巧填幻方
巧填幻方(课堂PPT)
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例1：把1-9这九个数填入下面的九宫 格中，不能重复，使得每一行，每一 列，每一条对角线上的三个数的和相 等。
解题过程：
1
4
2
7
5
3
8
6
9
九子斜排
9
4
2
3
5
78ຫໍສະໝຸດ 61上下对易，左右相更
4
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1
6
•6
例1：把1-9这九个数填入下面的九 宫格中，不能重复，使得每一行， 每一列，每一条对角线上的三个数 的和相等。
方法二：阶梯法（下回分解）
方法三：罗伯法（徐近乔已讲）
4 92 3 57 8 16
张老师提示：对易法、阶梯法、罗伯法都只适用于奇数幻方
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谢谢大家
完
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幻和： 幻方中每行/列/对角线的数的和。
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492 357 816
幻和：15 总和：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 阶数：3
15=45÷3 幻和=总和÷阶数
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例1：把1-9这九个数填入下面的九宫格中， 不能重复，使得每一行，每一列，每一条对 角线上的三个数的和相等。
刚才神龟背上的九宫图，究竟是怎 么填出来的呢？
巧填幻方
主讲人：张权瑞
•1
4 92 3 57 8 16
同学们，你观察到了什么？这 些数无论横着加、竖着加还是 斜着加，结果都等于十五。
•2
幻方的基本概念
幻方： 是指横行、竖行、对角线上数的和都 相等的数的方阵，具有这一性质的3x3 的数阵称作三阶幻方，4x4的数阵称作 四阶幻方，5x5的数阵称作五阶幻方 ……….
奥赛天天练(填三阶幻方)
《奥赛天天练》第25讲《巧填幻方》。
概念：如果一个n×n 矩阵（教材中表现为方格图）的每行，每列及两条对角线的元素之和都相等，且这些元素都是从1到 n×n 的自然数，这样的矩阵就称为n阶幻方。
有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，这是一类形式独特的填数字问题。
本讲主要介绍比较简单的三阶幻方的填写，三阶幻方就是n=3时的幻方。
三阶幻方的填法：三阶幻方传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，在北周的甄弯注《数术记遗》一书中记有三阶幻方的填法：九宫者，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。
三阶幻方的构造方法：我国南宋时期杰出的数学家杨辉，是最早系统研究幻方的数学家。
他曾将幻方命名为“纵横图” (三阶幻方也叫络书或九宫图)，并给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法。
但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误。
杨辉在在《续古摘奇算法》中，总结出了三阶幻方构造的方法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。
”意思是：先把l～9九个数依次斜排（如下图一），再把上l 下9两数对调（如下图二），左7右3两数对调（如下图三），最后把四面的2、4、6、8向外面挺出（如下图四），这样就构造了一个三阶幻方。
1 9 94 2 4 2 4 2 4 9 27 5 3 3 5 7 3 5 7 3 5 78 6 8 6 8 6 8 1 69 1 1图一图二图三图四三阶幻方的填法不是唯一的，矩阵的第一行与第三行对调，或第一列与第三列对调，可以得出4种填法，将其中的任意一种填法旋转90°，又可以得到另外的4种填法。
例如，将上面图四的第一列与第三列对调，就可以得出前面口诀中的填法。
三阶幻方的构造原理：通常我们把幻方中每行3个数的和称为幻方的幻和，幻方正中心的那个数叫做中心数，中心数也就是这9个数的中位数。
从1到9这9个数的和为：1+2+3+…8+9=45；则三阶幻方每行3个数字之和即幻和为：45÷3=15。
火眼金睛——巧填幻方
§2.4 火眼金睛——巧填幻方08年 月 日 偶滴大名【知识要点】将九个不同的数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，那么这样的图称为“三阶幻方”，这个相等的和称为幻和。
在三阶幻方中有：中间数A=总和÷9=幻和÷3 D=（B ＋C ）÷2 【典型例题】例1 请你把5，6，7，8，9，10，11，12，13这几个数字填入下面的方格中组成一个三阶幻方。
例2 找出九个连续的自然数，分别填入下图的空格内，构成一个幻和为60的三阶幻方。
例3 在下面空格中填入七个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和是60。
例4 在下图中的空格内填入不大于15且互不相同的自然数，使每一个横行、每一竖列及每条对角线上的三个数之和都等于30。
D B AC13278随堂小测偶滴大名偶滴成绩1．将2，4，6，8，10，12，14，16，18这九个数分别填入下面图中的方格内，使每行、每列和每条对角线上的和都相等。
2．用3～27这25个数排成一个五阶幻方。
3．请编出一个三阶幻方，使其幻和为24。
4．请在下面的空格中填上适当的数，使其成为一个幻和为27的幻方。
565．在下图的空格中填入不大于15且互不相同的自然数，使其成为幻和为30的幻方。
14课后作业偶滴大名 偶滴成绩1．请自编一个幻和为90的三阶幻方。
2．补充下面的幻方，使其幻和为33。
3．将图中的数重新排列，使得横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。
奥运知识１．国际奥委会的英文名称缩写为＿＿＿＿＿＿＿。
ａ．ＩＯＣ ｂ．ＮＯＣ ｃ．ＦＩＦＡ2．＿＿＿＿＿＿＿＿是第一个主办夏季奥运会的亚洲城市。
ａ．日本东京 ｂ．中国北京 ｃ．韩国汉城3．在现代奥运会史上有＿＿＿＿＿＿＿届夏季奥运会因战争未能举办。
ａ．３ ｂ．４ ｃ．５4．女子选手从第＿＿＿＿＿＿＿届奥运会开始，被允许参加奥运会田径比赛。
小学三年级奥数 第26讲：巧填幻方
这就是传说中神秘的幻方，让我们走进今天的课堂，一起来研究一下幻方的这是传说中神秘的幻方，我们走进今天的课堂，起来研究下幻方的
阶幻方……
幻和：幻方中每行/列/对角线的数的和。
幻和：15
【幻方填法】
民谣
四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；；二七六郎赏月半，周围十五月团圆。
周围十月团圆把1－9这九个数填入下面的九宫格中，不能重复，使得每一行，每一列，每条对角线上的三个数的和相等。
试编出一个三阶幻方，使其幻和为30，而且幻方中没有重复的数。
中间数：在奇数阶幻方中填在最中间的数。
中中中
观察下三阶幻方：
幻和＝(1＋2＋3＋…＋8＋9)÷3＝15
中间数＝15÷3＝5
在下图中的A、B、C、D处填上适当的数，使下图成为一个三阶幻方。
【三阶幻方性质】
角块等于对角两棱块之和的一半
在下图空格中填入7个自然数，使每行、每列、每一对角线三数之和为90把1-16这十六个数填入下面的图中，不能重复，使得每一行，每一列，每条对角线上的四个数的和相等。
在下图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线
上的方格中的四个数字都是1，2，3，4。
⑴幻和＝总和÷3
⑵中心数＝幻和÷3＝总和÷9
“T型台”
⑶型台
c＝(a＋b)÷2
二三阶幻方填法
二、三阶幻方填法。
第八讲-巧填幻方
从小到大 排列的数
4、5、6、7、8、9、10、11、12 2．如图中已填了两个数5，8.请将4，6，7，9，10，11， 12这七个数填入空格中（一格一数），使各横行、各竖 行、各斜行上的三个数之和都等于24.
3．如图已填了一个9，请将1，3，5，7，11， 13，15，17填入空格内（一格一数），使各 横行、各竖行、各斜行上的三个数之和都等 于27.
6．在如图的空格内填入2，4，6，8，12，14， 16，18，使各横行、各竖行、各斜行上三个数之 和都等于30.
5．把9～17填入方格内， 使其构成一个三阶幻方．
3．把3，6，9，12，15，18，21，24，27填入 如图的小方格里，使各横行、各竖行、各斜行 上的三个数相加都等于45.
2．如图已填了两个数2和4.请将另两个2， 三个3，另两个4填入空格中，使各横行、 各竖行、各斜行上三个数之和都等于9.
课 后 练 习
1．如图已填了三个数，请将1，3，4，7，8，9填入空格 内（每格一数），使得各横行、各竖行、各斜行上的三个 数之和都等于15.
例4．把1～9填入下面的方 格内，使幻和为15．
1）先将1～9填入方格中； 2）调换其中2、8的位置，4、6的位置； 3）沿着斜线的方向将每行的数填入幻方中 就得到了答案．
第八讲 巧填幻方
2012秋季二年级
7
★ 4 5
例1．在空格里填数，使横行、竖行、斜行 的三个数相加的和等于18．
课 堂 练 习
★
1．如图已填了三个数，请将3，4，5，6，8，9填 入空格中，使各横行、各竖行、各斜行上三个数 之和都行于21.
10＋10＋10＝30 在填幻方时，填数中有很多规律： 1、中间数一定要填到方格的中间； 从小到大 2、行、列和斜行的和等于中间数的3倍． 排列的数
幻方的口诀顺口溜
幻方的口诀顺口溜
1. 幻方真奇妙，口诀要记牢，一居上行正中央，这个例子很明了，就像找到了宝藏的钥匙哟！比如3×3 的幻方，数字1 不就放在最上面一行的正中央嘛！
2. 依次斜填切莫忘，哎呀呀，可别小看它呀！就像走迷宫有了方向一样。
你看那个 4 不就斜着填下去嘛！
3. 上出框时往下填，这多有意思呀，就好比球弹到了地上又弹起来。
像 7 超出框了，不就往下填嘛！
4. 右出框时往左填，嘿，是不是很好玩呀，如同汽车拐弯换了个道儿。
数字 9 不就这样填嘛！
5. 排重便在下格填，哇塞，这感觉就像纠错一样呢！要是碰到重复的数字，不就往下一格填嘛，就像避开障碍。
6. 右上排重一个样，可不是嘛，就像遇到同样的困难有同样的解决办法。
比如右上有数字了，也得这样处理呀！
7. 幻方口诀真好用，绝对让你大不同，你想想，用了口诀解幻方多轻松呀！
8. 记住口诀不慌张，仿佛有了定海神针呀！不管遇到啥样的幻方都不怕啦！
9. 轻松玩转幻方界，哎呀呀，那感觉就像武林高手称霸江湖一样呢！
10. 幻方口诀顺口溜，大家一定要记熟，真的超级有用处哟！就像拥有了神奇的魔法棒！
我的观点结论：幻方的口诀顺口溜真的太重要啦，能让我们快速掌握幻方的技巧，大家一定要好好记住呀！。
一起来学一学｜三阶幻方的填写技巧及其扩展应用
一起来学一学｜三阶幻方的填写技巧及其扩展应用三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，是由1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横行、纵向的和都为15，称这个最简单的幻方的幻和为15。
中心数为5。
例题一用1，2，3，4，5，6，7，8，9填入三阶幻方中，使横竖斜的和相等。
例题一解析（1）1，2，3，4，5，6，7，8，9为公差是1的等差数列，求和：1+2+3+4+......+9=(1+9)×9÷2=45等差数列和=(首项+末项）×项数÷2（2）求出横竖斜的和为：45÷3=15（3）求出中间数为：15÷3=5例题一（4）列出3个数相加和为15的算式1+5+9 1+6+82+5+82+4+93+5+7 2+6+74+5+6 3+4+8例题一（5）◉在横竖斜中都会共用3次，看上面算式出现3次的有2，4，6，8由2+5+8，4+5+6两个算式可以看出2和8、4和6应分列对角。
例题一（6）按横竖斜的和为15将剩余空填满例题一例题二用1， 4， 7， 10， 13， 16， 19， 22， 25填入9宫格，是横竖斜的和相等。
例题二解析（1）1， 4， 7 ，10， 13， 16 ，19 ，22， 25 为公差是3的等差数列；例一中的1，2，3，4，5，6，7，8，9 为公差是1的等差数列。
1 2 3 4 5 6 7 8 91 4 7 10 13 16 19 22 25对照前一个三阶幻方数字位置可以直接填出例题二这里来前面的方法验证一下：1+4+7+……+25=26×9÷2=117可求出横竖斜的和117÷3=39中间数为39÷3=13例题二列出3个数相加和为45的算式1+13+25 1+16+224+13+224+16+197+13+19 4+10+2510+13+16 7+10+22得出4个角的数分别为4，10，16，22按规律即可填写完整例题三将如图的三阶幻方填写完整。
巧填幻方
这就是传说中神秘的幻方，让我们走进今天的课堂，一起来研究一下幻方的这是传说中神秘的幻方，我们走进今天的课堂，起来研究下幻方的
阶幻方……
幻和：幻方中每行/列/对角线的数的和。
幻和：15
【幻方填法】
民谣
四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；；二七六郎赏月半，周围十五月团圆。
周围十月团圆把1－9这九个数填入下面的九宫格中，不能重复，使得每一行，每一列，每条对角线上的三个数的和相等。
试编出一个三阶幻方，使其幻和为30，而且幻方中没有重复的数。
中间数：在奇数阶幻方中填在最中间的数。
中中中
观察下三阶幻方：
幻和＝(1＋2＋3＋…＋8＋9)÷3＝15
中间数＝15÷3＝5
在下图中的A、B、C、D处填上适当的数，使下图成为一个三阶幻方。
【三阶幻方性质】
角块等于对角两棱块之和的一半
在下图空格中填入7个自然数，使每行、每列、每一对角线三数之和为90把1-16这十六个数填入下面的图中，不能重复，使得每一行，每一列，每条对角线上的四个数的和相等。
在下图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线
上的方格中的四个数字都是1，2，3，4。
⑴幻和＝总和÷3
⑵中心数＝幻和÷3＝总和÷9
“T型台”
⑶型台
c＝(a＋b)÷2
二三阶幻方填法
二、三阶幻方填法。
巧填幻方
巧填幻方一、什么叫幻方？（通俗点说）把一些有规律的数填在纵横格数都相等的正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等。
这样的方阵图叫做幻方。
幻方又分为奇数阶幻方和偶数阶幻方。
奇数阶幻方是指横行、竖列都是单数（即3、5、7、9……）的方阵图。
偶数阶幻方是指横行、竖列都是双数（即4、6、8、10……）的方阵图。
二、奇数阶幻方在第一行居中的方格内放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有数字，则向下移一格继续填写。
(1) 将1放在第一行中间一列；(2) 从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放：按 45°方向向右上方行走，每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1(3) 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。
例如1在第1行，则2应放在最下一行，列数同样加1；(4) 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时，则把下一个数放在上一个数的下面。
例：3阶幻方例：5阶幻方三、偶阶幻方1、双偶阶幻方:四阶幻方，八阶幻方,....,4m阶幻方，采用对称元素交换法。
将幻方等分成m×m个4阶幻方，将各4阶幻方中对角线上的方格内数字与n阶(n=4×m)幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换。
首先把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵，然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心作对称交换，即a(i,j)与a(n-1-i,n-1-j)交换，所有其它位置上的数不变。
(或者将对角线不变，其它位置对称交换也可)1) 把自然数依次排成方阵2) 把幻方划成4*4的小区,每个小区划对角线,3) 把这些对角线所划到的数,保持不动,4) 把没划到的数,按幻方的中心,以中心对称的方式,进行对调。
例：4阶幻方第一步，先把1放在4阶幻方4个角的任意一个角格，按同一个方向按顺序依次填写其余数。
如下所示：第二步，进行对称交换（有两种对称交换的方法）。
幻圆幻方数学题巧解
幻圆幻方数学题巧解
幻圆幻方是一种数学谜题，它要求将数字填入一个圆形或方形的网格中，使得每行、每列和对角线上的数字之和都相等。
以下是一些巧解幻圆幻方的方法：
1. 找出关键数字：通常，幻圆幻方中会有一个或几个关键数字，它们的位置可以帮助确定其他数字的位置。
例如，如果一个幻圆幻方中有一个数字在中心位置，那么它的周围数字的和应该相等。
2. 利用对称性：幻圆幻方具有对称性，这意味着如果你在某个位置填入一个数字，那么在对称位置上填入相同的数字也可以满足条件。
例如，如果一个幻圆幻方中有一个数字在左上角，那么在右下角填入相同的数字也可以满足条件。
3. 利用数学公式：对于某些幻圆幻方，你可以使用数学公式来确定数字的位置。
例如，对于一个 n 阶幻方，你可以使用公式 (n/2)^2 + 1 来确定中心数字的位置。
4. 试错法：如果以上方法都不适用，你可以尝试使用试错法。
将数字填入网格中，然后检查每行、每列和对角线
上的数字之和是否相等。
如果不相等，尝试调整数字的位置，直到满足条件为止。
需要注意的是，不同的幻圆幻方可能需要不同的方法来解决，因此需要根据具体情况选择合适的方法。
填幻方的方法范文
填幻方的方法范文幻方是一种古老而神秘的数学游戏，它具有大量的变化和挑战性。
填充幻方的方法是解决这一问题的关键，本文将介绍填充幻方的一般方法。
幻方可以定义为一个正整数的方阵，其中每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。
填充幻方的首要任务是确定方阵的大小，通常以n×n的形式表示，其中n是一个正整数。
填充幻方的第一步是确定方阵的中心位置。
在n是奇数的情况下，中心位置就是方阵的正中间行和列。
在n是偶数的情况下，中心位置可以是几个格子的组合。
通常将中心位置设置为方阵第一行的正中间列，例如在4×4的方阵中，中心位置将是(1,2)和(1,3)两个格子。
填充幻方的第二步是从中心位置开始按照一定规律填写数字。
最常见的方法是从数字1开始，依次向右上方填充。
如果下一个格子超出了方阵的边界，则将其置于方阵的底部或最右边的格子，重复这个过程直到所有的格子都被填满。
在填充过程中，需要注意一些规则和技巧。
首先，如果一个格子已经被填充了，则需要跳过该格子，直接填充下一个格子。
其次，在填充过程中，需要注意数字的重复和位置的选择。
为了避免数字的重复，可以按照一定的顺序填充，例如从小到大或从大到小。
为了选择位置，可以根据数字的奇偶性决定填充的方向，若数字为偶数则向右填充，若数字为奇数则向左上方填充。
填充幻方的最后一步是验证幻方的正确性。
在完成填充后，需要对每一行、每一列和对角线上的数字进行求和，确保它们都相等。
如果有任何一行、一列或一条对角线的和不等于其他行、其他列或其他对角线的和，则说明填充的幻方是错误的。
填充幻方的方法并不是唯一的，还有其他一些特殊的填充方法。
例如，可以使用四个规则来填充幻方：1.正方形中心的数为1，其下一个数为(n+1)；2.若上一个数的位置在方阵的左上角，则下一个数的位置在方阵的右下角；3.若上一个数的位置在方阵的上边界，则下一个数的位置在方阵的下边界；4.若上一个数的位置在方阵的右边界，则下一个数的位置在方阵的左边界。
小学数学思维训练巧填幻方
例1．在空格里填数，使横行、竖行、斜行 的三个数相加的和等于18．
课堂练习
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1．如图已填了三个数，请将3，4，5，6，8，9填 入空格中，使各横行、各竖行、各斜行上三个数 之和都行于21.
10＋10＋10＝30
在填幻方时，填数中有很多规律：
1、中间数一定要填到方格的中间；
从小到大
2、行、列和斜行的和等于中间数的3倍． 排列的数
例2．把6、7、8、9、10、11、12、13、14填入下 图，使其横行、竖行、斜行和相等．
4．要使下图中横行、竖 行、斜行三个数的和相 等，字母E、F、G、H 分别是几？
小飞机
10＋6＋X＝A＋X＋9 10＋6＝A＋9 A＝10＋6－9＝7
X
例3．要使下图中横行、竖行、斜行三个数的 和相等，字母A、B、C、D分别是几？
从小到大 排列的数
4、5、6、7、8、9、10、11、12 2．如图中已填了两个数5，8.请将4，6，7，9，10，11， 12这七个数填入空格中（一格一数），使各横行、各竖 行、各斜行上的三个数之和都等于24.
3．如图已填了一个9，请将1，3，5，7，11， 13，15，17填入空格内（一格一数），使各 横行、各竖行、各斜行上的三个数之和都等 于27.
6．在如图的空格内填入2，4，6，8，12，14， 16，18，使各横行、各竖行、各斜行上三个数之 和都等于30.
5．把9～17填入方格内， 使其构成一个三阶幻方．
3．把3，6，9，12，15，18，21，24，27填入 如图的小方格里，使各横行、各竖行、各斜行 上的三个数相加都等于45.
2．如图已填了两个数2和4.请将另两个2， 三个3，另两个4填入空格中，使各横行、 各竖行、各斜行上三个数之和都等于9.
幻方口诀 巧用口诀,妙填幻方
幻方口诀巧用口诀,妙填幻方图1中所画的小玩意，和图2中的正方形数表是一回事.右边表中的数是用阿拉伯数字表示的，古老文化披上了现代服装；左边图中的数是用连在一起的圈圈点点的个数表示的，保持它原来的面貌，古色古香.从图2容易看出，图中横看每行3个数的和都是15，竖看每列3个数的和也是15，斜看每条对角线上3个数的和还是15.一般地，把一些不同整数排列成正方形表格，使其中每个横的行、竖的列，以及正方形的每条对角线上，各数的和都相等，这样的数表叫做幻方，意思就是“奇妙的正方形”.图1中的“小玩意”就是一个幻方（三阶幻方），这是世界历史上最早发现的一个幻方.据传说，大约四千年以前，大禹治理洪水的时候，有一只神龟从洛水里浮出水面，背上驮着这个图形，从此这幅图就来到了人间（图3）.因为传说它是从洛水里出来的，所以被叫做洛书.填幻方的方法比较多，下面介绍四种用口诀填幻方的方法：口诀一：二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央如图2，把三阶幻方看成一个人，4，2是左右肩，8，6是左右脚，3，7是左右手，9是帽，1是鞋，5是身躯居中央.口诀二：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出如图4，将1～9这9个自然数依次斜排为3行3列（图4①），再把上下两数（1和9）对调（图4②），左右两数（2和7）也对调（图4③），再将四个数字各向外挺出，形成四个角上的四个数，就得到三阶幻方（图4④）.口诀三：一填首行正中央，依次斜排莫要忘，上出下填右出左，若是重了填下方如图5，“一填首行正中央”指的是，这9个数按照从小到大的顺序，第一个数要填在第一行正中间的一个方格中；“依次斜排莫要忘”指的是，后面一个数填在前一个数的右上方；在填写的过程中，“上出下填右出左”即如果向右超出幻方，就填在应填那一行最左边的一个方格中；“若是重了填下方”，若是发现要填的方格已经有数字占据了，那么就填在前一个数字的正下方.对于数字7，它正好位于行和列交叉的位置，我们当做重复对待，填在前一个数字6的正下方.口诀四：末行中列起，下行下列随，结束又开始，遇阻头上飞如图2，“末行中列起”是将第一个数1填入第三行第二列；“下行下列随”是将2填入下行又下列，由于没有第四行，所以“结束又开始”，即第一行为第四行，将2填入第一行第三列；3应填入第二行第四列，由于没有第四列，所以“结束又开始”，将3填入第二行第一列；4应填入第三行第二列，可这个位置已经被1占据了，所以“遇阻头上飞”，4就填在3的头上即第一行第一列.按“下行下列随”依次填出5，6；按“遇阻头上飞”填上7；再按“下行下列随”依次填出8，9.。
第7讲(上) 巧填幻方
8 13 6 7 9 11 12 5 10
12 7 8 5 9 13 10 11 6
13
比较中表与右表可知：把中表整体绕中间
数顺时针方向旋转90o，便可得右表。
注：把上下两行对调也满足题意。
2、巧填幻方
例2、作5~13这9个数补全右图的方格，使每行、每列及对 角线中的三个数之和相等。
方法二：先求幻和
4+5+6=15
492 357 816
8+5+2=15
4+9+2=15 3+5+7=15 8+1+6=15
4+3+8=15 2+7+6=15 9+1+5=15
上表中，全部数字和：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 45÷3=15（幻和）
规律： (2) n阶幻方的幻和＝幻方中全部数字之和÷n
1、巧编幻方
1 73 13 9 5 15 11
17
换位
7 17 3 5 9 13 15 1 11
归位
注：也可把上下两行对调
1、巧编幻方
例2、把1，2，3…16这16个数填入4×4的方格里，变成四阶幻方
1 2 34 567 8
9 10 11 12 13 14 15 16
(1) 先算幻和
幻和=(1+2+…+16)÷4= 34
64
2、巧填幻方
——给出一个不完整的幻方，将它补充成一个完整的幻方。 例1、补全下列数表，使每行、每列及对角线中的四个数 之和相等。
2 30
8
12 14 18 20
幻方填入规律
幻方填入规律幻方，亦称纵横图。
台湾称为魔术方阵。
将自然数1，2，3，……n*n排列成一个n*n方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于n/2 * (n*n+1)，这样的方阵称为幻方。
例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：每行、每列、两条对角线的和是15。
n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。
n*(n*n+1)/2为幻方的变幻常数。
数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。
目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。
这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。
奇数阶幻方n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。
填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行（顶行）正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数：(1)、每一个数放在前一个数的右上一格；(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。
这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯，亦称“楼梯法”。
2、双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义：互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：将对角线上的数字，换成与它互补的数字。
这里，n*n+1 = 4*4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。
第7讲 数学思维-巧填幻方
前言
“就是1到9的数字分三行排列，不论竖着加，横着加，还 是斜着加，结果都是等于15。我们先生让下午一定要把这道 题做好。我正算到关键之处。”
杨辉连忙蹲下身，仔细地看那孩童的算式，觉得这个数字， 从哪见过，仔细一想，原来是西汉学者戴德编纂的《大戴礼》 书中所写的文章中提及的。
杨辉和孩童俩人连忙一起算了起来，直到天已过午，俩人 才舒了一口气，结果出来了，他们又验算了一下，觉得结果全 是15，终于成功了……
首出上中央，依次右上连，上出往下填，右出往左填 顶角和填重，回来写下边，填好再检查，等差在中间
快来挑战“七阶幻方”吧
【作业】把1、2、3、4……49，这49个连续自然数填入下面的格中 ，不能重复，使得每一行，每一列，每条对角线上的7个数的和相等 。
快来挑战“七阶幻方”吧
【答案】把1、2、3、4……49，这49个连续自然数填入下面的格中 ，不能重复，使得每一行，每一列，每条对角线上的7个数的和相等 。
111
5
1
591 3
7
1 7
3
罗伯法填“五阶幻方”
【例2】把2、4、6、8…50，这25个偶数填入下面的格中，不能 重复，使得每一行，每一列，每条对角线上的5个数的和相等。
罗伯法填“五阶幻方”
【例2】把2、4、6、8……50，这25个偶数 填入下面的格中，不能重复，使得每一行 ，每一列，每条对角线上的5个数的和相等
【规范解答】
试试“四阶幻方”吧
【例3】将下图补全，成为由1-16组成的四阶幻方。
巧填幻方--总结梳理
一、幻方的基本概念
是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的 3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方……
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巧填奇数阶幻方
月日姓名
【知识要点】
在3×3或4×4……的正方形，每行每列及每条对角线上的和都相等的填有数的数阵图叫做幻方。
三阶幻方是最基本的幻方，构造这个幻方可以有很多种方法。
我们在这里介绍其中最常用的一种：罗伯法：
法国人罗伯总结出了，到目前为止，构造3价连续自然数幻方的最简单易行的方法：“罗伯法”。
这种方法还可以用于构造5阶、7阶……所有奇数阶幻方。
罗伯法的具体方法可以总结口诀如下：
“1”坐边中间，斜着把数填。
出边填对面，遇数往下旋。
出角仅一次，转回下格间。
【典型例题】
例1：用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
使每行每列及对角上的数之和是15。
练习1：用3～11这九个数补全图中的三阶幻方，并求幻和。
例2：用1～25这25个数补全图1中的五阶幻方，并求幻和
图1
图2
大比拼：用1～49这49个数补全图2中的七阶幻方，并求幻和
例3. 如下图，右方格表中的每个方格中填入一个字母，使得方格表中 每行、每列及每条对角线上的四个方格中的字母都是A 、B 、C 、D （排列顺序不限），那么表中*处应填的字母是什么
作业：从1～100中找出25个连续数填入以下五阶幻方中， 使每一行、每一列及每条对角线上的数的和都相等。
相关习题
1．在下面空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等于15。
第1题 第2题图 第3题图
2．把3到11这9个数字填入下图中，使每行、每列及每条对角线上三个数的和都相等。
3．把12到
36这25个数填入下图中，使每行、每列及每条对角线上5个数的和都相等。
4．使每行每列对角线上的字母都是ABCD
第4题 第5题 第6题
5．在下图的空格中填入适当的数，使每行、每列两条对角线上的三个数的和都等于18。
6．如图，一个方格表内每行、每列及每对角线上的三个数的和都相等。
那么x= 。
7．将图中的数重新排列，使每行、每列及每条对角线上的三个数的和都相等。
8
7
2
A B C C
D
*
21 23
30
×
24
7
2
5
2
2 2 5 5 5 8
8
8。