高考数学专题04 立体几何的探索性问题(第三篇)(原卷版)

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第三篇 立体几何

专题04 立体几何的探索性问题

【典例1】【2020届江苏巅峰冲刺卷】

如图，在四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝AP ＝4，AB ＝BC ＝2，M 为PC 的中点．

（1）求异面直线AP ，BM 所成角的余弦值；

（2）点N 在线段AD 上，且AN ＝λ，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为4

5

，求λ的值． 【典例2】【2020届江西省赣州市高三上学期期末考试】

如图，在平行四边形ABCD 中，2,4,60AB AD BAD ︒==∠=，平面EBD ⊥平面ABD ，且

,EB CB ED CD ==.

（1）在线段EA 上是否存在一点F ，使//EC 平面FBD ，证明你的结论； （2）求二面角A EC D --的余弦值. 【典例3】【北京市昌平区2020届高三期末】

如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，1

2

BC CD AD ==

.

（Ⅰ）求证：CD ⊥PD ； （Ⅰ）求证：BD ⊥平面P AB ；

（Ⅰ）在棱PD 上是否存在点M ，使CM ∥平面P AB ，若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由. 【典例4】【2019届陕西省西安中学高三下学期第十二次重点考试】

在三棱锥P—ABC 中，PB ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB=PB =2，BC E 、G 分别为PC 、P A 的中点.

（1）求证：平面BCG ⊥平面P AC ；

（2）假设在线段AC 上存在一点N ，使PN ⊥BE ，求

AN

NC

的值； （3）在（2）的条件下，求直线BE 与平面PBN 所成角的正弦值 【典例5】【浙江省丽水市2020届模拟】

如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，2PA AD ==．

（1）求证：CD ⊥平面PAC ；

（2）在棱PC 上是否存在点H ，使得AH ⊥平面PCD ？若存在，确定点H 的位置；若不存在，说明理由． 【典例6】【江苏省苏州市实验中学2020届高三月考】

直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，

E 、

F 分别为棱AB 、11B C 上的点，2AE EB =，112C F FB =.求证：

（1）//EF 平面11AAC C ；

（2）线段AC 上是否存在一点G ，使面EFG ⊥面11AAC C .若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由. 【典例7】【山东省临沂市2019年普通高考模拟】

如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，AD ⊥DE ，AF ＝DE ＝

（1）求直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值；

（2）在线段AF 上是否存在点M ，使得二面角M ­BE ­D 的大小为60°？若存在，求出AM

AF

的值；若不存在，说明理由.

1.【2020届盐城市高三年级模拟考试】

如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A ＝AB ＝2，∠ABC ＝3

π

，E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点．

（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；

（2）点M 在线段A 1D 上，

11A M

A D

λ= ．若CM ∥平面AEF ，求实数λ的值． 2．【四川省棠湖中学2020届高三月考】

如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=1

2

AD ．E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.

（I ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由； (II)若二面角P -CD -A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值. 3．【河南省郑州市2019届高中毕业年级第一次（1月)质量预测】

已知四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠

=

︒，PA ⊥平面ABCD ，E 、M 分别是BC 、

PD 上的中点，直线EM 与平面PAD F 在PC 上移动.

（Ⅰ）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ； （Ⅰ）求点F 恰为PC 的中点时，二面角C AF E --的余弦值. 4．【2020届四川省巴中市高三第一次诊断】

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA PD =，PA AB ⊥，N 是棱AD 的中点.

(1)求证：PN ^平面ABCD ；

(2)在棱BC 上是否存在点E ，使得//BN 平面DEP ？并说明理由. 5．【湖北省2019届高三1月联考测试】

如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB PC ⊥，AD BC ∕∕，AD CD ⊥，且2PC BC AD ==2CD ==2PA =．

(1)PA ⊥平面ABCD ；

(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为60︒？如果存在，求PM

PD

的值；如果不存在，请说明理由．

6．【2020届广东省东莞市高三期末调研测试】

如图，在四棱锥S ABCD -中，已知四边形ABCD 的正方形，点S 在底面ABCD 上的射影为底面ABCD 的中心点O ，点P 在棱SD 上，且SAC V 的面积为1．

（1）若点P 是SD 的中点，求证：平面SCD ⊥平面PAC ；

（2）在棱SD 上是否存在一点P 使得二面角P AC D --？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．

7．【2020届山西省太原市第五中学高三11月阶段性考试】如图，在三棱锥A BCD -中，顶点A 在底面BCD

上的投影O 在棱BD 上，AB AD ==

2BC BD ==，90CBD ∠=︒，E 为CD 的中点．

（1）求证：AD ⊥平面ABC ； （2）求二面角B AE C --的余弦值；

（3）已知点Q 为AE 的中点，在棱BD 上是否存在点P ，使得PQ ⊥平面ABE ，若存在，求BP

BD

的值；若不存在，说明理由．

8．【河南省开封市五县2020届模拟】

如图，AC 是O e 的直径，点B 是O e 上与A ，C 不重合的动点，PO ⊥平面ABC .