第九章 连续时间：微分方程
常微分方程
dy y
P(
x)dx,
ln | y | P( x)dx lnC1 ,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx (C eC1 )
17
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
线性齐次方程的通解是 Ce P( x)dx ,
（3）检验改进模型， 观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，
用实际问题检验该模型， 如果存在问题，则需研究， 改进模型.
27
例 冷却问题 将一个温度为50º的物体，放在20º的恒温 环境中冷却，求物体温度变化的规律.
解 冷却定律：“温度为T的物体，在温度为 T0 的环境中 冷却的速率与温差T T0成正比.” 设物体的温度T与时间 t的函数关系为 T T (t),
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程;
未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程.
方程中所出现的导数的最高阶数称为 微分方程的阶.
一般的n阶微分方程为 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
或已解出最高阶导数 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
9.4 微分方程的应用问题
例 把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度 处的气压成正比”所含关系表示出来.
解：第一步，设未知函数：
设大气压P和高度x之间的函数关系为 P P(x),
大气压随高度变化的速率为 dP
dx
第二步，根据条件写出方程 dP P, 为比例系数，
dx
第三步，取比例系数为正：因 dP 0， 故 0，
第九章 常微分方程
微分方程
#
例 例 求解微分方程 解 分离变量 dy dy 2 xy , 2 xdx , dx y
dy 两端积分 2 xdx , y
ln y x 2 C ,
#
例
例： 1 y 2 3 x 2 y dy 求通解 dx 解： y dy dx 分离变量 2 1 y2 3 x y dy dx 1 1 2 C 两端积分 2 2 1 y 2 2 3x 3x 1 y 得通解 注意
特别的，若n 0，即对任意的t R使得f ( tx,ty ) f ( x, y )， 则称f ( x, y )为变量x, y的0次齐次函数。
xy - y 2 例如，对于函数f ( x, y ) 2 ,因为f ( tx,ty ) f ( x, y )， x 2 xy xy - y 2 所以f ( x, y ) 2 为0次齐次函数。 x 2 xy
2
, C2
2
,
于是 C1 1.
§9.2最简单的微分方程 一阶微分方程的一般形式为 F(x,y,y)=0
若可解出y,则可写成显式方程 可分离变量方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程
y=f(x,y)
#
可分离变量方程
( g ( y )和 f ( x ) 连续）
分离变量方程： g( y )dy f ( x )dx
2
练习
2 : 在下列各题中，确定函 数关系式中所含的参数 ， 使函数满足所给的初始 条件：
(1) y (C1 C2 x)e 2 x , y x0 0, y x0 1;
( 2) y C1 sin( x C 2 ), y
解
x
1, y
30第九章 连续时间：微分方程
• 索罗—斯旺新古典增长模型 新古典生产函数 Y Y (K, L) 边际产品为正但递减
Y K
2Y 0, K 2
0
Y L
0,
2Y L2
0
一次齐次（规模报酬不变）性
Y (K,L) Y (K, L)
人均项目表示为
y (k)
净投资：
K I K S K sY K
同除 L可得
K / L sy k s(k) k
yk a
该非齐次方程的通解为 y(x) y y(0)eax
定义
• y(x) y，y 收敛于y ，y 的时间路径是稳定的
在上例中，当且仅当 a 0时，y(x) y
• 伯努利方程
dy ay cym dx
m 其中a 和 c为常数或者 x 的函数， 为任意除0和1之外的
实数，两边同除 ym 可得
形式 P(D)y 0的通解则非齐次方程 P(D) y f (x) 的通解
为 y yc yp 。
第3节 一阶常系数线性微分方程
最简单形式
dy ay f (x) dx
定理 其非齐次方程的特解为
y(x) eax x eas f (s)ds 0
特殊情形 dy ay k dx
其一个特解（潜在均衡点）为
dt
为常系数的一阶线性微分方程，一特解（潜在均衡点）为
通解为
P
ab
P(t) P cegt
其中c为任意常数而g (b a)
当且仅当 g 0时P(t) P ，因 0条件即为b a
在正常商品时，供给曲线不后仰，条件满足
• 马歇尔供求函数：
PD
a
Q a
PS
b
Q b
动态调整过程：
dQ dt
第九章偏微分方程差分方法汇总
第9章 偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。
由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。
偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。
差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。
本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。
9.1椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程G y x y x f yux u u ∈=∂∂+∂∂-≡∆-),(),,()(2222 （9.1）G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。
当f (x ,y )≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。
椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件),(y x nuβ=∂∂Γ （9.3） 第三边值条件 ),()(y x ku nuγ=+∂∂Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。
满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。
用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。
差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。
设G ={0<x <a , 0<y <b }为矩形区域，在x ,y 平面上用两组平行直线x =ih 1, i =0,1,…,N 1, h 1=a /N 1 y =jh 2, j =0,1,…,N 2, h 2=b /N 2将G 剖分为网格区域，见图9-1。
连续时间代数riccati方程
连续时间代数riccati方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：连续时间代数Riccati方程是一类重要的微分代数方程，广泛应用于控制理论、动力系统、信号处理等领域。
它可以描述系统状态随时间演化的动态过程，并在实际应用中发挥着重要作用。
本文将介绍连续时间代数Riccati方程的基本概念、求解方法和应用领域。
一、基本概念连续时间代数Riccati方程是一种特殊的矩阵微分方程，定义如下：\dot{P}(t) = -A^T P(t) - P(t)A - P(t)B R^{-1} B^T P(t) + QP(t)是一个对称矩阵，称为Riccati方程的解；A、B、R、Q分别是给定的矩阵，分别代表系统的状态矩阵、输入矩阵、状态-输入权重矩阵和状态-状态权重矩阵。
连续时间代数Riccati方程的特点在于，它不仅包含了状态矩阵的演化动态，还考虑了系统输入和权重矩阵对系统状态的影响。
Riccati 方程可以描述系统在连续时间下的状态演化规律，是控制理论中的重要工具。
二、求解方法对于一般的连续时间代数Riccati方程，其解并不容易求解。
针对特定情况下的Riccati方程，可以采用不同的方法进行求解。
常用的求解方法包括：1. Lyapunov方程法：将Riccati方程转化为Lyapunov方程进行求解；2. 反应敏感性法：通过求解线性化的Riccati方程，然后利用反应敏感性理论进行逼近求解；3. 近似法：将Riccati方程展开成级数，通过截断级数求解近似解。
这些方法在实际应用中都有其适用范围，可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
三、应用领域连续时间代数Riccati方程在控制理论、动力系统、信号处理等领域有着广泛的应用。
一些典型的应用包括：1. 线性二次型控制：Riccati方程是线性二次型控制理论的核心工具，用于设计最优控制器，实现控制系统的性能优化；2. 动态系统稳定性分析：通过求解Riccati方程，可以分析系统的稳定性和受控性，评估系统的运动特性；3. 鲁棒控制设计：Riccati方程在鲁棒控制设计中起着重要作用，可以设计具有鲁棒性能的控制器。
第9章 质量传递概论与传质微分方程2011
一、传质微分方程的推导
以双组分为例对传质微分方程进行推导。 (一)质量守恒定律表达式 据欧拉观点，在流体中取边长分别为 dx，dy， dz 的流体微元，该流体微元的体积为dxdydz。 以该流体微元为物系，周围流体为环境，进行 组分A 的微分质量衡算。 根据质量守恒定律，可得出组分A的衡算式为
(输入流体微元的质量流率)+(反应生成的质量流率)= (输出流体微元的质量流率)+(流体微元内积累的质量流率) 即 (输出-输入)+(积累)-(生成)= 0
2.费克第一定律(Fick’s first law) 对于组分 A 和组分 B 组成的混合物，如不考虑主体流动的影响 ，则根据费克第一定律，由浓度梯度所引起的扩散通量可表示为 d A j A DAB .......... ...9 13 dz jA—组分A 的扩散质量通量(即在单位时间内，组分 A 通过与扩散 方向相垂直的单位面积的质量)； dρA/dz —组分 A 在扩散方向的质量浓度梯度； DAB —组分 A 在组分 B 中的扩散系数。分子扩散系数DAB 仅是分 子 种类、温度与压力的函数。 式(9-13) 表示在总质量浓度ρ 不变的情况下，由于组分 A 的 质量浓度梯度 dρA/dz 引起的分子传质通量。“ - ” 号表明扩散 方向与浓度梯度方向相反，即分子扩散是朝着浓度降低的方向进 行。
Bu aB nA nB .......... .9 29
ρAu —组分A的主体流动质量通量； ρBu —组分B的主体流动质量通量；
1 cAum c A cAuA cBuB xA N A N B ........ 9 30 C
cBum xB N A N B .......... 9 31
连续时间模型的范式-概述说明以及解释
连续时间模型的范式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述连续时间模型是指在统计学和经济学中常用的一种模型，它考虑了事件或变量在连续的时间范围内的变化。
与离散时间模型相对，连续时间模型能够更准确地描述现实世界中事件和变量的发展趋势，因为它能够捕捉到时间的流动和连续性的特点。
在连续时间模型中，时间被视为一个连续的变量，可以被划分为无限数量的连续点。
这样的建模方式有助于我们更好地理解和预测一系列事件或变量在未来的发展。
例如，在经济学中，我们可以使用连续时间模型来研究股市的波动、利率的变化，甚至是宏观经济指标的趋势。
连续时间模型的应用非常广泛。
它在统计学中被广泛运用于时间序列分析、回归分析以及事件历史分析等领域。
在经济学中，连续时间模型可以用于研究经济周期、价格变动、金融风险等问题。
此外，连续时间模型在自然科学、社会科学以及工程学等学科领域也有着广泛的应用。
本文将在接下来的章节中对连续时间模型进行详细的讨论。
首先，我们将给出连续时间模型的定义，并介绍其基本概念。
随后，我们将探讨连续时间模型在实际问题中的应用，并举例说明。
最后，我们将总结连续时间模型的特点，并展望其在未来的发展趋势。
通过对连续时间模型的深入研究和理解，我们可以更好地掌握时间序列数据的特点和规律，为决策提供更准确的依据。
同时，对连续时间模型的掌握也能够促进学科的发展，为更广泛的领域带来更多的应用和创新。
1.2 文章结构本文将分为引言、正文和结论三个部分来探讨连续时间模型的范式。
下面将对每个部分的内容进行简要介绍。
引言部分将首先给出对连续时间模型的一个概述，介绍其基本概念和研究意义。
接着，会详细描述本文的结构安排，使读者能够清晰地了解整篇文章的组织架构。
最后，我们将明确本文的目的，即通过对连续时间模型的探讨，希望能够提供一种有价值的参考和指导，以促进连续时间模型的应用和未来发展。
在正文部分，首先会给出连续时间模型的定义，包括其基本原理和特点。
信号与系统中的连续时间系统分析
信号与系统中的连续时间系统分析信号与系统是电子工程、自动控制等领域重要的基础学科，与我们日常生活息息相关。
在信号与系统中，连续时间系统分析是其中的重要内容之一。
本文将着重介绍连续时间系统分析的基本概念、方法和应用。
一、连续时间系统的概念连续时间系统是指信号的取样频率大于或等于连续时间信号的变化频率，信号在任意时间均有定义并连续可取值。
连续时间系统包括线性系统和非线性系统两种，其中线性系统是一类常见且具有重要意义的系统。
二、连续时间系统的表示连续时间系统可以通过微分方程或差分方程来表示，其中微分方程常用于描述线性时不变系统，而差分方程常用于描述线性时变系统。
在实际应用中，可以通过拉普拉斯变换或傅里叶变换对连续时间系统进行分析和求解。
三、连续时间系统的性质连续时间系统具有多种性质，包括线性性、时不变性、因果性、稳定性等。
其中线性性是指系统对输入信号的响应是可叠加的，时不变性是指系统的输出与输入之间的关系不随时间的推移而改变。
四、连续时间系统的频域分析连续时间系统的频域分析是通过傅里叶变换来实现的，可以将时域中的信号转换为频域中的频谱。
通过频域分析，我们可以获得系统的幅频特性和相频特性，进一步了解系统对不同频率信号的响应。
五、连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析是通过微分方程或差分方程来实现的，可以确定系统的时域特性。
通过时域分析，我们可以获得系统的阶数、单位阶跃响应、单位冲激响应等关键信息。
六、连续时间系统的应用连续时间系统的分析在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在通信系统中，我们需要对信号进行调制、解调、编码、解码等处理，这些过程都需要借助连续时间系统的分析方法。
此外，连续时间系统的分析也在信号处理、图像处理、音频处理等领域有着重要的应用。
结语：连续时间系统分析是信号与系统学科中的重要内容，具有广泛的理论基础和实际应用。
通过深入学习连续时间系统的概念、表示、性质、频域分析、时域分析和应用，我们可以更好地理解和掌握信号与系统的基本原理和方法，为相关领域的研究和应用提供理论指导和技术支持。
《生物建模仿真》学习指南
《生物建模仿真》学习指南一、学习目的《生物建模仿真》是生物医学工程本科的专业基础课程，也是现代生物科学、医学、医学等相关专业教育教学的重要内容之一。
建模与仿真是分析、研究和设计各类系统，特别是诸如生命系统这类复杂系统的重要知识结构。
本课程的学习目的：1. 学习系统建模与计算机仿真的基本理论和方法。
2. 通过学习生物建模仿真的典型实例，学习和培养解决生物建模仿真实际问题的创新能力和实践能力。
二、课程理论部分学习指南课程理论学习分两个部分：第一部分包括第1章到第6章，内容是数学模型建模的基本理论和方法，计算机仿真的基本理论和方法，以及建模与仿真的校核、验证和确认（VV A）技术。
第二部分从第7章到第10章，通过学习生物系统建模仿真的4个典型范例，以点带面，培养应用建模仿真的基本理论与方法，解决生物系统实际问题的能力。
以下是理论课每个知识结构的主要内容、知识点、重点难点和学习质量的自我监测指标。
第1章生物建模仿真概论1. 学习目的了解建模仿真基本概念及生物建模仿真的研究与应用进展动态。
2. 学习内容(1)系统模型的定义、分类。
(2)系统仿真的基本概念、基本步骤、分类和计算机仿真。
(3)生物建模与仿真的研究与应用进展动态。
3. 知识点系统模型，计算机仿真4. 重点与难点系统建模的基本原理：模型与系统的相似性，根据建模要求定义相似性。
第2章系统的数学模型和建模方法2.1 数学模型的分类1. 学习目的学习数学模型的状态集合分类和时间集合分类。
2. 学习内容(1)数学模型的状态集合分类和时间集合分类。
(2)连续状态模型：连续时间模型，离散时间模型。
3. 知识点连续状态模型与离散事件模型，连续时间与离散时间模型4. 重点与难点连续状态模型中的连续时间模型，及其对应的时间离散计算机仿真模型。
5. 学习质量的自我监测标准：本章节自测与评估。
2.2 连续状态系统模型1. 学习目的学习连续状态系统中连续时间数学模型基本概念及其4类模型的数学表达式，了解对应的离散时间模型基本概念。
第九章 拉普拉斯变换 信号与系统
一、求解拉氏反变换的方法 1、留数定理；（这里不讨论） √ 2、由一些熟知的拉氏变换对，利用性质，求得 未知的拉氏变换，或它们的反变换。
√ 3、对于有理形式拉氏变换，最常用的是部分分 式展开法。
二、部分分式展开法求解拉氏反变换
思路：
单个单边复指数信号的拉氏变换是一些简单的 有理函数，其收敛域也是单纯的。
Im x(t) e-1t e-0t
0
s平面 Re
T2
t
性质6：如果x(t)是双边信号，而且如果 Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么ROC 就一定是由s平面的一条带状区域所组成， Re{s} 0 直线 位于带中。
Im
S-plane
R
Im
Re Im
L Re
R
L Re
L{ (t )} (t )e st dt 1
X ( s) 1
4 1 1 1 3 s 1 3 s 2 ( s 1) 2 , Re{s} 2 ( s 1)(s 2)
Im
-1
x
1 2
x
Re
请问：x(t)的傅立叶变换存在吗?
9.2 拉氏变换收敛域的性质 性质1:拉氏变换收敛域的形状：
Im
s平面
Re
时域信号x(t)的特点 有限长 左边时间信号
拉氏变换X(s)的ROC 整个S平面 某一左半平面
右边时间信号
双边时间信号
某一右半平面
某一带状收敛域
9.3 拉氏反变换 信号x(t)的拉氏变换为：
X( + j ) = F{x(t)e
- t
} = [x(t)e- t ]e-jt dt
第九章 拉普拉斯变换
各种 微分方程的概念及其解法
第九章微分方程第一节基本概念一.解释下列名词术语1．微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程.注意：（1）微分方程的一般形式：，在这个方程中是自变量，是的未知函数，是对的一阶、二阶、n阶导数；（2）方程中未知函数及自变量的记号可以不出现，如：；但未知函数的导数则必须出现.2.微分方程的阶：微分方程中所含的未知函数的最高阶导数的阶数.如：是一阶是二阶是n阶3.微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.例如：是的解.4.微分方程的通解：n阶微分方程的含有n个独立的任意常数的解.例如：是的通解；但是的解，而非通解.注意：这里要说明一下“两个常数独立”的含义----即对于任意给定的不同的的取值，则应得到不同的解，则称两个常数是互相独立的.之所以不是的通解，就是因为不是互相独立的.比如：取或者都可得到解.5.微分方程的初始条件：用来确定通解中的任意常数的一种定解的条件.一阶微分方程的初始条件通常为二阶微分方程的初始条件通常为例如：已知是的通解，可由初始条件通常为。
初始条件的个数与微分方程的阶数相同。
6.微分方程的特解：通解中所含的所有任意常数都确定后的解。
比如：是的满足初始条件的特解。
7.积分曲线：微分方程的解的图形（特解是一条积分曲线；通解是一组积分曲线）二。
用微分方程求解实际问题中的未知函数的步骤：1.建立微分方程和初始条件（难点）；------这通常使一部分同学感到为难，因为它除了需要数学知识之外，还往往要用到力学、物理学、化学、电学、工程技术等方面的知识，甚至还要用到语文的知识。
2.求通解；3.求特解。
我们这一章的重点是：给定一个微分方程，如何求其通解或特解.第二节一阶微分方程一.可分离变量的微分方程求解微分方程有一个特点：就是“对号入座”,什么样的微分方程，就用什么方法去解决,这几乎成了一个固定的格式.因此，判定所给的方程是什么类型就是首要问题。
这是本章的特点.今天，就给大家介绍一种最简单的一阶微分方程：可分离变量的微分方程.1.引例求解解：因为，所以是是的一个原函数。
连续时间信号与系统知识点总结
连续时间信号与系统是信号处理和通信系统领域的重要基础知识。
以下是关于连续时间信号与系统的一些核心知识点总结：
1. 信号的基本概念：包括信号的定义、分类（连续、离散、确定、随机）、信号的表示方法（波形图、时域表达式、频域表示等）。
2. 连续时间信号的运算：包括信号的加、减、乘、卷积等基本运算，以及信号的平移、反转、尺度变换等变换。
3. 系统的基本概念：包括系统的定义、分类（线性时不变、线性时变、非线性等）、系统的描述方法（微分方程、差分方程、传递函数等）。
4. 线性时不变系统的分析：包括系统的响应（零状态响应和零输入响应）、系统的稳定性、系统的频率响应等。
5. 连续时间傅里叶分析：包括傅里叶级数、傅里叶变换及其性质、频率域的信号分析等。
6. 系统函数的性质和表示方法：包括系统函数的极点、零点，以及它们对系统特性的影响。
7. 信号通过线性时不变系统的分析：包括冲激响应和阶跃响应的分析，以及信号的频谱分析和系统对不同类型信号的响应。
8. 滤波器设计：包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器的设计，以及滤波器的频率响应和群时延特性。
9. 采样定理与信号重建：包括采样定理的理解，以及由采样信号重建原始信号的方法。
10. 连续时间系统的模拟与实现：包括模拟电路和数字电路实
现连续时间系统的方法，以及模拟与数字系统之间的转换。
以上知识点为连续时间信号与系统的基础内容，掌握这些知识点有助于理解实际通信系统和信号处理应用的原理。
如需更深入的学习，建议参考相关的教材或专业课程。
连续时间系统的时域分析
连续时间系统的时域分析连续时间系统是一种基础性的数学模型，用于描述物理系统、电路和控制系统等的行为。
在实际应用中，我们经常需要对连续时间系统进行时域分析，以更好地理解它们的行为特性和设计控制系统。
时域分析是指在时间域上通过观察时域响应，分析系统的动态特性和稳态特性，进而对系统行为进行描述和分析的一种方法。
对于连续时间系统，一般采用微分方程或者传递函数的形式来描述系统，从而进行时域分析系统的微分方程形式为：$$\frac{d^n y(t)}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}}+\cdots+a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=b_m\frac{d^mx(t)}{dt^m}+\cdots+b_1\frac{dx(t)}{dt}+b_0x(t)$$其中，$y(t)$代表系统的输出，$x(t)$代表系统的输入，$a_i$和$b_j$是系数。
时域分析的主要目的是求解系统在单位施加输入的情况下的输出响应$y(t)$。
为了简单起见，我们这里主要关注一阶和二阶连续时间系统。
$$\frac{dy(t)}{dt}+ay(t)=bx(t)$$应用拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数：其中，$G(s)$代表系统的传递函数，$s$代表变换域变量。
通过求解系统的传递函数，我们可以得到系统的单位施加输入下的响应，进而进行时域分析，研究系统的动态和稳态特性。
$$\frac{d^2y(t)}{dt^2}+2\xi \omega_n\frac{dy(t)}{dt}+\omega_n^2 y(t)=x(t)$$其中，$\omega_n$代表系统的固有频率，$\xi$代表系统的阻尼比。
应用拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数：。
常微分方程教材
第九章 微分方程一、教学目标与根本要求（1） 了解微分方程与其解、通解、初始条件和特解的概念。
（2） 掌握变量可别离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程。
（3） 会用降阶法解以下方程：),(),,(),()(y y f y y x f y x f y n '='''=''=。
（4） 理解二阶线性微分方程解的性质以与解的结构定理。
（5） 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
（6） 会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以与它们的和与二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
（7） 会用微分方程解决一些简单的应用问题。
二、本章教学容的重点和难点1、理解和熟悉微分方程的一些根本概念；2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法；3、熟悉线性方程的根底理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法；4、会列微分方程与其始值问题去解决实际问题。
三、本章教学容的深化和拓宽：1、别离变量法的理论根据；2、常用的变量代换；3、怎样列微分方程解应用题；4、黎卡提方程；5、全微分方程的推广；6、二阶齐次方程；7、高阶微分方程的补充；8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解；9、求线性非齐次方程的一个特解；10、常数变易法。
本章的思考题和习题解以下方程〔第1-6题〕1、2)0(,)1(==+'+y x y y x2、()[]f dx x f e e x f xx x ,)(02⎰+=可微 3、21222sin 22sin 1X e y x y y x ++='•+ 4、0)3(24=+-xydx dy x y5、21)0(,1)0(,022-='=='+''y y y x y 6、2y y y x y '-'+'=7、可微函数)(x f 满足⎰-=+x x f f x f x x f dx x f 12)()1(,1)()()(和求； 8、)(,,1)(21)(10x f f x f da ax f 求可微+=⎰； 9、求与曲线族C y x =+2232相交成 45角的曲线； 10、一容器的容积为100L ，盛满盐水，含10kg 的盐，现以每分钟3L 的速度向容器注入淡水冲淡盐水，又以同样的速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器，多余的水便沉着器流出，问经过多少时间，两容器的含盐量相等？§9.1微分方程的根本概念一、容要点：先从实例引入建立几个微分方程的模型，引入微分方程的一系列概念；常微分方程：常微分方程的阶数、解、通解、全部解、特解、积分曲线族的定义；二、教学要求和注意点了解微分方程与微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解以与积分曲线说明1：一个微分方程加上初始条件和初值问题的解是对某实际问题两种等价的描述形式。
微积分课件（高教社版朱来义编）——第九章9-1
第9章微分方程初步§9.1 微分方程的基本概念§9.2 一阶微分方程§9.3 二阶常系数线性微分方程§9.4 微分方程在经济学中的应用§9.1 微分方程的基本概念一、问题的提出例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点),(y x M 处的切线的斜率为x 2,求这曲线的方程.解)(x y y =设所求曲线为x dxdy 2=∫=xdx y 2(1)2y =且,2C x y +=,1=C 求得.12+=x y 所求曲线方程为(1)2y =由条件⇒⇒⇒#例2 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度4.0−米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？解)(,t s s s t =米秒钟行驶设制动后4.022−=dtsd ,20,0,0====dt ds v s t 时14.0C t dtdsv +−==2122.0C t C t s ++−=代入条件v(0)=20120C ⇒=,202.02t t s +−=,204.0+−==t dtdsv ),(504.020秒==t 列车在这段时间内行驶了).(5005020502.02米=×+×−=s 开始制动到列车完全停住共需代入条件s(0)=020C ⇒=#含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
例,xy y =′,0)(2=++xdx dt x t ,32x e y y y =−′+′′,y x xz+=∂∂二、微分方程的定义联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)的关系式：()(,,,,)0n F x y y y ′= 微分方程的实质：微分方程的阶:分类1: 常微分方程& 偏微分方程。
,0),,(=′y y x F );,(y x f y =′,0),,,,()(=′n y y y x F ).,,,,()1()(−′=n n y y y x f y 分类2: 一阶微分方程& 高阶(n阶)微分方程。
第九章 拉普拉斯变换分解
X ( s) L{x(t )}
几个典型信号的拉氏变换
(1) x(t ) e u(t )
at
1 X ( s) sa 1 X ( s) sa
Re{ s} a Re{ s} a
(2) x(t ) e u(t )
at
1 (3) x(t ) u (t ) X ( s ) s
例
1 X (s ) (s 1)(s 2)
求其可能有的所有的收敛域
Im s平面 Im s平面 Re
× × -2 -1
× × -2 -1
Re
1 X (s ) (s 1)(s 2)
Im s平面
Im
s平面
Re × × -2 -1 Re
× × -2 -1
1 X (s ) (s 1)(s 2)
能应用拉氏变换分析具体电路。
9.0 引言 Introduction
连续时间对应的复频域是用直角坐标 s j 表示的复数平面，简称为S平面或 连续时间复频域（s域）.
• S平面上的每一个点s都代表一个复指数信号 e st , 整个S平面上所有的点代表了整个复指数信号集。
S平面
j 0
0
Im s平面 Re
• 性质5：如果x(t)是左边信号，而且如果 • Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么 • Re{s} 0 的全部s值都一定在ROC内。
Im x(t) e-1t e-0t
0
s平面 Re
T2
t
性质6：如果x(t)是双边信号，而且如果 Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么ROC 就一定是由s平面的一条带状区域所组成， Re{s} 0 直线 位于带中。
时序微分方程
时序微分方程
时序微分方程是描述时间序列数据变化的微分方程。
在金融领域，时序微分方程通常用于描述股票价格、利率等金融变量的动态变化。
时序微分方程的一般形式为：
dYdt=f(t,Y)dYdt = f(t, Y)dYdt=f(t,Y)
其中，Y(t)Y(t)Y(t) 表示时间序列数据，f(t,Y)f(t, Y)f(t,Y) 是关于时间ttt 和状态YYY 的函数，描述了时间序列数据的动态变化规律。
求解时序微分方程的方法有多种，包括欧拉法、龙格-库塔法等数值方法，以及解析解法。
具体求解方法需要根据具体问题选择。
在金融领域，时序微分方程的应用非常广泛。
例如，股票价格的动态变化可以用时序微分方程来描述，通过求解方程可以预测股票价格的走势。
此外，利率的变动、外汇汇率的变化等也可以用时序微分方程来描述和预测。
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c c 2 4d (b )
m 两根都为负，时间路径收敛，若两根相等， 1 m2 c / d 都小于零，其时间路径也为收敛的。最后，如果为共轭复 数，其实数部分c / d 小于零， P 的时间路径同样为收敛 的，尽管此时带有不断衰减的循环。
第7节 高阶线性微分方程
• 高阶微分方程
Y 2Y 0, 2 0 K K
Y 2Y 0, 2 0 L L
一次齐次（规模报酬不变）性
Y ( K , L) Y ( K , L)
人均项目表示为
y (k )
净投资：
K I K S K sY K
同除 L 可得
• 瓦尔拉斯均衡
• 马歇尔
• 瓦尔拉斯线性模型：
动态调整过程 dP (QD QS ) dt 代入可得
QD aP QD bP
0
dP (a b) P ( ) dt
为常系数的一阶线性微分方程，一特解（潜在均衡点）为
P
• 情形2：相等实根 辅助方程有相等实根m1 m2 r ，则该齐次方程的通解为
y (c1 c2 x)e
rx
• 情形3：共轭复根 辅助方程根为共轭复根m1 a bi 和 m2 a bi ，齐次方程 的通解为
y eax (c1 cos bx c2 sin bx)t
其中 为任意常数而g (b a) 当且仅当 g 0时 P(t ) P ，因 0 条件即为b a 在正常商品时，供给曲线不后仰，条件满足 • 马歇尔供求函数： Q
c
PD
a Q PS b b
a
其中 y1 不是 y 2的常数倍，则该方程的通解为 y c1 y1 c2 y2 ， 其中 c1 , c2 为任意常数 • 定义 m2 pm q 0 • 辅助方程:
• 情形1：不等实根 定理 辅助方程根为不等实根m1和 m2，则该齐次方程的通解为
y c1e
m1 x
c2e
m2 x
• 特殊情形
d2y dy p q k 2 dx dx
特解（潜在均衡点）
k y q
p 2 4q 情形1：
不等实根， y y c1e m1x c2e m2 x 当且仅当两根都小于零时， y 收敛于 y ，时间路径稳定， 否则爆炸式，无循环和波动 p 2 4q 情形2： 相等实根，
K / L sy k s (k ) k
而 那么 • 即
K knL Lk
k s (k ) (n )k
k (n )k s (k )
潜在均衡（稳态）处
k 0
稳态人均消费
c* (k * ) (n )k *
d2y dy 2 y e x 3x dx 2 dx
辅助方程为
m2 2m 1 0
重根 m1 m2 1
，通解为
y (c1 c2 x)e x x 对于右边的xe x ，先尝试特解 y ce ，已出现在通解中， y cxe 也出现在通解中，尝试 y cx 2e x 而
y y eax (c1 cos bx c2 sin bx)
第6节 经济学应用：动态供求模型
QD a bP cP dP
a 0, b 0
0, 0
QS P
供求相等可得
dP cP (b ) P a
P
m1 m2 p / 2 r
通解为
y y c1e c2 xe
rx
rx
当且仅当r 0 ，y 收敛于 y ，否则时间路径发散，都无 循环 2 情形3： p 4q m m 共轭复根， 1 a bi ， 2 a bi ，通解为
存在循环，若 a 0 ，逐渐衰减的循环收敛于 y ，若 a 0 不变振荡的循环而不收敛，若 a 0 ，则不断扩 张的循环而发散。
• 非齐次方程的特解 待定系数法实质上是根据函数对特解进行有依据的猜测。 •
• 待试特解
待试特解
f ( x)
. .
ca
x
a
x
c1 sin bx c2 cos bx
sin bx或者cosbx
a0 a1 x an x n
a x sin bx 或者a x cos bx
c0 c1 x cn x
1 dz 6z 7 2 dx
其解为
z c1e
原方程的解为
12 x
7 6
12 x 7 y c1e 6
1/ 2
第4节 利用一阶微分方程进行动态 经济分析
• 在供求模型背后的动态变化 瓦尔拉斯供求模型 需求函数： QD QD ( P) 供给函数： QS QS ( P) 动态假设：价格随着剩余需求的变化而变化 马歇尔供求模型 需求函数： PD PD (Q) 供给函数：PS PS (Q) 动态假设：数量会随着购买者愿意支付的价格与供给者愿 意接受价格之间的差异变化而变化
• 常系数微分方程 齐次形式 • 定理 n 阶线性常微分方程（线性或者非线性）的通解是 x的函 数 y ，其中刚好有个任意常数。 ，其中 c1 , , cn 为任意常数 y y( x; c1 ,, cn )
• 初始条件与特解
第2节
线性微分方程
求导数学算子 D 线性算子 P( D) D n a1D n 1 an1D an • 则一般 n 阶线性常微分方程可写作 D n y a1D n 1 y an1Dy an y f ( x) 也可写作
特解（潜在均衡值）
a b
辅助方程
dm cm (b ) 0
2
辅助方程的根为
c c 2 4d (b ) m1 , m2 2d
若d 为正，则平方根符号下部分正负符号为
(ve) (ve)(ve) ve
从而具有不同实根，其中一个根大于零，则价格的时间路 径是发散。 若d 为负，不能判断根的情况，若为不同实根而 c 0 ， 那么
可得
1 c 2
2 x
此部分的特解为 y x e 对于3x ，尝试
/2
y c1 c2 x
c 可得c2 3 ，1 6 ，此部分特解为 y 6 3x，该非齐 次方程所求特解为
y 6 3x x 2e x / 2
此方程的通解为
y (c1 c2 x)e x 6 3x x 2e x / 2
定义
•
y( x) y，y 收敛于 y ，y 的时间路径是稳定的
y 在上例中，当且仅当 a 0 时， ( x) y
• 伯努利方程
dy ay cy m dx 其中 a 和 c 为常数或者 x 的函数， m 实数，两边同除 y 可得
m为任意除0和1之外的
y
令
从而
m
dy ay1m c dx
k *为 s 的函数，有
k * k * ( s)
则
dk * / ds 0
c* ( s) (k * ( s)) (n )k * ( s)
求最大化稳态消费水平的储蓄水平
• 稳态
dc* dc* dk * dk * * * ( (k ) ( n )) ds dk ds ds
a1 a3
第8节 非线性微分方程的定性分析
• 一阶微分方程组：
y1 ( x) f ( y1 , y2 )
y2 ( x) g ( y1 , y2 )
自治方程组 • 相图分析 暂设 f ( y1 , y2 ) 0 和 g ( y1 , y2 ) 0 y2 ( x) 0 的图像
当且仅当h 0 时Q(t ) Q
，因 0 ，条件也即
在通常情况下这一条件也满足 • 但在吉芬物品与正斜率供给曲线，或者后仰供给曲线与正 常物品相联系时，两动态假设冲突，一方认为价格和数量 时间路径稳定，而另一方认为其不稳定。
1 1 b a
• 索罗—斯旺新古典增长模型 新古典生产函数 Y Y ( K , L) 边际产品为正但递减
n
a x (c1 sin bx c2 cos bx)
a x (c0 c1 x cn x n )
a x (a0 a1 x an x n )
• 使用规则： （i）如果 f ( x)为几个不同函数的和，应该分别处理这些函 数然后将所得到的特解相加。 （ii）如果待试特解中包含的函数为齐次方程的通解，则 该待试特解需要乘上 x 后再试，如果仍然存在这个问题， 则再乘 x 。 • 例
dny d n 1 y dy a1 n 1 an1 an y k dx n dx dx
• 辅助方程
mn a1mn1 an1m an 0
当且仅当且仅当所有的实根或者所有根的实数部分都为负 时其时间路径收敛。
• Routh定理 n 次多项式方程
第九章 连续时间：微分方程
第1节 定义
• 微分方程就是涉及导数的方程 dy x5 dx
d2y dy 3x 2 y 0 dx 2 dx
2 z 2 z 2 x2 y x 2 y
• 偏微分方程，常微分方程
•
n 阶线性常微分方程
dny d n 1 y dy a1 n 1 an 1 an y f ( x) dy n dy dy
z y1 m
dz dz dy dy (1 m) y m dx dy dx dx
则微分方程可写为
1 dz az c 1 m dx
dy 6 y 7 y3 dx