直线与双曲线交点个数

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直线与双曲线交点总结

直线与双曲线交点总结直线和双曲线是数学中常见的图形，它们在平面几何和解析几何中都有重要的应用。

而直线与双曲线的交点问题，也是一个常见的问题，对于理解和运用这两种图形都有着重要的意义。

在本文中，我们将总结直线与双曲线的交点问题，希望能够对读者有所帮助。

首先，我们来看直线与双曲线的交点问题。

直线与双曲线的交点可以分为两种情况，一种是直线与双曲线相切于一个交点，另一种是直线与双曲线相交于两个交点。

对于第一种情况，我们可以通过求解直线和双曲线的方程组来确定交点的坐标。

而对于第二种情况，我们可以通过求解直线和双曲线的方程组来确定交点的坐标，并且需要注意直线与双曲线的位置关系，以确定是否有两个交点。

其次，我们来讨论一些特殊情况下的直线与双曲线的交点问题。

当直线平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线将没有交点；当直线与双曲线的渐近线重合时，直线与双曲线将有无穷多个交点；当直线垂直于双曲线的渐近线时，直线与双曲线将有两个交点。

这些特殊情况需要我们特别注意，并且在求解交点时需要进行相应的讨论。

最后，我们需要总结一些常见的解题方法和技巧。

在求解直线与双曲线的交点时，我们可以利用直线和双曲线的方程进行求解，也可以通过几何分析和图形性质进行求解。

同时，我们还可以利用参数方程和极坐标系等方法来求解直线与双曲线的交点。

在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的方法，并且需要注意化简计算和检查结果的合理性。

综上所述，直线与双曲线的交点问题是一个重要且常见的问题，对于理解和运用直线和双曲线都有着重要的意义。

在解决这类问题时，我们需要注意特殊情况的讨论，选择合适的方法进行求解，并且需要进行合理的化简和检查。

希望本文的总结能够对读者有所帮助，也希望读者能够在实际问题中灵活运用这些知识，解决相关的问题。

(原创)直线与双曲线的位置关系

直线和双曲线相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法．
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
4 一个公共点，求直线 l的方程。
2、已知双曲线方程 x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
直线与双曲线的位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组（2）消去一个未知数
（3） ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
一、直线与双曲线的位置关系与交点个数
y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
x 相离:0个交点
思考：当直线与双曲线渐近
Y
线平行时，直线与双曲线的
交点个数？
得k 13,此时l : y 13x 3
2、已知双曲线方程
x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
解：设 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) ，则 (x1 x2)
x12 4

y12 2
1
x22 4

y2 2 2
1
相减

y1 y2 x1 x2
求k的值。
注意：
极易疏忽!
解：由
y

kx
1
得 (1 k 2 )x2 2kx 5 0 即此方程只有一解
x2 y2 4
当 1 k2 0即k 1时，此方程只有一解
当 1 k2 0 时,应满足 4k2 20(1 k2 ) 0

直线与双曲线的交点

2 2
2
2
(3)只有一个公共点; (3)k=±1，或k= ± 5 ；
2
(4)交于异支两点； (4)-1＜k＜1 ； (5)与左支交于两点.
5 k 1 2
x2 y2 1 1.过点P(1,1)与双曲线只有一个 9 16 Y 4 交点的直线共有_______条. （1，1）
。
变题:将点P(1,1)改为
相切:一个交点
O X
相离:0个交点
Y
相交:一个交点
O
X
3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程直线与双曲线的渐进线平行相交（一个交点）
得到一元二次方程计算判别式 >0 =0 <0
相交
相切
相离
y = kx + m 2 消去y，得 : (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 x y2 2 - 2 =1 a b
△＜0
②相切一点:
③相离:
特别注意直线与双曲线的位置关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支
例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (1)k＜ 5或k＞ 5 ；
且 (2)有两个公共点; (2) 5 ＜k＜ 5 ； k 1
直线与双曲线的交点
二、直线与双曲线的位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）
相切
相交
∆<0∆=0Fra bibliotek∆>0

直线和双曲线关系直线与双曲线位置关系及交点个数

直线与双曲线位置关系及交点个数
Y
相交:两个交点
O X
相切:一个交点相离: 0个交点
Y
相交:一个交点
O
X
例1:如果直线y=kx－1与双曲线x2-y2=4仅有一个公共点, 求k的取值范围.
分析:只有一个公共点,即方程组仅有一组实数解.
变式:
⑴ 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共点,求k的取值范围.
练习:求下列直线与双曲线的交点坐标．
x2 y2 14 2 (1)2x-y-10 0, 1 (6,2),( , ) 20 5 3 3 x2 y2 25 (2)4x-3y-16 0, 1 ( , 3) 25 16 4 (3)x-y 1 0, x 2 y 2 3 (2, 1)
⑵ 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点, 求k的取值范围.
归纳直线与双曲线位置关系:
有两个公共点△>0
相交直线与双曲线有一个公共点,
直线与渐近线平行
相切有一个公共点,△=0 相离
⑶如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两个公共点,求k的取值范围. ⑷如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支只有
一个公共点,求k的取值范围.
随堂练习
x y 过点 0,3的直线与双曲线 1 4 3 只有一个公共点，求直线L的方程.
2
2
试讨论过定点且与双曲线只有一个交点的直线的条数问题?
例2.已知双曲线方程为
3x y 3,
2 2
(1)求以定点(2,1)为中点的弦所在的直线方程及弦长; (2)是否存在直线l，使Ｎ（１，1 )为l 被双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由. 不存在

高中数学直线与双曲线位置关系

1
一.点与双曲线的位置关系
点P(
x0
,
y0
)与
双
曲
线
x a
2 2
y2 b2
1(a
0, b
0)的位置关系
点P( x0, y0 )在双曲线上
x0 2 a2
y02 b2
1；
点P( x0, y0 )在双曲线内
x0 2 a2
y02 b2
1；(含焦点)
y
点P( x0 ,
y0 )在双曲线外
在原点
直线三两条数条条
四条
不
两条存
在
26
探究2:已知双曲线
x2 a2
by过22 点1P(m,n)能否
存在直线L,使L与此双曲线交于A、B两点，且点
P
是线段AB的中点？
是否
点的位置
区
区
区
原双曲渐近
存在方程
域域域
线上
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 点线上 (除原点)
x2 a2
y2 b2
1
不存在
My
曲线C:y x2 1有一个交点
求实数k的取值范围
o
x
29
ex3.当k取不同实数时，讨论方程 kx2 y 2 4所表示的曲线类型．
k 0,直线y 2 k 0时，x2 y 2 1．
44 k k 1,表示圆 k 0且k 1表示椭圆 k 0表示双曲线
30
12
课堂练习
例过双曲线
x2 y2 1 的右焦点 36
F2倾, 斜角为 30的o
直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达定理来处理.

直线与双曲线关系

直线与双曲线的关系可分为相交、相切和相离三种情况。相交时，直线与双曲线有ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ个交点；相切时，有一个交点；相离时，无交点。本文通过具体例题，深入探讨了直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的交点情况。当直线与双曲线仅有一个公共点时，即方程组仅有一组实数解，此时需要求解k的取值范围。进一步，文档还通过变式讨论了有两个公共点和没有公共点的情况下k的取值范围。此外，还归纳了直线与双曲线位置关系的判断方法，特别是当直线与双曲线的渐近线平行时，会有一个公共点。最后，通过随堂练习和例题，巩固了这些知识点，深入理解了直线与双曲线的关系及其二级结论。

【高二】【数学】【人教B版选修2-1】2.3.2双曲线的几何性质

【感悟情境】
两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并且获得了大量的成果．古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线．用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把在双曲线标准方程x a 2－y b
2＝)
－y 3
＝利用双曲线的标准方程a 2－b
2＝都适合不等式a
2≥得x ≥a 或x ≤－a .因此，双曲线位于两直线x ＝a 和x ＝－a 所夹平面区域的外侧，
如图所示：类似于对椭圆对称性的讨论，可知双曲线是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形；也是以原点为对称中心的中心对称图形，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．可知双曲线与x 轴有两个交点，，这个方程没有实数根，说明双曲线与B 2(0，b )画在y 轴上，如图．
x ≤－a 或x ≥a
y ≤－a 或y ≥a
关于x 轴、轴及原点都对称
y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)。

直线与双曲线交点个数

相交（两个交点）
[4]l:y2x3,c:x2y21 33
相切
例个1交.过点点的P直(0线,-1共)与有双__曲４__线_条x42。 y32 1 只有一
变题:将点P(1,1)改为 1.A(0,0) 0条 2.B(3,1) 2条 3.C(2,1) 3条 4.D(2,2) 4条结果又怎样?
>0
两个交点
<0
0 个交点
=0
一个交点
陈招宽
相交
相离
相切
Y相交:两个交点来自相离: 0个交点O
X
相切:一个交点
相交:一个交点
交点个数两个交点一个交点
相交
相相切交
0 个交点相离
[1] l:y4x ,c:x2y2 1 3 9 16
相离
[2]
4
x2 y2
l:y x1 ,c: 1
相交
得到一元二次方程
直线与双曲线的渐近线平行
双曲线的
计算判别式
渐近线
>0 =0 <0
相交（一个交点）相离相交相切相离
练习：判断下列直线与双曲线的位置关系
[1]l:y4x1,c:x2y21 5 2516
相交(一个交点)
[2]l:y2x1,c:x2y21
相离
2516
[3]l:y2x8,c:x2y21 42
3
9 16
l:yb axm,c:a x2 2b y2 21
没有交点 ? △<０一个交点 ? △＝０
>0
两个交点
?
<
0
l
:
y
?

b
x
0
个交点

过定点的直线与双曲线交点情况的探讨！！！

过定点的直线与双曲线交点情况的探讨1任意直线与双曲线交点情况备注：此情况下m≠0，如果m=0，一次方程无解，直线L就会与渐近线重合，则与双曲线无交点。

备注：由以上结论可知，任意一条直线与双曲线的交点最多为2个，最少为0个，也有1个的情况(直线与双曲线相切或者直线与渐近线平行)。

2过定点与双曲线仅一个交点的直线情况接下来重点讨论过定点与双曲线只有一个交点的直线条数情况，总共有以下6种情况。

①定点P在双曲线内，如下图绿色区域(不包含在双曲线上的情况)：此时，过定点P与双曲线只有一个交点的直线有两条，且这两条直线分别与对应的两条渐近线平行，具体如下：备注：根据上图点P在双曲线内，很明显可以看出过定点P与双曲线有两个交点的直线有无数条，与双曲线无交点的直线有0条，所以此处只探讨过定点P与双曲线只有一个交点的直线条数这种相对复杂的情况，并且这种情况也是常考点！②定点P在双曲线与渐近线之间，如下图绿色区域(不包含原点，在双曲线上和渐近线上的情况)：此时，过定点P与双曲线只有一个交点的直线有四条，其中两条直线分别与对应的两条渐近线平行(蓝色)，另外两条直线与双曲线相切(粉色)，且切点相切在双曲线的同一支上，具体如下：③定点P在两条渐近线之间，如下图绿色区域(不包含原点，在渐近线上的情况)：此时，过定点P与双曲线只有一个交点的直线有四条，其中两条直线分别与对应的两条渐近线平行(蓝色)，另外两条直线与双曲线相切(粉色)，且切点相切在双曲线的两支上，具体如下：④定点P在双曲线上，如下图绿色区域：此时，过定点P与双曲线只有一个交点的直线有三条，其中两条直线分别与对应的两条渐近线平行(蓝色)，另外一条直线与双曲线相切(粉色)，具体如下：⑤定点P在渐近线上，如下图绿色区域(不包含原点)：此时，过定点P与双曲线只有一个交点的直线有两条，其中一条直线与对应的渐近线平行(蓝色)，另外一条直线与双曲线相切(粉色)，具体如下：⑥定点P在原点上，如下图：可知此时过原点，与双曲线只有一个交点的直线是不存在，即0条。

“点差法”为何需要“检验”——以2023年高考数学全国乙卷一道高考题分析和拓展为例

x0
x0 -y0 <1,

,
于是得到下面问题:
设 A(
x1 ,
B(
x2 ,
y1 )
y2 )
2

问题一般化
2

样可以快速得到答案。
作为双曲线弦的中点需要满足什么条件呢?
2

比较 kAB 与两条渐近线的斜率关系即可,这
2 2
。
有共同的渐近线)
件的弦 AB 。
综上所述,同学们在日常的学习过程中
常常认为:
双曲线和抛物线不是 “封闭”图形,
因此采用“
点差法”
时要验证直线是否与曲线
因此求出斜率后需要验证直
M 横坐标无关,
有交点;
而椭圆是“
封闭”
的图形,
因此不需要
线与抛物线是否有交点。实际上,当且仅当
2
y1 +y2
。
y0 =
2
2
线方程后,
是否也需要验证直线与抛物线有
交点呢?
抛物线y2 =4
x 上是否存在两点
例2
使得点 M (
作为线段 AB 中点?
A、
B,
1,
3)
,
,
解析:
令 A(
线段 AB
x1 ,
B(
x2 ,
y1 )
y2 )
x1 +x2
,则 x0 =
,
中点 M 的坐标为 (
x0 ,
y0 )
,
,
解析:

《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计1

《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计昌黎汇文二中李小庆一、教学目的：1.通过多媒体演示让学生掌握求直线与双曲线的交点个数的方法；2.使学生认识到数形结合在解决问题中起到的重要作用。

二、教学重点和难点：1. 直线与双曲线的交点个数的讨论；2. 数形结合思想方法在解题中的应用三、教学过程：双曲线的标准方程顶点渐近线焦点在x 轴上22221(0,0)x y a b a b -=>> 12(,0),(,0)A a A a - b y x a=±焦点在y 轴上22221(0,0)y x a b a b-=>> 12(,0),(,0)B a B a - a y x b=±思考问题：求双曲线122=-y x 与下列直线的交点的个数： ①y=x+1 ②y= -x+1 ③12+=x y ④12+-=x y ⑤y=1.2x+1⑥y= -1.2x+1 ⑦y=1 ⑧y=2x+1 ⑨y= -2x+1老师提示：在求双曲线与直线的交点个数时，请说出它们的位置关系。

① 与②的答案：1 直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）。

③与④的答案：1 直线与双曲线相切。

⑤与⑥的答案：2 直线与双曲线相交，交点在一支上。

⑦的答案：2 直线与双曲线相交，交点在两支上。

⑧与⑨的答案：0 直线与双曲线相离。

（以上内容都有多媒体演示）总结：当直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）或直线与双曲线相切时直线与双曲线有一个公共点。

例1：论直线y=kx+1与双曲线C:122=-y x 公共点的个数。

分析：直线y=kx+1过定点（0，1），解决这个问题的关键在于找什么？就是找与双曲线有一个交点的直线。

通过多媒体演示得到答案解：⑴k=±1或k=±2时L 与C 有一个公共点；⑵有两个交点：在左支上时1＜k ＜2在右支上时 –2＜k ＜-1 在两支上时 -1＜k ＜1所以k ∈(–2,-1)∪(-1,1)∪(1,2)时L 与C 有两个公共点。

直线和双曲线交点个数情况总结

直线和双曲线交点个数情况总结直线和双曲线交点个数情况总结一、引言在数学中，直线和双曲线是常见的图形。

它们的交点个数是一个重要的问题，涉及到许多应用领域，如工程、物理等。

本文将对直线和双曲线交点个数的情况进行总结。

二、直线与双曲线的基本概念1. 直线：直线是由无数个点组成的，它没有宽度和长度，可以延伸到无穷远处。

2. 双曲线：双曲线是一种平面曲线，其定义为所有满足一定条件（如离心率小于1）的点构成的集合。

3. 直角坐标系：在平面上建立一个坐标系，将平面上任意一个点表示为有序数对(x,y)，其中x表示该点到y轴正方向距离（称为横坐标），y表示该点到x轴正方向距离（称为纵坐标）。

三、直线与双曲线交点个数情况总结1. 直线与双曲线有两个交点当直线与双曲线相切时，它们有且仅有一个交点；当直线穿过双曲线时，它们有两个交点。

例如，直线y=2x-1与双曲线y=1/x相交于两个点(0.5,1)和(-0.5,-1)。

2. 直线与双曲线有一个交点当直线与双曲线平行时，它们没有交点；当直线与双曲线相离时，它们也没有交点。

例如，直线y=2x+3与双曲线y=1/x没有交点。

3. 直线与双曲线无穷多个交点当直线为双曲线的渐近线时，它们有无穷多个交点。

例如，直线y=x 和双曲线y=1/x相交于(1,1)、(2,0.5)、(3,0.33)等无穷多个点。

四、应用举例直线和双曲线的交点个数在实际应用中具有广泛的应用。

以下是几个例子：1. 工程：在桥梁设计中，需要确定桥墩的位置和高度。

如果桥梁为一条弧形，则可以使用弧形方程求得其与桥墩所在的直线的交点。

2. 物理：在光学中，研究光的传播路径时需要考虑折射率等因素。

如果光经过一条介质边界，则可以使用折射定律和直线方程求得光线与边界的交点。

3. 经济：在经济学中，求解供求关系时需要考虑价格和数量之间的关系。

如果供求曲线为一条双曲线，则可以使用价格和数量的直线方程求得它们的交点。

五、结论本文总结了直线和双曲线交点个数的情况，并举例说明了其在实际应用中的重要性。

直线与双曲线交点个数

直线与双曲线交点总结

(原创)直线与双曲线的位置关系

直线与双曲线的交点

直线和双曲线关系 直线与双曲线位置关系及交点个数

高中数学直线与双曲线位置关系

直线与双曲线关系

【高二】【数学】【人教B版选修2-1】2.3.2双曲线的几何性质

直线与双曲线交点个数

过定点的直线与双曲线交点情况的探讨！！！

“点差法”为何需要“检验”——以2023年高考数学全国乙卷一道高考题分析和拓展为例

《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计1

直线和双曲线交点个数情况总结

直线和双曲线关系直线与双曲线位置关系及交点个数