交于A 、B 两点．（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的普通方程；（Ⅱ）已知P点的直角坐标为23⎫-⎪⎝⎭，求PA PB ⋅的值．【答案】（Ⅰ）曲线1C的极坐标方程为sin()6πρθ-=曲线2C 的普通方程为2212y x -=；（Ⅱ）6445【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程、参数方程、普通方程间的互化公式即可；（Ⅱ）联立直线参数方程与双曲线方程得到关于t 的一元二次方程，进一步得到根与系数的关系，再由直线参数方程的几何意义即可解决.【详解】（Ⅰ）由,2132x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去t，得0x -=，所以cos sin 0ρθθ-=，即sin()6πρθ-=由1,cos x y ϕϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩消去ϕ得，2212y x -=，所以曲线1C 的极坐标方程为sin()62πρθ-=-，曲线2C 的普通方程为2212y x -=. （Ⅱ）将,2132x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入2212y x -=中，得25480839t t +-=， 设A 、B 两点所对的参数分别为12,t t ， 则126445t t =-，所以PA PB ⋅=1264||45t t =. 【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程间的互化，以及直线参数方程的几何意义求长度问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.选修4-5：不等式选讲23.设函数()2121f x x x =-++.（1）若存在0x R ∈，使得()205f x m m +≤-，求实数m 取值范围；（2）若m 是（1）中的最大值，且正数a ，b 满足a b m +=，证明：221a b b a+≥. 【答案】(1) 21m -≤≤.(2)见解析.【解析】(1)先求出f(x)的最小值为3，再解不等式235m m +≤-得解；（2）利用基本不等式证明22a b a b b a+++≥2a+2b,又因为a+b=1,不等式即得证. 【详解】（1）∵()|21|2|1|212(1)3f x x x x x =-++≥--+=，∵存在0x R ∈，使得()205f x m m +≤-，∴235m m +≤-，∴21m -≤≤. （2）由（1）知：m 的最大值为1，∴1a b +=，∴22a b a b b a +++≥22a b =+，∴221a b a b b a +≥+=. 当且仅当a b =时取“=”.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，考查不等式的存在性问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
河北省衡水金卷2025届高三数学12月第三次联合质量测评试卷理含解析
河北衡水金卷2024—2025年度高三第三次联合质量测评数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满意，则复数z在复平面内对应的点所在象限为A. 第一象限B. 其次象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】复数满意，∴，则复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.2.已知全集，集合为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简集合A、B，利用补集与交集运算即可得到结果.【详解】因为，所以或.所以.故选B.【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查不等式的解法，属于基础题.3.若命题p为：为A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】依据全称命题的否定为特称命题即可得到结果.【详解】依据的构成方法得，为.故选C.【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.4.朱世杰是历史上最宏大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府接连派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从其次天起先每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位须要的天数为A. 14B. 16C. 18D. 20【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可得到结果.【详解】依据题意设每天派出的人数组成数列，分析可得数列是首项.公差为8的等差数列，设1984人全部派遣到位须要n天，则.解得n=16.故选B.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，考查推理实力与计算实力，属于基础题.5.如图所示，分别以正方形ABCD两邻边AB、AD为直径向正方形内做两个半圆，交于点O．若向正方形内投掷一颗质地匀称的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】计算正方形与阴影的面积，依据面积概型公式得到答案.【详解】法一：设正方形的边长为 2.则这两个半圆的并集所在区域的面积为，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区城内的概率为.故选C.法二：设正方形的边长为2.过O作OF垂直于AB，OE垂直于AD.则这两个半圆的并集所在区域的面积为，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区域的概率为，故选C.【点睛】解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事务的面积；几何概型问题还有以下几点简洁造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确推断事务是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本领件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事务是否等可能性导致错误.6.已知定义在R上的函数满意：(1) ；(2) 为奇函数；(3)当时，图象连续且恒成立，则的大小关系正确的为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先明确函数的周期性、奇偶性与单调性，把问题转化为在上利用单调性比较大小的问题.【详解】因为，所以函数是周期为2的周期函数.又由为奇函数，所以有，所以函数为奇函数，又由当时，图象连续，且恒成立，得函数在区间（-1，1）内单调递增，而.所以.故选C.【点睛】本题综合考查了函数的图象与性质，涉及到周期性、单调性、对称性，利用单调性比较大小，解题关键如何把自变量转化到同一个单调区间上，属于中档题.7.一正方体被两平面截去部分后剩下几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】作出几何体的直观图，视察截去几何体的结构特征，代入数据计算．【详解】由题中条件及三视图可知该几何体是由棱长为2的正方体被平面截去了两个三棱锥后剩下的几何体，如图所示，该几何体的表面三角形有，，，，，，由对称性只需计算，的大小，因为，.所以该几何体的表面积为.故选B.【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思索方法：1、首先看俯视图，依据俯视图画出几何体的直观图；2、视察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再依据三视图进行调整.8.如图所示，边长为2的正方形ABCD中，E为BC边中点，点P在对角线BD上运动，过点P 作AE的垂线，垂足为F，当最小时，A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图易知向量所成角为钝角,结合题意可知当最小时，即为向量在向量方向上的投影最小，确定点P的位置，从而得到结果.【详解】依题，由图易知向量所成角为钝角，所以，所以当最小时，即为向量在向量方向上的投影最小，数形结合易知点P在点D时,最小（如图所示），在三角形ADE中，由等面积可知，所以，从而.所以.故选D.【点睛】本题考查了平面对量数量积的定义及运算，向量的线性运算，考查了数形结合的思想，考查了计算实力，属于中档题.9.已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A、B，过点的直线与双曲线C的右支交于P点，且的外接圆面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可知：，从而易得，利用正弦定理可得外接圆的半径，得到的外接圆面积.【详解】因为，所以，由已知得A（-1.0），B（1，0），（2，0），且，所以，在三角形ABP 中，由正弦定理得.，所以三角形APB的外接圆的面积为.故选C.【点睛】本题考查了双曲线的简洁几何性质，平面对量数量积的几何意义，正弦定理，考查了推理论证实力，计算实力，属于中档题.10.利用一半径为4cm的圆形纸片(圆心为O)制作一个正四棱锥．方法如下：(1)以O为圆心制作一个小的圆；(2)在小的圆内制作一内接正方形ABCD；(3)以正方形ABCD的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图)；(4)将正方形ABCD作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起，使四个等腰三角形的顶点重合，问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设小圆的半径为，连OD.OH.OH与AD交于点M，表示正四棱锥的体积，利用导数探讨函数的最值，即可得到结果.【详解】设小圆的半径为，连OD.OH.OH与AD交于点M，则.因为大圆半径R=4，所以，在正四棱锥中，如图所示，.所以记，所以令，易知，时，取最大值，所以小圆半径为时，V最大。
2021届河北省衡水中学高考数学三模试卷(含答案解析)
2021届河北省衡水中学高考数学三模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数z=1+√3i，则|z|+z=()A. 3+√3iB. 3−√3iC. −3+√3iD. −3−√3i2.函数y=2cos2(x−π4)−1是()A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为2π的奇函数C. 最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为2π的偶函数3.已知整数如下规律排一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是()A. (5,7)B. (6,6)C. (4,8)D. (7,5)4.设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是()．A. (1,3]B. [2,3]C. (1,2]D. [3,+∞)5.已知二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等，则点A在平面BCD上的射影是△BCD的()A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心6.已知圆x2+y2+mx−14=0与抛物线y=14x2的准线相切，则m的值等于()A. ±√2B. √3C. √2D. ±√37.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：°C)满足函数关系y=e kx+b(e为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0°C的保鲜时间是384小时，在22°C的保鲜时间是24小时，则该食品在33°C的保鲜时间是()小时A. 6B. 12C. 18D. 248.如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2则()A. ω=2π15，A=5 B. ω=152π，A=5C. ω=152π，A=3 D. ω=2π15，A=3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.百年大计，教育为本.十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出.近日，教育部发布2020年全国教育事业统计主要结果.其中关于高中阶段教育(含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构)近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下：(名词解释：高中阶段毛入学率=在校生规模÷适龄青少年总人数×100%)根据图中信息，下列论断正确的有()A. 近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长B. 近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人C. 2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万D. 2020年，普通高中的在校生超过2470万人10.已知集合U=(−∞,+∞)，A={x|2x2−x≤0}，B={y|y=x2}，则()A. A∩B=[0,12] B. ∁U A⊆∁U BC. A∪B=BD. ∁B A=(12,+∞)11.已知函数f(x)=sinxcos2xcosx，则()A. f(x)的图象关于点(π2,0)对称 B. f(x)的最小正周期为πC. f(x)的值域为RD. f(x)在(0,π4)上单调递增12.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P在线段BC1(含端点)上运动，则下列判断正确的是()A. A1P⊥B1DB. 三棱锥D1−APC的体积不变，为83C. A1P//平面ACD1D. A 1P 与D 1C 所成角的范围是(0,π3)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. (1−1x 2)(1+x)4展开式中x 2的系数为______．14. 设O 是△ABC 的三边中垂线的交点，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，若b =4，c =2，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是______ ． 15. 已知是双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，若，则的值为 ．16. 已知函数f(x)=3sinx +4cosx ，则函数f(x)的最大值为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA =35，2cosC =sinB ． (1)求tan C 的值；(2)若a =√10，求△ABC 的面积．18. 已知函数f(x)=x 2+(a −1)x +b +1，当x ∈[b,a]时，函数f(x)的图象关于y 轴对称，数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =f(n +1)−1 (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =an2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．19. 全国人大常委会会议于2015年12月27日通过了关于修改人口与计划生育法的决定，“全面二孩”从2016年元旦起开始实施，A 市妇联为了解该市市民对“全面二孩”政策的态度，随机抽取了男性市民30人，女市民70人进行调查，得到以下的2×2列联表：支持 反对 合计 男性 16 14 30 女性 44 26 70 合计6040100(1)根据以上数据，能否有90%的把握认为A 市市民“支持全面二孩”与“性别”有关；(2)现从持“支持”态度的市民中再按分层抽样的方法选出15名发放礼品，分别求所抽取的15人中男性市民和女性市民的人数；(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现在从A市所有市民中，采用随机抽样的方法抽取3位市民进行长期跟踪调查，记被抽取的3位市民中持“支持”态度人数为X(i)求X的分布列；(ii)求X的数学期望E(X)和方差D(X)．，其中n=a+b+c+d．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520.如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1//AB，AB=AA1=2A1B1=2，直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B.点M 为线段BC的中点，点P是线段BB1中点．(Ⅰ)求证：A1C1⊥AP；(Ⅱ)求二面角P−AM−B的余弦值．21.已知椭圆C：．(1)如果椭圆的离心率，经过点．①求椭圆的方程；②经过点P的两直线与椭圆分别相交于A，B，它们的斜率分别为.如果，试问：直线AB的斜率是否为定值？并证明．(2)如果椭圆的，点分别为椭圆的上、下顶点，过点的直线分别与椭圆交于两点.若△的面积是△的面积的倍，求的最大值．22. 已知x=1时，函数f(x)=ax3+bx有极值−2．(1)求实数a，b的值；(2)若方程f(x)=k恰有1个实数根，求实数k的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵z=1+√3i，∴|z|=√1+3=2，z=1−√3i，则|z|+z=2+1−√3i=3−√3i．故选：B．由已知求得|z|及z，作和得答案．本题考查复数模的求法，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：A解析：解：y=2cos2(x−π4)−1=cos(2x−π2)=sin2x，∴此函数的最小正周期为π，为奇函数；故选：A．运用二倍角公式化简为cos(2x−π2)，再利用诱导公式化简．本题考查了余弦的二倍角公式以及诱导公式的运用．3.答案：A解析：解：在平面直角坐标系中，将各点按顺序连线，如图所示：可得：(1,1)为第1项，(1,2)为第(1+1)=2项，(1,3)为第(1+1+2)=4项，(1,4)为第(1+1+2+3)=7项，(1,5)为第(1+1+2+3+4)=11项，…，依此类推得到：(1,11)为第(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)=56项，∴第57项为(2,10)，第58项为(3,9)，第59项为(4,8)，则第60项为(5,7)．故选A我们可以在平面直角坐标系中，将：(1,1)、(1,2)、(2,1)、(1,3)、(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，按顺序连线，然后分析这些点的分布规律，然后归纳推断出，点的排列规律，再求出第60个数对．本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．4.答案：A解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．当a>1时才能够使函数y=a x的图象上存在区域D上的点，由图可知当函数y=a x的图象经过点A时a取得最大值，由方程组解得x=2，y=9，即点A(2,9)，代入函数解析式得9=a2，即a=3，故1<a≤3．5.答案：A解析：本题考查二面角的平面角，考查三角形内心的概念，属于基础题．二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等，可得点A在平面BCD上的射影到△BCD的三边的距离都相等，即可得出结论．解：∵二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等，∴点A在平面BCD上的射影到△BCD的三边的距离都相等，∴点A在平面BCD上的射影是△BCD的内心，故选：A．6.答案：D解析：试题分析：由抛物线的方程找出p，写出抛物线的准线方程，因为准线方程与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．由抛物线的方程得到p =2，所以抛物线的准线为y =−p2=−1， 将圆化为标准方程得：(x +m2)2+y 2=1+m 24，圆心坐标为(−m2,0)，圆的半径r =√1+m 24，圆心到直线的距离d =√1=1=r =√1+m 24，化简得：m 2=3，解得m =±√3． 故选 D7.答案：A解析：解：∵某食品保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y =e kx+b (e =2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．该食品在0℃的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，所以{e b=384e 22k+b=24，解得e 22k =116，即有e 11k =14，e b =384， 则当x =33时，y =(e 11k )3⋅384=6， 故选：A ．由该食品在0℃的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，列出方程组，求出，由此能求出该食品的保鲜时间．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.答案：D解析：本题主要通过一个实际背景来考查三角函数的周期及振幅． 根据题意，水轮旋转一周所用的时间为一个周期，由周期公式，T =2πω求解；A 为最大振幅，由图象知到最高点时即为A 值． 解：已知水轮每分钟旋转4圈∴ω=4×2π60=2π15又∵半径为3m ，水轮中心O 距水面2m ， ∴距水面最高点为5，即A =3， 故选D ．9.答案：BD解析：解：对于A ，由条形图可知，2018年高中在校生人数比2017年降低了，故选项A 错误；对于B ，近六年高中阶段在校生规模的平均值为4000+16×(38−30−29−65−5+128)=4000+376>4000万人，故选项B 正确；对于C ，2019年未接受高中教育的人数为399589.5%−3995≈469万人，超过420万人，故选项C 错误； 对于D ，2020年普通高中的在校生人数为4128×60.1%=2480.928>2470万人，故选项D 正确． 故选：BD ．根据题中给出的折线图和条形图，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了条形图和折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．10.答案：ACD解析：求出集合A ，B ，进而求出A ∩B ，∁U A ，∁U B ，A ∪B ，∁B A ，由此能求出结果．本题考查交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．解：∵集合U =(−∞,+∞)，A ={x|2x 2−x ≤0}={x|0≤x ≤12}， B ={y|y =x 2}={y|y ≥0}， ∴A ∩B =[0,12]，故A 正确；∁U A ={x|x <0或x >12}，∁U B ={x|x <0}， ∴∁U A ⊇∁U B ，故B 错误； A ∪B =[0,+∞)=B ，故C 正确； ∁B A ={x|x >12}=(12,+∞).故D 正确．故选：ACD ．11.答案：ABC解析：解：对于A ：函数f(π−x)+f(x)=0，所以函数f(x)的图象关于(π2,0)对称，故A 正确； 对于B ：函数f(x +π)=f(x)，故B 正确；对于C ：由于函数的最小正周期为π，且x →±π2时，f(x)→±∞，故函数的值域为R ，故C 正确； 对于D ：由于函数f(x)=sinxcos2x cosx，故f′(x)=cos2x−sin 22xcos 2x=cos 22x+cos2x−1cos 2x，当x ∈(0,π4)时，cos2x ∈(0,1)，而cos2x ∈(0,12)时，cos 22x +cos2x −1<0，所以函数f(x)在(0,π4)上不单调递增，故D 错误； 故选：ABC ．直接利用函数的性质单调性，周期性和函数的额值域的应用和函数的求导判断A 、B 、C 、D 的结论． 本题考查的知识要点：函数的性质，单调性，周期性和函数的额值域的应用，函数的导数和单调性的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．12.答案：AC解析：解：棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BC 1(含端点)上运动，对于A ，B 1C ⊥BC 1，CD ⊥BC 1，B 1C ∩CD =C ，B 1C 、CD ⊂平面CDB 1，∴BC 1⊥平面CDB 1，∵B 1D ⊂平面CDB 1，∴B 1D ⊥BC 1， 同理，B 1D ⊥A 1C 1，∵A 1C 1∩BC 1=C 1，A 1C 1、BC 1⊂平面A 1C 1B ，∴B 1D ⊥平面A 1C 1B ，∵A 1P ⊂平面A 1C 1B ，∴A 1P ⊥B 1D ，故A 正确； 对于B ，∵P 在线段BC 1(含端点)上运动，BC 1//AD 1，BC 1⊄平面ACD 1，AD 1⊂平面ACD 1，∴BC 1//平面ACD 1，∴P 到ACD 1的距离是定值，以D 1为原点，D 1A 1为x 轴，D 1C 1为y 轴，D 1D 为z 轴，建立空间直角坐标系， D 1(0,0，0)，A(2,0，2)，C(0,2，2)，B(2,2，2)， D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，2)，D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，2)， 设平面D 1AC 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2z =0m ⃗⃗⃗ ⋅D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +2z =0，取x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,1，−1)， ∴P 到平面D 1AC 的距离d =|D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=2√3=2√33， ∴三棱锥D 1−APC 的体积为：V D 1−APC =V P−ACD 1=13×S △ACD 1×d =13×12×√22+22×√22+22×sin60°×2√33=43，故B 错误；对于C ，∵AD 1//BC 1，CD 1//A 1B ，AD 1∩CD 1=D 1，BC 1∩A 1B =B ，∴平面AD 1C//平面BC 1A 1，∵A 1P ⊂平面BC 1A 1，∴A 1P//平面ACD 1，故C 正确； 对于D ，∵P 在线段BC 1(含端点)上运动， ∴当P 与B 重合时，A 1P 与D 1C 所成角为0，当P 与C 1重合时，A 1P 与D 1C 所成角为π3，故D 错误． 故选：AC ．对于A ，推导出B 1D ⊥BC 1，B 1D ⊥A 1C 1，从而B 1D ⊥平面A 1C 1B ，进而A 1P ⊥B 1D ，；对于B ，推导出BC 1//平面ACD 1，从而P 到ACD 1的距离是定值，以D 1为原点，D 1A 1为x 轴，D 1C 1为y 轴，D 1D 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出三棱锥D 1−APC 的体积为43；对于C ，由AD 1//BC 1，CD 1//A 1B ，得平面AD 1C//平面BC 1A 1，从而A 1P//平面ACD 1；对于D ，当P 与B 重合时，A 1P 与D 1C 所成角为0，当P 与C 1重合时，A 1P 与D 1C 所成角为π3．本题考命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．13.答案：5解析：解：因为(1+x)4展开式的通项为T r+1=C 4r x r， 所以(1−1x 2)(1+x)4展开式中x 2的系数为C 42−C 44=5，故答案为：5．由二项式定理及其展开式的通项公式得：因为(1+x)4展开式的通项为T r+1=C 4r x r，所以(1−1x 2)(1+x)4展开式中x 2的系数为C 42−C 44=5，得解．本题考查了二项式定理及其展开式的通项公式，属中档题．14.答案：6解析：解：如图所示，过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥AC ． 则AE =12AB ，AF =12AC ． ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =12(42−22)=6． 故答案为：6．如图所示，过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥AC.利用三角形外心的性质可得AE =12AB ，AF =12AC.再利用数量积的定义即可得出．本题考查了三角形外心的性质、数量积的定义，属于中档题．15.答案：33解析：由双曲线方程可知，，则，因为是双曲线上一点，所以，又，所以或.又，所以．考点：双曲线定义、标准方程及简单的几何性质．16.答案：5解析：解：函数f(x)=3sinx +4cosx5(35sinx +45cosx)， 令cosθ=35，sinθ=45，θ∈[0,2π)．则由辅助角公式可得f(x)=5sin(x +θ)，根据正弦函数的值域可得f(x)的最大值为5， 故答案为：5．由辅助角公式可得f(x)=5sin(x +θ)，再根据正弦函数的值域可得f(x)的最大值． 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA =35，所以：sinA =45，由于：2cosC =sinB =sin(A +C)， 2cosC =sinAcosC +cosAsinC ， 解得：tanC =2； (Ⅱ)由(Ⅰ)得：tanC =2， 所以：sinC =2√55，cosC =√55， 由正弦定理得：asinA =csinC ，解得：c =5√22， 由于：2cosC =sinB ， sinB =2√55， S △ABC =12acsinB =12×5√22×√10×2√55=5解析：(Ⅰ)首先利用同角三角函数的值求出正弦和余弦的值，进一步求出正切值． (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论结合正弦定理求出三角形的面积．本题考查的知识要点：同角三角函数的恒等关系式，利用正弦定理求三角形的面积．18.答案：解：(1)∵函数f(x)的图象关于y 轴对称，∴a −1=0且a +b =0， 解得a =1，b =−1， ∴f(x)=x 2，∴S n =f(n +1)−1=(n +1)2−1=n 2+2n即有a n =S n −S n−1=2n +1(n ≥2)，a 1=S 1=1也满足， ∴a n =2n +1； (2)由(1)得b n =2n+12n，T n =32+522+723+⋯+2n−12n−1+2n+12n，①∴12T n =322+523+724+⋯+2n−12n+2n+12n+1，②①−②得12T n =32+222+223+224+⋯+22n −2n+12n+1=32+2×12[1−12n−1]1−12−2n+12n+1=32+2−12n−1−2n+12n+1=72−2n+52n+1．∴T n =7−2n+52n．解析：(1)依题意，可求得a =1，b =−1，从而得S n =n 2，于是可求得a 1及a n =S n −S n−1=2n +1(n ≥2)，观察即可求得数列{a n }的通项公式； (2)由(1)得b n =2n−12n，利用错位相减法可求得T n =5−2n+52n．本题考查数列通项公式与数列的求和，着重考查数列的错位相减法，属于中档题．19.答案：解：(1)由列联表可得K 2=100×(16×26−14×44)230×70×60×40≈0.7937<2.706．所以没有90%的把握认为“支持全面二孩”与“性别”有关．(2)依题意可知，所抽取的15位市民中，男性市民有15×1660=4(人)，女性市民有15×4460=11(人)． (3)(i)由2×2列联表可知，抽到持“支持”态度的市民的频率为60100=35，将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取到一名持“支持”态度的市民的概率为35． 由于总体容量很大，故X 可视作服从二项分布，即X ～B(3,35)，所以P(X =k)=C 3k⋅(35)k (25)3−k (k =0,1，2，3)． 从而X 的分布列为： X 0123P8125361255412527125(ii)E(X)=np =3×35=95；D(X)=np(1−p)=3×35×25=1825．解析：(1)计算K 2，与2.706比较大小； (2)根据各层的人数比例计算；(3)求出X 的分布列，代入公式计算数学期望和方差．本题考查了独立性检验，分层抽样，随机变量分布，属于中档题．20.答案：证明：(Ⅰ)∵在直角梯形AA 1B 1B 中，∠A 1AB =90°，A 1B 1//AB ，AB =AA 1=2A 1B 1=2，直角梯形AA 1C 1C 通过直角梯形AA 1B 1B 以直线AA 1为轴旋转得到， ∴∠A 1AB =∠A 1AC =90°，且平面AA 1C 1C ⊥平面AA 1B 1B ， ∴∠BAC =90°，即AC ⊥AB ， 又∵AC ⊥AA 1，且AB ∩AA 1=A ， ∴AC ⊥平面AA 1B 1B ，由已知A 1C 1//AC ，∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ， ∵AP ⊂平面AA 1B 1B ，∴A 1C 1⊥AP ． 解：(Ⅱ)由(Ⅰ)知AC ，AB ，AA 1两两垂直，分别以AC ，AB ，AA 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角系， 由已知得AB =AC =AA 1=2A 1B 1=2A 1C 1=2，∴A(0,0，0)，B(0,2，0)，C(2,0，0)，B 1(0,1，2)，A 1(0,0，2)， ∵M 为线段BC 的中点，P 为线段BB 1的中点， ∴M(1,1，0)，P(0,32,1)，平面ABM 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 设平面APM 的一个法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =32y +z =0，取x =2，得n⃗ =(2,−2,3)， 由图知二面角P −AM −B 的大小为锐角， 设二面角P −AM −B 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=3√17=3√1717， ∴二面角P −AM −B 的余弦值为3√1717． 解析：(Ⅰ)推导出AC ⊥AB ，AC ⊥AA 1，从而AC ⊥平面AA 1B 1B ，由A 1C 1//AC ，知A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ，由此能证明A 1C 1⊥AP ．(Ⅱ)以AC ，AB ，AA 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角系，利用向量法能求出二面角P −AM −B 的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21.答案：解：(1)①由已知得 ， ， ，联立解得 ．椭圆M 的方程为 ．②直线AB 的斜率为定值 .理由如下：由已知直线 代入椭圆 的方程消去 并整理得所以，从而同理，因为所以为定值；(2)直线方程为，联立，得，直线方程为：，联立，得，，令，则，当且仅当，即时，取“”，所以 的最大值为 ．解析：(1)①由椭圆的离心率公式和准线方程，结合椭圆的a ，b ，c 的关系，计算即可得到；②设出直线PA 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合斜率公式，由化简可得结论；(2)分别求出直线TB ，TC 的方程，代入椭圆方程，求得交点E ，F 的横坐标，再由三角形的面积公式，结合二次函数，计算即可得到最大值．22.答案：解：(1)因为f(x)=ax 3+bx ，所以f′(x)=3ax 2+b ．又因为当x =1时，f(x)的极值为−2，所以{a +b =−23a +b =0，解得a =1，b =−3．(2)由(1)可得f(x)=x 3−3x ，则f′(x)=3x 2−3=3(x +1)(x −1)，令f′(x)=0，得x =±1，当x <−1或x >1时f′(x)>0，f(x)单调递增， 当−1<x <1时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 所以当x =−1时f(x)取得极大值，f(−1)=2， 当x =1时f(x)取得极小值，f(1)=−2， 大致图象如图所示：要使方程f(x)=k 恰有1个解，只需k >2或k <−2． 故实数k 的取值范围为(−∞,−2)∪(2,+∞)．解析：(1)求出f′(x)=3ax 2+b.通过x =1时，f(x)的极值为−2，得到{a +b =−23a +b =0，求解即可．(2)化简f(x)=x 3−3x ，求出f′(x)，得到极值点x =±1，判断函数的单调性以及极值，画出图形，然后求解方程f(x)=k 恰有1个实数根，实数k 的取值范围．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查数形结合以及计算能力．。
河北省衡水中学2022-2023学年高三上学期三调考试数学答案
数学参考答案一、选择题1．C 【解析】因为}1|{}01|{<=>-=x x x x M ，=N }0|{>y y ，所以}10|{<<=x x N M .2．B 【解析】由题意得313223131cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=α，所以9713121cos 22cos 22=-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=-=αα.3．A 【解析】由已知得2)(x b x a x f +='，所以=')1(f 1=+b a ，故212)(222=+≥+b a b a ，当且仅当==b a 21时取等号，所以22b a +的最小值为21.4．D 【解析】因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=262sin 62cos πππx x y ⎪⎭⎫⎝⎛+=322sin πx ，将x y 2sin =的图象向右平移ϕ个单位长度后，得到)22sin()](2sin[ϕϕ-=-=x x y 的图象，所以)(2322z k k ∈+=-ππϕ，故--=πϕk )(3z k ∈π，又0>ϕ，所以 ,3,2,1---=k ，当=k 1-时，32πϕ=.5．D 【解析】由题图得21sin )0(==ϕf ，又πϕ<<0，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,0在图象的上升部分上，所以6πϕ=，由五点作图法可知236322πππω=+⋅，则1=ω，所以=)(x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62sin πx ．对于A ，)(x f 的最小正周期为ππ=22，故A 错误，对于B ，因为=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-632sin 3πππf 12sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-π，所以)(x f 的图象不关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,3π对称；故B 错误，对于C ，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，+x 2⎦⎤⎢⎣⎡∈67,66πππ，所以162sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx ，所以)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为21-，故C 错误；对于D ，123sin 65=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf ，所以)(x f 的图象关于直线65π-=x 对称，故D 正确．6．C 【解析】作出函数|tan |u y =的图象，如图所示：由图可知，函数|tan |u y =的最小正周期为π，且其单调递增区间为)(2,z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππ对于函数)(x f ，其最小正周期为4==ωπT ，可得4πω=，则=)(x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-44tan ππx 。
2020年河北省衡水中学高考三模数学试题(附答案解析)
5．如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A． B． C． D．
6．已知函数 有零点，则a的范围是（ ）
A． B． C． D．
7．某中学在高二下学期开设四门数学选修课，分别为《数学史选讲》.《球面上的几何》.《对称与群》.《矩阵与变换》．现有甲.乙.丙.丁四位同学从这四门选修课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同，下面关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选《球面上的几何》，也不选《对称与群》：②乙同学不选《对称与群》，也不选《数学史选讲》：③如果甲同学不选《数学史选讲》，那么丁同学就不选《对称与群》．若这些信息都是正确的，则丙同学选修的课程是（ ）
A． B． C． D．
11．函数 的图象大致为
A． B． C． D．
12．已知 分别是椭圆 的左右焦点，点 是椭圆的右顶点， ． C． D．
二、填空题
13．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为_____平方里．
14．若双曲线 的两个焦点都在 轴上，且关于 轴对称，焦距为 ，实轴长与虚轴长相等，则双曲线 的方程是_____________.
15．由2，0，1，8，6，7六个数字组成的四位数中，若数字可以重复，则含有奇数个6的数共有_________个.（用数字作答）.
16．函数 图像上不同两点 处的切线的斜率分别是 ，规定 ( 为线段 的长度)叫做曲线 在点 与点 之间的“弯曲度”.设曲线 上不同两点 ，且 ，则 的取值范围是_________.
2021年4月2021届高三全国卷Ⅲ衡水金卷先享题信息卷(三)理科数学试卷及解析
2021年4月2021届高三全国卷Ⅲ衡水金卷先享题信息卷（三）理科数学试卷★祝考试顺利★(含答案)本试卷满分150分。
考试用时120分钟。
第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}，集合A{－1，0，1，2，3}，集合B＝{x∈Z|－3<x≤2}，则(∁UA)∩B＝A. B.{－2} C.{－2，0} D.{－2，0，4}2.若复数z满足(1－i)z＝3－2i，则z的虚部为A.－52B.－52i C.12D.523.若双曲线C：2xm－y2＝1(m>0)的焦距为25，则C的渐近线方程为A.x±y＝0B.2x±y＝0C.x±2y＝0 .D.x±19y＝04.下图是我国2016年第一季度至2020年第二季度部分城市各季度建筑面积规化供应统计图，针对这些季度的数据，下列说法错误的是A.各季度供应规划建筑面积的最大值超过25000万平方米B.各季度供应规划建筑面积的极差超过15000万平方米C.2019年各季度供应同比有增有减D.2020年第一季度与2019年第一季度相比，供应同比下降幅度超过10%5.已知函数f(x)＝4x ＋2sinx ，则使不等式f(m ＋1)＋f(1－2m)<0成立的实数m 的取值范围为A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(－∞，0)D.(0，＋∞)6.我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲、乙、丙、丁、戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯＝1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为A.30.8贯B.39.2贯C.47.6贯D.64.4贯7.执行如图所示的程序框图，如果输入x 1＝1时，输出的值为y 1，输入x 2＝－2时，输出的值为y 2，则2y 1y 为A.19B.13C.3D.9 8.对于问题“已知关于x 的不等式ax ＋b>0的解集为(－1，＋∞)，解关于x 的不等式ax －b<0”，给出一种解法：由ax ＋b>0的解集为(－1，＋∞)，得a(－x)＋b>0的解集为(－∞，1)，即关于x 的不等式ax －b<0的解集为(－∞，1)。
【精准解析】河北省衡水中学2020届高三模拟(三)数学(理)试题
③
f
16 3
f
1 2 ；④关于
x 的方程
f
x t
0（0t
1）在区间 2, 7 上的所有实根
之和是 12. A. ①④ 【答案】A 【解析】
B. ①②④
C. ③④
D. ①②③
【分析】
由题意可知 f x 的图象关于直线 x 1 对称，①正确；利用 f x 2 f x 0 和函数的
（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
-1-
C. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】
D. 既不充分也不必要条件
本题首先可以根据圆的方程确定圆心与半径，然后通过证明当 m 2 时直线 l 与圆 O 相切即
可得出“ m 2 ”是“直线 l 与圆 O 相切”的充分条件，最后通过求解当直线 l 与圆 O 相切 时 m 的值即可得出“ m 2 ”不是“直线 l 与圆 O 相切”的必要条件，即可得出结果.
1
，则
A
B
（
）
4 x2
A. 2,1
B. 2,1
C. , 2
D.
, 2
【答案】A 【解析】 【分析】 化简集合 B,根据交集的定义求解即可.
【详解】由题意知 B x 2 x 2 ，则 A B x 2 x 1 .故选 A.
【点睛】本题考查了集合的运算,以及函数的性质,属于基础题.
3.已知直线 l ： y x m 和圆 O ： x2 y2 1 ，则“ m 2 ”是“直线 l 与圆 O 相切”的
f x 4 f x 2 f x ，所以 f x 是周期函数，其一个周期为 4，但不能说明 2 是
f x 的周期，故②错误；
由
f
x 的周期性和对称性可得
河北衡水金卷高三第三次联合质量测评数学(文)试题(含答案)
河北衡水金卷高三第三次联合质量测评数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所在象限为A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知全集，集合为A. B. C. D.3.若命题p为：为A.B.C.D.4.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位需要的天数为A. 14B. 16C. 18D. 205.若线段AB的长为3，在AB上任意取一点C，则以AC为直径的圆的面积不超过的概率为A. B. C. D.6.已知定义在R上的函数满足：(1)(2)当，则有A. B.C. D.7.某几何体的三视图如图所示，其中点分别是几何体上下底面的一组对应顶点，打点器从P点开始到点结束绕侧面打一条轨迹线，则留下的所有轨迹中最短轨迹长度为A.B.C.D.8.已知向量的夹角为，则的值为A. 0B.C.D.9.已知双曲线的左，右焦点分别为过右焦点的直线在第一象限内与双曲线E的渐近线交于点P，与y轴正半轴交于点Q，且点P为的中点，的面积为4，则双曲线E的方程为A. B. C. D.10.在长方体与平面所成的角为，则的取值区间为A. B. C. D.11.椭圆与抛物线相交于点M，N，过点的直线与抛物线E相切于M，N 点，设椭圆的右顶点为A，若四边形PMAN为平行四边形，则椭圆的离心率为A. B. C. D.12.已知函数对恒成立，且为函数的一个零点，将函数的图象向右平移个单位得函数的图象，则方程的解的个数为A. 4B. 5C. 6D. 7二．埴空题：本大题其4小题，每小题5分。
题解析系列数学(理)试题金卷10套：河北省衡水中学201届高三上学期第三次调研考试理数试题解析(原卷版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2|1log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥2.复数212ii +-的共轭复数的虚部是（ ） A ．35- B ．35C ．-1D ．1 3. 下列结论正确的是（ ）A ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβB ．若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则//αβC ．若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12//l lD ．若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则//l α4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ）A ．29B ．31C ．33D ．36 5.已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则22x y z x ++=的取值范围为（ ）A ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭6.若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．27.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -前5项的和B ．计算数列{}21n -前5项的和 C ．计算数列{}21n -前6项的和 D ．计算数列{}12n -前6项的和 8.ABC ∆中，“角,,A B C成等差数列”是“)sin sin cos C A A B =+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ） A ．1 BC ．2 D．10.已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有2343n n S n T n -=-，则()3153392102a a a b b b b ++=++（ ） A ．1941 B ．1737 C ．715 D ．204111.已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 12.如图，在OMN ∆中，,A B 分别是,OM ON 的中点，若(),OP xOA yOB x y R =+∈，且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（ ）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->，则a b 、的大小关系是_____________． 14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________．15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是_____________．16.已知函数()()2lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的方程()()210f x bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是______________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知()2sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭，集合(){}|2,0M x f x x ==>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{}*,n a n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记211n n b a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <． 18.（本小题满分12分）已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭，记()f x m n =．（1）若()1f x =，求cos 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求()2f A 的取值范围．19.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A B BA ，且12AA AB ==．（1）求证：AB BC ⊥；（2）若直线AC 与平面1A BC 所成角的正弦值为12，求锐二面角1A AC B --的大小． 20.（本小题满分12分）已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．（1）若曲线 ()()g x f x x =+上点()()1,g 1处的切线过点()0,2，求函数()g x 的单调减区间；（2）若函数()y f x =在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值． 21.（本小题满分12分）已知()(),,,1p x m q x a ==+，二次函数()1f x p q =+，关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),1,m m -∞++∞，其中m 为非零常数，设()()1f xg x x =-． （1）求a 的值；（2）若存在一条与y 轴垂直的直线和函数()()ln x g x x x Γ=-+的图象相切，且切点的横坐标0x 满足0013x x -+>，求实数m 的取值范围；（3）当实数k 取何值时，函数()()()ln 1x g x k x ϕ=--存在极值？并求出相应的极值点．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，且BC CD =，其对角线AC 与BD 相交于点M ，过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ．（1）求证：AB MD AD BM =；（2）若CP MD CB BM =，求证：AB BC =． 23.本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．（1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB 的值； （2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立． （1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式23log log m n t ≥恒成立，求m n +的最小值．。
2022-2023学年河北省衡水中学2023届高三上学期三调考试数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年河北省衡水中学2023届高三上学期三调考试数学试卷1. 已知集合，集合为自然对数的底数，则( )A. B. C.D.2. 已知角的终边与单位圆交于点，则( )A. B.C. D.3. 若函数在点处的切线的斜率为1，则的最小值为( )A. B.C. D.4. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是( )A.B. C. D.5. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A. 的最小正周期为B. 的图象关于点对称C.在区间上的最小值为D.的图象关于直线对称6. 若函数的最小正周期为4，则在下列区间中单调递增的是( )A. B. C. D.7. 圭表如图甲是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿称为“表”和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺称为“圭”当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角即大约为，夏至正午时太阳高度角即大约为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离即DB的长为a，则表高即AC的长为A. B. C. D.8. 已知不等式的解集为A，若A中只有唯一整数，则称A为“和谐解集”，若关于x的不等式在区间上存在“和谐解集”，则实数m的可能取值为( )A. B. C. D.9.在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是( )A. “为锐角三角形”是“”的充分不必要条件B. 若，则为等腰三角形C. 命题“若，则”是真命题D.若，，，则符合条件的有两个10. 已知函数，则下列说法中正确的是( )A.，若恒成立，则B. 若，则，C. 若，则D. 若，且，则11. 在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是( )A.B.C. 若，则D. 函数的最大值为12. 已知函数，，则在区间上的极值点的个数可能为( )A. 1B. 2C. 3D. 413. 已知，则__________.14. 已知定义在R上的函数满足，若的图象关于直线对称，则__________.15. 已知函数，若关于x的方程在区间上有三个不同的实根，则实数m的取值范围是__________.16. 据气象部门报道今年第14号台风“灿都”于9月12日起陆续影响我国东南沿海一带，13日5时，测定台风中心位于某市南偏东，距离该市400千米的位置，预计台风中心以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为__________.17. 已知是定义在R上的奇函数，当时，求的解析式；若，求实数t的取值范围．18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，在①，②两个条件中任选一个完成以下问题：求B；若D在AC上，且，求BD的最大值．19. 已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为求函数的解析式；记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若角A 的平分线AD交BC于D，求AD的长．20.记的内角所对的边分别为，已知求B；是AC边上的点，若，，求的值．21. 已知的外心为O，M，N为线段AB，AC上的两点，且O恰为MN中点．证明：；若，，求的最大值．22. 已知函数若，求的最小值；若有且只有两个零点，求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合交集的运算，属于基础题.化简集合M、N，利用交集定义运算即可.【解答】解：由题意，，，所以故选2.【答案】B【解析】【分析】本题考查任意角的三角函数的定义，考查二倍角的余弦公式，属于基础题.利用任意角的三角函数的定义与二倍角的余弦公式运算即可.【解答】解：由题意得，所以故选3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了导数的几何意义及其应用，也考查了基本不等式求最值，属于中档题.由导数几何意义得，然后由基本不等式得最小值.【解答】解：由已知，所以，，当且仅当时等号成立，故选：4.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，属于基础题.根据诱导公式与三角函数的图象变换规律分析即可.【解答】解：因为，将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，所以，故，又，所以，当时，故选5.【答案】D【解析】【分析】本题考查由部分函数图象求解析式，考查正弦型函数的图象与性质，属于中档题.由图可求得，进而由正弦型函数的图象与性质分析各选项.【解答】解：由图得，且点在图象的上升部分上，则，又，所以；由五点作图法可知，则，所以对于A，的最小正周期为，故A错误；对于B，因为，所以的图象不关于点对称，故B错误；对于C，当时，，所以，所以在区间上的最小值为，故C错误；对于D，，所以的图象关于直线对称，故D正确．故选6.【答案】C【解析】【分析】本题考查正切型函数的单调性与周期性，属于中档题.根据正切型函数的单调性与周期性分析求解即可.【解答】解：作出函数的图象，如图所示：由图可知，函数的最小正周期为，且其单调递增区间为，对于函数，其最小正周期为，可得，则，由，得，所以的单调递增区间为，所以在区间上单调递减，在区间上不单调，在区间上单调递增，在区间上单调递减.故选7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了解三角形，考查了正弦定理，考查了学生数学建模思想，属于基础题．先求出，然后利用正弦定理求出AD，再在中，求出【解答】解：解：由题可知：，在中，由正弦定理可知：，即，则，又在中，，所以故选8.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的新定义问题，属于中档题.由题意，原不等式可化为，分析得若只有一个整数解，则唯一整数解只能是，进而可求解.【解答】解：不等式可化为由函数的图象可知若只有一个整数解，则唯一整数解只能是，因为点，是图象上的点，所以，因为所以实数m的可能取值为故选9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形，属于基础题.由正弦定理与余弦定理，结合诱导公式、充分条件与必要条件的定义等，依次分析即可.【解答】解：若为锐角三角形，则，，且，即，又，，则；反之，若B为钝角，满足，不能推出为锐角三角形，故A正确；由，得或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；若，则，由正弦定理得，即成立，故C正确;根据余弦定理得，即，所以，符合条件的只有一个，故D错误．故选10.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查余弦型函数的图象与性质，属于中档题.依据余弦型函数的图象与性质依次分析各选项即可.【解答】解：对于A，因为，所以，，所以，故A正确;对于B，若，即，所以，或，，即，或，，故B错误；对于C，因为的图象关于点对称，又，即，所以，所以，故C正确；对于D，因为，且，由的图象在区间内的对称轴为直线可知，，所以，故D正确．故选11.【答案】BC【解析】【分析】本题考查定义性函数，三角函数关系式的变换，属于中档题．直接利用定义性函数和诱导公式以及同角三角函数的基本关系，三角函数的最值，逐一分析判断即可.【解答】解：对于A：，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，则，故C正确；对于D：函数，当时，函数的最大值为4，故D错误；故选12.【答案】AC【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的极值点，属于较难题.由题意可得或，分类讨论，利用导数研究函数的单调性进而得到极值点个数.【解答】解：由，得，即，解得或，又，所以或当时，，所以，令，则，所以单调递增，则当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在区间上只有1个极值点，当时，令，则在区间上单调递增，又，，所以在区间上只有一个零点，因此在区间上先单调递减再单调递增.又，，所以在区间上先单调递减再单调递增．由为偶函数可知在区间上先单调递减，然后单调递增，再单调递减，最后单调递增，故在区间上共有3个极值点，综上，在区间上有1个或3个极值点．故选13.【答案】【解析】【分析】本题考查两角差的正弦函数公式和同角的三角函数基本关系，关键是掌握公式的运用，属于基础题．根据题意，先利用两角差的正弦函数公式展开，整理后再运用同角的三角函数基本关系化简即可．【解答】解：，，，即14.【答案】1【解析】本题考查函数的对称性，求函数值，属于中档题.利用函数的对称性以及赋值法可得答案.【解答】解：因为，所以，所以，又的图象关于直线对称，所以，又，所以故答案为：15.【答案】【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图象，考查数形结合思想，属于中档题.易得为偶函数，且当时，，画出函数在区间上的大致图象，数形结合可得答案.【解答】解：的定义域为R，且，故为偶函数．当时，，作出在区间上的大致图象如图所示.若关于x的方程在区间上有三个不同的实根，则故答案为16.【答案】小时【解析】【分析】本题考查余弦定理及一元二次不等式解法，属于中档题.B是台风中心在13日5时的位置，设台风运动t小时后的位置为C，则，由即可求解；【解答】A是该市所在位置，B是台风中心在13日5时的位置，设台风运动t小时后的位置为C，则，又，，所以，由，解得，小时故答案为：小时.17.【答案】解：因为为R上的奇函数，所以当时，，则，因为是奇函数，所以，所以；当时，，则在区间上单调递增，因为是R上的奇函数，所以在R上单调递增，由，可得，所以，解得，故实数t的取值范围是【解析】本题考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，考查利用函数的单调性解不等式，属于中档题.由奇函数的性质以及时，可求得的解析式；利用函数的单调性与奇偶性解不等式即可.18.【答案】解：若选①，由正弦定理得，，即，即，，，若选②，，，即，即舍或，，，BD为AC边上的高，当面积最大时，高取得最大值．法一：由余弦定理得，，由基本不等式得，当且仅当时取等号，，边上的高的最大值即BD的最大值为法二：由正弦定理得外接圆的直径为，利用正弦定理表示面积得：，所以AC边上的高的最大值即BD的最大值为【解析】本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、三角形面积计算公式、基本不等式、三角函数的性质，属于较难题．若选①，利用正弦定理与余弦定理即可得出若选②，利用三角形内角和定理并且结合诱导公式及二倍角公式即可得出由，BD为AC边上的高，当面积最大时，高取得最大值．法一：由余弦定理得，，利用基本不等式即可得出AC边上的高的最大值．法二：由正弦定理得外接圆的直径为，利用正弦定理表示面积得，结合和差公式并且利用三角函数的最值即可得出结论．19.【答案】解：因为，所以，设函数的周期为T，由题意可知，即，解得，因此函数的解析式；由可得，即，，解得，因为，所以，因为角A的平分线AD交BC于D，所以，即可得，由余弦定理得：，可得，因此【解析】本题考查了三角函数的图像和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于一般题.将函数进行化简，结合三角函数的图像和性质求出，从而求得解析式；将条件进行化简变形，求出角A，再根据题意得出，最后根据余弦定理即可求出答案.20.【答案】解：由题得，，由正弦定理，得，又，，且作为分母，所以，，所以，即，又，所以；因为，所以设，则在中，由正弦定理，得，则，在中，由余弦定理，得故，解得，即又，所以【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，属于中档题.利用正弦定理化简已知等式可得，即，进而可得答案；在中，由正弦定理得，再在中，由余弦定理得，进而可得答案.21.【答案】证明：设，，，，由余弦定理知：，由O是外心知，而将代入得而，因此同理可知因此解：由知在中，由余弦定理知：，代入得设，则因此当且仅当时取到等号．因此的最大值为【解析】由已知结合余弦定理及三角形外心性质，诱导公式可证；由已知结合余弦定理及三角形的面积公式先表示，然后结合基本不等式可求．本题主要考查了余弦定理，三角形外心性质，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．22.【答案】解：当时，，则当时，，所以，所以又，所以，故，所以在区间上单调递增，所以的最小值为由，得，则在区间上有且只有1个零点．，令，则在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，故，当时，，则在区间上单调递增，所以在区间上无零点，不符合题意，舍去；当时，，则在区间上单调递减，所以在区间上无零点，不符合题意，舍去；当时，，则在区间上只有1个零点，设为当时，，单调递减；当时，，单调递增，又，，要使在区间上有且只有一个零点，则，所以综上，实数a的取值范围是【解析】本题考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究函数的零点，属于难题.求导，结合辅助角公式与三角函数的值域分析可得函数的单调性，进而可得最小值；因为，所以在区间上有且只有1个零点，求导，对a的取值分情况讨论，进而可得答案.。
衡水金卷高考模拟卷(三)数学(文)试题Word版含答案
衡水金卷高考模拟卷（三）数学（文）试题Word版含答案2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（三）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A2.）A．1 D．33.）A．4 B．5 C．3 D．24.）A5.）ABCD6.）A ．80B ．96C ．112D ．120 7.已知函数()cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后，得到的图象对应的函数()g x 为奇函数，则ϕ的最小值为（ ）A ．6π B ．56π C ．3πD ．23π8.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，从A ，B ，C ，D 四点中任取三点和顶点P 所形成的四面体中，任取两个四面体，则其中一个四面体为鳖臑的概率为（ ）A ．14 B ．23 C ．35 D ．3109.如图，AB 为经过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的弦，点A ，B 在直线2px =-上的射影分别为1A ，1B ，且113AA BB =，则直线AB 的倾斜角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3πD ．512π10.一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的表面积为3242π++，则图中的x =（ ）A ．1B ．2C ．32D ．2211.已知数列{}n a 满足2*1232()n n a a a a n N ⋅⋅⋅=∈，且对任意的*n N ∈都有12111nt a a a ++⋅⋅⋅+<，则t 的取值范围为（ ） A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12.若存在1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式22ln 30x x x mx +-+≥成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．132e e +- B ．32e e++ C ．4 D ．21e - 第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.已知{}n a 是等差数列，n S 是其数列的前n 项和，且4103S =-，1221a a +=，则3a = ．14.已知圆C 的方程为22(2)(1)1x y ++-=，则圆上的点到直线0x y -=的距离的最小值为 ．15.观察三角形数组，可以推测：该数组第八行的和为 ．16.已知双曲线1C ：2212x y -=，曲线2C ：1y x =+，P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与1C ，2C 都有公共点，则称点P 为“差型点”.下面有4个结论： ①曲线1C 的焦点为“差型点”； ②曲线1C 与2C 有公共点；③直线y kx =与曲线2C 有公共点，则1k >； ④原点不是“差型点”.其中正确结论的个数是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC ∆的外接圆半径为2，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b =. （1）若2cos cos cos a A c B b C =+，求角C ； （2）若B 为锐角，3a c +=，求ABC ∆的面积.18.已知某地区中小学生人数和近视情况如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生作为样本进行调查.（1）求样本容量和抽取的高中生近视人数分别是多少？（2）在抽取的n 名高中生中，平均每天学习时间超过9小时的人数为310n，其中有12名学生近视，请完成高中生平均每天学习时间与近视的列联表：平均学习时间不超过9小时平均学习时间超过9小时 总计 不近视 近视 总计（3）根据（2）中的列联表，判断是否有95%的把握认为高中生平均每天学习时间与近视有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20()P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 0k2.7063.8415.0246.63510.82819.如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，56DBC π∠=，2BD BC ==，32AB =+，E 为AC 的中点，F 在棱CD 上，且BC EF ⊥.（1）求证：BF CF =； （2）求三棱锥A BEF -的体积.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点.（1（21.21.（1（2请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程（1（223.选修4-5：不等式选讲.（1（2文数（三）一、选择题1-5: BDAAB 6-10: DCBCA 11、12：DA 二、填空题三、解答题17.解：（1.（2）由（1。
2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试(三)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试（三）理科数学一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知全集U =R ，集合{|lg }A x y x ==, 集合{|1}B y y ==，那么U A C B ⋂= （ ）A. φB. (]0,1C. ()0,1D. ()1,+∞【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A 和B,再求U U C B A C B ⋂和.【详解】由题得A={x|x>0},B={y|y≥1}，所以{|1},(0,1)U U C B y y A C B =<∴⋂=. 故答案为C【点睛】(1)本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 集合的运算要注意灵活运用维恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用. 2.复数()2211i i+++的共轭复数是 A. 1i + B. 1i -C. 1i -+D. 1i --【答案】B 【解析】()()22121121112i i i i i ⋅-++=+-+=++Q ，故其共轭复数是1i - ，选B 3.已知向量,a b r r不共线，若()()3//a b ka b +-r r r r ，则实数k =（ ）A. 13- B. 12-C.13D.12【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线的性质得()3ka b a b λ-=+r r r r，由此能求出实数k 的值．【详解】由于()()3//a b ka b +-r r r r ，所以存在实数λ，使得()3ka b a b λ-=+r r r r，因此k λ=且31λ=-，解得13k =-. 故选：A【点睛】本题考查实数值的求法，考查向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A. 2log 101-B. 22log 31-C.92D. 6【答案】B 【解析】【详解】第一次循环，23log 2,2S i =+=；第二次循环，2233log 2log ,32S i =+=；以此类推得第七次循环，22223893log 2log log 3log 8,8272S i =++=+==L ；结束循环输出229log 2log 312=-，选B. 点睛：算法与流程图考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5.一次数学考试后，某老师从甲，乙两个班级中各抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图，已知甲班5名同学成绩的平均数为81，乙班5名同学成绩的中位数为73，则x y -的值为（ ）A. 2B. -2C. 3D. -3【答案】D 【解析】由茎叶图知727786(80)908157073x y +++++⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得0,3x y ==， 所以3x y -=-，故选D .6.《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ） A. 288种 B. 144种 C. 720种 D. 360种【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分2步进行分析：①用倍分法分析《将进酒》，《望岳》和另外两首诗词的排法数目；②用插空法分析《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》的排法数目，由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意分2步进行分析：①将《将进酒》，《望岳》和另外两首诗词的4首诗词全排列，则有4424A =种顺序Q 《将进酒》排在《望岳》的前面，∴这4首诗词的排法有44122A =种②，这4首诗词排好后，不含最后，有4个空位，在4个空位中任选2个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有3412A =种安排方法则后六场的排法有1212144⨯=种 故选B【点睛】本题考查的是有关限制条件的排列数的问题，第一需要注意先把不相邻的元素找出来，将剩下的排好，这里需要注意定序问题除阶乘，第二需要将不相邻的两个元素进行插空，利用分步计数原理求得结果，注意特殊元素特殊对待．7.在平面直角坐标系中，不等式组22200x y x y x y r +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝13x y x +++的最小值为( )A. －1B. －5217+ C.13D. －75【答案】D 【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意，知214r ππ=，解得2r =．因为目标函数12133x y y z x x ++-==+++表示区域内上的点与点(3,2)P -连线的斜率加上1，由图知当区域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为2(3)y k x -=+，即320kx y k -++=，则有23221k k +=+，解得125k =-或0k =（舍），所以min 127155z =-=-，故选D ．8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）A. 2n n S T =B. 21n n T b =+C. n n T a >D. 1n n T b +<【答案】D 【解析】【详解】由题意可得：332,323nnn n S S +=⨯=⨯- ，由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式：132n n a -=⨯ ，设11n nb b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=⨯ ，解得：11,2b q == ，数列{}n b 的通项公式12n nb -= ，由等比数列求和公式有：21nn T =- ，考查所给的选项：13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .本题选择D 选项.9.双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的左、右焦点为1F ，2F ，抛物线N ：()220y px p =>的焦点为2F ，点P 为双曲线M 与抛物线N 的一个交点，若线段1PF 的中点在y 轴上，则该双曲线的离心率为（ ）A.1B.1C.D.【答案】B 【解析】 【分析】先根据抛物线焦点为2F ，求得2p c =;再根据线段1PF 的中点在y 轴上，可得P 点横坐标，分析可知2PF x ⊥轴.由双曲线通经公式可得22PF p c ==，即可由勾股定理及双曲线定义得,a c 关系，进而求得离心率.【详解】抛物线N ：()220y px p =>焦点为2F则抛物线焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,0F c ，()1,0F c - 所以2pc =，即2p c =， 因为线段1PF 的中点在y 轴上， 所以P 点横坐标为c ， 则2PF x ⊥轴所以22PF p c ==，即212PF F F =则12PF ==根据双曲线定义可知122PF PF a -=所以22c a -=解得1ce a === 故选:B【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，抛物线焦点与双曲线焦点的关系，双曲线的几何意义，中点坐标公式的应用，属于中档题.10.已知函数1()cos 626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若存在123,,,,n x x x x L 满足12306n x x x x π≤<<<<≤L ，且()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x --+-++-L ()*122,n n N =≥∈，则n 的最小值为（ ）A. 6B. 10C. 8D. 12【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式先将函数()f x 化简，当()()()()1max min n n f x f x f x f x --=-时n 取得最小值，由正弦函数的性质即可求得n x 的值即可求解.【详解】函数1()sin cos 2626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据助辅助角公式化简可得()sin sin 66f x x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭因为()()()()1max min 2n n f x f x f x f x --=-=所以当()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x --+-++-L ()*122,n n N=≥∈时，n 的取值满足12330,,22x x x ππ===，4557,22x x ππ==，678911,,622x x x πππ=== 所以此时n 的最小值为8 故选:C【点睛】本题考查了正弦函数的图像与性质应用，辅助角化简三角函数式的应用，属于中档题.11.设12,F F 分别为双曲线()2222:1,0x y E a b a b-=>左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，与E 的渐近线相交于,,,A B C D 四点，若四边形12PFQF 的面积与四边形,,,A B C D 的面积相等，双曲线E 的离心率为（ ）【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的定义和勾股定理可求得2122PF PF b ⨯=，从而可得四边形12PFQF 的面积，然后求出点圆O 与E 的渐近线在第一象限的交点为(),a b ，可求出四边形ABCD 的面积，然后可得答案.【详解】由双曲线的定义及平面几何知识可知122PF PF a -=，①222124PF PF c +=，②2-②①得2122PF PF b ⨯=，∴四边形12PFQF 的面积为21121222S PF PF b =⨯⨯=， 由222x y c b y xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，当0,0x y >>，解得,x a y b ==，∴圆O 与E 的渐近线在第一象限的交点为(),a b . ∴四边形ABCD 的面积24S ab =，∵224b ab =，∴2b a =，即2224,c a ce a a-===故选：C【点睛】本题考查双曲线定义渐进性的简单应用，属于中档题.12.已知函数22()1x f x e ax bx =-+-，其中,a b ∈R ，e 为自然对数的底数，若(1)0f =，'()f x 是()f x 的导函数，函数'()f x 在区间(0,1)内有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A. 22(3,1)e e -+B. 2(3,)e -+∞C. 2(,22)e -∞+D. 22(26,22)e e -+【答案】A 【解析】 【分析】利用f （1）＝0得出a ，b 的关系，根据f ′（x ）＝0有两解可知y ＝2e 2x 与y ＝2ax +a +1﹣e 2的函数图象在（0，1）上有两个交点，做出两函数图象，根据图象判断a 的范围． 【详解】解：∵f （1）＝0，∴e 2﹣a +b ﹣1＝0，∴b ＝﹣e 2+a +1， ∴f （x ）＝e 2x ﹣ax 2+（﹣e 2+a +1）x ﹣1， ∴f ′（x ）＝2e 2x ﹣2ax ﹣e 2+a +1， 令f ′（x ）＝0得2e 2x ＝2ax ﹣a ﹣1+e 2， ∵函数f ′（x ）在区间（0，1）内有两个零点，∴y ＝2e 2x 与y ＝2ax ﹣a ﹣1+e 2的函数图象在（0，1）上有两个交点， 作出y ＝2e 2x 与y ＝2ax ﹣a ﹣1+e 2＝a （2x ﹣1）+e 2﹣1函数图象，如图所示：若直线y＝2ax﹣a﹣1+e2经过点（1，2e2），则a＝e2+1，若直线y＝2ax﹣a﹣1+e2经过点（0，2），则a＝e2﹣3，∴e2﹣3＜a＜e2+1．故选：A．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题（每小题5分，共20分）13.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则7288用算筹式可表示为__________.【答案】【解析】 【分析】根据题意，分别用横式或纵式表示出7288的各位数字，合并后即可得解. 【详解】根据题意， 7288用算筹式表示时: 千位需要用横式表示，即7用来表示;百位需要用纵式表示，即2用来表示;十位需要用横式表示，即8用来表示;个位需要用纵式表示，即8用来表示.所以7288用算筹式可表示为；故答案为:.【点睛】本题考查了数学在中国传统文化中的应用，对所给条件分析清晰，进行合理运用，属于基础题.14.若随机变量()2~2,3X N ，且()()1P X P x a ≤=≥，则()52x a ax x ⎛+⋅- ⎝展开式中3x 项的系数是__________． 【答案】1620 【解析】随机变量()2~2,3X N ，均值是2，且()()1P X P x a ≤=≥，∴3a =；∴()()()55522233693x a ax x x x x x x x x ⎛⎛⎛+=+=++- ⎝⎝⎝； 又53x x ⎛ ⎝展开式的通项公式为()()35552155313rrr r r r r r T C x C xx ---+⎛=⋅⋅=-⋅⋅⋅ ⎝， 令3512r -=，解得83r =，不合题意，舍去；令3522r -=，解得2r =，对应2x 的系数为()232512270C -⋅⋅=；令3532r -=，解得43r =，不合题意，舍去；∴展开式中3x 项的系数是62701620⨯=，故答案为1620.点睛：本题考查了正态分布曲线的特点及其几何意义，也考查二项式系数的性质与应用问题，是基础题；根据正态分布的概率性质求出a 的值，再化()()5522693x a ax x x x ⎛⎛+=++ ⎝⎝；利用(53x ⎛ ⎝展开式的通项公式求出含2x 的系数，即可求出对应项的系数.15.关于x的方程1xe m x =-无实根，则实数m 的取值范围为___．【答案】)20,e ⎡⎣【解析】 【分析】程1x e m x =-无实根,即直线()1y m x =-与曲线x y e =无公共点，找直线()1y m x =-与曲线x y e =相切的时候m 的值，然后分析可得答案.【详解】由1x e m x =-，得()1xe m x =-，若直线()1y m x =-与曲线xy e =相切，设切点为()00,x y ，00xy e = ，∵e xy '=，∴0x m e =， ∴()0001xx e ex =-，∴02x =，∴2m e =.直线()1y m x =-恒过点()1,0.因为原方程无实数根，所以实数m 的取值范围为)20,e ⎡⎣.故答案为：)20,e⎡⎣【点睛】本题考查方程的根的情况，转化为两曲线的交点问题，属于中档题.16.如图，在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a b c bc =++，a ，S 为ABC ∆的面积，圆O 是ABC ∆的外接圆，P 是圆O上一动点，当cos S B C +取得最大值时，PA PB ⋅u u u r u u u r的最大值为_______.【答案】332+. 【解析】试题分析：∵222a b c bc =++，∴2221cos 22b c a A bc +-==-，∴23A π=，设圆O 的半径为R ，则322sin sin3a R A π===，∴1R =，∴13cos cos sin 3cos cos 2S B C bc A B C +=+ 33cos cos bc B C =+3sin sin 3cos cos 3cos()B C B C B C =+=-， 当6B C π==时，3cos cos S B C +取得最大值，建立如图直角坐标系，则(0,1)A ，31(,)2B -，31(,)22C ，设(cos ,sin )P θθ，则 31(cos ,sin 1)(cos ,sin )2PA PB θθθθ⋅=-+-u u u r u u u r 3333cos sin 3cos()2223πθθθ=-+=++，当且仅当cos()13πθ+=时，PA PB ⋅u u u r u u u r 取最大值3+32.考点：1.正余弦定理解三角形；2.三角恒等变形；3.平面向量数量积的坐标运算.三、解答题（17，18，19，20，21每题12分，22，23选做一题每题10分，共70分）17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，345S S S +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11(1)n n n n b a a -+=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（Ⅰ）21n a n =-（Ⅱ）284n n -- 【解析】试题分析: （Ⅰ）求等差数列通项公式,一般方法为待定系数法,即根据条件列出关于首项与公差的方程组,解出首项与公差再代入通项公式即可,（Ⅱ）涉及符号数列求和,一般方法为分组求和,即按奇偶,项的正负重新组合,利用平方差公式转化为求特殊数列(如等差数列)的和.试题解析: （Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由345S S S +=可得1235a a a a ++=， 即253a a =，所以3(1)14d d +=+，解得2d =．∴ 1(1)221n a n n =+-⨯=-．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：112(1)(21)(21)(1)(41)n n n b n n n --=-⋅-+=-⋅-.∴ 22222122(411)(421)(431)(441)(1)4(2)1n n T n -⎡⎤=⨯--⨯-+⨯--⨯-++-⋅⨯-⎣⎦L 22222241234(21)(2)n n ⎡⎤=-+-++--⎣⎦L22(21)4(1234212)4842n n n n n n +=-+++++-+=-⨯=--L ． 点睛：本题采用分组转化法求和，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型有分段型（如,{2,n nn n a n =为奇数为偶数）及本题的符号型（如2(1)n n a n =- ） 18.如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，23BCD π∠=，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD CD BC CF ===.（1）求证：EF ⊥平面BCF ；（2）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）77【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，设1AD CD BC ===，题意求得2AB =,再由余弦定理求得23AB =,满足222AB AC BC =+,得则BC AC ⊥.再由CF ⊥平面ABCD 得AC CF ⊥，由线面垂直的判定可.进一步得到AC 丄平面BCF ;（Ⅱ）分别以直线,,CA CB CF 为:x 轴，y 轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD CD CF === ,令FM λ=()03λ≤≤得到,,,C A B M 的坐标，求出平面MAB 的一法向量.由题意可得平面的FCD 一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ0=时，有最小值为7,此时点M 与点F 重合. 试题解析：（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ,设1AD CD BC ===， 又∵23BCD π∠=,∴2AB =,∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒= ∴222AB AC BC =+.则BC AC ⊥. ∵CF ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ，∴AC CF ⊥,而CF BC C =I ,∴AC ⊥平面BCF .∵//EF AC ,∴EF ⊥平面BCF . （Ⅱ）解：分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD CD BC CD ====，令(03FM λλ=≤≤， 则())()()0,0,0,3,0,0,0,1,0,,0,1C AB M λ，∴()()3,1,0,,1,1AB BM λ=-=-u u u v u u u u v设(),,n x y z =v为平面MAB 的一个法向量，由00n AB n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v 得300x y x y z λ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则()1,3,3n λ=-v ，∵()1,0,0m =v是平面FCB 的一个法向量，∴()()22cos ,133134n m n m n mλλ⋅===++-⨯-+v vv v v v∵03λ≤≤，∴当0λ=时，cos θ有最小值为77， ∴点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB 所成二面角最大，此时二面角的余弦值为7. 19.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解强度D （单位：分贝）与声音能量I （单位：2/W cm ）之间的关系，将测量得到的声音强度i D 和声音能量()1,2,,10i I i =L 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中lg i i W I =，101110i i W W ==∑ （1）根据表中数据，求声音强度D 关于声音能量I 的回归方程lg D a b I =+；（2）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P 共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是1I 和2I ，且10121410I I +=.已知点P 的声音能量等于声音能量1I 与2I 之和.请根据（1）中的回归方程，判断P 点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由. 附：对于一组数据()()()1122,,,,,n n v v v μμμL，其回归直线v αβμ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ii i ii uuuu v v uu β∧==--=-∑∑，v u αβ∧∧=-【答案】（1）10lg 160.7i D I =+（2）会受到干扰,理由见解析. 【解析】 【分析】（1）令lg i i W I =，建立D 与W 的线性回归方程，结合所给公式求得b .代入样本中心点求得a ，即可得声音强度D 关于声音能量I 的回归方程. （2）由点12P I I =+，结合10121410I I +=，利用基本不等式求得点P 能量的最小值.由（1）得声音强度D 的预报值，比较大小即可判断.【详解】（1）令lg i i W I =，则i D a bW =+由表中参考数据可得()()()10110215.1100.51i i i i i W W D D b W W==--===-∑∑ 将45.7,11.5D W ==-代入i D a bW =+ 可得()45.71011.5160.7a D bW =-=+⨯-= 所以10160.7D W =+即声音强度D 关于声音能量I 的回归方程为10lg 160.7i D I =+ （2）已知点P 的声音能量等于声音能量1I 与2I 之和， 所以12P I I =+而10121410I I +=，即101214101I I -⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭所以12P I I =+()1012121410I I I I -⎛⎫=+⨯⨯+ ⎪⎝⎭1021124105I I I I -⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭10910-≥⨯由（1）可知点P 的声音强度预报值为()10min 10lg 910160.710lg960.760D -=⨯+=+>所以点P 会受到噪声污染的干扰【点睛】本题考查了非线性回归方程的求法，利用线性回归方程进行预报与判断，属于中档题.20.已知12P ⎫⎪⎭在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，F 为右焦点，PF x ⊥轴，,,,A B C D 为椭圆上的四个动点，且AC ，BD 交于原点O . （1）判断直线:()(,)2m n l x m n y m n R ++-=∈与椭圆的位置关系； （2设()11,A x y ，()22,B x y 满足12124y y x x =，判断AB BC k k +的值是否为定值，若是，请求出此定值，并求出四边形ABCD 面积的最大值，否则说明理由.【答案】（1）直线l 与椭圆相切或相交.（2）AB BC k k +的值是定值，0AB BC k k +=；()max 1ABCD S = 【解析】 【分析】（1）将直线l 变形，可确定直线l 所过定点的坐标，可得该定点坐标在椭圆上，即可判断出直线l 与椭圆的位置关系.（2）先根据条件，求得椭圆的标准方程.讨论直线AB 的斜率情况可知当斜率不存在或斜率为0时不满足12124y y x x =.进而设直线AB 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程，利用韦达定理及等式12124y y x x =，化简即可求得k 的值，确定AB BC k k +为定值；由点到直线距离公式求得d ，利用弦长公式求得AB ，即可用m 表示出AOB S ∆，由二次函数性质求得AOB S ∆的最大值，并根据4ABCD AOB S ∆=即可求得ABCD S 的最大值.【详解】（1）直线11:()(,)222m n l x m n y m n m n R ++-=+∈，将直线方程化简变形可得022x x y m y n ⎛⎛++-= ⎝⎭⎝⎭，因为,m n R ∈，令0202x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得12x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，所以直线l过定点12P ⎫⎪⎭， 而由P 在椭圆上，可知直线l 与椭圆相切或相交.（2）12P ⎫⎪⎭在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，PF x ⊥轴，由椭圆性质可得212b c a ==，则222212c ba abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2,1a b == ，所以椭圆的标准方程为2214x y +=，因为()11,A x y ，()22,B x y ，,,,A B C D 为椭圆上的四个动点且AC ，BD 交于原点O . 所以()11,C x y --，()22,D x y --，当直线AB 的斜率不存在时，不满足12124y y x x =，因而直线AB 的斜率一定存在.当直线AB 斜率存在且为0时，不满足12124y y x x =，所以直线AB 的斜率一定存在且不为0. 设直线AB 的方程为y kx m =+.则2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简可得()()222418410k x kmx m +++-=， 所以()2121222418,4141m km x x x x k k -+=-⋅=++，()()()()2222284414416410,km k m k m ∆=-+-=-+>①因为1122,kx m y kx m y =+=+，所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，则()()2222222414184414141m m km k km m k k k ⎡⎤--⎛⎫⎢⎥⨯+⨯-+= ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 整理可得241k =， 解得12k =±.由题意可知A B C D 、、、的位置等价，所以不妨设12AB k =，则12BC k =-， 则11022AB BC k k +=-=， 即AB BC k k +为定值.直线AB 的方程为12y x m =+.即102x y m -+= 则点O 到直线AB的距离为d =因为()2121222418,4141m km x x x x k k -+=-⋅=++代入可得()212122,21x x m x x m +=-⋅=-则由弦长公式可得AB =所以1122AOB S AB d ∆=⋅⋅====当21m =时取等号.而21m =时满足①. 所以()max 1AOB S ∆=此时44ABCD AOB S ∆==故四边形ABCD 面积的最大值的最大值为4【点睛】本题考查了直线过定点的求法，直线与椭圆位置关系的判断，椭圆标准方程的求法，韦达定理在求弦长公式中的应用，椭圆中的四边形面积问题综合应用，属于难题. 21.已知函数()()()21'0xf x ax x e f =+-+.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若()()()ln ,xx g x ef x x h x e -=+=，过()0,0O 分别作曲线()yg x =与()yh x =的切线12,l l ，且1l 与2l 关于x 轴对称，求证:()321222e e a e ++-<<-.【答案】(1)见解析；(2) 见解析. 【解析】试题分析：(1) 求出()'f x ，分五种情讨论，分别令()'0f x >得增区间，()'0f x <得减区间；（2）根据导数的几何意义可求出两切线的斜率分别为,e e -，根据切点处两函数纵坐标相等可得关于1,x a 的两个等式，由其中一个等式求得1x 的范围，再根据另一个等式利用导数求得a 的范围.试题解析：由已知得()()()2'21,'00xf x ax a x e f ⎡⎤=++=⎣⎦，所以()()21xf x ax x e =+-.(1)()()()2'2121xxf x ax a x e x ax a e ⎡⎤⎡⎤=++=++⎣⎦⎣⎦. ① 若0a >，当12x a<--或0x >时，()'0f x >；当120x a --<<时，()'0f x <，所以()f x 的单调递增区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭；单调递减区间为12,0a ⎛⎫--⎪⎝⎭. ②若()()()0,1,'x xa f x x e f x xe ==-=，当0x >时，()'0f x >；当0x <时，()'0f x <，所以()f x 的单调递增区间为()0,+∞；单调递减区间为(),0-∞. ③ 若102a -<<，当12x a >--或0x <时，()'0f x <；当102x a <<--时，()'0f x >，所以()f x 的单调递增区间为10,2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,0,2,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.④若()211,'022x a f x x e =-=-≤，故()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞.⑤若12a <-，当12x a <--或0x >时，()'0f x <；当120x a--<<时，()'0f x >，所以()f x 的单调递增区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.当0a >时，()f x 的单调递增区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭；单调递减区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 当0a =时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞；单调递减区间为(),0-∞.当102a -<<时，()f x 的单调递增区间为10,2a ⎛⎫--⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,0,2,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.当12a =-时，()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；当12a <-时，()f x 单调递增区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ； 单调递减区间为1,2a ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭,()0,+∞； (2)()()()22ln 1ln 1ln xx x g x ef x x e ax x e x ax x x --=+=-+-+=+-+,设2l 的方程为2y k x =，切点为()22,x y ，则222222,x x y y e k e x ===，所以2221,,x y e k e ===.由题意知12k k e =-=-，所以1l 的方程为y ex =-，设1l 与()y g x =的切点为()11,x y ，则()111121111111'21,22y e k g x ax e a x x x x +==++==-=--. 又2111111ln y ax x x ex =++-+=-,即1113ln 022e x x ++-=，令()()1311ln ,'222e e u x x x u x x++=+-=+，在定义域上，()'0u x >，所以()0,+∞上，()u x 是单调递增函数，又()2310,ln 021212e e e e u u e e -⎛⎫=>=+-< ⎪++⎝⎭，所以()1?01e u u e ⎛⎫< ⎪+⎝⎭，即111e x e <<+，令11t x =，则()()2111,12e t a t t e t e +⎡⎤<<=-++⎣⎦，所以()()32112,122e e e a a a a e e +++⎛⎫>=-<=- ⎪⎝⎭，故 ()321222e e a e ++-<<-.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ-=．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与y 轴交于点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点（A 在第一象限），则11||||MA MB -的值． 【答案】（1）曲线C 为229x y +=，直线l 为10x y --=.（2）8- 【解析】 【分析】（1）消去曲线C 参数方程中的参数，将曲线C 的参数方程化为直角坐标方程；利用极坐标转化为直角坐标的公式，将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程.（2）求得M 点的坐标，写出直线l 的参数方程，并代入229x y +=，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义求得11||||MA MB -的值. 【详解】（1）曲线C 的参数方程为3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，两式平方相加得229x y +=.直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ-=，即10x y --=.（2）直线:10l x y --=与y 轴的交点为()0,1M -，所以直线l的参数方程为212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.代入229x y +=并化简得280t -=，所以12128t t t t +=⋅=-.画出图像如下图所示，依题意设A 点对应1t ，B 点对应2t .则11||||MA MB-121212118t t t t t t +=+==-.【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义进行计算，属于中档题.23.[选修4-5：不等式选讲]:已知函数()2f x x a x a =++-. （1）当1a =时，求不等式()42f x x ≥-+的解集； （2）设0a >，0b >，且()f x 的最小值为t .若33t b +=，求12a b+的最小值. 【答案】（1） 7(,][1,)3-∞--+∞U （2）322+【解析】 【分析】（1）当1a =时，()|2||1|f x x x =++-，原不等式可化为2|2||1|4x x ++-≥，分类讨论即可求得不等式的解集；（2）由题意得，()f x 的最小值为t ，所以3t a =，由333a b +=，得1a b +=，利用基本不等式即可求解其最小值．【详解】（1）当1a =时，()21f x x x =++-，原不等式可化为2214x x ++-≥，① 当2x ≤-时，不等式①可化为2414x x ---+≥，解得73x ≤-，此时73x ≤-； 当21x -<<时，不等式①可化为2414x x +-+≥，解得1x ≥-，此时11x -≤<； 当1x ≥时，不等式①可化为2414x x ++-≥，解得13x ≥，此时1x ≥， 综上，原不等式的解集为][7,1,3⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭.（2）由题意得，()2f x x a x a =++-≥ ()()23x a x a a +--=，因为()f x 的最小值为t ，所以3t a =，由333a b +=，得1a b +=，所以()1212a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭2333b a a b =++≥+=+， 当且仅当2b a a b =，即1a =，2b =12a b+的最小值为3+【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学(理)试题(解析版)
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作出几何体的直观图，观察截去几何体的结构特征，代入数据计算．
【详解】由题中条件及三视图可知该几何体是由棱长为 2 的正方体被平面截去了两个三棱锥后剩下的几何
体
，如图所示，
该几何体的制面三角形有
，
，
，
，
，
，由对称性只需计算
，
的大小，因为
， .故选 B.
.所以该几何体的表面积为
，所以该
质点落入这两个半圆的并集所在区城内的概率为
.故选 C.
法二：设正方形的边长为 2.过 O 作 OF 垂直于 AB，OE 垂直于 AD.则这两个半圆的并集所在区域的面积为
，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区域的概率为
，故选 C.
【点睛】解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问
【答案】D
【解析】
复数 满足
，∴
D.
，则复数 在复平面内对应的点 在第四象限，故选
2.已知全集 ，集合
为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
化简集合 A、B，利用补集与交集运算即可得到结果.
【详解】因为
，所以
或
.
所以
.故选 B.
【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查不等式的解法，属于基础题.
3.若命题 p 为：
【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观
图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调
衡水金卷2025届高三3月份模拟考试数学试题含解析
衡水金卷2025届高三3月份模拟考试数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++ B ．1122a b c --+ C ．1122a b c -+ D ．1122-++a b c 2．函数()()()sin 0,02g x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图所示，已知()5036g g π⎛⎫== ⎪⎝⎭，函数()y f x =的图象可由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 2f x x =B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin f x x =-D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭3．若复数211iz i=++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的模为（ ） A ．52B ．4C ．2D ．54．已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的最小正周期为π，且满足()()f x f x ϕϕ+=-，则要得到函数()f x 的图像，可将函数()sin g x x ω=的图像（ ） A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度5．已知函数()(N )k f x k x +=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )A ．3B ．2C ．4D ．56．若复数1a iz i-=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()0,∞+7．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是( )A ．16163π+ B ．8163π+C ．32833π+ D ．321633π+ 8．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．9．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP 中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）A ．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B ．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP 比例持续7年保持在4%以上C ．从2010年至2018年，中国GDP 的总值最少增加60万亿D ．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年10．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y=+（ ）A ．有最大值，无最小值B ．有最大值，有最小值C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值11．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．8312．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
题解析系列数学(文)试题金卷10套：河北省衡水中学201届高三上学期第三次调研考试文数试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2|x 320A x x =-+=，集合{}|log 42x B x ==，则AB =（ ）A ．{}2,1,2-B ．{}2,2-C ．{}1,2D ．{}2 【答案】C 【解析】试题分析：由题设条件，得{1,2}A =，{2}B =，所以A B ={}1,2，故选C ．考点：1、对数的运算；2、集合的并集运算． 2.若复数z 满足()112i z i =-+，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A ．12i -B ．12iC ．12-D ．12【答案】C 【解析】试题分析：由题意，得2111(1)112222i i i z i i i ++=-⋅=-⋅=-+，所以z 的共轭复数的虚部是12-，故选C ． 考点：复数的概念及运算． 3. 下列结论正确的是（ ）A ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβB ．若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则//αβC ．若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12//l lD ．若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则//l α 【答案】A 【解析】考点：空间直线与平面间的位置关系．【思维点睛】解答此类试题的关键是对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别是定理、公理中的限制条件，如公理3中“不共线的三点”，“不共线”是很重要的条件． 4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ）A ．29B ．31C ．33D ．36 【答案】B 【解析】考点：等比数列通项公式及求前n 项和公式． 【一题多解】由2532a a a =，得42a =．又47522a a +=，所以714a =，所以12q =，所以116a =，所以515(1)311a q S q-==-，故选B ． 5.若正数,x y 满足35x y xy +=，则43x y +的取最小值时y 的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】A 【解析】试题分析：因为正数,x y 满足35x y xy +=，所以135x y+=，所以43x y +＝113()(43)5x y x y ++＝1312119(13)(13555y x x y ++≥+=，当且仅当312y x x y=，即21y x ==时等号成立，故选A ． 考点：基本不等式．6.若,x y 满足3010x y x y x k -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，且2z x y =+的最大值为6，则k 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-7D ．7 【答案】B 【解析】试题分析：作出满足条件的平面区域，如图所示，由,30,x k x y =⎧⎨-+=⎩解得,3,x k y k =⎧⎨=+⎩则(,3)A k k +．由图知，当目标函数2z x y =+经过点(,3)A k k +时，z 最大，故236k k ++=，解得1k =，故选C ．考点：简单的线性规划问题．7.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -前5项的和B ．计算数列{}21n -前5项的和 C ．计算数列{}21n -前6项的和 D ．计算数列{}12n -前6项的和 【答案】D 【解析】考点：循环结构流程图．【易错点睛】应用循环结构应注意的三个问题分别为：（1）确定循环变量和初始值；（2）确定算法中反复执行的部分，即循环体；（3）确定循环的终止条件．同时依次计算出每次的循环结果，直到不满足循环条件为止是解答此类问题的常用方法． 8.ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“()sin 3cos sin cos C A A B =+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】考点：1、存在性命题；2、基本不等式；3、不等式恒成立问题．10.已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有2343n n S n T n -=-，则()3153392102a a a b b b b ++=++（ ） A ．1941 B ．1737 C ．715 D ．2041【答案】A 【解析】 试题分析：()()11111539383931111113921011111111111111111()2211()222a a a a a a a a a a a a ab b b b b b b b b b b b b b b b ++++++=+====++++++++＝1111211319411341S T ⨯-==⨯-，故选A ． 考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前n 项和公式． 11.已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣【答案】B考点：1、函数极值与导数的关系；2、函数函数的图象与性质．12.如图，在OMN ∆中，,A B 分别是,OM ON 的中点，若(),OP xOA yOB x y R =+∈，且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】试题分析：分三种情况讨论：①当P 在线段AB 上时，设BP PA λ=，则1OB OAOP λλ+=+．由于(),OP xOA yOB x y =+∈R ，所以1x λλ=+，11y λ=+，故1x y +=；②当P 在线段MN 上时，设MP PN λ=，则1OM ONOP λλ+=+．由于()11,22OP xOA yOB xOM yON x y R =+=+∈，所以121x λλ=+，1121y λ=+，故2x y +=；③当在阴影部分内（含边界），则113,244y x y +⎡⎤∈⎢⎥++⎣⎦，故选C ．考点：向量的几何意义．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->，则a b 、的大小关系是_____________． 【答案】a b < 【解析】考点：基本不等式． 14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________． 【答案】0 【解析】试题分析：由110tan tan 3αα+=，得(tan 3)(3tan 1)0αα--=，所以tan 3α=或1tan 3α=．因为,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 3α=，所以2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝22αα+22αα+＝2222222sin cos cos sin sin cos sin cos αααααααα-+++2222tan 1tan tan 1tan 1αααα-+++222231303131⨯-++=++．考点：1、两角和的正弦函数公式；2、同角三角函数间的基本关系；3、二倍角． 15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是_____________．【答案】2 【解析】考点：空间几何体的三视图及体积．【方法点睛】名求组合体的几何，首先应该知道它是哪些简单几何体组合而成，这就要求必须掌握简单几何体（柱、锥、台、球等）的三视图，只有在掌握简单几何体三视图的基础上才能确定组合体的“组合”，同时注意三视图的作图原则：“长对正，高平齐，宽相等”，由此可确定几何体中各数据． 16.已知函数()()2lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的方程()()210fx bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是______________．【答案】172,4⎛⎤⎥⎝⎦【解析】试题分析：函数()f x 的图像如图所示，因为2264(3)5x x x -+=--，所以关于x 的方程()()210f x bf x -+=在(0,4]上有2个根．令()t f x =，则方程210t bt -+=在(0,4]上有2个不同的正解，所以204240(4)1610(0)10b b f b f ⎧<<⎪⎪⎪∆=->⎨⎪=-+≥⎪=>⎪⎩，解得1724b <≤．考点：1、分段函数；2、函数的图象； 3、方程的根．【方法点睛】方程解的个数问题解法：研究程)(x g 0=的实根常将参数移到一边转化为值域问题．当研究程)(x g 0=的实根个数问题，即方程)(x g 0=的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到)(x f a =的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解；也可将方程化为形如)()(x h x f =，常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界值，然后总结答案即可．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设n S 为各项不相等的等差数列{}n a 的前n 项和，已知38733,9a a a s ==．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求1nn T a +的最大值． 【答案】（1）1n a n =+；（2）116．【解析】解得103d a =⎧⎨=⎩（舍去）或112d a =⎧⎨=⎩，∴()2111n a n n =+-⨯=+．．．．．．．．．．4分（2）∵()()111111212n n a a n n n n +==-++++，∴12231111n n n T a a a a a a -=+++()111111112335122222n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴()()221114162442224n n T n n a n n n n n n n +===≤=⎛⎫+++++ ⎪⎪⎝⎭⎭， 当且仅当4n n=，即2n =时“=”成立， 即当2n =时，1n n T a +取得最大值116．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：2、等差数列的通项公式；3、裂项法求数列的和． 18.（本小题满分12分）已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭，记()f x m n =．（1）若()1f x =，求cos 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求()2f A 的取值范围．【答案】（1）12；（2）32⎤⎥⎦． 【解析】（2）因为()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，考点：1、两角和的正弦函数；2、倍角公式；3、正弦定理；4、正弦函数的图象与性质． 【思路点睛】第一问解答时，要注意分析结论中的角与条件中角的关系，合理选择变换策略达到求值的目的；第二问解答时，求得内角B 的值是关键，结合三角形形状得到函数(2)f A 的定义域，问题就容易解答了，常见的错误是不少考生由于审题不够仔细，漏掉2A π<，实在可惜．19.（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，0//,,60AB CD AD DC CB a ABC ===∠=，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，AE a =，点M 在线段EF ．（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）当EM 为何值时，//AM 平面BDF ？证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）当EM =时，//AM 平面BDF ，理由见解析． 【解析】试题分析：（1）首先根据梯形的性质推出AC BC ⊥，然后利用面面垂直的性质可使问题得证；（2）在梯形ABCD 中，设AC BD N =，连接FN ，然后利用平行线分线段成比例推出四边形ANFM 是平行四边形，从而利用平行四边形的性质使问题得证．试题解析：（1）证明：在梯形ABCD 中，∵0//,,60AB CD AD DC CB a ABC ===∠=， 四边形ABCD 是等腰梯形，且0030,120DCA DAC DCB ∠=∠=∠=，∴090ACB DCB DCA ∠=∠-∠=，∴AC BC ⊥．又∵平面ACFE ⊥平面ABCD ，交线为AC ，∴BC ⊥平面ACFE ．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）当EM =时，//AM 平面BDF ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分在梯形ABCD 中，设AC BD N =，连接FN ，则:1:2CN NA =，∵EM =，而EF AC ==，∴:1:2EM MF =，∴//MF AN ，∴四边形ANFM 是平行四边形，∴//AM NF ，又∵NF ⊂平面,BDF AM ⊄平面BDF ，∴//AM 平面BDF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、线面垂直的判定定理；2、线面平行的判定定理．【技巧点睛】在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．20.（本小题满分12分）已知函数()()f x x ae a R π=+∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0,1x a <≤时，证明：()()21x a x f x '++>． 【答案】（1）见解析（2）见解析．【解析】（2）证明：令()()()21F x x a x xf x '=++-， 则()()()()221x x F x x a x xf x x ax axe x x a ae '=++-=+-=+-，令()x H x x a ae =+-，则()1x H x ae '=-， ∵0x <，∴01x e <<，又1a ≤，∴110x x ae e -≥->，∴()H x 在(),0-∞上为增函数，则()()00H x H <=，即0x x a ae +-<，由0x <可得()()0x F x x x a ae =+->，所以()()21x a x xf x '++>．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、利用导数研究函数单调区间；2、利用导数证明不等式．【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()f x a ≥恒成立，只需()min f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可；（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解．21.（本小题满分12分）已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．（1）若曲线()()g x f x x =+上点()()1,g 1处的切线过点()0,2，求函数()g x 的单调减区间；（2）若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值． 【答案】（1）()0,2；（2）24ln 2-．【解析】（2）因为()0f x <在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立不可能，考点：1、函数的零点；2、导数的几何意义；3、利用导数研究函数的单调性．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，且BC CD =，其对角线AC 与BD 相交于点M ，过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ．（1）求证：AB MD AD BM =；（2）若CP MD CB BM =，求证：AB BC =．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】考点：1、圆周角定理；2、相似三角形；3、弦切角定理．23.本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．（1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB 的值；（2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值．【答案】（1）2；（2）16．【解析】试题分析：（1）求出曲线C 的普通方程和焦点坐标，将直线的参数方程代入曲线的普通方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义，即可得到结果；（2）用椭圆参数方程设矩形的四点，面积用三角函数表示，再利用三角函数的有界性求解． 试题解析：（1）已知曲线 C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为()-．则m =-，将直线l的参数方程x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与曲线22:1124x y C +=联立， 得2220t t --=，则122FA FB t t ==．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由曲线C 的方程为221124x y+=，可设曲线C 上的定点(),2sin P θθ， 则以P 为顶点的内接矩形周长为()42sin 16sin 032ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⨯+=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 因此该内接矩形周长的最大值为16．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立．（1）求满足条件的实数t 的集合T ； （2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式23log log m n t ≥恒成立，求m n +的最小值．【答案】（1）{}|1T t t =≤；（2）6．【解析】考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式．。