直线与圆锥曲线相交
圆锥曲线计算方法总结
考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特14分. 高考圆锥曲线压轴题型总结直线与圆锥曲线相交，一般采取设而不求，利用韦达定理，在这里我将这个问题分成了三 种类型，其中第一种类型的变式比较多。
而方程思想，函数思想在这里也用得多，两种思 想可以提供简单的思路，简单的说就是只需考虑未知数个数和条件个数 ，。
使用韦达定理时需注意成立的条件。
题型一：条件和结论可以直接或经过转化后可用两根之和与两根之积来处理 1. 福建 直线l ：x 1，P 为平面上的动点，F(1,0)过P 作直线uuu uuu uuu umr l 的垂线，垂足为点 Q ，且QPgQF FPgFQ .(I)求动点P 的轨迹C 的方程；uur uuu(n)过点 F 的直线交轨迹 C 于A, B 两点，交直线I 于点M ，已知 MA ,AF ,uur muMB 2BF ，求i 2的值；本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识, 征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力•满分解法一：(I)(x i,o )g2. (n)设直线 x my 1(m 设 A(X 1, yj ,2 联立方程组4x, my ，消去x 得: 1,y 2 4my 4 0, ( 4m)2 12 0，故 y V 2 4m, uuur uuu uur uuu由MA 1 AF , MB 2BF 得: yy 4.2 2 2 y 1 1y 1 ,y 22y 2，整理得：11 -m mmy 12 4m2 g - 0.m 4uu uur uuu uur ujur uuu uju 解法二: (I)由 QPgQF FPgFQ 得： FQg[PQ PF) 0,uur uuu uur uuuuO 2 uur 2 (PQ PF)g(PQ PF) 0, PQ PF 0,21丄, my 22 UJ U PQUULTPF •所以点 P 的轨迹C 是抛物线,UUTuuur UULT UUT(n) 由已知MA 1AF ,MB2BF ，得由题意，轨迹 C 的方程为：y 2 4x .1g 2 0 .(全国卷I))已知椭圆的中心为坐标原点 O , OA OB 与 a 2. 点F 的直线交椭圆于A 、B 两点, (I)求椭圆的离心率；(n)设M 为椭圆上任意一点，且 2y_ uiuu OM uu u OA 焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦 (3, 1)共线。
直线与圆锥曲线的位置关系(总结归纳)
y＝±
33x，
∴有－ 33≤k≤ 33.
• 答案：C
• 【例1】 已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一 个公共点，求实数a的值．
解• 析分证：联结析立论：方程．先组用yy2＝＝代(aax＋数. 1)方x－法1，即联(1)立当 a方＝0程时，组此解方程决组恰，有再一组从解几为何xy＝＝上10.，验
两式相减可得yx11－－yx22·yx11＋＋yx22＝－ba22，即 kAB＝－ba22xy00
.
x2 y2 类似的可得圆锥曲线为双曲线a2－b2＝1
时，有
kAB＝ab22yx00.
2px0
圆锥曲线为抛物线 y2＝2px(p＞0)时，有 kAB＝ y0 .
求椭圆
x2 9
y2 4
1 被点
Q(2,1)平分的弦 AB
1.直线y=kx-k+1与椭圆 x2 y2 1 的位置关系为( A )
(A) 相交 (B) 相切 9 (C)4相离
(D) 不确定
2.已知双曲线方程x2-y2=1，过P(0，1)点的直线l与双曲线
只有一个公共点，则l的条数为( A )
(A)4
(B)3
(C)2
(D)1
3.过点(0，1)与抛物线y2=2px(p＞0)只有一个公共点的直线
a
为
4 0，－1，－5时，
直线 y＝(a＋1)x－1 与曲线 y2＝ax 恰有一个公共点．
三、弦的中点问题
x2 y2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆a2＋b2＝1 上不同的两点，
且 x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为 AB 的中点，则xaxa212222＋＋ybyb212222＝＝11，.
过点的直线与圆锥曲线有且仅有一个交点的判别方法
过点的直线与圆锥曲线有且仅有一个交点的判别方法作者：黄志宁来源：《中学教学参考·理科版》2011年第10期点、直线与圆锥曲线的位置关系是高中数学的重要内容，怎样才能学好这部分知识，我认为必须掌握好如何判别过点的直线与圆锥曲线的位置关系，以及直线与圆锥曲线有且仅有一个交点的判别方法.通过本人多年的研究，总结出求过点作直线与圆锥曲线有且仅有一个交点的直线方程的解法必须同时具备以下三个步骤：第一步是确定点与圆锥曲线的位置关系，确定直线的条数；第二步是判断直线与圆锥曲线的位置关系；第三步是确定直线与圆锥曲线有且仅有一个交点的情况.以下针对三种不同类型的题型进行探讨一、直线与圆或椭圆直线与圆或椭圆有且仅有一个交点，只有相切时才成立.（注意利用判别式为零或斜率不存在的情况）针对点P（m,n）与椭圆＞b＞0)时，①点P在椭圆内，不存在；②点P在椭圆上，只有一条直线，即；③点P在椭圆外时，有两条直线且为切线，利用点斜式求出斜率即可，注意切线垂直于x 轴时的情况【例1】求过点P（0,4）与椭圆有且仅有一个交点的直线方程解：把点P代入椭圆方程的左边得016+169=169＞1，∴点P在椭圆外，有两条直线与椭圆相切设切线方程为：y-4=kx，即y=kx+4，代入椭圆方程得，(9+-∴即∴切线方程为y=±74x+4,所求的直线方程为二、直线与双曲线直线与双曲线有且仅有一个交点有两种可能，即直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行且与双曲线相交针对点P（m，n）与双曲线-而言（1）当P点在双曲线内时，能作两条分别与渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点，此时，可以利用点斜式求出直线方程（2）当P点在双曲线上时，能作出三条直线，其中两条为与渐近线平行的交线，一条为双曲线的切线，此时，可以利用点斜式求出交线方程.切线方程利用点斜式求出或用公式-求出（注意当P点在双曲线顶点时切线方程x=a或x=-a）（3）当P点在双曲线外时：①点P只在一条渐近线上时，能作出两条，其中一条为切线（注意斜率不存在的切线），另一条为平行于另一条渐近线的交线②点P在两条渐近线的交点上时，不能作出直线与双曲线有且只有一个交点③点P不在渐近线上时，能作四条，其中两条是切线，两条是与渐近线平行的直线，此时切线可以利用点斜式求出直线方程（注意斜率不存在的切线）【例2】已知双曲线方程-，针对P（m，n）所在平面的位置，求出过点P引直线与双曲线有且只有一个交点的直线方程.①P(3,0)；②P(1,1)；③P(0,0)；④解：选②.把点P代入双曲线方程的左边得14-14=0＜1，则点P在双曲线外双曲线的渐近线方程为：y=±x，可知点P在双曲线的一条渐近线上,则能作出两条满足条件的直线，其中一条为切线，另一条为平行于另一条渐近线的交线交线为：y-1=-(x-1),即y=-设切线为：y-1=k(x-1)，即y=kx+(1-k)，代入双曲线方程得：-［kx+(1-k)］--2k(1-k)x--2k+5)=0.当(1-时,即k=1或k=-1，此时平行于渐近线的直线为y=x(不合题意舍去)或y=-x+2；当(1-时，则由［2k(1-k)］--2k+5)=0得-5=0，则k=-53,k=1(不合题意舍去切线方程为：y=-53x+83.综合所求直线方程为：y=-53x+83或y=-三、直线与抛物线直线与抛物线有且仅有一个交点的两种可能分别是相切和直线平行于抛物线的对称轴针对点Q(m,n)与抛物线而言：（1）当点Q（m,n）在抛物线内时，有且只有一条直线，即y=n，平行于对称轴；（2）当点Q(m,n)在抛物线上时，有两条，其中一条为切线，一条为交线，且交线为y=n.切线时，利用点斜式就可以求出切线方程，或利用公式即：，或利用求导数的方法求斜率；（3）当点Q(m,n)在抛物线外时，有三条.其中两条为切线，一条为交线，交线的方程为y=n，切线时，注意点Q是否在y轴上，利用点斜式就可以求出切线方程【例3】已知抛物线，过点Q（2，3）作一直线与抛物线有且只有一个交点，求这条直线的方程解：把点Q的坐标代入抛物线方程得：左边右边∴左边>右边,∴点Q在抛物线外∴过点Q可以作三条直线与抛物线有且只有一个交点，其中有两条是切线及一条是交线∵Q点不在y轴上，∴交线为y=3，与抛物线有且只有一个交点将切线设为：y-3=k(x-2)，则y=［kx+(3-2k)］，代入抛物线方程得:［kx+(3-2k)］，即--3k+1)x+(3-∵k≠0，∴Δ＝---即-6k+1=0,则k=34±54,故切线为y-3=(34±54)(x-2).综合所求直线方程为：y=3，y-3=(34±54)(x-综合上述过一点引直线与圆锥曲线有且仅有一个交点的情况，首先是判断点与圆锥曲线的位置关系，其次判断能引几条与圆锥曲线有且仅有一个交点的直线，最后利用点斜式设切线方程，解一元二次方程组，二次项系数为零或判别式为零求斜率，从而求出直线方程由于点、直线与圆锥曲线的位置关系与其他知识联系既多又广，因此，它的题型多而又活，常考常新.所以，掌握好点、直线与圆锥曲线的位置关系是很有必要的.希望同学们可以根据上述内容，寻找到适合自己的解决点、直线与圆锥曲线的位置关系的判别方法(责任编辑金铃）。
直线与圆锥曲线
直线与圆锥曲线1．从几何的角度看，可以分：直线与圆锥曲线有两个不同公共点，仅有一个公共点，无公共点； ⑴有两个公共点，就是相交，直线被圆锥曲线截得的线段称为曲线的弦； ⑵仅有一个公共点，对于圆和椭圆来说，表示直线与其相切； 对于双曲线来说，表示直线与其相切或与渐近线平行； 对于抛物线来说，表示直线与其相切或平行于对称轴； ⑶无公共点，就是相离；2．从代数的角度看，将表示直线的方程0Ax By C ++=代入到圆锥曲线的方程()0f x y =，中，消去一个变元y （或x ）后，得到方程20ax bx c ++=；⑴若0a =，当圆锥曲线是双曲线时，说明直线与其渐近线平行； 当圆锥曲线是抛物线时，说明直线与其对称轴平行； ⑵若0a ≠，记24b ac ∆=-，则 0∆>，说明直线与圆锥曲线相交； 0∆=，说明直线与圆锥曲线相切； 0∆<，说明直线与圆锥曲线相离；知识梳理第10讲直线与圆锥曲线3．斜率为k 的直线与圆锥曲线()0f x y =，相交，将两者方程联立，消去y ，得到方程20ax bx c ++=，则弦长公12x x -=；4．当过定点00()P x y ，的直线斜率可能不存在时，为避免分类讨论，可以设斜率的倒数为m ，把直线方程写成x my n =+；这种形式的方程能够表示斜率不存在的情形，但不能够表示斜率为0的情形． 此时同样代入圆锥曲线方程，消去x ，得到20ay by c ++=．5．在计算圆锥曲线内接三角形面积时，我们常常用到下面这些计算公式：111sin sin 222ABC S dl d l ll αθ''===△由三角形的面积容易推出圆锥曲线内接四边形的计算公式：1sin 2ABCD S AC BD α=⋅（其中α为对角线夹角）特别地，对角线互相垂直的四边形的面积为ABCD S =12AC⋅<教师备案>直线与圆锥曲线的位置关系：⑴讨论直线与圆锥曲线的位置关系一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立成方程组，消元（x 或y ），若消去y 得到20ax bx c ++=，讨论根的个数得到相应的位置关系，这里要注意的是： ①二次项系数a 可能有0a =或0a ≠两种情况，（例外情形：当圆锥曲线为双曲线且直线平行于渐近线时，或者当圆锥曲线为抛物线且直线平行于对称轴时，二次项系数为0）只有当0a ≠，才能用∆判断根的个数；②直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但有一个公共点不一定相切．经典精讲⑵在讨论直线与双曲线的交点时，要注意数形结合的方法，结合图象作出判断有时更方便快捷，要注意双曲线的渐近线的斜率，以及直线与渐近线的斜率比较．⑶当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．尖子班学案1【铺1】 ⑴若直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为________．⑵过定点(01)，且与双曲线224x y -=的两支各有一个公共点的直线l 的斜率的取值范围________．【解析】 ⑴1m ≥且5m ≠ ⑵()1,1-考点：直线与圆锥曲线的位置关系【例1】 ⑴过定点(01)-，且与抛物线24y x =有且只有一个公共点的直线有_____条；．⑵过点()4,4P 且与双曲线221169x y -=只有一个交点的直线有______条．⑶已知两定点(10)M -，，(10)N ，，若直线上存在点P ，使得||||4PM PN +=，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的是． ①1y x =+②2y =③3y x =-+④23y x =-+⑷（海淀一模文8）若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则l 与下列曲线一定有公共点的是（）A ．22(1)1x y -+=B ．2212x y +=C ．2y x =D ．221x y -=【解析】 ⑴3；⑵4 ⑶①④ ⑷B<教师备案>直线与圆锥曲线问题的基本方法：直线与圆锥曲线的问题尤其是相交问题，最基本的方法分为两种：⑴代入法；即联立直线与圆锥曲线的方程，把直线的方程代入后者消去一个变元（通常是y ），得到关于x 的二次方程，二次方程的根即代表交点的横坐标，然后用韦达定理与坐标运算去求解交点的相关问题； 代入法的优点：适用性强，基本上对于任何问题都能适用；代入法的缺点：通常计算量较大，当方程含参时，坐标运算比较复杂； 在与弦长有关的问题中，通常采用代入法． ⑵点差法：以直线与椭圆相交为例，设出交点的坐标()A A x y ，，()B B x y ，，由于这两者都满足椭圆方程，相减就得：22222222A B A B x x y y a a b b ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，再利用平方差公式就得：22A B A BA B A By y x x b x x a y y -+=--+ 若设AB 的中点为M ，就得到了斜率与AB 中点坐标的一个简单关系式：22M Mx b k a y =-；这种方法称为点差法．点差法的优点：计算量非常小；点差法的缺点：适用范围非常狭窄，通常只能用来解决中点弦问题，或者斜率与坐标和密切相关的问题；而且点差法的变换过程不是等价的，需要考虑是否有0∆>；在与中点弦有关而且不太需要交点坐标运算的问题中，可以考虑使用点差法．考点：代入法与点差法【例2】 ⑴已知椭圆22143x y +=的右焦点为F ，过F 且倾斜角为45︒的直线与椭圆相交于A B ，两点，则弦长AB =________．⑵直线l 与椭圆22184x y +=交于两点A B ，，AB 的中点坐标为(11)-，，则直线l 的方程是．⑶ABC △的三个顶点都在抛物线24y x =上，A 点与原点重合，且三角形重心恰为抛物线的焦点，则三角形的周长是．⑷经过抛物线2y x =上一点(42)A -，引两条直线1l 和2l ，与抛物线分别交于M 、N 两点，若1l 与2l 的斜率互为相反数，则直线MN 的斜率为．【解析】 ⑴247； ⑵230x y --=⑷14【例3】 （石景山一模文19）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）右顶点到右焦点的距离为1-，短轴长为 ⑴求椭圆的方程；⑵过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若线段AB，求直线AB 的方程． 【解析】⑴椭圆方程为22132x y +=．⑵直线AB0y -+=0y +=．目标班学案1【拓2】 （东城二模文19）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1(1,0)F -，长轴长与短轴长的比是2⑴求椭圆的方程；⑵过1F 作两直线m ，n 交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，若m n ⊥，求证：11AB CD+为定值． 【解析】⑴椭圆方程为22143x y +=．⑵由⑴知()11,0F -，当直线m 与x 轴重合时，此时3,4AB CD ==，11AB CD +1173412=+=． 当直线m 不与x 轴重合时，设直线m 的方程为：1x my =-． 由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2234690m y my +--=．由直线过椭圆内定点1F 知一定有0∆>．则有()2212134m AB m +==+．在上式中用1m -代换m ，同理可知()2212143m CD m +=+． 所以11AB CD +()()22223434712121121m m m m ++=+=++． 综上，11AB CD +为定值712．【例4】 ⑴连接抛物线24x y =的焦点F 与点(1,0)M 所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则OAM △的面积为（ ）A ．1-B ．32C ．1D ．32⑵过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OAB△的面积为___________．⑶已知抛物线24y x =，点()4,0M 关于y 轴的对称点为N ，直线l 过点M 交抛物线于A 、B 两点．则ANB △面积的最小值为________．【解析】 ⑴ B⑵53； ⑶32【例5】 （丰台二模文20）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点()01，，过右焦点F 且不与x 轴重合的动直线l交椭圆于A 、C 两点，当动直线l 的斜率为2时，坐标原点O 到l ． ⑴求椭圆的方程；⑵过F 的另一直线交椭圆于B 、D 两点，且AC BD ⊥，当四边形ABCD 的面积169S =时，求直线l 的方程．【解析】 ⑴椭圆的方程为2212x y +=．⑵直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．尖子班学案2【铺1】 若已知点(C ，平行于CO 的直线l 和椭圆221124x y +=交于M 、N 两个不同点，当CMN △面积取最大值时，求直线l 的方程．【解析】 直线l 的方程为0x y +±=．【例6】 （西城二模文19）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．⑴求椭圆C 的方程；⑵过点(0,2)P 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求AOB △（O 为原点）面积的最大值．【解析】⑴椭圆C 的方程是2213x y +=．⑵AOB △． 【点评】本题求面积也可以用传统面积公式点O 到直线AB的距离d =，弦长12AB x x -，【备选】（朝阳一模文19）已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左右焦点分别为()12,0F -，()22,0F ．在椭圆M 中有一内接三角形ABC ，其顶点C 的坐标)1，AB ． ⑴求椭圆M 的方程；⑵当ABC △的面积最大时，求直线AB 的方程．【解析】 ⑴椭圆M 的方程为22162x y +=．⑵直线AB 的方程为y =过定点312P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，的直线l 与抛物线24y x =相交所得的弦长为4，求直线l 的方程．【解析】 错解：设直线的斜率为k ，直线的方程可以写成3(1)2y k x +=-，与抛物线方程联立消去y ，得： 22223(234)02k x k k x k ⎛⎫-++++= ⎪⎝⎭222223(234)416241602k k k k k k ⎛⎫∆=++-+=++> ⎪⎝⎭恒成立； 然后得弦长4s ==化简得323321022k k k +++=，即2(1)(32)0k k k +++=，1k =-；所以直线方程为3(1)2y x +=--，即102x y ++=．【点评】 上面的误解中，设直线斜率时没有讨论斜率是否存在；若斜率不存在，则直线方程为1x =，与抛物线的两个交点为(12)±，，弦长正好也为4，所以满足题意的直线有两条：1x =或者102x y ++=．在设直线方程时，如果是用点斜式或者斜截式，一定要讨论斜率是否存在．（北京文19）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>()0，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为(32)P -，．⑴求椭圆G 的方程； ⑵求PAB △的面积．【解析】 ⑴椭圆G 的方程为221124x y +=．⑵PAB △的面积92S =．【演练1】若直线4mx ny +=和圆O ：224x y +=仅有一个交点，则过点()m n ，的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为________．【解析】 1或2【演练2】已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA与FB 的比值等于．【解析】3+【演练3】已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A ，B 是C 上的两个点，线段AB 的中点为()22M ，，则ABF△的面积等于．【解析】 2实战演练真题再现【演练4】已知双曲线E 的中心为原点，(30)F ，是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(1215)N --，，则E 的方程为（）A ．22136x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22154x y -=【解析】B【演练5】（西城一模文19）已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点(40)M ，．⑴若点F 到直线ll 的斜率；⑵设A B ，为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值．【解析】 ⑴l的斜率为2±． ⑵设线段AB 中点的坐标为00()N x y ，；因为AB 不垂直于x 轴，则MN 的斜率为004y x -，直线AB 的斜率为04x y -； 但另一方面，22044244A B A B AB A B A BA B y y y y k y y x x y y y --====-+-； ∴00042x y y -=，∴02x =；即AB 中点的横坐标恒为定值2． 【演练6】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1F 、2F 为左右焦点，点A 是椭圆上位于第一象限的点，且满足2AF x ⊥轴，直线AO 交椭圆于点B ，若2ABF △的面积为【解析】 椭圆方程为221168x y +=．（上海交大自主招生考试）已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上，试求AB 的中点M 到y 轴的距离最短时M 点的坐标．【解析】 如图所示，抛物线的焦点为104F ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程为14x =-；过A M B ，，分别作准线的垂线，垂足为P R Q ，，；大千世界则()111424M x MR AP BQ =-=+-()1124AF FB =+- 115244AB -=≥等号成立当且仅当A F B ，，共线，即AB 过焦点F ．设此时AB 的方程为14x my -=，与抛物线方程联立得214y my =+，∴A B y y -∴231A B AB y m =-=+，m =；∴()21152422424A B A B M M y y y y mm x y m ⎛⎛⎫++⎛⎫=+=+=± ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，∴M 点的坐标为54⎛± ⎝⎭，．。
直线与圆锥曲线的位置关系(一)概要
处理圆锥曲线的有关问题要注意设法 减少运算量，本题所求椭圆焦点未定，可 能在x轴上，也可能在y轴上，本题解法运 用待定系数法，避免了两种情况的讨论；
另外，本题解法中对交点采取“设而不求” 的方法，灵活运用韦达定理，从而简化了 运算过程，以上是处理此类问题的常用技 巧，应很好地体会。
例4、直线y-ax-1=0和曲线3x2-y2=1相交，交 点为A、B，当a为何值时，以AB为直径的圆经过 坐标原点。
故 | AB | 2 | x1 x2 | 2
( x1 x2 ) 4 x1 x2
2
90 2 369 192 2 ( ) 4 , 7 7 7 80 2 2 从而 | FC | ( x0 5) y0 2. 7
例3. 已知椭圆中心在原点, 焦点在坐标轴上, 直线y x 1 与该椭圆相交于P, Q, 且OP OQ,| PQ | 10 , 求椭圆方程. 2
当点P落在其它区域时，以点P为中点的弦存在。
检验方法：将求出的直线与曲线联立，看△ >0?
x2 y 2 例2.过双曲线 1的右焦点F作倾角为 的弦AB, 9 16 4 求弦长 | AB | 及弦AB的中点C到F的距离.
解：双曲线焦点为F（5，0），故AB方程为y=x-5,代 入双曲线方程消去y得： 7 x2 90 x 369 0,
90 369 又设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x0 , y0 ), 则x1 x2 , x1 x2 , 7 7
2 2a (a +1) +a +1=0 2 2 3a 3a
2
解得a=±1.
2 2 练习1.设0< < ,曲线x sin y cos 1和 2 2 2 x cos y sin 1, 有4个不同的交点. (1)求的取值范围; (2)证明这4个交点共圆, 并求圆的半径的取值范围.
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结知识点精讲一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++= 代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时,若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为12AB x =-==即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式)120AB y y k =-=≠三, 已知弦AB 的中点,研究AB 的斜率和方程(1) AB 是椭圆()22221.0x y a b a b+=>的一条弦,中点()00,M x y ,则AB 的斜率为2020b x a y - ,运用点差法求AB 的斜率;设()()()112212,,A x y B x y x x ≠ ,,A B 都在椭圆 上,所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,两式相减得22221212220x x y y a b --+=所以()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=即()()()()22121202212120y y b x x b x x x a y y a y -+=-=--+，故2020AB b x k a y =-（1） 运用类似的方法可以推出；若AB 是双曲线()22221.0x y a b a b-=>的弦，中点()00,M x y ，则2020ABb x k a y =；若曲线是抛物线()220y px p => ，则0AB p k y =题型归纳及思路提示题型1 直线与圆锥曲线的位置关系思路提示（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中0∆> ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到。
圆锥曲线解题技巧之直线与圆锥曲线的交点如何通过直线与圆锥曲线的交点解决问题
圆锥曲线解题技巧之直线与圆锥曲线的交点如何通过直线与圆锥曲线的交点解决问题在解决与圆锥曲线相关的问题时，直线与圆锥曲线的交点是一个关键因素。
本文将介绍一些圆锥曲线解题的技巧，重点探讨如何通过直线与圆锥曲线的交点来解决问题。
一、直线与圆锥曲线的交点在解决圆锥曲线问题时，我们经常需要求解直线与圆锥曲线的交点。
求解这些交点能够帮助我们确定曲线的形状、性质以及其他重要参数。
接下来，我们将介绍两种常见的直线与圆锥曲线交点求解方法。
1. 利用代数方法求解交点一种常见的方法是通过代数方程求解直线与圆锥曲线的交点。
假设我们有一个圆锥曲线方程和一个直线方程，求解这两个方程的交点即可得到交点的坐标。
具体步骤如下：（1）将直线方程代入圆锥曲线方程，列出方程组。
（2）解方程组，求解交点坐标。
这种方法适用于各种类型的圆锥曲线，例如椭圆、双曲线和抛物线等。
2. 利用几何方法求解交点除了代数方法，我们还可以利用几何方法快速求解直线与圆锥曲线的交点。
以下是一些常见的几何方法：（1）切线法：对于一条切线，它与圆锥曲线相切于一个交点。
通过构造一条切线，我们可以找到直线与圆锥曲线的一个交点。
这种方法适用于某些特定的圆锥曲线，例如抛物线。
（2）平行线法：对于一条平行于坐标轴的直线，它与圆锥曲线相交于两个交点。
通过确定直线与圆锥曲线的一个交点，并利用平行线性质，我们可以求解另外一个交点。
这些几何方法能够有效地求解直线与圆锥曲线的交点，帮助我们更好地理解曲线的特点和性质。
二、应用案例分析接下来，我们将通过一些应用案例来展示如何利用直线与圆锥曲线的交点解决问题。
案例一：求解椭圆的焦点坐标已知椭圆的方程为x^2/16+y^2/9=1，要求椭圆的焦点坐标。
解析：椭圆的焦点是直线与椭圆的交点。
我们可以选择一条经过椭圆顶点的切线，找到切点作为一个焦点。
具体步骤如下：（1）求解椭圆的顶点坐标：将x=0代入椭圆方程，得到y=±3。
所以椭圆的顶点坐标为(0,3)和(0,-3)。
直线与圆锥曲线的交点ppt课件
直线与抛物线位置关系 判断直线是否与抛物线的对称轴平行
平行
数形结合
不平行
直线与抛物线 相交(一个交点)
计算判别式 >0 =0 <0 相交 相切 相离
直线与双曲线的位置关系
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
2)位置关系与交点Y个数
O
相交:两个交点
相切:一个交点
(C ) (A)1 (B)1 或 2 (C)2 (D)0
解析:因为点(0,-1)在椭圆 C: x2 + y 2 =1 的内部,而直线 l 过点(0,-1), 25 36
所以直线与椭圆相交,交点个数为 2,故选 C.
2.设斜率为 3 的直线过抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点,与 C 交于 A,B 两点,且 |AB|= 16 ,则 p 等于( C )
4
只有一个公共点的直线有__4_条.
变式3.（1）过点(-1,0)的直线l 与抛物线y2=6x有公共
点, 则直 线l 的斜率的范围是___________.
(2)过原点与双曲线
交于两点的直线
斜率的取值范围是__________________.
(3).若直线L:y=ax+1与双曲线: 3x2-y2=1的左、 右两支各有一个公共点,则实数a的取值范围
X
相离:0个交点
相交:一个交点
Y
O
X
[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常, 依然可以用判别式判断位置关系
[2]一个交点却包括了两种位置关系: 相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是否意味
着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相交 ?
直线与圆锥曲线相交吗
直线与圆锥曲线相交吗
■安徽 省 太湖县 弥 陀高 中 张松 云
一
般 地，“ 线与 圆锥 曲线 的位 置关系 ”有唯一 直
判别式 ａ＝ ６ ２ ＜ ，即直线 ｆ 双曲线没有公共 点， １— ４ ０ 与 因此不存在 满足 条件 的直线 ｚ ．
公共 点 、两个公共 点 （ 交 ）和没有公共 点三 种情 相
形 ，它们可 由直线方程 与圆锥 曲线方程联立所得 的方 程组 的解 的个数来 确定． 对此 ，要特别 注意直线与 圆 锥 曲线是否相交问题， 牢记对判别式符号的判断 ．
豳 过原点作直线ｚ 和抛物线ｙ ４＋交于Ａ － ６ ｘ 、
口两点 ，求线段 ＡＢ中点 的轨迹方程．
魔
设直线ｚ 方程为ｙｋ，由 的 ＝ ｘ 其和抛物线方
圈
初看 ， 起来似乎正确． 其实Ｐ， ２ 点的坐 １Ｐ两 标
ＰＰ 的中点在直线 ： 上 ？ （ １２ 答案 ： 一 ｌ 、 丁 ） ＋／
责任编校 徐 国 坚
满足 双 曲线 方程 并 不 能保 证 直 线 Ｚ 双 曲线 有 两 个 交 与 点 ． ｙ ２ 一 代 入 一 ＝ ，得 ２ ４ ＋ ＝ ，其根 的 将 ＝ｘ １ ｌ ｘ ｘ３ ０
凰
消 元后的二次方程 （ ３）＋２ｘ６０ ２ ｋ １ ＋＝ 的 ＋ ｋ
过程都对， 实忽视 了一个重要背景： 其 直线 ｆ 与抛物线 是否有两个交点？当ａ＞ ０时直线 ｚ 与抛物线 才有 两个
ｌ Ｔ 』 ｌ
根 的 判 别 式 Ａ＝１４ ２ （＋ ｋ） ３ ２ ａ 的 符 号 依 ４ ｋ一 ４ ２ ３ ＝ ｋ ，
用直线与圆锥 曲线 的方程联立消元得 到的二次方程 的 韦达定理来构建方程 ，也不能保 证直线与 圆锥 曲线相 交 ，如例 １ 和例 ３只有用这个二 次方程根 的判别式的 ． 符号才能确定直线与圆锥曲线公共点 的个数．
直线与圆锥曲线的位置关系
规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：:101l y kx =+⇒过定点（，）:(1)1l y k x =+⇒-过定点（，0）:2(1)1l y k x -=+⇒-过定点（，2）证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。
练习：1、过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有（ ）条。
A ．4B ．3C ．2D ．1分析：作出抛物线232--=x x y ，判断点P(3,2)相对抛物线的位置。
解：抛物线232--=x x y 如图，点P （3，2）在抛物线的内部，根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有一条。
故选择D规律提示：含焦点的区域为圆锥曲线的内部。
（这里可以用公司的设备画图）一、过一定点P 和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在抛物线外，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（2）若定点P 在抛物线上，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（3）若定点P 在抛物线内，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。
二、过定点P 和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在双曲线内，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；（2）若定点P 在双曲线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线；（3）若定点P 在双曲线外且不在渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线；（4）若定点P 在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；（5）若定点P 在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P 和双曲线只有一个公共点的直线不存在。
九年级数学圆锥曲线期末复习3
高 二 数 学 期 末 复 习 三（圆锥曲线综合问题）一、知识回顾1．直线与圆锥曲线的位置关系：在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解.注意：①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必“0∆>”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“0∆>”.②直线与抛物线(相交不一定交于两点)、双曲线位置关系(相交的四种情况)的特殊性，应谨慎处理.2．弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则22|||AB x x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则12|||AB y y =-=，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB 12y -。
注意：焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和，或统一（第二）定义求解。
3．圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆12222=+by a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k -=；在双曲线22221x y a b-=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k =；在抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率)0(00≠=y y pk 。
注意：如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率”为桥梁转化.4.常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直译法、代点法、参数法、交轨法等), 以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质，这是解析几何的两类基本问题，也是解析几何的基本出发点.注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化.②在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.二、典型例题例1．（1）椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x 的最短距离为13138； （2）过抛物线x y 22=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知ΔABO 重心的横坐标为3（O 为坐标原点），则|AB|=___10____（3*）已知直线1+-=x y 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上，则此椭圆的离心率为22（4*）若椭圆11022=+m y x 与双曲线122=-b y x 有相同的焦点，且),310(y P 椭圆与双曲线的一个交点，则椭圆与双曲线的方程分别为,11022=+y x 1822=-y x 。
新高考 核心考点与题型 圆锥曲线 第4讲 直线与圆锥曲线相交 - 解析
第4讲 直线与圆锥曲线相交基础知识：（一）直线与椭圆位置关系1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点）2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，下面以直线y kx m =+和椭圆：()222210x y a b a b+=>>为例（1）联立直线与椭圆方程：222222y kx mb x a y a b=+⎧⎨+=⎩ （2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：()222222b x a kx m a b ++=，整理可得：()22222222220a kb x a kxm a m a b +++-=（3）通过计算判别式∆的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与椭圆相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与椭圆相切 ③ 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与椭圆相离3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交（二）直线与双曲线位置关系1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定以直线y kx m =+和椭圆：()222210x y a b a b-=>>为例：（1）联立直线与双曲线方程：222222y kx mb x a y a b=+⎧⎨-=⎩，消元代入后可得： ()()22222222220ba k x a kxm a m ab ---+=（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2220a k b +>，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为222b a k -，有可能为零。
所以要分情况进行讨论 当2220bb a k k a-=⇒=±且0m ≠时，方程变为一次方程，有一个根。
直线与圆锥曲线的位置关系的判断
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c ＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切．(×)(2)直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交．(×)(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．(√)(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．(√)。
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案教学目标：1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系；2. 学会运用直线与圆锥曲线的性质解决问题；3. 提高推理能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2. 直线与圆锥曲线的性质及应用。
教学难点：1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2. 直线与圆锥曲线的性质的灵活运用。
教学准备：1. 教材或教学资源；2. 投影仪或白板；3. 粉笔或教学板书。
教学过程：第一章：直线与圆锥曲线的位置关系简介1.1 引入通过展示一些实际问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系，例如：在平面直角坐标系中，给定一个圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），如何判断一条给定的直线与该圆锥曲线的位置关系（相交、切线、平行、远离）？1.2 讲解讲解直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，包括：（1）相交：直线与圆锥曲线有两个不同的交点；（2）切线：直线与圆锥曲线有一个交点，且该交点为切点；（3）平行：直线与圆锥曲线没有交点；（4）远离：直线与圆锥曲线相离，没有交点。
1.3 练习给出一些练习题，让学生运用所学知识判断直线与圆锥曲线的位置关系，并解释原因。
1.4 小结总结本章内容，强调直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法及应用。
第二章：直线与圆锥曲线的性质2.1 引入通过展示一些实际问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的性质，例如：在平面直角坐标系中，给定一条直线和一个圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），如何描述它们的交点、切点等特征？2.2 讲解讲解直线与圆锥曲线的性质，包括：（1）交点的坐标：根据直线和圆锥曲线的方程，求出它们的交点坐标；（2）切点的坐标：根据直线和圆锥曲线的方程，求出它们的切点坐标；（3）斜率：直线与圆锥曲线相交时，交点的切线斜率与直线的斜率的关系；（4）距离：直线与圆锥曲线的距离公式。
2.3 练习给出一些练习题，让学生运用所学知识描述直线与圆锥曲线的交点、切点等特征，并计算相关距离和斜率。
圆锥曲线题型总结：圆锥曲线常考结论题型汇总【自己整理全面】
高考数学专题突破：圆锥曲线二级结论课题1：22a b ±结论一：若直线AB 与圆锥曲线相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，则由点差法可推导得以下结论。
椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 22AB a k b k OM-=• 12222=+b x a y )0(>>b a 22AB b a k -=•OMk 双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 22AB a k b k OM=• )0,0(12222>>=-b a bx a y 22AB ba k =•OMk 抛物线)0(22>=p px y M py k AB =)0(22>-=p px yMp y -k AB = )0(22>=p py xp Mx k AB =)0(22>-=p py xpMx -k AB = 【2014江西理】过点M （1，1）作斜率为﹣21的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ． 【答案】22 【解析】解法一：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，，∵过点M （1，1）作斜率为﹣21的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得，∴a=b ，∴=b ，∴e==22． 解法二：由22AB a -k b k OM =•，即121-•=- 22a b ，22a b = 21，e=22a-1b =22【2013新课标1理10】已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22=1189x y + 【答案】D【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b(+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 【2010新课标理12】已知双曲线E 的中心为原点，P （3，0）是E 的焦点，过P 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N （﹣12，﹣15），则E 的方程式为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由已知条件易得直线l 的斜率为k=k PN =1， 设双曲线方程为，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有，两式相减并结合x 1+x 2=﹣24，y 1+y 2=﹣30得=，从而==1即4b 2=5a 2，又a 2+b 2=9，解得a 2=4，b 2=5。
直线与圆锥曲线的交点知识讲解
直线与圆锥曲线的交点课题直线与圆锥曲线的交点设计：宁勇强审核：包科领导： 2020年6月2日学习目标：理解曲线交点的概念，会通过联立方程求解的办法求曲线的交点，会用设而不求的方法解决有关直线与圆锥曲线交点的综合问题。
导读曲线的公共点分交点和切点两种，都可以通过联立方程求解的方法求出公共点，但更多的时候交点是不必求出的，只要把由交点引起的问题予以解决即可，这就需要解析几何中一种非常重要的处理办法：设而不求。
（1）曲线0(=,xg的交点问题，可以通过讨论方程组的)yf与0)(=,xy解来解决。
也就是说两条曲线的交点问题与完全等价。
（2）交点问题一般有“定性、定量、定点”三个层次。
“定性”讨论有没有公共点，“定量”讨论有几个公共点，“定点”要求出公共点的坐标。
第三层次的问题求出方程组的解即可，第二层次的问题只要判断出方程组的解的个数即可，而第一层次的问题只需知道方程组有解与否。
（3）交点问题其实就是位置关系问题。
直线与圆的位置关系有，，三种，由几何条件确定，结论是：。
如果用代数方法确定，首先联立直线与圆的方程，接着消元得一元二次方程，判别式为△，则结论是： .直线与椭圆的位置关系可类似这里的第二种方程讨论。
另外，画图是讨论位置关系的一种非常有效的方法。
（4）如果问题只是与交点有关，那么可以只设出交点的坐标，通过整体代入解决问题而不具体求点的坐标，这种方法在解析几何中称“设而不求”。
它往往需要中收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除点坐标、韦达定理和弦长公式、斜率公式等来配合。
常用的方法有“k 参数法”（也可称之为设代法）和“点差法”。
（5）曲线上两点间的线段称为弦。
弦长当然可用两点的距离公式来求。
斜率为k 的弦可用如下公式求弦长：｜AB ｜＝||11||1212212y y kx x k -+=-+， 其中 21221214)(||x x x x x x -+=-， 21221214)(||y y y y y y -+=-.自学检测：1.直线0=-y x 与曲线2222=+y x 的交点坐标是 ，所得弦长为 .2.过P(0，2)的直线与曲线12+=x y 有 个交点.3.已知过P(0，2)的直线l 与曲线2222=+y x 相切，则l 的方程为 .4.过点（-1，1）与曲线x y 42=有一个公共点的直线有 条。
直线与圆锥曲线问题五步得分法(含硬解公式)
直线与圆锥曲线问题五步得分法（含硬解公式）
直线与圆锥曲线相交问题分值高，难度大，一般是拉开档次的压轴题，对于这类问题，我们通常可以采取以下六个步骤来解决。
第一步：设直线方程，通常已知斜率，设斜截式，已知点，设点斜式，但是要注意斜率不存在的情况。
解：设直线方程为y=kx+m，与椭圆方程联立得：
第二步：带入圆锥曲线方程，消去一个未知数，得到一个一元二次方程。
将直线带入椭圆方程，并整理得：
第三步：判断跟的判别式大于0。
（若已知交点，可省略此步）
第四步：设交点坐标，得到方程的根。
设A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线与椭圆的交点，则x1，x2是方程的两个根
第五步：利用韦达定理得到两根之和，两根之积。
由韦达定理得：，
弦长（若不需要可省略）
第六步：利用分析法，由结论逆推，用两根的和与积表示，解决问题。
在以上步骤中，前五步对于任意直线与圆锥曲线（双曲线把b2换成-b2，即得：）相交，不管最后要解
决的问题是什么，都可以这样解答得到6—7分，是固定的套路，可称之为五步得分法，第六步需要用到分析法解决问题，确实比较繁琐。
接下来，我们用这个思路，来解答一个具体的题目，大家体会一下解答过程。
通过以上解题过程，大家可以发现，前五步确实简单，而且根本不要考虑这道题到底是在考查什么，就可以依葫芦画瓢来完成，可以轻松得到6分左右。
但是第六步确实繁琐，实际上这是这类问题的特点。
但是，如果我们提前仔细审题，考虑用哪个未知量求解比较简单，就可以得到如下解法。
同学们可以做几道题试一试，或许第六步不容易写出，但前五步是很轻松的，尤其是在考试中，更能显示出“五步得分法”的优越性。
高考圆锥曲线压轴题型总结
高考圆锥曲线压轴题型总结直线与圆锥曲线相交，一般采取设而不求，利用韦达定理，在这里我将这个问题分成了三种类型，其中第一种类型的变式比较多。
而方程思想，函数思想在这里也用得多，两种思想可以提供简单的思路，简单的说就是只需考虑未知数个数和条件个数,。
使用韦达定理时需注意成立的条件。
题型4有关定点，定值问题。
将与之无关的参数提取出来，再对其系数进行处理。
（湖北卷）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.（I ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得 .0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根，0])3(3)3([422>--+=∆∴k k λ ②)3,1(.3)3(2221N k k k x x 由且+-=+是线段AB 的中点，得解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠（II ）解法1：.02,13,=---=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根，于是由弦长公式可得).3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x k CD ④将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x.016842=-+-λx x ⑤同理可得.)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥假设在在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为.2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角即|,|||||2DN CN AN ⋅=⇔ ).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧由⑥式知，⑧式左边=.212-λ由④和⑦知，⑧式右边=)2232)3(2)(2232)3(2(--+-λλ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆 解法2：由（II ）解法1及12>λ.,13,-=-∴x y CD AB CD 方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③将直线AB 的方程,04=-+y x 代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得.231,2122,4,321-±-=-±-λλx x不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλ计算可得0=⋅DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上.又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆.（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）【点评】第一问可以作为直线与圆的知识点，第二问就作为函数思想算了，未知数一个嘛。
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相交于A、B两点，当k为何值时, A、B分 别在双曲线的同一支上？当k为何值时， A、B分别在双曲线的两支上？
例7、过抛物线y=
1 4
x2
的焦点作倾
斜角为α的直线交抛物线于A、B两
点，且|AB|=8，求倾斜角α
例8、顶点在坐标原点，焦点在x轴 上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦 长为 15 ，求抛物线的方程
中点坐标进行代换并求出相关量即可。
练习、若过椭圆 x2 2 y2 2 左焦点的
直线l与椭圆相交所得的弦AB的长
为 5 2 ,求直线l的方程。 3
例3、椭圆 4x2 y2 4 与斜率为2的
直线l相交于A、B两点，若以AB为直径 的圆过原点，求直线l的方程。
例5、已知双曲线 2x2 y2 2 ，过点 A （2，1）的直线与已知双曲线交于P、Q 两点（1）求PQ中点的轨迹方程；（2） 过B（1，1）能否作直线l，使l与所给双 曲线交于两点M、N，且B为MN的中点，若 存在，求出l的方程，不存在说明理由。
与圆锥曲线的相交的弦长为：消去y公式
或消去x公式: AB
(1
1 k2
)(
y1
y2
)2
3、直线与圆锥曲线的相交问题的常用处理方
法（坐标法）： (1）设出直线（或曲线）方
程和交点坐标(x1,y1)、(x2,y2)；（2）直线 与曲线方程组成方程组并消去y或x；（3）当
a0且>0时，利用韦达定理求出x1+x2和x1x2 （注意：如求y1+y2和y1y2，可用直线方程转 换得到）；（4）将几何条件用交点坐标表示
4、顶点在原点，焦点在x轴上的抛
物线y 2x 4 ，截直线所得的弦长
为 3 5 ，求抛物线的方程. 5、若抛物线 y 2 8x 被过焦点，且
倾斜角为1350 的直线所截，求截得
的线段的中点坐标.
6、过点1,6的直线l与抛物线y2 4x
交于A、B两点，求直线l的斜率k的 取值范围
注意：直线与抛物线、直线与双曲线组
成方程组消元后当a=0时，直线就平行
抛物线的对称轴或平行双曲线的渐近 线，此时直线与抛物线或双曲线只有一
个公共点，但并不相切。
讨论：如何求弦AB的长？
y
A
O
x
B
2、直线与圆锥曲线的相交的弦长计算公
式：设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直
l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2) 两点， 将两方程联立方程组消去x(或消 去y)得ax2+bx+c=0,(a≠0,△>0) ，直线
y
D
M
KO F
x
(1)
y
F
O
(2) K
M
x
D
（7）通径：过焦点且垂直于对称轴的
相交弦。通径 d 2 p
课堂练习一： 1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2＝8x（2）x2＝4y y ，1 x2 （3）2y2＋3x＝0（4） 6 。 2、根据下列条件写出抛物线的标准方程： （1）焦点是F（-2，0）,（2）准线方程 是y=1/3，（3）焦点到准线的距离是4， 焦点在y轴上,（4）经过点A（6，-2）。 3、抛物线x2＝4y上的点p到焦点的距离 是10，求p点坐标
焦点坐标：F（p/2,0）或F（-p/2,0） 准线方程：x=-p/2或x=p/2.
2、焦点在y轴上：x2 2 py, ( p 0)
焦点坐标：F（0，p/2）或F（0，-p/2） 准线方程：y=-p/2或y=p/2.
3、抛物线的几何性质： y
以y2=2px,(p>0)为例
D
M
（1）范围； （2）对称性；
例2、中心在原点，一个焦点为F1
（0， 50）的椭圆截直线y=3x-2所得弦
的中点横坐标为1/2，求椭圆的方程
4、对于中点弦问题的处理方法（点差 法）：（1）设交点坐标(x1，y1)、(x2， y2)；（2）将交点坐标分别代入曲线方 程；（3）作差并整理得出 y1 y2
x1 x2
和 x1 x2、y1 y2；（4）分别用斜率及
§14．4圆锥曲线的应用 直线与圆锥曲线（椭圆、双曲线、
抛物线）的位置关系
思考：直线与圆锥曲线有哪些位置关系？ （以椭圆双曲线为例）如何判断？
1、直线与圆锥曲线的位置关系：
将直线和曲线方程组成方程组并消y(或 x)得方程（当二次项系数a0时）：
（1）<0相离；（2） =0相切； （3）>0相交。
KO F
x
(1)
（3）顶点坐标、焦点坐标、准线方程；
（4）离心率：抛物线的离心率e=1．
（对于其它几种形式的方程，均类似）
注:焦点到准线的距离是p；抛物线的关
键是焦点位置和基本量p的值
（5）抛物线的焦半径及其应用： 定义：抛物线上任意一点M与抛物线焦点 的连线段，叫做抛物线的焦半径。 焦半径公式：（结合图形） 设M（x0，y0），则︱MF︱=p/2± x0
例9、已知抛物线y 2=2px,(p＞0)与直线 y=-x+1相交于A、B两点，以弦AB长为直 径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程.
例10、已知直线y=x+b与抛物线y2
=2px,(p＞0)相交于A、B两点，若OA⊥OB，
（O为坐标原点）且
，求抛物
线的S方AOB程 2. 5
课堂练习：
1、(1)直线过点A(0，1)且与抛物线 y2 x
或︱MF︱=p/2± y0
y
D
M
y
M
D
y
M F
y
D
KOຫໍສະໝຸດ xMFKO F (1)
x
F OK
x
O
(2) K
(3)
x (4) D D
（6）焦点弦：过焦点的直线交抛物线所
成的相交弦。焦点弦计算：设两交点
(x1,y1)(x2,y2)，则焦点弦可以通过两次
焦半径公式得到。
如：y2 2 px, ( p 0) 则d=p±(x1+x2)
抛物线回顾(看图思考方程及性质)
y
D
M
y
M
y
M
D
y
DK
O
x
KO F (1)
x
F
O
(2) K
x (3)
D
F OK x M
F
(4) D
注：抛物线关键是焦点和基本量p的值。
1、抛物线定义：∣MF∣=∣MD∣ 即：抛物线上点到焦点和准线距离相等
（注：规定焦点F到准线l的距离为p）
2、抛物线的标准方程：
1、焦点在x轴上：y2 2 px, ( p 0)
只有一个公共点，这样的直线有几条？
(2)过点P(2，0)的直线l与双曲线 x2 y2 1
只有一个公共点，这样的直线有几条？
2、直线l : y k x 2 与曲线 x2 y2 1x ，0
相交于A、B两点，求直线的倾斜角的范围 3、已知双曲线 2x2 y2 2 与点P（1，2）， 过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为 AB的中点（1）求直线AB的方程（2）若Q为 （-1，-1），证明不存在以Q为中点的弦
并化成x1+x2和x1x2的形式；（5）整体代入求 出相关系数即可。
注：设而不求，整体代换，交点坐标是关键。
系数与交点坐标关系交点坐标几何条件
与交点坐标关系。
例1、已知椭圆：x2 9 y2 9 ，过左焦
点F1作倾斜角为30º的直线交椭圆于A、B 两点，（1）求弦AB的长；（2）右焦点 为F2，求△ABF2的面积