2021新高考数学二轮总复习第2讲函数与方程思想数形结合思想学案含解析.docx

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2021年高考数学二轮复习攻略一函数与方程思想,数形结合思想

2021年高考数学二轮复习攻略一函数与方程思想，数形结合思想一、函数与方程思想函数与方程思想是中学数学的基本思想，是历年高考的重点和热点，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，它涉及三大题型．高、中、低档试题都有出现．近几年来代数压轴题多为考查应用函数思想解题的能力．函数与方程思想的应用主要体现在以下几方面：(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题．需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．1．运用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题此类问题是多元问题中的常见题型，通常有两种处理思路：一是分离变量构造函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将问题转化为二次方程，进而构造函数加以解决．【例1】(xx·福建高考)已知函数f(x)＝e x－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x＞0时，x2＜e x；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜c e x.【解】(1)由f(x)＝e x－ax，得f′(x)＝e x－a.又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.所以f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.当x＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以当x＝ln 2时，f(x)有极小值，且极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值．(2)令g(x)＝e x －x 2，则g′(x)＝e x－2x.由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4＞0，即g′(x)＞0.所以g(x)在R 上单调递增，又g (0)＝1＞0，所以当x ＞0时，g (x )＞g (0)＞0，即x 2＜e x.(3)对任意给定的正数c ，取x 0＝1c，由(2)知，当x ＞0时，x 2＜e x.所以当x ＞x 0时，e x ＞x 2＞1cx ，即x ＜c e x.因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x.2．运用函数与方程思想解决数列问题数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n 的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤是：第一步：分析数列式子的结构特征．第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式．第三步：研究函数性质，结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究．第四步：回归问题．结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题．【例2】已知S n ＝1＋12＋13＋…＋14(n ∈N *)，设f (n )＝S 2n ＋1－S n ＋1，试确定实数m 的取值范围，使得对于一切大于1的正整数n ，不等式f (n )>[log m (m －1)]2－1120·[log (m －1)m ]2恒成立．【解】由f (n )＝S 2n ＋1－S n ＋1，得f (n )＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋1，∴f (n ＋1)＝1n ＋3＋1n ＋4＋…＋12n ＋3.∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2－12n ＋4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋3－12n ＋4>0. ∴f (n )>f (n －1)>…>f (3)>f (2)(n ∈N *，n ≥2)．∴f (n )min ＝f (2)＝12＋2＋12＋3＝920.要使对于一切大于1的正整数n ，原不等式恒成立，只需不等式920>[log m (m －1)]2－1120[log (m －1)m ]2成立．设y ＝[log m (m －1)]2，则y >0.于是⎩⎪⎨⎪⎧920>y －1120y ，y >0，解得0<y <1.从而⎩⎪⎨⎪⎧0<[log mm －1]2<1，m >0，m ≠1，m －1≠1，m －1>0，解得m >1＋52且m ≠2. ∴实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，2∪(2，＋∞)．3．运用函数与方程思想解决几何问题在立体几何和解析几何中有许多问题需要运用到方程或建立函数表达式的方法加以解决．特别是在解析几何中涉及到范围或最值问题时可用如下思路去完成：第一步：联立方程．第二步：求解判别式Δ.第三步：代换．利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换．第四步：下结论．将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围．第五步：回顾反思．在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节．【例3】 (xx·四川高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .(ⅰ)证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；(ⅱ)当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．(Ⅰ)【解】由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(Ⅱ)(ⅰ)【证明】由(Ⅰ)可得，F 的坐标是(－2,0)，设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－－2＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y22＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0.所以y 1＋y 2＝4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.所以PQ 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 2＋3，2m m 2＋3，所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3.又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ .(ⅱ)【解】由(ⅰ)可得，|TF |＝m 2＋1， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22 ＝m 2＋1[y 1＋y 22－4y 1y 2]＝m 2＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝24m 2＋1m 2＋3所以|TF ||PQ |＝124·m 2＋32m 2＋1＝124·⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥124·4＋4＝33. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值．所以当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1)．二、数形结合思想数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来：研究方程根的情况，讨论函数的值域(最值)及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效．从今年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数定形”在今后的高考中将会有所加强，应引起重视，复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系．1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化 (1)集合的运算及韦恩图； (2)函数及其图象；(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象； (4)方程(多指二元方程)及方程的曲线；(5)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可；(6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图象求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用．2．运用数形结合思想解决讨论方程内解或图象的交点问题用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角函数等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．【例4】 (xx·天津高考)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．【解】原问题等价于方程f (x )＝a |x －1|恰有4个互异的实数根解法一：分别画出函数y ＝f (x )与y ＝a |x －1|的图象(1)由x 2＋3x ＝a (x －1)得， x 2＋(3－a )x ＋a ＝0， Δ＝(3－a )2－4a ，由Δ＝0得a ＝9或a ＝1(舍)，此时a >9，(2)由－x 2－3x ＝a (1－x )，得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，由Δ＝0得a ＝1或a ＝9(舍)，结合图象知0<a <1，由(1)(2)知0<a <1或a >9，∴a ∈(0,1)∪(9，＋∞)．解法二：分离参数法a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x x －1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1＋4x －1＋5，由平移和对称知画出函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1＋4x －1＋5的图象，由图知a ∈(0,1)∪(9，＋∞)．【答案】 (0,1)∪(9，＋∞)3．运用数形结合思想解决有关最后问题“形”可以使某些抽象问题具体化，而‘数”可以使思维精确化，应用数形结合在某些求最值问题中，可以收到意想不到的效果．(1)把代数式进行几何转化，转化为具有直观几何意义构图形，例如①y 2－y 1x 2－x 1看作直线的斜率，转化为平面直角坐标系内两点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)的连线的斜率，特别适用于一个定点和一个动点(动点在一个区域内)的形式：②a －m 2＋b －n 2或(a －m )2＋(b －n )2：看作是两点(a ，b )和(m ，n )间的距离或距离的平方．(2)其他具有几何意义的概念都可以利用相关的几何图形直观进行分析判断，例如：①向量的问题，可以考虑用向量的图形大小与方向及向量运算的几何意义构造图形直观解题；②复数与复平面内的点的一一对应关系，可以把复数的有关运算转化为图形．【例5】 (1)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤4，x ≥0，①求函数z ＝y ＋3x ＋1的值域；②求w ＝x ＋12＋y ＋32的最值．(2)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 (1)①由解析几何知识可知，所给的不等式组表示圆x 2＋y 2＝4的右半圆域(含边界)，z ＝y ＋3x ＋1可改写为y ＋3＝z (x ＋1)，把z 看作参数，则此方程表示过定点P (－1，－3)，斜率为z 的直线系．所求问题的几何意义是：求过半圆域x 2＋y 2≤4(x ≥0)内或边界上任一点与点P (－1，－3)的直线斜率的最大、最小值．由图显见，过点P 和点A (0,2)的直线斜率最大，z max ＝2－－30－－1＝5.过点P 向半圆作切线，切线的斜率最小．设切点为B (a ，b )，则过B 点的切线方程为ax ＋by ＝4.又B 在半圆周上，P 在切线上，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，－a －3b ＝4.又a >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2＋365，b ＝－6－65，因此z min ＝26－33.综上可知函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤26－33，5.②所求问题的几何意义是：求半圆域x 2＋y 2≤4(x ≥0)内或边界上任一点到P (－1，－3)的距离的最大值与最小值，由数形结合可知w max ＝|PO |＋r ＝10＋2，w min ＝|PC |＝12＋－2＋32＝2，即最大值为10＋2，最小值为 2.(2)f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图．令x ＋2＝10－x ，解得x ＝4.当x ＝4时，f (x )取最大值，f (4)＝4＋2＝6.故选C.【答案】 C4．运用数形结合思想解决解析几何中的问题在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．【例6】已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值．【解】根据题意，画出图形如下图，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或向右下方无穷远处运动时，Rt△PAC的面积S Rt△PAC ＝12|PA|·|AC|＝12|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线3x＋4y＋8＝0时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|PA|＝|PC|2－|AC|2＝2 2.∴(S四边形PACB)min＝2×12×|PA|×|AC|＝2 2.-33468 82BC 芼27664 6C10 氐 X38295 9597 閗u24177 5E71 幱38742 9756 靖O24092 5E1C 帜836956 905C 遜g29981 751D 甝。

2021年高考数学二轮复习函数与方程思想,数形结合思想

2021年高考数学二轮复习函数与方程思想，数形结合思想一、选择题1．(文)(xx·广东广州高三综合测试)已知非空集合M 和N ，规定M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，那么M －(M －N )等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．MD ．N【解析】如图(1)为M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，则图(2)为M －(M －N )，特别的，当N ⊆M 时，图(3)为M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，则图(4)为M －(M －N )，∴M －(M －N )＝M ∩N .【答案】 B(理)(2)(xx·广东广州高三综合测试)任取实数a 、b ∈[－1,1]，则a 、b 满足|a －2b |≤2的概率为( )A.18B.14C.34D.78【解析】建立如图所示的坐标系，∵|a －2b |≤2，∴－2≤a －2b ≤2，即为图中阴影部分，∴|a －2b |≤2的概率为S 阴影S 正方形＝78.【答案】 D 2．(xx·浙江十二校联考)若椭圆C ：x 29＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】因为|PF 1|＝4，所以|PF 2|＝2，又|F 1F 2|＝27，根据余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°.选C.【答案】 C3．(xx·福建厦门质检)已知x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－4≥0，x＋2y－7≤0，ax－y－2≤0且x2＋y2的最小值为8，则正实数a的取值范围是( )A．(0,2] B．[2,5]C．[3，＋∞) D．(0,5]【解析】画出⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－4≥0x＋2y－7≤0，表示的平面区域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－4＝0，x＋2y－7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝3.∴A点的坐标为(1,3)，z＝x2＋y2表示可行域上的点到原点距离的平方，∴原点到直线x＋y＝4的距离d＝42＝22，∴d2＝8，过点O作OB垂直于直线x＋y＝4，垂足为B，由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－4＝0，y＝x，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝2，y＝2.∴B点的坐标为(2,2)，且|OB|2＝8，∴可行域内必含有点(2,2)，当直线y＝ax－2过点(2,2)时，2＝2a－2，解得a＝2，观察图象知，0<a≤2.故选A.【答案】 A4．若方程sin2x＋2sin x＋a＝0有解，则实数a的取值范围是( )A．[－3,1] B．(－∞，1]C．[1，＋∞) D．[－1,1]【解析】由sin2x＋2sin x＋a＝0得sin2x＋2sin x＝－a.令f(x)＝sin2x＋2sin x，∴f(x)＝(sin x＋1)2－1.∴－1≤f(x)≤3，∴－1≤－a≤3，即－3≤a≤1.故选A.【答案】 A5．(xx·四川成都诊断)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x－1|－1，0<x≤2，12f x－2，x>2，则关于x的方程6[f(x)]2－f(x)－1＝0的实数根的个数为( )A．3 B．7 C．8 D．9【解析】由题意，当x>0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x·2－1，0<x<1，2x·12－1，1≤x≤2，12f x－2，x>2，此时f(x)∈[0,1]．又f(x)为R上的奇函数，∴f(x)的值域为[－1,1]．令f(x)＝t，t∈[－1,1]，∵6[f(x)]2－f(x)－1＝0，∴6t2－t－1＝0，则t＝12或t＝－13.当t＝12时，结合图象知在x∈(0,2]上有2个根，在x∈(2,4]上有1个根；当t＝13时，结合图象知在[0,4]上有4个根，又f (x )是奇函数，所以当t ＝－13时，在[0,4]上有4个根．综上，方程的实数根个数为7.【答案】 B 二、填空题6．(xx·东北三校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21－x ＋1，－1≤x <0，x 3－3x ＋2，0≤x ≤a ，的值域是[0,2]，则实数a 的取值范围是________．【解析】先作出函数f (x )＝log 2(1－x )＋1，－1≤x <0的图象，再研究f (x )＝x 2－3x＋2,0≤x ≤a 的图象．令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)，由f ′(x )>0得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1.∴当x ＝1时，f (x )在0≤x ≤a 有最小值f (1)＝0，又f (3)＝2.∴1≤a ≤ 3.【答案】 [1，3]7．(xx·福建福州质检)若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，f (2－x )＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，其图象是四分之一圆(如图所示)，则函数H (x )＝|x e x|－f (x )在区间[－3,1]上的零点个数为________．【解析】 ∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数，又∴f (2－x )＝f (x )，∴f (2－x )＝f (－x )，∴2是函数f (x )的周期．令g (x )＝|x e x |，当x ≥0时，g (x )＝x e x 单调递增；当x <0时，g (x )＝－x e x ，∴g ′(x )＝－(e x ＋x e x )＝－(1＋x )e x ，令g ′(x )＝0得x ＝－1，g (－1)＝e －1＝1e，函数f (x )与g (x )的图象如图所示，观察图象可知，f (x )与g (x )的图象有4个交点，即函数H (x )＝|x e x|－f (x )在区间[－3,1]上的零点个数为4.【答案】 4 8．(xx·山东高考)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )．对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．【解析】由题意：f (x )＝h x ＋g x2，∴h (x )＝2f (x )－g (x )， ∵h (x )>g (x )恒成立， ∴2f (x )－g (x )>g (x )． ∴2f (x )>2g (x )，即f (x )>g (x )恒成立作出y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象，则圆心O 到直线y ＝3x ＋b 的距离大于2. ∴|b |10>2，∴|b |>210，又b >0，∴b >210.【答案】 (210，＋∞) 三、解答题9．(xx·江西南昌一模)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－ax (a 为常数)． (1)若x ＝1是函数f (x )的一个极值点，求a 的值； (2)当0<a ≤2时，试判断f (x )的单调性； (3)若对任意的a ∈(1,2)，x 0∈[1,2]，不等式f (x 0)>m ln a 恒成立，求实数m 的取值范围．【解】 f ′(x )＝1x＋2x －a .(1)由已知得：f ′(1)＝0，所以1＋2－a ＝0，所以a ＝3. (2)当0<a ≤2时，f ′(x )＝1x ＋2x －a ＝2x 2－ax ＋1x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 42＋1－a 28x.因为0<a ≤2，所以1－a 28>0，而x >0，即f ′(x )＝2x 2－ax ＋1x>0，故f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)当a ∈(1,2)时，由(2)知，f (x )在[1,2]上的最小值为f (1)＝1－a ，故问题等价于：对任意的a ∈(1,2)，不等式1－a >m ln a 恒成立，即m <1－aln a恒成立．记g (a )＝1－a ln a (1<a <2)，则g ′(a )＝－a ln a －1＋aa ln 2a，令M (a )＝－a ln a －1＋a ，则M ′(a )＝－ln a <0，所以M (a )在(1,2)上单调递减，所以M (a )<M (1)＝0，故g ′(a )<0，所以g (a )＝1－aln a 在a ∈(1,2)上单调递减，所以m ≤g (2)＝1－2ln 2＝－log 2e ，即实数m 的取值范围为(－∞，－log 2e]．10．(xx·湖北八市联考)定义在R 上的函数g (x )及二次函数h (x )满足：g (x )＋2g (－x )＝e x＋2ex －9，h (－2)＝h (0)＝1且h (－3)＝－2.(1)求g (x )和h (x )的解析式；(2)对于x 1，x 2∈[－1,1]，均有h (x 1)＋ax 1＋5≥g (x 2)－x 2g (x 2)成立，求a 的取值范围；(3)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧gx ，x >0，h x ，x ≤0，讨论方程f [f (x )]＝2的解的个数情况．【解】 (1)∵g (x )＋2g (－x )＝e x＋2ex －9，①∴g (－x )＋2g (x )＝e －x ＋2e －x －9，即g (－x )＋2g (x )＝2e x＋1e x －9，②由①②联立解得：g (x )＝e x－3.∵h (x )是二次函数，且h (－2)＝h (0)＝1，可设h (x )＝ax (x ＋2)＋1，由h (－3)＝－2，解得a ＝－1，∴h (x )＝－x (x ＋2)＋1＝－x 2－2x ＋1，∴g (x )＝e x －3，h (x )＝－x 2－2x ＋1，(2)设φ(x )＝h (x )＋ax ＋5＝－x 2＋(a －2)x ＋6，F (x )＝g (x )－xg (x )＝e x －3－x (e x －3)＝(1－x )e x ＋3x －3，依题意知：当－1≤x ≤1时，φ(x )min ≥F (x )max .∵F ′(x )＝－e x ＋(1－x )e x ＋3＝－x e x＋3，在[－1,1]上单调递减， ∴F ′(x )min ＝F ′(1)＝3－e>0，∴F (x )在[－1,1]上单调递增，∴F (x )max ＝F (1)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧φ－1＝7－a ≥0，φ1＝a ＋3≥0，解得：－3≤a ≤7，∴实数a 的取值范围为[－3,7]．(3)f (x )的图象如图所示：令T ＝f (x )，则f (T )＝2.∴T ＝－1或T ＝ln 5，∴f (x )＝－1有2个解，f (x )＝ln 5有3个解．∴f [f (x )]＝2有5个解．40159 9CDF 鳟1w932291 7E23 縣25231 628F 抏20151 4EB7 亷34523 86DB 蛛29974 7516 甖29527 7357 獗C25593 63F9 揹22106565A 噚28272 6E70 湰4。

高中数学高考二轮复习数形结合思想教案

第二讲数形结合思想对应学生用书P1291数形结合的含义(1)数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．(2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2数形结合的途径(1)通过坐标系“形题数解”借助于直角坐标系、复平面，可以将几何问题代数化．这一方法在解析几何中体现得相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考查的)．值得强调的是，“形题数解”时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理)．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式(x －2)2＋(y －1)2＝4，表示坐标平面内以(2,1)为圆心，2为半径的圆．(2)通过转化构造“数题形解”许多代数结构都有着相对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化．例如，将a (a >0)与距离互化；将a 2与面积互化，将a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos θ(θ＝60°或θ＝120°)与余弦定理沟通；将a ≥b ≥c >0且b ＋c >a 中的a 、b 、c 与三角形的三边沟通；将有序实数对(或复数)和点沟通；将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等．这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的)．另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常相互渗透，演绎出解题捷径．例1 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎭⎪⎫2ωx ＋π3的相邻两条对称轴之间的距离为π4，将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g (x )的图象，若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2有且只有一个实数根，则k 的取值范围是( )A.k ≤12B ．－1≤k <－12 C.－12<k ≤12 D ．－12<k ≤12或k ＝－1解析因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π4，结合三角函数的图象可知T 2＝π4.又T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. 将f (x )的图象向右平移π8个单位得到f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 所以方程为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋k ＝0. 令2x －π6＝t ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π6≤t ≤5π6. 若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2有且只有一个实数根，即g (t )＝sin t 与y ＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6有且只有一个交点. 如图所示，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1，即－12<k ≤12或k ＝－1.利用数形结合求方程解应注意两点(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解．(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．模拟演练1 已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]上方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 答案 D解析方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的实根等价于方程f (x )＝m (x ＋1)有两个不同的实根，等价于直线y ＝m (x ＋1)与函数f (x )的图象有两个不同的交点．因为当x ∈(－1,0)时，x ＋1∈(0,1)，所以f (x )＋1＝1f (x ＋1)＝1x ＋1，所以f (x )＝1x ＋1－1，所以f (x )＝⎩⎨⎧ x ，x ∈[0，1]1x ＋1－1，x ∈(－1，0).在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝m (x＋1)与函数f (x )，x ∈(－1,1]的图象，由图象可知，当直线y ＝m (x ＋1)与函数f (x )的图象在区间(－1,1]上有两个不同的公共点时，实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.例2 (1)使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．(2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．。

高三数学二轮专题复习第2讲函数与方程、数形结合思想

第2讲函数与方程、数形结合思想数学思想解读 1.函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程(组)，进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系、相互为用的.2.数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.热点一函数与方程思想应用1求解不等式、函数零点的问题【例1】(1)设0<a<1，e为自然对数的底数，则a，a e，e a－1的大小关系为() A.e a－1<a<a e B.a e<a<e a－1C.a e<e a－1<aD.a<e a－1<a e(2)(2018·湖南六校联考)已知函数h (x )＝x ln x 与函数g (x )＝kx －1的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1e ，e －1 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1e C.(1，e －1]D.(1，＋∞)[解析] (1)设f (x )＝e x －x －1，x >0，则f ′(x )＝e x －1>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (0)＝0，f (x )>0， ∴e x －1>x ，即e a －1>a .又y ＝a x (0<a <1)在R 上是减函数，得a >a e ，从而e a －1>a >a e .(2)令h (x )＝g (x )，得x ln x ＋1＝kx ，即1x ＋ln x ＝k .令函数f (x )＝ln x ＋1x ，若方程x ln x －kx ＋1＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不等实根，则函数f (x )＝ln x ＋1x 与y ＝k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不相同的交点，f ′(x )＝1x －1x 2，令1x －1x 2＝0可得x ＝1，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时f ′(x )<0，函数是减函数；当x ∈(1，e)时，f ′(x )>0，函数是增函数，函数的极小值，也是最小值为f (1)＝1，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1＋e ，f (e)＝1＋1e ，又－1＋e>1＋1e ，所以，函数的最大值为e －1.所以关于x 的方程x ln x －kx ＋1＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不等实根，则实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1e . [答案] (1)B (2)B探究提高 1.第(1)题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与不等式的性质求解.2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题.(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决. 【训练1】 (1)设函数f (x )＝x 2－cos x ，则方程f (x )＝π4所有实根的和为( ) A.0B.π4C.π2D.3π2(2)(2018·石家庄质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________. [解析] (1)由f (x )＝x 2－cos x ＝π4，得x 2－π4＝cos x ，令y ＝x 2－π4，y ＝cos x .在同一坐标系内作出两函数图象，易知两图象只有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0.∴方程f (x )＝π4的实根之和为π2.(2)由f (x )是偶函数且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增可知，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减.又因为f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，所以2|a －1|<2，即|a －1|<12，解得12<a <32. [答案] (1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32应用2 函数与方程思想在数列中的应用【例2】已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列.(1)若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ； (2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值. 解 (1)∵a 1＝2，a 23＝a 2(a 4＋1)，又∵{a n }是正项等差数列，故d ≥0，∴(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，得d ＝2或d ＝－1(舍去)， ∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n . (2)∵S n ＝n (n ＋1)，则1S n＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.∴b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2－1n ＋3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12n ＋1 ＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n ＋3.令f (x )＝2x ＋1x (x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x 2>0恒成立， ∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3，即当n ＝1时，(b n )max ＝16. 要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立，则须使k ≥(b n )max ＝16， ∴实数k 的最小值为16.探究提高 1.本题完美体现函数与方程思想的应用，第(2)问利用裂项相消求b n ，构造函数，利用单调性求b n 的最大值.2.数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n 项和公式即为相应的[解析]式，因此解决数列最值(范围)问题的方法如下：(1)由其表达式判断单调性，求出最值；(2)由表达式不易判断单调性时，借助a n ＋1－a n 的正负判断其单调性.【训练2】 (2018·长沙调研)已知数列{a n }为等差数列，其中a 2＋a 3＝8，a 5＝3a 2. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝2a n a n ＋1，设{b n }的前n 项和为S n .求最小的正整数n ，使得S n >2 0182 019. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意有⎩⎨⎧2a 1＋3d ＝8，a 1＋4d ＝3a 1＋3d ，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2，从而{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)因为b n ＝2a n a n ＋1＝12n －1－12n ＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1，令1－12n ＋1>2 0182 019，解得n >1 009.故取n 的最小值是n ＝1 010(n ∈N *).应用3 函数与方程思想在几何问题中的应用【例3】设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点. (1)若ED→＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值.解 (1)依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0).如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2.① 由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2；由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k .所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2（1＋2k ＋1＋4k 2）5（1＋4k 2），h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2（1＋2k －1＋4k 2）5（1＋4k 2）.又|AB |＝22＋12＝5，所以四边形AEBF 的面积为 S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝12·5·4（1＋2k ）5（1＋4k 2）＝2（1＋2k ）1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2＝21＋41k ＋4k ≤22，当且仅当4k 2＝1(k ＞0)，即当k ＝12时，上式取等号. 所以S 的最大值为2 2.即四边形AEBF 面积的最大值为2 2.探究提高几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值(范围)问题的基本方法.【训练3】 (1)(2018·邯郸调研)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0).若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的焦点，且2|AB |＝3|BC |，则双曲线E 的离心率是________.(2)已知正四棱锥的体积为323，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________. [解析] (1)如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，所以2×2b 2a ＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，所以2(c 2－a 2)＝3ac ，两边除以a 2，得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2.(2)如图所示，设正四棱锥的底面边长为a ，高为h .则该正四棱锥的体积V ＝13a 2h ＝323，故a 2h ＝32，即a 2＝32h .则其侧棱长为l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋h 2＝16h＋h 2. 令f (h )＝16h ＋h 2，则f ′(h )＝－16h 2＋2h ＝2h 3－16h 2，令f ′(h )＝0，解得h ＝2.显然当h ∈(0，2)时，f ′(h )<0，f (h )单调递减；当h ∈(2，＋∞)时，f ′(h )>0，f (h )单调递增.所以当h ＝2时，f (h )取得最小值f (2)＝162＋22＝12，故其侧棱长的最小值l ＝12＝2 3. [答案] (1)2 (2)2 3 热点二数形结合思想应用1 在函数与方程中的应用【例4】 (1)记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }的最大值为( ) A.5B.6C.8D.10(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.[解析] (1)在同一坐标系中作出三个函数y ＝x 2＋1，y ＝x ＋3，y ＝13－x 的图象如图：由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x ＋3，13－x }为y ＝x ＋3上A 点下方的射线，抛物线AB 之间的部分，线段BC ，与直线y ＝13－x 点C 下方的部分的组合图.显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y ＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }取得最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝13－x 得点C (5，8).所以f (x )max ＝8.(2)作出f (x )的图象如图所示.当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2. ∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m>3.[答案](1)C(2)(3，＋∞)探究提高 1.第(1)题利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论；第(2)题把函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点问题，利用几何直观求解.2.探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题.(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合.【训练4】若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________. [解析]由f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，可得|2x－2|＝b有两个不等的实根，从而可得函数y＝|2x－2|的图象与函数y＝b的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得0＜b＜2.[答案](0，2)应用2 数形结合求解不等式与平面向量问题【例5】 (1)已知AB→⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC→的最大值等于( )A.13B.15C.19D.21(2)(2018·西安调研)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，mx －y ≤0，x －2y ＋2≥0，若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m ＝( ) A.－1B.－2C.1D.2[解析] (1)以点A 为坐标原点，AB →，AC →的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示.则有A (0，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，由AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|可知P (1，4)，那么PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4，PC →＝(－1，t －4)，故PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝－1t －4t ＋17≤－21t ·4t ＋17＝13.当且仅当1t ＝4t ，即t ＝12时等号成立.(2)将目标函数变形为y ＝2x －z ，当z 取最大值时，直线y ＝2x －z 在y 轴上的截距最小，故当m ≤12时，不满足题意.当m >12时，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，mx －y ≤0，x －2y ＋2≥0表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界).y ＝2x －z 过点B 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z ＝2x －y 取得最大值.易求点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22m －1，2m 2m －1， ∴最大值为z ＝2×22m －1－2m 2m －1＝2，解得m ＝1. [答案] (1)A (2)C探究提高 1.平面向量中数形结合关注点：(1)能建系的优先根据目标条件建立适当的平面直角坐标系；(2)重视坐标运算、数量积及有关几何意义求解.2.求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系解决问题.【训练5】 (1)当x ∈(1，2)时，(x －1)2<log a x 恒成立，则实数a 的取值范围是________.(2)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A.1B.2C. 2D.2 2[解析](1)由题意，易知a>1.在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝log a x的图象.若y＝log a x过点(2，1)，得log a2＝1，所以a＝2.根据题意，函数y＝log a x，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方. 结合图象，a的取值范围是(1，2].(2)因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(a－c)⊥(b－c).如图所示，设OC→＝c，OA→＝a，OB→＝b，CA→＝a－c，CB→＝b－c，即AC→⊥BC→.又因为OA→⊥OB→，所以O，A，C，B四点共圆.当且仅当OC为圆的直径时，|c|最大，且最大值为 2.[答案](1)(1，2](2)C应用3 圆锥曲线中的数形结合思想【例6】已知抛物线的方程为x 2＝8y ，点F 是其焦点，点A (－2，4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________.[解析] 因为(－2)2<8×4，所以点A (－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ .则△APF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PQ |＋|PA |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |. 因为A (－2，4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 探究提高 1.对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解.2.应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.【训练6】 (2018·江南名校联考)设A ，B 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且|AB |＝3，点P 在直线l ：3x ＋4y －12＝0上运动，则|PA→＋PB →|的最小值为( ) A.3 B.4 C.175 D.195[解析] 设AB 的中点为D ，则PA→＋PB →＝2PD →， ∴当且仅当O ，D ，P 三点共线时，|PA→＋PB →|取得最小值，此时OP ⊥AB ，且OP ⊥l .∵圆心到直线l 的距离为129＋16＝125，|OD |＝1－34＝12， ∴|PA →＋PB →|的最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫125－12＝195. [答案] D。

高考数学二轮复习第2讲数形结合思想课件文

小学调研最美劳动者护士作文今天老师给我们讲了一个超级重要的话题！就是有一个小学做了一个调研，发现最美的劳动者是护士阿姨！你们知道吗？护士阿姨就是那些穿白大褂，天天在医院里照顾病人的大好人！他们可厉害了，每天都要照顾好多病人，还要给他们打针、量体温，有时候还要安慰他们，真的是超级不容易！
我问了妈妈，她说护士阿姨就像是超级英雄一样，总是在医院里忙来忙去，但是却总是笑着对每一个病人说：“没事儿没事儿，阿姨这就帮你弄好。

”妈妈说，有些时候病人可能会生气或者难过，但是护士阿姨总是能把他们哄得开心起来，真的是好厉害呀！
我还记得有一次去医院看望奶奶，看到一个护士阿姨正在帮助一个叔叔打针。

那个叔叔好像很害怕，一直皱着眉头，可是护士阿姨一边给他打针一边跟他聊天，好像一会儿就不怕了。

护士阿姨看起来虽然很忙，但是从来没有不耐烦的时候，而且总是笑咪咪的，真的好温暖！
我问了同学们，大家都觉得护士阿姨特别特别伟大，因为他们不仅仅是照顾病人，还要照顾病人的家人，有时候还要安慰他们。

小明说，他去医院的时候就见过一个护士阿姨，特别温柔，每次看到她他都觉得好放心。

小丽说，她妈妈生病的时候，有个护士阿姨一直在旁边陪着她妈妈，帮忙做各种事情，她妈妈就像有个大姐姐在照顾一样。

老师还告诉我们，护士阿姨每天工作时间很长，有时候晚上都要加班。

但是他们从来不会抱怨，总是尽心尽力地帮助每一个病人。

老师说，我们要学习护士阿姨的精神，做一个有爱心、有耐心的人，不管做什么工作都要努力做到最好！
所以，护士阿姨真的是最美的劳动者啦！他们用自己的善良和耐心，为我们每一个人带来了温暖和希望。

我要好好学习，将来也要像护士阿姨一样，帮助更多的人，让世界充满爱心！。

高中数学二轮专题复习——数形结合思想

思想方法专题数形结合思想【思想方法诠释】一、数形结合的思想所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。

三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：1．准确画出函数图象，注意函数的定义域；2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。

四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2．要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3．要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。

新高考数学二轮总复习学案设计函数与方程思想、数形结合思想

第2讲函数与方程思想、数形结合思想数与导数、三角函数、数列及解析几何等知识运用的交汇处,思想方法和相关能力的结合处进行考查.思想方法诠释1.函数的思想:是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决.2.方程的思想:就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系.3.函数思想与方程思想的联系:函数思想与方程思想密切相关,对于函数y=f(x),当y=0时,转化为方程f(x)=0,也可以把函数y=f(x)看作二元方程y-f(x)=0.函数与方程的问题可相互转化.求方程f(x)=0的解就是求函数y=f(x)的零点.求方程f(x)=g(x)的解的问题,可以转化为求函数y=f(x)-g(x)与x轴的交点问题.思想分类应用应用一函数思想与方程思想的转换,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0),若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅【例1】设函数f(x)=1x有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是()A.当a<0时,x1+x2<0,y1+y2>0B.当a<0时,x1+x2>0,y1+y2<0C.当a>0时,x1+x2<0,y1+y2<0D.当a>0时,x1+x2>0,y1+y2>0思维升华求两个函数f(x),g(x)图象的交点问题通常转化为求函数F(x)=f(x)-g(x)的零点问题.而函数F(x)的零点问题也可以转化为两个函数图象的交点问题.【对点训练1】已知函数f(x)的定义域为R,且有2f(x)+f(x2-1)=1,则f(-√2)=.应用二函数与方程思想在解三角形中的应用【例2】为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1 m, m,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为()且AC比AB长12)m B.2 mA.(1+√32C.(1+√3)mD.(2+√3)m思维升华函数思想的实质是使用函数方法解决数学问题(不一定只是函数问题),构造函数解题是函数思想的一种主要体现.方程思想的本质是根据已知得出方程(组),通过解方程(组)解决问题.【对点训练2】已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,S为△ABC的面积,sin(B+C)=2Sa2-c2.(1)证明:A=2C;(2)若b=2,且△ABC为锐角三角形,求S的取值范围.应用三函数与方程思想在比较大小或不等式中的应用【例3】(1)(2020全国Ⅰ,理12)若2a+log2a=4b+2log4b,则()A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2(2)(2020安徽合肥一中模拟,理12)已知关于x的不等式ax2e1-x-x ln x-1≤0恒成立,则实数a 的取值范围是()A.[0,1]B.(-∞,0]C.(-∞,1]D.(-∞,12]思维升华1.在解决不等式问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题.2.函数f(x)>0或f(x)<0恒成立,一般可转化为f(x)min>0或f(x)max<0.已知恒成立求参数取值范围可先分离参数,再利用函数最值求解.【对点训练3】(1)(2020全国Ⅲ,文10)设a=log32,b=log53,c=23,则()A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b(2)若x∈(0,+∞),e x-1x≥x-ln x+a恒成立,则a的最大值为()A.1B.1eC.0D.-e 应用四函数与方程思想在数列中的应用【例4】(2020湖南长郡中学四模,文4)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 13=13π4,则cos 2a 5+cos 2a 7+cos 2a 9=( ) A.1B.32C.52D.2思维升华在解决数列问题时,应充分利用函数的有关知识,解题往往以函数的概念、图象、性质为纽带,建立起函数与数列间的桥梁,揭示它们内在的联系,从而有效快速解决数列问题.【对点训练4】已知在数列{a n }中,前n 项和为S n ,且S n =n+23a n ,则a na n -1的最大值为( )A .-3B .-1C .3D .1应用五函数与方程思想在概率中的应用【例5】(2020河北沧州一模,理12)2019年末,武汉出现新型冠状病毒肺炎(COVID-19)疫情,并快速席卷我国其他地区,传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株,所以目前没有特异治疗方法,防控难度很大.武汉市出现疫情最早,感染人员最多,防控压力最大,武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员,强化网格化管理,不落一户、不漏一人.在排查期间,一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”,这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测,若出现阳性,则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p (0<p<1)且相互独立,该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f (p ),当p=p 0时,f (p )最大,则p 0=( ) A.1-√63B.√63C.12D.1-√33思维升华关于概率的应用题,首先应用概率的相关知识得到两个量的等量关系,然后利用函数模型研究函数的最值、极值问题,重在考查考生的“数学建模”的核心素养和知识的迁移能力等.【对点训练5】(2018全国1,理20)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p (0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p ),求f (p )的最大值点p 0;(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p 0作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ,求E (X ); ②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?应用方法归纳函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:(1)借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数,把研究的问题化为讨论函数的有关性质,达到化难为易、化繁为简的目的.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,在高考试题中,数形结合思想主要用于解选择题和填空题,有直观、简单、快捷等特点;而在解答题中,考虑到推理论证的严密性,图形只是辅助手段,最终要用“数”写出完整的解答过程.思想分类应用应用一利用数形结合求函数的零点【例1】(2020天津,9)已知函数f (x )={x 3,x ≥0,-x ,x <0.若函数g (x )=f (x )-|kx 2-2x|(k ∈R )恰有4个零点,则k 的取值范围是( ) A.(-∞,-12)∪(2√2,+∞) B.(-∞,-12)∪(0,2√2)C.(-∞,0)∪(0,2√2)D.(-∞,0)∪(2√2,+∞)思维升华讨论方程的解(或函数的零点)的个数一般可构造两个函数,转化为讨论两曲线(或曲线与直线等)的交点个数,其基本步骤是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),再在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数. 【对点训练1】(2020安徽安庆二模,理12)函数f (x )=|ln x|-ax 恰有两个零点x 1,x 2,且x 1<x 2,则x 1所在区间为( ) A.(0,1e 3) B.(1e 3,1e2) C.(1e 2,1e )D.(1e ,1)应用二利用数形结合思想求参数的范围或解不等式【例2】(2020湖南永州二模,理9)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x<0时,f (x )=2-|x+2|.若对任意的x ∈[-1,2],f (x+a )>f (x )成立,则实数a 的取值范围是( ) A.(0,2) B.(0,2)∪(-∞,-6)C.(-2,0)D.(-2,0)∪(6,+∞)思维升华在解含有参数的不等式时,由于涉及参数,往往需要讨论,导致演算过程烦琐冗长.如果题设与几何图形有联系,那么利用数形结合的方法,问题将会简练地得到解决.【对点训练2】(2020北京,6)已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是()A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.(-∞,0)∪(1,+∞)应用三数形结合思想在解析几何中的应用【例3】(2020山东枣庄二模,8)已知点P(m,n)是函数y=√-x2-2x图象上的动点,则|4m+3n-21|的最小值是() A.25 B.21 C.20 D.4思维升华1.如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,那么就要考虑用数形结合的思想方法来解题,即用几何法求解,比较常见的有:表示两点(a,b),(m,n)连线的斜率;(1)b-na-m(2)√(a-m)2+(b-n)2表示两点(a,b),(m,n)[或(b,a),(n,m)]之间的距离.2.解析几何中的一些范围及最值问题,常结合几何图形的性质,使问题得到简便快捷地解决.【对点训练3】已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A,B两点,若在以线段AB为直径的圆上存在两点M,N,在直线l:x+y+a=0上存在一点Q,使得∠MQN=90°,则实数a的取值范围为()A.[-13,3]B.[-3,1]C.[-3,13]D.[-13,13]应用方法归纳方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面:(1)解方程或解不等式;(2)含参数的方程或不等式的讨论,常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用;(3)需要转化为方程的讨论,如曲线的位置关系等;(4)构造方程或不等式求解问题.第2讲函数与方程思想、数形结合思想一、函数与方程思想思想分类应用【例1】B解析在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,当a<0时,要想满足条件,如图,作出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为(-x1,-y1).由图象知-x1<x2,-y1>y2,即x1+x2>0,y1+y2<0,同理当a>0时,则有x1+x2<0,y1+y2>0,故选B.对点训练113解析取x=-√2,则有2f(-√2)+f(1)=1, ①取x=1,则有2f(1)+f(0)=1, ②取x=0,则有2f(0)+f(-1)=1, ③取x=-1,则有2f(-1)+f(0)=1, ④解由③④组成的方程组,得f(0)=13,代入②得f(1)=13,再将f(1)=13代入①,得f(-√2)=13.【例2】D解析设BC的长度为x m,AC的长度为y m,则AB的长度为(y-12)m.在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC cos∠ACB,即(y-12)2=y2+x2-2yx×12,化简得y(x-1)=x2-14.∵x>1,∴x-1>0,∴y=x2-14x-1,即y=(x-1)+34(x-1)+2≥√3+2,当且仅当x-1=34(x-1)时取等号,因此当x=1+√32时,y有最小值2+√3.对点训练2(1)证明由sin(B+C)=2Sa2-c2,即sin A=2Sa2-c2,得sin A=bc·sinAa2-c2.又sin A≠0,∴bc=a2-c2,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A,则bc=b2-2bc cos A.又b≠0,∴c=b-2c·cos A,由正弦定理得sin C=sin B-2sin C·cos A,即sin C=sin(A+C)-2sin C·cos A=sin(A-C).又0<A<π,0<C<π,∴A=2C.(2)解∵A=2C,∴B=π-3C,∴sin B=sin3C. ∵asinA =bsinB 且b=2,∴a=2sin2Csin3C ,∴S=12ab·sin C=2sin2C ·sinCsin (2C+C ) =2sin2C ·sinC sin2C ·cosC+cos2C ·sinC =2tan2C ·tanCtan2C+tanC =4tanC3-tan 2C =43tanC-tanC . ∵△ABC 为锐角三角形,∴{0<A <π2,0<B <π2,0<C <π2,∴{0<2C <π2,0<π-3C <π2,0<C <π2,即{0<C <π4,π6<C <π3,0<C <π2,∴π6<C<π4,∴tan C ∈(√33,1),∴S=43tanC-tanC 为增函数, ∴S ∈(√32,2).【例3】(1)B (2)C 解析(1)由指数与对数运算可得,2a +log 2a=4b +2log 4b=22b +log 2b.因为22b +log 2b<22b +log 22b=22b +1+log 2b ,所以2a +log 2a<22b +log 22b.令f (x )=2x +log 2x ,由指数函数与对数函数单调性可得f (x )在区间(0,+∞)上单调递增.由f (a )<f (2b )可得a<2b.(2)原不等式⇔ax e 1-x ≤ln x+1x (x>0),当a ≤0时,令g (x )=ln x+1x ,则g'(x )=1x −1x 2=x -1x 2, 所以g (x )在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,且g (1)=1, 所以ln x+1x ≥1,显然有ax e 1-x ≤ln x+1x ;当a>0时,令f (x )=ax e1-x-ln x-1x ,则f'(x )=1-x e x -1(a+e x -1x 2),所以f (x )在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减, 所以f (x )max =f (1)≤0即可, 因为f (1)=a-1,所以0<a ≤1. 综上,a ≤1.故选C .对点训练3(1)A (2)C 解析(1)∵32a=32log 32=lo g 3223=log 98<1,∴a<23.∵32b=32log 53=lo g 5233=log 2527>1,∴b>23.又c=23,∴a<c<b.故选A . (2)设t=x-ln x ,则e x -1x =e t-1,原不等式等价于e t-1-t ≥a恒成立.设g (x )=x-ln x ,则g'(x )=1-1x 是单调递增的,零点为x=1,所以g (x )在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,所以函数g (x )的最小值为1,故t ≥1.令f (t )=e t-1-t ,f'(t )=e t-1-1,零点是t=1,f (t )在[1,+∞)内单调递增,故f (t )min =0,故a ≤0.故选C . 【例4】B 解析S 13=13(a 1+a 13)=13a 7=13π,则2a 7=π.设f (x )=cos x ,cos 2a 5+cos 2a 7+cos 2a 9=1+cos2a 52+1+cos2a 72+1+cos2a 92=32+cos2a 5+cos2a 7+cos2a 92.因为f (x )=cos x 图象的对称中心为(π2+kπ,0),k ∈Z ,且2a 7=π2,2a 5+2a 9=2×2a 7, 所以cos2a 5+cos2a 7+cos2a 92=0,即原式=32.故选B .对点训练4C 解析∵S n =n+23a n ,∴当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n+23a n -n+13·a n-1,可化为a n a n -1=n+1n -1=1+2n -1(n ≥2).由函数y=2x -1在(1,+∞)内单调递减,可得an a n -1在n=2处,2n -1取得最大值2.∴an a n -1的最大值为3.【例5】A 解析设事件A :检测5个人确定为“感染高危户”,事件B :检测6个人确定为“感染高危户”,∴P (A )=p (1-p )4,P (B )=p (1-p )5.即f (p )=p (1-p )4+p (1-p )5=p (2-p )(1-p )4.设x=1-p>0,则g (x )=(1-x )(1+x )x 4=(1-x 2)x 4,∴g (x )=(1-x 2)x4=12×[(2-2x 2)×x 2×x 2]≤12×[(2-2x 2)+x 2+x 23]3=427,当且仅当2-2x 2=x 2,即x=√63时取等号,即p=p 0=1-√63.故选A .对点训练5解(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )=C 202p 2(1-p )18,则f'(p )=C 202[2p (1-p )18-18p 2(1-p )17]=2C 202p (1-p )17(1-10p ).令f'(p)=0,得p=0.1.当p∈(0,0.1)时,f'(p)>0;当p∈(0.1,1)时,f'(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y.所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490.②如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于E(X)>400,故应该对余下的产品作检验.二、数形结合思想思想分类应用【例1】D解析f(x)={x3,x≥0,-x,x<0,g(x)=f(x)-|kx2-2x|有4个零点,即f(x)=|kx2-2x|有四个交点.(1)若k>0,则如图.①∵1k >1k3,∴k3>k,k2>1,k>1,∴左侧无交点.②x3=kx2-2x要有三个根,即x2-kx+2=0有两根, ∵Δ=k2-8>0,∴k>2√2.综上①②,k>2√2.(2)若k<0,如图.∵点(1k ,-1k)恰在y=-x上,且过二次函数图象的顶点,∴k<0恒成立.综上,k∈(-∞,0)∪(2√2,+∞).故选D.对点训练1D解析当a≤0时不符合题意;当a>0时,考查函数g(x)=|ln x|与h(x)=ax 的图象的交点.易知,g(x)与h(x)图象在区间(0,1)内必有一个交点,则在区间(1,+∞)内有且仅有一个公共点,当x∈(1,+∞)时,f(x)=ln x-ax,f'(x)=1-axx,则f(x)在(0,1a)内单调递增,在(1a,+∞)内单调递减,所以[f(x)]max=f(1a )=ln1a-1,则只需ln 1a-1=0,故a=1e.当x∈(0,1)时,f(x)=-ln x-1 e x,易知f(1e)=1-1e2>0,f(1)=-1e<0,可知x1∈(1e,1).故选D.【例2】D解析∵f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2-|x+2|.作出f(x)的图象,如图所示.y=f(x+a)的图象可以看成是y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度而得.当a>0时,y=f(x)的图象至少向左平移6个单位长度(不含6个单位长度)才能满足对任意的x∈[-1,2],f(x+a)>f(x)成立,当a<0时,y=f(x)的图象向右平移至多2个单位长度(不含2个单位长度)才能满足对任意的x∈[-1,2],f(x+a)>f(x)成立,故a ∈(-2,0)∪(6,+∞).故选D.对点训练2D解析因为f(x)=2x-x-1,所以f(x)>0等价于2x>x+1,在同一直角坐标系中作出y=2x和y=x+1的图象如图.两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),由图象可知,不等式2x>x+1的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).所以不等式f(x)>0的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).故选D.【例3】C解析函数y=√-x2-2x图象是半圆,圆心为C(-1,0),半径为r=1,如图,作直线4x+3y-21=0,C到直线4x+3y-21=0的距离为d=√4+3=5,∴P(m,n)到直线4x+3y-21=0的距离为d'=|4m+3n-21|5,其最小值为5-1=4,∴|4m+3n-21|的最小值为5×4=20.故选C.对点训练3A解析过点F(1,0)且斜率为1的直线方程为y=x-1.联立{y=x-1,y2=4x,整理得x2-6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,y1+y2=x1+x2-2=4.AB的中点坐标为(3,2),|AB|=x1+x2+p=8,所以以线段AB为直径的圆D:(x-3)2+(y-2)2=16,圆心D为(3,2),半径r=4,因为在圆C上存在两点M,N,在直线l上存在一点Q,使得∠MQN=90°,所以在直线l上存在一点Q,使得Q到D(3,2)的距离等于√2r=4√2,只需D(3,2)到直线l的距离小于或等于4√2,∴√2≤4√2,解得-13≤a≤3,故选A.。

2021年高考数学二轮复习第一部分数学方法、思想指导第2讲函数与方程思想、数形结合思想2数形结合思想

应用二
应用三
思维升华在解含有参数的不等式时,由于涉及参数,往往需要讨
论,导致演算过程烦琐冗长.如果题设与几何图形有联系,那么利用
数形结合的方法,问题将会简练地得到解决.
-11应用一
应用二
应用三
log2 (1-) + 1,-1 ≤ < ,
突破训练 2 已知函数 f(x)= 3
若存在实
-3
时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),再在同一平面直角坐
标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解(或函数
零点)的个数.
-8应用一
应用二
应用三
突破训练1定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x),当x∈[0,2]
由题意得 f(x+2+2)=f(2-x-2)=f(-x)=-f(x),即 f(x+4)=-f(x),
时,f(x)=-4x2+8x.假设在区间[a,b]上,存在m(m≥3)个不同整数
则
f(x+8)=-f(x+4)=f(x).
-1
∴
f(x)的周期为 8,函数
f(x)的图形如下.
∑ |f(x
i)-f( + )| ≥72,那么b-a的最小值为(
xi(i=1,2,…,m),满足
)
=1
A.15 B.16
比较常见的有:
-
表示两点(a,b),(m,n)连线的斜率;
-
(1)
(2) (-)2 + (-)2 表示两点(a,b),(m,n)(或(b,a),(n,m))之间的距离.
2.解析几何中的一些范围及最值问题,常结合几何图形的性质,使
问题得到简便快捷的解决.

2021版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题2 第2讲函数与方程及函数的应用

》站
4．(2016·四川卷，5)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2015 年全下年载投入研发资金 130
费
万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资免金开始超过 200 万元的年
《
份是( B )
号众
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
ex，x≤0，
1．(2018·全国卷Ⅰ，9)已知函数 f(x)＝
g(x)＝f(x)＋x＋a.若 g(x)存在 2 个零点，则 a 的取值范围是
ln x，x>0，
(C)
A．[－1,0)
B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞)
D．[1，＋∞)
[解析] 令 h(x)＝－x－a，
则 g(x)＝f(x)－h(x)．
(1)一次函数模型：y＝ax＋b(a≠0)．
(2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(3)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0 且 b≠1)．
Байду номын сангаас
(4)对数函数模型：y＝blogax＋c(a>0 且 a≠1)．
gx，x∈A1， (5)分段函数模型：f(x)＝
(A1∩A2＝∅)．
hx，x∈A2，
要使 f(x)有唯一零点，则必有 2a＝1，即 a＝1. 2
若 a≤0，则 f(x)的零点不唯一．
故选 C．
3．(2017·北京卷，8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子
总数 N 约为 1080.则下列各数中与M最接近的是( D ) N
(参考数据：lg 3≈0.48)

高考数学二轮复习第二篇专题二数学思想方法课件理

热点训练
4:(1)(2017·河北保定市模拟)已知函数
f(x)=
|
x2

5x

4
|,
x

0,
c
4
又 e= c ,则 e2-4e+4=0,解得 e=2,所以双曲线 C 的离心率 e=2. a
答案:(2)2
二、数形结合思想
热点一利用数形结合思想研究函数零点问题
【例 4】
已知函数
f(x)=
x2 2x
e
x
,
x

0,

1,
2

x 0, 若函数
g(x)=f(x)-ax+a 存在零点,
热点训练 1:(1)已知函数 f(x)=ln x-asin x 在区间[ π , π ]上是单调增函数,则实数 64
a 的取值范围为( )
(A)(-∞, 4 3 ] π
(B)(-∞, 4 2 ] π
(C)[ 4 2 , 4 3 ] (D)[ 4 2 ,+∞)
ππ
π
解析:(1)f′(x)= 1 -acos x, x
SP=
10 2
,所以

R
2

R
2

x2
x
1, 2
12

5, 2
解得 x= 3 ,R2= 11 , 24
所以该三棱锥外接球的表面积 S=4πR2=11π.故选 C.
答案:(1)C
(2)(2018·武汉市武昌区调研)在矩形 ABCD 中,AB=2,AD=1.边 DC 上的动点 P(包含点 D,C)与
ex
ex
即 g(x)在 R 上单调递减,g(1)= f 1 =1,f(x)<ex⇔ f x <1⇔g(x)<1=g(1),

2021年高考数学二轮复习第一部分数学方法、思想指导第2讲函数与方程思想、数形结合思想1函数与方程思

x -x
f(x)=e
-e ,
例2(2021山东济南二模,理12)f(x)是定义在R上的奇函数,记f(x)的
故
f(x)在 R 内为增函数.
导函数为f'(x),当x≥0时,满足f'(x)-f(x)>0.假设x∈[-2,+∞)使不等式
∵
f[ex(x3-3x+3)]≤f(aex+x),∴ex(x3-3x+3)-aex-x≤0 在[-2,+∞)上有解.
应用四
应用五
应用三函数与方程思想在数列中的应用
例3(2021河南六市联考一,文10)假设正项递增等比数列{an}满足关闭
设正项递增等比数列{an}的公比为 q,则 q>1.
1+(a2-a4)+λ(a3-a5)=0(λ∈R),那么a6+λa7的最小值为(
)
1+(a2-a4)+λ(a3-a5)=0,
∵
1
2 -4
∴y= -1 ,
3
即 y=(x-1)+3
+2≥ 3+2,
4(-1)
A. 1 +
m B.2 m
关闭
2
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
当且仅当
时,取“=”号,因此当
x=1+ 2 时,y 有最小值 2+ 3.
3)m D.(2+
3)m
D C.(1+ x-1=
4(-1)
解析
答案
-6应用一
应用二
应用三
应用四
应用五
思维升华函数思想的实质是使用函数方法解决数学问题(不一定
1
1

2021-2022年高三数学二轮复习专题2函数性质及应用教案苏教版

2021年高三数学二轮复习专题2函数性质及应用教案苏教版【高考趋势】函数的刻划一般是从两个方面：一是式，二是形，两者常需相互转化，互要呼应，对于基本等函数的组合与复合，若作图较为方便，一般最好借助图象直观解题；若作其图象较为困难，则要挖掘问题的内在性质解题。

由于新课程中导数的内容更加丰富，因此利用导数研究诸如y=x-lnx 的单调性、最值及解（或证）不等式等问题，是学会研究函数的重要方法之一，也是近年来高考命题的主要方向之一。

【考点展示】1、定义在R 上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期，若将方程f(x)=0在闭区间[-T ，T]上的根的个数记为n ，则n 至少为。

2、设f(x)是定义在R 上的函数，若f(x)=f(xx-x)，则f(x)有对称轴为；若f(xx-x)=-f(xx+x)，则f(x)有对称中心为3、若f(x)=lnx+2x 2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，则m 的取值范围是4、若对任意x ∈R ，不等式|x|≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是5、函数y=f(1+x)的图象与y=f(1-x)的图象关于对称。

6.函数对于任意实数满足条件，若则_______________。

7、若⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a 是（-∞，+∞）上的减函数，则a 的取值范围是【样题剖析】例1、定义在R 上的函数f(x), 对于任意x ，yR ，均有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(0)≠0。

（1）求证：f(0)=1;（2）求证：y=f(x)是偶函数；（3）若存在常数c ，使f()=0成立，求证：函数y=f(x)是周期函数。

例2、已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a，如果函数y=f(x)在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围。

例3、已知函数f(x)=e x-kx, xR(1) 若k=e，试确定函数f(x)的单调区间；（2）若k>0，且对于任意x≥0，f(x)>0恒成立，试确定函数k的取值范围。

2021新高考数学二轮总复习第2讲函数与方程思想数形结合思想学案含解析.docx

2021年高考数学二轮复习 攻略一 函数与方程思想,数形结合思想

2021年高考数学二轮复习 函数与方程思想,数形结合思想