直线与圆锥曲线相交

KO F
x
(1)
（3）顶点坐标、焦点坐标、准线方程；
（4）离心率：抛物线的离心率e=1．
（对于其它几种形式的方程，均类似）
注:焦点到准线的距离是p；抛物线的关
键是焦点位置和基本量p的值
（5）抛物线的焦半径及其应用： 定义：抛物线上任意一点M与抛物线焦点 的连线段，叫做抛物线的焦半径。 焦半径公式：（结合图形） 设M（x0，y0），则︱MF︱=p/2± x0
例6、直线y=kx+1与双曲线 3x2 y2 1
相交于A、B两点，当k为何值时, A、B分 别在双曲线的同一支上？当k为何值时， A、B分别在双曲线的两支上？
例7、过抛物线y=
1 4
x2
的焦点作倾
斜角为α的直线交抛物线于A、B两
点，且|AB|=8，求倾斜角α
例8、顶点在坐标原点，焦点在x轴 上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦 长为 15 ，求抛物线的方程
§14．4圆锥曲线的应用 直线与圆锥曲线（椭圆、双曲线、
抛物线）的位置关系
思考：直线与圆锥曲线有哪些位置关系？ （以椭圆双曲线为例）如何判断？
1、直线与圆锥曲线的位置关系：
将直线和曲线方程组成方程组并消y(或 x)得方程（当二次项系数a0时）：
（1）<0相离；（2） =0相切； （3）>0相交。
例2、中心在原点，一个焦点为F1
（0， 50）的椭圆截直线y=3x-2所得弦
的中点横坐标为1/2，求椭圆的方程
4、对于中点弦问题的处理方法（点差 法）：（1）设交点坐标(x1，y1)、(x2， y2)；（2）将交点坐标分别代入曲线方 程；（3）作差并整理得出 y1 y2
x1 x2
和 x1 x2、y1 y2；（4）分别用斜率及
例9、已知抛物线y 2=2px,(p＞0)与直线 y=-x+1相交于A、B两点，以弦AB长为直 径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程.
例10、已知直线y=x+b与抛物线y2
=2px,(p＞0)相交于A、B两点，若OA⊥OB，
（O为坐标原点）且
，求抛物
线的S方AOB程 2. 5
课堂练习：
1、(1)直线过点A(0，1)且与抛物线 y2 x
焦点坐标：F（p/2,0）或F（-p/2,0） 准线方程：x=-p/2或x=p/2.
2、焦点在y轴上：x2 2 py, ( p 0)
焦点坐标：F（0，p/2）或F（0，-p/2） 准线方程：y=-p/2或y=p/2.
3、抛物线的几何性质： y
以y2=2px,(p>0)为例
D
M
（1）范围； （2）对称性；
并化成x1+x2和x1x2的形式；（5）整体代入求 出相关系数即可。
注：设而不求，整体代换，交点坐标是关键。
系数与交点坐标关系交点坐标几何条件
与交点坐标关系。
例1、已知椭圆：x2 9 y2 9 ，过左焦
点F1作倾斜角为30º的直线交椭圆于A、B 两点，（1）求弦AB的长；（2）右焦点 为F2，求△ABF2的面积
注意：直线与抛物线、直线与双曲线组
成方程组消元后当a=0时，直线就平行
抛物线的对称轴或平行双曲线的渐近 线，此时直线与抛物线或双曲线只有一
个公共点，但并不相切。
讨论：如何求弦AB的长？
y
A
O
x
B
2、直线与圆锥曲线的相交的弦长计算公
式：设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直
l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2) 两点， 将两方程联立方程组消去x(或消 去y)得ax2+bx+c=0,(a≠0,△>0) ，直线
与圆锥曲线的相交的弦长为：消去y公式
或消去x公式: AB
(1
1 k2
)(
wenku.baidu.com
y1
y2
)2
3、直线与圆锥曲线的相交问题的常用处理方
法（坐标法）： (1）设出直线（或曲线）方
程和交点坐标(x1,y1)、(x2,y2)；（2）直线 与曲线方程组成方程组并消去y或x；（3）当
a0且>0时，利用韦达定理求出x1+x2和x1x2 （注意：如求y1+y2和y1y2，可用直线方程转 换得到）；（4）将几何条件用交点坐标表示
中点坐标进行代换并求出相关量即可。
练习、若过椭圆 x2 2 y2 2 左焦点的
直线l与椭圆相交所得的弦AB的长
为 5 2 ,求直线l的方程。 3
例3、椭圆 4x2 y2 4 与斜率为2的
直线l相交于A、B两点，若以AB为直径 的圆过原点，求直线l的方程。
例5、已知双曲线 2x2 y2 2 ，过点 A （2，1）的直线与已知双曲线交于P、Q 两点（1）求PQ中点的轨迹方程；（2） 过B（1，1）能否作直线l，使l与所给双 曲线交于两点M、N，且B为MN的中点，若 存在，求出l的方程，不存在说明理由。
4、顶点在原点，焦点在x轴上的抛
物线y 2x 4 ，截直线所得的弦长
为 3 5 ，求抛物线的方程. 5、若抛物线 y 2 8x 被过焦点，且
倾斜角为1350 的直线所截，求截得
的线段的中点坐标.
6、过点1,6的直线l与抛物线y2 4x
交于A、B两点，求直线l的斜率k的 取值范围
抛物线回顾(看图思考方程及性质)
y
D
M
y
M
y
M
D
y
DK
O
x
KO F (1)
x
F
O
(2) K
x (3)
D
F OK x M
F
(4) D
注：抛物线关键是焦点和基本量p的值。
1、抛物线定义：∣MF∣=∣MD∣ 即：抛物线上点到焦点和准线距离相等
（注：规定焦点F到准线l的距离为p）
2、抛物线的标准方程：
1、焦点在x轴上：y2 2 px, ( p 0)
只有一个公共点，这样的直线有几条？
(2)过点P(2，0)的直线l与双曲线 x2 y2 1
只有一个公共点，这样的直线有几条？
2、直线l : y k x 2 与曲线 x2 y2 1x ，0
相交于A、B两点，求直线的倾斜角的范围 3、已知双曲线 2x2 y2 2 与点P（1，2）， 过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为 AB的中点（1）求直线AB的方程（2）若Q为 （-1，-1），证明不存在以Q为中点的弦
y
D
M
KO F
x
(1)
y
F
O
(2) K
M
x
D
（7）通径：过焦点且垂直于对称轴的
相交弦。通径 d 2 p
课堂练习一： 1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2＝8x（2）x2＝4y y ，1 x2 （3）2y2＋3x＝0（4） 6 。 2、根据下列条件写出抛物线的标准方程： （1）焦点是F（-2，0）,（2）准线方程 是y=1/3，（3）焦点到准线的距离是4， 焦点在y轴上,（4）经过点A（6，-2）。 3、抛物线x2＝4y上的点p到焦点的距离 是10，求p点坐标
或︱MF︱=p/2± y0
y
D
M
y
M
D
y
M F
y
D
K
O
x
M
F
KO F (1)
x
F OK
x
O
(2) K
(3)
x (4) D D
（6）焦点弦：过焦点的直线交抛物线所
成的相交弦。焦点弦计算：设两交点
(x1,y1)(x2,y2)，则焦点弦可以通过两次
焦半径公式得到。
如：y2 2 px, ( p 0) 则d=p±(x1+x2)