2020年沪科版九年级上册一次函数、反比例函数、二次函数中考题汇编(含答案)

2020沪科版一次函数、反比例函数、二次函数中考题汇编（含答案）一、 选择题1. (2019·枣庄)如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A ，B 两点，P 是线段AB 上任意一点(不包括端点)，过点P 分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线对应的函数解析式是( )第1题A. y ＝－x ＋4B. y ＝x ＋4C. y ＝x ＋8D. y ＝－x ＋82. (2019·包头)如图，在平面直角坐标系中，A(－3，－2)，B(0，－2)，C(－3，0)，M 是线段AB 上的一个动点，连接CM ，过点M 作MN ⊥MC 交y 轴于点N ，若点M ，N 在直线y ＝kx ＋b 上，则b 的最大值是( )第2题A. －78B. －34C. －1D. 03. (2019·十堰)如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为A(－8，0)，B(－8，4)，C(0，4)，反比例函数y ＝kx 的图象分别与线段AB ，BC 交于点D ，E ，连接DE.若点B关于DE 的对称点恰好在OA 上，则k 的值为( )A. －20B. －16C. －12D. －8第3题 第4题4. (2019·黄石)如图，在平面直角坐标系中，点B 在第一象限，BA ⊥x 轴于点A ，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象与线段AB 相交于点C ，且C 是线段AB 的中点，点C 关于直线y ＝x的对称点C′的坐标为(1，n)(n ≠1)．若△OAB 的面积为3，则k 的值为( )A. 13B. 1C. 2D. 3 5. (2019·宿迁)如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点A 与原点O 重合，顶点B 落在x 轴的正半轴上，对角线AC ，BD 交于点M ，点D ，M 恰好都在反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象上，则ACBD的值为( ) 第5题A. 2B. 3C. 2D. 5二、 填空题6. (2019·日照)如图，动点A 在函数y ＝4x (x>0)的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，延长CA 交以点A 为圆心、AB 长为半径的圆弧于点E ，延长BA 交以点A 为圆心、AC 长为半径的圆弧于点F ，直线EF 分别交x 轴、y 轴于点M ，N ，当NF ＝4EM 时，图中涂色部分的面积为________．第6题7. (2019·本溪)如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 和菱形OCDE 的边OA ，OE 都在x 轴上，点C 在OB 边上，S △ABD ＝3，反比例函数y ＝kx (x>0)的图象经过点B ，则k 的值为________．第7题8. (2019·荆州)边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线y ＝k 1x 平分这8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于A ，B 两点，过点B 的双曲线y ＝k 2x 的一支交其中两个正方形的边于C ，D 两点，连接OC ，OD ，CD ，则S △OCD ＝________．第8题9. (2019·江西)在平面直角坐标系中，A ，B ，C 三点的坐标分别为A(4，0)，B(4，4)，C(0，4)，点P 在x 轴上，点D 在直线AB 上，若DA ＝1，CP ⊥DP 于点P ，则点P 的坐标为________________________．10. (2019·福建)如图，菱形ABCD的顶点A在函数y＝3x(x>0)的图象上，函数y＝kx(k>3，x>0)的图象关于直线AC对称，且过B，D两点．若AB＝2，∠BAD＝30°，则k＝__________．第10题11. (2019·潍坊)如图，直线y＝x＋1与抛物线y＝x2－4x＋5交于A，B两点，P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝________．第11题三、解答题12. (2019·甘肃)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.(1) 求二次函数的解析式；(2) 若P为二次函数图象上的一点，F为对称轴上的一点，且以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3) E是二次函数图象上在第四象限内的一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．第12题13. (2019·大连)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－34x＋3与x轴、y轴分别相交于点A ，B ，点C 在射线BO 上，点D 在射线BA 上，且BD ＝53OC ，以CO ，CD 为邻边作▱COED.设点C 的坐标为(0，m)，▱COED 在x 轴下方部分的面积为S.求：(1) 线段AB 的长；(2) S 关于m 的函数解析式，并直接写出自变量m 的取值范围．第13题14. (2019·广东)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝38x 2＋334x －738与x 轴交于点A ，B(点A 在点B 右侧)，D 为抛物线的顶点，点C 在y 轴的正半轴上，CD 交x 轴于点F ，△CAD 绕点C 按顺时针方向旋转得到△CFE ，点A 恰好旋转到点F ，连接BE.(1) 求点A ，B ，D 的坐标．(2) 求证：四边形BFCE 是平行四边形． (3) 如图②，过顶点D 作DD 1⊥x 轴于点D 1，P 是抛物线上一动点，过点P 作PM ⊥x 轴，M 为垂足，使得△PAM 与△DD 1A 相似(不含全等)．① 求出一个满足以上条件的点P 的横坐标； ② 直接回答这样的点P 共有几个．第14题15. (2019·金华)如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数y ＝kx(k ＞0，x ＞0)的图象上，边CD 在x 轴上，点B 在y 轴上，已知CD ＝2.(1) 点A 是否在该反比例函数的图象上？请说明理由．(2) 若该反比例函数图象与DE 交于点Q ，求点Q 的横坐标．(3) 平移正六边形ABCDEF ，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．第15题16.(2019·山西)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6经过点A(－2，0)，B(4，0)，与y 轴交于点C ，D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为m(1＜m ＜4)．连接AC ，BC ，DB ，DC.(1) 求抛物线对应的函数解析式．(2) 当△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值．(3) 在(2)的条件下，若M 是x 轴上一动点，N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第16题17. (2019·黔西南州)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A(1，0)，B(－3，0)，与y 轴交于点C ，P 为第二象限内抛物线上的动点．(1) 抛物线对应的函数解析式为______________，抛物线的顶点坐标为________． (2) 如图①，连接OP 交BC 于点D ，当S △CPD ∶S △BPD ＝1∶2时，求点D 的坐标．(3) 如图②，点E 的坐标为(0，－1)，G 为x 轴负半轴上的一点，∠OGE ＝15°，连接PE.若∠PEG ＝2∠OGE ，求点P 的坐标．(4) 如图③，是否存在点P ，使四边形BOCP 的面积为8？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第17题18. (2019·十堰)已知抛物线y ＝a(x －2)2＋c 经过点A(－2，0)，C ⎝⎛⎭⎫0，94，与x 轴交于另一点B ，顶点为D.(1) 求抛物线对应的函数解析式，并写出点D 的坐标．(2) 如图，点E ，F 分别在线段AB ，BD 上(点E 不与点A ，B 重合)，且∠DEF ＝∠A ，则△DEF 能为等腰三角形吗？若能，求出BE 的长；若不可能，请说明理由．(3) 若点P 在抛物线上，且S △PBDS △CBD＝m ，试确定满足条件的点P 的个数．第18题19. (2019·郴州)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴分别交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.(1) 求抛物线对应的函数解析式及顶点D的坐标．(2) F是线段AD上一个动点．①如图①，设k＝AFAD，当k为何值时，CF＝12AD?②如图②，以A，F，O为顶点的三角形能否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．第19题20. (2019·淄博)如图①，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(3，0)，B(－1，0)两点，与y轴交于点C.(1) 求这条抛物线对应的函数解析式．(2) 在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过点D作DG⊥x轴于点G.设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．第20题参考答案一、 1. A 2. A 3. C 4. D 5. A 二、 6. 2.5π 7. 3 8. 119489. (2，0)或(2－22，0)或(2＋22，0) 10. 6＋23 11.125三、 12. (1) ∵ 二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(1，0)，B(3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋b ＋c ，0＝9＋3b ＋c.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.∴ 二次函数的解析式为y ＝x 2－4x ＋3 (2) ∵ y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴ 二次函数图象的对称轴为直线x ＝2.当AB 为平行四边形的一条边时，则PF ＝AB ＝2.∴ 点P 的横坐标为4或0.对于y ＝x 2－4x ＋3，令x ＝0，则y ＝3；令x ＝4，则y ＝3.∴ 点P 的坐标为(4，3)或(0，3)；当AB 是平行四边形的对角线时，易得点P 的横坐标为2.对于y ＝x 2－4x ＋3，令x ＝2，则y ＝－1，∴ 点P 的坐标为(2，－1)．综上所述，点P 的坐标为(4，3)或(0，3)或(2，－1) (3) 如图，对于二次函数y ＝x 2－4x ＋3，令x ＝0，得y ＝3.∴ 点C 的坐标为(0，3)．又∵ 点B 的坐标为(3，0)，∴ 易得直线BC 对应的函数解析式为y ＝－x ＋3.设点E 的坐标为(x ，x 2－4x ＋3)(1<x<3)，则点D 的坐标为(x ，－x ＋3)．∴ S 四边形AEBD＝12AB ()y D －y E ＝－x ＋3－x 2＋4x －3＝－x 2＋3x ＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94.∵ －1<0，∴ 当x ＝32时，四边形AEBD 的面积有最大值，为94，此时点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，－34 第12题13. (1) 对于y ＝－34x ＋3，当x ＝0时，y ＝3；当y ＝0时，x ＝4，∴ 点A 的坐标为(4，0)，点B 的坐标为(0，3)．∴ OA ＝4，OB ＝3.∴ AB ＝32＋42＝5 (2) ∵ 点C 的坐标为(0，m)，∴ OC ＝|m|.∵ BD ＝53OC ，∴ BD ＝53|m|.当CD ∥OA ，m>0时，BD BA ＝BCBO ，即53m 5＝3－m 3，解得m ＝32.当32＜ m ≤3时，如图①，过点D 作DF ⊥OB ，垂足为F ，易得△OEH ≌△DCF ，△BDF ∽△BAO ，∴BD BA ＝DF AO ，即BD DF ＝BA AO ＝54 .∴ DF ＝43m .同理可得BF ＝m.∴ CF ＝2m －3.∴ S △CDF ＝12 D F·CF ＝12×43 m ×(2m －3)＝43 m 2－2m.当 0＜m ≤32时，如图②，此时点E 在△AOB 的内部，∴ S ＝0.当m<0，点D 到达点A 时，OC ＝－m.∴ 53·(－m)＝5，解得m ＝－3.当－3<m<0时，如图③.易得点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫－43m ，3＋m .设直线CD 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝b ，－43mk ＋b ＝3＋m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－94m ，b ＝m.∴ y ＝－94m x ＋m.令y ＝0，得x ＝49m 2.∴S ＝12×49m 2×(－m)＝－29m 3.当m ≤－3时，如图④，易得点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫－43m ，3＋m .∴ S ＝12×(－3－m －m)×⎝⎛⎭⎫－43m ＝43m 2＋2m.综上所述，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧43m 2－2m ⎝⎛⎭⎫32<m ≤3，0⎝⎛⎭⎫0<m ≤32，－29m 3（－3<m<0），43m 2＋2m （m ≤－3）① ②③④第13题14. (1) 令38x 2＋334x －738＝0，解得x 1＝1，x 2＝－7.∵ 点A 在点B 右侧，∴ 点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(－7，0)．∵ y ＝38x 2＋334x －738＝38(x ＋3)2－23，∴ 点D 的坐标为(－3，－23) (2) ∵ △CAD 绕点C 按顺时针方向旋转得到△CFE ，∴ AC ＝FC ，CD ＝CE ，∠ACD ＝∠FCE.又∵ CO ⊥AF ，∴ OF ＝OA ＝1.∴ 点F 的坐标为(－1，0)，AF ＝2.设直线CD 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b.∵ 直线CD 过点D(－3，－23)，F(－1，0)，∴ ⎩⎨⎧－3k ＋b ＝－23，－k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝3，b ＝ 3.∴ y ＝3x ＋ 3.令x ＝0，则y ＝3，∴ 点C 的坐标为(0，3)．∴ AC ＝OC 2＋OA 2＝2.∴ AC ＝AF ＝FC ＝2.∴ △ACF 是等边三角形．∴ ∠CFA ＝∠ACF ＝∠CAF ＝60°.∴ ∠ECF ＝∠ACF ＝60°.∴ ∠CFA ＝∠ECF ＝60°.∴ EC ∥AB.如图①，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，则DG ＝3.易得∠DCG ＝30°，∴ CD ＝2DG ＝6.∴ CE ＝CD ＝6.∵ 点F 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(－7，0)．∴ FB ＝6.∴ FB ＝CE.∴ 四边形BFCE 是平行四边形 (3) ① 答案不唯一，如当点P 在点B 的左侧时，如图②，设点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫x ，38x 2＋334x －738，x<－7，若∠PAM ＝∠DAD 1，则△PAM ∽△DAD 1，∴ PM DD 1＝MA D 1A ，即38x 2＋334x －73823＝1－x 4，解得x 1＝1(不合题意，舍去)，x 2＝－11.∴ 符合条件的一个点P 的横坐标为－11(此外，点P 的横坐标还可以为－53或－373) ② 3个 第14题15. (1) 点A 在该反比例函数的图象上 理由：如图，连接PC ，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，∵ 在正六边形ABCDEF 中，点B 在y 轴上，∴ △OBC 和△PCH 都是含有30°角的直角三角形，BC ＝PC ＝CD ＝2.∴ OC ＝CH ＝1，PH ＝ 3.∴ 点P 的坐标为(2，3)．∴ k ＝2 3.∴ 反比例函数的解析式为y ＝23x(x>0)．连接AC ，过点B 作BG ⊥AC 于点G ，∵ ∠ABC ＝120°，AB ＝BC ＝2，∴ BG ＝1，AG ＝CG 3.∴ 点A 的坐标为(1，23)．当x ＝1时，y ＝23，∴ 点A 在该反比例函数的图象上． (2) 如图，过点Q 作QM ⊥x 轴于点M.∵ 六边形ABCDEF 是正六边形，∴ ∠EDM ＝180°－120°＝60°.∴ ∠DQM ＝30°.设DM ＝b ，则易得QM ＝3b.∴ 点Q 的坐标为(b ＋3，3b)．∴ 3b(b ＋3)＝2 3.解得b 1＝－3＋172，b 2＝－3－172(舍去)．∴ b ＋3＝3＋72.∴ 点Q 的横坐标是3＋172(3) 如图，连接AP.∵ AP ＝BC ＝EF ，AP ∥BC ∥EF ，∴ 平移过程：将正六边形ABCDEF 先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，或将正六边形ABCDEF 向左平移2个单位长度第15题16. (1) ∵ 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6经过点A(－2，0)，B(4，0)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋6＝0，16a ＋4b ＋6＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－34b ＝32.∴ 抛物线对应的函数解析式为y ＝－34x 2＋32x ＋6 (2) 如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，交BC 于点H.∵ 点A 的坐标为(－2，0)，∴ OA ＝2.对于y ＝－34x 2＋32x ＋6，令x ＝0，则y ＝6，∴ 点C 的坐标为(0，6)．∴ OC ＝6.∴ S △AOC ＝12OA·OC ＝12×2×6＝6.∵ S △BCD ＝34S △AOC ＝34×6＝92.设直线BC 对应的函数解析式为y ＝kx ＋n.将B(4，0)，C(0，6)代入y ＝kx ＋n ，得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋n ＝0，n ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－32，n ＝6.∴ 直线BC 对应的函数解析式为y ＝－32x ＋6.设点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫m ，－34m 2＋32m ＋6，则点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫m ，－32m ＋6 .∴ DH ＝－34 m 2＋32 m ＋6－⎝⎛⎭⎫－32m ＋6＝－34 m 2＋3m.∵ 点B 的坐标为(4，0)，∴ OB ＝4.∴ S △BCD ＝12 DH·OB ＝12⎝⎛⎭⎫－34m 2＋3m ×4＝－32m 2＋6m.∴ －32m 2＋6m ＝92，解得m 1＝1(不合题意，舍去)，m 2＝3.∴ m ＝3 (3) 存在 点M 的坐标为(8，0)或(0，0)或(14，0)或(－14，0)第16题17. (1) y ＝－x 2－2x ＋3 (－1，4) (2) 如图①，过点D 作DG ⊥AB 于点G.对于y ＝－x 2－2x ＋3，令x ＝0，则y ＝3，∴ 点C 的坐标为(0，3)，∴ OC ＝3.∵ 点B 的坐标为(－3，0)，∴ OB ＝3.∴ OB ＝OC.∴ ∠CBO ＝45°，BC ＝OB 2＋OC 2＝3 2.∵ S △CPD ∶S △BPD ＝1∶2，∴ CD ∶BD ＝1∶2.∴ BD ＝23 B C ＝23×32＝2 2 .∴ DG ＝BD·sin ∠CBO ＝2，BG ＝BD·cos ∠CBO ＝2.∴ OG ＝OB －BG ＝1.∴ 点D 的坐标为(－1，2)(3) 如图②，设直线PE 与x 轴交于点H.∵ 点E 的坐标为(0，－1)，∴ OE ＝1.∵ ∠OGE ＝15°，∠PEG ＝2∠OGE ＝30°，∴ ∠OHE ＝45°.∴ OH ＝OE ＝1.由H(－1，0)，E(0，－1)，易得直线HE 对应的函数解析式为y ＝－x －1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －1，y ＝－x 2－2x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－172，y ＝17－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋172，y ＝－1－172(不合题意，舍去)．∴ 点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－172，17－12 (4) 不存在 理由：如图③，连接BC ，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点M.易得直线BC 对应的函数解析式为y ＝x ＋3.设点P 的坐标为(x ，－x 2－2x ＋3)，则点M 的坐标为(x ，x ＋3)．∴ S 四边形BOCP＝S △OBC ＋S △PBC ＝12×3×3＋12(－x 2－2x ＋3－x －3)×3＝8.整理，得3x 2＋9x ＋7＝0.∵ Δ＝92－4×3×7＝－3＜0，∴ 该方程无解．故不存在满足条件的点P.③ 第17题18. (1) 将A(－2，0)，C ⎝⎛⎭⎫0，94代入y ＝a(x －2)2＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋c ＝0，4a ＋c ＝94，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－316，c ＝3.∴ 抛物线对应的函数解析式为y ＝－316 (x －2)2＋3.∴ 顶点D 的坐标为(2，3) (2) 能 △DEF 能为等腰三角形．对于y ＝－316(x －2)2＋3，令y ＝0，解得x 1＝6，x 2＝－2.∴ 点B 的坐标为(6，0)．∵ A(－2，0)，D(2，3)，B(6，0)，∴ AB ＝8，易得AD ＝BD ＝5.∴ ∠A ＝∠B.∵ ∠DEF ＝∠A ，∴ ∠DEF ＝∠B.∵ ∠AED ＝∠B ＋∠EDF ，∠BFE ＝∠DEF ＋∠EDF ，∴ ∠AED ＝∠BFE.∵ ∠A ＝∠B ，∴ △AED ∽△BFE.① 当DE ＝DF 时，∠DFE ＝∠DEF ＝∠B.∴ EF ∥AB ，此时点E 与点B 重合，不符合题意，舍去．② 当DE ＝EF 时，易得△AED ≌△BFE.∴ BE ＝AD ＝5.③ 当DF ＝EF 时，∠EDF ＝∠DEF ＝∠A ＝∠B ，∴ △FDE ∽△DAB.∴ EF BD ＝DE AB .∴ EF DE ＝BD AB ＝58.∵ △BFE ∽△AED ，∴ BE AD ＝EF DE ＝58.∴ BE ＝58AD ＝258.∴ 当BE 的长为5或258时，△CFE 为等腰三角形 (3) 如图，当点P 在线段BD 的右侧时，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，连接PH.易得S △CBD ＝12 (2＋6)×3－12×2×⎝⎛⎭⎫3－94－12×6×94＝92.设点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫n ，－316（n －2）2＋3，则S △PBD ＝S △PBH ＋S △PDH －S △BDH ＝12×4×[－316 (n －2)2＋3]＋12×3×(n －2)－12×4×3＝－38(n －4)2＋32.∵ －38＜0，∴ 当n ＝4时，△PBD 的面积的最大值为32.∵ S △PBD S △CBD＝m ，∴ 当点P 在BD 的右侧时，m 的最大值为3292＝13.观察图象可知，当0＜m ＜13时，满足条件的点P 的个数为4；当m ＝13时，满足条件的点P 的个数为3；当m ＞13时，满足条件的点P 的个数为2(此时点P 在BD 的左侧)第18题19. (1) ∵ 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3过点A(－3，0)，B(1，0)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋3＝0，a ＋b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴ 抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.∵ y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，∴ 顶点D 的坐标为(－1，4) (2) ① 对于y ＝－x 2－2x ＋3，令x ＝0，则y ＝3，∴点C 的坐标为(0，3)．∵ A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，D(－1，4)，∴ AC 2＝32＋32＝18，CD 2＝12＋12＝2，AD 2＝22＋42＝20.∴ AC 2＋CD 2＝AD 2.∴ △ACD 为直角三角形，且∠ACD ＝90°.∵ CF ＝12AD ，∴ F 为AD 的中点．∴ AF AD ＝12.∴ k ＝12② 以A ，F ，O 为顶点的三角形能与△ABC 相似 在Rt △ACD 中，tan ∠CAD ＝DC AC ＝232＝13，在Rt △OBC 中，tan ∠OCB ＝OB OC ＝13，∴ ∠CAD ＝∠OCB.∵ OA ＝OC ，∴ ∠OAC ＝∠OCA ＝45°.∴ ∠FAO ＝∠ACB.若以A ，F ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则可分两种情况考虑：当∠AOF ＝∠ABC 时，△AOF ∽△CBA ，∴ OF ∥BC.设直线BC 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝3.∴ 直线BC 对应的函数解析式为y ＝－3x ＋3.∴ 直线OF 对应的函数解析式为y ＝－3x.设直线AD 对应的函数解析式为y ＝mx ＋n ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－3m ＋n ＝0，－m ＋n ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝6.∴ 直线AD 对应的函数解析式为y ＝2x ＋6.联立方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋6，y ＝－3x ，解得⎩⎨⎧x ＝－65，y ＝185.∴ 点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫－65，185.当∠AOF ＝∠CAB ＝45°时，△AOF ∽△CAB.∴ OF ⊥AC.易得直线OF 对应的函数解析式为y ＝－x.联立方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝2x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.∴ 点F 的坐标为(－2，2)．综合所述，点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫－65，185或(－2，2) 20. (1) ∵ 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3过点A(3，0)，B(－1，0)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋3＝0，a －b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.∴ 这条抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3 (2) 存在 ∵ y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴ 顶点M 的坐标为(1，4)．∴ AM 2＝(3－1)2＋42＝20.设点P 的坐标为(0，p)．∴ AP 2＝32＋p 2＝9＋p 2，MP 2＝12＋(4－p)2＝17－8p ＋p 2.① 若∠PAM ＝90°，则AM 2＋AP 2＝MP 2.∴ 20＋9＋p 2＝17－8p ＋p 2，解得p ＝－32.∴ 点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－32 .② 若∠APM ＝90°，则AP 2＋MP 2＝AM 2.∴ 9＋p 2＋17－8p ＋p 2＝20，解得p 1＝1，p 2＝3.∴ 点P 的坐标为(0，1)或(0，3)．③ 若∠AMP ＝90°，则AM 2＋MP 2＝AP 2.∴ 20＋17－8p ＋p 2＝9＋p 2，解得p ＝72.∴ 点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，72.综上所述，当点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－32或(0，1)或(0，3)或⎝⎛⎭⎫0，72时，△PAM 为直角三角形 (3) 如图，过点I 作IE ⊥x 轴于点E ，IF ⊥AD 于点F ，IH ⊥DG 于点H.∵ DG ⊥x 轴，∴ ∠HGE ＝∠IEG ＝∠IHG ＝90°.∴ 四边形IEGH 是矩形．∵ 点I 为△ADG 的内心，∴ IE ＝IF ＝IH ，AE ＝AF ，DF ＝DH ，EG ＝HG.∴ 矩形IEGH 是正方形．设点I 的坐标为(m ，n)，∴ OE ＝m ，HG ＝GE ＝IE ＝n.∴ AF ＝AE ＝OA －OE ＝3－m.∴ AG ＝GE ＋AE ＝n ＋3－m.∵ DA ＝OA ＝3，∴ DH ＝DF ＝DA －AF ＝3－(3－m)＝m.∴ DG ＝DH ＋HG ＝m ＋n.∵ DG 2＋AG 2＝DA 2，∴ (m ＋n)2＋(n ＋3－m)2＝32.整理，得m 2－3m ＋n 2＋3n ＝0.∴ ⎝⎛⎭⎫m －322＋⎝⎛⎭⎫n ＋322＝92.∴ 点I(m ，n)与定点Q(32，－32)的距离为322.∴ 点I 在以点Q ⎝⎛⎭⎫32，－32为圆心，半径为322的圆在第一象限的弧上运动．∴ 当点I 在线段CQ 上时，CI 最小．对于抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3，令x ＝0，得y ＝3，∴ 点C 的坐标为(0，3)．∵ CQ ＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫3＋322＝3102，∴ CI ＝CQ －IQ ＝310－322.∴ CI 的最小值为310－322第20题。