等参数单元

积分阶数n是对每一个自变量而言的积分阶数，而积分点总 数在二维情况下为n2，在三维情况下为n3。下图所示为2D 积分点的选择。
1 1
22
3 3
44
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八结点四边形等参数单元
{ } [ B]{ }e [ B1 B2 B3 B4 ]{ }e
应力矩阵：
[ S ] [ D][ B]
• 单元刚度矩阵是一个8×8的矩阵 ，仍为
[k ] [ B ] [ D ][ B ]tdxdy
T A
由于[B]是用局部坐标系ξ、η给出，因此：
dxdy | J | dd
u x v y u v x y
u N i ( , ) ui
i 1 4
4
v N i ( , ) vi
i 1
N i N i x N i N i x
------------ 要求总体坐标系下的单元为凸，即不能有内角 大于或等于或接近180度情况。
数值积分
[问题的提出]
对等参元或非等参单元进行单元列式计算时要进行下列三类积 分 1 1 1 1 1 1
1
f ( x ) dx 、 f ( x, y ) dxdy、 f ( x, y , z ) dxdy dz
N i N i x 1 1 J N N i det J i y
N i N i
y N i x N i
1 1 i (1 i ) 4 1 ~ 4) (i N i ( , )
取四个角点为结点，在单元内的排序为１、２、３、４。仿照矩形单元， 可定义出四个形函数
对于平面问题，设沿总体坐标系的位移为u、v，结点(xi, yi) 的位移为ui，vi 。实际单元e内的位移模式取为 ：
y N i ( , ) yi
i 1
等参数单元 单元几何形状和单元内的未知量采用相同数目的结点 参数以及相同的插值函数进行变换，称为等参变换。采 用等参变换的单元，称为等参单元。
两类坐标系的关系 以上坐标变换式给出了局部坐标和整体坐标之间的一一 对应关系。如果给定了局部坐标 , 的值，则可以求出整体 坐标 x, y 的对应值，反之亦然。 在有限元分析中，两者的作用是不同的。直角坐标系在 x, y 整个结构的所有子单元中共同采用，所以称为整体坐 标。 而局部坐标系 , 则只适用于单个独立的子单元，所以称 为局部坐标。整体坐标在整体分析中采用，局部坐标则在单 元分析中采用。
在点
( 0 , 0 )
集中力移置的公式为，
{R}e [ N ]T0 ,0 ) {P} (
具体计算时：将集中力作用点M的整体坐标值（x0，y0）换算成 局部坐标， 再代入形函数矩阵中。
等参数单元说明
• 等参单元的几点说明： • 1）等参单元为协调元，满足有限元解收敛的充 要条件。证明略。 • 2）等参单元存在的充要条件是： J 0 ？？
等参数单元在构造形函数时首先定义一个 规则的母体单元(参考单元/标准单元)，在母 体单元上构造形函数，再通过等参数变换将 实际单元与母体单元联系起来。 • 变换涉及两个方面：几何图形的变换(坐 标变换)和位移场函数的变换(母单元的位移 模式)。 •
取四个角点为结点，在单元内的排序为１、２、３、４。仿照矩形 单元，可定义出四个形函数
1 1 -1 -1 -1
对于上述积分仅在单元的形状十分规则的情况下才能得到 解析的结果（精确值），一般情况只能用数值积分方法求近似 值。虽然数值积分是“被迫“采用的，但后来发现：有选择地控 制积分点的个数和位置，可以方便地实现我们的某些特殊意图 。这样一来，数值积分就成为有限元分析的一个重要组成部分 ，以至本来可以精确积分的三角形单元也常常采用数值积分。
数值积分
I
W
i 1
n
i
f ( xi )
权系数
xi点的函数值
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高斯（Gauss）积分
• 基本思路是：在单元上选择某些特征点（积分 点），求出被积函数在这些积分点上的数值，然 后用一些权函数(积分系数)乘这些函数值，最后求 和就可得到近似积分值。 • “加权求和”
ξ= 1
(1,-1)
η= -1
平面4节点任意四边形等参单元
– 位移模式 （在局部坐标系下建立）
η
(-1, 1)
η= 1
(1,1)
ξ ξ= -1
(-1,-1) O
ξ= 1• 采用类似四结点矩形单元的特性分析，可以建立 单元应变矩阵、应力矩阵、刚度矩阵、结点力等效 的计算公式。 • 单元应变？ { } [ B]{ }e
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数值积分
[数值积分方法]
数值积分方法很多，如：Newton-Cotes积分， Romberg积 分，Gauss积分，Irons积分，Hammer积分等等。有限元中通 常采用Gauss积分。其突出优点在于程序实现较简单，算法稳定 性好，算法精度和效率高，适合大型工程有限元分析程序编制 。Gauss积分在有限元分析、数值分析/计算书籍中均有介绍， 这里只是简单的回顾一下。
η
y 4 2 1 O x 3 坐标变换 (-1, 1)
η= 1
(1,1)
ξ ξ= -1
(-1,-1) O
ξ= 1
(1,-1)
η= -1
平面4节点任意四边形等参单元
– 坐标变换式 （局部坐标系和整体坐标系之间 的关系）
η
(-1, 1)
η= 1
(1,1)
ξ ξ= -1
(-1,-1) O
6-1 等参数单元
• 三角形单元适应性强，能适应各种曲折的几何 边界，但是它的位移函数阶次较低，为常应变单 元, 不能反映实际应力的变化情况, 精度较低。 • 矩形单元的精度高，但适应性差，遇到曲线边 界或非直角的直线边界难以模拟。 •可以混合使用两种单元。但增加数据准备的工作量。 •采用等参数单元，使得在同等精度下，能用较少的 单元去求解实际结构
将作用在单元上的外载荷同样表示为局部坐标的函数，就可以在局部 坐标下完成单元的载荷移置。 体力移置的公式为：
{R}
e
1
1

1
1
[ N ]T { p}t J dd
的边上受到面力作用，
面力移置的公式也类似，例如在 1
T {R} [ N ] 1{P }t J 1 d e 1 1
i 1
n
高斯点ξi ± 0.5773503 ± 0.7745967 0.0000000 ± 0.8611363 ± 0.3399810 ± 0.9061798 ± 0.5384693 0
积分系数Hi 1.0000000 0.5555556 0.8888889 0.3478548 0.6521452 0.2369269 0.4786287 0.5688889
u N i ( , ) ui
i 1 4 4
v N i ( , ) vi
i 1
1 1 i (1 i ) 4 1 ~ 4) (i N i ( , )
从矩形单元位移插值函数的讨论知道，局部坐标系下的正方形单元必然满足解的收敛 性条件。 现在的问题是，采用什么样的坐标转换？能够使得整体坐标与局部坐标是点点对应。
x N i y x N i y
y y
Ni是ξ，η的函数， ξ，η是x，y的函数，根据复合求导规则
等参数单元刚度矩阵
N i x N i x y N i N i x x J N y N i i y y
一方面，单元能很好地适应曲线边界 和曲面边界，准确地模拟结构形状； • 另一方面，这种单元要具有较高次的位 移模式，能更好地反映结构的复杂应力分 布情况，即使单元网格划分比较稀疏，也 可得到较好的计算精度。等参数单元（等 参元）就具备了以上两条优点，因此，得 到广泛应用。 • 等参单元同时具有计算精度高和适用性 好的特点，是有限元程序中主要采用的单 元形式。 •
数值积分
[数值积分方法]
二维情况(三维情况与此类似)积分点的选择有更大的灵活性 。一种经常采用的(并非唯一可能的)选择方式是：沿x、y方 向取同样个数的积分点，积分的近似表达式为
I
1 1
f ( x , y ) dxdy W W
i i 1 j 1
1 1
n
n
j
f ( xi , y j )
如果任意形状的四边形四结点单元采用矩形单元的位移模 式，则在公共边界上不满足位移连续性条件 。
等参数单元的基本思想：是先在局部坐标系中 对简单几何形状的单元称之为母单元，按照高阶插 值多项式来构造形状函数，形成局部坐标系的单元 位移函数然后通过坐标变换，将简单几何形状的母 单元在总体坐标系中映射成实际网格划分的曲边或 曲面单元。参见下图。 • 实际单元的特性分析（位移、应变、应力等）就 可借助基本单元（母单元）来进行，再将分析结果 变换（映射）到实际单元去。由于基本单元形状规 则，因此位移模式容易选取，计算也大为简单。 • •
u N i ( , ) ui
i 1 4
4
v N i ( , ) vi
x N i ( , ) xi
i 1 4 4