(完整版)2019届安徽省皖南八校高三第三次联考数学(文)试题(解析版)

求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力
.
2．已知复数 A．0 【答案】 D
，则
（）
B． 1
C．
D．2
【解析】 根据复数的运算法则， 求得 【详解】
，再根据复数模的计算公式， 即可求解。
由题意复数 【点睛】
，则
，所以
，故选 D 。
本题主要考查了复数的运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则，合 理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
16 ．在 ，则
中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 的面积是 __________．
，且 ，
【答案】
【解析】 由正弦定理化简得
，进而得到
到关于 的方程，求得 的值，进而利用面积公式，即可求解。
【详解】
由题意，可知
，
由正弦定理得
，即
又由在
中，
,则
，再由余弦定理得
， ，
即
，又由
，则
，所以
，
由余弦定理得
5．已知
，则
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】 B
【解析】 根据两角和的正切公式，求得 到答案 . 【详解】
，再由正切的倍角公式，即可求解，得
由题意，根据两角和的正切公式，得
，解得
，
又由正切的倍角公式，得
，故选 B.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简求值问题， 其中解答中熟练应用两角和的正切和正切的
倍角公式，合理化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题
答案 .
【详解】
设正方形的边长为 4，则正方形的面积为
，
此时阴影部分所对应的直角梯形的上底边长为
，下底边长为
，高为 ，
所以阴影部分的面积为
，
根据几何概型，可得概率为 【点睛】
，故选 A.
本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件
A
的基本事件对应的 “几何度量
”，再求出总的基本事件对应的 “几何度量 ”，然后根
.
∵
，∴
又 各项为整数，∴
.
，解得
或
.
所以数列的通项公式
.
（ 2）由题意，
，故 为等比数列，首项为 2，公比为 4，
则其前 项和
.
【点睛】
在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路
,一是利用基本量 ,根据通项公式
和求和公式，列出方程组 ,虽有一定量的运算 ,但思路简洁 ,目标明确；二是利用等差、等
2019 届安徽省皖南八校高三第三次联考数学（文）试题
一、单选题 1．已知集合
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】 C
【解析】 求得集合
，根据集合的交集运算，即可求解 .
【详解】
由题意，集合
，又由
，
所以
，故选 C.
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算， 其中解答中正确求解集合 A ，再利用集合的交集运算
于基础题 .
10．已知 ， 是椭圆 ： 相切，则椭圆 的离心率为（
的两个焦点，以 ）
为直径的圆与直线
A．
B．
C．
D．
【答案】 D
【解析】 由圆
与直线
心率的定义，即 【详解】
，整理
由题意，以
为直径的圆的方程为
相切，利用圆心到直线的距离等于半径和离 ，即可求解 .
，其中圆心
，半径为
，
又由圆 则圆心 又由
比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用
.但在应用性质时要
注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形
. 在解决等差、等比数列的运算问题时，
经常采用 “巧用性质、整体考虑、减少运算量 ”的方法 .
18．如图， 在四棱锥
中，
平面
，点 为 中点， 底面
为梯形，
，
，
.
（ 1）证明：
第 4 页 共 18 页
据
求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
. ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 D
【解析】 根据三视图得到该几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，
其中圆柱的底面圆的半径
为
，母线长为
，圆锥的底面圆的半径为
，高为
，再由体积公式求解，
即可得到答案 .
在三视图中为虚线， 求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视
图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解
.
9．在正方体 所成角的余弦值为（
中，若点 为正方形 ）
的中心， 则异面直线
与
A．
B．
C．
D．
【答案】 C
【解析】 建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式，即可求解
，当
经过点 A 时，直线在 y 轴上
又由
，解得
所以目标函数的的最大值为
，即
，
，故选 D.
第 2 页 共 18 页
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．
其中解答中正确画出不等式组表
示的可行域，利用 “一画、二移、三求 ”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考
查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
__________ ． ，即可求解 .
，
所以
.
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，
合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题
.
14 ．已知
是函数
斜率为 __________．
的一个极值点， 则曲线
在点
处的切线
第 8 页 共 18 页
【详解】
由三视图知，此几何体是圆柱中挖去了一个圆锥，其中圆柱的底面圆的半径为
，
母线长为
，圆锥的底面圆的半径为
，高为
，
所以几何体的体积为：
，故选 D.
【点睛】
本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状
时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线
，可得当 ，
时，
，当
时，函数 在
要使得 即不等式
，则 的解集为
，解得
，
，故选 B.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性的应用，其中根据函数的解析式，得出函数单调性，合理
利用函数的单调性， 得出不等式组是解答的关键， 着重考查了分析问题和解答问题的能
力，属于中档试题 .
12 ．已知函数 总有两个不同的实数根，则
，即
，
整理得
，解得
，
所以
的面积为
.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦
定理在解三角形中的综合应用， 其中解答中熟记三角恒等变换的公式， 以及合理应用正
弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基
础题．
三、解答题 17 ．各项均为整数的等差数列 比数列 . （ 1）求 的通项公式；
C ．抽出的 100 人中，年龄在 40～ 50 岁的人数大约为 40
D ．抽出的 100 人中，年龄在 35～ 50 岁的人数大约为 50
【答案】 A
【解析】 根据频率分布直方图的性质，求得
，再逐项求解选项，即可得到答案。
【详解】
根据频率分布直方图的性质得
，解得
所以抽出的 100 人中，年龄在 40～ 45 岁的人数大约为 确；
基础题。
4．若 ， 满足约束条件
，则
的最大值为（ ）
A．2 【答案】 D
B． 3
C．4
D．5
【解析】 作出约束条件所表示的平面区域，结合图象得到目标函数的最优解，即可求解
目标函数的最大值，得到答案 .
【详解】
由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，
目标函数
，可化为直线
的截距最大，此时目标函数取得最大值，
与直线 到直线
，整理得
相切，
的距离为
，
，即
，
第 6 页 共 18 页
即
，解的
，
又由
，所以
，故选 D.
【点睛】
本题考查了椭圆的几何性质 —— 离心率的求解， 其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率
的方程是解答的关键．求双曲线的离心率 (或离心率的取值范围 )，常见有两种方法：①
求出 ，代入公式
；②只需要根据一个条件得到关于
着重考查了
运算与求解能力，属于基础题 .
15．已知 是双曲线 差数列，且 【答案】
上一点， 、 是左、右焦点， ，则双曲线的渐近线方程为 __________．
的三边长成等
【解析】 设 义，列出发方程组，求得 【详解】 由题意，设
，不妨设点 P 位于第一象限，则由已知条件和双曲线的定
，进而求得
，即可求得渐近线的方程 .
.
第 5 页 共 18 页
【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设
，则
，
则向量
，
则向量 与 的夹角为
,
即异面直线
与 所成角的余弦值为 ，故选 C.
【点睛】
本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，
其中解答中建立适当的空间直角
坐标系，合理利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属
.
6．函数
的大数图象为（
）
A．
B．
C． 【答案】 A
D． 第 3 页 共 18 页
【解析】 由函数 是奇函数，图象关于原点对称，排除 函数 的值小于 0，排除 B，即可得到答案 . 【详解】
C、 D 项；再由当
时，
由题知， 函数 满足 点对称，排除 C、 D 项；
，所以函数 是奇函数， 图象关于原
.清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：
近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余
.体物肖形，随手变幻，盖游戏
之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之 .如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正
方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】 A
【解析】 求出阴影部分的面积，根据面积比的几何概型，即可求解其相应的概率，得到
，其前 项和为 ，已知
，且 ， ，
成等
（ 2）已知数列
满足
，求数列 的前 项和 .
【答案】（ 1）
；（ 2）
.
【解析】（ 1）设 的通项公式；
的公差为 ，利用等差数列的通项公式，求得
，即可得出数列
（ 2）由（ 1）得 【详解】
，再利用等比数列的求和公式，即可求解。 第 10 页 共 18 页
（ 1）设 的公差为 ，由题意知
.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，
其中解答中熟练应用三角函数的性
质，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题
的能力，属于中档试题 。
二、填空题 13 ．若平面向量 【答案】 5
，
，且
，则
【解析】 由 【详解】
，则
，可得所以
由题意，平面向量
，Biblioteka Baidu
，且
，则
又由当 【点睛】
时，函数 的值小于 0，排除 B ，故选 A.
本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值范
围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础
题.
7．七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角
形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成
，不妨设点 P 位于第一象限，
则由已知条件和双曲线的定义，可得
且
整理得
，
且
，
解得 ，又由
，即
，
所以双曲线的渐近线的方程为
.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的几何性质的应用， 其中解答中熟练应用双曲线的定义和几何性
质，列出方程组求得 的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题
.
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人，所以 A 正
年龄在 35～ 45 岁的人数大约为
人，所以 B 不正确；
年龄在 40～ 50 岁的人数大约为
人，所以 C 不正确；
年龄在 35～ 50 岁的人数大约为
，所以 D 不正确；
故选 A 。
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的应用， 其中解答中熟记频率分布直方图的性质， 以及
利用矩形的面积表示频率，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于
，若对任意的 的取值范围为（
，关于 的方程 ）
A． 【答案】 B
【解析】 令 即可求解。 【详解】
B．
，且
，解得
C． ，根据
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D．
且
，结合图象，
由题意，函数
，令
，且
，
即 又因为 所以要使得 即函数
，解得
，
，且
，
总有两个不同实数根时，
与
的图象由两个不同的交点，
结合图象，可得
，
所以实数 m 的取值范围是
【答案】
【解析】 由 是函数
的一个极值点，求得
，进而求得
，
根据导数的几何意义，即可得到答案 .
【详解】
由题意，函数
，则
，
又由
是函数
的一个极值点，
所以
，解得
，即
，
所以
，所以函数 在点
处切线的斜率为 .
【点睛】
本题主要考查了利用函数的极值点求参数， 以及导数的几何意义的应用， 其中解答中熟
记函数的极值点的定义， 合理利用导数导数的几何意义求解是解答的关键，
的齐次式，转化为 的
齐次式，然后转化为关于 的方程 (不等式 )，解方程 (不等式 )，即可得 ( 的取值范围 )．
11．已知函数 （）
，则满足
A．
B．
C．
【答案】 B
【解析】 根据函数的解析式，得出函数的单调性，把不等式
相应的不等式组，即可求解 .
【详解】
的实数 的取值范围是 D． ，转化为
由题意，函数 单调递增，且
3．从某地区年龄在 25～ 55 岁的人员中， 随机抽出 100 人，了解他们对今年两会的热点
问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（
）
A ．抽出的 100 人中，年龄在 40～ 45 岁的人数大约为 20 第 1 页 共 18 页
B ．抽出的 100 人中，年龄在 35～ 45 岁的人数大约为 30